capitulo 12 - integrais multiplas

5/10/2018 Capitulo 12 - Integrais Multiplas

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RESUMO Os problemas que podemos resolver integrando funcoes de duas outres variaveis sao similares aos problemas resolvidos por integracao de umavariavel, porem mais gerais. Como no capitulo anterior, podemos executar oscalculos .necessaries a partir de nossa experiencia com funcoes de uma unicavariavel.

.. Integrals Duplas

y

c

d

~Or-~a--------------------~b~X

FIGURA12.1 Grade retangular dividindoa regiao R em pequenos retangulos dearea Mk = a x k .lYk'

Integrais D uplas sobre R etanqulos Propriedades de Integrais D uplas Integrais Duplas como Volumes Teorema de Fubini para 0C alculo Integra is D uplas In tegrais Duplas sobre R egioes NaoR etangulares Lim itadas Encontrando Lim ites de lnteqracaoAgora mostraremos como integrar uma funcao continua I(x, y) sobre umaregiao limitada no plano xy. Existem muitas similaridades entre integrais 'du-plas' que definimos aqui e integrais 'simples' que definimos no Capitulo 4, Vo-lume 1, para funcoes de uma tinica variavel. Cada integral dupla pode ser calcu-lada em estagios, usando-se os metodos de integracao de uma variavel jaestudados.

Integrais Duplas sobre RetangulosSuponha que I(x, y) seja definida em uma regiao retangular R dada por

Imaginamos R como estando coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos xe Y (Figura 12.1). Essas retas dividem Rem pequenos retangulos de area M =a x .ly. Numeramos essas areas em alguma ordem MI, M 20 ... , Mn, esco-lhemos urn ponto (Xb Yk) em cada retangulo de area Mk e formamos a somans, = ~ I(Xb Yk) Mkk~1 (1 )SeI continua em R, entao, it medida que refinamos a largura da rede (ou par-ti


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356 Cap it ulo 12 : I nt eg ra is Mu lt ip las

II f(x,y)dA =II f(x,y)dA + II f(x,y)dAFIGURA 12.2 Integrais duplas tern 0mesmo tipo de propriedade aditiva dodominio que as integrais simples.

z

x

FIGURA12.3 S6lidos de aproximacaocom prismas retangulares nos levam adefinir 0 volume de prismas mais geraiscomo integrais duplas. 0volume doprisma mostrado aqui e a integral dupladef(x, y) na regiao-base R.

f f f(X, y) dA = lim i(Xk' Yk)MkdA--+O k=1R (2 )Como ocorre com funcoes de uma iinica variavel, as somas aproximam esselimite nao importa como os intervalos [a, b] e [c, d] que deterrninam R sejamdivididos, desde que ambas as normas das divisoes tendam a zero. 0 limite naequacao (2) tambem e independente da ordem na qual as areas Mk sao numera-das e independentes da escolha do ponto (XkoYk) dentro de cada Mk. Os valo-res das somas de aproximacao individuais S; dependem dessas escolhas, mas assomas aproximam 0mesmo limite no final. A prova da existencia e unicidadedesse limite para uma funcao continua f e dada em textos mais avancados, Acontinuidade de f e uma condicao suficiente para a existencia da integral dupla,mas nao e necessaria. 0 limite em questao tambem existe para muitas funcoesdescontfnuas.

Propriedades de Integrals DuplasComo integrais de uma variavel, integrais duplas de funcoes continuas tern pro-priedades algebricas que sao uteis em calculos e aplicacoes.

Propriedades de Integrais Duplas

1. Multiplo constante: f f kf(x, y) dA = k f f f(x, y) dA (para todomimero z) R

2. Soma e Diferenca:f f (f(x, y) g(x, y dA = f f f(x, y) dA f f g(x, y) dAR R R

3. Dominaciio:(a) f f f(x, y) dA 2: 0

Rse f(x, y) 2: OemR

(b) f f f(x, y) dA 2: f f g(x, y) dA se f(x, y) 2: g(x, y) em RR R

4. Aditividade: f f f(x, y) dA = f f f(x, y) dA + f f f(x, y) dAR RI R,

se R for a uniao de dois retangulos nao sobrepostos R1 e R2 (Figura 12.2).

Integrals Duplas como VolumesQuando f(x, y) e positiva, podemos interpretar a integral dupla de f em umaregiao retangular R como 0volume do prisma s6lido limitado inferiormente porR e superiormente pela superffcie z = f(x, y) (Figura 12.3). Cada termof(xto Yk)Mk na soma S; = If(Xk' Yk) Mk eo volume de urn prisma retangular verticalque aproxima 0volume da porcao do s6lido que esta diretamente acima da baseM k A soma Sm assim, aproxima 0 que queremos chamar de volume total dos6lido. Definimos esse volume como

Volume = limSn = f f f(x, y)dA. (3)R


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z

4

x

z=4-x-

y

FIGURA 12.4 Para obtennos a area dasecao transversal A(x), mantemos x fixox e integramos em relacao a y.

z

4

x

z=4-x-

y

FIGURA 12.5 Para obtennos a area dasecao transversal A(y), mantemos y fixo eintegramos em relacao a x.

12.1 Integrais Duplas 357Como voce talvez espere, este metodo mais geral de calcular volumes

esta de acordo com os metodos do Capitulo 5, Volume 1, mas nao provamosisso aqui.Teorema de Fubini para 0 Calculo de Integrals DuplasSuponha que queiramos calcular 0 volume sob 0 plano z = 4 - x - y sobre aregiao retangular R: 0 :: s x :: s 2, 0 :: s y :: s 1 no plano xy. Se aplicamos 0metodado fatiamento da Se9ao 5.1, Volume 1, com fatias perpendiculares ao eixo x(Figura 12.4), entao 0volume e

(4 )

onde A(x) e a area da se9ao transversal em x. Para cada valor de x, podemoscalcular A(x) como a integral

A(x) = fY= ' (4 - x - y) dy,y= O (5 )

que e a area sob a curva z = 4 - x - y no plano da secao transversal em x. Aocalcularmos A(x), x e mantido fixo e a integracao ocorre em relacao a y. Com-binando as equacoes (4) e (5), vemos que 0 volume do solido inteiro e

Volume = fX=2 A(x) dx = fX=2 (fY= ' (4 - x - y) dY) dxx=o x=o y=O

JX=2 [ y2 ]Y= ' JX=2 ( 7 )4y - xy - - dx = - - x dxx= o 2 y=O x=o 2

= [~ x - ~ J := 5 unidades ctibicas.Se quisessemos apenas escrever instrucoes para calcular 0 volume, semexecutar nenhuma integracao, poderfamos ter escrito

(6 )

A expressao a direita, chamada de integral iterada ou repetida, diz que 0volume e obtido integrando-se 4 - x - y em relacao a y de y =0 a y = 1, man-tendo-se x fixo e entao integrando-se a expressao resultante em x em relacao a xde x = 0 ate x = 2.o que teria acontecido se tivessemos calculado 0 volume fazendo 0 fatia-mento com planos perpendiculares ao eixo y (Figura 12.5)? Como uma funcaode y, a area da secao transversal tipica e

JX=2 [ 2 J X = 2A(y)= _ (4-x-y)dx= 4x-~ -xy =6-2y.~o ~oo volume do solido inteiro, portanto, e

(7 )

Volume = f:= :' A ( y) dy = I:=:' (6 - 2y) dy = [6y - y2l~ = 5,o que esta de acordo com nosso calculo anterior.

Novamente, podemos dar instrucoes para 0 calculo do volume como umaintegral iterada escrevendo

Volume = f f o 2 (4 - x - y) dx dy.


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CompanionWebsiteBiografia HistOrica

Guido Fubini(1879 - 1943)

A expressao no lade direito diz que podemos encontrar 0 volume integrando4 - x- y em relacao a x de x = 0 a x = 2, como na equacao (7), e integrando 0resultado em relacao a y de y = 0 a y = 1. Nessa integral iterada, a ordem daintegracao e primeiro x e depois y, 0 inverso da integral na equacao (6).o que esses dois calculos de volume com integrais iteradas tern a ver com aintegral dupla

I I (4 - x - y) dAR

sobre 0retangulo R: 0 :::;x :::;2, 0 :::;Y :::; I? A resposta e que ambas dao 0valorda integral dupla. Urn teorema publicado em 1907 por Guido Fubini diz que aintegral dupla de qualquer funcao continua sobre urn retangulo pode ser calcu-lada como uma integral iterada em qualquer ordem de integracao. (Fubini pro-vou seu teorema de modo mais geral, mas e assim que ele se traduz no que esta-mos fazendo agora.)

o Teorema de Fubini diz que integrais duplas sobre retangulos podem sercalculadas como integrais iteradas. Assim, podemos caIcular uma integral duplaintegrando uma variavel de cada vez .o Teorema de Fubini tambem diz que podemos calcular a integral duplaintegrando em qualquer ordem, 0 que e verdadeiramente conveniente, comoveremos no Exemplo 3. Em particular, quando calculamos urn volume porfatiamento, podemos usar tanto pIanos perpendiculares ao eixo x quanto pIanosperpendiculares ao eixo y.

Exemplo 1 Calculando uma Integral DuplaCaIcule IIR f(x, y) dA para

f(x, y) = 1 - 6x2y e R: 0:::; x :::;2, -1:::; y :::; 1.Solucao Pelo Teorema de Fubini,I I f(x, y) dA = f J o 2 (1 - 6x2y) dx dy = f l [x - 2x3y l~:~y

R I I= (2 - 16y) dy = [2y - 8 iLI = 4 unidades ctibicas.-1Trocando a ordem de integracao, obtemos 0mesmo resultado:


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FIGURA 12.6 Uma grade retangulardividindo em celulas uma regiao naoretangular limitada.

y

II f(x, y) dA =II f(x, y) dA +II f(x, y) dAR RI R2

FIGURA 12.7 A propriedade de aditividadepara regioes retangulares e valida pararegioes limitadas por curvas contfnuas,

1 2.1 In te gra is D up la s 3592= f 2 dx = 4 unidades cubicaso

Integraciio Mliltipla A maioria dos sistemasde algebra por computador (SAC) pode cal-cular tanto as integrais rmiltiplas quanto asiteradas. 0 procedimento tipico e utilizar 0comando de integracao do

SAC em iteracoes aninhadas de acordo com a ordem de integracao quevoce especificar.

USANDOATECNOLOGIA

Integral Formacao tipica do SACint(int(x A 2 * y, x), y) ;

f " I T 1 4 I I X cos ydxdy-"lT13 0 int(int(x* cos( y), x = 0 .. 1), y = - Pi/3 .. Pi/4);Se urn SAC nao pode produzir urn valor exato para uma integral defi-nida, ele geralmente pode encontrar urn valor numerico aproximado.

Integrals Duplas sobre Regioes Nao Retangulares LimitadasPara definirmos a integral dupla de uma funcao f(x, y) sobre uma regiao nfioretangular limitada, como a mostrada na Figura 12.6, novamente imaginamos Rsendo coberta por uma grade retangular, mas inclufmos na soma parcial apenasos pequenos retangulos de area LlA = dx Lly que estao inteiramente dentro daregiao (sombreada na figura). Numeramos os retangulos em alguma ordem,escolhemos urn ponto ( X k , Y k ) em cada urn e formamos a soma

ns, = ~ f(Xk ,yk) L lAkk=1A unica diferenca entre essa soma e aquela na equacao (1) para regioes retangu-lares e que agora as areas LlAk podem nao cobrir totalmente R. A medida que amalha se toma mais fina e 0rnimero de termos em S; aumenta, contudo cada vezmais area de R e inc1uida. Se f for continua e a fronteira de R for formada porgraficos de urn mimero finito de funcoes continuas de x e/ou funcoes contfnuasde y, ligadas pelas extremidades, entao as somas S; terao urn limite a medida queas normas das particoes que definem a grade retangular se aproximarem de zeroindependentemente. Chamamos 0 limite de integral dupla de f sobre R:

Esse limite tambem pode existir sob circunstancias menos restritivas.Integrais duplas de funcoes continuas sobre regioes nao retangulares tern as

mesmas propriedades algebricas que integrais sobre regioes retangulares. Apropriedade da aditividade do domfnio correspondente a propriedade 5 diz que,se R for decomposta em regioes nao sobrepostas R, e R2 com fronteiras que saonovamente formadas por urn mimero finito de segmentos de reta ou curvas lisas(veja a Figura 12.7 para conhecer urn exemplo disso), entaof f f(x,y)dA = f f f(x,y)dA + f f f(x,y)dA.

R R2


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360 Capi tu lo 1 2 : I nt eg ra is Mu lt ip la s

z

x

( Xk ' Y k)Volume = limI(xk, Yk) 8Ak = II f(x, y) dA

R

FIGURA 12.8 Definimos 0 volume des6lidos com base curva da mesmamaneira que definimos 0volume des6lidos com base retangular.

f hZ(Y)A(y) = f(x, y) dxh,(y)x

FIGURA 12.10 0volume do s6lido mos-trado aqui e

f d f d f h 2( y )A(y) dy = f(x, y) dx dy.e e h , ( y )

y

Sef(x, y) e positiva e continua sobre R, definimos 0 volume da regiao s6li-da entre Rea superffcie z =f(x, y) como sendo ffR f(x, y) dA, como ante-riormente (Figura 12.8).

Se R e uma regiao como aquela mostrada no plano xy na Figura 12.9, limi-tada 'acima' e 'abaixo' pelas curvas y = gz(x) e y = gl(X) e dos lados pelasretas x = a, x = b, podemos novamente calcular 0 volume pelo metodo dofatiamento. Primeiro calculamos a area da se~ao transversalf y=g2(X)A(x) = f(x, y) dyy=g,(x)e entao integramos A(x) de x = a a x = b para obter 0 volume como uma inte-gral iterada:

fb fbfg2(X)V = A(x) dx = f(x, y) dy dx.a a g,(x)

(8 )

x

Para calcularmos 0volume dos6lido, integramos essa area dex =aax =b.

FIGURA 12.9 A area da fatiavertical mostrada aqui e

f g2(X)A(x) = f(x, y) dy.g,(x)

De maneira similar, se R e uma regiao como aquela mostrada naFigura12.10, limitada pelas curvas x = hz(y) ex = hl(y) e pelas retas y = c e y = d,entao 0volume calculado por meio do fatiamento e dado pela integral iterada

f d f h 2( y )Volume = f(x,y)dxdy.e h , ( y ) (9 )o fato de as integrais iteradas nas equacoes (8) e (9) darem 0volume que

definimos como sendo a integral dupla de f sobre R e uma consequencia daforma mais forte do Teorema de Fubini, a qual e exposta a seguir.

y


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z

1 (3, 0, 0)

(1,0,2)

=3-x-y

(1,0,0)/ 1, 1,0)xy= x

(a)

1 2.1 In te gra is D up la s 361

Exemplo 2 Encontrando 0VolumeEncontre 0 volume do prisma cuja base e 0 triangulo no plano xy limitadopelo eixo x e pelas retas y = x e x = 1 e cujo topo esta no plano

z =f(x, y) =3 - x - y.Solucao Veja a Figura 12.11. Para qualquer x entre 0 e 1, y pode variar dey = 0 ay = x (Figura 12.11b). Assim,

f I f X f I [ y2JY=XV = (3 - x - y) dy dx = 3y - xy --2 _ dxo 0 0 y-O= J I (3X - 3X2) dx = [3X2 - X3JX=1 = 1 unidade ciibica.o 2 2 2 x= o

Quando a ordem de integracao e invertida (Figura 12.11c), a integral para 0volume ef I J I f l [ 2 J X = IV = 0 Y (3 - x - y) dx dy = 0 3x - ~ - xy x=y d y

f l ( 1 y2 )= 0 3 - 2 ' - y - 3y + '2 + y2 dy=f (~-y + ~y2) dy = [~y - 2y2 + ~ J : ~ ~1 unidade cubica.

As duas integrais sao iguais, como deveriam ser.

y x=1 x =1

o --------+xy =0 1 o --------+x(b) (c)

FJGURA12.11 (a) Prisma com base triangular no plano xy. 0volume deste prisma edefinido como uma integral dupla sobre R. Para a calcularmos como uma integraliterada, podemos integrar primeiro em relacao aye depois em relacao a x ou vice-versa (Exemplo 2). (b) Limites de integracao de{~:I:=:xf(X, y) dy dx.Se integrarmos primeiro em relacao a y, integraremos ao longo de uma reta verticalatraves de R e depois integrarmos da esquerda para a direita para incluir todas asretas verticais em R. (c) Limites de integracao de

I:==OIf = ~ 1(x, y) dx dy .Se integrarmos primeiro em relacao a x, integraremos ao longo de uma reta horizon-tal atraves de R e depois integraremos de baixo para cima para incluir todas as retashorizontais em R.


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362 Cap it ul o 12 : I nt eg ra is Mu lt ip las

Embora 0Teorema de Fubini nos garanta que a integral dupla pode ser cal-culada como uma integral iterada em qualquer ordem de integracao, 0 valor deuma integral pode ser mais facil de encontrar que 0 valor da outra. 0 proximoexemplo mostra como isso pode acontecer.

Exemplo 3Ca1cule C alcu la nd o u ma I nte gral D up la

onde Reo triangulo no plano xy limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pelaretax = 1.Solucao A regiao de integracao e mostrada na Figura 12.12. Se integra-mos primeiro em relacao aye depois em relacao a x, encontramosr (f se~x dY ) dx = r ( Y se~xJY=X) dx = J I senxdxo 0 o y= O 0

= -cos (1) + 1=0,46 unidade cubica.x=l y=x

xFIGURA12. 12 A regiao deintegracao do Exemplo 3.

Se invertemos a ordem de integracao e tentamos ca1cularI IJ J se~ x dx dy,o y

temos que parar porque J ((sen x)/ x) dx nao pode ser expressa em termos defuncoes elementares.

Nao existe regra geral para prever que ordem de integracao sera amelhor em circunstancias como essa, assim nao se preocupe em saber comocomecara suas integracoes. Simplesmente va em frente e, se a ordem quevoce escolheu primeiro nao funcionar, tente a outra.

Encontrando L im ite s de IntegracaoA parte mais diffcil do calculo de uma integral dupla pode ser encontrar os limi-tes de integracao, Felizmente, temos aqui urn born procedimento para adotar.


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12.1 IntegraisDuplas 363

Procedimentos para Encontrar Limites de IntegracaoA. Para calcular IIR f(x, y) dA sobre uma regiao R, integrando primeiro em relacao aye depois emexecute os seguintes passos:

y y Saiemy=~

Saiemy=~

~+---~----~----+xo x/ /o menor x 0 maior xex=O ex=l

Passo 1: Urn esboco. Esboce a regiaode integracao e identifique as curvaslimitantes.

Passo 2: Os lirnites de integraciio de y.Imagine uma reta vertical L que corta Rna direcao de valores de y crescente.Marque os valores de y onde L entra esai deR. Estes sao os limites de integra-~ao de y e geralmente sao funcoes de x(emvez de constantes).

Passo 3: Os lirnites de integracdo de x.Escolha limites de integracao dex queincluam todas as retas verticais atravesde R. A integral eI I f(x, y) dA =

R

B. Para calcular a mesma integral dupla comouma integral iterada com aordem de integracao invertida, use retas horizontais em vez de retas verti-cais. A integral e

y Entraemx=l-ymaioryey=l " " " " '____1

I I J l I v T = Y 'f(x, y) dA = 0 I-y f(x, y) dx dy.R Omenorye y =0 --.___r-r+r- -->


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364 Capi tu lo 1 2: I nt eg ra is Mu lt ip le s

f 4 J v Y (4x + 2) dx dy.o y/2o valor comum dessas integrais e 8.

y y

FIGURA 12.13 Figura para 0 Exemplo 4.

,EXERC IC IO S 12.1E nc on tra nd o R eg io es d e lnteqracao eI nte g ra is Dup la sNos exercfcios 1-10, esboce a regiao de integracao e calcule aintegral.1. fo3 f 0 2 (4 - y2) dy dx 2. f3fo (x2y - 2xy) dy dxo -23. f J ~ ! (x + Y + 1)dxdy4. f2"J" (sen x + cos y)dxdy

" 0

J"JX x sen ydydx .r. 6. ydydxo 0 o 0f I D s r n y r r " dxdy. ! 0 eX+Y dxdy 8. ! Yrr f f Y x 39. o 0 3y3e X Y dx dy 10. -e y l Y x dydx! 0 2

Nos exercicios 11-16, integrefsobre a regiao dada.11. Quadrilateral f(x , y) = x/ y sobre a regiao no primeiro qua-

drante limitada pelas retas y =x, y =2x, x = 1 ex =2.12. Quadrado f(x , y) = 1/(xy) sobre 0 quadrado 1 -s x::S 2, 1 : : s

y : : s 2.13. Triongulo f(x , y) =x2 +lsobre a regiao triangular com verti-

ces (0, 0), (1, 0) e (0, I).

14. Retongula f(x , y) = y cos xy sobre 0 retangulo 0 : : s x -s ' T T ' ,o : : s y : : s 1.

15. Triongulo f (u, u) = u - Vu sobre a regiao triangular cortadado primeiro quadrante do plano uu pela reta u + u = 1

16. R eg ia o C ur va f(s, t) = e' In t sobre a regiao no primeiro qua-drante do plano st que esta acima da curva s = In t de t = 1 at =2.

Cada urn dos exercicios 17-20 da uma integral sobre uma regiaono plano cartesiano. Esboce a regiao e calcule a integral.17. f J v - v 2 dp du (0plano pu )

J!JVh218. 8t d t ds (0plano st )o 019. f"/3 f sec t 3 cos t d u dt (0plano tu )

-,,/3 0

f 3f4-2U 4 220. ~ du du (0plano uu )O! UInvertendo a O rdem de lnteqracaoNos exercicios 21-30, esboce a regiao de integracao e escreva umaintegral dupla equivalente com a ordem de integracao invertida.21. fo ! f

24-2x dy dx 22. { 2 fY~2 dx dy


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rflY rf -r23. dxdy 24. dydxo y o I-x

folr'" dydx r 02f5. 26. dxdyo ef3/2f9-4r f02f

04-/ y dx dy7. 16xdydx 28.

o 0

rfYG' ff~9. 3ydxdy 30. 6xdydxo -YG' o - ~Ca lc ula nd o In te gra is D upla sNos exercicios 31-40, esboce a regiao de integra ..ao, inverta aordem de integra ..ao e calcule a integral.31. {' f' se; y dy dx 32. f02r 2 2/ sen xy dy dx33. fIJI x2e " l ' dxdy 34. f2re2y--dydxo y o 0 4 - y

fVm3JVm3 f3f ey'dydx5. er dxdy 36.o y/2 o VXi3f 1116 J 112 rr dydx37. cos (16~) dx dy 38.o yl/4 o ~ y4+ 1

39. Reg ia o q ua dr ad a f f (y - 2x2) dA , onde Rea regiao limitadaRpelo quadrado I x I + I y I = 1

40. Reg iOo t ri angul ar f f xy dA, onde Rea regiao limitada pelasR

retas y = x, y = 2x e x + y = 2.Volum e sob um a Superfic ie z =f(x, y)41. Encontre 0volume da regiao limitada pelo parabol6ide z =x2 +

y2 e inferiormente pelo triangulo delimitado pelas retas y =x,x = Oex + y = 2noplanoxy.

42. Encontre 0volume do s6lido que e limitado superiormente pelocilindro z = x2 e inferiormente pela regiao delimitada pelaparabola y = 2 - x2 e pela reta y = x no plano xy.

43. Encontre 0 volume do solido cuja base e a regiao no plano xyque e limitada pela parabola y =4 - x2 e pela reta y = 3x,enquanto 0topo do s6lido e limitado pelo plano z =x + 4.

44. Encontre 0 volume do s6lido no primeiro octante limitadopelos planos coordenados, pelo cilindro x2 + l= 4 e peloplano z + y = 3.

45. Encontre 0 volume do s6lido no primeiro octante limitadopelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindroparab6lico z =4 - y2.

46. Encontre 0volume do s6lido cortado do primeiro octante pelasuperficie z =4 - x 2 - y.

47. Encontre 0 volume da cunha cortada do primeiro octante pelocilindro z = 12 - 3y2 e pelo plano x + y =2.

48. Encontre 0 volume do s6lido cortado da coluna quadradaI x I + I y I -s 1 pelos planos z = 0 e 3x + z = 3.

12.1 Integrais Duplas 365

49. Encontre 0 volume do s6lido que e limitado na frente e arraspelos planos x = 2 e x = 1, nos lados pelos cilindrosy = l/x e acima e abaixo pelos planos z = x + 1 e z = O.

50. Encontre 0 volume do solido limitado na frente e atras pelosplanos x = 7 T / 3 , nos lados pelos cilindros y = sec x,acima pelo cilindro z = 1 + / e abaixo pelo plano xy.

In te gr ais s ob re R e gio es Nao LimitadasCalcule as integrais impr6prias nos exercicios 51-54 como inte-grais iteradas.

fOOfl 151. -3-dydxI e-" X y flfll\ll=752. -I -I\Il=7 (2y + 1) dy dxf O O f O O 153. 2 2 dxdy-00 -00 (x + 1)(y + 1)

A pro xim a nd o In te gra is D up la sNos exercicios 55 e 56, aproxime a integral dupla de f(x, y) sobre aregiao R dividida pelas retas verticais x = a e horizontaisy = c dadas. Em cadasub-retangulo, use ( Xk> Y k ) como indicadopara sua aproxima ..ao.

f f f(x, y) dA = ~I f(Xh Yk ) M kR

55. f(x, y) =x + y sobre a regiao R limitada acima pelo semi-cir-culo y = v'1'='7 e abaixo pelo eixo x, usando a parti ..aox = -1, -1/2,0, 1/4, 112 , 1 e y =0, 1/2, 1, com (Xh Yk ) sendoo canto inferior esquerdo do k-esimo sub-retangulo (desde queo sub-retangulo esteja contido em R).56. f(x, y) = x + 2y sobre a regiao R dentro da circunferencia(x - 2)2 + (y - 3)2 = 1 usando a parti ..ao x = 1, 3/2, 2, 5 1 2 , 3e y = 2, 512 , 3, 712 , 4, com (Xh Yk ) sendo 0 centro (centr6ide)do k-esimo sub-retangulo (desde que 0 sub-retangulo estejacontido em R).

T eo ria e E xem plo s57. S eta r c ir cu la r Integre f(x, y) =V4 - x2 sobre 0 setor menor

cortado do discor+l:s 4 pelos raios () = 7 T / 6 e () = 7 T 1 2 .58. R eg ia a n ii o li mi ta da Integre f(x, y) = 1/[(r - x)(y - 1)213]

sobre 0retangulo infinito 2 :sx < 00 0 :s y :s 2.59. C i li nd ra n ao c ir cu la r Urn cilindro s6lido reto (nao circular) ternsua base R no plano xy e e limitado superiormente pelo para-

bol6ide z =r+i.0volume do cilindro ev = {If: (x2 + y2) dx dy + fl2 r : (x2 + y2) dx dy.

Esboce a base R e expresse 0 volume do cilindro como umaunica integral iterada com a ordem de integra ..ao invertida.Entao calcule a integral para encontrar 0volume.

60. Canvertendo em um a in te gr al du pla Calcule a integralf02 (arc tg TTX- arc tgx) dx.

(Dica: Escreva 0 integrando como uma integral.)


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366 Cap it ulo 12 : I nt eg ra is Mu lt ip les

61 . Maximiz ando uma integra l dupla Que regiao R no plano xymaxirniza 0valor de USANDO 0 COMPUTADOR

I I (4 - x2 - 2i) dA?R

Justifique sua resposta.62. M in im izan do um a in teg ra l dupla Que regiao R no plano xy rnini-

rniza 0valor de

I I (x2 +i-) dA?R

Justifique sua resposta.6 3. E scr even do p ara a pren der E correto calcular a integral de uma

funcao continua f(x, y) sobre uma regiao retangular no planoxy e obter respostas diferentes dependendo da ordem da inte-gracao? Justifique sua resposta.

6 4. E scr even do p ar a a pren der Como voce calcularia a integral duplade uma funcao continuaf(x, y) sobre uma regiao R no plano xylirnitada pelo triangulo com vertices (0, 1), (2, 0) e (1, 2)? Jus-tifique sua resposta.

65. Reg iao n ao lim itada Prove que

I ' " I ' " e-x '-y ' d xd y = lill,! I b I b e-x'-ldxdy-00 -00 b- -b-b6 6. In teg ra l d upla im pr 6p ria Calcule a integral impr6pria

flf3 - -X -2 -- -- :2 --: -: :/3y dx.o 0 (y - 1)

C alcu lando Integrais D uplas N um ericam enteUse urn SAC para estimar os valores das integrais nos exercicios67-70.

67. I 3I X 1I I xy dy dx

I I69. f f arc tg xy dy dx

o 0

70. I I f v ! = 7 3\1'1 - x2- y2 d y dx-I 0

Use urn SAC para encontrar as integrais nos exercfcios 71-76.Entao inverta a ordem de integracao e ca1cule, novamente comurn SAC.

71. flf4 ex' dx dy 72. I03I; x cos (y2) dy dxo 2y

r r V z Y ( ) r r - l73. o y' x2y - xy2 dx dy 74. o 0 eXYdxdy75. ffx' 1 76. fr 1dydx dydxlO X Y I y' \l'x2 + y2

Areas, Momentos e Centros de Massa *Areas de Reqioes Lim itadas no P lano Valor Medic Momentose Centros de M assa M assas D istribu idas sobre um a Regiao Plana P lacas F inas e Planas com Distribu icao de M assa Continua M om entos de lnercia Centr6 ides de F iguras G eom etricasNesta se9ao mostraremos como usar integrais duplas para ca1cular as areas deregioes limitadas no plano e para encontrar 0 valor medio de uma funcao de duasvariaveis. Depois estudaremos 0 problema ffsico de encontrar 0 centro de massade uma placa fina que cobre uma regiao no plano.

* 0 material sobre massa e momentos para regioes planas apresentado nesta secao nao requerque se retome 0Capitulo 5, Volume 1. As ideias essenciais sao todas dadas aqui, algumasdas quais podem ser uma revisao para aqueles que estudaram momentos no Capitulo 5.


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FIGURA12. 14 0 primeiro passo na definicaoda area de uma regiao e particionar 0interiorda regiao em celulas,

FIGURA 12.15 A regiao no Exemplo 1.

12.2 A reas, M om ento s e C entros de M assa 367

Areas de Regioes Limitadas no PlanoSe tomamos ft, y) = 1 na definicao da integral dupla sobre uma regiao R nasecao anterior, as somas parciais se reduzem a

n ns, = ~/(XbYk) AAk = ~ AA kk=1 k=1Isso aproxima 0que gostariamos de chamar de area de R. A medida que a x eAy se aproximam de zero, a cobertura de R pelos AA k (Figura 12.14) toma-semais e mais completa e definimos a area de R como 0limite

Area = lim ~ AAk = II dA.n--""OO k=l R

Assim como as outras definicoes neste capitulo, essa definicao se aplica auma variedade de regioes maior do que aquela a que se aplica a definicao dearea dada anteriormente que utiliza uma unica variavel, mas esta de acordo coma definicao anterior sobre regioes as quais ambas se aplicam.

Para calcularmos a integral na definicao de area, integramos a funcao cons-tante I(x, y) = I sobre R.

Exemplo 1 Encontrando a AreaEncontre a area da regiao R limitada por y =x e y = ;(2 no primeiro quadrante.Solucao Esbocamos a regiao (Figura 12.15) ecalculamos a area como

A = f J ; dydx = f [yJ: dx= I o l (x - x2) dx = [ ; - ~Ii unidades quadradas.

Observe que a integral simples J 6 (x - x2) dx, obtida com 0calculo da inte-gral iterada de dentro, e a integral para a area entre essas duas curvas usandoo metoda da Secao 4.6, Volume 1.

Exemplo 2 Encontrando a AreaEncontre a area da regiao R limitada pela parabola y = ;(2 e pela reta y = x + 2.Solueao Se dividimos R nas regioes RI e R2, mostradas na Figura 12.16a,podemos ca1cular a area como

Por outro lado, invertendo a ordem de integracao (Figura 12.16b), temos


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368 Capi tu lo 1 2 : I nt eg ra is Mu lt ip le s

f 2 f X + 2A = dydx.-1 x'

(-1,

(a) (b)

FIGURA12.16 0calculo dessa area necessita de (a) duas integrais duplas sea primeira integracao ocorre em relacao a x, mas (b) apenas uma se a primei-ra integracao ocorre em relacao a y (Exemplo 2).Esse resultado e mais simples e e 0 tinico que nos daremos ao trabalho deescrever. A area e

f 2 x + 2 f 2 [ 2 3 J 2A = -1[y l x , dx = -1(x + 2 - i) dx = ~ + 2x -; -1= ~ unidades quadradas.

Valor Medioo valor medic de uma funcao integravel de uma tinica variavel em urn intervalofechado e a integral da funcao sobre 0 intervalo dividida pelo comprimento dointervalo. Para uma func;:aointegravel de duas variaveis definida em uma regiaofechada e limitada que tern uma area mensuravel, 0 valor medic e a integralsobre a regiao dividida pela area da regiao, Sej for a funcao e R, a regiao, entao

Valor medio de / sobre R = area Ide R f f / dA.R

(1 )

Se / e a densidade de area de uma placa fina cobrindo R, entao a integraldupla de / sobre R dividida pela area de Rea densidade media da placa emunidades de massa por unidade de area. Se ft, y) e a distancia do ponto (x, y)a urn ponto fixo P, entao 0valor medic de / sobre Rea distancia media dospontos em R a partir de P.

Exemplo 3 Encontrando 0Valor MedicEncontre 0valor medic de/(x, y) =x cos xy sobre 0retangulo R: 0 :5x :5 '1T,O:5y:5l.

Solucao 0 valor da integral dej'sobre R e


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Massa versus Pesoo peso e a forca que resulta da gravidadepuxando uma massa. Se urn objeto de massam e colocado em urn lugar onde a aceleracaoda gravidade e g, 0peso do objeto e

F=mg(como na segunda lei de Newton).

CompanionWebsiteBiografia HistoricaChristian Felix Klein(1849 - 1925)

12.2 Areas, Momentos e Centros de Massa 369

f 7 T f I f 7 T y=IX cos .xy dy dx = [sen .xy t = o dxo 0 0= f 7 T (sen x - 0) dx = -cos x l~ 1 + 1 = 2.o

A area de R e tt.0valor medic de f sobre R e 2/ tr.Momentos e Centros de MassaMuitas estruturas e sistemas mecanicos se comportam como se sua massa esti-vesse concentrada em urn tinico ponto, chamado de centro de massa. E importan-te saber como localizar esse ponto e fazer isso e basicamente urn trabalho mate-matico. Desenvolveremos nosso modelo matematico por estagios. 0primeiroestagio e imaginar massas ml>m2 e m3 sobre urn eixo x rigido sustentado por urnapoio na origem.

. . > ~ zApoionaorigem

o sistema resultante pode se equilibrar ou nao, Isso depende do tamanhoda massa e de como ela esta colocada.

Cada massa mk exerce uma forca para baixo mkg igual a massa vezes a ace-leracao da gravidade. Cada uma dessas forcas tern tendencia a girar 0 eixo aoredor da origem, como uma gangorra. Esse efeito, chamado de torque, e medi-do multiplicando-se a forca mk g pela distancia com sinal Xk entre 0 ponto deaplicacao e a origem. Massas a esquerda da origem exercem torques negativos(sentido anti-horario), Massas a direita da origem exercem torque positivo (sen-tido horario).

A soma dos torques mede a tendencia de urn sistema girar ao redor da ori-gem. Essa soma e chamada de torque do sistema.Torque do sistema =~ mkgxko sistema estara equilibrado se e somente se 0 torque for zero.

Se fatoramos g na equacao (2), vemos que 0 torque do sistema eg ~ mkxk/ ~Urna caracteristica Urna caracterfstica dodo meio sistema

(2)

Assim, 0 torque e 0produto da aceleracao da gravidade g, a qual e uma caracte-ristica do meio no qual 0 sistema esta, e do mimero " '2 ,mkx k0 qual e uma carac-teristica do sistema propriamente dito, uma constante que permanece a mesmanao importa onde 0 sistema esta colocado. A constante e chamada de momentodo sistema em relacao it origem.

Momento do sistema em relacao a origem =~ mkxk (3 )Geralmente queremos saber onde colocar 0 apoio para equilibrar 0 sistema,

isto e , em que ponto x coloca-lo para tomar 0torque nulo.XI 0 Xz x - X3 ), : A t : Xml / , mz m3L__\ Localizacao especial

para equilfbrio


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o torque de cada massa em relacao ao apoio nessa Iocalizacao especial eT d 1 - - ( distancia com sinal)( forca )orque e mk em re a


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FIGURA 12.18 Urn agrupamentobidimensional de massas equilibradas emseu centro de massa.

DensidadeA densidade de urn material e sua massa porunidade de volume. Na pnitica, contudo,preferimos usar unidades que podemos medirconvenientemente. Para fios, barras e faixasestreitas, usamos massa por unidade decomprimento. Para folhas planas e placas,usamos massa por unidade de area.

y Faixa de massa 11m

--+---------------~-------+xo xFIGURA 12.19 Uma placa cortada emfaixas finas paralelas ao eixo y. 0momenta exercido por uma faixa tipicaem relacao a cada eixo e 0momenta quesua massa am exerceria se estivesseconcentrada no centro de massa dasfaixas (x, y).

1 2.2 A re as, M om en to s e C en tro s d e M assa 371

(4 )

Com essa escolha de x , como no caso unidimensional, 0 sistema se equilibraem relacao 11reta x = x (Figura 12.18)

A abscissa do centro de massa do sistema e definida como(5 )

Com essa escolha de y , 0 sistema tambem se equilibra em relacao 11reta y = y .Os torques exercidos pelas massas em relacao 11reta y = y se cancelam. Assim,quanta ao equilfbrio, 0 sistema se comporta como se toda a sua massa estivesseno iinico ponto (x, y). Chamamos esse ponto de centro de massa do sistema.Placas Finas e Planas com Distribuicao de Massa ContinuaEm muitas aplicacoes, precisamos encontrar 0 centro de massa de uma placafina e plana, digamos, urn disco de alumfnio ou uma folha de aco triangular. Emtais casos, consideramos que a distribuicao de massa seja continua e as formu-las que usamos para calcular x e y contenham integrais, em vez de somas fini-tas. As integrais surgem da maneira explicada a seguir.

Imagine a placa ocupando uma regiao no plano xy, cortada em faixas finasparalelas a urn dos eixos (na Figura 12.19, 0eixo y). 0 centro de massa de umafaixa tipica e (x , y ) . Tratamos a massa da faixa am como se ela estivesse con-centrada em (x, y ) . 0 momenta da faixa em relacao ao eixo y e entao x am. 0momenta da faixa em relacao ao eixo x e yam. As equacoes (4) e (5) entao setomam

_ My ~xamx=-=M ~ am ' _ Mx ~ yamy= M= ~am'

As somas nessas equacoes sao somas de Riemann para integrais e aproximamessas integrais como valores-limite 11medida que as faixas nas quais a placa ecortada se tomam cada vez mais estreitas. Podemos escreve-las como integraisduplas para acomodar uma grande variedade de formas e funcoes densidade. Amassa e a integral da funcao densidade continua, denotada aqui por Sex, y ).(Alguns fisicos usam 0 sfrnbolo p(x, y) para densidade.) As formulas de massa,primeiros momentos (ou momentos de primeira ordem) e centro de massa saodadas na Tabela 12.1.

Densidade: sex, y)Massa: M = f f Sex , y ) dAPrimeiros momentos: u,= f yS(x, y) dA, My =f f xS(x, y) dA

_ Mxy=-MCentro de massa:


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x

FIGURA 12.20 A regiao triangular coberta.pela placa no Exemplo 4.

Observe que integramos y vezes a funyiiodensidade para calcular M; e xvezes a densidade para encontrar My.

Exemplo 4 Encontrando 0 Centro de Massa de uma P laca F ina deDens id ade Va ria ve l

Uma placa fina cobre a regiao triangular limitada pelo eixo x e pelas retasx = 1 e y = 2x no primeiro quadrante. A densidade da placa no ponto (x, y) e8(x, y) = 6x + 6y + 6. Encontre a massa da placa, os primeiros momentos eo centro de massa em relacao aos eixos coordenados.Solucao Esbocamos a placa e damos detalhes suficientes para determinar oslimites de integracao para as integrais que temos que calcular (Figura 12.20).

A massa da placa e

M = I a ' f o 2 x 8(x, y) dy dx = f { 2 x (6x + 6y + 6) dydxI I [ ] Y - 2 x= 6xy + 3y2 + 6y dxo Y~ O

= f (24x2 + 12x) dx = [ 8 X 3 + 6 X 2 J ~ = 14.a primeiro momenta em relacao ao eixo x e

Urn calculo similar da 0momenta em relacao ao eixo y:

My f f o 2 x x8(x, y) dy dx = 10.As coordenadas do centro de massa sao, portanto,

- My 10 5x=-=-=-M 14 7'

Momentos de Inerciaas primeiros momentos de urn corpo (Tabela 12.1) nos informam sobre 0 equi-lfbrio e sobre 0 torque que 0 corpo exerce em tomo de diferentes eixos em urncampo gravitacional. Se, entretanto, 0 corpo for uma haste que gira, estaremosmais interessados na quanti dade de energia que estara armazenada na haste ouna quanti dade de energia que sera necessaria para acelerar a haste ate umadeterminada velocidade angular. E aqui que entra 0 segundo momento, oumomento de inercia.

Imagine que a haste esteja dividida em blocos pequenos de massa IlMk e rkseja a distancia do centro de massa do k-esimo bloco ao eixo de rotacao (Figura12.21). Se a haste girar a uma velocidade angular w = dO/dt radianos porsegundo, 0centro de massa dos blocos percorrera sua 6rbita a uma velocidadeescalar de


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VigaA

VigaB

Eixo

Eixo

FIGURA12.22 Quanto maior 0momentade inercia polar da secao transversal daviga em relacao ao seu eixo longitudinal,mais rfgida ela e . As vigas A e B tern amesma area de secao transversal, mas A emais rigida.

12.2 A re as, M om en tos e C entros d e M assa 373

FIGURA 12.21 Para encontrarmos uma integral para a quantidade de energiaarmazenada em uma haste que gira, primeiro a imaginamos dividida em peque-nos blocos. Cadabloco tern sua propria energia cinetica. Adicionamos as contri-buicoes de cada bloco para encontrar a energia cinetica da haste.

A energia cinetica do bloco sera, aproximadamente,

A energia cinetica da haste sera, aproximadamente,

A integral aproximada por essas somas it medida que a haste e dividida em blo-cos cada vez menores fornece a energia cinetica da haste:

KE _ I I 22 d _1 2I 2dhaste- iwr m-iw r m. (6 )o fator

I = I r+dme 0 momenta de inercia da haste em relacao ao seu eixo de rotacao e vemoscom a equacao (6) que a energia cinetica da haste e

(7 )

KE _1[,2haste-i W. (8 )Para fazermos uma haste de momenta de inercia Icomecar a girar a partir

do repouso a uma velocidade angular w, precisamos fornecer uma energia cine-tica de KE = (1/2)1 w2 Para pararmos a haste, temos que remover essa quanti-dade de energia cinetica, Para fazermos uma locomotiva de massa m comecar ase mover a uma velocidade linear v, precis amos fornecer uma energia cineticade KE = (112)mv2 Para a pararmos, temos que remover essa quantidade deenergia. 0 momenta de inercia da haste e analogo ao da massa da locomotiva.o que torna a locomotiva dificil de mover ou parar e sua massa. 0 que torna ahaste dificil de mover ou parar e seu momenta de inercia. 0 momenta de iner-cia inclui nao apenas a massa, mas tambern sua distribuicao.o momenta de inercia tambem tern urn papel na determinacao de quantouma viga metalica horizontal cedera sob uma carga. A rigidez da viga e umaconstante vezes I, 0momenta de inercia de uma secao transversal tipica da vigaem relacao ao seu eixo longitudinal. Quanto maior 0valor de I, mais rigida e aviga e menos ela cedera sob uma dada carga. Essa e a razao pela qual usamosvigas em I, em vez de vigas com secoes transversais quadradas. Os flanges, ou


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Primeiros momentos saomomentos de'equilfbrio' .Segundos momentos saomomentos de'rotacao'.

bordas, no topo e no pe da viga mantem a maior parte da sua massa longe doeixo longitudinal para maximizar 0 valor de I(Figura 12.22).

Se voce quiser ver 0 momenta de inercia na pratica, tente 0 seguinte ex-perimento: Prenda com fita adesiva duas moedas nas extremidades de urn lapise gire-o em relacao ao centro de massa. 0 momenta de inercia e responsavelpela resistencia que voce sente cada vez que muda 0 sentido do movimento.Agora mova as moedas a distancias iguais do centro de massa e gire 0 lapisnovamente. 0 sistema tern a mesma massa e 0 mesmo centro de massa, masagora oferece menos resistencia a mudancas no movimento. 0 momenta deinercia foi reduzido. 0momenta de inercia e 0 que nos faz 'sentir' urn bastaode beisebol, urn taco de golfe ou uma raquete de tenis quando os seguramos.

A Tabela 12.2 fomece as formulas para momentos de inercia (tambem cha-mados de segundos momentos ou momentos de segunda ordem) e para raios derotacao,

Momentos de inercla (momentos de segunda ordem):Em relacao ao eixo x: t,= J J y2 t5 (x, y) dA Em relacao a origem 1 0 = J J (x 2 + y 2 )t5 ( X, y ) dA = t,+ t,

(momento polar):Em relacao ao eixo y:

Em relacao a uma reta L: IL = J J r2 (x, y)t5 (x, y) dA, onde re x, y ) = distancia de (x , y) ate LRaios de Rotacao Em relacao ao eixo x: Rx =ViJM

Em relacao ao y: Ry =VijMEm relacao a origem: Ro = V Y ; i M

A diferenca matematica entre os momentos de primeira ordem M, e My eos momentos de inercia, ou momentos de segunda ordem, I, e Iy e que osmomentos de segunda ordem usam os quadrados dos tamanhos dos 'braces dealavanca' x e y.o momento 1 0 tambem e chamado de momento polar de inercia em rela-c;ao a origem. E ca1culado integrando-se a densidade t5(x, y) (massa por unidadede area) vezes r2 = x2 +i,0quadrado da distancia de urn ponto representati-vo (x,y) ate a origem. Observe que 1 0 = I, + Iy; uma vez que encontramos dois,encontramos 0 terceiro automaticamente. (0 momenta 1 0 algumas vezes e cha-made de Iz ' para 0 momenta de inercia em relacao ao eixo z. A identidadeI, = I, + lye entao chamada de Teorema do Eixo Perpendicular.)o raio de rotaeao R, e definido pela equacao

Ele nos diz a que distancia do eixo x a massa total da placa pode estar concen-trada para resultar no mesmo I;0 raio de rotacao da uma maneira convenientede expressar 0momenta de inercia em termos de uma massa e de urn compri-mento. Os raios Ry e Ro sao definidos de maneira similar, com


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Observe que integramos y2 vezes a densidadepara calcular I,e x2 vezes a densidade paraencontrar I

1 2.2 A re as, M om en to s e C en tro s d e M assa 375I =MR2y Y 10 = MR02.

Extrafmos as rafzes quadradas para obter as f6rmulas da Tabela 12.2.

Exemplo 5 Encontrando Momentos de lnercia e Raios de HotacaoPara a placa tina do Exemplo 4 (Figura 12.20), encontre os momentos deinercia e os raios de rotacao em relacao aos eixos coordenados e a origem.Solucao Usando a funcao densidade o(x, y) = 6x + 6y + 6 dada noExemplo 4, 0momenta de inercia em relacao ao eixo x e

De maneira similar, 0momenta de inercia em relacao ao eixo y e

f l f 2 x 39I y = 0 0 x2o(x, y) dy dx = SComo conhecemos Ix ely, nao precisamos calcular uma integral para

encontrar 10; em seu lugar, podemos usar a equacao 10 = I, + I y :I. = 12 + 39 = 60 + 39 _ 99o 5 5 - S

Os tres raios de rotacao saoRx =v7)M =Vi27i4 = V6fi=0,93Ry =YilM = J ( 3 ; ) 1 1 4 = V39i7O =0 , 7 5Ro = Vi;iM = J ( 9 ; ) 1 1 4 = V 9 9 i 7 O = 1 , 1 9 .

Centroides de Figuras GeometricasQuando a densidade de urn objeto e constante, ela se cancela no numerador e nodenominador das f6rmulas para x e y . Quando x e y sao considerados, 0 podemuito bern ser igual a 1. Assim, quando 0 e constante, a localizacao do centrode massa se toma uma caracterfstica da forma do objeto e nao mais do materialdo qual 0 objeto e feito. Em tais casos, engenheiros costumam chamar 0 centrode massa de centroide da forma. Para encontrar urn centr6ide, fazemos 0 igual a1e calculamos x e y como antes, dividindo os primeiros momentos pelas massas.

Exemplo 6 Encontrando 0 Centr6ide de uma RegiaoEncontre 0 centr6ide de uma regiao no primeiro quadrante limitada acimapela reta y =x e abaixo pel a parabola y = x2


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376 Cap it ul o 1 2 : I nt eg ra is Mu lt ip la s

y

FIGURA12.23 No Exemplo 6, encontramoso centr6ide da regiao mostrada aqui.

Solucao Esbocamos a regiao e inclufmos detalhes suficientes para deter-minar os limites de integracao (Figura 12.23). Fazemos entao ;; igual a 1 eresolvemos as f6rmulas apropriadas da Tabela 12.1:

A partir desses valores de M, M, e My, encontramos_ My 1112 1x=-=--=-M 1/6 2 e

o centr6ide e 0ponto (1/2, 2/5).

,EXERCICIOS 12.2Area por lnteqracao DuplaNos exercfcios 1-8, esboce a regiao limitada pelas retas e curvasdadas. Depois expresse a area da regiao como uma integral duplaiterada e calcule a integral.1. Os eixos coordenados e a reta x + y =2.2. As retas x = 0, y = 2x e y = 4.3. A parabola x =-ie a reta y =x + 2.4. A parabola x = y -ie a retay = -x.5. A curva y = e" e as retas y = 0, x = 0 ex = In 2.6. As curvas y = In x e y = 2 In x e a reta x = e, no primeiro qua-

drante.7. As parabolas x =lex =2y - i.8. As parabolas x =i-I ex =2i - 2.Identificando a Regiao de lnteqracaoAs integrais e somas de integrais nos exercfcios 9-14 fornecem asareas de regioes no plano xy. Esboce cada regiao, identifique cada

curva-limite com sua equacao e de as coordenadas dos pontos ondeha interseccao das curvas. Depois encontre a area da regiao.

f 6 f 2 Y f 3 f X ( 2 - X )9. dx dy 10. dy dxo 03 0 ~f Tr'4J cos x11. dydxo sen x 12. J 2 f Y +2 dx dy-1 l

13. J O J I - X dydx + f 2 J I - X dydx-I -2x 0 -x12

14. f 2 f O dy dx + f 4 f Y x dy dxo x'-4 0 0Valores Medios15. Encontre 0valor medic def(x, y) = sen(x + y) sobre:

(a) 0retangulo 0 :S X :S 7T, O:S Y :S 7T(b) 0retangulo 0 :Sx :S 7T, O:S Y :S 7T12

16. 0que voce acha que sera maior, 0valor medio def(x, y) =xysobre 0quadrado 0 :S X :S 1,0 :S Y :S lou 0valor medic def


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sobre 0quarto de cfrculo x2 + y2 ::::; 1 no primeiro quadrante?Calcule-os para descobrir.

17. Encontre a altura media do paraboloide z = x2 + l sobre 0quadrado 0 ::::;x ::::;, 0 ::::; ::::;2.

18. Encontre 0valor medic de j(x, y) = 1/(xy) sobre 0quadrado In 2::::; ::::; In 2, In 2 ::::; ::::;2 In 2.

Densidade Cons tan te19. Encontrando 0 c en tr o d e m as sa Encontre 0 centro de massa de

uma placa tina de densidade S = 3 limitada pelas retas x = 0, y=x e pela parabola y =2 - ~ no primeiro quadrante.

20. E nc on tr an do memen to s d e i ne rc ia e r a io s de ro tac bo Encontre osmomentos de inercia e os raios de rotacao em relacao aoseixos coordenados de uma placa retangular fina de densidadeconstante S limitada pelas retas x = 3 e y = 3 no primeiroquadrante.

21. E nc on tr an do um c en tr oid e Encontre 0 centroide da regiao noprimeiro quadrante limitada pelo eixo x , pela parabola l= 2xe pela reta x + y =4.

22. Encon tr ando um cent r6 ide Encontre 0 centroide da regiao trian-gular cortada do primeiro quadrante pela reta x + y =3.

23. Encon tr ando um cent r6 ide Encontre 0centroide da regiao semi-circular limitada pelo eixo x e pela curva y =~.

24. E nc on tr an do um c en tr 6i de A area da regiao no primeiro qua-drante limitada pela parabola y = 6x - ~ e pela reta y = x e125/6 unidades quadradas. Encontre 0centroide,

25. Encon tr ando um cent r6 ide Encontre 0centroide da regiao corta-da do primeiro quadrante pela circunferencia x2 +l=a2 .

26. Encon tr ando um cent ro ide Encontre 0 centroide da regiao entreo eixo x e 0arco y =sen x, 0 ::::;x -s 'TT.

27. E nc an tr an do moment os d e in er ci a Encontre 0momenta de iner-cia em relacao ao eixo x de uma placa tina de densidade S = 1limitada pela circunferencia ~ +l= 4. Depois use seu resul-tado para encontrar 1 y e 1 0 para a placa.

28. E nc on tra nd o um m em en to d e in er cio Encontre 0 momenta deinercia em relacao ao eixo y de uma folha tina de densidadeconstante S = 1 limitada pela curva y = (serr' x)1x2 e pelointervalo 'TT:::;X ::::; 2 'TTdo eixo x.

29. 0 c en tr o ide de uma regi ii o i n fi n i ta Encontre 0centroide da regiaointinita no segundo quadrante limitada pelos eixos coordena-dos e pela curva y =e', (Use integrais improprias nas formu-las de massa e momento.)

30. 0 p rim eir o m om en ta d e uma p la ca in fin ita Encontre 0 primeiromomenta em relacao ao eixo y de uma placa tina de densidadeSex,y) =1que cobre a regiao infinita sob a curva y =e -x2/2 noprimeiro quadrante.

Densidade Variavel31. E nc on tr an do um mom en ta d e in er cia e 0 r a io de ro toc ii o Encontre

o momenta de inercia e 0 raio de rotacao em relacao ao eixo xde uma placa tina limitada pela parabola x =y - le pela retax + y = 0 se Sex,y) = x + y.

32. E nc on tr an do a mas sa Encontre a massa de uma placa tina queocupa a regiao menor cortada da elipse x2 + 4l = 12 pela

12.2 Areas, Momentos e Centros de Massa 377

parabola x = 4l se s e x, y ) = 5 x.33. E nc on tr an do um c en tr o d e ma ss a Encontre 0centro de massa de

uma placa triangular tina limitada pelo eixo y e pelas retasy = x e y = 2 - x se Sex,y ) = 6x + 3y + 3.

34. E nc on tr an do um c en tr o d e mas sa e moment a d e i ne rc io Encontre 0centro de massa e 0momento de inercia em relacao ao eixo xde uma placa tina limitada pelas curvas x =lex = 2 y - lse a densidade no ponto (x , y ) for Sex,y ) =y + 1.

35. C en tr o d e m assa , m om en ta d e in erc io e r aio d e r ot oc ao Encon-tre 0centro de massa, 0momenta de inercia e 0 raio de rotacaoem relacao ao eixo y de uma placa fina retangular cortadado primeiro quadrante pelas retas x = 6 e y = 1 se Sex, y )=x+y+1.

'36. Centr o d e mas sa , momen ta d e i ne rc io e r a io de ro toc iu : Encontre 0centro de massa, 0momento de inercia e 0 raio de rotacao emrelacao ao eixo y de uma placa tina limitada pela reta y = 1 epela parabola y = ~ se a densidade for Sex,y) = y + 1.

37. Centr o d e mas sa , m emen to d e i ne rc ia e r a io de ro toc iu : Encontre 0centro de massa, 0momento de inercia e 0raio de rotacao emrelacao ao eixo y de uma placa tina limitada pelo eixo x, pelasretas x = 1e pela parabola y = x2 se Sex,y ) = 7 y + 1.

38. Cen tr o d e mas sa , momen ta d e in er ci a e r a io de ro toc co Encontre 0centro de massa, 0momento de inercia e 0 raio de rotacaoem relacao ao eixo x de uma placa fina retangular limitadapelas retas x = 0, x = 20, y = -1 e y = 1 se Sex, y ) = 1 +(x/20).

39. Cen tr o d e ma ss a, momen to s d e i ne rc io e ra ios de rota( :i io Encontreo centro de massa, 0momenta de inercia e os raios de rotacaoem relacao aos eixos coordenados e 0 momenta de inerciapolar e 0 raio de rotacao de uma placa tina triangular limitadapelas retas y = x, y = -x e y = 1 se Sex,y) = y + 1.

40. C en tr o d e m as sa , m om en to s d e in er cio e r aio d e r ot oc bo Repita 0Exercicio 39 para Sex,y) =3~ + 1.

T eo ria e E xemp lo s41. Popula( :i io de boc ter ios Se j(x, y) = (10.000eY)/(1 + Ixl/2)

representar a 'densidade populacional' de urn certo tipo debacteria no plano xy , onde x e y sao medidos em centfmetros,encontre a populacao total de bacterias dentro do retangulo-5 -s x::::; 5 e -2 ::::; -s O.

42. Populoci io regional Sej(x, y) = 100(y + 1) representar a densi-dade populacional de uma regiao plana na Terra, onde x e ysao medidos em milhas, encontre 0 numero de pessoas naregiao limitada pelas curvas x = le x = 2 y - y2 .

43. Pro je to de um c le tr odomes ti co Quando fazemos 0projeto de urneletrodomestico, uma das preocupacoes e que seja diffcil detombar. Quando inclinado para 0 lado, ele voltara a posicaonormal desde que seu centro de massa esteja do lado certo doapoio, 0ponto no qual 0 aparelho se equilibra. Suponha que 0perfil de urn aparelho de densidade aproximadamente constan-te seja parabolico, como urn radio antigo. Ele preenche a regiaoo : : : : ;y -s a(l - ~), -1 ::::; ::::;1,no plano xy (veja a tigura aseguir) . Quais valores de a garantirao que 0 aparelho tera queser inclinado mais que 45 graus para tombar?


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378 Capi tu lo 1 2 : I nt eg ra is Mu lt ip le s

y

44. M in im iz an do um m om en ta d e inerc io Uma placa retangular dedensidade constante 8(x, y) = 1 ocupa a regiao limitada pelasretas x =4 e y =2 no primeiro quadrante. 0momenta de iner-cia la do retangulo em relacao a reta y =a e dado pela integral

Encontre 0valor de a que minimiza la o45. Cent r6 ide de r eg iao n ii o l im it ada Encontre 0 centr6ide da regiao

intinita no plano xy limitada pelas curvas y = 1/~,y = -1 /~ e pelas retas x =0, x = 1.

46. R aio d e r ota c; ao d e um a v ar a fin a Encontre 0 raio de rotacao deuma vara tina de densidade linear constante 8 g/cm e compri-mento Lem em relacao a urn eixo:(a) Que passa pelo centro de massa da vara e e perpendicular

ao eixo desta.(b) Perpendicular ao eixo da vara em uma de suas

extremidades.47. (Continuacdo do Exercicio 34) Uma placa tina de densidade

agora constante 8 ocupa a regiao R no plano xy limitada pelascurvas x = y2 ex = 2y _ y2.(a) Dens idade constante Encontre 8 tal que a placa tenha a

mesma massa que a placa do Exercicio 34.(b) Valor medic Compare 0 valor de 8 encontrado no item (a)

com 0valor medio de 8(x, y) =y + 1 sobre R.48. T empe ra tu ra med ia n o T ex as De acordo com 0Texas Almanac, 0

Texas tern 254 condados e uma estacao do Service Nacionalde Meteorologia em cada condado. Considere que no instanteto cada uma das 254 estacoes meteorol6gicas registrou a tem-peratura local. Encontre uma f6rmula que daria uma aproxima-9ao razoavel para a temperatura media no Texas no instante to.Sua resposta deve envolver informacoes que se espera queestejam disponfveis no Texas Almanac.

T eo rem a do E ixo P araleloSeja Lc.m. uma reta no plano xy que passa pelo centro de massa deuma placa fina de massa m que cobre uma regiao no plano. SejaL uma reta no plano paralela a Lc.m. e a uma distancia de h unida-des desta. 0Teorema do Eixo Paralelo diz que, sob essas condi-90es, os momentos de inercia IL e lc.m. da placa em relacao aLeLc.m. satisfazem a equacao

li . = lc.m. + mli",Essa equacao fomece uma maneira rapida de calcular urn

momenta quando 0outro momenta e a massa sao conhecidos.49. Prova do Teorema do E ix o Para le lo

(a) Mostre que 0primeiro momento de uma placa tina e planaem relacao a qualquer reta no plano da placa que passepelo centro de massa desta e zero. (Dica: Coloque 0 cen-tro de massa na origem com a reta ao longo do eixo y. 0que a f6rmula x = My! M entao the diz?)

(b) Use 0 resultado do item (a) para deduzir 0 Teorema doEixo Paralelo. Considere que 0 plano tenha coordenadastais que a reta Lc.m. seja 0eixo y e L seja a reta x = h. De-pois expanda 0integrando da integral para IL para reescre-ver a integral como a soma de integrais cujos valores vocereconheca.

50. E nc on tr an do momen to s d e in er cio(a) Use 0 Teorema dos Eixos Paralelos e os resultados do

Exemplo 4 para encontrar os momentos de inercia daplaca no Exemplo 4 em relacao as retas vertical e horizon-tal que passam pelo centro de massa da placa.

(b) Use os resultados do item (a) para encontrar os momentosde inercia em relacao as retas x = 1 e y = 2.

F orm ula d e P ap pusPappus sabia que 0 centr6ide da uniao de duas regioes planas naosobrepostas esta no segmento de reta que une os centr6ides indivi-duais dessas regioes, Mais especificamente, suponha que ml e m2sejam as mass as das placas tinas PI e P2 que cobrem regioes naosobrepostas no plano xy. Sejam c, e C2 os vetores que vao da ori-gem aos respectivos centros de massa de PI e P2 Entao 0centro demassa da uniao PI U P2 das duas placas e determinado pelo vetor

(9 )A equacao (9) e conhecida como Formula de Pappus. Para maisdo que duas placas nao sobrepostas, desde que seu mimero sejafinito, a f6rmula e generalizada para

(10)Essa f6rmula e especialmente iitil para encontrar 0 centr6ide deuma placa de formato irregular feita de pedacos de densidade cons-tante cujos centr6ides conhecemos da geometria. Encontramos 0centr6ide de cada pedaco e aplicamos a equacao (10) para encon-trar 0centr6ide da placa.51. Deduza a f6rmula de Pappus (equacao (9. (Dica: Esboce as

placas como regioes no primeiro quadrante e identitique 0centro de massa de cada uma delas como (XI,)lI ) e (X2,)l2)'Quais sao os momentos de PI U P 2 em relacao aos eixoscoordenados ?)

52. Use a equacao (9) e inducao matematica para mostrar que aequacao (10) e verdadeira para qualquer inteiro positivo n >2.

53. Sejam A, B e Cos formatos indicados na Figura 12.24a. Use af6rmula de Pappus para encontrar 0centr6ide de


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1 2.3 In te gra is D up la s n a F orm a P ola r 379

(a) AU B(c) B U C

(b) A U C(d) A U B U C.

5432

---+ 1+---1,5 pol12

55. Urn triangulo isosceles T tern base 2a e altura h. A base encon-tra-se ao longo do diarnetro de urn disco semicircular D de raioa de tal rnaneira que os dois juntos tern urn formato parecidocom urn sorvete de casquinha. Que relacao devern ter a e hpara que 0centroide de T U D fique na fronteira cornurn de T eD? E dentro de T?

56. Urn triangulo isosceles T de altura h tern sua base em urn ladode urn quadrado Q cujas arestas tern cornprirnento s. (0 qua-drado e 0 triangulo nao se sobrepoem.) Que relacao devern terhe s para que 0centroide de T U Q fique na base do triangulo?Compare esta resposta com a resposta do Exercfcio 55.

5 4. L o ca liz an do a c en tr o d e m assa Localize 0 centro de rnassa doesquadro na Figura 12.24b.

y (pol)

(7,2)

(a) (b)FIGURA12.24 As figuras para os exercfcios 53 e 54.

Integrals Duplas na Forma PolarIntegrais em Coordenadas P olares E ncontrando Lim ites de lnteqrac ao M udando Integrais C artesianas para Integ rais P olaresAs integrais algumas vezes sao mais faceis de calcular se mudarmos para coor-denadas polares. Esta secao mostra como fazer a mudanca e como calcular inte-grais sobre regioes cujas fronteiras sao dadas por equacoes polares.

Integrais em Coordenadas PolaresQuando definimos a integral dupla de urna funcao sobre uma regiao R no planoxy, comecamos cortando R em retangulos cujos lados eram paralelos aos eixoscoordenados. Estes erarn os formatos naturais para usar porque seus lados ternvalores constantes de x ou y. Em coordenadas polares, 0 formato natural e urn'retangulo polar' cujos lados tern valores constantes de r e f J .

Suponha que uma funcao f(r, fJ ) seja definida sobre uma regiao R que elimitada pelos raios fJ = ex e fJ = { 3 e pelas curvas contfnuas r = gj(fJ) er = g2(fJ). Suponha tambem que 0 :s gj(fJ) :s g2(fJ) :s a para todo valor de fJentre exe { 3 . Entao R esta em uma regiao com formato de leque Q definida pelasdesigualdades 0 :s r:S a e ex:s fJ :s { 3 . Veja a Figura 12.25.

oFIGURA12.25 A regiao R: gj(fJ) :s r zs : g2(fJ), ex:S fJ:s { 3 , esta contida na regiaoem formato de leque Q: 0 :s r :s a, ex:s fJ :s { 3 . A divisao de Q por arcos circu-lares e raios induz uma divisao de R.


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380 Capi tu lo 1 2: I nt eg ra is Mu lt ip la s

FIGURA12.26 A observacao de queM = ( area do ) _ ( area do )

k setor maior setor menornos leva a f6rmula Mk = rkar ao. 0texto explica por que.

Cobrimos Q com uma grade de arcos circulares e raios. Os arcos sao corta-dos de circunferencias centradas na origem, com raios ar, 2ar, ... , mar, ondear = aim. Os raios sao dados por0= a, 0= a + ao, o = a + m' aO = (3,= a + 2aO,

onde a0 = (3 - a)1m'. Os arcos e os raios di videm Q em pequenos pedacoschamados de 'retangulos polares' .Numeramos os retangulos polares que estao dentro de R (a ordem naoimporta), chamando suas areas de MI, M2, , Mn-Seja (rb Ok)0 centro do retangulo polar cuja area e Mk. Por 'centro' quere-mos. dizer 0 ponto que esta na metade do caminho entre os arcos circularessobre 0raio que e bissetriz deles. Entao formamos a soma

(1 )

Se f for continua em R, essa soma aproximara urn limite quando refinarmos agrade para fazer ar e ao tenderem a zero. 0 limite e chamado de integral dupladefsobre R. Em sfmbolos,

lim s, = I I f ( r , 0) dA.n-- '>OO R

Para ca1cularmos esse limite, primeiro temos que escrever a soma S; de umamaneira que expresse LlAk em termos de ar e ao. 0 raio do arco interno quelimita LlAk e rk - (arI2) (Figura 12.26). 0 raio do arco externo e rk+ (arl2). Asareas dos setores circulares subtendidos por esses arcos na origem sao

Raio interno: 1 ( a ) 2r - _ _ ! _ ao2 k 2Raio externo:

Portanto,aAk = area da se9ao maior - area da secao menor

Combinando esse resultado com a equacao (1), temosns, =Lf(rk> 0k)rkar so.

k=1Uma versao do Teorema de Fubini agora diz que 0 limite aproximado por essassomas pode ser ca1culado por repetidas integracoes simples em relacao are 0quando

I I f8=f3fr=g2(8)fer, 0) dA = f(r, O)rd r dO.R 8=" r=g,(8) (2 )Encontrando Limites de Integracaoo procedimento para encontrar limites de integracao em coordenadas cartesia-nas tambem funciona para coordenadas polares.


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Como Integrar em Coordenadas PolaresPara calcular IIR f(r, 8) dA sobre uma regiao R em coordenadas polares, integrando primeiro em relacao are depois emrelacao a 8, siga os passos indicados.

Passo 1: Um esboco. Esboce a regiaoe identifique as curvas limitantes.

y

Passe 2: Os limites de integraciio der. Imagine urn raio L a partir da ori-gem cortando R no sentido de r cres-cente. Marque os valores de ronde Lentra e sai de R. Estes sao os limitesde integracao de r. Eles geralmentedependem do iingulo 8 que L formacom 0eixo x positivo.

Passe 3: Os limites de integracdo deS. Encontre 0menor e 0maior valorde 8 que limitam R. Estes sao os limi-tes de integracao de 8.

y

y

rsen/l = y-

--+-------------~xo

A integral e J J f(r, 0) dA = f8=1T'2 r=2 f(r, O)r dr s e .R 8=1T14 r=V2cosec8

Exemplo 1 Encontrando Limites de lnteqracaoEncontre os limites de integracao para integrar f(r, 0) sobre a regiao R queesta dentro da cardi6ide r = I + cos 0 e fora da circunferencia r = 1.Solucao

yPasso 1: Um esboco. Esbocamos a regiao e identificamos as curvas limitan-tes (Figura 12.27).

r=l+cos/l Passo 2: Os limites de integraciio de r. Urn raio tfpico a partir da origementra em Ronde r = 1 e sai onde r = 1 + cos O .x

Passo 3: Os limites de integraciio de S. Os raios a partir da origem que apre-sentam interseccao com R variam de 0 = - tr! 2 a 0 = wi 2. A integral e

J 1T12 J 1+coss-1T12 1 f(r, 0) r dr dO./I = _1r2 Entraem

r =1Saiemr=l+cos/l

Se f(r, 0) e a funcao constante cujo valor e 1, entao a integral def sobre R eFIGURA 12.27 0 esboco para 0 Exemplo 1. a area de R.


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y Saiemr =v' 4 cos 29

t----+xEntraemr=O 4

FIGURA 12.28 Para integrarmos sobre aregiao sombreada, variamos r de 0 aV4 cos 2fJ e fJde 0 a 7f/4 (Exemplo 2).

y

L---+x

FIGURA 12.29 Em coordenadas polares,esta regiao e descrita pelas desigualdadessimples:

e 0:::; fJ:::; 7f/2(Exemplo 3).

Area em Coordenadas PolaresA area de uma regiao R fechada e limitada no plano de coordenadaspolares e

A = f f r dr dfJ .R

(3 )

Como seria de esperar, essa formula para a area e condizente com todas asformulas anteriores, embora nao provemos esse fato.

Exemplo 2 Encontrando a Area em Coordenadas PolaresEncontre a area dentro da lemniscata r2 = 4 cos 2 f J .Solucao Tracamos 0 grafico da lemniscata para determinar os limites deintegracao (Figura 12.28) e vemos que a area total e quatro vezes a area daporcao no primeiro quadrante.

f7 r/4 fV 4cOS29 f7 r/4 [ r 2 ] r = V 4 c o s 2 9A = 4 r dr dfJ = 4 - dfJo 0 0 2 r= O

= 4 f7r/4 2 cos 2fJ df J = 4 sen 2fJJ7r /4=4.o 0

Mudando Integrals Cartesianas para Integrais Polareso procedimento para mudar uma integral cartesiana f f R f(x, y) dx dy para umaintegral polar e composto de dois passos.P asso 1 : Substitua x = r cos fJe y = r sen fJe troque d .x dy por r dr dfJ na inte-gral cartesiana.P as so 2 : Estabeleca os limites polares de integracao para a fronteira de R.

A integral cartesiana entao se tornaf f f(x, y) dx dy = f f f( r cos fJ, r sen fJ )r d r d e, (4 )R G

onde G denota a regiao de integracao em coordenadas polares. Isso e igual aometoda da substituicao no Capitulo 4, Volume 1, exceto pelo fato de que agoratemos duas variaveis para substituir em vez de uma. Observe que dx dy nao esubstitufda por dr dfJ ,mas por r dr dfJ .

Exemplo 3 Mudando Integrais Cartesianas para PolaresEncontre 0momenta polar de inercia em relacao a origem de uma placa tinade densidade 8(x, y) = 1 limitada pelo quarto de circunferencia x2 +l= 1no primeiro quadrante.Solucao Esbocamos a placa para determinar os limites de integracao(Figura 12.29).


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y

FIGURA 12.30 A regiao semicircular doExemplo 4 e a regiao

o :5 r:5 1, o :5 0:5 tr,


Em coordenadas cartesianas, 0momenta polar e 0 valor da integral

J 1 J ~ (x 2 + y2) dy dx.o 0Integrando em relacao a y, temos

J 1 ( (1 - X2)3/2)X2~+ 3 dx ;ouma integral dificil de calcular sem tabelas.

As coisas melhoram se mudamos a integral original para coordenadaspolares. Substituindo x = r cos 0, y = r sen 0 e trocando dx dy por r dr 0,obtemos

f7 T /2 [r4J'=1 f7 T/2 1 tt= - dO = - dO =-.o 4 ,=0 0 4 8

Por que a transformacao em coordenadas polares e tao eficaz aqui? Urnmotivo e que x2 +le simplificada para r2 . Outro motivo e que os limitesde integracao tomam-se constantes.

Exemplo 4 Calc ula nd o In te gra is U sa nd o Coo rd en ad as Pola re sCalcule

f f ex '+y2 dy dx.,Ronde Rea regrao semicircular limitada pelo eixo x e pela curvay = ~ (Figura 12.30).Solucao Em coordenadas cartesianas, a integral em questao e uma inte-gral nao elementar e nao existe nenhuma maneira direta de integrar ex '+lem relacao a x ou y. Ainda assim, essa integral e outras integrais como essasao importantes em matematica - em estatistica, por exemplo - e quere-mos encontrar uma maneira de calcula-la. As coordenadas polares servempara isso. A substituicao de x = r cos 0, y = r sen 0 e a troca de dy dx porr dr dO nos permitem calcular a integral como

o rem r d r dO era justamente 0que precisavamos para integrar , Sem isso,estarfamos impedidos de prosseguir, como no comeco.


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384 Capi tu lo 1 2 : I nt eg ra is Mu lt lp la s

,EXERC IC IO S 12.3Ca lc ula nd o In te gra is P o la re sNos exercicios 1-16, mude a integral cartesiana para uma integralpolar equivalente. Entao calcule a integral polar.

fl f\li"=?2. dydx-I -\Ii"=?1. f If\li"=? dy dx-) 0

f f Y H. o 0 (x2 + y2) dx dyf f Y H. -I - Y H (x2 + y2) dy dxffYaq. -a _Yaqdydx

rfYR

6. o 0 (x2 + y2) dx dy7. ft xdxdy 8. f02fox y dy dx9. rr 2 dydx-I -\Ii"=? 1+ Yx2 + y210. fl fO 4Yx2 + y22 2 dx dy

-I - Y H 1+ X + YfIn2 f Y(lD2)2_y211. e V X ' + Y ' dx dyo 0f f \ l i " = ?2. o 0 e-(x2 + y') dy dx

13. f 2f YI-(X-I)2 X + Y---dydxo 0 x2 + y2rr14. xy+dx dyo -YI-(Y_l)2

f f Y H5. -I _YHln(x2+y2+1)dxdy16. f f\li"=? 2 dydx-I -\Ii"=? (1+ x2 + y2)2E nco ntra nd o a A rea em C oo rd en ad as P ola res17. Encontre a area da regiao cortada do primeiro quadrante pela

curva r =2(2 - sen 28)112 .18. Cardi 6i de sobr epando -s e a uma c ir c un te ren ci o Encontre a area da

regiao que esta dentro da cardi6ide r = 1 + cos 8 e fora da cir-cunferencia r = 1.

19. Uma p eto k: d e uma r osa ce a Encontre a area dentro de uma peta-la da rosacea r = 12 cos 38.

20. Conc ha d e c ar ac ol Encontre a area da regiao lirnitada pelo eixoX positivo e pela espiral r = 48/3, 0 :s 8 :s 27T.A regiao separece com uma concha de caracol.

21. Cardi6 ideno pr imeiro quadran te Encontre a area da regiao corta-da do primeiro quadrante pela cardi6ide r = 1 + sen 8.

22. Cardi6ides sobrepostas Encontre a area da regiao comum aosinteriores das cardi6ides r = 1 + cos 8 e r = 1 - cos 8.

Ma ss as e Mom en to s23. P rim eir om omen ta d e uma p la ca Encontre 0 primeiro momenta

em relacao ao eixo x de uma placa tina de densidade constante8(x, y) = 3, limitada abaixo pelo eixo x e acima pela cardi6ider = 1 - cos 8.

24. Momen tos po la r e d e in er cio d e um d isc o Encontre 0momenta deinercia em relacao ao eixo x e 0momenta polar de mercia emrelacao a origem de urn disco tino lirnitado pela circunferenciax2 + y2 = a2 se a densidade do disco em urn ponto (x, y) for8(x, y) =k(x2 + l), sendo kuma constante.

25. Massa d e um a pla ca Encontre a massa de uma placa tina quecobre a regiao extema a circunferencia r =3 e intema da cir-cunferencia r = 6 sen 8 se a funcao densidade da placa for8(x, y) = lIr.

26. Momen to po la r de uma card i6 ide sob repondo -s e a uma c ir c un tc r en ti oEncontre 0momenta polar de inercia em relacao a origem deuma placa tina que cobre a regiao que esta dentro da cardi6ider = 1 - cos 8 e fora da circunferencia r = 1 se a funcao densi-dade da placa for 8(x, y) = lIr2.

27. Cent r6 id e d e uma c ar di 6i de Encontre 0 centr6ide da regiao den-tro da cardi6ide r = 1 + cos 8.

28. Momen to po la rde uma card i6 ideEncontre 0momento polar de iner-cia em relacao a origem de uma placa tina limitada pela cardi6ider =1 + cos 8 se a funcao densidade da placa for 8(x, y) = 1 .

V alo re s Me dio s29. A ltura m ed ia d e um hem isferio Encontre a altura media dohemisferio z =Ya 2 - x2 - Y 2 acima do discor+l:s a2 no

planoxy.30. A ltura m ed ia d e um co ne Encontre a altura media do cone sim-

ples z =Yx2 + y2 acima do disco x2 +l:s a2no plano xy.31. D is ti mc ia med ia d o i nte ri or d o d is co 00 centro Encontre a distan-

cia media de urn ponto P(x, y) no disco x2 +l:s a2 a origem.32. D ls tiin cio m ed ia q uo dn itic o d e um p on to em um disco a um ponto

em sua f ron tei ra Encontre 0 valor medic do quadrado da dis-tancia do ponto P(x, y) no disco x2 +l:s 1 ao ponto de fron-teira A(l, 0).


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Teo ria e Exem plo s3 3. C o nv er te nd o umv in te gr al c or te sia na em polar Integre f(x, y)

[In (x 2 + l)]l x2 + y2 sobre a regiao 1 ::::;r+ l ::::;.3 4. C o nv er te nd o uma in te gr al c ar te sia n a em polar Integre f(x, y) =

[In (x 2 + y2))/(x2 + y2 ) sobre a regiao 1 ::::;2 + y2 -s e2 .3 5. V olu me d e u m c ilin dr a r eto n ao c ir cu la r A regiao dentro da car-

di6ide r = 1 + cos B e fora da circunferencia r = 1 e a base deurn cilindro s6lido reto. 0 topo do cilindro esta no plano z =x.Encontre 0volume do cilindro.

3 6. V olu me d e um c ilin dr o r eto n iio c ir cu la r A regiao limitada pelalemniscata r2 = 2 cos 2B e a base de urn cilindro reto s6lidocujo topo e limitado pela esfera z =~. Encontre 0volume do cilindro.

3 7 . C on ve rt en d o i nt eg r ai s c a rt es ia n as em polares(a) A maneira usual de calcular a integral impr6pria If~e -x'dx e primeiro calcular seu quadrado:

Calcule essa integral usando coordenadas polares e resol-va a equacao resultante para encontrar I.

(b) Calcule

J x 2 -flim erf(x) = lim ,e;dt.X~OO X~OO 0 V'1T3 8. C on ve rt en d o uma i nt eg r al c a rt es ia n a em polar Calcule a integral

J O O J O O 1---=------::-:- dx dy.o 0 (1 + x2 + y2)23 9. E sc re ve nd o p ar a a pr en de r Integre a funcao f(x, y) = 1/(1 - x2

- y2 ) sobre 0disco x2 +l-s 3/4. A integral def(x, y) sobre 0disco x2 + y 2 : :: :;1 existe? Justifique sua resposta.

4 0. F 6r mu la d a 6 re a em coordenadas polares Use a integral dupla emcoordenadas polares para deduzir a f6rmula

para a area da regiao em formato de leque entre a origem e acurva polar r =f(B), a ::::;B : :: :; { 3 .


4 1. D istiin cia m ed ia para um d ado po nto d en tro d e um d isc o Seja Pourn ponto dentro de urn cfrculo de raio a e seja h a distancia dePo ao centro do cfrculo, Seja d a distancia de urn ponto arbitra-rio P ate P o. Encontre 0valor medic de d2 sobre a regiao limi-tada pelo cfrculo, (Dica: Simplifique seu trabalho colocando 0centro do circulo na origem e Po sobre 0eixo x. )

42. Area Suponha que a area de uma regiao no plano de coordena-das polares seja

J31T14J2seneA = r dr dii,7T/4 cosec (J

Esboce a regiao e encontre sua area.

USANDO 0 COMPUTADOR

Mudanca de Co ordenadasNos exercfcios 43-46, use urn SAC para mudar as integrais carte-sianas para uma integral polar equivalente e calcule a integralpolar. Siga os passos indicados em cada exercfcio.

(a) Represente graficamente a regiao cartesiana de integracaono planoxy.

(b) Troque cada curva-limite da regiao cartesiana no item (a)por sua representacao polar resolvendo sua equacao carte-siana para r e B .

(c) Usando os resultados do item (b), represente graficamentea regiao polar de integracao no plano rB .

(d) Mude 0 integrando de coordenadas cartesianas para pola-res. Determine os limites de integracao a partir de seu gra-fico no item (c) e calcule a integral polar usando a ferra-menta de integracao do SAC.

f ' J ' Y3. -2--2 dy dxo x x + Y f ' f X 1 2 X44. -2--2 dy dxo 0 x + YJ ' J YI3 Y45. dxdyo -y13 Y x 2 + y2 J ' f 2 - Y46. Vx+Y dx dyo y


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Integrals Triplas em Coordenadas CartesianasIn tegra is Trip las Propriedades de Integra is Triplas Volume deuma Reqiao no Espaco Encontrando Lim ites de lnteqracao V alor M edia de um a Funcao no E spacoUsamos integrais triplas para encontrar 0volume de formas tridimensionais, amassa e os momentos de s6lidos e 0 valor medio de funcoes de tres variaveis.No Capitulo 13, veremos tambem como essas integrais surgem nos estudos decampos vetoriais e escoamento de fluidos.

Integrals TriplasSe F(x, y, z) for uma funcao definida em uma regiao D fechada e limitada noespaco - a regiao ocupada por uma bola s6lida, por exemplo, ou uma pelota deargila -, entao a integral de F sobre Dpodera ser definida da maneira indicada aseguir. Particionamos uma regiao paralelepipedal que contem Dem pequenosparalelepfpedos, cortando-a por pIanos paralelos aos pIanos coordenados (Figura12.13). Numeramos os pequenos paralelepfpedos que estao dentro de D de 1 aten em alguma ordem, urn paralelepfpedo tfpico tendo dimensoes Llxk por 6.Yk por6.z k e volume 6.Vk. Escolhemos urn ponto (Xk' Yk' Zk) em cada urn deles e forma-mos a soma

ns, = ~ F(Xb Yk, Zk ) 6.~.k~1 (1 )

FIGURA 12.31 Particionando urn s6lido em pequenos paralelepipedos de volu-me 6.Vk.Se F e continua e a fronteira de D e formada por superficies lisas ligadas aolongo de curvas continuas, entao, 11medida que L lxk' 6.Y k e 6.z k se aproximam dezero independentemente, as somas S; se aproximam de urn limite

!~~, = J J J F(x, Y,z) dV.D

(2 )

Chamamos esse limite de integral tripla de F sobre D. 0 limite tambem existepara algumas funcoes descontinuas.

Propriedades de Integrais TriplasAs integrais triplas tern as mesmas propriedades algebricas que as integraisduplas e simples.


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CompanionWebsiteBiografla Historica

Max Planck(1858 - 1947)

12 .4 Inte grais D uplas na F orm a P olar 387

Propriedades de Integrais TriplasSe F =F(x, y, z) e G =G(x,y, z) forem contfnuas, entao

1. Multiplicaciio por Constante:

I I I kF dV = k I I I F dV (para todo mimero k)D D2. Soma e Diferenca: I I I (F G) dV = I I I F dV I I I GdV

D D D

3. Dominaciio:

(a) I I I F dV:::::0 se F ::::: sobre DD

(b) I I I F dV:::::I I I G dV se F :::::G sobre DD D

4. Aditividade:

I I I FdV= I I I FdV+ I I I FdV+ ... + I I I FdVD ~ ~ ~

se D for a uniao de urn nnmero finito de regioes nao sobrepostas.

Volume de uma Regiao no EspacoSe F e a funcao constante cujo valor e 1, entao as somas na equacao (1) se redu-zema

s, = L F(Xb Yk' Zk) . : : H " , = L l : A v . , = L A v . , .A medida que Ax , Aye Az se aproximam de 0, os paralelepipedos de volumeAVk tomam-se menores e mais numerosos e preenchem D cada vez mais. Por-tanto definimos 0volume de D como a integral tripla

lim i A v . , = I I I dV.n~OO k=l D

Como veremos a seguir, essa integral nos permite calcular 0 volume des6lidos limitados por superficies curvas.


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Encontrando Limites de IntegracaoCa1culamos uma integral tripla aplicando uma versao tridimensional do Teo-rema de Fubini (Secao 12.1) para ca1cular tres integrais simples iteradas. Assimcomo ocorre com integrais duplas, existe urn procedimento geometrico paraencontrar os limites de integracao para essas integrais simples.

Como Encontrar Limites de Integracao em Integrals TriplasPara ca1cular f f f F(x, y, z) dV

D

sobre uma regiao D, integrando primeiro em relacao a z,depois em relacao aye por fim em relacao a x, siga os passos indicados.Passo 1: Um esboco. Esboce a regiaoD junto com sua projecao vertical Rsobre 0plano xy. Identifique as superfi-cies limitantes superior e inferior de De as curvas de fronteira superior e infe-rior de R.

Passo 2: Os limites de integraciio de z.Desenhe uma reta M passando por umponto tipico (x, y) em R que e paralelaao eixo z. A medida que z cresce, Mentra em D em z =f1(x, y) e sai em z =h(X, y) . Estes sao os limites de integra-9ao de z.

R

Passo 3: Os limites de integraciio de y .Desenhe uma reta L pas sando por (x, y)que e paralela ao eixo y. A medida quey cresce, L entra em Rem y = gt(x) esai em y = glx). Estes sao os limitesde integracao de y.

D

Entraem ~; ______y =gt (x) a __ :.... y--- .. .y-~~?(___~\\\Lx R Saiem

y =g2(x)

Passo 4: Os limites de integraciio de x. Escolha limites de x que incluam todas as retas passando por R que sao paralelas aoeixo y (x =a ex =b na figura anterior). Estes sao os limites de integracao de x. A integral e

JX=b fy=g2(X) JZ=f2(X,Y) F(x, y, z) d: dy dx.x=a y-g,(x) z=f.ix, y)

Siga procedimentos similares se voce. trocar a ordem de integracao. A projecao da regiao D esta no plano das duas tiltimasvariaveis em relacao as quais a integracao iterada e realizada.


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12.4 Integrais Duplas na Forma Polar 389

Exemplo 1 Encontrando um VolumeEncontre 0 volume da regiao D lirnitada pelas superficies z = x ? + 3/ ez = 8 - x ? -i.Solucao 0 volume e

V= III dz dy dx ;Da integral de F(x, y, z) = 1sobre D. Para encontrarmos os limites de integra-c;:aopara calcular a integral, seguimos estes passos:Passo t: Um esboco. As superficies (Figura 12.32) apresentam interseccaono cilindro elfptico x ? + 3/ = 8 - x ? - y 2 ou x ? + 2/ = 4. A fronteira daregiao R (a projecao de D sobre 0 plano xy) e uma elipse com a mesma equa-c;:ao:x ? + 2/ = 4.A fronteira superior de Rea curva y = Y(4- x2)/2. Afronteira inferior e a curvay = -Y(4 - x2)/2.

x

Saiemz =8 - x2 _ y2

A curva de interseccaoe x2 + 2y2=4.(-2,0,4)

Entra emz =x2 + 3y 2Entraem ~y =_Y(4-x2)12

(2,0,0)

Saiemy =Y(4-x2)12 L y

FIGURA 12.32 0 volume da regiao limitada por estes dois paraboloides ecalculada no Exemplo 1.

Passo 2: Os limites de integraciio de z. Areta M que passa por urn pontotfpico (x , y) em R que e paralela ao eixo z entra em D em z = x ? + 3/ e saiem z = 8 - x ? -i.Passo 3: Os limites de integraciio de y. Areta L que passa por (x, y) que eparalela ao eixo y entra em R em y = -Y(4 - x2)/ 2 e sai emy = Y(4- x2)/2.Passo 4: Os limites de integracdo de x. Quando L varre R, 0valor de x variade x = -2 em (-2,0,0) a x = 2 em (2, 0, 0). 0 volume de D e


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390 Capitulo 12: Integrais Multiples

z

(1, 1,0)

xFIGURA 12.33 0tetraedro no Exemplo 2.

v = f f f dz dy dxD

f2 fV(4-x ')/2 fS-x '-y'= dz.dy dx-2 -V(4-x')/2 x'+3y'

f2 fV (4 -x ')/2

= (8 - 2x2 - 4y2) dy dx- 2 - V( 4- x') /2

f2 [ 4 ]Y=V(4-X')/2= (8 - 2X2)y - - y3 dx-2 3 y=-V(4-x')/2

= f~2(2(8-2X2)H-~(4~X2Y'2)dX= f~ J 8(4 ~ xiy/2 - ~ (4 ~ X2Y'2] dx = 4r f~ 2 (4- X2?/2 dx= 87TV2 unidades ciibicas. Depois de integrar com a substituicao x =2 sen u.

No pr6ximo exemplo, projetamos D no plano xz, em vez de no plano xy, assimvoce pode ver como usar uma ordem diferente de integracao.

Exem plo 2 Encontrando os Lim ites de ln teqracao na O rdem dy dz dxDetermine os limites de integracao para ca1cular a integral tripla de uma fun-~ao F(x, y, z ) sobre 0 tetraedro D com vertices (0,0,0), (1, 1, 0), (0, 1,0) e(0, 1, 1).SolU' ;aoPasso 1: Um esboco. Esbocamos D junto com sua projecao R no plano xz(Figura 12.33). A superffcie limitante superior a direita de D esta no planoy = 1. A superffcie limitante inferior a esquerda esta no plano y = x + z. Afronteira superior de Rea reta z = 1 - x. A fronteira inferior e a reta z = O.Passo 2: Os limites de integraciio de y. A reta que passa por um ponto tfpico(x , z) em R que e paralela ao eixo y entra em D em y = x + z e sai em y = 1.Passo 3: Os limites de integraciio de z. Areta L que passa por (x, z) que eparalela ao eixo z entra em R em z = 0 e sai em z = 1 - x .Passo 4: Os limites de integraciio de x. A medida que L varre R, 0valor de xvaria de x = 0 a x = 1. A integral e

J I J I - X f l F(x, y, z) dy d: dx .o 0 x+ zExemplo 3 Revendo 0 E xem plo 2 U sa ndo a O rdem dz dy dxPara integrarmos F(x, y, z) sobre 0 tetraedro D na ordem d; dy dx, seguimosos passos 2 a 4 desta maneira:Passo 2: Os limites de integracdo de z. Uma reta paralela ao eixo z que passapor um ponto tfpico (x, y) na projecao no plano xy entra no tetraedro emz = 0 e sai pelo plano superior onde z = y - x (Figura 12.33).


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z

xFIGURA12.34 0 Exemplo 4 apresentaseis integrais triplas iteradas diferentespara 0volume deste prisma.


Passo 3: Os limites de integraciio de y. Uma reta que passa por (x, y) que eparalela ao eixo y entra na projecao no plano x y em y =x e sai em y = 1.Passo 4: Os limites de integraciio de x. A medida que a reta paralela ao eixoy no passo 3 varre a projecao, 0valor de x varia de x = 0 a x = 1 no ponto(1, 1,0). A integral e

f l f l f Y - X F(x, y, z) d: dy dx.o x 0

Por exemplo, se F(x, y, z) = 1, encontrariamos 0volume do tetraedro comosendo

f l f l f Y - XV = 0 x 0 d: dy dx=ff (y - x) dy dx= f I[ 1 y2 - x y ] Y ~ 1 dxo 2 Y ~ X=f (~x + ~X2) dx= [1 - 1x2 +13] I2 2 6 0

=~de uma unidade ciibica.Voce obtera 0mesmo resuItado integrando

f l f l - X f lV= dy dz.dxo 0 x+ z

do Exemplo 2. Tente e veja!

Como sabemos, algumas vezes (mas nem sempre) existem duas ordensdiferentes nas quais integracoes simples para calcular uma integral duplapodem ser trabalhadas. Para integrais triplas, podem existir ate seis ordens.

Exemplo 4 U sando O rde ns D if ere nte s de lnteqracao

yCada uma das integrais a seguir fomece 0 volume do solido mostrado naFigura 12.34.

fl f 2 f l - Y

(e) 0 0 0 dz dx dy f2 f l f l - Y

(I) 0 0 0 d: dy dx


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392 Capi tu lo 1 2 : I nt eg ra is Mu lt ip la s

z

2/xy

FIGURA 12.35 A regiao de integracao noExemplo 5.

Vamos ca1cular as integrais nas partes (b) e (c):v = Io' { ' - Y I02 dx d: dy Integral na parte (b)

f ' f ' - Y= 0 0 2 d: dy={' [2z]~:~-Y dy

={' 2(1 - y) dy= I unidade ciibica.

Etambem

={' { 2 (l - z) dx dzf l [ ] X = 2= 0 X - zx x= o dz

={' (2 - 2z) d:= 1 unidade ciibica.

Valor Medio de uma Puncao no Espacoo valor medic de uma funcao F sobre uma regiao D no espaco e definido pelaf6rmula

Valor medio de F sobre D = volu~e de D I I I F dV. (4)D

Por exemplo, se F(x, y, z) =Vx2 + y2 + Z2, entao 0valor medio de F sobre De a distancia media dos pontos de D a origem. Se F(x, y, z ) e a densidade de urns6lido que ocupa uma regiao D no espaco, entao 0 valor medic de F sobre D e adensidade media do s6lido em unidades de massa por unidades de volume.

Exemplo 5 Encontrando um Valor MedicEncontre 0 valor medic de Fix, y, z) = xyz sobre 0 cubo limitado pelos pla-nos coordenados e pelos pIanos x = 2, y = 2 e z = 2 no primeiro octante.Solucao Esbocamos 0cubo com detalhes suficientes para mostrar os limi-tes de integracao (Figura 12.35). Depois usamos a equacao (4) para ca1cularo valor medic de F sobre 0 cubo.o volume do cubo e (2)(2)(2) = 8. 0 valor da integral de F sobre 0cuba e

f2f2f2 f2f2 [ 2 J X = 2 f2f2xyz dx dy dz = ~ yz dy d; = 2yz dy dzo 0 0 0 0 x= o 0 0


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f 2 [ J Y = 2 f 2 [ J 2y2z dz = 4z d: = 2z2 = 8.o y= O 0 0Com esses valores, a equacao (4) da

Valor medic de = 1 III z dV = ( 1 ) (8) = 1xy z sobre 0 cubo volume xy 8 .cubo

Ao calcularmos a integral, escolhemos a ordem dx dy dz; mas qualquer umadas outras cinco ordens tambem funcionaria.

EXERCicIOS 1 2.4Calculando Integrais Triplas em lteracoesDiferentes1. Calcule a integral no Exemplo 2 fazendo F(x, y, z) = 1 para

encontrar 0volume do tetraedro.2. Volume de um solido retongular Escreva seis integrais triplas ite-

radas diferentes para 0volume do solido retangular no primei-ro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planosx = 1, y = 2 e z = 3. Calcule uma das integrais.

3. Volume de um tetraedro Escreva seis integrais triplas iteradasdiferentes para 0 volume do. tetraedro cortado do primeirooctante pelo plano 6x + 3y + 2z = 6 .. Calcule uma dasintegrais.

4. Volume de um solido Escreva seis integrais triplas iteradas dife-rentes para 0 volume da regiao no primeiro octante limitadapelo cilindro x' + Z2 = 4 e pelo plano y = 3. Calcule uma dasintegrais.

5. Volume limitado par pcrcbolotoes Seja D a regiao limitada pelosparaboloides z = 8 - x 2 - le z = :r ? +l.screva seis inte-grais triplas iteradas diferentes para 0 volume de D. Calculeuma das integrais.

6. Volume dentro de um porobotoide abaixo de um plano Seja D aregiao limitada pelo paraboloide z = x 2 + le pelo planoz =2y. Escreva integrais triplas iteradas nas ordens d; dx dyed: dy dx que dao 0volume de D. Nao calcule as integrais.

Calculando Integrais Triplas IteradasCalcule as integrais nos exercicios 7-20.7. J O I { I J o l (x2 + y2 + z2)dzdydx

f V z f 3 Y J 8 - X 2 _ l8. dz.dx dyo 0 x'+3/ J e J e J e 19. I I Ixyz dx dy dz11. rrr y sen z dx dy dzo 0 0

12. f J ~ J ~ ,x + y + z)dydxdz

13. rI v 9 = X ' I v9=X ' dz dy dxo 0 0 I 2 J V 4 = Y ' I2x+ Y14. dzdx dyo - V 4 = Y ' 0f I f 1-x'j4-X2-y16. 0 0 3 x dz.dy dx17. f " f " f " cos (u + v + w) du dv dw (espaco uvw)o 0 018. J e r J e In r In sin t dt dr ds (espaco rst)

I I I

20. I 7I 2I v ' 4 = q > _ _ ! L _ l dpdqdr (espaco pcr)o 0 0 r +Volumes Usando Integrais Triplas21. Temos aqui a regiao de integracao da integralI' f ' - Y d: dy dx.-I x' 0

z

Lado:y =x2-.

Topo:y + z =1~

yx (1, 1,0)

Reescreva a integral como uma integral i terada equivalente naordem(a) dy dz dx(c) dx dy d;(e) dz dx dy .

22. Temos aqui a regiao de integracao da integral

(b) dy dx dz(d) dx d; dy


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394 Cap it ul o 12 : I nt eg ra is Mu lt ip les

f i f O f y 2. d z .dy dx,o -I 0(0, -1, 1) z

y

xReescreva a integral como uma integral iterada equivalente naordem(a) dy dz dx(c) dx dy dz(e) dz dx dy .

(b) dy dx dz(d) dx dz dy

Encontre 0volume das regioes nos exercicios 23-36.23. A regiao entre 0 cilindro z =ie 0 plano xy que ISlimitada

pelosplanosx =O,x = l,y = -l,y = 1.z

yx

24. A regiao no primeiro octante limitada pelos pIanos coordena-dos e pelos pIanos x + z=1, y + 2z=2.z

xy

25. A regiao no prim

capitulo 12 - integrais multiplas

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