capitolul 1 -matematica superioara
TRANSCRIPT
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
1/53
1. Spaii liniare
1.1. DEFINIII. BAZ
1.1.1. Spaiu liniar.S considerm o mulime de elemente {a, b, c,...} i un corp K, pe care l lumRsau C.
Definiie. Mulimea de elemente {a, b, c, ...} formeaz un spaiuliniarL dac ntre elementele {a, b, c, ...} sunt definite dou operaii:adunare (+) i nmulire cu scalari () cu urmtoarele proprieti:
I. Mulimea {a, b, c, ...} formeaz grup abelian fa de operaia deadunare +, adic satisface urmtoarele axiome:
S1: a + b = c, a, b, cL,S2: a + b=b + a (comutativitate),S3: a + (b + c) = (a + b) + c (asociativitate).S4: exist elementul neutru, 0 L astfel nct a + 0 = 0 + a = 0.S5: la orice aL, exist opusul su ( a) L, astfel nct a + (
a) = 0.
II. Dac ( , , ...) K, este definit operaia () de nmulire cuscalari (elemente dinK) care satisface urmtoarele axiome:
I1: aL,I2: (a) = ()a (asociativitate),I3: (+ ) a = a + b (distributivitate),I4: (a + b) = a + b (distributivitate fa de operaia + nL),I5: exist elementul neutru 1 Kastfel nct
1 a = a, aL.
Exemple. 1. Mulimea matricelormn formeaz un spaiu liniarpeR sau C.
2. Mulimea polinoamelor de grad n cu coeficieni reali formeazun spaiu liniar peR.
Completri. 1) Elementele unui spaiu liniar se numesc vectori.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
2/53
2) DacKeste corpulR, spaiul liniar se numete real; dacKestecorpul C, spaiul liniar se numete complex. n cele ce urmeaz vomconsideraK=R.
1.1.2. Vectori liniar independeni. S considerm nL vectorii v1,v2, ..., vp.Definiie. 1. Vectorii v1, v2, ..., vp sunt liniar dependeni dac exist
1, 2, ... pR, cu 01
2 =
p
k
k astfel nct
1v1 + 2v2 + ... + pvp = 0.
Dac un astfel de sistem de numere nu exist, vectorii v1, v2, ..., vpsunt liniar independeni.
Observaii. 1) Vectorii v1, v2, ..., vp L sunt liniar independenidac egalitatea
1v1 + 2v2 + ... + pvp = 0(1)
atrage 1 = 0, 2 = 0, ..., p = 0.2) Dac n relaia (1) cel puin un i este diferit de zero, fie 1 0,
atunci putem scrie
0v...vv1
21
21 =+++ p
p
sau v1 = 2v2 + ... + pvp, k= k/1,
adic vectorul v1 se exprim liniar cu ajutorul lui v2, v3, ..., vp.
Exemple. 1. n plan trei vectori sunt totdeauna liniar dependeni.2. n spaiul R3 vectorii i, j, k sunt liniar independeni. Patru
vectori nR3 sunt totdeauna liniar dependeni.
1.1.3. Baz.Definiii. 1. FieL un spaiu vectorial. Numrul maximde vectori liniar independeni se numete dimensiunea spaiuluiL; se maispune cL este un spaiu vectorial n dimensional, dac numrul maximeste n.
2. ntr-un spaiu n dimensionalL un sistem de vectori v1, v2, ..., vnliniar independeni se numete bazsau formeaz o baz.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
3/53
Observaii. Dac numrul de vectori liniar independeni estenemrginit, spaiul este infinit dimensional. Dac numrul este finit,spaiul este finit dimensional.
Exemple. 1. Planul este un spaiu vectorial cu dimensiunea 2; obaz n plan o formeaz doi vectori necoliniari.2. Mulimea polinoamelor de grad p, cu coeficienii n R,
formeaz un spaiu cup + 1 dimensiuni. O baz este format din 1, x, x2,..., xp.
3. Seriile trigonometrice formeaz un spaiu infinit dimensional cubaza 1, sin x, cos x, ..., sin nx, cos nx, ...
FieLn un spaiu n dimensional.
Teorem.
1. ntr-un spaiu n dimensionaln
+ 1 vectori sunttotdeauna liniar dependeni.2. Dac v1, v2, ..., vni v sunt n + 1 vectori din Lni v1, v2, ..., vn
formeaz o baz, atunci exist1, 2, ..., nR nu toate nule astfel nct
v = 1v1 + 2v2 + ... + pvn,
numerele 1, 2, ..., n fiind unice.Demonstraie. 1) Rezult din definiie. 2) Fie v1, v2, ..., vn, v Ln,
din care v1, v2, ..., vn formeaz o baz. Fiind liniar dependeni exist 0,1, ..., nR nu toate nule astfel nct
0v + 1v1 + ... + nvn = 0;
presupunnd 0 0, obinem
nn v
...v
v
v
02
0
21
0
1 =
sau v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn, k= k/0.(1)
S artm c1, 2, ..., n sunt unice. S presupunem c mai existun sistem de numere 1, 2, ..., n astfel nct s avem
v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn.(1)
Dac scdem pe (1) din (1), obinem
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
4/53
(1 1)v1 + (2 2)v2 + ... + (n n)vn = 0,
ceea ce conduce la 1 = 1, ..., n = n, deoarece v1, v2, ..., vn sunt liniarindependeni.
Observaii. 1) Numerele 1, 2, ..., n se numesc coordonatelevectorului v fa de baza v1, v2, ..., vn; ele sunt unice.
2) Fie v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn, w = 1v1 + 2v2 + ... + nvn. Sumavectorilor
v + w = (1 + 1)v1 + (2 + 2)v2 + ... + (n + n)vn.are coordonate suma coordonatelor lui v i w.
3) Vectorul v, R, este dat de
v = (1) + (2) + ... + (n)vn.1.1.4. Spaii liniare izomorfe. FieLi Ldou spaii vectoriale pe
acelai corpK.Definiie. 1. Spaiile L i L sunt izomorfe dac la orice a L
corespunde un a Li numai unul i reciproc.2. Dac a a i b b, atunci
2) a + b a + b; 2) a a.
Observaie. Dou spaii liniare finiteLn,Lm, de dimensiuni diferitenu sunt izomorfe ntre ele. ntr-adevr, dac ar fi izomorfe, la vectoriiliniar independeni din Ln ar corespunde vectori liniar dependeni din Lmdac m < n.
Teorem. Spaiile vectoriale finit dimensionale, de aceeaidimensiune n sunt izomorfe ntre ele.
Demonstraie. Fie Ln, Ln dou spaii liniare de dimensiune n cu
bazele, respectiv,(v1, v2, ..., vn), (w1, w2, ..., w3).
La elementul
v = 1v1 + 2v2 + ... + nvn
corespundew = 1w1 + 2w2 + ... + nwn,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
5/53
deoarece grupul ordonat (1, 2, ..., n) este unic ca i grupul (1, 2, ...,n); rezult c avem corespondena v w biunivoc.
Dac lui v i corespunde w:
v =
1v1 +
2v2 + ... +
nvn,
w = 1w1 + 2w2 + ... +
nwn,
avem corespondena v + v w + w. n fine, lui
v = (1)v1 + (2)v2 + ... + (n)vn
i corespunde
w = (1)w1 + (2)w2 + ... + (n)wn
din Lni reciproc.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
6/53
1.2. SPAIULRn
1.2.1. Structura de spaiu vectorial. Spaiul Rn este o extindere
natural a spaiuluiR (dreapta), a spaiuluiR2 (plan), a spaiuluiR3etc.
Definiie. Mulimea grupurilor ordonate de n numere reale (a1, a2,..., an) se numetespaiulcu ndimensiuniR
n.Observaie. 1) Din definiie rezult cRn este produsul cartezian
RR ... R
nsau
Rn = {(a1, a2, ..., an)|a1R, a2R, ..., anR}.
2) Elementele luiRn se numesc puncte sau vectori. Grupul ordonat{a1, a2, ...,an} reprezint un punct a de coordonate a1, a2, ..., an sau unvector a de proiecii a1, a2, ..., an pe axele Ox1, Ox2, ..., Oxn respectiv.
Cu elementele dinRn sunt permise dou operaii:1) operaia + (adunare) care satisface urmtoarele reguli:
dac a = (a1, a2, ..., an), b = (b1, b2, ..., bn) Rn
, atunci:S1: a + b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn) R
n,S2: a + b = b + a (comutativitate),S3: (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate),S4: exist elementul neutru, vectorul nul 0 = (0, 0, ..., 0)
astfel nct pentru orice a Rn, avem
a + 0 = 0 + a = a;
S5: la orice a Rn
exist opusul a = (a1, a2, ..., an) astfel nct
a + (a) = 0;
2) operaia (nmulire) cu numere Rn (scalari) care satisfaceurmtoarele reguli:
I1: a = a= (a1, a2, ..., an),I2: (a) = ()a, , R,I3: (+ )a = a + a,
I4: (a + b) = a + b, a, b Rn
,I5: 1a = a, 1 R.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
7/53
Din proprietile de mai sus rezult urmtoarea teorem.
Teorem. SpaiulRn este un spaiu vectorial peR.
1.2.2. Baz nRn. S considerm vectoriie1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, 0, ..., 1).
Teorem. Orice vector v = (1, 2, ..., n) Rn, se scrie sub forma v
= e11 + e22 + ... + enn.
Demonstraie. Avem
1e1 = (1, 0, 0, ..., 0), 2e2 = (0, 2, 0, ..., 0), ..., nen = (0, 0, 0, ...,n),
din care obinem, aplicnd axiomele adunrii,
v = (1, 2, ..., n) = e11 + e22 + ... + enn.
Observaii. 1) Vectorii e1, e2, ..., en sunt liniar independenideoarece 1e1 + 2e2 + ... +nen = (1, 2, ..., n) = 0, daci numai dac1,2, ..., n sunt toi nuli, prin urmare e1, e2, ..., en formeaz o baz nR
n.2) nR3 avem
e1 = i = (1, 0, 0), e2 = j = (0, 1, 0), e3 = k = (0, 0, 1).
Exerciiu. Un vector n baza e1, e2, ..., en se scrie
v = e11 + e22 + ... + enn,
i n baza
g1 = (1, 1, 0, 0, ..., 0), g2 = (0, 1, 1, 0, ..., 0), gn = (1, 0, 0, 0, ..., 1),
se scrie
v = g1u1 + g2u2 + ... + gnun.
S se determine1, 2, ..., n n funcie de u1, u2, ..., un. Avem
g1 = e1 + e2, g2 = e2 + e3, ..., gk= ek+ ek+1, ..., gn = en + e1,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
8/53
deciu1g1 + u2g2 + ... + ungn = u1(e1 + e2) + ... + un(en + e1) = e11 + e22 +
... + enn,
care ne d imediat
u1 + un =1, u1 + u2 = 2, ..., un-1 + un =n.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
9/53
1.3. PRODUS SCALAR. NORM
1.3.1. Produs scalar.Definiie. 1. O aplicaie a luiLnLn nR se
numeteprodus scalardac ndeplinete urmtoarele condiii:1) p a, bf = pb, af (simetrie),2) p a, bf = pa, bf = p a, bf , R,3) p a+b, cf = p a, cf + p b, cf (distributiv fa de operaia de
adunare),4) produsul scalar al unui vector cu el nsui este nenegativ px, xf
0 i este nul daci numai dac x = 0.2. Un spaiu liniar n care s-a definit un produs scalar se numete
spaiu euclidian.
Exemplu. Mulimea funciilor continue pe [a, b] formeaz unspaiu vectorial. Produsul scalar n acest spaiu poate fi definit astfel:
p f1, f2f = b
a
21 (x)dx(x)ff
i satisface toate axiomele produsului scalar.
1.3.2. Produsul scalar nRn.Definiii. 1. Fie a = (a1, a2, ..., an) i b
= (b1, b2, ..., bn) doi vectori din Rn. Se numete produsul scalar alvectorilor a i b numrul real
p a, bf = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
2. Norma, msura sau lungimea vectorului a este numrul real ipozitiv
|a| = (p a, af )1/2.
3. Unghiul a doi vectori a i b dinRn (a dou direcii dinRn) estedefinit de
1/22n
22
21
1/22n
22
21
nn2211
]b...b[b]a...a[a
ba...baba
|b||a|
ba,cos
++++++
+++=
> |v v0|, deci |v v0| reprezint distana cea mai mic de laun punct Mla un subspaiu. ntr-adevr,|v v1|2 = |v v0 + v0 v1|2 = |v v0|2 + |v0 v1|2 + 2 pv v0, v0 v1f =|v v0|
2 + |v0 v1|2,
din care rezult |v v1| > |v v0|; avem pv v0, v0 v1f = 0, deoarece d= v v0 este perpendicular peLmi v0 v1Lm.
Teorem. Vectorul v0 este dat de
v0 = 1e1 + 2e2 + ... + mem
cu e1, e2, ..., em o baz ortogonal dinLmi coeficienii
1 = pv, e1f , 2 = pv, e2f , ..., m = pv, emf .
Demonstraie. Trebuie s avem pv v0, ekf , k = 1, 2, ..., m,i pentru c baza este ortogonal, obinem
k= pv, ekf ,
deoarece p ei, ejf = 0, p ei, eif = 1.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
17/53
Exemplu. S se gseasc distana punctului (4, 5, 9) la planuldefinit de vectorii v1 = (1, 1, 0), v2 = (0, 1, 1).
Determinm o baz ortogonal:
e1 = v1 = (1, 1, 0),
1
11
2122 ee,e
v,eve
fp
fp= = (0, 1, 1) +
2
1(1, 1, 0) =
1,
2
1,
2
1;
deci e*1 = (1/ 2 , 1/ 2 , 0), e*2 =
3
2,
6
1,
6
1formeaz o baz
ortonormal n plan. Punnd v0 = 1e*1 + 2e
*2, calculm:
1 = ( )2
9
2
5
2
40,
2
1,
2
1,9,5,4 =+=
fp ,
2 = ( )6
17
6
18
6
5
6
4
3
2,
6
1,
6
1,9,5,4 =++=
fp ,
v0 =
=
+
6
34,
6
10,
3
46
6
2,
6
1,
6
1
6
170,
2
1,
2
1
2
9
i distana este dat de
d=
2/1222
6
349
6
105
6
464
+
+
.
1.4.3. Metoda celor mai mici ptrate. S considerm un fenomenb ce se exprim ca o funcie de m stri a1, a2, ..., am, anume
b = a11 + a22 + ... + amm,
cu 1, 2, ..., m numere ce trebuie determinate.Fcndu-se n msurri asupra lui b i ai, obinem relaiile
1a11 + 2a12 + ... + ma1m = b1,1a21 + 2a22 + ... + ma2m = b2,
(1)
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
18/53
................................................1an1 + 2an2 + ... + manm = b1,.
Cnd m = n, putem aplica regula lui Cramer dac determinantul |aij| 0.
n general n m. Cum msurrile introduc erori, sistemul (1) nu conducela soluii exacte; se caut soluii aproximative i anume valori pentru 1,2, ..., m ct mai aproape de cele exacte.
Definiie. Se numete abaterea ptratica relaiilor (1) expresia
[ ]=
+++n
1k
2
kkmk2k1 ba...aa m21 . (2)
Metoda celor mai mici ptrate const n a determina pe 1, 2, ...,m, astfel nct abaterea ptratic medie s fie minim.S observm ns c dac considerm vectorii
b = (b1, b2, ..., bn), a1 = (a11, a21, ..., an1), a2 = (a12, a22, ..., an2), ......, am = (a1m, a2m, ..., anm),
expresia (2) este ptratul distanei vectorului
b0 = a11 + a22 + ... + amm,
la vectorul b, i problema se reduce la aflarea proieciei b0 a vectorului bpe acest spaiu. Vectorul b b0 este perpendicular pe spaiul determinatde a1, a2, ..., am, deci
pb b0, akf = 0, k = 1, 2, ..., m,
sau, pentru c baza nu este ortogonal,
1p a1, a1f + 2p a2, a1f + ... + mp am, a1f = pb, a1f ,1p a1, a2f + 2p a2, a2f + ... + mp am, a2f = pb, a2f ,
(3)........................................................................................1p a1, anf + 2p a2, anf + ... + mp am, anf = pb, anf ,
unde
p ai, ajf =
=
n
1k jkik
aa , pb, aif =
=
n
1k kik
ab ,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
19/53
din sistemul (3) se determin 1, 2, ..., m care sunt parametrii cedetermin pe vectorul b care face abaterea ptratic minim.
Aplicaie. 1) Vectorul b depinde de un parametru . Avem dup n
msurri
b1 = a1, b2 = a2, ..., bn = an,b = a sau pb, af = p a, af , sau
=
== n
1i
2
i
n
1iii
a
ba ;
soluia este dreapta b = a n planul a0b, care trece prin originea 0 icoeficient unghiular. Dreapta n general nu trece prin cele n puncte (ai,bi).
2) n cazul cnd b depinde de doi parametri, avem
b1 = a1 + a*1, b2 = a2 + a
*2, ..., bn = an + a
*n;
punnd a = (a1, a2, ..., an), a* = (a*1, a
*2, ..., a
*n), i b = (b1, b2, ..., bn),
obinem
p a, af + p a, a*f = pb, af , p a, a*f + p a*, a*f = pb, a*f ,p
care determin pe i , deoarece determinantul sistemului este diferit dezero dac a i a* sunt liniar independeni.
1.4.4. Determinanii lui Gram. Fie p vectori e1, e2, ..., ep.Definiie. Se numete determinantul lui Gram al vectorilor e1, e2,
..., ep determinantul
fpfpfp
fpfpfp
fpfpfp
pp2p1p
p22212
p12111
p
e,e...e,ee,e
............
e,e...e,ee,ee,e...e,ee,e
= .
Teorem. Dac vectorii e1, e2, ..., ep sunt liniar dependeni,determinantul lui Gram este nul.
Demonstraie. Dac de exemplu
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
20/53
ep = 1e1 + 2e2 + ... + p-1ep-1,
atunci se observ c ultima linie este o combinaie liniar a celorlalte linii.
Se poate arta c dac e1, e2, ..., ep sunt liniar independenideterminantul lui Gram este strict pozitiv.
Exerciii. 1. nR2 determinantul lui Gram
222 ba,|b||a|bb,ba,
ba,aa,fp
fpfp
fpfp=
este, evident, strict pozitiv dac a, b nu sunt coliniari; pentru c
|a|2 |b|2 sin2 = |a|2 |b|2(1 cos2) = |a|2 |b|2
22
2
|b||a|
ba,1
fp=
= |a|2 |b|2 p a, bf 2,
rezult c determinantul Gram d ptratul ariei paralelogramului construitpe a, b ca laturi.
2. Avem relaia
2
2
22
321
321
321
|c|cb,ca,
cb,|b|ba,
ca,ba,|a|
ccc
bbb
aaa
fpfp
fpfp
fpfp
= ,
deci determinantul lui Gram pentru 3 vectori din spaiu d ptratulvolumului paralelipipedului construit cu aceti vectori ca laturi.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
21/53
1.5. TRANSFORMRI LINIARE
1.5.1. Matricea unei transformri liniare.Definiie. Fie F o
aplicaie a luiLn nLn. AplicaiaFse numete transformare liniare dac
1)F(a + b) =F(a) +F(b), a, b Ln,2)F(a) = F(a), Ln,
Observaii. 1) Dac E(a) = a, aplicaia liniar E se numetetransformarea identic.
2) Dac O(a) = 0 pentru orice a Ln aplicaia O se numetetransformarea nul.
Exemple. 1. Operaia de derivare este aplicaie liniar pentrumulimea polinoamelor de grad n.
2. Operaia de integrare pe [a, b] pentru funciile continue este otransformare liniar.
FieLn un spaiu liniar, e1, e2, ..., en o baz,Fo transformare liniarnLni
a = a1e1 + a2e2 + ... + anen
un vector oarecare nLn. S considerm o nou baz h1, h2, ..., hni
b = a1h1 + a2h2 + ... + anhn
un vector dinLn.
Teorem. Exist o transformareFpentru care
F(e1) = h1,F(e2) = h2, ...,F(en) = hn,Demonstraie. S considerm transformareaFcare duce vectorul a
n b. AvemF(a) = b sau
F(a1e1) + F(a2e2) + ... +F(anen) = a1h1 + a2h2 + ... + anhn
sau
F(e1) = h1,F(e2) = h2, ...,F(en) = hn.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
22/53
Reciproc, s ducem vectorii hi n ei; la vectorul arbitrar
a = a1e1 + a2e2 + ... + anen
i corespunde vectorul
b = a1h1 + a2h2 + ... + anhn;
deoarece a1, a2, ..., an sunt date, urmeaz c b este unic, iar din F(a) = brezult hi =F(ej).
Dac scriem
hi =F(ei) = ai1e1 + ai2e2 + ... + ainen,
transformriiFi se asociaz matricea
A = ||aik||
Definiie. Matricea A se numete matricea transformrii Fn bazae1, e2, ..., en.
Dac notm
n
2
1
n
2
1
nnn2n1
2n2221
1n1211
h
h
h
h,
e
e
e
e,
a...aa
............
a...aa
a...aa
AMM
=== ,
avem relaia h = Ae, care justific pentru A unirea de matriceatransformriiF.
Exemple. 1. S se gseasc matricea transformrii care duce bazae1, e2, e3 n baza
h1 = e1 + e2, h2 = e2 e3, h3 = e1 e2 + e3.
Matricea transformrii este
111
110
011
A
=
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
23/53
i
3
2
1
3
2
1
e
e
e
111
110
011
h
h
h
= .
2. S se gseasc matricea transformrii care duce vectorii e1, e2,..., en n vectorii
h1 = e1 e2, h2 = e2 e3, ..., hn = en e1
Matricea transformrii este
1
...
00
0
...
00
...
...
...
...
0001
............
01100011
A
=
i h = Ae.FieFo transformare liniar nLn, e1, e2, ..., en o baz nLni A =
||aij|| matricea transformrii F n acea baz. n urma transformrii F
vectorul
x = 1e1 + 2e2 + ... + nen
devine
y = 1e1 + 2e2 + ... + nen
deci y =F(x) = Ax. Putem scrie
F(x) = 1F(e1) + 2F(e2) + ... + nF(en) ==1(a11e1 + a12e2 + ... + a1nen) + 2(a21e1 + a22e2 + ... + a2nen) + ...
... + n(an1e1 + an2e2 + ... + annen) = 1e1 + 2e2 + ... + nen,
cu 1 = a111 + a212 + ... + an1n,2 = a121 + a222 + ... + an2n,..............................................n = a1n1 + a2n2 + ... + annn,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
24/53
deci = At , unde
n
2
1
n
2
1
,
MM
== , iar At = ||aji|| este matricea transpus
matricei A = ||aij||.
1.5.2. Operaii cu transformri liniare. Suma a doutransformri liniare.Definiie. Fie dou transformri liniare n Ln, FiG de matrice A = ||aij|| i B = ||bij||.
1. Numimsuma transformrilor Fi G transformareaF + G careface s corespund vectorului x vectorul F(x) + G(x). Matricea
transformriiF+ G este A + B = ||aij + bij||.
2. Numim produs al transformrilor Fi G transformarea Hcarerezult din transformarea Furmat de transformarea G. Se noteazH=G(F) i face s corespund vectorului x vectorul G(F(x)). Matriceatransformrii G(F) este produsul A B al celor dou matrice.
ntr-adevr avem
=
== ==
n
1k
kiki
n
1k
kiki ea))e((,ea)A(e GFG
====
===n
1jij
n
1jjkj
n
1kik
n
1kkik eceba)(ea G ;
unde =
=n
1kkjikij bac , deci ||cij|| = ||aij|| ||bij||
i matricea transformrii compuse este C = A B.
Teorem. Suma i produsul de transformri au proprietile:
1)F+ G = G + F,2) (F + G) + H = F + (G + H),3)F(G(H)) =F(G)(H),4) (F + G)(H) =F(H) + G(H),5)H(F + G) =H(F) +H(G);6) dacIeste o transformare identic, de matrice E, avem
relaia
AE = EA = A.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
25/53
Demonstraie. DacFare matriceaA i G matriceaB, operaiile 1)i 2), 3), 4) i 5) sunt operaii ntre matrice. MatriceaEeste
||||
1
...0
0
....000
............
...010
...001
ij==E
i verific pe 6).
1.5.3. Polinom de matrice. S notm
E = A, A = A
1
,A A = A2
, A
n-1
A = An
.Definiie. Se numetepolinom de matricea A pe corpulKmatricea
P(A) = 0E + 1A2 + ... + nA
n.
Observaii. Putem defini i serii de puteri de matrice
0E + 1A + 2A2 + ... + nA
n + ... ;
astfel avem
eA =E + ...!
...!2!1
2
++++n
AAA n,
(E A)-1 =E + A +A2 + ... + An + ... .
1.5.4. Transformare invers. FieF
(x) o transformare care ducevectorul x n vectorul y.
Definiie. TransformareaF-1 care transform vectorul y n vectorulx se numete transformare invers.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
26/53
Teorem. Dac transformareaFeste realizat de matricea
nnn2n1
2n2221
1n1211
a...aa
............
a...aa
a...aa
=A , detA 0, deciF(x) =Ax,
transformarea inversFeste realizat de matriceaA-1 definit de relaia
A-1A = AA
-1= E.
Demonstraie. Avem
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1,a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2,...............................................an1x1 + an2x2 + ... + annxn = yn,,
care poate fi rezolvat cu regula lui Cramer, deoarece det A 0. Putemproceda i matriceal:
A x = y sauA-1
A x =A-1
y .deciE x =A-1 y sau x =A-1 y .
Exemple. 1. Transformarea care duce un vector v din spaiu laproiecia sa v* pe un plan nu se poate inversa. ntr-adevr, la proiecia v*
corespund o infinitate de vectori n spaiu.2. Rotaia unui vector din spaiu este o transformare inversabil.
1.5.5. Matricea unei transformri n baze diferite. n spaiul Lns considerm dou baze e1, e2, ..., eni g1, g2, ..., gn; s notm e = (e1, e2,..., en) i g = (g1, g2, ..., gn). Fie F transformarea care duce de la e la g,deci g =F(e) i Cmatricea care realizeaz aceast transformare:
g = Ce, C= ||cij||.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
27/53
Prin urmare, avem
F(e1) = g1 = c11e1 + c12e2 + ... + c1nen,F(e2) = g2 = c21e1 + c22e2 + ... + c2nen,..........................................................F(en) = gn = cn1e1 + cn2e2 + ... + cnnen .
Fie x un vector dinLni y transformatul su prinH:
H(x) = y.
DacA este matricea ce duce vectorul x scris n baza e n vectorul y,avem
=
=n
1iikik ea)(eH ;
dacB este matricea ce duce vectorul x scris n baza g n vectorul y, avem
=
=n
1iikik gb)(gH
S presupunem matriceaB necunoscut. Deoarece gi =F(ei), obinem
=
=n
1jjkjk )(eb)(e FHF ,
care, dac i aplicm transformarea inversF-1, ne d
=
=n
1jjkjk
1 eb)(eHFF ,
sau, revenind la matricele de transformare,
C-1AC = B.
Am demonstrat urmtoareaTeorem. MatriceaB a unei transformriHn baza g1, g2, ..., gn se
obine din matriceaA a transformriiHn baza e1, e2, ..., en dup formula
B = C-1AC,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
28/53
unde Ceste matricea transformrii bazei e n baza g.
1.5.6. transformri invariante.Definiie. Fie F o transformareliniar n Ln. Un subspaiu Lm Ln se numete invariant fa de
transformareaFdac pentru orice x Lm avemF(x) Lm.
Exemplu. O rotaieFn spaiulR3 n jurul unei axe fixe pstreazinvariant orice vector situat pe ax. Orice plan perpendicular pe ax esteun subspaiu invariant bidimensional.
Definiie.L1Ln estesubspaiu invariantfa de transformareaFdac pentru orice x L1 avemF(x) = x.
Folosind operatorul matricealA = ||aij|| avem ecuaia
Ax = x sau (A E)x = 0,
care conduce la sistemul
(a11 )x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0,a21x1 + (a22 )x2 + a23x3 + ... + a2nxn = 0,................................................................an1x1 + an2x2 + ... + (ann )xn = 0,
sistem ce nu trebuie s admit numai soluia banal, ceea ce ne d
0
a
...
a
a
...aaa
............
...aaa
...aaa
nn
2n
1n
n3n2n1
232221
131211
=
, (1)
aa-numit ecuaie caracteristic sau ecuaie secular; rdcinile ei senumesc valori proprii sau valori caracteristice. Ecuaia (1) are n rdcinireale sau complexe. Dac 0 este o rdcin a ecuaiei caracteristice,atunci din sistemul (1) rezult valorile (x01, x
02, ..., x
0n) i vectorul
x0 = e1x01 + e2x
02 + ... + enx
0n
este un vector propriu al transformrii F realizate de matricea A. Amdemonstrat urmtoarea
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
29/53
Teorem. ntr-un spaiu liniarLn, construit pe corpul C, oricetransformare liniar are un vector propriu.n cele ce urmeaz dm rezultate privind vectorii proprii.
Teorem. Vectorii proprii corespunztori la valori proprii diferitedou cte dou sunt liniar independeni.
Demonstraie. Presupunem c vectorii v1, v2, ..., vp ai operatoruluiFcorespund valorilor proprii 1, 2, ..., p diferite dou cte dou. Dupinducie, pentru p = 1, teorema este adevrat deoarece v1 = 0, deci =0. Presupunem teorema adevrat pentru p 1 vectori i s artm c esteadevrat i pentru p vectori. Dac v1, v2, ..., vp sunt p vectori propriiliniar dependeni, atunci, lund combinaia
1v1 + 2v2 + ... + pvp = 0, kR,
obinem
F(1v1 + 2v2 + ... + pvp) = 1F(v1) + ... + pF(vp) = 0,
deci
11v1 + 22v2 + ... + ppvp = 0.
Pe de alt parte ns,
p(1v1 + 2v2 + ... + pvp) = 0.
Din aceste dou relaii prin scdere rezult
1(1 p)v1 + 2(2 p)v2 + ... + p-1(p-1 p)vp-1 =0.
Vectorii v1, v2, ..., vp-1 ns sunt liniar independeni, deci
1 = 2 = ... = p-1 = 0.
n multe probleme ne intereseaz s alegem o baz n care matriceaunei transformriFs aib forma diagonal.
Teorem. Dac ntr-un spaiu vectorialLn o transformare liniarF:LnLn are n vectori proprii liniar independeni, atunci, alegnd aceti n
vectori ca baz, matricea transformrii Fva avea n aceast baz formadiagonal.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
30/53
Demonstraie. Fie n vectori proprii liniar independeni e1, e2, ..., encare formeaz o baz nLn. Avem
F(e1) = 1e1,F(e2) = 2e2, ...,F(en) = nen,
deci matricea transformriiFeste
n
2
1
...
0
0
...000
............
...00
...00
.
Mulimea format cu rdcinile caracteristice ale transformrii F senumetespectrul transformrii liniare sau al operatorului liniar.
Nu este totdeauna posibil s se determine o baz n care matriceatransformrii s aib forma diagonal.
Numim multiplicitate geometrica valorii propriia transformriiF : Ln Ln dimensiunea subspaiului generat de vectorii propriicorespunztori lui .
Se poate demonstra c pentru o transformareF: LnLn se poate
determina o baz n care matricea s aib forma diagonal dacmultiplicitatea algebric a fiecrei valori proprii este egal cumultiplicitatea ei geometric.
n cazul cnd nu putem determina o baz n care matriceatransformrii s aib forma diagonal, se va putea determina o baz ncare matricea transformrii s aib forma Jordan:
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
31/53
OLL
LL
LL
2
2
2
1
1
1
0...000
..................
00...10
00...01
0
0
0...000
..................
00...10
00...01
Fie, de exempluF:LnLn o transformare liniar. Presupunem cFaretrei vectori (3 n) proprii liniar independeni e1, e2, e3, corespunztorivalorilor proprii 1, 2, 3. Exist n acest caz o baz format din vectorii
e11, e12, ..., e1m,e21, e22, ..., e2k,e31, e32, ..., e3p,
cu m + k + p = n astfel nct
F(e11) = 1e11, F(e21) = 2e21,F(e12) = 1e12 + e11, F(e22) = 2e21 + e21,............................... ...............................F(e1m) = 1eim + e1, m-1, F(e2k) = 2e2k+ e2, k-1,
F(e31) = 3e31,F(e32) = 3e32 + e31,...................................F(e3p) = 3e3p + e3, p-1,
Aplicaie. S se aduc la forma Jordan matriceaA a transformriiF:R4R4:
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
32/53
1000
2100
3210
4321
=A ,
Valorile proprii ale matriceiA sunt date de ecuaia
1000
2100
3210
4321
= 0
i sunt 1 = 2 = 3 = 4 = 1. Determinm vectorii proprii. Pentru = 1avem
2x2 + 3x3 + 4x4 = 0, 2x3 + 3x4 = 0, x4 = 0;
obinem vectorul propriu v1 = (1, 0, 0, 0).Cutm s determinm pe v2 = (y1, y2, y3, y4), astfel nctAv2 = v2
+ v1; obinem sistemul
2y2 + 3y3 + 4y4 = 1, 2y3 + 3y4 = 0, y4 = 0,
care ne d soluia v2 = (y1, 1/2, 0, 0).Al treilea vector din baz este v3 = (z1, z2, z3, z4), cuAv3 = v3 + v2.
Componentele z1, z2, z3, z4 se determin din sistemul
2z2 + 3z3 + 4z4 = y1, 2z3 + 3z4 = 1/2, z4 = 0,
obinem soluia
0z,4
1z,
8
3y
2
1z 4312 === ,
i pentru y1 = 0 avem v3 = (z1, 3/8, 1/4, 0).Vectorul v4 = (t1, t2, t3, t4) verific relaia Av4 = v4 + v3, care
conduce la sistemul
2t2 + 3t3 + 4t4 = z1, 2t3 + 3t4 = 3/8, t4 = 1/4,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
33/53
cu soluia
+===+=
4
1,
16
9,
32
11
2
z,tvdeci,
4
1t,
16
9t,
32
11
2
zt 11443
12 .
ntruct z1, t1 sunt arbitrari, lum t1 = z1 = 0. Obinem baza
v1 = (1, 0, 0, 0),
= 00,,
2
10,v2 ,
= 9,
4
1,
8
30,v3 ,
=
4
1,
16
9,
32
110,v4 .
Matricea transformrii n aceast baz are forma Jordan i este
1000
1100
0110
0011
.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
34/53
1.6. TRANSFORMRI LINIARE PARTICULARE
1.6.1. Transformri hermitiene reale. FieLn un spaiu euclidian
real.Definiie. O transformare F : Ln Ln se numete transformare
hermitianreal(simetric) dac pentru orice vectori x, y dinLn avem
px,F(y)f = pF(x), yf .
Matricea asociat unei asemenea transformri este o matricesimetric. ntr-adevr, dac (e1, e2, ..., en) este o baz n Ln astfel nctp ei, ejf = ij, putem scrie
p ei,F(ej)f = pF(ei), ejf ,
iar dac
nnn2n1
2n2221
1n1211
a...aa
............
a...aa
a...aa
=A
este matricea asociat transformriiF, avem efectiv
F(ej) = a1je1 + a2je2 + ... + anjen,F(ei) = a1ie1 + a2ie2 + ... + anien,
din care rezult
p ei,F(ej)f = pF(ei), ejf = aji,
deci aij = aji, ceea ce arat c matricea asociat transformrii F estesimetric.
Teorem. Fie v un vector propriu al transformrii hermitiene reale.F : LnLn. Subspaiul format cu vectorii ortogonali pe vectorul v esteun subspaiu invariant pentruF.
Demonstraie. Fie w Ln, cu pw, vf = 0; din
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
35/53
pF(w), vf = pw,F(v)
iF(v) = v rezult
pF(w), vf = pw, vf = 0,
deci F(w) v, adic transformatul lui w prin F este de asemeneaortogonal pe v.
Teorem. Pentru orice transformare hermitian real exist o bazformat din vectori proprii, ortogonali doi cte doi.
Demonstraie. n cazul unidimensional orice vector nenul este un
vector propriu. Pentru n = 1 proprietatea este adevrat. Presupunemteorema adevrat pentru orice transformare nLn-1.Fie F o transformare hermitian real n Ln. Deoarece toate
valorile proprii ale unei astfel de transformri sunt reale, exist cel puinun vector propriu e1. Construim subspaiul
1eL format din toi vectorii din
Ln ortogonali pe e1. Spaiul1e
L are dimensiunea n 1 i este un subspaiu
invariant pentruF. Considernd acum transformarea
F:1e
L 1e
L .
Prin inducie rezult c exist baza e1, e2, ..., en care satisface condiiile
F(ei) = iei, p ei, ejf = ij =
=
j.i0,
j,i1,
Exemplu. FieF:R3R3, dat prin
F(x, y, z) = (y + z, x + z, x + y).
Se cere s se determine o baz ortonormal n care matricea transformriiare forma diagonal.
Matricea transformrii este
011
101
110
=A .
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
36/53
Determinm valorile proprii i vectorii proprii:
11
11
11
)det(
= EA = 0.
Obinem 1 = 2 = 1, 3 = 2. Pentru = 1 coordonatele vectoruluipropriu corespunztor verific relaia x + y + z = 0, deci
e1 = (1, 1, 2), e2 = (1, 1, 0)
sunt doi vectori proprii independeni. Pentru 3 = 2 se obine
e3 = (1, 1, 1).
Vectorii e1, e2, e3 sunt ortogonali doi cte doi; matricea transformrii nnoua baz este
1A
200
010
001
= .
1.6.2. Transformri ortogonale. Definiie. Fie Ln un spaiuvectorial real. Transformarea liniarF : Ln Ln este o transformareortogonal dac matriceaA a acestei transformri ntr-o baz ortonormalare proprietatea
A-1 =At.
Sensul geometric al unei asemenea transformri este dat de urmtoarea
Teorem. ntr-un spaiuLn orice transformare ortogonal pstreazprodusul scalar.
Demonstraie. Fie x Ln, x = =
n
1iiiex . Avem
=====
===
=n
1j,i jiji
n
1j iji
n
1i i
n
1i ii
n
1i ii
exaeax)(exex(x) FFF
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
37/53
n mod asemntor obinem
F(y) = =
n
1ek,keke eya .
Produsul scalar este dat de
===
==n
1ej,i,eiijje
n
1lk,keke
n
1ji,jiji yxaaeya,exa(y)(x), fpfp FF
unde am pus
L=
nnn2n1
2n2221
1n1111
a...aa
............
a...aa
a...aa
,
A fiind matricea transformrii F. Din definiia transformrii ortogonaleavem
=
=== e,i0,e.i1,
aa ien
1jjeji
relaii care ne conduc la
fpfp yx,yx(y)(x),n
1iii ==
=
FF .
Observaii. 1) n cazul particular cnd x = y obinem
fpfp xx,(x)(x), =FF
adic ||F(x)|| = ||x||, deci o transformare ortogonal pstreaz lungimeavectorilor.
2) Deoarece
,||(y)||||(x)||
(y)(x),
||y||||x||
yx,cos
FF
FF
=
=
fpfp
rezult c o transformare ortogonal pstreaz unghiurile.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
38/53
Teorem. Modulul valorilor proprii ale unei transformriortogonale este egal cu 1.
Demonstraie. AvemF(x) = x, ns
pF(x),F(x)f = px, xf = 2px, xf ,
de unde rezult2 = 1, || = 1.
Teorem. Dac e este un vector propriu al unei transformriortogonaleF, atunci subspaiul format din vectorii v ortogonali pe e esteinvariant pentruF.
Demonstraie. Se tie cpv, ef = 0, ns
pF(v),F(e)f = pF(v), ef = pF(v), ef = 0 = pv, ef ,
deciF(v) e.
Aplicaie. Transformrile ortogonale n R2. Fie F : R2 R2 otransformare ortogonala dat n baza e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) prin matricea
A =
.
Condiiile
AAt =AtA =E
conduc la relaiile
2 + 2 = 1, + = 0, 2 + 2 = 1.
Avem i
(detA)2 = 1, deci detA = 1.
Cazul I: detA = 1. Obinem
== ,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
39/53
deci
= , = , 2 + 2 = 1, 2(2 + 2) = 1, 2 = 1, = 1, = cos , =
sin .
nlocuind aceste valori n condiia detA = 1, obinem = 1; prin urmare,matriceaA a transformrii este
cossin
sincos
=A
i definete mulimea rotaiilor din plan.
Cazul II: detA = 1. n aceast situaie = 1 i ecuaiacaracteristic a transformrii este
= 0, 2 ( + ) 1 = 0,
ecuaie cu rdcini reale deoarece = ( + )2 + 4 > 0. Fie 1i 2 celedou rdcini. Pentru c12 = 1, urmeaz c singurele valori posibilesunt 1 = 1, 2 = 1. Avem i
F(e1),F(e2) = e2,
deci matricea transformrii n baza format de vectorii proprii poate aveadoar urmtoarele dou forme:
10
01,
10
01
,
deci simetrii.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
40/53
1.7. FUNCII LINIARE. FUNCII BILINIARE
1.7.1. Funcii liniare. FieL un spaiu liniar pe corpulR.Definiie. O funcieF:L R este liniar dac
1)f(x + y) =f(x) +f(y), x, y L,2)f(x) = f(x), R.
Observaii. 1) Dac e1, e2, ..., en este o baz nLni
x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen,
atunci, conform definiiei, avem
f(x) = x1f(e1) + x2f(e2) + ... + xnf(en),
i dac punemf(e1) = a1,f(e2) = a2, ...,f(en) = an, obinem expresia funcieiliniare nLn
f(x) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,
2) S considerm acum o nou baz g1, g2, ..., gn n Ln care nfuncie de e1, e2, ..., en, se scrie
g =Ae,A = ||ij||,g1 = 11e1 + 12e2 + ... + 1nen,g2 = 21e1 + 22e2 + ... + 2nen,...............................................gn = n1e1 + n2e2 + ... + nnen,.
Teorem. n spaiul Rn
forma liniar f pentru vectorii x = (x1, x2,..., xn) n baza e se scrie
f(x) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,
iar pentru vectorii x = (x*1, x*2, ..., x
*n) scrii n baza g se scrie
f(x) = a1x*
1 + a2x*2 + ... + anx
*n,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
41/53
cu b1 = 11a1 + 12a2 + ... + 1nan,b2 = 21a1 + 22a2 + ... + 2nan,...............................................
bn = n1a1 + n2a2 + ... + nnan,
sau b =Aa, unde b = (b1, b2, ..., bn), a = (a1, a2, ..., an).
Demonstraie. Avem
f(x) =f(g1x*1 + g2x
*2 + ... + gnx
*n) = x
*1f(g1) + x
*2f(g2) + ... + x
*nf(gn),
ns
f(g1) =
f(11e1 + 12e2 + ... + 1nen) = 11
f(e1) + 12
f(e2) + ... + 1n
f(en) == 11a1 + 12a2 + ... + 1nan.
1.7.2. Funcii biliniare. FieL un spaiu liniari x, y L.
Definiie. O funcie B: L LR se numete funcie biliniar devectori x i y L dac
1)B(x, y), pentru x fixat, este funcie liniar de y.2)B(x, y), pentru y fixat, este funcie liniar de x.
Observaie. Conform definiiei funcia B are urmtoareleproprieti:
1)B(x, y1 + y2) =B(x, y1) +B(x, y2),1)B(x, y) = B(x, y),
ct i
2)B(x1 + x2, y) =B(x1, y) +B(x2, y),2)B(x, y) = B(x, y).
Teorem. Pentru x Ln, y Ln, raportat la o baz e1, e2, ..., enastfel nct
x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen,y = y1e1 + y2e2 + ... + ynen,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
42/53
avem = =
=n
1i
n
1jjiji )e(eyxy)(x, BB .
Demonstraie. Avem
B(x, y) =B(x1e1 + x2e2 + ... + xnen, y1e1 + y2e2 + ... + ynen) =
= = ==
=+++n
1i
n
1jjiji
n
1jjnn22111 )e,(eyx)e,ex...exe(xy BB .
Dac notmB(ei, ej) = aij, funcia biliniar (sau forma biliniar) sescrie
= ==
n
1i
n
1j jiijyxay)(x,B
iar ||aij|| se numete matricea formei biliniare B.
1.7.3. Schimbarea bazei. n baza e1, e2, ..., en forma biliniarB sescrie
= =
=n
1i
n
1jjiij yxay)(x,B
i este definit de matricea A = ||aij||. Fie g1, g2, ..., gn o nou baz cumatricea de trecere C:
g = Ce, C= ||cij||,
sau g1 = c11e1 + c12e2 + ... + c1nen,g2 = c21e1 + c22e2 + ... + c2nen,..............................................
gn = cn1e1 + cn2e2 + ... + cnnen.
Teorem. DacA este matricea formei biliniare B n baze e i Geste matricea formei biliniareB n baz g, avem relaia
G = CACt.
Demonstraie. Avem n baza g
= i j jiijay)(x,B
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
43/53
deci
bij =B(gi, gj) = = =
n
1k
n
1l
lkjlik )e(ecc B
sau
bij =
=
=== =
n
k
n
l 1klik
1jl
n
1k
n
1lkljlik accacc ,
deci
bij = ==
=n
l 1
'ljil
n
1liljl cssc
sau
G = CACt.
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
44/53
1.8. FORME PTRATICE
1.8.1. Forme biliniare simetrice. Fie Ln un spaiu vectorial cu n
dimensiuni construit peRi x, y doi vectori dinLn.
Definiie. Forma biliniarB se numete simetric dac satisfacecondiiaB(x, y) =B(y, x).
Din definiie rezult cB(ei, ej) = B(ej, ei) adic aij = aji, decimatriceaA = ||aij|| este simetric.
1.8.2. Forme ptratice. FieLnun spaiu vectorial peRi x, y doivectori din Ln i fie B(x, y) o form biliniar simetric de matrice A =
||aij||.
Definiie. 1. FormaB(x, x) se numeteformptratic, iarB(x, y)se numeteforma polara formei ptratice.
2. Forma ptratic se numetepozitiv definitdac pentru orice x Ln, x 0,B(x, x) > 0.
Teorem. Form polarB(x, y) simetric este unic determinat deforma ptraticB(x, x).
Demonstraie. Avem
B(x + y; x + y) =B(x, x) +B(x, y) +B(y, x) +B(y, y)
i pentru cB(x, y) =B(y, x) rezult
B(x, y) = [B(x + y, x + y) B(x, x) B(y, y)]/2.
Acest fapt conduce la urmtoareaTeorem. O form ptratic se scrie ntr-o baz dat sub forma
A(x, x) = =
n
i,jjiij
xxa1
, aij = aji, unde aij =B(ei, ej).
Observaii. 1) Definirea formei ptratice pozitiv definite cu ajutorulformelor biliniare simetrice conduce la urmtoarele proprieti:
1)B(x, y) =B(y, x),2)B(x1 + x2, y) =B(x1, y) +B(x2, y),
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
45/53
3)B(x, y1 + y2) =B(x, y1) +B(x, y2),4)B(x, y) = B(x, y),B(x, y) = B(x, y),5)B(x, x) 0,B(x, x) = 0, x = 0,
care coincid cu proprietile produsului scalar, de unde rezult urmtoarea
Teorem. Forma biliniar care genereaz n Ln forma ptraticpozitiv definit este produsul scalar
B(x, y) = px, yf .
Observaie. Spaiul liniar n care s-a definit o form ptraticB(x,y) pozitiv definit se numetespaiul euclidian.
Forma polar asociat formei ptratice pozitiv definite se numeteprodusul scalarpx, yf al vectorilor x, y.
1.8.3. Reducerea la o sum de ptrate a unei forme ptratice(metoda lui Gauss). Fie o form ptratic nLn
=
=n
jijiij
xxaxxB1,
),( ,
i ne punem problema de a o reduce la forma cea mai simpl pe care oalegem:
22
22
2
11 ...),( nnxbxbxbxxB +++= ,
trecnd de la baza iniial la o baz convenabil.S considerm forma ptraticB(x, x) n care s punem n eviden
toi termenii care conin x1, anume
nn xxaxxaxxaxa 11311321122
111 2...22+++
,
n care formm ptratul perfect (a11 0) obinnd
2
1212111
11
)...(1
nnxaxaxa
a+++
i din care trebuie s scdem pe
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
46/53
)...(1 22
1
2
313
2
2
2
12
11
nnxaxaxa
a+++ .
DeciB(x, x) se scrie
B(x, x) = )...(1
1212111
11
nnxaxaxa
a+++ +B*(x, x),
undeB* este oform ptratic care nu conine pe x1.Procedeul poate fi continuat i pentruB*; dupn operaii obinem
B(x, x) = 22222
11 ... nnbbb +++
unde b1 = 1/a11, 1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn,ceilali coeficieni bi i coordonatele i determinndu-se din aproape naproape. Am demonstrat urmtoarea
Teorem. O form ptratic se poate scrie totdeauna sub forma
22
22
2
11 ... nnbbb +++ ,
printr-o schimbare convenabil a bazei.Observaie. Procedeul folosit nu este unic; am nceput cu x1, dar
putem ncepe cu oricare din xii s le separm.
Exemplu. S se scrie sub forma de sum de ptrate forma ptratic
133221
2
3
2
2
2
1 22),( xxxxxxxxxxxB ++++= .
Avem
32
2
3
2
2
2
3213121
2
1 2)(22 xxxxxxxxxxxx ++=++ ,
B(x, x) = 22
2
2332
2
332
2
3
3
321 8
1
4
122,2)( xxxxxxxxxxxx +
+=++
deci
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
47/53
B(x, x) = 2322
2
2
2
2
321 )4(8
1
8
1
8
1)( xxxxxxx +++ .
Dac punemx1 + x2 + x3 = 1,x2 = 2,x2 + 4x3 = 3,B(x, x) se transform
nB*
(, ), dat de
B(, ) = 232
2
2
1 8
1
8
1 + .
1.8.4. Metoda bazei triunghiulare. Procedeul expus arat c bazaobinut este de forma
1 = 11x1 + 12x2 + ... + 1nxn,2 = 22x2 + ... + 2nxn,...............................................2 = nnxn,
Vom cuta n cele ce urmeaz s utilizm acest fapt.
Teorema lui Jacobi. Dac n forma ptratic, scris ntr-o baz e1,e2, ..., en,
B(x, x) = = =
n
iji
n
jij
xxa1 1
determinanii urmtori sunt diferii de zero
0 = 1, 1 = a11 0, 2 =2221
1211
aa
aa 0, ...
..., k=
kkkk
k
k
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
0, ..., n =
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211
0
atunci exist o baz g1, g2, ..., gn, n careB(x, x) se scrie sub forma
B
*
(, ) =
22
22
2
11 ... nnbbb +++
,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
48/53
cu b1 = 0/1, b2 = 1/2, ..., bn = n1/n.
Demonstraie. Cutm noua baz sub forma
g1 = c11e1,g2 = c21e1 + c22e2,(1)
..................................g2 = c21e1 + c22e2 + ... + cnnen.
Dac n baza e1, e2, ..., en
=i j
jiij xxax)(x,B ,
atunci aij = B(e1, gj); pentru ca n baza g s obinem rezultatul propustrebuie ca
B(gi, gj) = 0, i j = 1, 2, ..., n.
S observm c dacB(gi, ej) = 0, iB(gi, gj) = 0, i j; ntr-adevr,din (1) rezult
B(g1, gj) = c11B(e1, gj), j 1,
deci dacB(e1, gj) = 0, iB(g1, gj) = 0, deoarece c11 0.
Din a doua relaie din (1) se obine
B(g2, gj) = c21B(e1, gj) + c22B(e2, gj) = c22B(e2, gj);
dacB(e2,gj) = 0, iB(g2, gj) = 0, c22 0 etc.Folosind cele scrise rezult imediat pentru coeficienii ck1, ck2, ...,
ckksistemul, dacB(ei, gi) = 1,
ck1B(e1, e1) + ck2B(e1, e2) + ... + ckkB(e1, ek) = 0,ck1B(e2, e1) + ck2B(e2, e2) + ... + ckkB(e2, ek) = 0,
(2)ck1B(ek1, e1) + ck2B(ek1, e2) + ... + ckkB(ek1, ek) = 0,ck1B(ek, e1) + ck2B(ek, e2) + ... + ckkB(ek, ek) = 1,
i pentru c aij =B(ei, ej), rezult c sistemul (2) are determinantul diferitde zero i este determinantul kdin enun. Obinem
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
49/53
ckk= k1/k.
Coeficientul bkal formei ptratice transformate este
bkk=B(gk, gk) = ckk,
deoarece toiB(gk, ei) = 0, i k.
Observaie. n noua baz forma ptratic se scrie
212
2
2
12
1
1
...1
n
n
n
++
+
,
ns aceast form nu este unic.
Exemplu. Forma ptratic
E(x, y, z, t) = x2 + y2 3z2 + t2 xy + 3yz + 5zt
s se scrie sub forma canonic, folosind metoda lui Jacobi, apoi cea a luiGauss.
Avem
0 = 1, 1 = 1, 2 =1
2
12
11
=
43
, 3 =
32/30
2/312/1
02/11
=29
,
4 =
12/500
2/532/30
02/312/1
002/11
= 16
147
deci forma ptratic n noua baz se scrie
E(, ) = 242
3
2
2
2
1 49
24
6
1
3
4 ++ .
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
50/53
Cu metoda lui Gauss avem:
2
2
2
4
1
2
1yyxxyx
= ,
...34
3
2
1 22
+++
= yzyyxE
22 32)2(4
33
4
3zzyyzy +=+ ,
deci E= ,56)2(4
3
2
1 2222
tztzzyyx++++
ns 22
2
144
256
12
5656 ttzztz +
=+ ,
E= 22
2
2
72
147
12
56)2(
4
3
2
1ttzzyyx +
++
.
Se observ c prin ambele metode obinem acelai numr deptrate cu coeficieni pozitivi, anume 3.
1.8.5. Consecine ale teoremei lui Jacobi. Teorema lui Jacobi permite s se construiasc o baz pentru reducerea formei ptratice laforma canonic ct i calculul efectiv al coeficienilor formei canonice.Aceti coeficieni arat i numrul termenilor negativi ct i ai celor
pozitivi.
Teorem. 1. Numrul schimbrilor de semn din irul 1, 1, 2, ...,n arat numrul coeficienilor negativi din forma canonic.
2. O form ptratic este pozitiv definit daci numai dac
1 > 0, 2 > 0, ..., n > 0.
Demonstraie. 1) i prima parte din 2) sunt imediate. S artm cdac o form ptratic este pozitiv definit, atunci k > 0, k = 1, 2, ..., n.Avem
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
51/53
),(...),(),(
............
),(...),(),(
),(...),(),(
21
22212
12111
kkkk
k
k
k
eeBeeBeeB
eeBeeBeeB
eeBeeBeeB
= ;
se tie c k 0, dac e1, e2, ..., ek sunt liniar independeni. Spresupunem ck= 0; avem atunci
1B(e1, ei) + 2B(e2, ei) + ... + kB(ek, ei) = 0,
cu i nu toi nuli; obinem
B(1e1 + 2e2 + ... + kek, e1) = 0,
deci i
B(1e1 + 2e2 + ... + kek, 1e1 + 2e2 + ... + kek) = 0,
ceea ce este n contradicie cu forma ptratic pozitiv definit, deci k >0.
Observaie. Din definiie rezult c determinanii lui Gram sunt pozitivi sau nuli. ntr-adevr, dac lum pentru B(x, y) produsul scalarpx, yf , forma ptraticB(x, x) = px, yf este pozitiv definit, iardeterminanii
k=
fpfpfp
fpfpfp
fpfpfp
kkkk
k
k
eeeeee
eeeeee
eeeeee
,...,,
............
,...,,
,...,,
21
22212
12111
> 0,
dac e1, e2, ..., ek sunt liniar independeni; iark = 0 constituie condiianecesari suficient este ca e1, e2, ..., eks fie liniar dependeni.
1.8.6. Metoda matriceal de reducere a formelor ptratice laforma canonic. Ilustrm metoda printr-un
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
52/53
Exemplu. S se reduc prin metoda transformrilor ortogonale formaptratic
3121
2
4
2
3
2
2
2
14321 62),,,,( xxxxxxxxxxxxf ++++=
43423241 2644 xxxxxxxx +
la forma canonic.Scriem forma ptratic astfel:
4
3
2
1
43214321
11321123
3211
2311
||||),,,(
xx
x
x
xxxxxxxxf
= .
Determinm valorile proprii ale matricei
1132
1123
3211
2311
=A ,
care este o matrice simetric, deci o matrice hermitian real; prinurmare, matriceaA admite o baz format din vectori proprii ortogonalidoi cte doi cu matricea transformrii de form diagonal. Valorile
proprii sunt date de ecuaia
0
1132
1123
3211
2311
=
i sunt 1 = 1, 2 = 1, 3 = 3, 4 = 7.Vectorii proprii corespunztori sunt
v1 =
4
1,
4
1,
4
1,
4
1, v3 =
4
1,
4
1,
4
1,
4
1,
-
8/3/2019 Capitolul 1 -Matematica superioara
53/53
v2 =
4
1,
4
1,
4
1,
4
1, v4 =
4
1,
4
1,
4
1,
4
1.
Obinem matricea
=
4
1
4
1
4
1
4
14
1
4
1
4
1
4
14
1
4
1
4
1
4
14
14
14
14
1
,
cu care efectum transformarea
4
3
2
1
x
x
x
x
=
4
3
2
1
y
y
y
y
;
avem i ||x1 x2 x3 x4|| = ||y1 y2 y3 y4||t
. Forma ptratic dat devine
||||),,,( 43214321 yyyyyyyyF = tA
4
3
2
1
y
y
y
y
.
Matricea este ortogonal deci t = 1. Avem i
1A =
7000
0300
0010
0001
astfel nct forma ptratic f(x x x x ) ia forma canonic