Capitolo 1

Suono

Il mezzo che permette la trasmissione della musica e il suono. Il suono consiste nellavibrazione dell’aria: quindi, per comprendere bene il suono, e utile analizzare prima lastruttura dell’aria. Esso e un gas, il che vuol dire che le molecole e gli atomi che lacompongono non sono vicine le une alle altre come accade invece nei solidi e nei liquidi.Ci si e posti il problema di capire come mai queste molecole non sono soggette al principiogalileiano secondo cui ogni oggetto dovrebbe cadere al suolo con la stessa accelerazioneindipendentemente dalle dimensioni e dalla massa. La risposta va trovata nell’estremarapidita di questi atomi e molecole. La velocita media delle molecole a temperaturaambiente e di 400-500 metri per secondo e il cammino libero e 6 · 10−8 metri: questosignifica che in media una molecola d’aria percorre questa distanza prima di collidere conun’altra molecola. L’urto tra esse e completamente elastico, cosicche esso non determinauna diminuzione della velocita.

Possiamo adesso calcolare il numero di collisioni al secondo. La frequenza di collisionee il rapporto tra la velocita media e il cammino libero che corrisponde a circa 1010 collisionial secondo. Dunque, dopo che due molecole si urtano, esse non vanno molto lontano primadi essere urtate nuovamente da altre molecole. Possiamo quindi dire che l’aria consiste inun gran numero di molecole molto vicine tra loro che si urtano continuamente e produconocio che noi percepiamo come pressione dell’aria. Quando un oggetto vibra provoca ondedi pressione nell’aria e tali onde sono percepite dall’orecchio come suono. Il suono viaggiaattraverso l’aria con una velocita di circa 340 metri al secondo: cio non significa peroche ogni molecola si muove nella direzione dell’onda, ma che la perturbazione locale dellapressione si propaga a questa velocita.

Le onde sonore sono un esempio di onde longitudinali: cio significa che le particelledell’aria oscillano lungo la direzione di propagazione. Esse sono determinate da quattrofattori principali:

• ampiezza: e il “volume” della vibrazione che e percepita come rumore;

• altezza: e la qualita che fa distinguere un suono acuto da uno grave ed e in direttacorrispondenza con la frequenza di vibrazione;

• timbro: e la qualita che, a parita di frequenza, distingue un suono da un altro, edipende dalla forma dell’onda sonora;

• durata: e l’intervallo di tempo durante il quale viene emessa l’onda sonora.

1

1.1 L’orecchio umano

L’orecchio ha il compito di tradurre in stimoli nervosi le variazioni di pressione che locolpiscono. L’orecchio umano e divisibile in tre parti: l’orecchio esterno, l’orecchio medioo timpano e l’orecchio interno o labirinto.

L’orecchio esterno

Esso e costituito da una parte esterna visibile di forma ovoidale, detta padiglione, fatta dicartilagine, una media, detta conca auricolare, associata alla messa a fuoco ed all’esalta-zione dei suoni, e una esterna, chiamata anche elica, associata alla separazione spazialeverticale, che ci permette di poter giudicare l’altezza di una sorgente sonora. La partecentrale spedisce i suoni al canale uditorio, detto anche meato acustico. Esso e un tubolungo circa 2.7 cm e avente diametro pari a 0.7 cm, che termina con una membrana, lamembrana del timpano, sensibile alle onde sonore che vanno a infrangersi su di essa e chedivide proprio l’orecchio esterno da quello medio.

L’orecchio medio

La membrana del timpano e collegata a tre ossicini, i piu piccoli del corpo umano: ilmartello, con cui e direttamente a contatto l’incudine, e la staffa, che e invece a contattocon il labirinto. Essi formano un sistema di leve di collegamento tra il timpano e unamembrana che copre una piccola apertura presente nell’orecchio interno ,chiamata finestraovale. Queste tre ossa sono contenute in una cavita, la cassa del timpano, che comunicaall’esterno attraverso un piccolo canale lungo 3-4 cm, la tromba di Eustachio, che sboccapoi nella faringe.

L’orecchio interno

E costituito da un insieme di cavita ossee scavate nell’osso temporale, dette labirinto osseo,all’interno delle quali sono presenti altre cavita piu piccole, che costituiscono il labirintomembranoso e le cui pareti risultano membranose. Tra le due porzioni di labirinto epresente un liquido, la perilinfa, mentre internamente agli organi del labirinto membranosoe presente un liquido diverso, l’endolinfa. Entrambi i labirinti possono essere a loro voltadivisi in tre parti: una cavita centrale detta vestibolo, tre canali a forma anulare, detticanali semicircolari, che giocano un ruolo fondamentale nell’equilibrio, e un canale aforma di serpente detto coclea o chiocciola. Quest’ultima ha lo scopo di separare i suoniin diverse componenti di frequenza prima di trasmetterli ai nervi. La coclea, situata inbasso e lateralmente rispetto al vestibolo, sviluppa al suo interno il canale cocleare, cheinizia in corrispondenza del pavimento del vestibolo e si avvolge ad elica, formando circatre giri a partire dalla cassa timpanica fino alla cupola della chiocciola. La chiocciola eformata da una lamina spirale, sottile ed ossea, che attraversa nel senso della lunghezza ildotto cocleare. Dal lato esterno della lamina partono due membrane: quella vestibolareo del Reissner e quella basilare. Entrambe raggiungono la parete laterale del dottococleare. L’interno della coclea e quindi diviso in uno spazio al di sopra della lamina diReissner, che corrisponde alla rampa vestibolare, uno al di sotto della membrana basale o

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rampa timpanica ed uno situato in mezzo, chiamato rampa media. Compresa tra la cassatimpanica e la rampa si trova la finestra rotonda, chiusa da una membrana di connettivo,atta a regolare e a garantire la giusta pressione dell’orecchio interno quando si verificanovibrazioni della finestra ovale, che corrisponde alla comunicazione della cassa timpanica conl’orecchio interno. Sulla membrana basilare, rivestita da epitelio, si differenzia l’organospirale o del Corti, che rappresenta l’organo acustico vero e proprio, perche contienei recettori dell’udito, e ha una struttura cellulare fatta di un doppio ordine di celluleacustiche ciliate, interne ed esterne, in numero di circa 20.000.

Dunque l’orecchio esterno focalizza e amplifica le onde sonore, che mettono in vibrazioneil timpano auricolare, e le dirige verso l’orecchio medio. Nell’orecchio medio, l’energia diqueste onde viene trasformata in vibrazioni meccaniche della struttura ossea dell’orecchiomedio (energia cinetica). Uno dei tre ossicini della catena, la staffa, muovendosi avanti eindietro entro la finestra ovale della coclea trasmette l’impulso cinetico alla perilinfa inessa contenuta; attraverso l’endolinfa del condotto cocleare le onde vengono trasmessedalla rampa vestibolare alla rampa timpanica (e quindi entrano in vibrazione anche lemembrane che separano le rampe, o stanze, della coclea). Il segnale arriva cosı allamembrana basilare, che separa la rampa vestibolare da quella timpanica, e dove si troval’organo del Corti. Le cellule acustiche in esso contenute sono in contatto con le cellulenervose che fanno parte del nervo vestibolo cocleare. Di lı il segnale, che nella coclea vienetrasdotto (l’energia cinetica diventa energia elettro-chimica), giunge all’area acustica dellacorteccia cerebrale, e poi al lobo temporale del cervello: qui avviene la decodificazionedell’impulso elettrico, e si giunge cosı alla percezione del suono.

1.1.1 Limitazioni dell’orecchio umano

In musica le frequenze sono misurate in Hertz (Hz). Lo spettro approssimativo dellefrequenze che l’orecchio umano puo udire va da circa 20 Hz fino a 20.000 Hz. Per frequenzeal di fuori di questo intervallo non c’e risonanza nella membrana basilare. L’intensita del

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suono e misurata in decibel (dB). Zero decibel rappresentano un’intensita di potenza paria 10−12 watt per metro quadrato, che e quindi in qualche modo il suono piu debole chepossiamo percepire. Aggiungere 10 dB equivale a moltiplicare l’intensita di potenza perun fattore 10. Viceversa moltiplicare l’intensita per un fattore b equivale ad aggiungere2 log10(b) decibel al livello del segnale. Quindi possiamo concludere che la scala permisurare l’intensita dei suoni e logaritmica e n decibel rappresentano una densita dipotenza di 10( n

10)−12

watt per metro quadrato.

La soglia di udibilita e il livello del suono piu debole che possiamo udire. Il suo valorein decibel varia da una parte dello spettro di frequenze a un’altra. Le nostre orecchiesono piu sensibili alle frequenze leggermente sopra i 2000 Hz, dove la soglia di udibilitadella maggior parte delle persone e leggermente superiore a 0 dB. A 100 Hz la soglia diudibilita e di circa 50 dB e a 10 Hz e di circa 30 dB. Una conversazione normale avviene acirca 60-70 dB, mentre il bisbiglio e circa 15-20 dB, e la soglia del dolore e a circa 130 dB.

Vi e dunque una relazione stretta, anche se non un’identita, fra l’intensita del suonoe la percezione di rumorosita. Il grafico seguente, che si deve a Fletcher e Munson,mostra attraverso una serie di curve il rapporto, per tutte le frequenze udibili, tra lapressione acustica e la corrispondente “rumorosita” percepita dall’orecchio, per vari gradid’intensita, dalla soglia di udibilita a quella del dolore. L’unita di misura per la sensazioneche recepiamo (cioe per la rumorosita) e il phon. L’ascoltatore regola il livello del segnalefino a quando lo si giudica di intensita pari a un’intensita standard di 1000 Hz. Il livellodel phon e definito come livello di pressione del segnale di 1000 Hz della stessa intensita.

Le curve di questo grafico sono chiamate curve isofone.

1.2 Perche le onde sonore

Ci chiediamo perche nella discussione della percezione dell’altezza usiamo le onde sinusoi-dali. Potremmo ad esempio svolgere questa trattazione utilizzando un’altra famiglia dionde periodiche? La risposta risiede nello studio dell’equazione differenziale di un moto

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armonico semplice:d2y

dt2= −ky

le cui soluzioni sonoy = A cos

√kt+B sin

√kt

o equivalentementey = c sin(

√kt+ φ)

Nella figura i parametri sono c = 1, k = 9 e φ = 4.Questa equazione descrive i fenomeni elastici, quando un oggetto tende a una posizione

di equilibrio a causa di una forza la cui ampiezza e proporzionale proprio allo spostamentodall’equilibrio. Nel caso dell’orecchio umano tale equazione rappresenta approssimativa-mente il moto di un punto particolare situato sulla membrana basilare o lungo la catena ditrasmissione tra l’aria esterna e la coclea. Ci sono pero tre imprecisioni in tale affermazione:innanzitutto per studiare il moto della superficie della membrana basilare dovremmodisporre di una equazione differenziale di secondo grado, inoltre dovremmo pensare almoto come un moto armonico smorzato, in cui compare un termine di smorzamentoproporzionale alla velocita, che deriva dalla viscosita del fluido in cui ci si trova e dal fattoche la membrana basilare non e perfettamente elastica. Vedremo in seguito che il motoarmonico smorzato e anch’esso sinusoidale ma contiene un fattore che decade rapidamentecon il tempo. Infine l’ultima imprecisione consiste nel fatto che per suoni abbastanza fortila forza di richiamo potrebbe non essere lineare, fatto che sembra essere la causa di moltiinteressanti fenomeni acustici.

Osserviamo inoltre che la maggior parte della note musicali non sono costituite dauna singola onda sinusoidale: per esempio, pizzicando la corda di una chitarra si ottieneun’onda periodica che risulta essere la somma di onde sinusoidali di varia ampiezza. Ladecomposizione di un’onda periodica come somma di onde sinusoidali e chiamata analisidi Fourier.

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Capitolo 2

Onde armoniche ed analisi di Fourier

2.1 Moti armonici

Consideriamo una particella di massa m soggetta alla forza di richiamo F verso la posizionedi equilibrio y = 0 e la cui ampiezza risulta proporzionale alla distanza y dall’equilibrio:

F = −ky,

dove k e la costante di proporzionalita. Le leggi di Newton ci danno l’equazione

F = ma

dove

a =d2y

dt2

indica l’accelerazione della particella e t il tempo. Combinando le due espressioni dellaforza otteniamo l’equazione differenziale del secondo ordine

d2y

dt2+ky

m= 0.

Le soluzioni di questa equazione sono le funzioni

y = A cos(√ k

mt)

+B sin(√ k

mt)

Il fatto che queste siano le soluzioni dell’equazione differenziale scritta sopra e la spiegazionedel perche le onde sinusoidali e non qualsiasi altra onda oscillante e periodica siano allabase dell’analisi armonica delle onde periodiche.

2.2 Corde vibranti

Analizziamo ora il moto di una corda che vibra. Consideriamo una corda ancorata alledue estremita e supponiamo che essa abbia una perlina pesante attaccata nel centro,cosı che la sua massa sia maggiore di quella della corda. Quest’ultima esercita una forza

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sulla perlina diretta verso la posizione di equilibrio, la cui ampiezza, almeno per piccolispostamenti, e proporzionale alla distanza y dalla posizione di equilibrio:

F = −kyPer quanto visto prima otteniamo l’equazione differenziale

d2y

dt2+ky

m= 0

le cui soluzioni sappiamo essere le funzioni

y = A cos(√ k

mt)

+B sin(√ k

mt)

dove le costanti A e B sono determinate dalla posizione iniziale e dalla velocita dellaperlina.

Se la massa della corda e distribuita uniformemente allora diversi modi vibrazionalisono possibili. Per esempio il punto medio della corda puo rimanere fermo mentre lerestanti meta vibrano con fasi opposte. In una chitarra cio puo realizzarsi sfiorando ilpunto medio di una corda con una mano e pizzicando il resto della corda con l’altra mano.L’ effetto consiste in un suono all’ottava superiore rispetto all’altezza naturale della corda.Se le due meta della corda vibrano con un’onda sinusoidale pura, allora il moto di unqualsiasi punto, escluso il punto medio, sara descritto dall’equazione

y = A cos(2

√k

mt)

+B sin(2

√k

mt)

Analogalmente se un punto, posto esattamente ad un terzo della lunghezza della corda dauna della due estremita, viene sfiorato mentre si sta pizzicando la corda stessa, si otterraun suono di un’ottava superiore rispetto alla sua altezza effettiva e una quinta esattasopra il suono naturale della corda, o equivalentemente con una frequenza che e tre voltequella fondamentale.

Di nuovo, se la terza parte della corda sta vibrando con un’onda sinusoidale pura,allora il moto di un punto non stazionario sulla corda sara descritto dalla funzione

y = A cos(3

√k

mt)

+B sin(3

√k

mt)

In generale una corda pizzicata produrra una miscela di tutti i modi descritti dai multiplidella frequenza naturale, con varie ampiezze.

Le ampiezze coinvolte dipendono dal modo specifico con cui le corde vengono fattevibrare. Per esempio una corda percossa da un martelletto come accade nel pianoforteavra un insieme diverso di ampiezze rispetto a quello di una corda pizzicata. L’equazionegenerale del moto di un generico punto sulla corda e, almeno in linea teorica,

y =∞∑n=1

(An cos

(n

√k

mt)

+Bn sin(n

√k

mt))

Adesso cercheremo di rispondere alla seguente domanda: come possiamo far vibrare unacorda con un numero diverso di frequenze nello stesso istante? Questo problema haoccupato la mente di molti musicisti e matematici in tutto il XVII e XVIII secolo. Tra imolti che hanno cercato una soluzione ci sono Marin Mersenne, Bernoulli e Jean BaptisteJoseph Fourier.

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2.3 Analisi di Fourier

Discutiamo ora proprio la teoria dell’analisi di Fourier. Come abbiamo gia accennato essasi concentra sullo studio delle onde periodiche come somma (in genere finita) di seni ecoseni. Le frequenze che entrano in gioco sono interi, multipli della frequenza fondamentaledell’onda periodica e ciascuna di essa ha un’ampiezza che puo essere determinata daun intero. Ricordiamo che i suoni emessi dagli strumenti musicali sono il risultato dellasovrapposizione di diversi tipi di onde sonore. Per capire in che modo la teoria di Fouriere strettamente connessa alla comprensione dei suoni partiamo da un esempio. Pensiamodi pizzicare la corda di una chitarra, che iniziera quindi a oscillare e a produrre suoni adiverse frequenze, tutte multiple di una stessa frequenza w detta fondamentale, propriadella corda, che dipende dalle sue proprieta fisiche come lunghezza e tensione. Il suonoemesso dalla corda e dunque descritto da una somma di funzioni periodiche della stessoperiodo T= 1

ωdel tipo an cos 2πnθ

Toppure bn sin 2πnθ

T.

A meno di un’omotetia, possiamo dunque supporre T = 2π e studiare le principaliproprieta di serie trigonometriche della forma

1

2a0 +

∞∑n=1

(an cosnθ + bn sinnθ)

dove an e bn sono numeri reali o complessi e θ ∈ R.Prima di dare la definizione di serie e coefficienti di Fourier ricordiamo cosa si intende

per spazi Lp(D).

Definizione 2.3.1. Fissiamo p ∈ [1,∞[ e un sottoinsieme misurabile D ⊆ RN . Sia Lp(D)lo spazio vettoriale delle funzioni misurabili tali che |f |p e sommabile su D. L’insiemequoziente Lp(D)� ' si indica con Lp(D).

Definizione 2.3.2. Se f ∈ L1(−π, π) definiamo la serie di Fourier di f la seguente serie:

1

2a0 +

∞∑n=1

(an cos(nθ) + bn sin(nθ)) (2.1)

e chiamiamo i numeri

am =1

π

� π

−πcos(mθ)f(θ)dθ, bm =

1

π

� π

−πsin(mθ)f(θ)dθ

coefficienti di Fourier di f .

Per indicare le somme parziali della serie di Fourier di una certa funzione f useremo,nelle pagine succesive, la notazione Sn(f, x) se ci serve valutare la somma in un determinatopunto x, o piu semplicemente Sn, dove non sono necessarie altre specificazioni.

2.3.1 Convergenza della serie di Fourier

Dunque data una funzione in L1 possiamo sempre scriverci i coefficienti di Fourier e laserie di Fourier ad essa associata seguendo la definizione data. Inoltre, come si notera in

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seguito, essendo diretta conseguenza del lemma di Fejer che verra affrontato tra qualchepagina, vale la proprieta:

am = bm = 0 ∀m ∈ N =⇒ f = 0 q.o.

Ci poniamo ora il problema inverso: date due successioni {am}, {bm} ⊆ C quando possiamodire che la serie trigonometrica a0

2+∑∞

n=1 am cosmx+ bm sinmx e la serie di Fourier diuna qualche funzione f?

Se la serie trigonometrica e uniformemente convergente allora vale quanto appena detto.In caso contrario cercheremo delle condizioni o dei casi particolari in cui cio continua adaccadere.

Partiamo analizzando lo spazio L2(−π, π). Ricordiamo che in questo spazio sono definiti

il prodotto scalare naturale f � g =� π−π f(t)g(t)dt e la norma indotta ||f ||2 =

√� π−π |f |2dt.

Introduciamo la famiglia dei polinomi trigonometrici :

Definizione 2.3.3. Un polinomio trigonometrico e una funzione della forma

P (x) =a0

2+

N∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx)

dove N ∈ N+, a0, ai e bi per i = 1, ..., N sono numeri reali o complessi. Si definisce gradodi P il massimo N tale che |an| + |bn| > 0 e indichiamo con ΓN la classe dei polinomitrigonometrici di grado non superiore a N .

Teorema 2.3.1. (Proprieta di miglior approssimazione) Sia f ∈ L2(−π, π) e indichiamocon SN la somma parziale N-sima della serie di Fourier di f, ossia

SN(t) =a0

2+

N∑n=1

(an cosnt+ bn sinnt)

Allora si ha

‖f − SN‖22 = min

P∈ΓN

‖f − P‖22 = ‖f‖2

2 − π[ |a0|2

2+

N∑n=1

(|an|2 + |bn|2)]

Il sistema trigonometrico e completo, nel senso che le combinazioni lineari finite dielementi di questo sistema approssimano qualunque funzione di L2(−π, π) nel senso dellanorma di L2.

Teorema 2.3.2. Per ogni f ∈ L2(−π, π) e sia SN la somma parziale N-sima della seriedi Fourier di f. Allora

limN→∞

� π

−π|f(x)− SN(x)|2dx

Enunciamo ora un noto teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier sottoopportune ipotesi:

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Teorema 2.3.3. (di Dirichlet) Sia f : R → R una funzione periodica di periodo 2π taleche |f |2 sia sommabile in (−π, π). Se in un punto x ∈ [−π, π] esistono finiti i limiti destroe sinistro di f :

f(x+) = limh→0+

f(x+ h), f(x−) = limh→0−

f(x− h)

ed esistono finite anche la derivata destra e la derivata sinistra di f :

f′(x+) = lim

h→0+

f(x+ h)− f(x+)

h, f

′(x−) = lim

h→0−

f(x+ h)− f(x−)

h

allora la serie di Fourier di f e convergente nel punto x e si ha

1

2a0 +

∞∑n=1

(an cosnx+ bn sinnx) =f(x+) + f(x−)

2

.

Dirichlet si pose il problema se la serie di Fourier di una qualunque funzione integrabileo almeno continua convergesse: egli riteneva che la risposta a questa domanda dovesseessere affermativa. Durante tutta la prima meta dell’Ottocento questa idea fu supportatanel corso dagli anni da altri matematici come Riemann, Weierstrass e Dedekind. Ci fudunque un enorme stupore quando Du Bois-Reymond esibı un controesempio che noi cilimiteremo ad enunciare sotto forma di teorema.

Teorema 2.3.4. Esiste una funzione f : R → R continua e 2π-periodica, tale che

limn→∞

supx∈[−π,π]

|Sn(f, 0)| = ∞.

Un teorema di rilievo su questo argomento e stato fornito dal matematico Fejer. L’ideasulla quale si baso fu che se la somma parziale sm definita da

sm(θ) =1

2a0 +

m∑n=1

(an cosnθ + bn sinnθ)

converge, allora le corrispondenti medie aritmetiche

σm(θ) =s0 + . . .+ sn

m+ 1

convergono allo stesso limite. Puo capitare invece che σm converga senza che sm converga.Quest’idea era gia presente prima che Fejer si avvicinasse a tale problema. Era gia statausata da Eulero e approfondita da Cesaro e infine prese il nome di sommabilita di Cesaro.

Definizione 2.3.4. Una serie di Fourier si dice sommabile secondo il metodo di Cesaro,o Cesaro-sommabile, se esiste finito il limite

limm→∞

σm(x).

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Sappiamo che la somma parziale puo essere espressa nel seguente modo

sm(x) =1

π

� π

−πf(θ)Dn(θ − x)dθ

dove Dn(θ) e il nucleo di Dirichlet. Possiamo allora riscrivere la somma di Cesaro nellaforma

σm(x) =1

π

� π

−πf(θ)

1

m+ 1

n∑k=0

Dk(θ − x)dθ =1

π

� π

−πf(θ)Km(θ − x)dθ

dove

Kn(u) =1

n+ 1

n∑k=0

Dk(u).

Dunque

σm(x) =1

π

� π

−πf(x+ u)Km(u)du.

La funzione Km(u) prende il nome di nucleo di Fejer.Poiche

Dm(u) =sin(m+ 1

2)u

2 sin u2

=cosmu− cos(m+ 1)u

4 sin2 u2

si ha

Km(u) =1

m+ 1

m∑k=0

cos ku− cos(k + 1)u

4 sin2 u2

=1− cos(k + 1)u

(m+ 1)4 sin2 u2

=

=1

2(m+ 1)

(sin(m+ 1)u

2

sin u2

)2

.

Riusciamo adesso a dare alcune proprieta del nucleo di Fejer:

1. Km(u) ≥ 0.

2. Km(u) ≤ 12(m+1) sin2 u

2

≤ π2

2(m+1)u2 per 0 < |u| ≤ π.

3. Km(u) ≤ π2

2(m+1)δ2per 0 < δ ≤ |u| ≤ π e dunque, ponendo

Mm(δ) = maxδ≤u≤π

Km(u),

abbiamolimn→∞

Mm(δ) = 0.

4. 1π

� π−πKm(u)du = 1, il che si dimostra semplicemente osservando che

1

π

� π

−πDk(u)du = 1, k = 0, 1, 2....

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5. Se 0 < δ < π si ha

limm→∞

1

π

� δ

−δKm(u)du = 1.

Teorema 2.3.5 (Fejer). Sia f una funzione 2π-periodica. Se x e un punto di continuita odi discontinuita di prima specie per f , allora in tale punto σm(f) converge a f(x) oppurea [f(x+ 0) + f(x− 0)]/2, rispettivamente; se (a, b) e un intervallo in cui f(x) e continua,allora σm(f) converge uniformemente a f in ogni sottointervallo [α, β] ⊂ (a, b). Inoltre sef(x) e ovunque continua allora σm converge uniformemente a f in [−π, π].

Dimostrazione. Per affrontare questa dimostrazione dobbiamo introdurre un

Lemma 2.3.1. Consideriamo la funzione

fn(x) =1

π

� π

−πf(x+ t)ψn(t)dt,

dove ψn(t) possiede le seguenti proprieta:

1. ψn e una funzione pari;

2.� π−π |ψn(t)|dt ≤ C per n = 1, 2, ..., dove C e una costante;

3. definendo per δ > 0Mn(δ) = sup

δ≤|t|≤π|ψn(t)|

si halimn→∞

Mn(δ) = 0;

4. 1π

� π−π ψn(t)dt = 1;

allora, se x e un punto di discontinuita del primo tipo di f si ha

limn→∞

fn(x) =f(x+ 0) + f(x− 0)

2

e fn(x) → f(x) per ogni punto di continuita di f(x). Se poi f(x) e continua in (a, b) allorafn → f uniformemente in [α, β] per ogni [α, β] ⊂ (a, b).

Per dimostrare questo lemma osserviamo innanzitutto che per la proprieta (4) dellafunzione ψn abbiamo

f(x+ 0) + f(x− 0)

2=

1

π

� π

−π

f(x+ 0) + f(x− 0)

2ψn(t)dt =

=2

π

� π

0

[f(x+ 0) + f(x− 0)]ψn(t)dt

per la parita della funzione ψn(t). Possiamo anche scrivere

fn(x) =1

π

� π

−π[f(x+ t) + f(x− t)]ψn(t)dt =

2

π

� π

0

[f(x+ t) + f(x− t)]ψn(t)dt

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Unendo le ultime due espressioni scritte otteniamo

fn(x)−f(x+ 0) + f(x− 0)

2=

2

π

� π

0

[f(x+ t) + f(x− t)− f(x+ 0)− f(x− 0)]ψn(t)dt

Dimostreremo ora che l’integrale che si trova nel membro di destra tende a zero pern→∞ e che se f e continua in (a, b) allora esso tende uniformemente a zero in [α, β], sea < α < β < b. Per fare cio scegliamo un numero δ tale che per 0 ≤ x ≤ δ si abbia

|f(x+ t)− f(x+ 0)| < ε, |f(x− t)− f(x− 0)| < ε :

cio e possibile per ogni x fissato; se pero f e continua in (a, b) (in tal caso f(x + 0) =f(x− 0) = f(x)), allora e possibile scegliere un δ indipendente da x ∈ [α, β] che soddisfale disuguaglianze scritte sopra. COn questa scelta di δ, dividiamo l’integrale che stiamostudiando in due parti: l’integrale I1 nell’intervallo (0, δ) e l’integrale I2 nell’intervallo(δ, π). Otteniamo allora

|I1| < 2ε

� π

0

|ψn(t)|dt < 2εC

per la proprieta (2) della funzione ψn.Per I2 abbiamo invece

|I2| ≤Mn(δ)

� π

δ

{|f(x+ t)|+ |f(x+ 0)|+ |f(x− t)|+ |f(x− 0)|}dt.

Per ogni x fissato l’integrale appena scritto tende a zero per la proprieta (3) della funzioneψn, ossia I2 → 0. Inoltre se x ∈ [α, β] ⊂ (a, b) allora per ogni x il nostro integrale nonsupera la quantita �

−ππ|f(t)|dt+ 2π|f(x)|

e poiche f e continua in (a, b) ed e limitata in [α, β], allora I2 → 0 uniformemente.A questo punto poniamo fn(x) = σn(x), e dunque per dimostrare il teorema di

Fejer sara sufficiente provare che il nucleo di Fejer Kn soddisfa le ipotesi del lemma.La proprieta (1) e automaticamente soddisfatta per la parita del nucleo di Dirichlet(Dn(t) = 1

2+ cosx + .... + cosnx); le (3), (4) sono gia state dimostrate e (2) segue dal

fatto che per il nucleo di Fejer vale, come sappiamo,

� π

−π|Kn(t)|dt =

� π

−πKn(t)dt = π.

Possiamo interpretare questo teorema dicendo che ogni funzione continua puo esserericostruita partendo dai suoi coefficienti di Fourier.

Esponiamo adesso il teorema di Fejer per le funzioni in Lp.

Teorema 2.3.6. Sia f ∈ Lp(−π, π) una funzione 2π-periodica. Allora σm → f inLp(−π, π).

13

Dimostrazione. Si ha

I = ||σm − f ||pp =

� π

−π

∣∣∣ 1π

� π

−πf(y)Km(x− y)dy − f(x)

∣∣∣pdx,ed essendo

1

π

� π

−πKm(y)dy = 1

deduciamo che

I =

� π

−π

∣∣∣ 1π

� π

−π(f(x− y)− f(x))Km(y)dy

∣∣∣pdx ≤≤

� π

−π

[1

π

� π

−π|f(x− y)− f(x)|Km(y)

1p+ 1

q dy

]pdx ≤

≤� π

−π

[1

π

[ � π

−π|f(x− y)− f(x)|pKm(y)dy

] 1p[ � π

−πKm(y)dy

] 1q

]pdx =

=π

pq

πp

� π

−π

[ � π

−π|f(x− y)− f(x)|pdx

]Km(y)dy.

Poiche, fissato ε, esiste δ tale che ‖f(x− y)− f(x)‖Lp(−π,π) < ε per ogni |h| < δ, possiamodividere l’integrale in due pezzi e dire che

I ≤ 1

π

�|y|≤δ

‖f(· − y)− f(·)‖Lp(−π,π)Km(y)dy +1

π

�δ≤|y|≤π

2‖f‖Lp(−π,π)Km(y)dy;

utilizzando la definizione e le proprieta del nucleo di Fejer, possiamo concludere che

I ≤ ε+ 2||f ||pπ

(m+ 1) sin2 δ2

< 2ε

per m ≥ mε,δε = mε.

Ci sono diversi modo in cui puo essere interpretata la convergenza della serie di Fourier,il piu importante e quello riguardante lo scarto quadratico medio.

Teorema 2.3.7. Sia f ∈ L2(−π, π) una funzione periodica con periodo 2π. Tra tutte lefunzioni g che sono combinazioni lineari di cosnθ e sinnθ con 0 ≤ n ≤ m, la sommaparziale sm verifica � 2π

0

|f(θ)− sm(θ)|2dθ ≤� 2π

0

|f(θ)− g(θ)|2dθ.

Inoltre lo scarto quadratico medio tende a 0 per m→∞, vale a dire sm → f in L2(−π, π).

Concludiamo questo paragrafo con un altro teorema sulla convergenza della serie diFourier.

Teorema 2.3.8. (di Jordan) Se f e una funzione a variazione limitata1 in un sottointer-vallo [a, b] di [−π, π], allora la sua serie di Fourier e convergente in ogni punto di taleintervallo. La sua somma e f(x) nei punti in cui f e continua e [f(x+ 0) + f(x− 0)]/2nei punti di discontinuita. Inoltre se [α, β] ⊂ (a, b) e f e continua in [α, β], allora la seriedi Fourier converge uniformemente in [α, β].

1Una funzione si dice a variazione limitata se la sua “variazione totale” e finita. Per le funzioni di unavariabile, cio vuol dire che la distanza percorsa da un punto che si muove lungo il suo grafico e finita.

14

2.4 Il fenomeno di Gibbs

Nel 1871 Kelvin ideo un meccanismo che, data una funzione periodica, riproduceva lacorrispondente serie di Fourier e, viceversa, ricostruiva una funzione periodica avendocome input la corripondente serie. Una macchina di questo tipo fu costruita anche daMichelson. La prima funzione che Michelson utilizzo per mettere alla prova la sua nuovamacchina fu la funzione h(x) = x ∈ (−π, π) e h(±π) = 0. Sorprendentemente la macchinanon riprodusse perfette approssimazioni della funzione h: i grafici presentavano piccoleoscillazioni che non approssimavano il grafico di h attorno ai due punti di discontinuita±π.

Michelson provo allora a regolare meglio la macchina, pensando che essa avesse qualchedifetto, ma nonostante questo le discrepanze persistevano. Alla fine, mediante calcoli fattia mano si dimostro effettivamente che le somme parziali Sn della serie di Fourier di hhanno effettivamente queste oscillazioni in prossimita dei punti di discontinuita. Si osservoanche che, con l’aumentare di n, le oscillazioni sono sempre piu concentrate nell’intornodei punti di discontinuita, ma che la loro altezza, in valore assoluto, e fra il 117% e il118% rispetto al valore corretto della funzione, sempre inteso in valore assoluto. Ci si eposto il problema di studiare le proprieta di convergenza delle serie di Fourier di funzionisimili a questa. Quello che si e scoperto e che la condizione di convergenza puntualeSn(h, t) → h(t) non garantisce che anche il grafico di fn approssimi il grafico di f . Gibbsapprofondı questo argomento.

Teorema 2.4.1. Consideriamo la funzione h(x) = x per x ∈ (−π, π) e h(±π) = 0,prolungata poi con periodicita. Allora

limn→∞

Sn

(h, π − π

n

)= Aπ, lim

n→∞Sn

(h,−π +

π

n

)= −Aπ,

dove A = 2π

� π0

( sinxx

)dx ∈]1.17, 1.18[.

Questo teorema mostra appunto che vi e uno scarto strettamente positivo in normauniforme, nell’intorno del punto di discontinuita, fra la funzione e la sua serie di Fourier.

15

Dimostrazione. Partiamo calcolando le somme parziali della serie di Fourier associata adh. Essendo h una funzione dispari, i coefficienti an sono tutti nulli mentre i coefficienti bnvalgono:

bn =2

π

� π

0

x sinnx dx.

Integrando per parti otteniamo

bn =[ 2

π

−x cosnx

n

]π0

+2

nπ

� π

0

cosnx dx = 2(−1)n−1

n.

Dunque la serie di Fourier associata ad h e

∞∑n=1

2(−1)n−1 sinnx

n,

e la somma parziale n-sima della serie di Fourier sara

Sn(h, x) =n∑k=1

2(−1)k−1 sin kx

k.

Valutiamo tale somma nei punti ±π ∓ πn:

Sn

(h, π − π

n

)=

n∑k=1

2

k(−1)k−1 sin

(kπ − kπ

n

);

utilizzando le formule di addizione e sottrazione

Sn(h, x) =n∑k=1

2

k(−1)2n sin kπ

n=

n∑k=1

2

ksin

kπ

n= 2π

n∑k=1

1

n

( nkπ

sinkπ

n

).

Osservando che la funzione sinxx

e limitata e continua in [0, 2π] possiamo concluderebanalmente che per n→∞

Sn

(h, π − π

n

)→ 2

� π

0

sin x

xdx.

Con lo stesso procedimento otteniamo anche, per n→∞, che

Sn

(h,−π +

π

n

)→ −2

� π

0

sin x

xdx.

Abbiamo cosi dimostrato la prima parte del teorema. Resta da far vedere che

2

π

� π

0

sin x

xdx ∈]1.17, 1.18[.

Ma poichesin x

x=

∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n+ 1)!

16

con convergenza uniforme sui limitati di R, integrando termine a termine otteniamo

� π

0

sin x

xdx =

∞∑n=0

(−1)nπ2n

(2n+ 1)!(2n+ 1).

La serie appena scritta e una serie a segni alterni: per il criterio di Leibniz, l’errore dovutoal troncamento dei termini della serie e minore, in valore assoluto, del primo terminetrascurato, cioe∣∣∣∣∣ 1π

� π

0

sin x

xdx−

n∑k=0

(−1)kπ2k

(2k + 1)!(2k + 1)

∣∣∣∣∣ ≤ π2n+2

(2n+ 3)!(2n+ 3).

E allora sufficiente scegliere k = 3 per ottenere, con l’ausilio di una buona calcolatrice,

1.17 <2

π

� π

0

sin x

xdx < 1.18.

Supponiamo adesso di avere una funzione 2π-periodica f , e sia h la funzione definitacome sopra, cioe h(x) = x per x ∈ (π, π) e h(±π) = 0, e poi prolungata con periodicita.Supponiamo che f abbia N punti di discontinuita di prima specie x1, x2, ....xN e siaderivabile negli altri punti con f ′ ∈ L2(−π, π); proveremo che per ognuno di questi puntixi e possibile trovare un opportuno λi tale che la funzione g(x) = f(x)−

∑Ni=1 λih(x−xi+π)

non solo soddisfa le ipotesi del teorema di Dirichlet ma e anche continua, il che ci garantiscela convergenza. Dimostriamo adesso l’esistenza di questi λi. Per la funzione g sopradefinita possiamo calcolare

limx→x+

i

g(x) = f(xi + 0) + λiπ, limx→x−i

g(x) = f(xi − 0)− λiπ,

e imponendo che questi due limiti siano uguali (cosicche g e continua) si ha

f(xi + 0)− f(xi − 0) = −2πλi,

da cui si ricava infine il valore di λi:

λi = −f(xi + 0)− f(xi − 0)

2π.

Pertanto la funzione g cosi costruita e tale che Sn(g) → g uniformemente su [−π, π].Ne segue che anche in questo caso il fenomeno or ora descritto si presenta: infatti, perj = 1, . . . , N valgono le relazioni

Sn

(g, xj −

π

n

)= Sn

(f, xj −

π

n

)−

N∑i=1

λiSn

(h, xj − xi + π − π

n

),

Sn

(g, xj +

π

n

)= Sn

(f, xj +

π

n

)−

N∑i=1

λiSn

(h, xj − xi − π +

π

n

),

17

da cui per n→∞

f(xj − 0)− λjπ −∑i6=j

λih(xj − xi + π) = g(xj) =

= limn→∞

Sn

(f, xj −

π

n

)− λjAπ −

∑i6=j

λih(xj − xi + π),

f(xj + 0) + λjπ −∑i6=j

λih(xj − xi + π) = g(xj) =

= limn→∞

Sn

(f, xj +

π

n

)+ λjAπ −

∑i6=j

λih(xj − xi + π),

e semplificando si trova

limn→∞

Sn

(f, xj −

π

n

)− f(xj − 0) = −f(xj + 0)− f(xj − 0)

2(A− 1),

limn→∞

Sn

(f, xj +

π

n

)− f(xj + 0) = +

f(xj + 0)− f(xj − 0)

2(A− 1).

Quanto appena descritto e noto con il nome di fenomeno di Gibbs, anche se sarebbe piucorretto chiamarlo fenomeno di Gibbs-Wilbraham: Wilbraham, infatti, aveva gia scopertoquesta particolarita, ma i suoi risultati apparvero quasi solo una curiosita e passaronopressocche inosservati. Solo sessant’anni dopo, per progredire nello sviluppo dei radar, sirese necessario studiare nel dettaglio la funzione h definita nella pagine precedenti e ilfenomeno venne definitivamente chiarito.

2.5 Funzioni di Bessel

2.5.1 La funzione Γ di Eulero

Prima di iniziare la descrizione delle funzioni di Bessel introduciamo qualche concetto checi sara utile nelle pagine successive, soprattutto nella dimostrazione della forma integraledelle funzioni di Bessel.

Definizione 2.5.1. La funzione Γ e definita da

Γ(x) =

� ∞

0

e−ttx−1dt ∀x ∈ C con Rex > 0.

Elenchiamo adesso alcune delle proprieta fondamentali di questa funzione.

1. La funzione Γ e analitica sul semipiano Rex > 0 e, integrando per parti, si trova

Γ(1) = 1, Γ(x+ 1) = xΓ(x);

dunque quando x e un numero naturale si ha

Γ(x+ 1) = x! .

18

Questa formula permette di estendere la Γ analiticamente su C\{−n : n ∈ N},ponendo

Γ(x) =Γ(x+ 1)

xse Rex ∈]− 1, 0], x 6= 0

e in generale

Γ(x) =Γ(x+ k)

x(x+ 1) . . . (x+ k − 1)se Rex ∈]− k,−k + 1], x 6= −k + 1, k ∈ N.

2. Si ha

Γ(x) = limn→∞

n!nx−1

x(x+ 1) . . . (x+ n− 1)∀x ∈ C\{−n, n ∈ N}.

Infatti, integrando n volte per parti si prova inizialmente che

� 1

0

tx−1(1− t)ndt =n!

x(x+ 1) . . . (x+ n)∀n ∈ N,∀Rex > 0.

Poi con t = un

si ricava

n!

x(x+ 1) . . . (x+ n)=

� n

0

(un

)x−1(1− u

n

)n dun

=1

nx

� n

0

ux−1(1− u

n

)ndu.

Quindin!nx

x(x+ 1) . . . (x+ n)=

� n

0

ux−1(1− u

n

)ndu

e per n→∞ si ha, per Rex > 0,

limn→∞

n!nx−1

x(x+ 1) . . . (x+ n)=

� ∞

0

ux−1e−udu = Γ(x).

Questa relazione vale in effetti per ogni x ∈ C\{−n : n ∈ N}: infatti, utilizzando laproprieta (1), se Re x ∈]− k,−k + 1[ si puo scrivere

n!nx−1

x(x+ 1) . . . (x+ n− 1)(x+ n)=

=n!nx+k−1

(x+ k)(x+ k + 1) . . . (x+ n+ k)

(x+ n+ 1) . . . (x+ n+ k)

x(x+ 1) . . . (x+ k − 1)nk

e dunque si deduce, per n→∞,

limn→∞

n!nx−1

x(x+ 1) . . . (x+ n− 1)(x+ n)=

Γ(x+ k)

x(x+ 1) . . . (x+ k − 1)= Γ(x).

3. Si osserva anche che

Γ(x) =1

e2πix − 1

�γε

e−zzx−1dz, Rex > 0,

ove γε e la curva descritta in figura.

19

Per verificare questo fatto, notiamo che la funzione integranda e olomorfa nellaregione esterna a γε, e tende a 0 quando |z| → ∞ mantenendo Re z > 0. Quindisi verifica facilmente che se ε′ 6= ε l’integrale curvilineo non cambia. D’altra parte,l’integrale

�γεe−zzx−1dz puo essere calcolato spezzandolo in tre integrali lungo i tre

cammini, indicati nel disegno, in cui abbiamo diviso γε. Risulta

I1 = −� ∞

ε

e−teiε

tx−1eiε(x−1)eiεdt = −eiεx� ∞

ε

e−t(cos ε+i sin ε)tx−1dt

ed osserviamo che si ha

I1 → −� ∞

0

e−ttx−1dt per ε→ 0.

Inoltre

I2 =

� 2π−ε

ε

e−εeiθ

εx−1eiθ(x−1)εieiθdθ =

= εx� 2π−ε

ε

e−ε cos θ−iε sin θeiθ(Rex−1)−θImxieiθdθ,

ed anche in questo caso si ricava

I2 → 0 per ε→ 0.

Infine

I3 =

� ∞

ε

e−tei(2π−ε)tx−1ei(2π−ε)(x−1)dt =

= ei(2π−ε)x� ∞

ε

e−t cos(2π−ε)−it sin(2π−ε)tx−1dt,

e risulta anche

I3 → ei2πx� ∞

0

e−ttx−1dt per ε→ 0.

Dunque, per la costanza dell’integrale curvilineo rispetto a ε, si ha�γε

e−zzx−1dz = limε→0

�γε

e−zzx−1dz = limε→0

[I1 + I2 + I3] =

= (e2πix − 1)

� ∞

0

e−ttx−1dt = (e2πix − 1)Γ(x),

20

e possiamo cosı concludere.

4. E valida la formula

Γ(x)Γ(1− x) =π

sin πx∀x ∈]0, 1[.

Dimostriamola: si ha

Γ(x)Γ(1− x) =

� ∞

0

sx−1e−sds

� ∞

0

t−xe−tdt =

� ∞

0

� ∞

0

sx−1t−xe−(s+t)dsdt.

Eseguiamo il cambiamento di variabili{ψ = st

η = st;

il determinante dello Jacobiano e

det

(ψs ψtηs ηt

)= det

(1 11t

−st2

)=

s

t2+

1

t=

1

t(η + 1),

per cui dsdt = tη+1

. Quindi otteniamo

� ∞

0

� ∞

0

ηxe−ψt

s

dψdη

η + 1=

� ∞

0

� ∞

0

ηx−1 e−ψdψ

η + 1dη =

� ∞

0

ηx−1

1 + ηdη.

Calcoliamo quest’ultimo integrale, suppondo 0 < x < 1. Consideriamo

�C

zx−1

1− zdz,

dove C e la curva in figura:

21

tenendo conto del residuo dell’integrando nel suo polo z = 1, si ha�C

zx−1

1− zdz = −2πi.

Percio

−2πi =

� π−α

−π+α

Rx−1eiθ(x−1)

1−ReiθiReiθdθ +

� ε cos ε

R cosα

(t+ ib)x−1

1− t− ibdt+

+

� π−ε

−π+ε

εx−1eiθ(x−1)

1− εeiθiεeiθdθ +

� R cosα

ε cos ε

(t− ib)x−1

1− t+ ibdt,

dove α = arcsin( εR

sin ε) e b = R sinα = ε sin ε. Il primo integrale e maggiora-to da 2π Rx

R−1, mentre il terzo e maggiorato da 2π εx

1−ε , quindi entrambi tendonoa 0 per R → ∞ e ε → 0+. Nel secondo integrale, scrivendo (t + ib)x−1 co-

me exp (x− 1)[log(√t2 + b2 + i arg(t+ ib)], l’integrando tende a exp (x−1)[log(|t|+iπ]

1−t =

eiπ(x−1) |t|x−1

1−t ; ne segue, per convergenza dominata,

� ε cos ε

R cosα

(t+ ib)x−1

1− t− ib)dt→ eiπ(x−1)

� 0

−∞

|t|x−1

1− tdt = eiπ(x−1)

� ∞

0

s1−x

1 + sds.

Analogamente si ottiene per il quarto integrale

� R cosα

ε cos ε

(t− ib)x−1

1− t+ ibdt→ e−iπ(x−1)

� −∞

0

|t|x−1

1− tdt = −e−iπ(x−1)

� ∞

0

s1−x

1 + sds.

Pertanto al limite si conclude che

−2πi =[eiπ(x−1) − e−iπ(x−1)

]� ∞

0

s1−x

1 + sds =

= −(eiπx − e−iπx)

� ∞

0

sx−1

1 + sds = −2i sin πx

� ∞

0

sx−1

1 + sds,

da cui � ∞

0

sx−1

1 + sds =

−2πi

−2i sin πx=

π

sin πx,

il che prova quanto volevamo, cioe che

Γ(x)Γ(1− x) =π

sin πx∀x ∈]0, 1[.

Adesso estendiamo questa relazione, per prolungamento analitico, alla striscia

{z ∈ C : Re z ∈]0, 1[}

e per continuita anche a

{z ∈ C : Re z ∈ [0, 1], z 6= 0, 1}.

Supponiamo ora, induttivamente, di aver esteso la nostra relazione alla fascia

{z ∈ C : Re z ∈ [0, k], z 6= 0, 1....k} (k ∈ N);

22

allora se Re x ∈]k + 1, k + 2[ si ha Re (x− 1) ∈]k, k + 1[ e quindi

π

sin πx= − π

sin π(x− 1)= −Γ(x− 1)Γ(2− x) =

= − Γ(x)

x− 1Γ(1− x)(1− x) = Γ(x)Γ(1− x).

Adesso, per prolungamento analitico e continuita possiamo estendere alla striscia

{z ∈ C : Re z ∈ [0, k + 1], z 6= 0, 1, ....k + 1}.

Quindi vale

Γ(x)Γ(1− x) =π

sin πx∀x ∈ C con Re z ≥ 0, z /∈ N.

Analogamente, se abbiamo esteso la relazione alla striscia

{z ∈ C : Re z ∈ [−k, 0], z 6= 0,−1, ....,−k},

allora per Re x ∈]− k − 1,−k[ si ha Re (x+ 1) ∈]− k,−k + 1[ e quindi

π

sin πx= − π

sin π(x+ 1)= −Γ(x+ 1)Γ(−x) = −xΓ(x)

Γ(1− x)

−x= Γ(x)Γ(1− x).

Quindi lo stesso vale per Rex ∈ [−k − 1,−k] e x 6= −k,−k − 1. In definitiva laformula vale in C\N.

5. Infine possiamo dimostrare, utilizzando le proprieta (3) e (4) gia dimostrate, che

1

Γ(x+ 1)=eiπx

2πx

�γε

e−zz−x−1dz,

dove γε e la stessa figura del punto 3. Usando prima la proprieta (4) della funzioneΓ, poi la (3), e successivamente la rappresentazione esponenziale per le funzioni senoe coseno, nonche le note proprieta trigonometriche, possiamo scrivere

1

Γ(x+ 1)=

sin π(x+ 1)

πΓ(−x) =

sin π(x+ 1)

π

1

e−2πix − 1

�γε

e−zz−x−1dz =

=1

2πi

e−iπx − eiπx

(e−2πix − 1)

�γε

e−zz−x−1dz =

=1

2πi

( i

sin πx+ i cos πx

) �γε

e−zz−x−1dz =eiπx

2πx

�γε

e−zz−x−1dz.

2.5.2 Equazioni di Bessel

Possiamo adesso introdurre le funzioni di Bessel.

23

Definizione 2.5.2. Si definisce equazione di Bessel di ordine n la seguente equazionedifferenziale ordinaria:

d2y

dx2+

1

x

dy

dx+(1− n2

x2

)y = 0,

ossia1

x

d

dx

(xdy

dx

)+(1− n2

x2

)y = 0.

Andiamo a vedere da dove nasce l’interesse per queste equazioni. Tra i problemicanonici che si riconducono alle equazioni di Bessel ci sono i problemi ai limiti perl’equazione

∆u+ k2u = 0

all’esterno o all’interno del cerchio B(0, R) (o del cilindro x2 + y2 = R2, se si lavora contre variabili indipendenti). Questa equazione, come vedremo meglio in seguito, modellizzale vibrazioni proprie di una membrana circolare e quindi e importante nell’ambito deglistrumenti a percussione.Introduciamo le coordinate polari e riscriviamo l’equazione nella forma:

1

r

∂

∂r

(r∂u

∂r

)+

1

r2

∂2u

∂ψ2+ k2u = 0

Ponendo u(r, ψ) = R(r)Φ(ψ) e separando opportunamente le variabili, otteniamo il sistema{1rddr

(r dRdr

)+(k2 − λ

r2

)R = 0

Φ′′ + λΦ = 0.

La condizione di periodicita per Φ(ψ) ci porta a concludere che λ = n2, dove n e un numeronaturale. Se poniamo adesso x = kr e y(kr) = R(r), otteniamo facilmente l’equazione diBessel

1

x

d

dx

(xdy

dx

)+(1− n2

x2

)y = 0,

o equivalentemente

y′′ +1

xy′ +

(1− n2

x2

)y = 0.

Nel caso di soluzioni dotate di simmetria radiale (o cilindrica), si ottengono le equazionidi Bessel di ordine zero, cioe della forma

1

x

d

dx

(xdy

dx

)+ y = 0,

ovvero

y′′

+1

xy′+ y = 0.

Consideriamo adesso, piu generalmente, l’equazione di Bessel di ordine ν

y′′

+1

xy′+(1− ν2

x2

)y = 0

24

o, analogamente,x2y

′′+ xy

′+ (x2 − ν2)y = 0,

ove ν e un numero reale o complesso qualsiasi, la cui parte reale si puo supporre nonnegativa. Cercheremo le soluzioni di questa equazione sotto forma di serie di potenze.

Osserviamo che in x = 0 l’equazione si abbassa di grado, dunque ci aspettiamo che lasoluzione che troveremo sia sotto forma di una serie del tipo:

y(x) = xσ(a0 + a1x+ a2x2 + ....+ akx

k + ....),

ove σ e un esponente caratteristico da determinare. Sostituendo questa espressionenell’equazione di Bessel otteniamo un sistema di equazioni per determinare σ e tutti icoefficienti ak:

a0(σ2 − ν2) = 0,

a1[(σ + 1)2 − ν2] = 0,

ak[(σ + k)2 − ν2] + ak−2 = 0, k > 1.

Se a0 e diverso da 0, possiamo ricavare banalmente σ = ±ν, e di conseguenza nella secondaequazione deve essere a1 = 0. La terza equazione fornisce allora una formula ricorrenteper determinare i coefficienti ak in funzione di ak−2:

ak = − ak−2

(σ + k + ν)(σ + k − ν),

dalla quale si ricava subito che tutti i coefficienti di indice dispari sono nulli.Se invece assumiamo a0 = 0, dalla seconda equazione con a1 6= 0 segue σ = −1 ± ν evale ancora la formula ricorrente sopra scritta, dalla quale si ricava stavolta che tutti icoefficienti di indice pari sono nulli. Tuttavia la soluzione, quando a0 = 0, diventa

y(x) = xσ(a1x+ a2x2 + ....+ akx

k + ....) = xσ+1(a1 + a2x+ ....+ akxk−1 + ....) =,

e quindi si ricade nel caso precedente con σ + 1 al posto di σ e a2k+1 al posto di a2k.Dunque e sufficiente considerare il caso dei coefficienti di indice dispari tutti nulli.Analizziamo il comportamento della soluzione, considerando dapprima prima il caso σ = ν:possiamo esprimere ogni coefficiente di indice pari in funzione del precedente come segue

a2k = − a2k−2

22k(k + ν),

ed applicando questa formula ripetutamente possiamo scrivere

a2k =(−1)ka0

22kk!(ν + 1)(ν + 2) . . . (ν + k).

Ogni soluzione e quindi definita a meno della costante arbitraria a0. Ricordando cheRe ν ≥ 0, scegliamo

a0 =1

2νΓ(ν + 1).

Utilizzando la proprieta (1) della funzione Γ, precedentemente enunciata, possiamoriscrivere l’espressione di a2k nel seguente modo:

a2k =(−1)k

22k+νΓ(k + 1)Γ(k + ν + 1).

25

Indichiamo con Jν(x) la soluzione dell’equazione di Bessel di ordine ν per la qualeJν(0) = 1

2νΓ(ν+1); inserendo i coefficienti appena determinati, otteniamo:

Jν(x) =∞∑k=0

(−1)k

Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)

(x2

)2k+ν

.

Questa soluzione prende il nome di funzione di Bessel di prima specie di ordine ν.Una seconda soluzione si otterra in corrispondenza di σ = −ν; vediamo allora cosa

succede in questo caso: chiaramente la soluzione sara infinita per x = 0. Supponiamoanche ν /∈ N. Allora ponendo stavolta

a0 =1

2−νΓ(−ν + 1)

otteniamo

a2k =(−1)k

22k−νΓ(k + 1)Γ(k − ν + 1)

e procedendo analogamente a prima otteniamo la seguente soluzione

J−ν(x) =∞∑k=0

(−1)k

Γ(k + 1)Γ(k − ν + 1)

(x2

)2k−ν.

Facciamo un po’ di osservazioni: innanzitutto si vede subito che Jν(x) e J−ν(x) rappre-sentano due serie convergenti nell’intero piano complesso. Notiamo poi che la formula chedefinisce J−ν(x) e stata definita solo per valori non interi di ν. Vogliamo adesso dimostrareche questa limitazione puo essere superata: in effetti, se prolunghiamo l’espressione chedefinisce il valore di J−ν(x) a ν = n con n ∈ N, poiche Γ(k−n+1) = ∞ per k ≤ k0 = n−1,in realta la sommatoria che stiamo calcolando inizia solo dal valore k = k0 + 1 = n. Conla nuova variabile k′ = k − n otteniamo la nuova formula

J−n(x) = (−1)n∞∑k′=0

(−1)k′

Γ(k′ + n+ 1)Γ(k′ + 1)

(x2

)2k′+n

= (−1)nJn(x).

Dunque per n ∈ N le funzioni Jn(x) e J−n(x) sono linearmente dipendenti, al contrariodi quanto accade per Jν(x) e J−ν(x) quando ν non e intero: infatti Jν(x) ha uno zeroe J−ν(x) un polo di ordine ν nel punto x = 0. Dunque per concludere possiamo direche se ν non e intero ogni soluzione yν(x) dell’equazione di Bessel di ordine ν puo essererappresentata sotto forma di combinazione lineare delle funzioni Jν(x) e J−ν(x):

yν(x) = c1Jν(x) + c2J−ν(x), c1, c2 ∈ C,

e se si cerca una soluzione limitata dell’equazione di Bessel allora, essendo Re ν > 0, sideve porre c2 = 0 e la soluzione sara yν(x) = c1Jν(x).

2.5.3 Rappresentazione integrale delle funzioni di Bessel

Fissato ν ∈ N, vogliamo ora rappresentare Jν(x) in forma integrale: il nostro obiettivosara dimostare che si ha

Jν(x) = − 1

2π

�C0

e−ix sinφ+iνφdφ =1

2π

� π

−πe−ix sinφ+iνφdφ.

26

dove C0 e la figura qui sotto.

Consideriamo

I = − 1

π

�C0

e−ix sinφ+iνφdφ.

Poniamor =

x

2e−i(φ−π) = −x

2e−iπ :

allora

dr = −x2(−ie−iφ)dφ =

ix

2e−iφdφ = −irdφ−

Vediamo adesso che valori assume r al variare del valori di φ lungo il percorso C0:

φ π + i∞ π π2

0 −π2

−π π + i∞r +∞ x

2ix2

−x2

− ix2

x2

+∞

Quindi C0 si trasforma nella curva γ descritta nella figura che segue:

e poiche vale

−ix sinφ = −ix2i

(eiφ − e−iφ) = −x2

(− x

2r+

2r

x

)=x2

4r− r,

27

il nostro integrale riscritto in funzione di r diventa:

I = − 1

π

�γ

e−r+x2

4r

(−x2r

)νidr

r=−i(−1)ν

π

(x2

)ν �γ

e−r+x2

4r1

r1+νdr =

= −i(−1)ν

π

(x2

)ν �γ

∞∑k=0

(x/2)2kr−ke−r

k!

dr

r1+ν=

=−iπ

∞∑k=0

(−1)ν

k!

(x2

)2k+ν�γ

e−rr−1−k−νdr =

= 2∞∑k=0

(−1)ν(−1)k(x2

)2k+ν(−1)νk!(k + ν)!

= 2∞∑k=0

(−1)k

k!(k + ν)!

(x2

)2k+ν

= 2Jν(x),

dove abbiamo usato la proprieta (5) della funzione Γ.Adesso calcoliamo di nuovo l’integrale con un metodo diretto, dividendo il cammino

lungo il quale integriamo in tre parti Γ1, Γ2, Γ3, come gia indicato nella figura precedente:le prime due illimitate, la terza limitata. L’idea e di dimostrare che il contributo datoda Γ1 e uguale e opposto a quello dato da Γ2 e dunque al calcolo del nostro integralecontribuira effettivamente solo l’integrale lungo Γ3.

Eseguiamo innanzitutto il calcolo dell’integrale lungo Γ1: dunque vogliamo risolvere

I1 = − 1

π

�Γ1

e−ix sinφ+iνφdφ.

Eseguendo il cambiamento di variabile iξ + π = φ con ξ ∈ [0,∞[ otteniamo

I1 =1

π

� ∞

0

e−ix sin(iξ+π)+iν(iξ+π)i dξ =

=

� ∞

0

e−ix(− sin(iξ))−νξ(−1)νdξ =i

π(−1)ν

� ∞

0

e−x sinh ξ−νξdξ,

dove nel secondo passaggio abbiamo usato la relazione sin(iξ+π) = − sin iξ = − ei(iξ)−e−i(iξ)

2i

e nel terzo − sin iξ = − (e−ξ−eξ)2i

= sinh ξi

= −i sinh ξ.Svolgiamo adesso l’integrale lungo Γ2: procedendo analogamente otteniamo

I2 =−1

π

�Γ2

e−ix sinφ+iνφdφ = − i

π(−1)ν

� ∞

0

e−x sinh ξ−νξdξ.

Possiamo cosı concludere che I1 + I2=0. Resta allora l’integrale lungo Γ3:

I3 = − 1

π

�Γ3

e−ix sinφ+iνφdφ =1

π

� π

−πe−ix sinφ+iνφdφ.

Dunque utilizzando le due formule trovate per I concludiamo che:

I = − 1

π

�C0

e−ix sinφ+iνφdφ = I3 =1

π

� π

−πe−ix sin θ+iνθdθ = 2

∞∑k=0

(−1)k

k!(k + ν)!

(x2

)2k+ν

.

28

Abbiamo cosi provato che la forma integrale per le funzioni di Bessel e:

Jν(x) =1

2π

� π

−πe−ix sinφ+iνφdφ.

Sviluppiamo l’esponenziale:

Jν(x) =1

2π

� π

−πcos(νφ− x sinφ)dφ+

i

2π

� π

−πsin(νφ− x sinφ)dφ.

Notiamo che, essendo il seno una funzione dispari ed essendo l’integrale su un intervallosimmetrico, possiamo dire che il secondo termine a secondo membro e nullo: dunquescopriamo che possiamo scrivere la funzione di Bessel Jν in modo diverso: per ogni ν ∈ Nsi ha

Jν(x) =1

2π

� π

−πcos(νφ− x sinφ)dφ =

1

π

� π

0

cos(νφ− x sinφ)dφ.

Separiamo adesso il caso di ν pari da quello di ν dispari, ossia calcoliamo separatamenteJ2ν(x) e J2ν+1(x). Si ha

J2ν(x) =1

π

� π

0

cos(2νφ− x sinφ)dφ =1

π

� π

0

[cos 2νφ cos(x sinφ) + sin 2νφ sin(x sinφ)]dφ,

ma� π

0

sin 2νφ sin(x sinφ)]dφ =

� π

0

sin 2ν(π − φ) sin(x sin(π − φ))dφ =

= −� π

0

sin 2νφ sin(x sinφ)dφ = 0,

e dunque

J2ν(x) =1

π

� π

0

cos(2νφ) cos(x sinφ)dφ.

Similmente,

J2ν+1(x) =1

π

� π

0

cos((2ν + 1)φ− x sinφ)dφ =

=1

π

� π

0

[cos(2ν + 1)φ cos(x sinφ) + sin(2ν + 1)φ sin(x sinφ)]dφ,

ma� π

0

cos(2ν + 1)φ cos(x sinφ)dφ =

� π

0

cos(2ν + 1)(π − φ) cos(x sin(π − φ))dφ =

= −� π

0

cos(2ν + 1)φ cos(x sinφ)dφ = 0

e dunque

J2ν+1(x) =1

π

� π

0

sin(2ν + 1)φ sin(x sinφ)dφ.

29

Abbiamo cosı scoperto che le funzioni J2ν(x) costituiscono tutti e soli i coefficienti diFourier non nulli della funzione f(φ) = cos(x sinφ), mentre le J2ν+1(x) sono tutti e soli icoefficienti di Fourier non nulli di g(φ) = sin(x sinφ). Allora, utilizzando le proprieta notesulle serie di Fourier per funzioni pari e per funzioni dispari, possiamo scrivere le serie diFourier di f e g ottenendo:

cos(x sinφ) = 2∞∑ν=0

J2ν(x) cos 2νφ, sin(x sinφ) = 2∞∑ν=0

J2ν+1(x) sin(2ν + 1)φ.

Quanto appena descritto mette alla luce un aspetto molto importante delle funzioni diBessel; abbiamo dimostrato che esse sono i coefficienti di Fourier per certe funzioni ecome tali costituiscono delle frequenze. Le funzioni di Bessel infatti non sono altro che lefrequenze fondamentali delle percussioni. In molti strumenti musicali, tipicamente nellepercussioni e soprattutto nei timpani e nei tamburi, la membrana costituente e circolare.L’equazione, in coordinate polari, dell’onda che attraversa una membrana circolare e,ricordando quanto abbiamo visto all’inizio del paragrafo,

∂2z

∂r2+

1

r

∂z

∂r+

1

r2

∂2z

δφ2=

1

c2∂2z

∂t2

e possiamo cercare una soluzione della forma

z(r, φ, t) = R(r)Φ(φ) cos(wt);

sostituendo nell’equazione dell’onda, le variabili possono essere separate e l’equazione perla funzione R e un’equazione di Bessel che determina il profilo radiale della membrana.

2.5.4 Proprieta delle funzioni di Bessel

Cerchiamo ora di determinare relazioni tra le funzioni di Bessel di diversi ordini e le loroderivate. Dimostriamo, per cominciare, che

d

dx

(Jν(x)

xν

)= −Jν+1(x)

xν.

Questa formula si puo provare derivando direttamente le serie di potenze che esprimonole funzioni di Bessel. Infatti

xνd

dx

(Jν(x)

xν

)= xν

d

dx

∞∑k=0

(−1)k

k! Γ(k + ν + 1)

(x2k

22k+ν

)=

∞∑k=1

(−1)k

Γ(k)Γ(k + ν + 1)

(x2

)2k+ν

,

Posto k′ = k − 1, si ha

xνd

dx

(Jν(x)

xν

)= −

∞∑k′=0

(−1)k′

Γ(k′ + 1)Γ(k′ + ν + 2)

(x2

)2k′+ν+2

= −Jν+1(x).

In modo analogo si dimostra che

d

dx(Jν(x)x

ν) = xν Jν−1(x).

30

Stabiliremo ora due formule ricorrenti che legano le funzioni Jν(x), Jν+1(x) e Jν−1(x).Risulta

ν Jν(x)

x− J ′ν(x) = Jν+1(x),

ν Jν(x)

x+ J ′ν(x) = Jν−1(x).

Infatti

J ′ν(x) =∞∑k=0

(−1)k(2k + ν)x2k+ν−1

Γ(k + 1)Γ(k + 1 + ν)22k+ν,

mentreν

xJν(x) =

∞∑k=0

(−1)kνx2k+ν−1

Γ(k + 1)Γ(k + 1 + ν)22k+ν,

da cui

J ′ν(x)−ν

xJν(x) =

∞∑k=0

(−1)k2kx2k+ν−1

Γ(k + 1)Γ(k + 1 + ν)22k+ν=

=∞∑k=1

(−1)kx2k+ν−1

Γ(k)Γ(k + 1 + ν)22k+ν−1=

=∞∑h=0

(−1)h+1x2h+ν+1

Γ(k)Γ(k + 1 + ν)22h+ν+1= −Jν+1(x);

similmente

J ′ν(x) +ν

xJν(x) =

∞∑k=0

(−1)k(2k + 2ν)x2k+ν−1

Γ(k + 1)Γ(k + 1 + ν)22k+ν=

=∞∑k=0

(−1)kx2k+ν−1

Γ(k + 1)Γ(k + ν)22k+ν−1= Jν−1(x).

Cio prova le due formule.Da queste due relazioni si deduce subito, per somma, che

2J′

ν(x) = Jν−1(x)− Jν+1(x),

mentre, per differenza,2ν

xJν(x) = Jν−1(x) + Jν+1(x).

31

Capitolo 3

I paradossi musicali

Questo avrebbe dovuto essere, all’inizio, il tema dominante di questa tesi; purtoppopero, oltre alla difficolta di trovare materiale su questi argomenti, gran parte di cioche siamo riusciti a recuperare riporta qualche esperimento di tipo musicale, riportatosenza troppi dettagli e soprattutto senza adeguate motivazioni. Gli esperimenti, che inalcuni casi siamo anche riusciti a riprodurre, creano sı un certo effetto nell’orecchio di chiascolta, ma sembrano non avere ne una spiegazione logica, ne tantomeno una spiegazionematematica approfondita. Cercheremo comunque di trattare questo argomento, nel modopiu dettagliato e piu matematico possibile.

3.1 Paradosso di Shepard

La scala senza fine visibile in questa immagine di Escher e un classico paradosso visivo:alcuni vedono gli uomini disegnati salire le scale, altri li vedono scendere, e una stessapersona puo a un primo sguardo vedere gli uomini salire le scale e in un secondo momentovederli invece scendere, senza riuscire a capire dove sia il tranello visivo. Simili paradossisi possono trovare nei suoni: tra i piu famosi c’e quello di Shepard. All’inizio del 1960Roger N. Shepard nei Bell Telephone Laboratories produsse un esempio piuttosto notevole.Egli prese una sequenza di toni in una certa ottava e ripete questa sequenza ogni voltaaumentando di un’ottava. Invece di sentire il modello stopparsi per poi ripartire gliascoltatori sentirono il modello crescere indefinitamente, e quando Shepard invertı ladirezione dei suoni si sentı il modello diminuire, sempre indefinitamente.

32

Parliamo ora della percezione delle altezze dei suoni. Come si ricava dall’analisi diFourier, l’altezza di un suono puro, avente cioe forma d’onda sinusoidale, e caratterizzatabanalmente dalla sua frequenza. E allora interessante studiare la percezione dell’altezzadi suoni composti, costituiti cioe dalla sovrapposizione di onde armoniche. Il matematicoolandese Schouten attorno al 1939 pubblico i risultati dei suoi esperimenti sulla perce-zione dell’altezza dei suoni. E stato dimostrato che l’idea generalmente accettata chele componenti della frequenza fondamentale di un tono complesso determinino l’altezzadel suono prodotta dal tono e insostenibile. Ascoltando un tono complesso, Schoutenosservo che, a parte le armoniche piu basse, udibili a tutti, c’era un altro suono piudifficile da udire, con un’altezza corrispondente alla frequenza fondamentale. Egli concluseche l’altezza di questo nuovo elemento percettivo che aveva scoperto dovesse giungeredall’azione combinata delle onde armoniche piu alte. Egli chiamo la sensazione collettivadovuta a questo gruppo di armoniche il residuo (“the residue”). Questa conclusione fusupportata dagli studi di Boer (1956) sui complessi non armonici. Secondo la sua opinioneil numero piu piccolo di frequenze necessarie per ottenere un residuo stabile e chiaro e 5,al contrario di quanto afferna Ritsma, secondo il quale ne bastano 3.Sembra esserci una grossa disparita nella percezione dell’altezza di un tono complesso.Alcuni recepiscono il suono complesso come un unico suono, altri invece recepiscono altezzedi diversi suoni distinti. Per dare una spiegazione a questo fenomeno 42 soggetti sonostati sottoposti al seguente esperimento: attraverso auricolari posti a un livello di 40 dB,vennero fatti ascoltare due toni ciascuno della durata di 160 ms, il primo consistente nellefrequenze f1, f2 = 1750, 2000 Hz e il secondo 1800, 2000 Hz. I soggetti che recepironoquesto suono come un tutt’uno sentirono una caduta dell’altezza corrispondente allefrequenze fondamentali (f1 e f2) rispettivamente di 250 Hz e 200 Hz. Gli altri invecesentirono un aumento dell’altezza corrispondente a un cambiamento nelle frequenze piubasse.L’esperimento mostra che esattamente la meta sente il tono complesso come un tuttomentre l’altra meta sente il suono come parte di qualcosa. La ripetizione dello stessoesperimento un mese dopo da di nuovo lo stesso risultato.

33

L’SPL (livello di pressione sonora) di ciascuna delle due componenti dei due toni e dicirca 40 dB sopra la soglia di udibilita. A questo livello non e immaginabile che il tonocorrispondente alla differenza f1 − f2 giochi un ruolo nella percezione del suono. Inoltreil risultato per stimoli con una frequenza costante, per esempio pari a 200 Hz, mostrauna variazione nell’altezza che indica che non puo essere la differenza di tono a causarel’altezza recepita.Soffermiamoci un attimo su una peculiarita importante del nostro apparato uditivo: l’o-recchio umano e un amplificatore non lineare ad alta distorsione. Quindi, in generale,dati due segnali (supposti di uguale ampiezza) e frequenza f1, f2, si generano dei prodottidi intermodulazione, dovuti appunto alla non linearita, di diverso ordine: del secondoordine, a frequenze f1−f2 e f2−f1, del terzo ordine a frequenze 2f1−f2 e 2f2−f1 e degliordini successivi, oltre alle armoniche 2f1, 2f2, 3f1, 3f2, eccetera, multiple delle frequenzefondamentali.Prendiamo due tra gli osservatori che nel primo esperimento hanno udito il suono comeun tutt’uno a facciamo ascoltare loro una serie di coppie di toni fi, fj, ciascuno con unadifferenza di frequenza costante e per esempio pari a 200 Hz, dunque tali che fj − fi = 200Hz. L’altezza espressa in funzione della frequenza fondamentale P del segnale armonicorecepito sembra essere indipendente dai diversi segnali, inarmonici, che si ottengono, edunque possiamo disegnare l’area in cui ci aspettiamo di trovare l’altezza in questione.

Un’altezza pari a 200 Hz si trova anche quando le frequenze f1, f2 sono interi multiplidella frequenza f2 − f1 e cioe dunque se f2 − f1 = k; questa situazione si presenta quandof1 = mk e di consequenza f2 = (m+ 1)k con m intero positivo. Ci metteremo proprioin quest’ultimo caso e analizzeremo cosa succede quando si spostano le frequenze deinostri toni rispetto a questa situazione centrale. La periodicita dello stimolo che stiamostudiando corrisponde esattamente a 200 Hz; dunque le altezze uguali in questo caso sonofacilmente comprensibili sulla base di una teoria della periodicita delle altezze dei suoni.Lo stimolo e descritto da:

S(t) = A cos 2πf1t+ A cos 2πf2t = 2A cos 2πf2 − f1

2t cos 2π

f2 + f1

2t.

Possiamo interpretare il segnale come un’onda sinusoidale di frequenza 12(f1 + f2) di

ampiezza |2A cos 12(f2 + f1)t| e con una fase che cambia di 180o ogni volta che l’ampiezza

e zero. Se le frequenze sono multipli della frequenza fondamentale g, per esempio f1 = ng

34

e f2 = (n+ 1)g, lo stimolo e:

S(t) = 2A cos1

22πgt cos

(n+

1

2

)2πgt

Qui di sotto presentiamo cosa accade per n = 7. La periodicita e data da g perchenell’intervallo di tempo τ = 1

gavvengono 71

2oscillazioni e la fase passa da 180o a 0o.

La periodicita g si perde quando entrambe le frequenze vengono spostate rispetto allasituazione armonica centrale f1 = ng e f2 = (n+1)g. L’altezza sembra essere strettamentecorrelata all’intervallo di tempo che intercorre tra due picchi dell’onda. Diversi intervallidi tempo sono ottenuti prendendo diversi picchi. Per esempio l’altezza corrispondenteall’intervallo di tempo τ e determinata da (n + 1

2) oscillazioni di una frequenza pari

a (n + 12)g. Se spostiamo di ∆f la nostra frequenza, l’intervallo di tempo sara allora

determinato sempre da n + 12

oscillazioni ma stavolta con frequenza (n + 12)g + ∆f .

Dunque quello che ci aspettiamo e un picco traslato di ∆fn+1

rispetto al precedente. Questasupposizione e vera, ma vale solo per componenti con la stessa ampiezza. In generale none detto che le due frequenze che costituiscono il tono complesso abbiano la stessa ampiezzae quello che generalmente accade e che l’altezza che si recepisce e alla fine determinata soloda una delle due frequenze componenti. Cio corrisponde ad uno spostamento dell’altezzadi ∆f

no di ∆f

n+1, a seconda di quale sia la componente che determina l’altezza recepita.

Tutto cio ci porta a concludere che in realta lo spazio, in cui, secondo la nostra primasupposizione, vive l’altezza del suono complesso, non e individuato in modo del tuttocorretto: la differenza tra l’area in cui si trova realmente l’altezza e quella in cui era stataprevista e, in generale, di circa 1.2 Hz e spesso dipende da |∆f |.

3.2 Paradosso dei frattali

Partiamo di nuovo di un paradosso visivo per descrivere poi un analogo paradosso mu-sicale. L’immagine sottostante e un frattale, cioe un oggetto geometrico che si ripetenella sua struttura allo stesso modo su scale diverse; in altre parole e una figura che eunione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono la figurastessa. Questa caratteristica e spesso chiamata auto-similarita. Il termine frattale venneintrodotto nel 1975 da Mandelbrot. Si usa il termine frattale anche per funzioni che sonoovunque continue ma non derivabili in tutto lo spazio in cui sono definite. L’immaginesottostante e formata da sette esagoni in cui ogni lato, di lunghezza L, viene spezzato intre segmenti lunghi L/

√7 ' 0.37796. Ripetendo questo procedimento all’infinito su ogni

bordo otteniamo una figura frattale auto-simile. Il perimetro dell’intera figura e ugualea 3 volte il perimetro di una delle sette componenti mentre l’area totale e solo 7 volte

35

quella di ogni sua parte e non 9. Questo e un paradosso, dovuto ai bordi frattali, checontrasta con la teoria euclidea. I contorni di questa figura sono localmente grafici difunzioni ovunque continue ma non ovunque derivabili, e la loro dimensione di Hausdorff ecompresa tra 1 e 2. Infatti d = log 3/ log

√7 ' 1.12915, il valore necessario per risolvere il

paradosso menzionato.Facciamo una breve parentesi sul significato di dimensione di Hausdorff. Dato unsottoinsieme E di RN si definisce dimensione di Hausdorff il numero

dimH(E) = inf{p > 0 : H∗p (E) = 0},

dove H∗p (E) e la dimensione esterna di Hausdorff, la cui definizione e:

H∗p (E) = lim

δ→0+H∗p,δ(E) = sup

δ>0H∗p,δ(E),

ove

H∗p,δ(E) = inf

{∑n∈N

(diamUn)p : E ⊆

⋃n∈N

Un, Un aperti, diamUn < δ

}.

Si puo verificare che per un insieme E la funzione p 7→ H∗p (E) ha il seguente andamento:

esiste p0 ∈ [0, N ] tale che

H∗p (E) =

+∞ se p ∈ [0, p0[

λ se p = p0

0 se p ∈]p0, N ],

ove λ e un opportuno numero non negativo, finito o infinito. Tale p0 e appunto ladimensione di Hausdorff dell’insieme E.

Passiamo ora al paradosso musicale: consideriamo la funzione di Weierstrass

w(t) =∞∑k=0

γk cos(βkt)

Al variare dei parametri β e γ, Weierstrass dimostro che esistono funzioni ovunque continuema mai differenziabile. A noi interessa il caso in cui la funzione che stiamo studiando

36

rappresenta un suono udibile: dobbiamo quindi imporre che k ricopra solo la gamma audio

e dunque che 20 ≤ 2k 1312

2π≤ 20000 Hz, avendo supposto di misurare t in secondi. Dunque la

nostra e una sommatoria finita e, in questo caso, possiamo supporre che l’ampiezza siacostante, e prendere γ = 1. Si osserva che allora w(βt) = w(t) e cioe che la funzione eauto-simile.Se consideriamo, infatti

w(t) =∞∑k=0

cos(βkt)

(dove, qui e nel seguito, i termini della somma sono da considerare nulli quando k assumevalori corrispondenti a frequenze non udibili) e diminuiamo la grandezza del tempo tnell’equazione della funzione di un fattore β, otteniamo

w(βt) =∞∑k=0

cos(βk+1t) =∞∑k=0

cos(βkt) = w(t)

e dunque w(t) e auto-simile. La auto-similarita di questa funzione e illustrata nella figurasottostante che illustra un periodo di w con γ = 1, β = 2 e k = 1, ...., 6.

Supponiamo adesso β = 21312 : avremo

w(t) =∞∑k=0

cos(2k1312 t),

37

avendo supposto di misurare t in secondi. Raddoppiando la velocita di esecuzione siottiene

w(2t) =∞∑k=0

cos(2k1312

+1t) =∞∑k′=1

cos(2k′ 1312 · 2−

112 t) = w(2−

−112 t)

dove k′ = k + 1. Se la frequenza copre l’intera gamma audio quello che riesce a sentirel’orecchio umano e

w(t) = w(2−112 t).

Cosı il raddoppiare della velocita produce un suono con un’altezza abbassata di un fattore2−1/12, e l’accordo verra emesso circa un semitono piu in basso anziche un’ottava sopra.Esaminiamo questo paradosso nel dettaglio. Consideriamo w(βt) con 11 frequenze che

vanno da 10.0 Hz fino a 2130/12 ·10 ' 18245.6 Hz. Raddoppiando la velocita di riproduzione

la sesta componente, per esempio, subisce un cambio di frequenza passando da 427.15 a854.3 Hz. Confrontando i due accordi, quello iniziale e quello con la velocita raddoppiata,l’orecchio umano identifica la “nuova” sesta componente come la settima dell’accordooriginale, la cui frequenza e 905.1 Hz. Osserviamo che la nota la cui frequenza e 854.3 Hz(la sesta componente del “nuovo” accordo) e esattamente un semitono piu basso rispettoa quella la cui frequenza e 905.1 Hz (la settima componente dell’accordo originale), edunque cio che si percepisce, in conclusione, e un’altezza ridotta.

Usando un diverso fattore, per esempio β = 21412 , e ripetendo lo stesso esperimento,

quello che si sente e un accordo suonato due semitoni piu basso; similmente β = 21512

produrra un accordo tre semitoni piu basso rispetto all’originale, e cosi via. Se pero βcresce troppo avvicinandosi al valore 2

2412 = 4, la percezione inizia a diventare ambigua e

per β = 4 si sente un accordo che e considerato ugualmente un’ottava sopra o un’ottavasotto.

3.3 Parodosso di Risset

Risset presento tre diversi esempi di paradossi musicali. Il primo consiste in una varia-zione del paradosso di Shepard, il secondo consiste in un battito che viene velocizzatoindefinitamente e il terzo consiste in un suono che dura 40 secondi e che presenta moltecaratteristiche paradossali.

Risset sintetizzo tramite il programma MUSIC V un suono che “scende la scala” mafinisce in un passo piu alto.

3.3.1 Effetto dell’altezza

Esso e ottenuto aggiungendo 9 componenti sinusoidali con frequenze f , 2f , 22f , ..., 28f .All’inizio del suono si ha f = 31.25 Hz, cosı che le frequenze componenti il suono sono31.25 Hz, 62.5 Hz, 125 Hz, ...., 8000 Hz. La frequenza fondamentale diminuisce di dueottave seguendo una curva esponenziale discendente che diminuisce di un ottava ogni 20secondi. Quindi tutte le componenti scivolano lungo la scala mantenendo mantendo perol’una dall’altra le distanze iniziali. Allo stesso tempo l’ampiezza di ogni componente econtrollata separatamente al fine di spostare il picco dello spettro verso le alte frequenze.La figura sottostante, in cui l’ampiezza di ogni componente viene vista come una funzionedella sua frequenza, mostra quanto appena detto.

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La scala con cui misuriamo le frequenze e una scala logaritmica; l’inviluppo spettrale euna curva a forma di campana con valori estremi di circa 80 dB sotto il picco. Le lineecontinue che vediamo nell’immagine mostrano le componenti del suono all’inizio, mentrequelle tratteggiate le rappresentano dopo 10 secondi; le frequenze di tutte le componentisono diminuite di mezza ottava, mentre l’inviluppo spettrale si e spostato verso l’altodi un’ottava. Cosı tutte le dieci componenti scivolano due ottave in basso ”restando aintervalli di un’ottava”, mente i picchi salgono di circa 4 ottave.

3.3.2 Effetto ritmico

Il paradosso del ritmo e molto simile al paradosso del passo enunciato prima. Si realizzamodificando l’ampiezza del suono attraverso una successione di battiti. Diversi battiti,dunque, a distanze di ”ottave ritmiche”, si sovrappongono uno all’altro. Con ”ottavaritmica” intendiamo che i loro rispettivi tassi di riproduzione, supponendo che il primosia r, sono: r, 2r, 4r, 8r, eccetera.Nell’esempio riportato da Risset, e che siamo riusciti a riprodurre attraverso un programmain C, i battiti rappresentati sono 5: all’inizio del suono si ha r = 1.25 Hz, cosı che ilnumero dei battiti per secondo e rispettivamente 1.25, 2.5, 5, 10 e 20 per ognuno dei cinquebattiti suonati simultaneamente. Inizialmente il battito piu lento e quello con l’ampiezzadominante. Diminuiamo ora r regolarmente dividendolo per 8 in 40 secondi, e notiamo cheil picco della distribuzione dell’ampiezza e una curva a forma di campana che garantisceun passaggio graduale da una battuta dominante a una con un tasso di ripetizione duevolte piu veloce. I picchi si spostano da una componente all’altra battendo due volte piuveloce in meno tempo di quello impiegato da r per essere dimezzato. Nel nostro esempio,per il tasso fondamentale ci vogliono 13 secondi per diminuire di un fattore 2, mentre perla distribuzione dell’ampiezza ci vogliono solo 6.5 secondi per passare da una componentea una che e due volte piu veloce. Cosı, mentre i battiti rallentano, tutti quelli piu velocidiventano dominanti; durante i 40 secondi in cui c’e il suono, r si rallenta di un fattore 4e alla fine il battito dominante e quattro volte piu veloce di quello iniziale.

3.3.3 Effetto spaziale

Dato un suono, parte di esso (il 15% della sua ampiezza) viene inviato a un riflettore disuoni, e il suono stesso e alimentato in egual misura dal canale destro e da quello sinistro,

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cosı da produrre uno “ stereo suono”. Entrambi i canali sono modulati in ampiezza dadue diverse funzioni del tempo come mostrato in figura:

La linea tratteggiata controlla l’ampiezza del suono diretto nel canale destro, mentrequella continua rappresenta il suono diretto presente nel canale sinistro. La linea parallelaall’asse x indica il livello del riverbero del suono, che e approssimativamente costante. Altempo t1 il suono arriva solo dal canale destro ed il suo livello e minore del livello delriverbero del suono: questo fa sı che il suono sembri arrivare da una sorgente situata sullato sinistro, piu lontana rispetto alla posizione reale. Poi il suono diretto aumenta e altempo t2 esso supera il livello di riverbero e da l’idea che il suono sia generato da unasorgente sempre piu vicina. Avvicinandoci al tempo t3, il livello del suono che arriva dalcanale destro diminuisce drasticamente e aumenta invece quello che proviene dal canalesinistro, e sembra che la sorgente del suono si sposti rapidamente da sinistra verso destracon una velocita che dipende dalla pendenza degli inviluppi del canale destro e sinistro.Successivamente al tempo t4 il livello del suono diretto proveniente dal canale destrodiminuisce e si trova al di sotto del livello del riverbero, e cosı al tempo t5 dal canalesinistro viene generato un suono ed esso inizia a crescere. Al tempo t6 esso supera illivello del suono diretto generato dal canale destro, cosı che la sorgente del suono sembramuoversi da destra verso sinistra, ma molto piu lontano rispetto alla posizione reale,perche il livello del suono in entrambi i canali e molto piu basso rispetto al suono delriverbero.

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Capitolo 4

Illusione: errore dei sensi, veritadella percezione

4.1 Destri e mancini

Concludiamo questa discussione descrivendo alcune differenze molto interessanti nellapercezione dei suoni.

Per esempio, e stato scoperto, tramite un esperimento condotto dalla psicologa DianaDeutsch, che destri e mancini percepiscono le illusioni musicali in modo diverso. Pereseguire l’esperimento un computer e stato programmato per controllare due generatoridi onde sinusoidali in modo che il tono potesse sempre essere regolato in ampiezza,durata e frequenza, e le sequenze di toni vennero presentate agli ascoltatori tramiteauricolari, cosi che quando un orecchio, per esempio il destro, ascoltava un tono, il sinistrocontemporaneamente udiva l’altro tono. La sequenza che venne fatta ascoltare durava20 secondi ed era costituita dall’alternarsi di due toni, ciascuno suonato per un quartodi secondo, uno di frequenza 800 Hz, l’altro 400 Hz. Questa sequenza di toni vennepresentata simultaneamente a entrambe le orecchie, e alla stessa ampiezza. Nonostantequesto, la sequenza recepita da un orecchio risultava comunque fuori fase rispetto quellapercepita dall’altro: quando, infatti, un orecchio sentiva il tono piu alto, l’altro sentivaquello piu basso e viceversa. Solo una persona su cento riuscı a descrivere correttamente idue toni presenti nella sequenza, mentre la maggior parte sentı un unico singolo suonopassare da un orecchio all’altro, cioe sentı alternativamente il tono alto in un orecchioe quello basso nell’altro e cosi via. Si provo poi a invertire gli auricolari e quasi tutticontinuarono a sentire i suoni esattamente come prima: l’orecchio che prima udiva il tonoalto continuava a udire il tono alto e cosı per l’altro orecchio, pero la sensazione fu chel’auricolare che prima emetteva il suono alto ora emettesse quello basso e viceversa.Nonostante, come appena detto, la maggior parte delle persone tende a localizzare untono in un orecchio e l’altro tono nell’altro orecchio puo capitare, ed anzi spesso capita,che dopo un po’ questa situazione venga capovolta, e che dopo un altro po’ di tempola situazione possa capovolgersi di nuovo, tornando cosı a quella iniziale. Un analogoparadosso visivo che chiarisce questo fenomeno e il cubo di Necker, dove la faccia posteriorediventa periodicamente la faccia frontale.

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I destri sentirono il suono alto nell’orecchio destro e quello basso in quello sinistroe mantennero questa percezione anche dopo il cambio degli auricolari; i mancini invecelocalizzarono il suono alto indifferentemente nell’orecchio destro o sinistro. Questadifferenza puo essere spiegata osservando che per i destri l’emisfero dominante del cervelloe il destro, e che l’imput primario sonoro arriva dunque dall’orecchio destro, mentreal contrario per i mancini entrambi gli emisferi sono dominanti. Quindi sembra che lepersone sentano il tono alto arrivare dall’orecchio che manda i segnali piu forti all’emisferodominante, e il tono basso giungere dall’orecchio che invia invece i segnali piu fortiall’emisfero non dominante.

4.2 Il paradosso del tritone

Descriveremo adesso il cosidetto “paradosso del tritone”, e come esso venga sentito inmaniera diversa da due gruppi di persone con culture diverse. Scoperto dalla psicologaDiana Deutsch, questo paradosso si trova su alcune riviste scientifiche, quali “MusicPerception” e “Perception & Psycophisics”. Il paradosso del tritone consiste in due toniche distano meta di un’ottava (detta anche tritone) presentati uno di seguito all’altro.Ogni tono e composto da una insieme di armoniche tutte distanti tra di loro esattamenteun’ottava, le cui ampiezze sono determinate da un inviluppo spettrale a forma di campana.Quando agli ascoltatori viene fatto sentire questo paradosso, viene chiesto loro di dire sesentono il modello salire o scendere, e le loro risposte mostrano come essi sentano i toni inrelazione alla loro posizione lungo il “cerchio della classe delle altezze”, che illustriamoqui di seguito:

In base alla regione del cerchio in cui si trovano i toni, essi vengono sentiti come i piualti o i piu bassi, e corrispondentemente, i suoni nella parte del cerchio opposta a questa

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regione saranno recepiti come, rispettivamente, i piu bassi o i piu alti. Nonostante ciovi e pero una sostanziale disparita nelle risposte degli ascoltatori: qualcuno sente questoinsieme di suoni salire, altri scendere e ci sono discordanze anche su quale dei due toni siaquello piu alto e quale quello piu basso. Per esempio alcuni sentono il modello cosistuitodai due toni Do#-Sol come un modello ascendente e il modello Sol-Do# come discendente,e dunque sentono il Sol come il suono con un’altezza piu alta, e il Do# come quello con iltono piu basso. Viceversa altre persono sentono Do#-Sol come un modello discendentee Sol-Do# come discendente, e di conseguenza essi sentiranno il Sol come il suono conaltezza piu bassa e Do# come quello piu basso.La psicologa Diana Deutsch, nel 1987, dimostro che questo esperimento vale in largamisura su tutta la popolazione, e non e un fenomeno ristretto solo alle persone che si sonosottoposte all’esperimento. L’idea fu quella che la percezione del paradosso del tritonepotrebbe essere correlata all’elaborazione del suono vocale, o meglio, si suppose che gliascoltatori sviluppino una rappresentazione a lungo termine della gamma di tonalita dellapropria voce, e insieme ad essa creino una limitazione della ”banda di ottave” nella qualerecepiscono il maggior numero di valori delle altezze dei suoni. Si suppose inoltre che leclassi di altezza che delimitano questa banda di ottava per quanto riguarda i suoni prodottidurante un normale discorso definiscano la posizione piu alta del cerchio delle classi dellealtezze. Per dimostrare questa ipotesi Diana Deutsch eseguı il seguente esperimento:seleziono delle persone, e registro per ciascuno di loro 15 minuti di una loro conversazionespontanea e da questo seleziono la banda di ottava corrispondente. Confrontando i risultatiottenuti, si osservo che c’era effettivamente una forte corrispondenza tra le classi di altezzache delimitano la banda di ottava e quelle che definiscono la posizione piu alta nel cerchiodelle altezze. Questo supporta l’idea che la percezione del paradosso del tritone sia basatasulla rappresentazione del cerchio delle altezze, la cui orientazione (in base alla qualecambia il modo di sentire un determinato modello) e correlata al range delle altezze delsuono della voce dell’ascoltatore. La Deutsch dimostro che questo range di altezze, cheogni individuo crea, e determinato dall’esposizione ai discorsi degli altri. Dunque, per lacapacita di determinare le altezze dei suoni si da molta importanza ai discorsi fatti dallepersone che circondano un individuo, e quindi anche alla lingua parlata da queste persone.Possiamo adesso descrivere l’esperimento. Le persone sottoposte a tale esperimento, tuttesenza problemi di udito, sono state scelte sulla base del numero di errori, non piu di6 su un massimo di 48, da esse compiuti durante un precedente esperimento nel qualedovevano dire quando una coppia di toni distanti meta di un ottava erano ascendenti equando discendenti. Il primo gruppo era fatto da 24 persone, tutte cresciute in Californiae che avevano passato gli ultimi anni in California. Il secondo gruppo era invece formatoda 12 persone cresciute nel sud dell’Inghilterra, ma la maggior parte di essi al momentodell’esperimento viveva in California. Nessuno del primo gruppo aveva parenti cresciuti inInghilterra e viceversa.I toni costituenti l’esperimento erano fatti da sei onde sinusoidali a distanza di un’ottavae le cui ampiezze erano determinate da un inviluppo spettrale a forma di campana.L’equazione generale che descrive un inviluppo di questi tipo e:

A(f) = 0.5− 0.05 cos[2πγ

logβ

( f

fmin

)]fmin ≤ f ≤ βγfmin,

dove A(f) e l’ampiezza relativa a un’onda sinusoidale data di frequenza f Hz, β e il

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rapporto tra la frequenza di una sinusoide e la frequenza di una sinusoide ad essa adiacente,γ e il numero di β cicli compiuti. La frequenza minima per ottenere un’ampiezza diversada zero e fmin, mentre la frequenza massima e γβ cicli sopra fmin. Nell’esperimento si haβ = 2 e γ = 6, e dunque l’inviluppo spettrale corrispondente copre esattamente sei ottave,che vanno da fmin a 25fmin = 32fmin.Per essere sicuri di poter controllare gli effetti delle ampiezza o della rumorosita delleonde sinusoidali, la coppia di toni e stata creata sotto diversi invilippi spettrali che sonostati posizionati in quattro regioni distinte lungo lo spettro; precisamente questi quattroinviluppi sono stati centrati in: 262 Hz (Do4), 370 Hz (Fa#4), 523 Hz (Do5) e 740 Hz(Fa#5), e quindi sono posizionati a distanza di mezza ottava l’uno dall’altro. Possiamoinoltre osservare che le ampiezze relative delle componenti sinusoidali dei toni generatidagli inviluppi centrati in Do4 e Do5, considerati in una qualsiasi classe di altezza, sonoidentici a quelli generati dagli inviluppi centrati in Fa#4 e Fa#5, considerati nella classedi altezza mezza ottava sopra rispetto alla precedente. Per esempio, le componenti deltono Re-Sol#, generati dagli inviluppi centrati in Do4 e Do5, sono identiche a quelle deltono Sol#-Re generati dagli inviluppi centrati invece in Fa#4 e Fa#5. Dodici coppie ditoni sono state generate sotto ognuno dei quattro inviluppi, corrispondenti alle coppie dialtezze Do-Fa#, Do#-Sol, Re-Sol#, Re#-La, Mi-La#, Fa-Si, Fa#-Do, Sol-Do#, Sol#-Re,La-Re#, La#-Mi e Si-Fa. Quindi in tutto ci sono 48 toni, ed ognuno di questi ha duratapari a 500 msec, senza spazi tra due toni costituenti la stessa coppia. Tutti i toni hannola stessa ampiezza. Essi sono presentati in 12 blocchi, ed ogni blocco e formato da tonigenerati sotto uno dei quattro inviluppi e contenenti una delle dodici coppie dell’altezzaappena elencate. All’interno di questi blocchi, i toni sono presentati in un ordine qualsiasi,con la sola condizione che la stessa coppia di altezze non puo comparire in due toniconsecutivi. In questo modo, 16 blocchi vengono creati tutti assieme.Ogni tono viene presentato agli ascoltatori, che devono capire se il modello sale o scende.All’interno dei blocchi ogni tono e suonato separatamente a distanza di 5 secondi e c’e unminuto di pausa tra ogni blocco. Inoltre ci sono 5 minuti di pausa tra l’ottavo e il nonoblocco. Vediamo i risultati: si fa ascoltare un modello discendente, che e funzione delleclasse dell’altezza del primo tono della coppia. Si prendono sei persone, tre nel primogruppo, quindi californiani, tre nel secondo, quindi inglesi e si rappresenta graficamentela classe dell’altezza del primo tono della coppia. Come si vede dalla figura, anche se inmodo diverso, gli inglesi sembrano ricevere il suono in maniera diversa tra loro, ma comesi vede, l’andamento della curva e molto simile. Anche dal grafico dei tre californianipossiamo arrivare alla stessa conslusione, ma confrontando tra di loro questi due gruppi digrafici si vede a colpo d’occhio una netta differenza, anzi sembrano proprio uno l’oppostodell’altro (intuitivamente, si puo dire che molti dei minimi locali presenti nei grafici inalto corrispondono a massimi locali nel corrispondente grafico in basso).

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Vogliamo adesso far vedere che in tutto cio gioca un ruolo fondamentale la posizionedel tono lungo il cerchio delle altezze. Per far cio il cerchio delle altezze e stato divisoa meta, e sono stati valutati nuovamente i risultati ottenuti. Inoltre il cerchio e statoorientato in modo che la classe piu a sinistra della meta superiore del cerchio prenda laposizione centrale nel cerchio, e tutte le altre classi si posizionano conseguentemente a cio,seguendo il verso orario.

Dai grafici disegnati sopra possiamo rappresentare il cerchio delle altezze, osservandoche per i californiani il “picco” del cerchio sara costituito dalla coppia Do-Do0#, mentreper gli inglesi sara Fa#-Sol.Adesso generalizziamo questo risultato, cercando di capire quali sono i toni, nel cerchiodelle altezze, che i due gruppi sentono come centrali.

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Come si vede dal grafico, per gli inglesi i toni che risultano piu spesso sono Fa#, Sol eSol#, mentre per l’altro gruppo sono Si, Do, Do#, Re e Re#. Per confrontare i risultati,sono stati presi da ognuno dei due gruppi solo le persone che sentivano il “picco” nella metasuperiore del cerchio, e si scoprı che ben 22 delle 24 persone del primo gruppo rientravanoin questa categoria, mentre il numero degli inglesi che vi rientravano era di solo 3 su 12.Per concludere Diana Deustch volle dimostrare che questo esperimento e caratterizzatosolo ed esclusivamente dal background culturale dei gruppi che si sottopongono ad esso, enon e minimamente influenzato da fattori esterni, come l’abilita in musica o l’eta. Per farcio divise i due gruppi in due sottogruppi, uno con persone esperte in musica, l’altro no, eripetendo esettamente lo stesso esperimento dimostro che i risultati finali non cambiano.Provo anche a dividere i due gruppi in due sottogruppi, quelli con piu di 22 anni e quellicon meno di 22 anni. Anche qui nessuna differenza sostanziale nei risultati. Infine, provoa dividere donne e uomini, ma anche qui non riscontro nessuna differenza.

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