La Ninja, una montaña rusa

en el parque Six Flags de

Georgia, tiene una altura de

122 ft y una rapidez de

52 mi/h. La energía

potencial de la gravedad

debida a su altura cambia

en energía cinética

de movimiento y el

intercambio entre los dos

tipos de energía continúa

hasta el final del recorrido.

(.Fotografía de Paul E.

Tippens.)

Trabajo, energía y potencia

Objetivos

C uando te rm ine de estud ia r este cap ítu lo el a lum no:

1. Defin irá y escrib irá las fó rm u las m atem áticas para el traba jo , la energía p o te n -

cial, la energía cinética y la potencia .

2. A p lica rá los concep tos de traba jo , energía y po tenc ia para reso lver p rob lem as

sim ilares a los presentados com o e jem p los en el te x to .

3. Defin irá y dem ostra rá con e jem p los su co no c im ien to de las un idades s igu ien -

tes: jo u le , lib ra -p ie , w a tt, caba llo de fuerza y lib ra -p ie p o r segundo.

4. Analizará y aplicará sus conoc im ien tos sobre la relación entre la realización de

un traba jo y el cam b io co rrespond ien te en la energía c inética.

5. Analizará y aplicará su co no c im ien to del p rin c ip io de la conservación de la

energía m ecánica.

6. D eterm inará la po tenc ia de un sistema y com prenderá su relación con el t ie m -

po, la fuerza, la d istancia y la ve loc idad .

157

158 Capítulo 8 Trabajo, energía y potencia

La razón principal de aplicar una fuerza resultante es causar un desplazamiento. Por ejem-plo, una enorme grúa que levanta una viga de acero hasta la parte superior de un edificio; el compresor de un acondicionador de aire que fuerza el paso de un fluido a través de su ciclo de enfriamiento, y las fuerzas electromagnéticas que mueven electrones por la pantalla de un televisor. Como aprenderemos aquí, siempre que una fuerza actúa a distancia se realiza un trabajo, el cual es posible predecir o medir. La capacidad de realizar trabajo se define como energía y la razón de cambio que puede efectuar se definirá como potencia. En la actualidad, las industrias centran su interés principal en el uso y el control de la energía, por lo que es esencial comprender a fondo los conceptos de trabajo, energía y potencia.

Cuando tratamos de arrastrar un carro con una cuerda, como se observa en la figura 8.1a, no pasa nada. Estamos ejerciendo una fuerza y, sin embargo, el carro no se ha movido. Por otra parte, si incrementamos en forma continua esta fuerza, llegará un momento en que el carro se desplazará. En este caso, en realidad hemos logrado algo a cambio de nuestro esfuerzo. En física este logro se define como trabajo. El término trabajo tiene una definición operacional, explícita y cuantitativa. Para que se realice un trabajo han de cumplirse tres requisitos:

1. Debe haber una fuerza aplicada.

2. La fuerza debe actuar a través de cierta distancia, llamada desplazamiento.

3. La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento.

Suponiendo que se cumplen esas condiciones, es posible dar una definición formal de trabajo:

Trabajo es una cantidad escalar igual al p ro du c to de las m agn itudes del desp la -

zam ien to y de la com ponen te de la fuerza en la d irección del desp lazam iento .

En esta ecuación, F . es la componente de F a lo largo del desplazamiento x. En la figura 8.1, sólo Fx contribuye al trabajo. Su magnitud puede determinarse por trigonometría, y el trabajo puede expresarse en términos del ángulo 9 formado entre F y x :

Con gran frecuencia la fuerza que realiza el trabajo está dirigida íntegramente a lo largo del desplazamiento. Esto sucede cuando una pesa se eleva en forma vertical o cuando una fuerza horizontal arrastra un objeto por el piso. En estos casos sencillos, F = F, y el trabajo es simplemente el producto de la fuerza por el desplazamiento:

Trabajo

Trabajo = Componente de lajiierza X desplazamiento

Trabajo = F x (8.1)

Trabajo = (F eos 9 )x (8 .2)

Trabajo = Fx (8.3)

F F F

(a) Trabajo = 0 (b) Trabajo = (F eos 6) x

Figura 8.1 El trabajo realizado por una fuerza F que ocasiona un desplazamiento x.

8.2 Trabajo resultante 159

Otro caso especial se presenta cuando la fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento. En esta situación, el trabajo será de cero, ya que F = 0. Un ejemplo es el movimiento paralelo a la superficie terrestre, en el que la gravedad actúa verticalmente hacia abajo y es perpendicular a todos los desplazamientos horizontales. En esos casos, la fuerza de gravedad no influye.

¿Qué trabajo realiza una fuerza de 60 N al arrastrar un carro como el de la figura 8.1 a través de una distancia de 50 m, cuando la fuerza transmitida por el manubrio forma un ángulo de 30° con la horizontal?

Plan: Sólo contribuye al trabajo la componente de la fuerza aplicada F que se halla a lo largo del desplazamiento. El trabajo se determinará como el producto de esta componente F eos 6 por el desplazamiento lineal x.

Solución: Al aplicar la ecuación (8.1) se obtiene

Trabajo = (F eos 9)x = (60 N)(cos 30°)(50 m)

Trabajo = 2600 N • m

Observe que las unidades de trabajo son las unidades de fuerza multiplicadas por las de distancia. Por tanto, en unidades del SI, el trabajo se mide en newtons-metro (N • m). Por convención, esta unidad combinada se llama joule y se representa con el símbolo J.

Un jo u le (1 J) es igua l al tra b a jo rea lizado p o r una fuerza de un new ton al

m ove r un o b je to a lo la rgo de una d is tancia parale la de un m etro .

En el ejemplo 8.1, el trabajo realizado para arrastrar el carro se escribiría 2600 J.En Estados Unidos, el trabajo se expresa a veces también en unidades del SUEU. Cuando

la fuerza se expresa en libras (Ib) y el desplazamiento en pies (ft), la unidad de trabajo corres-pondiente se llama libra-pie (ft • Ib).

Una lib ra -p ie (1 f t • Ib) es igual al traba jo realizado p o r una fuerza de una libra

al m over un o b je to a lo largo de una d istancia parale la de un pie.

No hay un nombre especial para esta unidad.Los factores de conversión siguientes son útiles cuando se comparan unidades de trabajo

en los dos sistemas:

1 J = 0.7376 ft • Ib 1 ft- Ib = 1.356 J

Trabajo resultante

Cuando consideramos el trabajo de varias fuerzas que actúan sobre el mismo objeto es útil distinguir entre el trabajo positivo y el negativo. En este texto se sigue la convención de que el trabajo de una fuerza concreta es positivo si la componente de la fuerza se halla en la misma dirección que el desplazamiento. El trabajo negativo lo realiza una componente de fuerza que se opone al desplazamiento real. Así, el trabajo que realiza una grúa al levantar una carga es positivo, pero la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre la carga realiza uno negativo. De igual forma, si estiramos un resorte, el trabajo sobre éste es positivo y el trabajo sobre el resorte es negativo cuando éste se contrae y nos arrastra. Otro ejemplo importante de trabajo negativo es el que se realiza mediante una fuerza de fricción que se opone a la dirección del desplazamiento.

Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo en movimiento, el trabajo resultante (trabajo total) es la suma algebraica de los trabajos de las fuerzas individuales. Esto también será igual al trabajo de la fuerza resultante. La realización de un trabajo neto requiere la existencia de una fuerza resultante. En el ejemplo 8.2 se aclaran estas ideas.

160 Capítulo 8 Trabajo, energía y potencia

|^ j Una fuerza de impulsión de 80 N mueve un bloque de 5 kg hacia arriba por un plano inclinado a 30°, como se muestra en la figura 8.2. El coeficiente de fricción cinética es de 0.25 y la longitud del plano es de 20 m. (a) Calcule el trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque, (b) Demuestre que el trabajo neto realizado por estas fuerzas tiene el mismo valor que el trabajo de la fuerza resultante.

Plan: Elabore y marque un diagrama de cuerpo libre (véase la figura 8.2b) donde se muestre cada fuerza que actúa a lo largo del desplazamiento x. Es importante distinguir entre el tra-bajo de una fuerza individual, como P ,/A_, 72 o W y el trabajo resultante. En la primera parte del problema consideraremos el trabajo de cada una de estas fuerzas independientemente de las otras. Luego, una vez que se reconozca que todas ellas tienen un desplazamiento común, demostraremos que el trabajo resultante equivale a la suma de los trabajos individuales.

Solución (a): Note que la fuerza normal no realiza trabajo porque es perpendicular al desplazamiento y eos 90° = 0

(Trabajo)^ = (TI eos 90°)x o (Trabajo)^ = 0

La fuerza de impulsión P se ejerce por completo a lo largo del desplazamiento y en la misma dirección. Por tanto,

(Trabajo)^ = (P eos 0°)„r = (80 N)(l)(20 m)

(Trabajo)^ = 1600 J

Para calcular el trabajo de la fuerza de fricción f y el trabajo del peso W, primero debemos determinar las componentes del peso tanto a lo largo del plano como perpendicularmente a él.

W = mg = (5 kg)(9.8 m /s2); W = 49.0 N

W = (49.0 N) sen 30° = 24.5 N

W = (49.0 N) eos 30° = 42.4 N

Observe que la referencia al ángulo de 30° es respecto al eje y en este caso para evitar un diagrama amontonado, lo que significa que el lado opuesto es la componente x y el lado ad-yacente la componente y. Elija con detenimiento las funciones trigonométricas correctas.

Las fuerzas normales al plano están equilibrados, de forma que TI = W y

Tl = W = 42.4 N

Esto significa que la fuerza de fricción / es

f k = ¡jLkn = {0.25X42.4 N) / = - 1 0 . 6 N

El signo menos indica que la fuerza de fricción se dirige hacia abajo del plano. En conse-cuencia, el trabajo realizado por esta fuerza es

(Trabajo) = / x = ( -1 0 .6 N)(20 m); (Trabajo) = -2 1 2 J

(a)

Figura 8.2 Trabajo que se requiere para empujar un bloque hacia arriba por un plano inclinado a 30°.

8.3 Energía 161

El peso W del bloque también realiza un trabajo negativo, ya que su componente Wx tiene dirección opuesta al desplazamiento.

(Trabajo),,, = -(2 4 .5 N)(20 m) = -4 9 0 J

Solución (b): El trabajo neto es igual a la suma de los trabajos realizados por cada fuerza

Trabajo neto = (trabajo)^ = (trabajo)^ = (trabajo) + (trabajo)^

= 0 + 1600 J - 212 J - 490 J

= 898 J

Para demostrar que éste es también el trabajo de la fuerza resultante, calculamos primero esta última, que es igual a la suma de las fuerzas a lo largo del plano inclinado

F* = P - f t ~ W

= 80 N - 10.6 N - 24.5 N = 44.9 N

Por tanto, el trabajo de F es

Trabajo neto = FRx = (44.9 N)(20 m) = 898 J

que es igual al valor obtenido cuando se calcula el trabajo de cada fuerza por separado.

Es importante distinguir entre el trabajo resultante o neto y el trabajo de una fuerza indivi-dual. Si nos referimos al trabajo necesario para mover un objeto cierta distancia, el trabajo rea-lizado por la fuerza que tira de él no es necesariamente el trabajo resultante. El trabajo puede haberse realizado por medio de una fuerza de fricción o de otras fuerzas. El trabajo resultante es simplemente el trabajo hecho por una fuerza resultante. Si ésta es cero, entonces el trabajo resultante también es cero, aun cuando diversas fuerzas individuales puedan estar realizando un trabajo positivo o negativo.

EnergíaLa energía puede considerarse algo que es posible convertir en trabajo. Cuando decimos que un objeto tiene energía, significa que es capaz de ejercer una fuerza sobre otro objeto para realizar un trabajo sobre él. Por el contrario, si realizamos un trabajo sobre un objeto, le he-mos proporcionado a éste una cantidad de energía igual al trabajo realizado. Las unidades de energía son las mismas que las del trabajo: joule y libra-pie.

En mecánica nos interesan dos tipos de energía:

Energía cinética K, que es la energía que tiene un cuerpo en virtud de su movimiento.

Energía potencial U, que es la energía que tiene un sistema en virtud de su posición o condición.

Se dice que toda masa m que tenga velocidad posee también energía cinética. No obs-tante. para que haya energía potencial es preciso tener el potencial — valga la expresión— de una fuerza aplicada. Por tanto, un objeto en sí no puede tener energía potencial; más bien, esta última ha de pertenecer al sistema. Una caja que se mantiene a cierta distancia sobre la super-ficie de la Tierra es un ejemplo de un sistema con energía potencial. Si se le soltara, nuestro planeta ejercería una fuerza sobre ella; sin la Tierra no habría energía potencial.

Se puede pensar en numerosos ejemplos de cada tipo de energía. Por ejemplo, un auto-móvil en marcha, una bala en movimiento y un volante que gira tienen la capacidad de reali-zar trabajo a causa de su movimiento. De forma similar, un objeto que ha sido levantado, un resorte comprimido y una liga estirada tienen el potencial para realizar trabajo siempre que se active una fuerza. En la figura 8.3 se presentan varios ejemplos de cada tipo de energía.

162 Capítulo 8 Trabajo, energía y potencia

m = 1200 kg; v = 80 km/h m = 20 g; v = 400 m/s

- /'CsEZSí-- i .

(a)

nFigura 8.3 (a) Energía cinética de un automóvil o de una bala en movimiento, (b) Energía potencial de una

pesa suspendida o de un arco tenso. (Fotografía de Hemera, Inc.)

Trabajo y energía cinéticaHemos definido la energía cinética como la capacidad de realizar trabajo como resultado del movimiento de un cuerpo. Para analizar la relación entre movimiento y trabajo, consideremos una fuerza F que actúa sobre el carrito de la figura 8.4. Supondremos que esta fuerza es la fuerza resultante sobre el carrito y despreciaremos toda fuerza de fricción. Digamos que el carrito y su carga tienen una masa combinada m y que tiene una velocidad inicial y final v0

y v , respectivamente. De acuerdo con la segunda ley de Newton del movimiento, habrá una aceleración resultado de la razón

a = — (8.4)m

Para proseguir con este ejemplo, recuerde que en el capítulo 5 vimos que

2 ax = vj — Vq

que puede expresarse en términos de a como sigue:

a =Vf ~ vq

2x

Si sustituimos esta expresión en la ecuación 8.4 queda

F vf ~ v o

m 2 x

F /R

Figura 8.4 El trabajo realizado por la fuerza resultante F produce un cambio en la energía cinética de la masa total m. (Fotografías de Hemera.)

8.4 Trabajo y energía cinética 163

Después de reordenar los factores y simplificar se obtiene

1 2 1 2Fx = -m v j - ~m v0

Si se presta atención, este resultado muestra que el miembro izquierdo de la ecuación representa el trabajo resultante hecho por una fuerza constante ejercida a lo largo del desplaza-miento x. Los términos del miembro derecho son los valores inicial y final de una cantidad im-portante (\mv2). Denominaremos a esta cantidad la energía cinética y escribiremos la fórmula

1 2K = —mv Energía cinética (8.5)

Con esta definición, ahora podemos afirmar que el trabajo resultante efectuado sobre una masa m por una fuerza constante F ejercida a lo largo de una distancia x es igual al cambio de energía cinética AK. Ésta es la definición de lo que designaremos teorema del trabajo-energía.

T eo rem a dei trab a jo -e n e rg ía : El trabajo de una fuerza externa resultante ejer­

cida sobre un cuerpo es igual al cambio de la energía cinética de ese cuerpo

Fx = —mvj — ~ mvo (8 *6 )

En muchas aplicaciones, la fuerza F de la ecuación (8 .6 ) no es constante, sino que varía sig-nificativamente a lo largo del tiempo. En tales casos, el teorema del trabajo-energía puede aplicarse para determinar la fuerza media, que podemos considerar como la fuerza constante que realizaría la misma cantidad de trabajo.

Un análisis cuidadoso del teorema del trabajo-energía demostrará que un incremento de la energía cinética (v, > v0) ocurre como resultado de un trabajo positivo, en tanto que una dismi-

nución en la energía cinética (v < v0) es el resultado de un trabajo negativo. En el caso especial en que el trabajo sea cero, la energía cinética es constante e igual al valor dado en la ecuación (8 .6 ). Cabe señalar, asimismo, que las unidades de la energía cinética han de ser iguales que las del trabajo. Como ejercicio, debe demostrar que 1 kg • m /s2 = 1 J.

! j # Calcule la energía cinética de un mazo de 4 kg en el instante en que su velocidad es de 24 m /s.

Solución: Con la aplicación directa de la ecuación (8.5) obtenemos

K = \m v~ = ^ (4 kg)(24 m /s )2

K = 1150 J

|P x a lc u le la energía cinética de un automóvil de 3 200 Ib que viaja a 60 mi/h ( 8 8 ft/s).

Plan: Como se describe el peso del auto en unidades del SUEU, debemos dividir entre lagravedad para hallar su masa. Después se calcula la energía cinética como siempre.

Solución:

jr 1 2 1 f W\ 2K = ~m v = — — |v 2 2 \ g j

1 f 3 200 lb \ , s= - ----------- t ( 8 8 ft/s ) 2 = 3.87 X 103 ft • Ib

2 V 32 ft/s2/

El uso de ft • Ib como unidad es anacrónico y se pide no emplearlo. Sin embargo, aún se le utiliza, si bien limitadamente, de modo que a veces es preciso realizar la conversión respectiva.

164 Capítulo 8 Trabajo, energía y potencia

mr / l í

r ¿Qué fuerza media F es necesaria para detener una bala de 16 g que viaja a 260 m /s y que penetra en un trozo de madera a una distancia de 1 2 cm?

Plan: La fuerza ejercida por el bloque sobre la bala no es de ningún modo constante, pero puede suponer una fuerza media de detención. Entonces, el trabajo necesario para detener la bala será igual al cambio de energía cinética (véase la figura 8.5).

Solución: Tras observar que la velocidad de la bala cambia de un valor inicial de v0 = 260 m /s a uno final igual a cero, la aplicación directa de la ecuación (8 .6 ) resulta en

Fx = - l~mvl

Al resolver explícitamente para F se obtiene

1 , Fx = - ~ m v 5

-mvF =

2x

Las cantidades dadas en SI son

m = 16 g = 0.016 kg; x = 1 2 cm = 0 .1 2 m; v0 = 260 m /s

Al sustituir valores se obtiene la fuerza media de detención

-m v l -(0 .016 kg)(260 m /s ) 2F =

2x

F = -4 5 1 0 N

2(0.12 m)

El signo menos indica que la fuerza era opuesta al desplazamiento. Cabe señalar que esta fuerza es aproximadamente 30 000 veces el peso de la bala.

K = — mv

Figura 8.5 El trabajo realizado para detener la bala es igual al cambio en la energía cinética de ésta.

Energía potencial

La energía que posee el sistema en virtud de sus posiciones o condiciones se llama energía potencial. Como la energía se expresa a sí misma en forma de trabajo, la energía potencial implica que debe haber un potencial para realizar trabajo. Supongamos que el martinete de la figura 8 .6 se utiliza para levantar un cuerpo cuyo peso es W hasta una altura h por arriba del pilote colocado sobre el suelo. Decimos que el sistema Tierra-cuerpo tiene una energía potencial gravitacional. Cuando se deje caer ese cuerpo, realizará un trabajo al golpear el pi-lote. Si es lo suficientemente pesado y cae desde una altura suficientemente grande, el trabajo realizado hará que el pilote recorra una distancia y.

La fuerza externa F necesaria para elevar el cuerpo debe ser por lo menos igual al peso W. Entonces, el trabajo realizado por el sistema está dado por

Trabajo = Wh = mgh

Esta cantidad de trabajo también puede ser efectuada por el cuerpo después de caer una dis-tancia h. Por tanto, el cuerpo tiene una energía potencial igual en magnitud al trabajo externo necesario para elevarlo. Esta energía no proviene del sistema Tierra-cuerpo, sino que resulta del trabajo realizado sobre el sistema por un agente externo. Sólo una fuerza externa, como F

en la figura 8 .6 o la fricción, puede añadir o extraer energía del sistema formado por el cuerpo y la Tierra.

El agua que está en

la rueda superior de

una noria tiene energía

potencial. A medida

que el agua cae, esta

energía se vuelve

energía cinética, la cual

se aprovecha para hacer

girar la rueda. La energía

potencial disminuye a

medida que la energía

cinética aumenta.

8.5 Energía potencial 165

(a) (b) (c)

Figura 8.6 (a) Para levantar una masa m hasta una altura h se requiere un trabajo igual a mgh. (b) Por tanto,

la energía potencial es mgh. (c) Cuando se deja caer la masa tiene la capacidad para realizar el trabajo equi-

valente a mgh sobre el pilote.

Con base en lo anterior, la energía potencial U se determina a partir de

U = Wh = mgh Energía potencial (8.7)

donde W y m son, respectivamente, el peso y la masa de un objeto situado a una distancia h arriba de un punto de referencia.

La energía potencial depende de la elección de un nivel de referencia específico. La ener-gía potencial gravitacional en el caso de un avión es muy diferente cuando se mide respecto a la cima de una montaña, un rascacielos o el nivel del mar. La capacidad de realizar trabajo es mucho mayor si el avión cae al nivel del mar. La energía potencial tiene un significado físico únicamente cuando se establece un nivel de referencia.

J P Una caja de herramientas de 1.2 kg se halla 2 m por encima de una mesa que está a la vez a 80 cm del piso. Determine la energía potencial respecto a la parte superior de la mesa y respecto al piso.

Plan: La altura por encima de la mesa y la altura arriba del piso son los dos puntos de referencia de la energía potencial. El producto del peso por la altura nos dará la energía potencial respecto a ellos.

Solución (a): La energía potencial respecto a la parte superior de la mesa es

U = mgh = (1.2 kg)(9.8 m /s2)(2 m)

= 23.5 J

Observe que kilogramos, metros y segundos son las únicas unidades de masa, longitud y tiempo que pueden ser congruentes con la definición de joule.

Solución (b): La altura total en el segundo caso es la suma de la altura de la parte superior de la mesa a partir del piso y la altura de la caja de herramientas por encima de la mesa.

U = mgh = mg{2 m + 0.80 m)

= (1.2 kg)(9.8 m /s2)(2.8 m)

= 32.9 J

166 Capítulo 8 Trabajo, energía y potencia

Una unidad comercial de aire acondicionado de 300 kg es elevada por medio de la cadena de un montacargas hasta que su energía potencial es de 26 kJ con relación al piso. ¿Cuál será la altura arriba de éste?

Plan: Resolveremos la ecuación (8.7) para h y luego sustituiremos los valores conocidos.

Solución: Tenemos que U = 26 kJ o 26 000 J y que m = 300 kg; por tanto

UU = mgh; h = ----

mg

2 6 0 0 0 Jh =

(300 kg)(9.8 m/s")— = 8.84 m

Las piedras de una

pirámide de Egipto

construida hace

2500 años tienen

hoy la misma energía

potencial que cuando se

construyó la pirámide.

Hemos señalado que el potencial para realizar trabajo tan sólo es función del peso mg y de la altura h sobre algún punto de referencia. La energía potencial en una posición específica sobre ese punto no depende de la trayectoria seguida para llegar a esa posición, puesto que debe realizarse el mismo trabajo contra la gravedad independientemente de la trayectoria. En el ejemplo 8.7, se necesitó un trabajo de 26 kJ para subir el acondicionador de aire a una altura vertical de 8.84 m. Si preferimos ejercer una fuerza menor subiéndolo por un plano inclinado, se requerirá una mayor distancia. En cualquier caso, el trabajo realizado contra la gravedad es de 26 kJ, ya que el resultado final es la colocación de una masa de 300 kg a una altura de 8.84 m.

Conservación de la energía

Con mucha frecuencia, a rapideces relativamente bajas tiene lugar un intercambio entre las energías potencial y cinética. Supongamos que se levanta una masa m hasta una altura h y luego se la deja caer (véase la figura 8.7). Una fuerza externa ha incrementado la energía del sistema, dándole una energía potencial U = mgh en el punto más alto. Ésta es la energía total disponible para el sistema y no puede modificarse a menos que se enfrente a una fuerza de resistencia externa. En la medida en que la masa cae, su energía potencial disminuye debido a que se reduce la altura sobre el piso. La pérdida de energía potencial reaparece en forma de

^ ~ ^ 0 U ~ mgh; K = 0

vf

Figura 8.7 Si no hay fricción, la energía total (U + K) es constante. Es la misma en la parte superior, a la mitad, en la parte inferior o en cualquier otro punto de la trayectoria.

8.6 Conservación de la energía 167

El mayor obstáculo

para los ciclistas que

compiten en carreras

es la fuerza de fricción

producida por la

resistencia del aire (70%)

en contacto con sus

propios cuerpos. Usar

ropa muy ajustada y

mantenerse agachados

en su vehículo puede

reducir tal resistencia.

El peso de la bicicleta,

el del ciclista y la

fricción ocasionada

por el camino son

otros obstáculos. El

diseño de la bicicleta

ayuda a incrementar la

aceleración. Aleaciones

de poco peso y

materiales mixtos, el

mejoramiento de los

cojinetes de las ruedas,

diversos lubricantes y los

diseños aerodinámicos

ayudan a reducir el peso

y la fricción producida

por la bicicleta.

energía cinética de movimiento. En ausencia de la resistencia del aire, la energía total (U + K) permanece igual. La energía potencial sigue transformándose en energía cinética hasta que la masa llega al piso (h = 0 ).

En esta posición final, la energía cinética es igual a la energía total, y la energía potencial es cero. Es importante señalar que la suma de U y K es la misma en cualquier punto durante la caída (véase la figura 8.7). Si denotamos la energía total de un sistema con E, entonces podemos escribir

Energía total = energía cinética + energía potencial = constante

E = K + U = constante

En el ejemplo de una pelota que cae, se dice que la energía mecánica se conserva. En la parte más alta la energía total es mgh, en tanto que en la parte más baja es \mvf , si despreciamos la resistencia del aire. Ahora estamos listos para enunciar el principio de conservación de la energía mecánica:

C onservación d e la en e rg ía m ecánica: En ausencia de resistencia del aire o

de otras fuerzas disipadoras, la suma de las energías potencial y cinética es una

constante, siempre que no se añada ninguna otra energía al sistem a.

Siempre que se aplique este principio resulta conveniente pensar en el principio y el fin del proceso de que se trate. En cualquiera de esos puntos, si hay velocidad v, existe una ener-gía cinética K\ si hay altura h, hay energía potencial U. Si asignamos los subíndices 0 y / a los puntos inicial y final, respectivamente, podemos escribir

Energía total en el punto inicial = energía total en el punto final

U0 + K0 = U f + K f

O, con base en las fórmulas apropiadas

mgh0 + -m v l = m8hf + ^ mvf (8.8)

Desde luego, esta ecuación se aplica estrictamente sólo en los casos donde no hay fuerzas de fricción y no se añade energía al sistema.

En el ejemplo donde se plantea el caso de un objeto que cae a partir del reposo desde una altura inicial h , la energía total inicial es igual a mgh0(v0 = 0 ), y la energía total final es \m vj (ih = 0). Por tanto

mgh01~mvf

Resolviendo esta relación para v obtenemos una ecuación útil para determinar la velocidad final a partir de las consideraciones generales sobre la energía de un cuerpo que cae desde el reposo sin que lo afecte la fricción

vf = V 2gh0

Cabe señalar que la masa no es importante al determinar la velocidad final, ya que aparece en todas las fórmulas de la energía. Una gran ventaja que ofrece este método es que la velocidad final se calcula a partir de los estados inicial y final de la energía. Si no hay fricción, la trayec-toria seguida no importa. Por ejemplo, resulta la misma velocidad final si el objeto sigue una trayectoria curva a partir de la misma altura inicial.

En la figura 8 .8 , una bola de demolición de 40 kg se impulsa lateralmente hasta que queda 1.6 m por arriba de su posición más baja. Despreciando la fricción, ¿cuál será su velocidad cuando regrese a su punto más bajo?

Plan: La conservación de la energía total requiere que la suma U + K sea la misma en los puntos inicial y final. La velocidad puede determinarse reconociendo que la energía cinéti-ca final ha de equivaler a la energía potencial inicial si se conserva la energía.

168 Capítulo 8 Trabajo, energía y potencia

Figura 8.8 La velocidad de una masa suspendida al pasar por el punto más bajo de su trayectoria puede

determinarse a partir de las consideraciones generales sobre la energía.

Solución: Si se aplica la ecuación (8 .8 ) se obtiene

mgh0 + 0 = 0 + ~m vj o mgh0 = —mvj2 2

Al resolver para la velocidad final y sustituir los valores conocidos queda

v = \ / 2gh0 = \ /2 (9 .8 m /s2)(1.6 m)

Vf = 5.60 m/s

Como un ejemplo adicional, demuestre que la energía total E al principio y al final del proceso es de 627 J.

Energía y fuerzas de fricción

Es útil considerar la conservación de la energía mecánica como un proceso de contabilidad, en el que se lleva un recuento de lo que pasa a la energía de un sistema desde el principio hasta el fin. Suponga que retira $1000 del banco y luego paga $400 por un pasaje de avión a Nueva York. Le quedarían $600 para gastar en diversiones. Los $400 ya se gastaron y no pueden re-embolsarse, pero deben tenerse en cuenta. Ahora considere un trineo en la cima de una colina y suponga una energía total de 1000 J. Si 400 J de energía se pierden a causa de las fuerzas de fricción, el trineo llegaría al fondo con una energía de 600 J para usarlos en velocidad. No es posible recobrar los 400 J perdidos en trabajo contra las fuerzas de fricción, así que la energía total E es menor que la energía total inicial E0. Además, aún hay que considerar el calor y otras pérdidas disipadoras en el proceso. Podríamos escribir la afirmación siguiente:

Energía total inicial = energía total final + pérdida debida a la fricción

UQ + K ^= Uf + K + Jtrabajo contra la fricción[ (8.9)

El trabajo realizado por las fuerzas de fricción siempre es negativo, de modo que hemos em-pleado las rayas verticales de valor absoluto para indicar que estamos considerando el valor positivo de la pérdida de energía.

Al considerar la fricción ahora podemos escribir un postulado más general de la conser-

vación de la energía:

C onservación d e la en e rg ía : La energía total de un sistema es siempre cons­

tante, aun cuando se trasforme la energía de una forma a otra dentro del

sistem a.

8.7 Energía y fuerzas de fricción 169

En las aplicaciones del mundo real no es posible dejar de considerar las fuerzas externas; por tanto, es posible obtener un postulado aún más general del principio de conservación de la energía reescribiendo la ecuación (8.9) en términos de los valores inicial y final de la altura y la velocidad:

mgh0 + K n v l = mghf + ^m v} + \fkx\ (8 .10)

Se ha sustituido el término que denota la pérdida de energía por el valor absoluto del trabajo realizado por una fuerza cinética de fricción ejercida a lo largo de la distancia x.

Naturalmente, si un objeto parte del reposo (v0 = 0) a partir de una altura hQ sobre su posición final, la ecuación (8 .1 0 ) se simplifica a

mgh0 = ~m vj + \fkx\ (8.11)

Al resolver problemas, es útil establecer la suma de las energías potencial y cinética en algún punto inicial. Luego se determina la energía total en el punto final y se suma el valor absoluto de cualquier pérdida de energía. La conservación de la energía precisa que estas dos ecuacio-nes sean equivalentes. Con base en tal postulado, se puede determinar entonces el parámetro incógnito.

f e 1 Un trineo de 20 kg descansa en la cima de una pendiente de 80 m de longitud y 30° de inclinación, como se observa en la figura 8.9. Si ¡xt = 0.2, ¿cuál es la velocidad al pie del plano inclinado?

Plan: Al principio la energía total £ es la energía potencial U = mghQ. Una parte se pier-de al realizar trabajo contra la fricción f kx, lo que deja el resto para la energía cinética X = \m v2. Se traza un diagrama de cuerpo libre como el de la figura 8.9, el cual se usa para calcular la magnitud de la fuerza de fricción. Por último, después de aplicar la ley de la conservación de la energía es posible determinar la velocidad al pie del plano inclinado.

Solución: Antes de hacer algún cálculo, escribamos la ecuación de la conservación en términos generales. La energía total en la cima ha de ser igual a la energía total en la parte inferior menos la pérdida por realizar trabajo contra la fricción.

mgh0 + ^ m v 5 = mghf + | mv} + | f kx\

(a) (b)

Figura 8.9 Una parte de la energía potencial inicial que tenía el trineo en la cima del plano inclinado se pierde debido al trabajo que se realiza para contrarrestar la fricción cuando el trineo desciende.

170 Capítulo 8 Trabajo, energía y potencia

Tras reconocer que v0 = 0 y h = 0 podemos simplificar a

mgh0 = - mvj + \fkx\

Ahora se advierte qué es necesario para determinar la velocidad final. Aun hay que esta-blecer la altura inicial y la fuerza de fricción. A partir del triángulo trazado en la figura 8.9 es posible hallar la altura h como sigue:

h0 = (80 m) sen 30° = 40 m

La fuerza de fricción depende del valor de la fuerza normal. Un estudio del diagrama de cuerpo libre revela que las fuerzas se hallan en equilibro perpendicular con el plano incli-nado, así que la fuerza normal es igual a la componente y la altura; por tanto

71 = Wy = mg eos 30°

= (20 kg)(9.8 m /s2) eos 30° = 170 N

La fuerza de fricción es el producto de ¡xk por TI, así que

f k = ¡xkn = (0.2)(170 N) = 34.0 N

Con esta información, volvemos a la ecuación de conservación

mgh0 = ~ m vj + \fkx\

(20 kg)(9.8 m /s2)(40 m) = ^(20 kg)v^ + |(34 N)(80 m)|

7840 J = ^-(20 kg)v2 + 2720 J

De los 7 840 J disponibles para el sistema, 2720 J se perdieron en trabajo para contrarrestar la fricción y el resto fue energía cinética. Ahora podemos determinar la velocidad final

1 9- ( 2 0 k g )vj = 7 840 J - 2720 J

(10kg)vj = 5 120 J

/5 120 J vf = A / ---------= 2 2 .6 m /s

V 10 kg

Como ejercicio adicional, usted debe demostrar que la velocidad final sería de 28.0 m /s si no hubiera fuerzas de fricción.

C o n se rv a c ió n d e la e n e rg ía

1. Lea el problema, luego trace y marque un diagrama sencillo, donde identificará cada objeto cuya altura o velocidad cambie.

2. Determine un punto de referencia para medir la ener-gía potencial gravitacional; por ejemplo, la base de un

1

plano inclinado, el piso de una habitación o el punto más bajo en la trayectoria de una partícula.

3. Para cada objeto, anote las alturas y las velocidades iniciales y finales: hQ, v0, h y v . Cada una de las alturas se mide a partir de la posición de referencia elegida y sólo se requieren las magnitudes para las velocidades.

8.8 Potencia 171

4. La energía total del sistema en cualquier instante es fuerza de fricción/por el desplazamiento x. Recuerdela suma de las energías cinética y potencial. Por con- que / =

siguiente, la energía total inicial EQ y la energía total ¿ Escr¿ba la ecuación de la conservación de la energía yfinal Ef son despeje la incógnita

E0 = mgh0 + -m v l Ef = mghf + -m v j mgh0 + — mvl = mghf + + ¡pérdidas de energía]

5. Determine si hay fuerzas de fricción. Si la fricción o la resistencia del aire están presentes, entonces la pérdi-da de energía debe darse como dato o calcularse. Con frecuencia, la pérdida de energía al realizar un traba-jo contra la fricción es simplemente el producto de la

7. Recuerde utilizar el valor absoluto de la pérdida de energía cuando aplique la relación anterior. El trabajo real contra la fricción siempre es negativo, pero en este caso se está tomando en cuenta como una pérdida.

Potencia

En nuestra definición de trabajo, el tiempo no participó en forma alguna. La misma cantidad de trabajo se realiza si la tarea dura una hora o un año. Si se le da tiempo suficiente, aun el motor menos potente llega a levantar una carga enorme. Sin embargo, si deseamos realizar una tarea con eficiencia, la razón de cambio con la que se efectúa el trabajo se vuelve una cantidad importante en ingeniería.

Potencia es la razón de cambio con la que se realiza el trabajo.

La unidad del SI para la potencia es el joule por segundo, y se denomina watt (W). Por tanto, un foco de 80 W consume energía a razón de 80 J/s.

En unidades del SUEU, se utiliza la libra-pie por segundo (ft • Ib/s) y no se da ningún nombre en particular a esta unidad.

El watt y la libra-pie por segundo tienen el inconveniente de ser unidades demasiado pe-queñas para la mayor parte de los propósitos industriales. Por ello, se usan el kilowatt (kW) y el caballo de fuerza (hp), que se definen como:

En Estados Unidos, el watt y el kilowatt se usan casi exclusivamente en relación con la energía eléctrica; el caballo de fuerza se reserva para la energía mecánica. Esta práctica es simplemente una convención y de ningún modo es obligatoria. Resulta perfectamente correc-to hablar de un foco de 0.08 hp o mostrar muy ufanos un motor de 238 kW. Los factores de conversión son:

1 hp = 746 W = 0.746 kW

1 kW = 1.34 hp

Puesto que el trabajo se realiza de manera continua, es útil disponer de una expresión para la potencia que incluya la velocidad. Así,

P = ------—tiempo

trabajo(8.12)

1 W = 1 J /s

1 kW = 1000 W

1 hp = 550 ft ■ lb /s

P = ------ — = —t t

trabajo Fx(8.13)

de dondex

P = F ~ = Fvt (8.14)

donde v es la velocidad del cuerpo sobre la que se aplica la fuerza paralela F.

172 Capítulo 8 Trabajo, energía y potencia

Ejemplo 8.10m ¡r r.

La carga de un ascensor tiene una masa total de 2800 kg y se eleva a una altura de 200 m en un lapso de 45 s. Exprese la potencia media tanto en unidades del SI como del SUEU.

Solución: Esta es una aplicación directa de la ecuación (8.13), donde la distancia x se convierte en la altura h sobre el suelo.

P =Fx mgh

P =(2800 kg)(9.8 m /s2)(200 m)

45 s= 1.22 X 105 W

P = 122 kW

Como 1 hp = 746 W, los caballos de fuerza desarrollados son

1 hpP = (1.22 X 10= W)

746 W= 164 hp

’' Se subirá un piano de 280 kg a rapidez constante hasta un departamento 10 m arriba del piso. La grúa que carga el piano gasta una potencia media de 600 W. ¿Cuánto tiempo se requiere para realizar el trabajo?

Plan: Se escribe la ecuación de la potencia y luego se despeja el tiempo.

Solución: Puesto que h = 10 m, m = 280 kg y P = 600 W se tiene que

P =mgh

t =

mgh------ o i = ------

t P

(280 kg)(9.8 m /s2)(10 m)

600 W

t = 45.7 s

Las empresas de suministro de energía cobran a sus clientes por kilowatt-hora en lo que se denomina recibo de luz. Como ejercicio, debe analizar las unidades con objeto de demos-trar que el producto de una unidad de potencia por el tiempo es en realidad una unidad de trabajo o energía.

ResumenEn este capítulo se han explicado los conceptos de trabajo, energía y potencia. A continuación se resumen los aspectos esenciales que es necesario recordar:

• El trabajo realizado por una fuerza F que actúa a lo largo de una distancia x se calcula a partir de las ecuaciones siguientes (use la figura 8.1 como referencia):

Trabajo = Fxx Trabajo = (F eos d)x

Unidad del SI: joule (J) Unidad del SUEU: libra-pie: (ft ■ Ib)

• La energía cinética K es la capacidad para realizar trabajo

como resultado del movimiento. Tiene las mismas unida-

des que el trabajo y se determina a partir de

l 2 l ' W \ -

K = ~ m v K = - ~ v22 2 ' K g J

mgh0 + ~mv0 = mghf + -m vj + f kx

Potencia es la razón de cambio con la que se realiza un

trabajo:

La energía potencial gravitacional es la que resulta de

la posición de un objeto respecto a la Tierra. La energía

potencial U tiene las mismas unidades que el trabajo y se

calcula a partir de

trabajo FxP = Fv

t t

U = Wh U = mgh

Unidad del SI: watt (W) Unidad del SUEU: ft • lb/s

Otras unidades: 1 kW = 10;' W 1 hp = 550 ft • Ib/s

Conceptos clave

caballo de fuerza 171

conservación de la energía

mecánica 167

conservación de la energía 168

desplazamiento 158

energía cinética 161

energía potencial 161

energía 158

joule 159 kilo watt 171

pie-libra 159

potencia 158

teorema del trabajo-energía

trabajo resultante 159

trabajo 158

watt 171

163

Preguntas de repaso

8.1. Señale con claridad la diferencia entre el concepto

de trabajo que tiene un físico y el de una persona

común.8.2. Dos equipos compiten tirando de los extremos de una

cuerda. ¿Realizan algún trabajo? ¿En qué instante?

8.3. Siempre que se realiza un trabajo neto sobre un

cuerpo, ¿éste se somete necesariamente a una acele-

ración? Explique.8.4. Una clavadista está de pie en un trampolín a 10 ft

de altura sobre el agua. ¿Qué tipo de energía resul-

ta de esta posición? ¿Qué pasa con esa energía

cuando ella se zambulle en el agua? ¿Se realiza al-

gún trabajo? En caso afirmativo, ¿quién efectúa el

trabajo y sobre qué lo realiza?

8.5. Compare las energías potenciales de dos cuerpos A

y B si (a) A tiene el doble de altura que B pero am-

8.6 .

8.7.

8 .8 .

bos tienen la misma masa; (b) B tiene el doble de

peso que A pero ambos tienen la misma altura, y (c)

A tiene el doble de peso que B pero B tiene el doble

de altura que A.

Compare las energías cinéticas de dos cuerpos A y B si (a) A tiene el doble de velocidad que B, (b) A

tiene la mitad de masa que B y (c) A tiene el doble

de masa y la mitad de la velocidad que B.

Al apilar tablas de 8 pies, usted levanta una de ellas

por el centro y la coloca encima de la pila. Su ayu-

dante levanta un extremo de su tabla, lo apoya sobre

la pila y después levanta el otro extremo. Compare

el trabajo que ambos han realizado.

A la luz de lo que ha aprendido sobre trabajo y ener-

gía, describa el procedimiento más eficiente para

tocar la campana en la feria en el juego de golpear

173

un muelle con un mazo. ¿Qué precauciones deben tomarse?

8.9. La montaña rusa de una feria se anuncia con “una altura máxima de 100 ft y una rapidez máxima de 60 mi/h”. ¿Cree usted que digan la verdad en ese anuncio? Explique su respuesta.

ProblemasSección 8.1 Trabajo

8.1. ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza de 20N que actúa a lo largo de una distancia paralela de 8 m? ¿Qué fuerza realizará el mismo trabajo en una distancia de 4 m? Resp. 160 J, 40 N

8.2. Un trabajador levanta un peso de 40 Ib hasta una al-tura de 10 ft. ¿A cuántos metros se puede levantar un bloque de 10 kg con la misma cantidad de trabajo?

8.3. Un remolcador ejerce una fuerza constante de 4000 N sobre un barco, desplazándolo una distancia de15 m. ¿Cuál es el trabajo realizado? Resp. 60 kJ

8.4. Un martillo de 5 kg es levantado a una altura de 3 m. ¿Cuál es el trabajo mínimo requerido para hacerlo?

8.5. Un empuje de 120 N se aplica a lo largo del asa de una cortadora de césped. Ese empuje produce un desplazamiento horizontal de 14 m. Si el asa forma un ángulo de 30° con el suelo, ¿qué trabajo fue rea-lizado por la fuerza de 120 N? Resp. 1 460 J

8.6. El baúl de la figura 8.10 es arrastrado una distancia horizontal de 24 m mediante una cuerda que forma un ángulo 9 con el piso. Si la tensión de la cuerda es de 80 N, ¿cuál es el trabajo realizado en cada uno de los ángulos siguientes: 0o, 30°, 60°, 90o?

8.7. Una fuerza horizontal empuja un trineo de lOkghasta una distancia de 40 m en un sendero. Si el coeficiente de fricción de deslizamiento es 0.2, ¿qué trabajo ha realizado la fuerza de fricción? Resp. — 784 J

8 .8. Un trineo es arrastrado una distancia de 12.0 m por medio de una cuerda, con una tensión constante de 140 N. La tarea requiere 1 200 J de trabajo. ¿Qué ángulo forma la cuerda con el suelo?

Sección 8.2 Trabajo resultante

8.9. Una fuerza media de 40 N comprime un resorte has-ta una distancia de 6 crn. ¿Cuál es el trabajo reali-

8.10. Un hombre ha cortado el césped de su jardín durante varios años con una cortadora de 4 hp. Un día compra una cortadora de 6 hp. Después de usar algún tiempo la nueva cortadora, tiene la impresión de que ahora cuenta con el doble de potencia. ¿Por qué cree usted que está convencido de ese aumento de potencia?

zado por la fuerza de 40 N? ¿Qué trabajo realiza el resorte? ¿Cuál es el trabajo resultante?

Resp. 2.40 J, -2 .4 0 J, 0 J

8.10. Una fuerza horizontal de 20 N arrastra un pequeño trineo 42 metros sobre el hielo a velocidad rápida. Halle el trabajo realizado por las fuerzas de tracción y de fricción. ¿Cuál es la fuerza resultante?

8.11. Un bloque de 10 kg es arrastrado 20 m por una fuer-za paralela de 26 N. Si /xk = 0.2, ¿cuál es el trabajo resultante y qué aceleración se produce?

Resp. 128 J, 0.640 m /s2

8.12. Una cuerda que forma un ángulo de 35° con la ho-rizontal arrastra una caja de herramientas de 10 kg sobre una distancia horizontal de 20 m. La tensión en la cuerda es de 60 N y la fuerza de fricción cons-tante es de 30 N. ¿Qué trabajo realizan la cuerda y la fricción? ¿Cuál es el trabajo resultante?

8.13. En el ejemplo descrito en el problema 8.12, ¿cuál esel coeficiente de fricción entre la caja de herramien-tas y el piso? Resp. 0.472

*8.14. Un trineo de 40 kg es arrastrado horizontalmente una distancia de 500 m ( /xt = 0.2). Si el trabajo resultante es de 50 kJ, ¿cuál fue la fuerza de tracción paralela?

*8.15. Suponga que m = 8 kg en la figura 8.11 y ¡xk = 0. ¿Qué trabajo mínimo tendrá que realizar la fuerza P para llegar a la parte más alta del plano inclinado? ¿Qué trabajo se requiere para levantar verticalmente el bloque de 8 kg hasta la misma altura?

Resp. 941 J, 941 J

*8.16. ¿Cuál es el trabajo mínimo que debe realizar la fuer-za P para mover el bloque de 8 kg hasta la parte más

Figura 8.11

174 Capítulo 8 Resumen y repaso

alta del plano inclinado si fik = 0.4? Compare este resultado con el trabajo necesario para levantar el bloque verticalmente hasta la misma altura.

*8.17. ¿Cuál es el trabajo resultante cuando el bloque de 8 kg se desliza desde la parte más alta hasta la más baja del plano inclinado de la figura 8.11? Suponga que ¡ik = 0.4. Resp. 492 J

Sección 8.4 Trabajo y energía cinética

8.18. ¿Cuál es la energía cinética de una bala de 6 g en el instante en que su rapidez es de 190 m/s? ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil de 1200 kg que viaja a 80 km/h?

8.19. ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil de 2 400 Ib cuando circula a una rapidez de 55 mi/h? ¿Cuál es la energía cinética de una pelota de 9 Ib cuando su ra-pidez es de 40 ft/s? Resp. 244 000 ft Ib; 225 ft Ib

8.20. ¿Cuál es el cambio en la energía cinética cuando una pelota de 50 g golpea el pavimento a una velo-cidad de 16 m/s y rebota a la velocidad de 10 m/s?

8.21. Una carreta de 400 kg entra sin control en un campode maíz a una velocidad de 12 m/s y finalmente se detiene. ¿Cuál fue la magnitud del trabajo realizado por esa carreta? Resp. —28.8 kJ

8.22. Un automóvil de 2400 Ib aumenta su rapidez de 30 mi/h a 60 mi/h. ¿Qué trabajo resultante se requirió para lograrlo? ¿Cuál es el trabajo equivalente en joules?

8.23. Un martillo de 0.6 kg se mueve a 30 m/s justo an-tes de golpear la cabeza de una alcayata. Calcule la energía cinética inicial. ¿Qué trabajo realizó la cabeza del martillo? Resp. 270 J, —270 J

8.24. Un martillo de 12 Ib que se mueve a 80 ft/s golpea la cabeza de un clavo y lo hunde en la pared hasta una profundidad de 4 in. ¿Cuál fue la fuerza media de detención?

8.25. ¿Qué fuerza media se necesita para incrementar lavelocidad de un objeto de 2 kg de 5 m/s a 12 m/s en una distancia de 8 m? . Resp. 14.9 N

*8.26. Compruebe la respuesta del problema 8.25 aplican-do la segunda ley de Newton del movimiento.

*8.27. Un proyectil de 20 g choca contra un banco de fan-go (véase la figura 8.12) y penetra 6 cm antes de

80 m/s 6 cm

detenerse. Calcule la fuerza de detención F si la ve-locidad de entrada es de 80 m/s. Resp. — 1 070 N

*8.28. Un automóvil de 1500 kg transita a 60 km/h por una carretera nivelada. ¿Qué trabajo se requiere para frenarlo? Si ¡ik = 0.7, ¿cuál es la distancia de frenado?

Sección 8.5 Energía potencial

8.29. Un bloque de 2 kg reposa sobre una mesa a 80 cmdel piso. Calcule la energía potencial del bloque en relación con: (a) el piso, (b) el asiento de una silla que está a 40 cm del piso y (c) el techo, a 3 m del piso. Resp. 15.7 J, 7.84 J, —43.1 J

8.30. Un ladrillo de 1.2 kg está suspendido a 2 m de distan-cia arriba de un pozo de inspección y luego se le deja caer. El fondo del pozo está 3 m por debajo del nivel de la calle. Con respecto a la calle, ¿cuál es la ener-gía potencial del ladrillo en cada uno de esos lugares? ¿Cuál es el cambio en términos de energía potencial?

8.31. En cierto instante, un proyectil de mortero desarro-lla una velocidad de 60 m/s. Si su energía potencial en ese punto es igual a la mitad de su energía cinéti-ca, ¿cuál es su altura sobre el nivel del suelo?

Resp. 91.8 m

*8.32. Un trineo de 20 kg es empujado en una pendiente de 34° hasta una altura vertical de 140 m. Una fuerza de fricción constante de 50 N actúa durante toda esa distancia. ¿Qué trabajo externo se requirió? ¿Cuál fue el cambio en la energía potencial?

*8.33. Se requiere una fuerza media de 600 N para com-primir un resorte una distancia de 4 cm. ¿Cuál es el valor del trabajo realizado por el resorte? ¿Cuál es el cambio en la energía potencial del resorte com-primido? Resp. —24 J, +24 J

Sección 8.6 Conservación de la energía

8.34. Una pesa de 18 kg se levanta hasta una altura de 12 m y después se suelta en caída libre. ¿Cuáles son la energía potencial, la energía cinética y la energía total en: (a) el punto más alto, (b) 3 m sobre el nivel del suelo y (c) en el suelo?

8.35. Un martillo de 4 kg se levanta a una altura de 10 m y se deja caer. ¿Cuáles son las energías potencial y cinética del martillo cuando ha caído a un punto ubicado a 4 m del nivel del suelo?

Resp.157 J, 235 J

8.36. ¿Cuál será la velocidad del martillo del problema 8.35 justo antes de golpear el suelo? ¿Cuál es la ve-locidad en el punto ubicado a 4 m?

8.37. ¿Qué velocidad inicial debe impartirse a una masade 5 kg para elevarla a una altura de 10 m? ¿Cuál es la energía total en cualquiera de los puntos de su trayectoria? Resp. 14 m/s, 490 J

Capítulo 8 Resumen y repaso 175

8.38.

8.39.

Un péndulo simple de 1 m de longitud tiene en su extremo una pesa de 8 kg. ¿Cuánto trabajo se re-quiere para mover el péndulo desde su punto más bajo hasta una posición horizontal? A partir de con-sideraciones de energía, halle la velocidad de la pesa cuando pasa por el punto más bajo en su oscilación. En la figura 8.13 se ilustra un péndulo balístico. Una pelota de 40 g es golpeada por una masa suspendida de 500 g. Después del impacto, las dos masas se elevan una distancia vertical de 45 mm. Calcule la velocidad de las masas combinadas inmediatamente después del impacto. Resp. 93.9 cm/s

*8.40. Un trineo de 100 Ib se desliza a partir del reposo en la parte más alta de un plano inclinado a 37°. La altura original es de 80 ft. En ausencia de fricción, ¿cuál es la velocidad del trineo cuando llega al pun-to más bajo del plano inclinado?

*8.41. En la figura 8.14, un carrito de 8 kg tiene una ve-locidad inicial de 7 m/s en su descenso. Desprecie la fricción y calcule la velocidad cuando el bloque llega al punto i?. Resp. 21.0 m/s

*8.42.

*8.43.

¿Cuál es la velocidad del bloque de 8 kg en el punto C en el problema 8.41?Una muchacha que pesa 80 Ib está sentada en un columpio cuyo peso es insignificante. Si se le im-parte una velocidad inicial de 20 ft/s, ¿a qué altura se elevará? Resp. 6.25 ft

Sección 8.7 Energía y fuerzas de fricción

8.44. Un trineo de 60 kg se desliza desde el reposo hasta el fondo de una pendiente de 30 m de longitud y 25° de inclinación. Una fuerza de fricción de 100 N actúa en toda esa distancia. ¿Cuál es la energía to-tal en la cumbre y al pie de la pendiente? ¿Cuál es la velocidad que alcanza el trineo en el punto más bajo?

8.45. Un bloque de 500 g se suelta desde la parte más alta de un plano inclinado a 30° y se desliza 160 cm has-ta llegar al punto más bajo. Una fuerza de fricción constante de 0.9 N actúa durante toda esa distancia. ¿Cuál es la energía total en el punto más alto? ¿Qué trabajo ha realizado la fricción? ¿Cuál es la veloci-dad en el punto más bajo?

Resp. 3.92 J, — 1.44 J, 3.15 m/s

8.46. ¿Qué velocidad inicial debe impartirse al bloque de 500 g del problema 8.45 para que apenas logre lle-gar al punto más alto de la misma pendiente?

8.47. Un carro de 64 Ib empieza a subir por un plano in-clinado a 37° con una velocidad inicial de 60 ft/s. Si queda inmóvil después de haberse desplazado una distancia de 70 ft, ¿cuánta energía se perdió a causa de la fricción? Resp. 906 ft-Ib

*8.48. Una pelota de 0.4 kg cae una distancia vertical de 40 m y rebota a una altura de 16 m. ¿Cuánta energía se perdió en el choque contra el suelo?

*8.49. A un trineo de 4 kg se le imparte una velocidad ini-cial de 10 m/s en la cumbre de una pendiente de 34°. Si [ik = 0.2, ¿qué distancia habrá recorrido el trineo cuando su velocidad alcance los 30 m/s?

Resp. 104 m

*8.50. Suponga que la masa del carrito de la figura 8.14 es de 6 kg y que se pierden 300 J de energía en el tra-bajo realizado para contrarrestar la fricción. ¿Cuál es la velocidad cuando la masa llega al punto C?

*8.51. El conductor de un autobús aplica los frenos para evitar un accidente. Al hacerlo, los neumáticos de-jan una marca de 80 ft de largo sobre el suelo. Si fAk = 0.7, ¿con qué rapidez circulaba el vehículo an-tes que el conductor frenara? Resp. 59.9 ft/s

Sección 8.8 Potencia

8.52. La correa transportadora de una estación automática levanta 500 toneladas de mineral a una altura de 90 ft en 1 h. ¿Qué potencia media se requiere para esto, en caballos de fuerza?

8.53. Una masa de 40 kg se eleva a una distancia de 20 m en un lapso de 3 s. ¿Qué potencia media se utiliza?

Resp. 2.61 kW

8.54. Un ascensor de 300 kg es elevado una distancia ver-tical de 100 m en 2 min. ¿Cuál es la potencia em-pleada?

176 Capítulo 8 Resumen y repaso

8.55.

8.56.

8.57.

Un motor de 90 kW se utiliza para elevar una carga de 1 200 kg. ¿Cuál es la velocidad media durante el ascenso? Resp. 7.65 m/s

¿A qué altura puede un motor de 400 W subir una masa de 100 kg en 3 s?Un estudiante de 800 N sube corriendo un tramo de escaleras y asciende 6 m en 8 s. ¿Cuál es la potencia media que ha desarrollado? Resp. 600 W

Problemas adicionales8.59. Un trabajador saca de un pozo un cubo de 20 kg a

rapidez constante y realiza un trabajo de 8 kJ. ¿Cuál es la profundidad del pozo? Resp. 40.8 m

8.60. Una fuerza horizontal de 200 N empuja horizontal-mente una caja de 800 N una distancia de 6 m a velocidad constante. ¿Qué trabajo ha realizado esa fuerza de 200 N? ¿Cuál es el trabajo resultante?

*8.61 . Una masa de 10 kg es izada a una altura de 20 m y luego se suelta. ¿Cuál es la energía total del sistema? ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando se encuentra a5m del suelo? Resp. 1960 J, 17.1 m/s

8.62. Una caja se levanta a rapidez constante de 5 m/s por un motor cuya potencia de salida es de 4 kW. ¿Cuál es la masa de la caja?

8.63. Una montaña rusa alcanza una altura máxima de 100 ft. ¿Cuál es la rapidez máxima en millas por hora cuando llega a su punto más bajo?

Resp. 54.4 mi/h8.64. Una fuerza de 20 N arrastra un bloque de 8 kg hasta

una distancia horizontal de 40 m mediante una cuer-da que forma un ángulo de 37° con la horizontal. Suponga que ¡j, = 0.2 y que el tiempo requerido es de 1 min. ¿Qué trabajo resultante se ha realizado?

8.65. ¿Cuál es la velocidad del bloque del problema 8.64al final del recorrido? ¿Qué potencia resultante se requirió? Resp. 5.20 m/s, 1.80 W

8.66. Un esquiador de 70 kg desciende por una pendiente de 30 m que forma un ángulo de 28° con la horizon-tal. Suponga que ¡xk = 0.2. ¿Cuál es la velocidad del esquiador cuando llega al pie de la pendiente?

*8.67. Una pulga de 0.3 mg puede saltar a una altura de 3 cm, aproximadamente. ¿Cuál debe ser su rapidez cuando empieza el salto? ¿Es necesario conocer la masa de la pulga? Resp. 76.7 cm/s; no

*8.68. Una montaña rusa llega hasta su punto más bajo y apenas tiene fuerza para alcanzar la siguiente cues-ta, 15 m más arriba. ¿Cuál es la rapidez mínima en el punto más bajo de su recorrido?

8.69

*8.70.

El martillo de un martinete para hincar pilotes pesa 800 Ib y cae una distancia de 16 ft antes de golpear el pilote. El impacto hinca este último 6 in dentro del suelo. ¿Cuál fue la fuerza media para hincar el pilote? Resp. -25 600 Ib

Suponga que el agua en la parte superior de la cas-cada mostrada en la figura 8.15 se lleva a una tur-bina ubicada en la base de la caída, a una distancia vertical de 94 m (308 ft). Digamos que 20% de la energía disponible se pierde debido a la fricción y a otras fuerzas de resistencia. Si entran en la turbina 3 000 kg de agua por minuto, ¿cuál es su potencia de salida?

Figura 8.15 Lower Falls en el parque nacional de Yellowstone (Fo-

tografía de Paul E. Tippens.)

Capítulo 8 Resumen y repaso 177

Preguntas para Sa reflexión crítica*8.71 . Una tabla colocada como rampa se utiliza para des-

cargar cajas de clavos de la parte posterior de un camión. La altura de la plataforma del camión es 60 cm y la tabla tiene 1.2 m de longitud. Suponga que fi = 0.4 y a las cajas se les imparte un empujón inicial para que empiecen a descender. ¿Cuál es su rapidez cuando llegan al suelo? ¿Qué rapidez inicial debería tener al llegar al suelo para subir de nuevo deslizándose hasta la plataforma del camión? Si no existiera fricción, ¿estas dos preguntas tendrían la misma respuesta? Resp. 1.90 m/s, 4.46 m/s, sí

*8.72. Una caja fuerte de 96 Ib es empujada para que suba una distancia de 12 ft por un plano inclinado a 30° con fricción insignificante. ¿Cuál es el incremento de la energía potencial? ¿Se produciría el mismo cambio de energía potencial si una fuerza de fric-ción de 10 Ib se opusiera al movimiento ascendente por el plano? ¿Por qué? ¿Se requeriría el mismo tra-bajo?

*8.73. Una pelota de 2 kg está suspendida de un cable de 3 m unido a la pared por medio de una alcayata. Se tira de la pelota, de modo que el cable forma un ángulo de 70° con la pared, y luego la soltamos. Si durante la colisión con la pared se pierden 10 J de energía, ¿cuál es el ángulo máximo entre el cable y la pared después del primer rebote? Resp. 59.2°

*8.74. Una pelota de 3 kg se deja caer desde una altura de 12 m y alcanza una velocidad de 10 m/s justo antes de llegar al suelo. ¿Cuál es la fuerza media retardataria ocasionada por la presencia del aire? Si

la pelota rebota sobre el suelo con una rapidez de 8 m/s, ¿cuánta energía habrá perdido en el impacto? ¿A qué altura rebotará la pelota si la resistencia pro-medio del aire es la misma que en el caso anterior?

*8.75. Considere una montaña rusa donde la primera cues-ta tiene una altura de 34 m. Si en la montaña rusa se pierde sólo 8% de la energía entre las dos primeras cuestas, ¿cuál es la máxima altura posible para la segunda cuesta? Resp. 31.3 m

*8.76. Un bloque de 4 kg se comprime contra un resorte en la parte inferior del plano inclinado que se muestra en la figura 8.16. Se requirió una fuerza de 4000 N para comprimir el resorte hasta una distancia de 6 cm. Si el resorte se suelta y el coeficiente de fricción es de 0.4, ¿hasta qué altura del plano inclinado se moverá el bloque?

178 Capítulo 8 Resumen y repaso