capitulo 2-1 - elementos de hidrología probabilística [modo de compatibilidad]

ELEMENTOS DE HIDROLOGIA PROBABILISTICAELEMENTOS DE HIDROLOGIA PROBABILISTICADISEO HIDROLGICODISEO HIDROLGICODISEO HIDROLGICODISEO HIDROLGICODISEO HIDROLOGICO

CAPITULO IICAPITULO II

ELEMENTOS DE HIDROLOGIA PROBABILISTICAELEMENTOS DE HIDROLOGIA PROBABILISTICA

Captulo II Profesor. Luis E. Estell A. 1

ELEMENTOS DE HIDROLOGIA PROBABILISTICAELEMENTOS DE HIDROLOGIA PROBABILISTICADISEO HIDROLGICODISEO HIDROLGICODISEO HIDROLGICODISEO HIDROLGICO

Caractersticas de los Fenmenos Hidrolgicos:Caractersticas de los Fenmenos Hidrolgicos: Constante evolucin, tanto en el espacio como en el

tiempo.mp

Su comportamiento en trminos fsico-matemtico esslo parcialmente predecible en forma determinstica.Quedando una parte del fenmeno entregado a las leyesQuedando una parte del fenmeno entregado a las leyesdel azar.

Un fenmeno de la naturaleza descrita se conoce como"proceso estocstico" y para su entendimiento debemanejarse con profundidad conceptos y mtodos deprobabilidad y estadstica.



Obtencin de datos hidrolgicos: Se obtienen, normalmente, de estaciones , ,

hidromtricas y/o meteorolgicas.

Se suele controlar: la temperatura, la insolacin, etc.

Para fines hidrolgicos: la precipitacin. En estaciones de aforo, el caudal.

Las mediciones pueden ser continuas o a intervalos, regulares o no, de tiempo.



En Chile las estaciones hidromtricas y/o meteorolgicas, enEn Chile las estaciones hidromtricas y/o meteorolgicas, engeneral, estn controladas por organismos estatales, entre losque se cuentan la

Direccin Meteorolgica de Chile

Direccin General de Aguas del Ministerio deObras Pblicas.

Sin embargo, en muchos casos, la informacin puede encontraseen organismos privados como empresas generadoras de energaen organismos privados como empresas generadoras de energaelctrica, compaas mineras, etc.



De acuerdo a la Organizacin Meteorolgica Mundial (OMM), las estaciones hidrometeorolgicas se clasifican como sigue:

Estaciones Meteorolgicas de primer orden: Son las que cuentan con todos los tipos de instrumental: Termmetro, psicrmetro, higrmetro, evapormetro,

t h li f ti f l t l i t l i f t E tanemmetro, heligrafo, actingrafo, veletas, pluvimetro, pluvigrafo, etc. Estos instrumentos son leidos tres veces al da.

Estaciones Meteorolgicas de segundo orden: Son las que cuentan con losEstaciones Meteorolgicas de segundo orden: Son las que cuentan con los siguientes tipos de instrumental: Termmetro, psicrmetro, higrmetro, evapormetro, anemmetro, pluvimetro. En este tipo de estaciones se efecta al menos una lectura diariamenos una lectura diaria.

Estaciones Auxiliares: Son las que se leen cuando se produce un fenmeno de inters.

Estaciones para Fines Especiales: Son las estaciones a las que se le agrega algn instrumento para un fin especfico (Ej. Contaminacin).

E t i A t ti S l it b dCaptulo II Profesor. Luis E. Estell A. 5

Estaciones Automticas: Son las que no necesitan observadores.


Los datos hidrolgicos, constituyen siempre unamuestra de un registro mas completo y exhaustivode los mismos que constituye el universo o lapoblacin.

Poblacin

Muestra



Ao Pp (Max-24) Ao Pp (Max-24)(mm) (mm)

Precipitacin Mxima en 24 horas para ColinaTabla N 2.1

(mm) (mm)1929 55 1956 441930 61 1957 591931 46 1958 461932 52 1959 461933 26 1960 391933 26 1960 391934 73 1961 211935 45 1962 601936 33 1963 591937 37 1964 341938 36 1965 511939 44 1966 461940 56 1967 291941 66 1968 181942 46 1969 271943 25 1970 521944 51 1971 691944 51 1971 691945 53 1972 581946 29 1973 271947 39 1974 571948 49 1975 311949 55 1976 261949 55 1976 261950 62 1977 331951 34 1978 521952 43 1979 631953 76 1980 311954 41 1981 86


1954 41 1981 861955 21 1982 61


Tabla N 2 2Estadgra fo Va lorMedia (mm) 45.91Error tpico (%) 2.08

Tabla N 2.2

Error tpico (%) 2.08Mediana (mm) 46Moda (mm) 46Desviacin estndar (mm) 15.2974Varianza de la muestra 234.0101Curtosis -0.3495Coeficiente de asimetra 0.2451Rango (mm) 68Rango (mm) 68Mnimo (mm) 18Mximo (mm) 86Suma (mm) 2479Suma (mm) 2479Cuenta 54



Caractersticas de los Fenmenos Aleatorios:- Pudiendo repetirse indefinidamente en condiciones anlogas,

pueden presentar resultados distintos en cada experiencia particular (no hay regularidad determinstica sino regularidad particular (no hay regularidad determinstica, sino regularidad estadstica).

- No se puede predecir el resultado de cada experiencia particular, ya que una pequea variacin de las condiciones iniciales da lugar a resultados totalmente distintos.

Se cumple la Ley del Azar Esto quiere decir que el cuociente entre - Se cumple la Ley del Azar. Esto quiere decir que el cuociente entre los resultados favorables respecto del numero total de casos n'/n (frecuencia relativa) tiende a estabilizarse cuando


( )


Definicin de Probabilidad. Axiomas

Se entiende por Probabilidad la medida que representa la posibilidad que el evento ocurra.evento ocurra.

Definicin : Para un evento aleatorio A, se llama probabilidad P(A), al nmero ti f l i i t i que satisfaga los siguientes axiomas:

Axioma 1 : AsucesotodoPara 0P(A)

Axioma 2 :

( )

cierto sucesoel Para 1 = P(E)

Axioma 3 : = B) (A lesincompatib sonBy A P(B)Si + P(A) = B) P(A



DEFINICIONES

a) Se denomina recorrido a la diferencia (x mx - x mn) que a) Se denomina recorrido, a la diferencia (x mx x mn) que toma la variable aleatoria.

b) Se llama moda, al valor de la variable aleatoria que presenta un ) m m , q pmximo relativo de probabilidad. Luego:

1 + mm1 - mm p > p < p : simoda esx ,,c) Se denomina mediana, al valor de la variable aleatoria x', que

presenta la misma probabilidad de ser superada como de no ser superada (p=0 5)ser superada (p=0,5).

O bi0,5 )xF( xxP 0,5 )xF(xxP ==>== 1)'()'(

O bien:

0,5 = dx f(x) = dx f(x) x


x-


d) El coeficiente de asimetra relativa:( )( ) = xxinn n 33 )2)(1(Modax

e) El coeficiente de asimetra de Pearson:

Moda-x = S k

f) Covarianza, definida como:

n

n

nyx ii

xy

= 1

))((


n


MODELOS PROBABILISTICOS (DISTRIBUCIONES CLSICAS)

Distribucin d B rn uilliDistribucin de BernouilliEsta distribucin se caracteriza porque la variable aleatoria presenta slo dos estados. Su ocurrencia o "xito" y su no ocurrencia o "fracaso". Un ejemplo de este modelo probabilstico es el lanzamiento de una monedaeste modelo probabilstico es el lanzamiento de una moneda.

Si x = variable aleatoria:

x = 1 (xito)x = 0 (fracaso)

La funcin de probabilidad de la distribucin de Bernouilli es:

p Si x=1p S xP(x)=

1-p Si x=0

Captulo II Profesor. Luis E. Estell A. 15E(x) = p y VAR(x) = p(1 - p)



Distribucin Bin mi lDistribucin Binomial

Tiene lugar cuando ocurren n ensayos independientes del tipo Bernouilli donde p = xito y q = fracasodonde p = xito y q = fracaso.

Si es una variable aleatoria que mide el nmero de xitos a obtener en n experiencias su espacio muestral ser: experiencias, su espacio muestral ser:

= 0, 1, 2, 3,. . . . . . . . . . . , r, . . . . . . npn= p0 p1 p2 pr pnpn= p0, p1, p2, . . . . . . . . . . ., pr, . . . . . , pn

Cuando se cumple lo anterior, se dice que tiene una distribucin Binomial:

q P r

n = (r)P r-nr




Distribucin Bin mi l (A li i li i d i )Distribucin Binomial (Aplicacin en anlisis de riesgo)

Daos Costo de la Generados ($) Obra ($)

Riesgo Aceptado (%)



DISTRIBUCIN BINOMIAL (APLICACIN EN ANLISIS DE RIESGO)

Si suponemos, para evaluar este proceso de evaluacin, que:

1) Las ocurrencias de los sucesos espordicos son independientes entre s (la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad de ocurrencia de los dems);probabilidad de ocurrencia de los dems);

2) La probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos permanece constante en el tiempopermanece constante en el tiempo.

La variable aleatoria sigue una distribucin Binomial.




Para analizar el riesgo de ocurrencia de una crecida mxima anualsuperior a la de proyecto, deber medir el nmero de crecidasp p ymayores que un cierto valor crtico (Ej. 1.000 m3/s) en n aos (Ej.La vida til del proyecto).

Si se designa por p a la probabilidad de obtener un xito es decirque ocurra el evento, (En el ejemplo que ocurra un caudal mayor que1 000 m3/s) la probabilidad de obtener r xitos en n experiencias1.000 m /s), la probabilidad de obtener r xitos en n experienciasmodelado mediante una distribucin Binomial es:

q P

r

n = (r)P r-nr



DISTRIBUCIN BINOMIAL (APLICACIN EN ANLISIS DE RIESGO)Para que se cumpla la condicin de ocurrencia impuesta al eventoPara que se cumpla la condicin de ocurrencia impuesta al eventoaleatorio de las crecidas, r debe ser mayor o al menos igual a 1(ocurrencia).

Luego:

p( r 1) = 1 - p( r < 1) = 1 - p ( r = 0) (ya que es una distribucin discreta)

Pero :n

p( r = 0 ) = ( ) p0 q n = ( 1 - p )no

Luego:p( r 1) = R = 1 - ( 1 - p )n




EJEMPLO:

Si la probabilidad de obtener el valor crtico es 0,02 y la vida til de la estructura es de n=30 aos, el riesgo asumido se puede calcular mediante la expresin anterior:mediante la expresin anterior:

R = p( r 1) = 1 - ( 1 - p )n = 1 - ( 1 0,02 )30 = 0,45

Luego, el riesgo de que el caudal de diseo (p=0,02) sea superado durante la vida til de la obra (30 aos) es de un 45%.




Distribucin NORMAL

La funcin densidad de esta distribucin es:

1f( ) )-x(1 2

Definida para -< x


Esta funcin no es integrable directamente, para evaluarla se usa la Funcin de Distribucin Estandarizada o Normalizada.

Variable Estandarizada-x=z

De este modo la nueva Funcin de Distribucin queda:

z

De este modo la nueva Funcin de Distribucin queda:

e1=F(z) )(Z2

1- 2

Para su clculo:

e2

( ) 2Tablas y/o Frmulas Aproximadas

Frmula aproximada (Polinmio de Abramowitz)



Polinmio de Abramowitz

)||0 019527+||0 000344+||+0 115194||0 196854+(11B 4-432 )|z|0,019527+|z|0,000344+|z|+0,115194|z|0,196854+(12

=B 43

donde |z| es el valor absoluto de z.

F(z) = B para z= 0.



Ejemplo: Distribucin NORMAL

Datos: "Caudales en Pocuro en Sifn"

Q( 3/ )Q(m3/s)Promedio = 8.21Desv. Tpica = 12.51Mximo = 75 5Mximo = 75.5Mnimo = 0.32C. Asimetra = 3.41n = 60

Ajustar una distribucin Normal a los datos. Estimar el caudal que tiene una probabilidad de no excedencia del 99 Estimar el caudal que tiene una probabilidad de no excedencia del 99,

98 y 90% Calcular la probabilidad de no excedencia de un caudal de 8.21, 50 y 75

m3/s



Ejemplo: Distribucin NORMAL

a) Ajuste de Modelos ProbabilsticosN de Parmetros

Normal (2 Parmetros, mx y Sx) 8.21 12.51

b) Estimacin del caudal paraun valor de F(x) dadoN

( , y )

Dado F(x) F(x) Z X(m3/s)Estimar x 0.99 2.33 37.36

0.98 2.05 33.860.9 1.28 24.22

c) Estimacin de F(x) para un valor de caudal dado

Dado x X (m3/s) Z F(z)N

Dado x X (m3/s) Z F(z)Estimar F(x) 8.21 0.000 0.5000

50 3.341 0.999475 5.339 1.0000



Distribucin Logartmica NormalEn muchos procesos de ingeniera se requiere modelar formas de En muchos procesos de ingeniera se requiere modelar formas de distribuciones asimtricas con respecto a su valor medio, este es el caso de las precipitaciones, caudales, etc. Un modelo probabilstico de estas caractersticas es la distribucin Lognormal o Ley de u n L gn m L yGalton.

Sea y= Ln(x), variable aleatoria distribuida segn un modelo Sea y Ln(x), variable aleatoria distribuida segn un modelo probabilstico Normal esto es y ~ (,), en este caso la variable aleatoria x, se distribuye segn un modelo probabilstico Logartmico Normal o Lognormal es decir x ~ Ln N( ) Luego:

y1=f(y) )

y-(1- 2

Logartmico Normal o Lognormal, es decir x ~ Ln N(,). Luego:

e 2

=f(y) )y(2y



Si se efecta la siguiente transformacin:

dxdyf(y)f(x) =dx

1 22

y

2

)(y

= ye2

1f(x)2

yye

E(Ln(x))y =Con:

Var(Ln(x))

E(Ln(x))y

y =



Distribucin Gamma de 2 ParmetrosFuncin Gamma:

dx1-mxx-e(m) =

para todo m >odxxe(m)0= para todo m >o

1(1) 1(1) =( ) !1)(m1)(m1m(m) == ( ) )()(( )

( ) ( )senp

p-1p = Para todo p tal que 0


Ahora bien, aprovechando la forma de la funcin Gamma, es posible construir la siguiente funcin:

dx1-mxax-ea m(m)

0=

0am, >para y con ella, finalmente, una con caractersticas de funcin

densidad de probabilidades:

1am 1-mxax-e(m)af(x)= para 0< x <

los parmetros (dos) de la distribucin Gamma de 2 Parmetros m (de escala) y a(de forma), se obtiene de:

l dm

Valor esperado: a =

Varianza:2

2 m =Captulo II Profesor. Luis E. Estell A. 34

2a


Una forma cmoda de clculo de esta distribucin, son los grficos que evalan la funcin de distribucin de este modelo (F(u)) Para ello es que evalan la funcin de distribucin de este modelo (F(u)). Para ello es necesario utilizar como variables auxiliares, el coeficiente de variacin (eje x) y una variable reducida, construida dividiendo la variable original por la desviacin estandar (parmetro)por la desviacin estandar (parmetro).

m1CV =

CV 21K =

( )

xuuF ==



Distribucin de Valores Extremos (VEI - Gumbel)

)(xe)(x eef(x) = con x eef(x) = con x donde y son sus parmetros

e )(xeF(x)

=

( )

0,5772 += 1,281 ==

+

6 ==



De donde se obtiene:

0,450=

1,281 =

ny nS

n

nx

SySx=

xS=

Donde:yn= Valor esperado de la variable reducidaSn= Desviacin estandar de la variable reducida



1

Los valores de yn y de Sn se pueden obtener de las siguientes relaciones o de la Tabla siguiente.

++=1n

m1nlnlnyn

= n1

mn yn1y

( )2

yy 2

S

n

1mn

n

=

2

Donde: m = Nmero de orden de la variablen = Tamao de la muestra



Valor Esperado y Desviacin Tpica Variable Reducidayn Sn n yn Sn

n

15 0,51 1,02 70 0.55 1.19

20 0,52 1,06 80 0.56 1.19

30 0 54 1 11 90 0 56 1 2030 0,54 1,11 90 0.56 1.20

40 0,54 1,14 100 0.56 1.21

50 0,55 1,16 150 0.56 1.23

60 0 55 1 17 200 0 57 1 2460 0,55 1,17 200 0.57 1.24

0.57 1.28



Distribucin Chi-cuadrado

( )

=

2

2exp21)2( 2

2

f con 2 0( ) 2222 con 2 0


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