cap.8a formulazione dell elemento link (tirante/puntone)Β Β· rappresentando lo spostamento di ogni...
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UniversitΓ degli Studi di Cagliari - FacoltΓ di Ingegneria e Architettura
Metodi agli Elementi Finiti - (AA 2019/β20)
A cura di Filippo Bertolino: novembre 2019 Pag 1
CAP.8a β Formulazione dellβelemento LINK (tirante/puntone)
1) Lβelemento LINK a 2 nodi Per dare alla formulazione precedente una giustificazione fisica e controllare la sua validitΓ , consideriamo
una trave tipo tirante/puntone con due nodi terminali, sezione trasversale π΄ costante e modulo elastico πΈ. Per
semplicitΓ consideriamo che lβasta sia orientata come lβasse orizzontale π₯. Lo spostamento π’ in direzione π₯ Γ¨
lβunica componente di spostamento che deve essere presa in considerazione. Ipotizziamo che π’ vari
linearmente con π₯:
{π } = π’(π₯) = π0 + π1 β π₯ = {1 π₯} β {π0π1} [8a.1]
Come fatto nel paragrafo 7.9, sostituiamo i parametri π0 e π1 con i gradi di libertΓ nodali π’1 e π’2. Lβuso
dellβeq.(8a.1) valutata nei due nodi terminali, conduce alla seguente espressione:
{π} = {π’1π’2} = [
1 01 πΏ
] β {π0π1} = [π΄] β {π} [8a.2]
da cui:
{π } = {1 π₯} β {π0π1} = {1 π₯} β [π΄]β1 β {π} = {1 π₯} β [
1 0
β1
πΏ
1
πΏ
] β {π} =
= [1 βπ₯
πΏ
π₯
πΏ] β {π} = [π] β {π} [8a.3]
Lβeq.(8.2.3) diventa:
{π} = ππ₯ =ππ’
ππ₯= {0 1} β [
1 0
β1
πΏ
1
πΏ
] β {π} = [β1
πΏ
1
πΏ] β {
π’1π’2} = [
ππ1
ππ₯
ππ2
ππ₯] β {π} = [π΅] β {π} [8a.4]
Lβeq.(8.2.9) puΓ² essere adattata al caso in esame modificando la matrice [πΈ] in modo da esaminare uno stato
di sforzo monoassiale. Per questo caso particolarmente semplice Γ¨ facile notare che:
1. Lβenergia specifica di deformazione elastica per uno stato di sforzo monoassiale vale: π0 =1
2β πΈ β ππ₯
2;
2. In generale, lβenergia di deformazione dellβelemento vale: π =1
2β {π}π β [π] β {π}.
Di conseguenza, possiamo esprimere lβenergia di deformazione elastica e la matrice di rigidezza elementare
nel modo seguente:
π = β«1
2πΈππ₯
2π΄ππ₯πΏ
0=
1
2β« ππ₯
ππΈππ₯π΄ππ₯ =1
2β {π}π β β« [π΅]π β πΈ β [π΅] β π΄ β ππ₯
πΏ
0
πΏ
0β {π} =
1
2β {π}π β [π] β {π} [8a.5]
dove
[π] = β« [π΅]π β πΈ β [π΅] β π΄ β ππ₯ =πΏ
0 β« {β1
πΏ1
πΏ
} β πΈ β {β1
πΏ
1
πΏ} β π΄ β ππ₯ =
π΄βπΈ
πΏβ [
1 β1β1 1
]πΏ
0
Per costruire il vettore {π}, supponiamo che la trave sia inizialmente troppo lunga di una quantitΓ pari a βπΏ,
per cui sarΓ sottoposta ad una deformazione iniziale pari a π0 = βπΏ πΏβ , e che subisca un riscaldamento pari a
π gradi Celsius cosΓ¬ che lo sforzo termico iniziale Γ¨ pari a π0 = βπΈ β πΌ β π, dove πΌ indica il coefficiente di
dilatazione termica lineare. Supponiamo inoltre che sia presente una forza di massa diretta in direzione π₯
negativa, pari a πΎ per unitΓ di volume ed una forza concentrata ππ in direzione π₯ positiva applicata nel punto di
coordinata π₯ = 2πΏ 3β . CosΓ¬ le eq. (8.2.10) e (8.2.11) danno:
{π} = β« {β1
πΏ1
πΏ
} β πΈ ββπΏ
πΏβ (π΄ β ππ₯)
πΏ
0β β« {
β1
πΏ1
πΏ
} β (βπΈ β πΌ β π) β (π΄ β ππ₯)πΏ
0+
+β« {1 β
π₯
πΏπ₯
πΏ
} β (βπΎ) β (π΄ β ππ₯)πΏ
0+ {
1 β2
32
3
} β ππ
[8a.6]
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{π} = πΈ β π΄ ββπΏ
πΏβ {β11} + πΈ β π΄ β πΌ β π β {
β11} +
πΎβπ΄βπΏ
2β {β1β1} + {
1
32
3
} β ππ [8a.7]
Chiaramente {π} Γ¨ un vettore di carichi applicati dagli elementi sui nodi.
Una volta determinati gli spostamenti nodali, gli sforzi a cui sono sottoposti gli elementi seguono la legge di
Hooke:
π = πΈ β (π β π0) + π0 = πΈ β [π΅] β {π} β πΈ ββπΏ
πΏβ πΈ β πΌ β π [8a.8]
Ancora una volta non abbiamo fatto alcuna distinzione tra π0 e π0 ; essi possono essere usati in modo
intercambiabile o contemporaneamente, come risulta piΓΉ conveniente.
Consideriamo la deformazione assiale ππ₯ in un tirante sottoposto ad un carico assiale distribuito.
Immaginiamo di dividere il tirante in elementi di lunghezza βπ₯. Come βπ₯ tende a zero, ogni variazione di ππ₯
entro lβelemento diventa insignificante rispetto al valore della deformazione ππ₯. Di conseguenza, se in ogni
punto π₯ della trave desideriamo calcolare il valore dello spostamento e della deformazione con una precisione
sempre maggiore man mano che la mesh diventa sempre piΓΉ fitta, ogni elemento deve essere capace di
rappresentare una deformazione costante quando le condizioni lo richiedono.
Risultati teorici di riferimento
ππ₯ = π(πΏ β π₯)
ππ₯ =ππ₯
π΄; ππ₯ =
ππ₯
πΈπ΄=
π
πΈπ΄(πΏ β π₯)
π’ =π
πΈπ΄β« (πΏ β π₯)ππ₯ =
π
πΈπ΄(πΏπ₯ β
π₯2
2+ πΆ1)
πΏ
0
PoichΓ© π’(π₯ = 0) = 0 allora πΆ1 = 0
Sintetizzando qui di seguito i risultati dellβanalisi precedente relativa allβelemento LINK a due nodi abbiamo:
{π } = π’(π₯) = π0 + π1 β π₯ = {1 π₯} β {π0π1} [8a.1]
{π} = {π’1π’2} = [
1 01 πΏ
] β {π0π1} = [π΄] β {π} [8a.2]
{π } = [1 βπ₯
πΏ
π₯
πΏ] β {π} = [π] β {π} [8a.3]
ππ₯ = [β1
πΏ
1
πΏ] β {
π’1π’2} = [π΅] β {π} [8a.4]
[π] =πΈπ΄
πΏβ [
1 β1β1 1
] ; {π} =ππΏ
2β {11} [8a.7]
dove nei carichi nodali equivalenti {π} della formula (8a.7) si Γ¨ posto π(π₯) = πΎπ΄ diretto verso le π₯ positive.
Modellando la trave con un solo elemento abbiamo:
πΈπ΄
πΏβ [
1 β1β1 1
] β {π’1π’2} =
ππΏ
2{11}
Dopo avere inserito le condizioni al contorno (π’ = 0 in π₯ = 0) risulta:
πΈπ΄
πΏβ [1 00 1
] β {π’1π’2} =
ππΏ
2{01}
da cui:
x, u
q(x) L
x
u
x
x
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π’2 =ππΏ2
2πΈπ΄ π’(π₯) = [1 β
π₯
πΏ
π₯
πΏ] β {
π’1π’2} =
ππΏ
2πΈπ΄π₯ ππ₯(π₯) = [β
1
πΏ
1
πΏ] β {
π’1π’2} =
ππΏ
2πΈπ΄
Modellando la trave con due elementi abbiamo:
πΈπ΄
βπΏβ [
1 β1 0β1 2 β10 β1 1
] β {
π’1π’2π’3} =
πβπΏ
2{121}
dove βπΏ = πΏ 2β .
Dopo avere inserito le condizioni al contorno risulta:
πΈπ΄
βπΏβ [1 0 00 2 β10 β1 1
] β {
π’1π’2π’3} =
πβπΏ
2{021}
da cui:
π’3 =2π(βπΏ)2
πΈπ΄ π’2 =
3π(βπΏ)2
2πΈπ΄
Rappresentando lo spostamento di ogni elemento in funzione della coordinata locale normalizzata π , con
0 β€ π β€ 1, lo spostamento nei due tratti della trave vale rispettivamente:
π’ = [1 β π π] β {π’1π’2} =
3π(βπΏ)2
2πΈπ΄π π’ = [1 β π π] β {
π’2π’3} =
π(βπΏ)2
2πΈπ΄(3 + π)
e quindi la deformazione nei due tratti della trave vale rispettivamente:
ππ₯ =1
βπΏ[β1 1] β {
π’1π’2} =
3πβπΏ
2πΈπ΄ ππ₯ =
1
βπΏ[β1 1] β {
π’2π’3} =
πβπΏ
2πΈπ΄
Modellando la trave con tre elementi abbiamo:
πΈπ΄
βπΏβ [
1 β1 0 0β1 2 β1 00 β1 2 β10 0 β1 1
] β {
π’1π’2π’3π’4
} =πβπΏ
2{
1221
}
dove βπΏ = πΏ 3β .
Dopo avere inserito le condizioni al contorno abbiamo:
[
1 0 0 00 2 β1 00 β1 2 β10 0 β1 1
] β {
π’1π’2π’3π’4
} =π(βπΏ)2
2πΈπ΄{
0221
}
Con la fattorizzazione di Gauss si ottiene:
[
1 0 0 00 2 β1 00 0 3 β20 0 0 1
] β {
π’1π’2π’3π’4
} =π(βπΏ)2
2πΈπ΄{
0269
}
da cui: π’4 =9π(βπΏ)2
2πΈπ΄ π’3 =
4π(βπΏ)2
πΈπ΄ π’2 =
5π(βπΏ)2
2πΈπ΄
In questo caso lo spostamento nei tre tratti della trave vale rispettivamente:
π’ = [1 β π π] β {π’1π’2} =
5π(βπΏ)2
2πΈπ΄π
π’ = [1 β π π] β {π’2π’3} =
5π(βπΏ)2
2πΈπ΄+3π(βπΏ)2
2πΈπ΄π =
π(βπΏ)2
2πΈπ΄(5 + 3π)
π’ = [1 β π π] β {π’3π’4} =
4π(βπΏ)2
πΈπ΄+π(βπΏ)2
2πΈπ΄π =
π(βπΏ)2
2πΈπ΄(8 + π)
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mentre la deformazione nei tre tratti della trave vale rispettivamente:
ππ₯ =1
βπΏ[β1 1] β {
π’1π’2} =
5πβπΏ
2πΈπ΄
ππ₯ =1
βπΏ[β1 1] β {
π’2π’3} =
3πβπΏ
2πΈπ΄
ππ₯ =1
βπΏ[β1 1] β {
π’3π’4} =
πβπΏ
2πΈπ΄
Allβaumentare degli elementi, la soluzione converge verso quella teorica: Γ¨ inoltre possibile osservare
lβandamento a gradino delle deformazioni calcolate.
2) Lβelemento LINK a 3 nodi Le coordinate π₯ dellβelemento a tre nodi e i suoi spostamenti π’ si possono esprimere in funzione delle
coordinate naturali π nel modo seguente:
π₯ = {π1(π) π2(π) π3(π)} {
π₯1π₯2π₯3} e π’ = {π1(π) π2(π) π3(π)} {
π’1π’2π’3}
Per esprimere le funzioni di forma [π] usiamo i polinomi di Lagrange definiti nel dominio β1 β€ π β€ 1:
π1(π) =π2βπ
2 ; π2(π) =
π2+π
2 ; π3(π) = 1 β π
2
La deformazione assiale vale:
ππ₯(π₯) =ππ’
ππ₯=π
ππ₯{π1(π₯) π2(π₯) π3(π₯)} {
π’1π’2π’3}
PoichΓ© le funzioni di forma ππ non sono funzioni dirette della coordinata π₯ ma della variabile π, abbiamo:
ππ(π)
ππ=
ππ(π₯)
ππ₯
ππ₯
ππ e quindi
ππ(π₯)
ππ₯=
ππ(π)
ππ
ππ₯
ππβ
Per iniziare dobbiamo calcolare lo Jacobiano:
π½ =ππ₯
ππ=π
ππ{π1 π2 π3} {
π₯1π₯2π₯3} = {
2π β 1
2
2π + 1
2β2π} {
π₯1π₯2π₯3} =
ππ₯
ππ=π₯2 β π₯12
+ (π₯1 + π₯2 β 2π₯3)π
La matrice di rigidezza elementare risulta quindi:
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0,450
0,500
0 0,5 1
ux
esatto
1 elemento
2 elementi
3 elementi
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
0 0,5 1
x
Esatto
1 elemento
2 elementi
2 elementi
3 elementi
3 elementi
3 elementi
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[π] = β« [π©]ππΈ[π©] β πππππ£ππ
= β« [π©]ππΈπ΄[π©] β ππ₯πΏ
0
= β« [π©]ππΈπ΄[π©] β π½ β ππ1
β1
dove: [π©] =π
ππ₯{π1 π2 π3} =
1
π½
π
ππ{π1 π2 π3} =
1
π½{2πβ1
2
2π+1
2β2π}
Come si puΓ² osservare i coefficienti della matrice [π©] si ottengono dal rapporto di due polinomi di primo grado
in π dove al denominatore compare lo Jacobiano. Sviluppando abbiamo:
[π] = β«πΈπ΄
4π½[
(2π β 1)2 4π2 β 1 4(π β 2π2)
4π2 β 1 (2π + 1)2 β4(π + 2π2)
4(π β 2π2) β4(π + 2π2) 16π2] β ππ
1
β1
Lβintegrazione in forma chiusa dei coefficienti della matrice di rigidezza puΓ² risultare complicata e si ricorre
quindi allβintegrazione numerica. Osserviamo inoltre che:
a) quando π₯3 = π₯1 +πΏ
4 π½ =
π₯2βπ₯1
2+ (π₯1 + π₯2 β 2π₯3)π =
πΏ
2(1 + π) e in π = β1 risulta π½ = 0
b) quando π₯3 = π₯1 +3πΏ
4 π½ =
π₯2βπ₯1
2+ (π₯1 + π₯2 β 2π₯3)π =
πΏ
2(1 β π) e in π = 1 risulta π½ = 0
CiΓ² indica che se il terzo punto si trova fuori dallβintervallo π₯1 +πΏ
4β€ π₯3 β€ π₯1 +
3πΏ
4 allora ci sono dei punti
lungo la trave dove lo Jacobiano Γ¨ negativo o nullo. CiΓ² puΓ² impedire lβintegrazione della matrice di rigidezza.
Lo Jacobiano non dipende da π solo quando π₯1 + π₯2 β 2π₯3 = 0 ovvero quando π₯3 =π₯1+π₯2
2 e quindi il terzo
nodo si trova a metΓ del lato: in tal caso π½ =π₯2βπ₯1
2=
πΏ
2. Se inoltre lungo la trave πΈπ΄ Γ¨ costante, la matrice di
rigidezza esatta risulta:
[π] =πΈπ΄
2πΏβ« [
(2π β 1)2 4π2 β 1 4(π β 2π2)
4π2 β 1 (2π + 1)2 β4(π + 2π2)
4(π β 2π2) β4(π + 2π2) 16π2]
1
β1
=πΈπ΄
3πΏ[7 1 β81 7 β8
β8 β8 16]
Il vettore dei carichi nodali equivalenti nel caso di carico uniformemente distribuito π vale:
{π} = β« {
π1(π)
π2(π)
π3(π)} β π β π½ β ππ = β«
{
π2 β π
2π2 + π
21 β π2}
β π βπΏ
2β ππ
1
β1
1
β1
=ππΏ
6{114}
Se discretizziamo la trave con un solo elemento di tipo LINK a tre nodi abbiamo:
πΈπ΄
3πΏ[7 1 β81 7 β8
β8 β8 16] {
π’1π’2π’3} =
ππΏ
6{114}
Dopo avere inserito le condizioni al contorno (π’1 = 0) abbiamo:
πΈπ΄
3πΏ[1 0 00 7 β80 β8 16
] {
π’1π’2π’3} =
ππΏ
6{014}
Con la fattorizzazione di Gauss si ottiene:
[1 0 00 7 β80 0 6
] {
π’1π’2π’3} =
ππΏ2
2πΈπ΄{019 2β
} da cui {
π’1π’2π’3} =
ππΏ2
2πΈπ΄{
013
4
}
La coordinata π₯ in funzione della coordinata naturale π vale:
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π₯ = {π1(π) π2(π) π3(π)} {
π₯1π₯2π₯3} = {
π2 β π
2
π2 + π
21 β π2} {
0πΏπΏ 2β
} =πΏ
2(1 + π)
da cui: π =2
πΏπ₯ β 1
Il campo di spostamento risulta:
π’(π) = {π1(π) π2(π) π3(π)} {
π’1π’2π’3} = {
π2 β π
2
π2 + π
21 β π2}
ππΏ2
2πΈπ΄{013 4β
} =ππΏ2
8πΈπ΄[βπ2 + 2π + 3]
mentre la deformata vale:
ππ₯(π) = [π©] {
π’1π’2π’3} =
2
πΏ{2π β 1
2
2π + 1
2β2π}
ππΏ2
2πΈπ΄{013 4β
} =ππΏ
2πΈπ΄(1 β π)
Esprimendo la coordinata naturale π in funzione di quella reale π₯ si ottiene:
π’(π₯) =π
πΈπ΄[πΏπ₯ β
π₯2
2] ; ππ₯(π₯) =
π
πΈπ΄(πΏ β π₯)
Questi risultati coincidono con quelli teorici di riferimento e confermano che per modellare la trave
sottoposta ad un carico uniformemente distribuito di trazione Γ¨ sufficiente un solo elemento di tipo quadratico.