capacité mos idéale

Physique des composants Structure MOS

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Structure MOSMétal Oxyde Semi-conducteur

Introduction

Considérons une structure MOS idéale composée d’un semi-conducteur dopé (P ou N) surlequel on a fait croître un oxyde. Cet oxyde est ensuite recouvert d’une électrode métallique.

Hypothèses d’étude :

- Il ne circule aucun courant à travers la couche d’oxyde.- Les propriétés du semi-conducteur en volume restent valables à la surface en x=0.- Les bandes d’énergie du semi-conducteur sont plates en l'absence de toute polarisation appliquée à la structure.- Etude d'une structure Métal-Oxyde-Semi-conducteur de type P.

1. Compléter la figure ci-dessous pour les trois situations d’équilibre électrostatiquecorrespondant à différentes valeurs de la polarisation Vg appliquée à la structure entre métalet semi-conducteur. Représenter les courbures des bandes d’énergie et indiquer enparticulier : la nature des porteurs présents à l’interface oxyde-semi-conducteur, la valeur dupotentiel de surface ψs définit comme étant la différence de potentiel entre le volume et lasurface du semi-conducteur. Donner l’expression du décalage du niveau de Fermi qψb

résultant du dopage du substrat en fonction du dopage NA et de la concentration intrinsèqueni.

EFmEi

Ec

EFs

Ev

énergie

x : pronfondeur dans le SC

Métal Oxyde Semiconducteur


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Définitions : Pour éviter toutes ambiguïtés nous définirons les paramètres ni et Ei de la façonsuivante :

Ayant précédemment établit les relations n = Nc exp −Ec − EFkT

et p = Nv exp

Ev − EFkT

, nous

définissons ni et E i Par les deux relations suivantes n = ni exp −Ei − EF

kT

et

p = ni expEi − EF

kT

. On voit facilement que : ni = NvNc exp(−EG / 2kT)et Ei est une

grandeur bien fixée par rapport aux énergies Ec, Ev. On note aussi que dans un semi-conducteur uniforme non-dopé (intrinsèque), du fait de l’égalité entre le nombre d’électrons dela bande de conduction n et de trous de la bande de valence p, ce nombre vaut ni et le niveau deFermi EF se trouve à la valeur Ei.

Diagramme énergétique de la structure MOS idéale polarisée

Si nous appliquons une différence de potentiel entre le métal et le semi-conducteur, l'absence detoute migration de charges à travers la couche d'oxyde entraîne dans le semi-conducteur laformation d'une charge Qsc au voisinage de l'interface oxyde-semi-conducteur. Lorsquel'équilibre électrostatique est réalisé, cette charge Qsc est compensée par une charge Qg de valeuropposée induite à l'interface oxyde-métal. Lorsque la différence de potentiel évolue, nousdistinguons trois régimes traduisant la courbure des bandes du semi-conducteur etcorrespondant à des positions relatives différentes, à l'interface, du niveau intrinsèque Ei et duniveau de Fermi ΕFs du semi-conducteur.

(i) Situation d'accumulation de porteurs majoritaires (trous)

Lorsque la tension Vg est négative, les niveaux de Fermi du métal et du semi-conducteur sontdécalés. Des trous (porteurs majoritaires) sont attirés vers la surface du semi-conducteur. Il y aACCUMULATION de ces trous à la surface du semi-conducteur provoquant une courbure des

EFm Ei

Ec

EFs

Ev

Ei

Ec

EFs

Ev

EFmEi

Ec

EFs

EvEFm

énergie

x : pronfondeur dans le SC

qψs


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bandes d'énergie, à l'interface oxyde-semi-conducteur. Il apparaît à la surface du semi-conducteur une charge Qsc positive et un champ électrique Es. Le système restantélectriquement neutre, il apparaît à la surface du métal une charge Qg égale en valeur absolue àQs et de signe opposé.

(ii) Situation de désertion

Lorsque Vg est positive, les trous sont repoussés vers l'intérieur du semi-conducteur alors que lesélectrons sont attirés vers la surface. Il y a dépeuplement en trous majoritaires dans le volume dusemi-conducteur au voisinage de l’interface SC/Oxyde. L’éloignement des trous laissentapparaître dans le volume du semi-conducteur une charge d’espace de densité volumique –qNA

sur une profondeur xs. La densité des électrons en surface reste négligeable dans laconcentration des charges à l’interface du semi-conducteur : Qsc=-qNA.

(iii) Situation d'inversion

Lorsque la tension Vg augmente encore, les électrons minoritaires qui se concentrent à la surfacedu semi-conducteur commencent à constituer une charge globale non-négligeable par rapport àla charge d’espace due à la désertion des trous. Cette charge électronique croit beaucoup plusrapidement avec Vg (exponentiellement) que la charge d’espace. Nous définirons un seuil entreles deux régimes (désertion et inversion) lorsque ψs > 2 ψb. Cette valeur correspond au point oùla densité volumique d’électrons à la surface devient égale à la densité de trous de SC dopé P àl’équilibre.

- Valeur du "potentiel de substrat" ψb

Dans le volume du semi-conducteur, la neutralité électrique impose p = NA , ce qui permetd'écrire :

p = NA = ni exp Ei - EFsk T

= ni exp ψ b

Vth

ψ b = Vth ln NA

ni


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2. On donne l’expression de la densité surfacique de charge dans le semi-conducteur Qsc enfonction de ψs. En déduire les expressions simplifiées de Qsc pour les trois situationsd’équilibre définies précédemment. On notera Qacc pour l’accumulation, Qd pour la désertionet Qn pour l’inversion. Représenter qualitativement l’allure de Qsc = f(ψs). Compléter la figureprécédente en ajoutant la répartition de la densité volumique de charge ρ(x) pour chaque cas, onconsidérera un profil de dopage abrupte dans le semi-conducteur.

- Expression de Qsc

Qsc = m γ ′ C o x ψ s + Vth exp ψ s - 2 ψ b

Vth

+ Vth exp − ψ s

Vth

avec :

γ = 2 q NA ε s

′ C o x et ′ C o x = εo x

To x : capacité surfacique

εs et εoxsont respectivement les permittivités diélectriques du semi-conducteur et de l'oxyde.

On note l'expression ci-dessus délimite trois régimes la tension de surface ψs pour lesquelles undes termes sous la racine est très grand devant les duex autres. Ces trois régions correspondentclairement aux trois situations décrites précédemment. Dans chaque zone nous pouvonsexprimé la charge Qsc en négligent deux des contributions :

- Situation d'accumulation telle que Qacc >> Qd et Qn correspondant à l'accumulation deporteurs majoritaires à l'interface :

Qacc ≈ γ ′ C ox Vth exp−ψ s

Vth

≈ γ ′ C ox Vth exp

−ψ s

2Vth

- Situation de désertion telle que Qn >> Qacc et Qn correspondant à l'apparition d'une zonede charge d'espace due aux atomes accepteurs ionisés :

Qd ≈ −γ ′ C ox ψ s


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- Situation d'inversion telle que Qn >> Qacc et Qn correspondant à l'apparition des porteursminoritaires à l'interface :

Qacc ≈ −γ ′ C ox Vth expψ s − 2ψ b

Vth

≈ −γ ′ C ox Vth exp

ψ s − 2ψ b

2Vth

La variation de la concentration des électrons dans la couche d'inversion est une fonctionexponentielle du potentiel de surface ψs, alors que la variation de Qd évolue comme la racinecarrée de ψs, ce qui nous permet d'admettre que lorsque le seuil de l'inversion forte est atteint,l'augmentation de la charge Qsc côté semi-conducteur est principalement due à l'augmentation dela concentration électronique Qn. Il faut noter que contrairement à Qd, due principalement à descharges ioniques fixes, Qn est constituée de charges mobiles (électrons) qui permettront danscertains dispositifs une conduction électrique parallèlement à la surface.

- Allure de Qsc = f(ψs)

0 0.5 1.0 ψs en V

10- 7

10 - 5

10- 9

Accumulation

Désertion

Inversion faible

ψs = 2 ψb

Forte inversion

| Qsc | en Cb cm-2

- Répartition de la densité volumique de charge ρ(x)

ρ(x)

x

Qm

Qsc = Qacc

(trous en surface)Qsc = Qacc

(trous en surface)

ρ(x)

x

ρ(x)

x−qNA

xs

Qsc = Qd = −qNAxs(dopants ionisés sur une profondeur xs )

Qn (électrons en surface )Qsc = Qacc

(trous en surface)


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3. En régime de désertion, représenter les profils du champ électrique et du potentiel dans lastructure. Calculer la largeur de la zone de charge d’espace xs en fonction de ψs et de Na. Endéduire l’expression de ψs. Retrouver ce résultat en utilisant la résolution de l’équation dePoisson.

- Profil du champ électrique et du potentiel en régime de désertion

La continuité du vecteur induction électrique impose :

εo xEo x = εsEs avec εo x

εs=

3.911.9

0 xTox

ρ(x)

- q Na

xs

Qg

Qd0

xToxxs

E(x)

Eox

Es

0x

Toxxs

V(x)Vox

Vg ψs

- Calculer la largeur de la zone de charge d'espace xs

En régime de désertion Qn < Qd, on peut donc admettre qu'entre les abscisses (0, xs) la charged'espace est due principalement aux impuretés ionisées NA :

Qsc = Qd +Qn ≈Qd = −qNAxs

soit en remplaçant Qd par son expression :

xs =2ε sψ s

qNA

12

- Expression de ψs


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De la relation précédente, il est facile d'extraire la valeur de ψs :

ψ s = q NA

2 ε s xs

2

2

Ce dernier résultat peut se retrouver en utilisant l'équation de Poisson telle que :

d2ψdx2

=qNA

εs pour 0 < x < xs

avec comme conditions aux limites ψ(x=0) = ψs et ψ(x=xs) = 0, ce qui nous donne :

ψ (x) =ψ s 1 − xxs

2

avec ψ s = q NA

2 ε s xs

2

2

4. La tension de seuil est définie comme étant la valeur particulière de Vg pour laquelle le régimed'inversion forte est atteint et correspond pratiquement à l'apparition du caractère conducteur dela couche d'inversion. A partir de la relation Vg = f(ψs), en déduire l’expression de VT en fonctionde γ et ψb.

- Relation entre Vg et ψs

Nous pouvons déterminer l'expression de cette tension de seuil de la manière suivante :

Vg = Vo x + ψs

où Vox est la chute de potentiel aux bornes de la couche d'oxyde et ψs la chute de potentiel dansle semi-conducteur. A l'amorce du régime de forte inversion, nous avons respectivement :

Vox =−QdT

′ C ox et ψs = 2ψb

où QdT = Qd au seuil (reste pratiquement inchangé ensuite quand la tension augmente)

donc

VT = 2ψb +γ 2ψ b


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5. Déterminer le modèle capacitif de la structure MOS. On notera Co x la capacité de la couched’oxyde et Csc la capacité du semi-conducteur. Donner les expressions de ces deux capacitésainsi que de la capacité totale C de la structure.

La capacité totale de la structure MOS idéale est un groupement en série de la capacité Csc et deCo x comme indiqué sur la figure ci-dessous.

C =CoxCSC

Cox + CSC

Cox

Csc

6. La mesure de la capacité C de la structure est réalisée par le montage ci-dessous. En déduirequalitativement l’allure de C en fonction de la polarisation Vg en haute fréquence et en bassefréquence.

La tension Vg appliquée à la structure est composée d'un signal variable (sinusoïdal de faibleamplitude) superposé à une polarisation continue telle que :

MOS

e

Vg

La capacité différentielle de la zone de charge d'espace du semi-conducteur est donnée par :


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Csc = dQscdψs

Seule la capacité Csc dépend de la polarisation appliquée à la structure MOS, nous allons doncdistinguer les différents cas de polarisation en prenant comme exemple un semi-conducteur detype P pour lequel NA >> ND et p = NA.

(i) régime d'accumulation pour ψs < 0

Les charges s’accumulent aux bornes de l’oxyde et il n’y a pas de champ àl’intérieur du SC. Donc C=Co x

(ii) régimes de désertion et d'inversion

Tant que 0 < ψs < 2 ψb

Csc =q2εsNA

2ψ S

12

Cette expression de Csc a été obtenue pour l'approximation "semi-conducteur complètementdépeuplé". La capacité totale va diminuer.

L'inversion forte se produit pour ψs > 2 ψ b . Ceci entraîne une importante concentration deporteurs minoritaires à l'interface oxyde-semi-conducteur. La réponse de la structure MOS vadépendre de l'aptitude des porteurs minoritaires à suivre les variations de potentiel imposées parle signal variable. Ils doivent en effet traverser la zone de charge d’espace pour venir se« coller » à l’interface. Si la modulation est lente cette transition peut avoir lieu et la capacitétotale rejoint la valeur de Cox (car l’excédent de charge se place aux borne de l’oxyde). Mais sila modulation est trop rapide alors les électrons n’interviennent plus et l’excédent de chargecorrespond à une variation en profondeur. La figure ci-dessous présente la caractéristiquecapacité-tension pour lesquelles nous avons considéré deux cas limites (H.F. : hautes fréquenceset B.F. : basses fréquences).


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C. accumulation C. inversion BF

C. inversion HF

C

V0


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En complément :Calcul de la densité surfacique de charge Qsc en fonction de ψs

La figure ci-dessous représente le diagramme énergétique de la structure MOS idéale polariséepar une tension Vg positive ainsi que la répartition de la densité volumique de charge, lesnotations utilisées sont :

q ψ(x) = Ei(x) - EFsq ψb = Ei - EFs- q ψs = Eis - Ei

où ψ(x) est le potentiel à l'abscisse x, ψs est le potentiel de surface et qψb est l'écart énergétiqueentre le niveau d'énergie intrinsèque Wi dans le volume du semi-conducteur et le niveau deFermi EFs. Le calcul du champ électrique est effectué à partir de la résolution de l’équation dePoisson après avoir exprimé la densité volumique de charge ρ(x) sous la forme :

ρ(x) = q ( p(x) - n(x) + Nd - Na )

où n(x) est la concentration des électrons dans la bande de conduction du semi-conducteur àl'abscisse x et p(x) la concentration des trous dans la bande de valence du semi-conducteur àl'abscisse x, dont les expressions sont les suivantes :

n(x) = ni exp Φs - Wi(x)kT = ni exp u(x)

p(x) = ni exp Wi(x) - ΦskT = ni exp -u(x)

en posant u(x) = EFs - Wi(x), ce qui nous permet d'écrire la densité volumique de charge de lamanière suivante :

ρ(x) = - 2 q ni shu(x) - Nd - Na2 ni


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Energie

Wc

WvEFs

EFm

métal oxyde semi-conducteur

Wi

- qVg

- qψs

x

Wvs

Wis

Wcs

0

qψb

0x

Qd

Qn

Qm

ρ(x)

xs

xs

Dans le volume du semi-conducteur et à l'équilibre thermodynamique ρ(∞) = 0, de sorte que :

shu(∞) = Nd - Na2 ni = shu∞

ρ(x) = - 2 ni q shu(x) - shu∞

Le potentiel V(x) est relié à la densité volumique de charge ρ(x) par l'équation de Poisson (dansun repère orthonormé) :

∇ V(x) + ρ(x)εs

= 0


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en effectuant un changement de variable et en posant :

LD2 = εs k T

2 ni q2

nous obtenons :

∂2u(x)∂x2

= 1LD

2 shu(x) - shu∞

La résolution de cette équation peut s'effectuer de la manière suivante, en posant :

∂2u(x)∂x2

∂u = 12 ∂ ∂u∂x

2

∂u∂x

2 = 2

LD2

chu(x) - u(x) shu∞ + Cste

La valeur de la constante Cste est déterminée pour x -> ∞ et à la condition d'équilibre :

∂u∂x = ± 1

LD G(u(x), u∞)

avec :

G(u(x), u∞) = 2 chu(x) - chu∞ - (u(x) - u∞) shu∞ 12

L'expression du champ électrique dans le semi-conducteur est :

E(x) = - k Tq ∂u∂x = ± - k T

q LD G(u(x), u∞)

de laquelle nous pouvons en déduire le champ Es à la surface du semi-conducteur :

Es = ± - k Tq LD

G(us, u∞)

- Densité surfacique de charge Qsc


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Nous utilisons le théorème de Gauss pour obtenir la densité surfacique de charge Qsc :

Qsc = ρ(x) dx0

∞

= D(∞) - D(0) = - εs E(0) = - εs Es

Qsc = ± - k T εsq LD

G(us, u∞)

De cette dernière relation, nous en déduisons l'expression approchée suivante :

Qsc = m γ C' ox ψs + Vth exp ψs - 2 ψb

Vth

+ Vth exp − ψs

Vth

L'étude analytique de cette dernière relation permet de distinguer les comportements suivants (lesigne α signifie proportionnel à) :

(i) régime d'accumulation pour ψs < 0

Qsc α exp q ψs2 k T

(ii) régimes de désertion et d'inversion faible pour 0 < ψs < 2 ψb

Qsc α ψs

(iii) régime de forte inversion pour ψs > 2 ψb

Qsc α exp q ψs2 k T

capacité mos idéale

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