capítulo 1 - objetivosaocarlos.com.br · são utilizadas letras dos alfabetos grego e português....
TRANSCRIPT
I. Introdução à Geometria II. Ângulo
III. Paralelismo
Capítulo 1
Páginas: 145 à 156
LIVRO 1
MATEMÁTICA
Região Poligonal Convexa
É uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma.
Região Poligonal Não - Convexa
Propriedade:Todo segmento de reta cujas extremi-
dades estão contidas nesta região,
estará totalmente contido na região
poligonal.
É uma região poligonal que possui reentrâncias no corpo da mesma.
Propriedade:Nem todos os segmentos de reta que
possuem extremidades contidas nessa
região estarão totalmente contidos na
região poligonal.
Região Octogonal Convexa Região Octogonal Não - Convexa
I. Introdução ao Estudo da Geometria Plana
Exemplo Exemplo
AB
C
D
C
B
A
D
É uma região do plano determinada por duas semi-retas ou dois segmentos de reta orientados a partir de um ponto comum, denominado vértice.
A
B
ˆAVBV
ângulo convexo
ângulo não convexo
II. Ângulos
Medidas de Ângulos
Uma volta completa numa circunferência
360°
2ππππ radianos
400 grados
R
R
⋅⋅⋅⋅1 radiano
Um radiano equivale a aproximadamente 57,3°
A representação de um ângulo é feita por três pontos, indicando seus lados e o vértice. Também são utilizadas letras dos alfabetos grego e português.
Definição de 1 Radiano:
Classificação dos Ângulos em relação as suas medidas
Raso
Obtuso
Reto
Agudo
Nulo
CaracterísticaÂngulo
ângulo cuja medida é 0°.
ângulo cuja medida é maior que 0° e menor que 90°.
ângulo cuja medida é 90°.
ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°.
ângulo cuja medida é 180°.
Nulo Agudo Reto Obtuso Raso
Subdivisões do Grau
60’’1’
60’1°°°°
Todo ângulo pode ser escrito, se necessário, utilizando graus e minutosou graus, minutos e segundos:
30° = 29°60’
30° = 29°59’60’’
Exemplo:
Exercícios Extras
Efetue as operações com ângulos:
a) 34°39' + 110°42'
b) 11°27'10'' + 60°53'14''
c) 82°41'39'' + 24°42'50''
d) 57°33'52'' - 41°11'12''
e) 91°12'10'' - 40°29'34''
f) 1°13' x 7
g) 13°70'35'' x 5
h) 72°30' : 3
i) 39°20'8'' : 4
Ângulos Adjacentes
Complementares
O
x
y
x + y = 90°
O complemento de um ângulo de medida x é:
(90°- x)
Suplementares
O
xy
x + y = 180°
O suplemento de um ângulo de medida x é:
(180°- x)
Replementares
xy
x + y = 360°
O
O replemento de um ângulo de medida x é:
(360°- x)
�
V ααααββββ
α e β são ângulos opostos pelovértice (OPV)
x
α °+ x =180 → ° αx =180 -
β °+ x =180 → ° βx =180 -
° α ° βentão : 180 - =180 -
portanto : α β=
Teorema demonstração:
“se dois ângulos são opostos pelo vértice, então as suas
medidas são iguais”
α β- = -
[17 . P151] (UECE-CE)O ângulo igual a 5/4 do seu suplemento mede:a) 100°b) 144°c) 36°d) 80°
e) 72°
resolução
∴ ⋅ o5x = (180 - x)
4
A medida de um ângulo desconhecido érepresentada por:
x
O suplemento desse ângulo x é:
(180°- x)
o4x = 900 -5xo9x = 900
ox =100
Exercícios
[19 . p151] (UFU-MG) Dois ângulos adjacentes são comple-mentares. Então o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos mede:a) 20°
b) 30°c) 35°d) 40°e) 45°
resolução
O
x
y
x + y = 90°
�⋅
x/2
y/2
O ângulo α formado pelas bissetrizes é:
αx y
= +2 2
αααα
αx + y
=2
→ αo9 0
=2
α o= 4 5
[23 . P151] (MACKENZIE-SP)O complemento e o suplemento de um ângulo de 37°20’07” medem, respecti-vamente,a) 149°39’53” e 52°39’53”. b) 52°39’53” e 142°39’53”.c) 53°20’07” e 143°20’07”. d) 143°20’07” e 53°20’07”.e) 142°39’53” e 53°20’07”.
O complemento é o valor do ângulo que “falta” para 90°:
resolução
37°20'07"
90°
37°20'07"
89°59’60’’
52°39'53"
O suplemento é o valor do ângulo que “falta” para 180°:
37°20'07"
180°
37°20'07"
179°59’60’’
142°39'53"
[EXTRA] (CFT-SC) Na figura abaixo, a semi-reta OP ébissetriz do ângulo AÔB. Os valores de x e y são:
a) x = 13°e y = 49°.b) x = 15°e y = 35°.c) x = 12°e y = 48°.d) x = 17°e y = 42°.e) x = 10°e y = 50°.
Se OP é bissetriz do ângulo AOB:
o ox +30 = y -10
resolução
o o10 +30 = y - xoy - x = 40
Os ângulos 2y, y - 10° e x + 30° juntos, formam um ângulo raso:
o o o2y + y -10 + x +30 =180o o3y + x =180 - 20o3y + x =160
o
o
y - x = 40
3y + x =160⇒ o4y = 200
oy = 50
ox =10
[EXTRA] (CFT-CE)O ângulo cujo suplemento excede de 6°o quádruplo do seu complemento, é:a) 58°b) 60°c) 62°d) 64°e) 68°
O suplemento de um ângulo x é:
O complemento de um ângulo x é:
(180°- x)
(90°- x)
∴ o o o (180 - x) = 6 + 4(90 - x)
O quádruplo do seu complemento é:
4.(90°- x)
o o o180 - x = 6 +360 - 4xo3x =186
ox = 62
resolução
[EXTRA] (PUC-PR)Dois ângulos complementares A e B, sendo A < B, têm medidas na razão de 13 para 17. Consequentemente, a razão da medida do suplemento do ângulo A para o suplemento do ângulo B vale:a) 43/47 b) 17/13 c) 13/17 d) 119/48 e) 47/43
°A +B = 90
A 13=
B 17
→ °B = 90 - A
→°
A 13=
90 - A 17
°17A =13(90 - A)
°17A =1170 -13A
°30A =1170
°A = 39
°B = 51
° °B = 90 -39
# O suplemento do ângulo A é:
# O suplemento do ângulo B é:
141R =
12947
R =43
resolução
A razão R entre seus suplementos é:
180°- 39°= 141°
180°- 51°= 129°
s
r // s
β + δβ + δβ + δβ + δ = 180º
α α α α e ββββ : opostos pelo vértice
γ γ γ γ e ββββ : alternos internos
α α α α e γγγγ : correspondentes
ββββ e δδδδ : colaterais internos
t
αααα
γγγγ
[são congruentes]
ββββ
δδδδ
≅ ≅α β γα β γα β γα β γ
[são suplementares]
"Z" DO ZORRO
III. Paralelismo
a + c = b + d
Teorema demonstração:
s
r // s
a
d
b
c
ab-a
dc-d
b - a = c - d
b + d = a + c
“a soma dos ângulos com curvatura para um lado é igual à
soma dos ângulos com curvatura para o outro lado”
r
s // r
A
A + B = 180°
B
A + 3A = 180°
A = 45°
Então:
B - A = 3.45°- 45°
B - A = 90°
[35. p154] (CESGRANRIO-RJ)As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B - A vale:
a) 90°b) 85°c) 80°d) 75°e) 60°
→ 4A = 180°
B = 3A
resolução
t
B - A = 135°- 45°
Exercícios
[36. p154] (FECAPE - MOD ENEM) Duas ruas paralelas do Condomínio Rio Encantado são cortadas transversalmen-te por outra rua que forma com as primeiras ângulos colaterais internos de tal modo que um excede o outro em 30°. O maior desses ângulos mede:a) 105°. b) 110°. c) 120°. d) 125°. e) 150°.
s
r // s
x
x + 30°
x + x + 30°= 180°
2x = 150°
x = 75°
resolução
x + 30°75°+ 30°
105°
[44. p155] (FUVEST - MOD ENEM) Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:
a) 50°b) 55°c) 60°d) 80°e) 100°
Observa-se que o ângulo 3 é a soma dos ângulos 1 e 2, então:
ˆ o o= 45 +553 ˆ o=100345°
45°
55°
55°
resolução
3̂
resolução[47. p155] (FGV-SP) Considere as retas r, s, t e u, todas num mesmo plano, com r//u. O valor em graus de (2x + 3y) é:
a) 64°b) 500°c) 520°d) 660°e) 580°
60°
60°
20°
med(x) = med(y)
180°
y + 60°+ 20°= 180°
y = 100°
portanto:
2x + 3y = 2.100°+ 3.100°
= 500°
60°
resolução[50. p156] (UNICAMP-SP) Para calcular a circunferência terrestre, osábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as locali-dades de Alexandria e Siena no Egito (A e S, respectivamente), situadas no mes-mo meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunfe-rência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra.
Os raios solares sãoconsiderados paralelos
7,2°
7,2°→ 800 km
360°→ x
x = 40000 km
[ EXTRA] (OBM) Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.
A medida do ângulo x é:a) 39°b) 41°c) 43°d) 44°e) 46°
30°60°126°
60° 66°66°24°
75°24° 51°
51°39° x + 75°+ 126°+ 30°= 3.90°
x + 231°= 270° x = 39°
resolução