capacita’ elettrica di un singolo conduttore...
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1) all’equilibrio elettrostatico la carica elettrica si distribuisce
percio’ sara’ determinata
da una distribuzione superficiale di carica
solo sulla superficie del conduttore,
Capacita’ elettrica di un singolo conduttore isolato all’equilibrio elettostatico
percio’ V(∞) = 0 e
E(∞) = 0
finita dello spazio
( , , )x y zσ
dunque in una zona
e la soluzione dell’ equazione di Poisson
( , , )( ', ', ') x y zV x y z drτ
ρ τ∝ ∫sara’ del tipo
x’,y’,z’ sono le coordinate di un qualsiasi
dove
2) la carica si colloca sulla superficie del conduttore
punto dello spazio
2
( , , )( ', ', ') x y zV x y z dSr
σΣ
∝ ∫
in un punto P’(x’,y’,z’) qualsiasi dello spazio
da notare come V dipenda da σ
il potenziale sara’:
dove Σ e’ la superficie del conduttore
e’ distribuita solo e soltanto
quindi
ma in questo caso la carica
sulla superficie del conduttore
all’equilibrio il potenziale sara’ costante in tutto il conduttore
dunque anche in un qualsiasi punto del conduttore
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l’unicita’ della soluzione dell’ equazione di Poisson
garantisce che vi sia
distribuzione superficiale di carica all’equilibrio elettrostatico
(problema di Dirichlet) una ed una sola
la carica totale Q
( , , )Q x y z dSσΣ
= ∫dove Σ e’ la superficie del conduttore
σ(x,y,z)
da notare che
e la distribuzione superficiale di carica
sono legate dalla relazione:
distribuita sul conduttore
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si definisce capacita’ elettrica C di un singolo
QCV
=∆
conduttore isolato elettricamente
il rapporto tra la carica ed il potenziale e’ costante
se si aumenta la carica Q sul conduttore di un fattore
la densita’ di carica σ variera’ dello stesso
ma anche il potenziale variera’
dello stesso fattore per cui
fattore,
moltiplicativo
QV
=( )
QV V
=− ∞
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Sistemi di conduttori all’equilibrio elettrostatico un singolo conduttore isolato caricato positivamente di
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1
qVC
=
se portiamo un secondo conduttore scarico nelle
la carica indotta sul secondo conduttore
+q _ + q q
sara’ negativa all’estremita’ vicina al primo conduttore
e positiva all’ estremita’ lontana
vicinanze del primo
carica +q1 si portera’ al potenziale V1
si verifichera’ l’induzione elettrostatica
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e’ piu’ vicina al primo conduttore rispetto alla carica
dato che la carica totale sui conduttori rimane costante
negativa sara’ maggiore di quella positiva
del primo conduttore nel complesso diminuira’
se ne deduce che la capacita’ del primo conduttore
e’ aumentata dalla presenza del secondo conduttore
la carica negativa indotta sul secondo conduttore
positiva indotta quindi l’influenza della carica
e il potenziale
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1
12 2 2 2 1
2
( , , )( ', ', ') x y zV x y z dSr
σΣ
∝ ∫
il potenziale del secondo conduttore, dovuto alla presenza
1
11 1 1 1 1
1
( , , )( ', ', ') x y zV x y z dSr
σΣ
∝ ∫ma si aveva
dove r2 e’ la distanza del punto di coordinate x2’ y2’ z2’
dove r1 e’ la distanza del punto di coordinate x1 ’ y1 ‘ z1 ‘
dai vari punti di coordinate x, y, z in cui e’ distribuita
dai vari punti di coordinate x, y, z in cui e’ distribuita la
della carica q1 sul primo conduttore, e’ calcolabile come
carica elettrica
la carica elettrica
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V1 e V2 dipendono dalla carica q1 del primo conduttore
'1 11 1V a q= '
2 12 1V a q=
se si modifica q1 verranno modificati in modo
che diverranno V’1 e V’2
proporzionale a q1 , i potenziali dei due conduttori,
quindi si potra’ affermare
che e che
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la presenza della carica q1 sul primo conduttore induce
la carica indotta a sua volta modifica la distribuzione
i coefficienti a11 e a12 riassumono la condizione di equilibrio
assegnamo ora carica q2 al secondo conduttore e
ragionando in modo analogo a prima si avra’
''1 21 2V a q= ''
2 22 2V a q=
una distribuzione di carica sul secondo
di carica inducente, collocata sul primo conduttore
carica nulla al primo
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se fossero contemporaneamente presenti la carica q1
1 11 1 12 2V a q a q= +
2 21 1 22 2V a q a q= +sistema che puo’ essere invertito
1 11 1 12 2q c V c V= +
2 21 1 22 2q c V c V= +
conduttore applicando il principio di sovrapposizione
potenziali
se i = j i coefficienti sono detti di capacita’
se i ≠ j i coefficienti sono detti di induzione
nomenclatura :
sul primo conduttore e la carica q2 sul secondo
ai potenziali si otterrebbe:
per esprimere la carica in funzione dei matrice non nulla)
(determinante della
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1 11 12V a q a q= − 2 12 22V a q a q= −
in questo caso si ha a12 = a21
1 2 11 22 12( 2 )V V a a a q− = + −
1 211 22 12
1 ( )2
q V Va a a
= −+ −
e dato che q1 = q e q2 = − q
conduttore terminano tutte su di un altro conduttore
induzione completa si parla di conduttori in
se le linee di campo che si originano dalla superficie di un
12
1 2( )q C V V C V= − = ∆
11 22 12
12
Ca a a
=+ −
qC V=∆
se si pone:
C e’ la “capacita’ elettrica” del condensatore
un sistema di due conduttori in induzione completa e’
si ha
nel S.I. la capacita’ si misura in Farad
detto condensatore
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Capacita’ elettrica del condensatore a facce piane e parallele
0 0
1 QES
σε ε
= =
dxdVEx −= xE dx dV= −
xV E d∆ =
quindi
integrando tra le due armature poste a distanza d
0
E σε
=
0E =
0E =
Q+ Q−
x
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0Sd
C ε=
QCV
=∆
dunque
0Sd
ε=
0
QQ d
Sε
=x
QE d
=
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Capacita’ di un conduttore sferico una sfera conduttrice e’ caricata con carica elettrica q.
una sfera conduttrice carica si comporta come un guscio sferico carico
il potenziale di un guscio sferico carico di raggio R e’
0
1( )4
qV rRπε
= dove R e’ il raggio della sfera
la carica si disporra’ sulla superficie della sfera e, per motivi di simmetria, la densita di carica superficiale sara’ uniforme
qCV
=∆ ( )
qV r V∞
= =− ( )
qV r 04 Rπε=
Un condensatore sferico e’ costituito da un conduttore
depositiamo una carica positiva,
interna del conduttore esterno
+ + + + +
+ + + + + +
all’equilibrio elettrostatico le cariche saranno disposte solo
+ + +
+ +
+ +
+
+ +
+
- - -
- -
- -
- - -
-
sulle superfici costituendo tre gusci carichi concentrici
superficiale di carica positiva +q
esterna del conduttore esterno
superficiale di carica negativa -q
per induzione sulla superficie
sulla superficie la carica si distribuira’ tutta
+q , sul conduttore interno
del condensatore sferico. Determinare la capacita’ esterno R3
conduttore sferico cavo di raggio interno R2 e raggio sferico pieno di raggio R1 posto al centro di un
si formera’ una distribuzione
mentre sulla superficie
si formera’ una distribuzione
10 r R≤ ≤
10 1 0 2 0 3
1 1 1( )4 4 4
q q qV r VR R Rπε πε πε
= − + =
1 2R r R< ≤
0 0 2 0 3
1 1 1( )4 4 4
q q qV rr R Rπε πε πε
= − +
r O
V(r)
R1
110
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( ) qV r RRπε
≤ =
andamento del potenziale di un guscio sferico di raggio R1
da notare come nel punto r = R1 il potenziale sia continuo
R1
R1 R2
distanza radiale r caricato uniformemente con carica q in funzione della
10
14
( ) qV r Rrπε
> =
2 3R r R< ≤ R2
R3
20 3
14
q VRπε
= =
0 0 0 3
1 1 1( )4 4 4
q q qV rr r Rπε πε πε
= − + =
3r R≥
0 0 0
1 1 1( )4 4 4
q q qV rr r rπε πε πε
= − + =
0
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qrπε
=
R3
la d.d.p tra i due conduttori e’
0 1 0 2 0 3 0 3
1 1 1 1( )4 4 4 4
q q q qVR R R Rπε πε πε πε
∆ = − + −
1 2V V V∆ = −
0 1 0 2
1 14 4
q qVR Rπε πε
∆ = −0 1 2
1 1( )4
qR Rπε
= −
0 1 2
2 1
4 R RCR Rπε
=−
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