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Capitolo 4

Onde Acustiche

4.1 Onde acustiche in una colonna di gas

Supponiamo di avere una colonna innita di gas e di applicare una per-turbazione (onda) con un pistone. Questa perturbazione si propaga nel tuboe genera un'onda acustica. Le molecole del gas subiscono un moto oscillatorioattorno alla loro posizione di equilibrio.

Figura 4.1: Perturbazione in una colonna di gas.

La perturbazione sarà di: posizione (spostamento), di pressione e di den-sità. Quindi possiamo descrivere la perturbazione con una delle dierenti

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CAPITOLO 4. ONDE ACUSTICHE 46

rappresentazioni.

Figura 4.2: Perturbazione di posizione, pressione e densità.

Consideriamo ora un elementino della colonna di sezione S e lunghezzadx tale che dx λ e dx s(x, t) dove s è lo spostamento causato dallaperturbazione.

Figura 4.3: Elementino di una colonna di gas sottoposto a perturbazione.

Al passaggio della perturbazione varia il volumetto, perché varia la di-stanza tra le sue facce. Di conseguenza varia anche al densità, ma non la


massa dm in esso contenuta. Da questa constatazione ricaviamo che

δρ(x, t) = −ρ0∂s(x, t)

∂x

Vediamo come ricaviamo questa relazione. La massa dell'elementino lascriviamo come

dm = ρ0Sdx =

[ρ (x+ dx, t) + ρ (x, t)

2

]S [x+ dx+ s (x+ dx, t)− (x+ s(x, t))]

La densità la possiamo scrivere come

ρ(x, t) = ρ0 + δρ(x, t)

e sostituendo nell'espressione della massa dell'elementino otteniamo:

ρ0 + δρ(x, t) + ∂δρ∂xdx+ (ρ0 + δρ(x, t))

2= ρ0 + δρ(x, t)

per il primo fattore e per il secondo possiamo scrivere

dx+ s(x, t) +∂s(x, t)

∂xdx− s(x, t) = dx

(1 +

∂s

∂x

)La massa dell'elementino la possiamo scrivere quindi come

dm = ρ0Sdx = Sdx (ρ0 + δρ(x, t))

(1 +

∂s(x, t)

∂x

)= Sdx

(ρ0 + δρ+ ρ0

∂s

∂x+ 0

)e quindi si ottiene

ρ0 = ρ0 + δρ(x, t) + ρ0∂s(x, t)

∂x=⇒ δρ(x, t) = −ρ0

∂s(x, t)

∂x

come si voleva dimostrare.

Equilibrio dinamico dell'elementino dm

dF = −F (x+ dx, t) + F (x, t) = −S [p(x+ dx, t)− p(x, t)]= −S [δp(x+ dx, t)− δp(x, t)]

= −S[δp(x, t) +

∂δp

∂xdx− δp(x, t)

]= −S∂δp(x, t)

∂xdx


ma in x vale la legge di elastictà e nell'intorno di x si ha anche ρV = cost equindi

ρV = cost =⇒ d (ρV ) = 0 =⇒ dρV + ρdV = 0 =⇒ dρ

ρ= −dV

V

La costante di comprimibilità è denita da β = − dpdVV

e quindi dp = δp =

−β dVV

= β dρρ

= β δρρ0

= −β ρ0ρ0

∂s(x,t)∂x

da cui segue

δp = −β∂s(x, t)∂x

dove δρ(x, t) e δp(x, t) sono in fase.Sostituendo si ottiene

dF = βS∂

∂x

∂s(x, t)

∂xdx

= βS∂ 2s(x, t)

∂x2dx

= dm∂ 2s(x, t)

∂t2

= ρ0S∂ 2s(x, t)

∂t2dx

Eliminando da entrambe i membri dx e S si ottiene

∂ 2s(x, t)

∂x2=

1βρ0

∂2s(x,t)∂t2

=1

v2

∂ 2s(x, t)

∂t2con v =

√β

ρ0

Oltre all'onda di spostamento s(x, t) abbiamo anche le onde di pressioneδp(x, t) e di densità δρ(x, t), ovviamente co-propaganti con la stessa velocità:

∂ 2δp(x, t)

∂x2=

1

v2

∂ 2δp(x, t)

∂t2

∂ 2δρ(x, t)

∂x2=

1

v2

∂ 2δρ(x, t)

∂t2

Dimostriamo per la pressione:

∂ 2δp

∂x2=

∂ 2

∂x2

(−β ∂s

∂x

)= −β ∂

∂x

(∂ 2s

∂x2

)1

v2

∂ 2δp

∂t2=

1

v2

∂ 2

∂t2

(−β ∂s

∂x

)= −β ∂

∂x

(1

v2

∂ 2s

∂t2

)= −β ∂

∂x

(∂2s

∂x2

)


Siccomei secondi termini sono uguali, allora lo sono anche i primi.La stessa dimostrazione la possiamo fare per la densità.Abbiamo visto che anche la potenza trasferita dall'onda si propaga e ri-

spetta l'equazione delle onde. Nel caso specico, siccome abbiamo l'ondadi pressione δp(x, t), possiamo subito scrivere l'onda di potenza P (x, t) =δp(x, t)S ∂s

∂tistantanea notando che δp(x, t)S è la forza e ∂s

∂tè lo spostamento

nell'unità di tempo cioè la velocità. Espressa in s(x, t):

P (x, t) = −βS∂s(x, t)∂x

∂s(x, t)

∂t

Se consideriamo un'onda armonica s(x, t) = sm sin(kx− ωt) ricaviamo

δp(x, t) = −β ∂s∂x

= −βksm cos (kx− ωt) = βksm sin(kx− ωt− π

2

)δρ(x, t) = −ρ0

∂s

∂x= −ρ0ksm cos (kx− ωt) = ρ0ksm sin

(kx− ωt− π

2

)dalle quali possiamo denire

δpm = βksm

δρm = ρ0ksm

Le onde di pressione e densità sono in fase tra di loro e in anticipo di π2

rispetto all'onda di spostamento. L'onda di potenza diventa:

P (x, t) = −βS (smk cos(kx− ωt)) (−ωsm cos(kx− ωt))

= βSs2m

ω2

vcos2(kx− ωt) =

= βSs2mk

2v cos2(kx− ωt)= ρ0Ssm

2ω2v cos2(kx− ωt)Possiamo calcolare anche la potenza media:

P =1

2ρ0Ss

2mω

2v

=1

2βSs2

mk2v

=(δpm)2

2ρ0vS

L'intesità dell'onda acustica è quindi data da

I =P

S=

(δpm)2

2ρ0v

[W

m2

]L'orecchio umano percepisce come suono la frequenza tra 20 Hz e 20 kHz

di intensità compresa (a 1 kHz) tra la soglia di udibilità I = 10−12W/m2 e lasoglia del dolore I = 1W/m2.


Accenni di termodinamica

L'equazione da cui partiamo è quella dei gas perfetti

pV = nRT [J ]

La costante R = kNA = 8.31 [Jk−1mol−1] è detta costante di gas.La trasformazione che avviene nel volumetto di massa dm al passaggio

della perturbazione ondosa è, in senso termodinamico, adiabatica, cioè av-viene senza scambio di energia con il mondo esterno. Per le trasformazioniadiabatiche la relazione tra p e V è data da

pV γ = cost =⇒ d (pV γ) = 0 =⇒ dp = −γpdVV

= −βdVV

e quindi la relazione tra la costante di comprimibilità e la pressione è datada

β = γP0

e quindi

v =

√γp0

ρ0

Applicando la legge dei gas perfetti e notando che la massa M , associata lavolume V , è nA10−3 1 e che vale sempre la relazione ρ = M

Vsi ha:

v =

√γnRT

V MV

=

√γnRT

nA10−3=

√γR

A103√T = α

√T

La costante α per l'aria in condizioni standard 2 è 20.055.Riportiamo ora le velocità di propagazione del segnale sonoro in diversi

gasαN2 = 20.28 AN2 = 28 v0C = 337m/sαO2 = 19.07 AO2 = 32 v0C = 315m/sαH2 = 76.3 AH2 = 2 v0C = 1260m/sαHe = 58.9 AHe = 4 v0C = 970m/s

αaria = 20.055 Aaria = 28.926 v0C = 331m/sαaria = 20.055 Aaria = 28.926 v20C = 343m/s

1le moli sono denite in grammi e la massa in kg2

T = 0degC = 273.15K

p = 1.01325105Pa

ρ = 1.29kg/m3

α = 1.4


4.2 Onde sferiche

Il fronte d'onda è una sfera centrata sulla sorgente (puntiforme).

Figura 4.4: Onda sferica centrata su una sorgente puntiforme.

La scelta tra onde piane o sferiche dipende dalla distanza della sorgente edalla zona di osservazione. Per noi sulla terra le onde luminose che ci arrivanodal sole sono piane! Nel caso sferico

rξ(r, t) = r0ξ0 sin(kr − ωt)

e soddisfa un'equazione delle onde in coordinate sferiche

∂2ξ (rξ(r, t))

∂r2=

1

v2

∂2ξ (rξ(r, t))

∂t2

in cui

ξ(r, t) =r0ξ0(r0)

rsin(kr − ωt) ξ0(r) = ξ0(r0)

r0

r

L'intensità della perturbazione dipende dal quadrato dell'ampiezza dellaperturbazione I(r) ∝ ξ2

0(r) e quindi

I(r) =r2

0

r2I(r0)

Per ricordarlo basta pensare che la potenza media che attraversa un fronted'onda (sferico) è la stessa qualunque sia il fronte d'onda che consideriamo(supponendo nulla l'attenuazione). Vediamo ora la potenza media

P = I(r1)4πr21 = I(r2)4πr2

2

da cui l'intensità diventa

I(r2) =4πr2

1

4πr22

I(r1) =r2

1

r22

I(r1)


Figura 4.5: Potenza media di un'onda sferica.

La potenza che si propaga in un certo angolo solido si conserva (a menodell'attenuazione). Se l'angolo solido è tutto lo spazio (sfera) esso vale 4π.

Se c'è attenuazione essa si scrive come e−αr e moltiplica l'intensità. α èla costante di attenuazione α[m−1]. Nota l'intensità in r = r0, o la P dellasorgente puntiforme si scrive, con l'attenuazione:

I(r) =r2o

r2I(r)e−α(r−r0)

I(r) =P

4πr2e−αr

avendo posto

P = 4πr20I(r0) con r0 → 0 se la sorgente è puntiforme

In generale, se la sorgente emette una potenza media P in un angolosolido Σ [sterad] 6= 4π si ha:

I(r) =PΣ

Σr2e−αr

Nelle onde acustiche l'intensità si esprime in rapporto ad una intensitàdi riferimento, che convenzionalmente, coincide con la soglia di udibilità del

suono ed è pari a I0def= 10−12W/m2.


Figura 4.6: Livello sonoro per l'orecchio umano.

L'intensità in rapporto alla soglia convenzionale di udibilità si chiamalivello sonoro L quando è espresso in dB

Ldef=

I

I0

[dB]def= 10log10

(I

I0

)I0

def= 10−12W/m2

4.3 Interferenza di onde sferiche armoniche

Abbiamo visto il fenomeno nel caso dele onde piane e notato che non èaltro che uno degli eetti della linearità (sovrapposizione degli eetti)

ξ(x, t) = ξ1(x, t) + ξ2(x, t)

= ξ0 sin(kx− ωt− ϕ1) + ξ0 sin(kx− ωt− ϕ2)

= 2ξ0 cos(∆ϕ

2) sin(kx− ωt− ϕ′)

ϕ2 > ϕ1

∆ϕ = ϕ2 − ϕ1

ϕ′ = ϕ1+ϕ2

2

A = 2ξ0 cos(∆ϕ2

)

La somma è un'onda con ampiezza che dipende dalla dierenza di fasetra le onde co-propaganti ed in particolare

A =

0 per ∆ϕ = (2m+ 1)π =⇒ onde in oppos. di fase: interf. distruttiva2ξ0 per ∆ϕ = 2mπ =⇒ onde in fase: interf. costruttiva


Se le ampiezza non sono uguali, l'ampiezza dell'onda di interferenza nonvarierà più da 0 a 2ξ0 ma :∣∣∣ξ01 − ξ02

∣∣∣ ≤ A(∆ϕ) ≤∣∣∣ξ01 + ξ02

∣∣∣con il minimo e il massimo agli stessi ∆ϕ.

Nel caso delle onde sferiche è lo stesso ,basta pensare ai fronti d'ondasferici, che rappresentano le superci di propagazione sulle quali la fase del-l'onda è costante. Per semplici considerazioni geometriche ci saranno puntidello spazio in cui l'intensità è costruttiva e altri in cui è distruttiva.

Figura 4.7: Interferenza di onde sferiche. Nei punti Pc le onde sono in fasementre nei punti Pd sono in opposizione di fase.

Preso un punto P , la dierenza di cammino percorso dalle due onde è

∆L = |r1 − r2|

e la dierenza di fase ∆ϕ tra le onde dipende da ∆L. Infatti:

∆ϕ

2π=

∆L

λ=⇒

∆L = mλ interferenza costruttiva∆L = 2m+1

2λ interferenza distruttiva


4.4 Onde Stazionarie

Come nel caso della corda, due onde armoniche simili contropropagantidanno origine a onde stazionarie. Nel caso delle canne oltre alle condizioni dinodo-nodo è possibile anche la congurazione nodo-ventre (vd. Figura 4.8).

Figura 4.8: Onde stazionarie in una canna. A sinistra è rappresentata l'ondadi pressione nel caso di nodo-nodo (a) e nodo ventre(b). A destra l'ondadi spostamento nel caso ventre-ventre (a) e ventre-nodo (b). Si noti che lacanna aperta presenta una condizione di nodo per l'onda di pressione e diventre per l'onda di spostamento. Viceversa per la canna chiusa.

4.5 Battimenti

I battimenti sono l'eetto sonoro che si percepisce nel caso di onde co-propaganti di frequenza molto simile. Consideriamo due onde piane di questotipo, di eguale ampiezza, e vediamo cosa percepisce un osservatore che sitrovi in un punto sso P. In un punto P qualunque ma ssato, l'ampiezzadell'onda varia secondo la legge dell'oscillatore armonico ξ(t)|x=cost = ξ0 sinωtcon opportuna scelta di t = 0 per non avere una fase aggiuntiva.

Consideriamo ora due onde di ampiezza uguale e frequenza diversa masimile, ω1 e ω2. Siccome l'eetto è sonoro, prendiamo per esempio due onde


di pressione δp1(t)∣∣∣x=cost

= δpm sinω1t e δp2(t)∣∣∣x=cost

= δpm sinω2t allora:

δp(t) = δpm (sinω1t+ sinω2t)

= 2δpm cos

(ω1 − ω2

2t

)sin

(ω1 + ω2

2t

)

= 2δpm cos Ωt sinωt

ω = ω1+ω2

2≈ ω1 ≈ ω2

Ω =

∣∣ω1−ω2

2

A(t) = 2δpm cos Ωt

Figura 4.9: Battimenti di due onde sonore. La risultante ha pulsazione Ω.

L'ampiezza dell'oscillazione di frequenza ω2π

che percepiamo in P varianel tempo da 0 a 2δpm come A(t). Siccome il nostro orecchio è sensibileall'intensità, non facendo nessuna analisi di fase, possiamo scrivere l'intensitàin P come

I = Imax cos2 Ωt poichè I dipende da (δp)2

Poiché il periodo della funzione cos2Ωt è la metà di quello di cos Ωt, lafrequenza con cui varia l'intensità, frequenza di battimento

νbat =2Ω

2π=∣∣∣ν1 − ν2

∣∣∣4.6 Eetto Doppler

Se la sorgente e l'ascoltatore sono in moto tra di loro, cioè la loro distanzavaria con una velocità che è minore di quella di propagazione ma non trascu-rabile, la frequenza percepita dall'ascoltatore è diversa da quella che vieneemessa dalla sorgente.


Figura 4.10: Eetto Doppler.

E' importante ssare le convenzioni di segno. Le formule che si ottengonodipendono dalle convenzioni di segno!

Usiamo le convenzioni implicitamente usate dal Mazzoldi che prendonocome positive tutte le velocità se congruenti con la velocità di propagazionev (vd. Figura 4.11). Sia S la sorgente e R il rivelatore (o ascoltatore). Con

Figura 4.11: Convenzioni di segno per le velocità nell'eetto Doppler.

queste convenzioni per vs positiva la distanza tra S e R si riduce mentre pervR positiva la distanza tra S e R aumenta.

1. R fermo e S si avvicina a R. Allora vr = 0 e vS > 0.

La distanza temporale tra due fonti d'onda emessi da una sorgenteferma è T0, mentre la loro distanza spaziale è λ0.Possiamo immaginare


che R riveli la frequenza contando i fronti d'onda che lo raggiungononell'unità di tempo (p.es. 1 s). Se nel tempo T0 la sorgente si avvicinadi vST

′0, perché si muove verso R con velocità vs, i due fronti d'onda

successivi arriveranno a R, muovendosi entrambi con velocità v, avendouna distanza ridotta λR = λ0 − vsT0 e la frequenza percepita da Rquando lo raggiungeranno con velocità v sarà

νR =v

λR=

v

λ0 − vsT0

=v

vν0− vs

ν0

=v

v − vsν0

Se S si allontana, vs è negativa e la relazione resta la stessa.

2. S ssa e R si allontana (per avere vr > 0 secondo le nostre convenzioni)allora vs = 0, vR > 0 e vr < v.

Poiché S è ferma, la distanza tra i fronti d'onda non cambia, ma poichél'osservatore si allontana da S e quindi dai fronti d'onda che stanno arri-vando, per l'osservatore è come se la velocità di propagazione dell'ondafosse ridotta di vR e quindi

νR =v − vRλ0

=v − vRv

ν0

3. Se si muovono entrambi, sempre secondo le convenzioni di segno appli-cate, si scrive la relazione generale

νR =v − vRv − vS

ν0.

Poiché le onde sono sferiche e si propagano in tutte le direzioni con su-perci sferiche di propagazione, è evidente che con vR e vS si intendonole componenti di ~vR e ~vS nella direzione della retta congiungente S e Re con il verso da S a R per le convenzioni di segno prese.

4.7 Velocità di fase e velocità di gruppo

In tutte le nostre ipotesi il mezzo è perfettamente elastico, o meglio nondispersivo, cioè il comportamento non dipende dalla frequenza dell'on-da e v è la stessa per tutte le frequenze. Se il mezzo è dispersivo elonda è formata da un pacchetto che, con Fourier, contiene molte fre-quenze, allora vp = ω

kè la velocità di fase che dipende da ω. In generale


si usa scrivere ω = ω(k) con ω(k) = v(k)k. Si deniscono quindi

vp =ω(k)

kvelocità di fase

vg =dω(k)

dkvelocità di gruppo

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