capitolo 7. la valutazione del rapporto segnale/rumore...

Comunicazioni Ottiche, Capitolo 7, Edizione Ottobre 2007 1

Capitolo 7. La valutazione del rapporto segnale/rumore (SNR) in rivelazione diretta ed amplificata 7.1. Alcune definizioni Il rapporto Segnale/Rumore o più comunemente SNR (Signal to Noise Ratio) è il parametro più utilizzato per misurare la qualità della trasmissione dell’informazione. Sebbene nato in ambito analogico, esso è utilizzato anche in ambito digitale perché, seppure in modo non-lineare, può essere riportato ad esso anche l’errore digitale di trasmissione o BER Bit-Error-Rate. Nelle comunicazioni ottiche si presenta poi una peculiare accezione di SNR: l’SNR ottico o, in sigla OSNR. L’SNR comunemente definito è quello “elettrico”, ovvero l’SNR misurato a valle del processo di fotorivelazione che comprende quindi anche “rumore” additivo di tipo “elettrico”. L’accezione “ottica” si presenta sempre di più in letteratura con lo svilupparsi dei sistemi tutto-ottico di trattamento del segnale (amplificatori ottici e filtri ottici) e dei “simulatori” numerici dela trasmissione che mostrano l’evoluzione virtuale del segnale nella rete ottica “indipendentemente” dal processo di fotorivelazione, a cui viene addebitata una “penalità” specifica di tipo “additivo”. Sebbene l’accezione “ottica” del SNR teoricamente dovrebbe fare riferimento a grandezze solo “fotoniche” (che attingono quindi solo dalle proprietà della luce) nella pratica ingegneristica si fanno riferimento a grandezze “fotoelettriche”, cioè si introducono le tipiche proprietà statistiche che accompagnano il processo di fotorivelazione. Sebbene nelle comunicazioni ottiche possiamo essere in presenza di una molteplicità di segnali, nella stragrande maggioranza dei casi con “segnale” si intende una variabile deterministica s(t) la cui rivelazione viene pregiudicata da un “rumore” (noise) a media nulla ma con, evidentemente, valore quadratico medio diverso da zero. Secondo questa precisazione si intende quindi con SNR

!

SNR =media del segnale( )

2

valore quadratico medio del rumore( )

queste “medie” sono generalmente valutabili in tempo, per cui


!

SNR =s 2(t)

n2

dove la media viene valutata in un certo tempo di integrazione T (generalmente assunto come inverso della banda elettrica Be). Avendo assunto poi di considerare dei processi di rumore a media zero, l’espressione precedente si può scrivere in termini di varianza

!

"n( )2

come

!

SNR =s 2(t)

"n( )2

SNR è quindi un numero. Esso esprime quanto la parte di segnale ricevuto che contiene l’informazione si innalza rispetto a quella parte che non contiene l’informazione cui viene genericamente attribuito il significato di rumore o con termine inglese ormai comune in elettronica noise. Questo numero può essere grande (20, 50, 100) grandissimo

!

104, 10

6( ) o

!

<1, espresso in dB (

!

10 log10 (numero) o con altre convenzioni.

Alla radice di questo numero si attribuisce spesso il significato di argomento della error-function (o funzione Q) per la valutazione del BER. Se consideriamo l’espressione originale di SNR

!

SNR =s 2(t)

n2

e lo supponiano scritto in forma di count-rate n(t) moltiplicato sopra e sotto per e2 RL

!

SNR =n 2(t)

n(t)2"

e2R

L

e2R

L

vediamo che essa rappresenta al numeratore una “potenza” dovuta alla corrente elettrica en(t) dissipata nella resistenza RL, al denominatore la varianza della corrente di rumore ovvero la potenza di rumore. Quindi SNRelettrico può anche essere interpretato come il rapporto fra la potenza media di segnale “convertito in elettrico” e la potenza media di un rumore casuale “convertito in elettrico” a media nulla:


!

SNRelettrico =potenza del segnale elettrico( )potenza del rumore elettrico( )

se trascuriamo per un momento i “rumori” di tipo elettrico additivo, questo SNRelettrico può essere riportato ad un SNRottico con gli opportuni coefficienti di conversione opto-elettrico, la responsivity r o αe

!

SNRelettrico =" 2

e2

" 2e2#

P segnale ottico

2

($Prumore ottico)= SNRottico

cioè l’SNR in elettrico è uguale al SNR ottico se - trascuro i rumori additivi di tipo elettrico aggiunti dal processo di fotorivelazione; - considero come definizione del SNR ottico il rapporto fra il quadrato della media della potenza di segnale e la varianza del rumore.


7.2 Il SNR nel processo di rivelazione diretta Consideriamo un normale fotoricevitore predisposto per ricevere una luce miscela formata da una Intensità di segnale Is = APs ed una intensità di rumore In=APn. Normalmente il segnale fotorivelato subisce un processo elettronico di filtraggio che rimuove immediatamente le componenti indesiderate, cioè le componenti della potenza che non convogliano l’informazione e le componenti di rumore fuori dalla banda elettrica del segnale. Siccome siamo in presenza di segnali variabili rapidamente nel tempo alla cadenza di cifra della trasmissione digitale , un primo filtraggio agisce da passa-alto per rimuovere tutte le componenti in “continua” dei segnali. Un secondo filtraggio, questa volta di tipo “passa-basso” delimita esattamente la banda di frequenza interessata dal segnale (che supponiamo sia Bs, in elettrico) e solo quella, onde evitare l’introduzione di potenza di rumore indesiderata. Chiamiamo Bm la banda di quest’ultimo filtro. Questi filtri agiscono nel “dominio elettrico” ma il nostro segnale come sappiamo è trasportato su di una portante ottica, normalmente una delle frequenze ottiche della griglia WDM della ITU-T. Questa portante (e lo spettro di frequenze collegate che accompagnano il segnale modulato), sono separate da un sistema di “filtri” di tipo “ottico” ( che agiscono cioè in ambito delle frequenze ottiche ovvero ne “dominio ottico”) che supponiamo abbia una banda Bo, che normalmente è vista “bilatera” nel dominio elettrico (in quanto occupa anche le frequenze “negative” del dominio elettrico che sono normali frequenze nel dominio ottico – vedi figura seguente). La banda Bo è normalmente in grado di contenere bene il segnale modulato che, nello stesso “domino” del filtro ottico avrà una banda bilatera 2Bs delimitata da un filtro elettrico di banda 2Bm, cui corrisponde un tempo medio di integrazione T tale per cui T=1/2Bm.


Dopo le operazioni di filtraggio i segnali si presenteranno con un SNRelettrico del tipo

!

SNRelettrico

=s 2(t)

"n

2=

em (t)( )2

e2"

m

2

dove è stato usato il simbolo m(t) per indicare il count-rate fotoelettrico della luce miscela. Introducendo i risultati del capitolo inerente il processo di fotoconteggio si ha quindi (considerando che solo la luce ordinata contribuisce al termine “segnale”). Se siamo in presenza di un segnale in presenza di rumore ottico il processo sarà complessivamente descritto da una distribuzione di Laguerre, ed introducendo nella espressione precedente l’espressione della varianza ricavata nel capitolo precedente, si


ottiene

!

SNRelettrico

=em (t)( )

2

e2"

m

2=

em s( )2

e2 µ

s+ µ

n+

µn

2

M+ 2

µs#µ

n

M

$

% &

'

( )

Facciamo ora le seguenti ipotesi (ragionevoli per un comune sistema di comunicazione ottica): - assumiamo pari a T=1/2Bm il tempo di integrazione sia del segnale che del rumore; - assumiamo che il rumore ottico abbia una banda spettrale molto più ampia della banda del segnale e che sia “intercettato” dal rivelatore con un filtro “ottico” di banda B o; - assumiamo che il processo di fotorivelazione avvenga in condizioni monomodali spaziali e di polarizzazione e che quindi il numero di modi M sia semplicemente dato dal rapporto Bo/2Bm. Si ottiene quindi:

!

SNRelettrico

=e"PsT( )

2

e2 "PsT +"PnT +

"PnT( )2

M+ 2

"PsT #"PnT

M

$

% & &

'

( ) )

ovvero esplicitando M e dividendo per T2 sopra e sotto,

!

SNRelettrico

=e"Ps( )

2

e2 "Ps

1

T+"Pn

1

T+" 2PnPn( ) 2BmBo

+ 2"Ps #"Pn # 2Bm

Bo

$

%

& &

'

(

) )

ed introducendo il valore spettrale medio del rumore No=Pn/Bo e ponendo 1/ T uguale a 2Bm

!

SNRelettrico

=e"Ps( )

2

e2 "Ps2Bm +"PnBm + " 2

PnNo( ) 2Bm + 2"Ps #"No # 2Bm[ ]

ottengo finalmente l’espressione “ottica” (cioè senza termini elettrici) del SNR in rivelazione diretta


!

SNRelettrico

=e"Ps( )

2

e2 " Ps+ Pn( ) +" 2

No Pn + 2Ps( )[ ]2Bm

(Ricordiamo che all’origine di questa espressione al numeratore c’è il valor medio di conteggio ed al denominatore la somma di “varianze” di conteggio, anche se in seguito all’operazione di “semplificazione sopra e sotto per T, questo non appare ad una semplice lettura). In particolare, ricordando quanto svolto al Capitolo precedente (Il processo di fotorivelazione, al paragrafo “shot-noise” ) , identifichiamo nei primi due termini al denominatore – e2αPs e e2αPn - proprio i termini di potenza di shot-noise che costituiranno le varianze del processo di fotorivelazione, e2µs ed e2µn. Se la foto-rivelazione è condotta con un APD o comunque con un fotorivelatore dotato di guadagno, si è visto nello stesso paragrafo che il guadagno medio

!

g va a moltiplicare la componente di segnale ed il valore quadratico medio del guadagno

!

g2 la componente di rumore. In

presenza di APD l’espressione precedente diventa quindi:

!

SNRelettrico =e"g Ps( )

2

e2 "g

2Ps + Pn( ) +" 2

g 2No Pn + 2Ps( )[ ]2Bm

Sino ad ora abbiamo considerato solo i termini di rumore di origine “ottica” che entrano nel canale di comunicazione (No) o sono causati dal processo di fotorivelazione (shot-noise). Per completare l’espressione “elettrica” del SNR, occorre ora aggiungere le varianze di fotoconteggio derivanti dai componenti “elettrici” del circuito, cioè come abbiamo visto ai paragrafi precedenti, il rumore Johnson e la cosidetta “dark current”. Le espressioni di varianza di count-rate per questi due termini sono rispettivamente

!

"m johnson( )2

=2kT

e2RL

=Noc

e2

= var ianza di count # rate Johnson

dove è stato preso a coefficiente di kT il fattore 2 perché stiamo considerando una banda bilatera 2Bm. Per la dark-current è

!

"mIDC( )

2

=IDC

e= var ianza di countrate DC

Per ottenere le varianze di fotoconteggio da questi due termini li debbo moltiplicare per T ed ottenere quindi


!

" Joh

2=Noc

e2T = varianza di fotoconteggio Johnson

!

"DC

2=IDC

eT = varianza di fotoconteggio DC

Per introdurre queste espressioni nel rapporto segnale/rumore precedente, debbo fare subire loro il processo di semplificazione per T2, equivalente a moltiplicare le espressioni di varianza di count-rate per 2Bm (al posto di T), che a questo punto raccolgo a fattore comune ottengo l’espressione completa del SNR in termini di potenze e bande

!

SNRelettrico =e"g Ps( )

2

e2 "g

2Ps + Pn( ) +" 2

g 2No Pn + 2Ps( ) +

Noc

e2

+IDC

e

#

$ % &

' ( ) 2Bm

La rappresentazione spettrale di questa espressione è riportata nella figura seguente. Identifichiamo nella espressione e nella figura 1) La potenza elettrica del segnale

!

e"g Ps( )2 che si presenta con la banda

2Bs ed a cui viene rimossa una piccola potenza nella zona della continua: questo è l’unico termine posto al numeratore; 2) La varianza di potenza elettrica dovuta allo shot-noise prodotto dalla potenza ottica entrante, sia di segnale che di rumore

!

e2"g2 Ps+ Pn( ): questa

potenza si presenta a spettro piatto nella banda del filtro elettrico 2Bm; 3) la varianza di potenza elettrica dovuta al battimento fra il rumore ottico di densità spettrale di potenza No (che si presenta piatto nella banda del filtro ottico Bo e che contribuisce alla potenza di rumore Pn=NoBo) e le potenze di segnale e di rumore

!

e2" 2

g 2No Pn + 2Ps( ) ;

4) le varianze di rumore elettrico additivo di tipo Johnson e Dark-current, che si presentano a spettro piatto nella banda del filtro elettrico 2Bm,

!

Noc

+ eIDC

.


7.3 Approssimazioni nella espressione del SNR in rivelazione diretta: densità spettrale di potenza di rumore ottico trascurabile Procediamo ora a dividere sia il numeratore che il denominatore della espressione precedente per termini a fattore comune, cioè ad esempio

!

e2g 2 (in modo che riconduco il numeratore ad un count-rate primario,

non amplificato dal guadagno g):

!

SNRelettrico ="Ps( )

2

" F Ps + Pn( ) +" 2No Pn + 2Ps( ) +

Noc

e2g 2

+IDC

e g 2

#

$ %

&

' ( ) 2Bm

al denominatore è comparso il Fattore di Merito dell’APD, definito come

!

F =g 2

g2

che moltiplica i termini di shot-noise. Facciamo ora l’ipotesi che il livello dello spettro di potenza del rumore ottico, No, sia molto piccolo: questa ipotesi è ragionevole nei sistemi di comunicazione ottica senza apparati di amplificazione in quanto è difficile che sorgenti di rumore ottico “termico” abbiamo uno spettro di potenza elevato nella regione di terza finestra: le sorgenti termiche hanno infatti per loro natura spettri molto ampi (diverse centinaia se non migliaia di nm) e quindi è abbastanza ragionevole supporre che il livello spettrale sia modesto. Secondo questa ipotesi, arrivo a trascurare tutto l’intero secondo termine al denominatore della precedente espressione che, dividendo sopra e sotto per αPs diventa

!


F 1+Pn

Ps

#

$ %

&

' ( +

Noc

e2g 2"Ps

+IDC

e g 2"Ps

)

* +

,

- . / 2Bm


A costituire i termini di varianza del segnale sono rimasti solo due tipi di termini: il rumore shot-noise ed i termini di rumore elettrico. Come si osserva nel rumore shot-noise non è scomparso il termine di Pn perché, anche se il valore di No è molto piccolo, l’integrazione per una banda di filtro ottico molto grande può dare luogo ugualmente ad una potenza di rumore residua non trascurabile. L’espressione precedente mette in risalto che i count-rate di origine elettrica, rispettivamente

!

Noc /e2 e

!

IDC/e

sono “depressi” dal count-rate del segnale

!

g 2"Ps : quindi pur di avere un

segnale potente posso sempre rendere trascurabile anche questo tipo di rumore e portare l’espressione precedente a contenere solo il termine di “shot-noise”

!

SNRshot"noise lim ited

=#Ps( )

F 1+Pn

Ps

$

% &

'

( )

*

+ ,

-

. / 0 2Bm


Questa espressione del SNR elettrico si chiama “shot-noise-limited” a significare che il massimo SNR ottenibile è limitato dal rumore di shot-noise. Possono ora darsi due casi: 1. Pn è uguale a Ps o addirittura molto maggiore di esso. In questo caso posso semplificare l’espressione precedente che diventa:

!

SNRbackgroun"noise" lim ited =#Ps

F2Bm$Ps

Pn

Questa espressione del SNR elettrico in rivelazione diretta si chiama “ background noise limited ”: infatti essa si può verificare nei sistemi di comunicazione ottica non-guidati (cioè di tipo laser diretto o “wireless”) dove in alcune condizioni di funzionamento l’illuminazione esterna, specialmente quella solare (da cui la dizione “background”) può essere significativamente alta. E’ interessante notare che, sebbene Ps/Pn sia inferiore ad uno, il complessivo SNR può essere maggiore di uno se si restringe la banda Bm ed aumenta la potenza di segnale Ps. 2. Pn minore o molto minore di Ps. In questo caso posso semplificare l’espressione precedente che diventa:

!

SNRquantum"noise" lim ited =#Ps

F2Bm

o se, considero una fotorivelazione che avviene senza guadagno di fotorivelazione (ad esempio usando PIN)

!

SNRquantum"noise" lim ited =#Ps

2Bm

Questa espressione del SNR elettrico in rivelazione diretta si chiama “quantum limited”: essa infatti è l’espressione del SNR massima ottenibile quando ogni tipo di rumore sia di origine ottica che elettronica viene “depresso” dalla potenza del segnale ottico in arrivo al fotoricevitore.


7.4 Il SNR “Quantum Limited” L’espressione del SNR “quantum limited” assume un rilievo speciale nelle comunicazioni ottiche perché rappresenta l’espressione a cui “tendere” quando si progettano i sistemi stessi: essa è il valore asintotico a cui tendere al fine di ottimizzare al massimo il vantaggio offerto dall’ottica. Vediamo nel seguito alcune “letture” che possono essere date del SNR “quantum limited”. Consideriamo ancora l’espressione precedente

!

SNRQL

="Ps

2Bm

rendendo esplicito il coefficiente α, essa risulta

!

SNRQL ="Ps

h#2Bm

ovvero il rapporto fra due potenze: la potenza di segnale Ps (“convertita” con coefficiente

!

" ) e la potenza fornita dal livello spettrale quantico

!

h" /2 integrato dalla banda elettrica 2Bm (il fattore 2 scomparirà nella espressione quantum-limited ottenuta in rivelazione coerente) .

!

SNRQL =potenza del segnale

potenza dello stato vuoto

L’energia

!

h" /2 rappresenta come sappiamo, il solo “rumore elettromagnetico” sussistente alle bande delle frequenze ottiche, quando ogni altro tipo di rumore elettromagnetico scompare. Essa rappresenta la fluttuazione elettromagnetica ineliminabile o energia dello “stato vuoto”, intendendo con questo termine l’energia dello stato fotonico “zero”. Questa energia non è, come abbiamo già ricordato, “estraibile” ma “entra” nel sistema di rivelazione insieme alla potenza del segnale ed è la causa della variabilità ineliminabile che anche la luce più ordinata presenta. Questa variabilità lascia come “traccia” la distribuzione di Poisson che la luce coerente presenta. Infatti se sviluppiamo l’espressione SNR quantum-limited otteniamo:

!

SNRQL ="Ps

2Bm=

count # rate

1/ tempo di int egrazione= < n >

che può essere visto come rapporto fra il conteggio medio al quadrato di un processo di Poisson (ottenuto dal fonorivelatore quando una luce segnale perfettamente stabile lo illumina) e la sua varianza:


!

SNRQL

=< n >

2

< n >=< n >

La variabilità di Poisson è la “migliore” variabilità che possiamo attribuire alla luce: essa è la variabilità propria della luce laser ed anche della sua descrizione teorica e l’espressione SNRQL, che abbiamo ottenuto “in elettrico” mantiene la sua validità anche “in ottico” , quando cioè si consideri “segnale” la raccolta di fotoni accumulata nel tempo di integrazione 1/2Bm e si consideri come unica fluttuazione la varianza intrinseca del processo di Poisson che rappresenta la descrizione quantistica della luce “perfettamente coerente” (chiamata anche “stato coerente” o “stato di Glauber”). Ritornando alla espressione originale del SNR, prima delle semplificazioni, il SNRQL diventa

!

SNRQL =e2 "Ps( )

2

e2"Ps2Bm

=e2 "Ps( )

2T

e2"Ps

=e2 "Ps( )

2T2

e2"PsT

=e2m s

2

e2m s

=(potenza del segnale)

2

(potenza di shot noise)

ovvero il SNRQLrappresenta il rapporto fra il quadrato della potenza ottica media di segnale ricevuta e la potenza di shot-noise del solo segnale. Nella rappresentazione spettrale illustrata nella figura precedente è come se solo il termine spettrale di shot-noise fosse rimasto quale consequenza dell’alto livello della potenza ricevuta Ps, la cui variabilità intrinseca, appunto lo shot-noise, viene a dominare qualsiasi altra variabilità. Si osserva quindi come la dizione “potenza di shot noise” e “potenza dello stato vuoto” giochino lo stesso ruolo nel SNRQL, la prima espressione riferendosi al processo di fotorivelazione, la seconda ad un processo che avviene in ambito ottico.


7.5 La depressione dei termini di rumore “elettrico” Il tema delle componenti di rumore di origine elettrica (cioè sostanzialmente la corrente di buio ed il rumore termico o rumore Johnson) è centrale nella costruzione del power-budget del sistema di comunicazione ottica. Si è visto che solo con la sua depressione è possibile raggiungere il quantum-limit. Allo stesso modo si è visto che l’assenza delle componenti di rumore “elettrico” permette di conciliare facilmente la valutazione del SNR in “elettrico” ed in “ottico”. I termini “elettrici” diventano trascurabili quando (come è stato visto ai paragrafi precedenti) i count-rate di origine elettrica, rispettivamente

!

Noc /e2 e

!

IDC/e

sono “depressi” dal count-rate del segnale

!

g 2"Ps . Nei moderni sistemi di

comunicazione ottica (nei quali si lavora ad alto bit-rate e quindi grande bande elettriche), la dark-current dei dispositivi di fotorivelazione non introduce un rumore significativo se confrontato con quello di tipo “termico” o “Johnson” introdotto dalla resistenza RL. Per cui la condizione di “depressione” dei termici elettrici si riduce sostanzialmente a

!

2kT

e2RL

<< g 2"Ps

Il soddisfacimento di questa disuguaglianza ha profondi riflessi sul dimensionamento del sistema di comunicazione ottica perché in essa compaiono dei parametri fondamentali per il sistema: Ps. Questa Potenza rappresenta la potenza ottica effettivamente ricevuta dal fotodiodo di ingresso: essa dipende quindi dalla lunghezza della tratta di fibra ottica che costituisce il collegamento desiderato. In generale

!

Ps

= Poe"aL

e l’interesse di sistema è quello di progettare la tratta di maggiore lunghezza possibile che, al valore tipico delle attenuazioni di fibra ottica (0,2 dB/Km) implica di arrivare al ricevitore con potenze dell’ordine di qualche decina di microWatt. RL. Questa rappresenta la resistenza “equivalente” riportata all’ingresso di tutti i circuiti elettrici di post-processing del segnale. Lo standard usato per questa resistenza è quello di 50 ohm che associata a capacità equivalenti che abbiamo visto essere per i migliori fotodiodi dell’ordine di qualche picoFarad, comporta una frequenza di taglio del fotodiodo pari a circa 20 GHz. Il valore della resistenza di ingresso è quindi, in generale,


“imposto” dal valore della frequenza di taglio

!

f3dB =

1

RLC

e difficilmente potrà essere aumentato se si desiderano sistemi di comunicazione ottica ad alto bit-rate.

!

g 2 . Questo parametro è una indicazione della capacità di “guadagno”

posseduta del fotodiodo a valanga usato nel ricevitore. Come abbiamo visto, esso non può essere aumentato molto per non penalizzare poi il sistema con l’introduzione di un alto valore di Fattore di Merito. L’impiego di un APD è inoltre molto più costoso dell’impiego di un semplice PIN e pone dei problemi di packaging non indifferenti. Se introduciamo i parametri ora analizzati nella disuguaglianza sopra riportata otteniamo:

!

2kTf3dB << e

2g 2"Po # e

$aL ed affinché l’espressione sia soddisfatta (in altri termini se si vuole lavorare senza “penalità” portate dai termini di “rumore elettrico” nel sistema) occorrerà fare un “compromesso” fra la lunghezza d tratta utile e la banda del ricevitore, ovvero il rate-trasmissivo. Vediamo con un esempio numerico come si pone il problema. Supponiamo di non disporre di un APD e quindi di non avere guadagno e supponiamo altresì di avere una tratta di fibra ottica lunga 100 Km con un trasmettitore di 10 mW di potenza (un valore ragionevole per i moderni laser di trasmissione). La potenza Ps sarà quindi dell’ordine di 0,1 mW ed il count-rate prodotto dal segnale al ricevitore sarà

!

nsegnale (t) ="Ps =#Ps

h$=0,8 %10&4

1,28 %10&19= 6,3 %1014count /s

d’altra parte, valutiamo il count-rate “termico” prodotto dalla resistenza di ingresso di 50 ohm, ipotizzando di lavorare a temperatura ambiente. Sarà

!

nJohnson

(t) =2kT

e2RL

=2 " 0,025 "1,6 "10

#19

1,6 "10#19( )

2

" 50= 6,3 "1015count /s

come si vede questo “count rate” sommerge il segnale e quindi in queste condizioni non solo la disuguaglianza non sarà verificata ma anche la ricezione sarà fortemente compromessa. Per permettere la ricezione dovrò quindi fare ricorso ad un APD che presenti” almeno” un guadagno


pari a 100: in questo modo il count-rate di segnale sarà portato a circa 6,3 1018 un valore che supera largamente il rumore termico. Alternativamente avrei dovuto ridurre la banda del segnale, per aumentare la resistenza di ingresso, o ridurre la lunghezza di tratta, per permettere una maggiore potenza di ingresso al ricevitore.

7.3 Approssimazioni nella espressione del SNR in rivelazione diretta: impiego di amplificatori ottici Come affermato al paragrafo precedente, quando nei sistemi di comunicazioni ottica ad alto bit-rate si vogliono ridurre i contributi di “rumore elettrico”, occorre fare ricorso a sistemi di guadagno della corrente primaria. Questi sistemi, se pure efficaci, presentano due inconveniente principali: - di essere “dedicati” alla singola portante da rivelare, cioè alla singola lunghezza d’onda; - di essere “dedicati” ad un certo bit-rate, cambiando il quale o cambiando il formato trasmissivo spesso si impone la necessità di cambiare anche la caratteristica del dispositivo. In alternativa si è sviluppata la tecnologia di “amplificazione ottica”, una tecnica che permette cioè non di amplificare la “corrente” già prodotta, ma di amplificare l’intensità luminosa guidata dalla fibra. In questo modo, se l’amplificazione è svolta con certe caratteristiche (presente nei moderni sistemi) vengono superate le limitazioni precedenti. Anche l’amplificatore ottico non è però esente da problemi ed , in particolare introduce un “rumore” di tipo ottico-termico (con le caratteristiche statistiche di una luce caotica) ineliminabile chiamato Amplified Spontaneous Emission o ASE di livello spettrale Nsp pari a


!

Nsp = G "1( ) # h$ # nsp W /Hz[ ] dove “G” rappresenta il parametro di guadagno dell’amplificatore e “nsp“ è un parametro che dipende dalle sue condizioni di funzionamento chiamato “fattore di inversione della popolazione). Molte sono le tecnologie di “amplificazione ottica” che vengono utilizzate nei moderni sistemi di comunicazione ottica: possiamo infatti avere amplificazione ottica con schemi ad “inversione di popolazione” (sono gli amplificatori maggiormente utilizzati chiamati anche Erbium Doped Fiber Amplifier o EDFA) o con “schemi non-lineari” (sono gli amplificatori ottici chiamati anche “Raman”). Dal punto di vista del “sistema”, gli amplificatori ottici sono apparati che: - amplificano con Guadagno G qualsiasi luce di ingresso, sia ordinata che caotica e non ne cambiano la statistica;


- introducono un rumore additivo di tipo “termico” con banda pari alla banda di amplificazione. In presenza di questo rumore, non possono più essere fatte le approssimazioni svolte al paragrafo 7.3 e dobbiamo riprendere l’espressione completa del SNR, che rimane assolutamente valida:

!


2

" F Ps + Pn( ) +" 2No Pn + 2Ps( ) +

Noc

e2g 2

+IDC

e g 2

#

$ %

&

' ( ) 2Bm

In seguito all’introduzione dell’AO, la potenza ricevuta dalla fibra Pr prima di essere affacciata al fotorivelatore viene amplificata e quindi

!

Ps =GPr si suppone poi che tutto il rumore ottico coincida in pratica con il rumore dell’AO, Nsp e quindi l’espressione precedente diventa

!

SNRel con AO ="GPr( )

2

" F GPr + Psp( ) +" 2Nsp Psp + 2GPr( ) +

Noc

e2g 2

+IDC

e g 2

#

$ %

&

' ( ) 2Bm

Normalmente quando si introduce un amplificatore ottico si tende a “filtrare” con accuratezza la luce di ingresso al fotorivelatore, per impedire di accrescere le condizioni di rumore in presenza di un livello spettrale alto (Nsp). Supponiamo di avere eseguito questa operazione e di avere reso quindi trascurabile la potenza di rumore Psp. Come ulteriore operazione, il progettista tende ad eliminare l’impiego di fotodiodi amplificati, che costerebbero di più dei fotodiodi di tipo PIN. Eseguendo queste approssimazioni, l’espressione diventa

!

SNRel con AO

="GPr( )

2

" GPr( ) +" 2Nsp 2GPr( ) +

Noc

e2

+IDC

e

#

$ % &

' ( ) 2Bm

e semplificando sopra e sotto per

!

"GPr ottengo

!

SNRel con AO

="GPr( )

1+"2Nsp+Noc

e2 "GPr( )

+IDC

e "GPr( )

#

$ % %

&

' ( ( ) 2Bm


In questa espressione trovo ancora le problematiche di ”depressione” dei termini di rumore elettrico che avevo incontrato al paragrafo precedente: suppongo ancora di considerare solo il termine di rumore di Johnson noise e quindi la disuguaglianza da verificare per trascurare il rumore “elettrico” diventa

!

2kT

e2RL

<<G"Pr

se confrontiamo questa disuguaglianza con quella senza amplificatore ottico

!

2kT

e2RL

<< g 2"Ps

ci accorgiamo facilmente come l’AO abbia sostituito esattamente al funzione che svolgeva l’ADP: le considerazioni là svolte sono quindi trasferibili anche in questo contesto. Se i termini di rumore elettrico sono abbattuti, l’espressione del SNR elet con AO diventa

!

SNRel con AO

="GPr( )

1+"2Nsp[ ] # 2Bm

ovvero per G grande (G è tipicamente dell’ordine di 20/30 dB) e sostituendo a Nsp la sua espressione

!

SNRel con AO

="GPr( )

1+#

h$2 G %1( ) & h$ & nsp

'

( ) *

+ , & 2Bm

="GPr( )

1+#2 G %1( ) & nsp[ ] & 2Bm=

="Pr( )

1+# & 2 & nsp[ ] & 2Bm

Questa espressione mostra che anche con l’amplificazione ottica si possono ottenere sistemi che lavorano vicino al “quantum limited” pagando il prezzo di un degrado inevitabile introdotto con l’aggiunta di rumore additivo (l’ASE) nel sistema, ma non facendo “compromessi” né sulla banda del segnale né sulla lunghezza di tratta. Infatti l’espressione precedente diventa

!

SNRel con AO

="Pr( )

1+# $ 2 $ nsp[ ] $ 2Bm=

1

1+#2nsp( )SNRQL


Normalmente, η è molto vicino ad 1 e nsp può valere diverse unità, per cui si trova anche l’espressione semplificata

!

SNRel con AO

=1

2nsp( )SNRQL

Se consideriamo ancora l’espressione del SNR in presenza dell’amplificatore ottico

!

SNRel con AO

="GPr( )

1+"2Nsp[ ] # 2Bm

sapendo che Pr è la potenza ricevuta dopo avere subito il processo di attenuazione della fibra

!

Pr = Poe"aL

se poniamo

!

G " e#aL

=1 si ha

!

SNRel con AO

="Po( )

1+"2Nsp[ ] # 2Bm

cioè l’effetto dell’amplificatore ottico è stato quello di rimuovere l’effetto della propagazione (dal punto di vista attenuativo) riportando il trasmettitore vicino al ricevitore, nella migliore condizione per lavorare “quantum limited”, come in figura.


7.4 Impiego di cascate di amplificatori ottici Le conclusioni del paragrafo precedente, in cui si sottolineava la capacità dell’amplificatore ottico di compensare per l’attenuazione di tratta, mantenendo “trasparente” il sistema di comunicazione dal punto di vista della cadenza trasmissiva, del formato e del protocollo, ha stimolato molto rapidamente il ri-progetto dei sistemi di trasmissione ottica che spesso vengono ad avere la presenza di tanti amplificatori ottici, in alcuni casi anche di diversa tecnologia. Il loro numero, la loro posizione e le loro caratteristiche sono il frutto di diverse variabile non solo legate al power-budget del sistema ma anche a motivi pratici (specialmente logisitici), economici , gestionali ed amministrativi. Con riferimento alla figura seguente si identificano tre tipologie di amplificatori ottici: - booster: sono AO posti normalmente vicino al trasmettitore al fine di “lanciare” (da cui il nome) più potenza possibile in fibra ottica : essi sono caratterizzati dall’avere una alta potenza di uscita (sino a 27 30 dBm) che però è accompagnata da una alta figura di rumore; - line-amplifier: sono AO utilizzati per “ripetere” diverse tratte di fibra: sono normalmente posizionati ogni 50/80 Km con lo scopo specifico di compensare per l’attenuazione della fibra. Essi presentano guadagni medi (dell’ordine di 20 dB) potenze di uscita non elevate e buone figure di rumore; - pre-amplifier: sono AO utilizzati vicini o dentro l’apparato del ricevitore: servono per riportare la potenza ottica al giusto livello al fine di abbattere il più possibile i rumori di origine elettrica. Essi possono presentare anche guadagni elevatissimi (sino od oltre i 30 dB), potenza di uscita modesta ed eccellenti figure di rumore. Il limite principale dell’impiego di sequenze di amplificatori ottici è il cosiddetto “accumulo di ASE”: la caratteristica degli AO di amplificare ogni tipo di segnale fa si che anche il “rumore ottico” venga continuamente amplificato ad ogni stadio provocando un “accumulo” di rumore che, ad un certo punto, può arrivare a pregiudicare l’intero sistema. Supponiamo di avere un collegamento di comunicazione ottica di lunghezza Z=KL, essendo L la lunghezza delle singole tratte e K il numero di tratte. Se il sistema lavora “quantum limited” lo SNR dopo la prima tratta vale (usiamo per semplicità la espressione semplificata)


!

SNRel con AO

=1

2nsp( )"Po

2Bm

dopo la seconda, l’AO permette di raggiungere ancora il QL, ma si sarà “accumulato” (cioè addizionato) anche il rumore del secondo stadio di amplificazione. Allora , l’SNR sarà

!

SNRel con AO

(2) =1

2 " 2nsp( )#Po

2Bm

ed in generale dopo i K amplificatori del collegamento

!

SNRel con AO

(K ) =1

K " 2nsp( )#Po

2Bm

Si desideriamo conoscere quale può essere la massima lunghezza del collegamento, si ricava Z in funzione di K e sapendo che è

!

L =1

alnG

si ottiene

!

Z =lnG " SNRQL

a " 2nsp " SNRel con AO

(K )

in altri termine, per raggiungere grandi lunghezze di collegamento con amplificatori in cascata, è meglio disporre di AO con un buon parametro di rumore (nsp basso) piuttosto che alto guadagno G.

capitolo 7. la valutazione del rapporto segnale/rumore...

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