capitulo 2 ae2 v15b
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4.1.3Transformacin de coordenadas del vector de desplazamientos para un miembro I-simo, anlogamente al procedimiento descrito en la seccin 4.1.2, se obtiene:
ANALISIS ESTRUCTURAL 2INGENIERIA CIVIL DE LA IC/UNSA
2 PORTICO PLANO CON ELEMENTOS MUROS DE CORTE
2.0 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO ESTRUCTURAL
Una estructura puede subdividirse en elementos estructurales es decir, podemos desensamblarla y aislarla y por equilibrio esttico podemos decir si una estructura se encuentra en equilibrio entonces cualquier parte de ella tambin lo esta. El mtodo de rigidez esta basado en este principio bsico por tanto un sistema estructural es el resultado de un proceso de ensamble de todos sus elementos estructurales los que a su vez estn conectados en sus extremos por sus nudos y cuyos desplazamientos son compatibles. La matriz de rigidez de un miembro estructural no vara y es constante solo si la estructura tiene un comportamiento elstico, por ello se pueden encontrar todas las matrices de rigidez segn los grados de libertad considerados en cualquier sistema de coordenadas globales y/o locales.
2.1 FUERZAS INTERNAS DE EXTREMO EN UNA ESTRUCTURA
Si una estructura va a ser analizada por el mtodo de rigidez, esta puede ser dividida en sub-estructuras mnimas, a las cuales denominaremos miembros estructurales. Por otro lado una estructura reticular puede estar compuesta por diversos tipos de miembros estructurales como son: vigas, columnas, muros de cortante, diagonales, etc., cuyos extremos estn sujetos a fuerzas internas o esfuerzos ya que se ha dividido a la estructura en sub-estructuras, Entonces todos los miembros tienen fuerzas en sus extremos que son desconocidas pero estas pueden expresarse en funcin a su matriz de rigidez y de desplazamientos en sus grados de libertad (GDL). Entonces el equilibrio esttico de la estructura nos proporciona un sistema de ecuaciones simultaneas cuyas incgnitas son los desplazamientos y al sumar las fuerzas de extremo estas se condensan al integrar todos los elementos de la estructura, debido a que estas son fuerzas internas en los nudos y que al establecer el equilibrio en todos los nudos la sumatoria debe ser igual a cero. Por otro lado los desplazamientos en los nudos rgidos son compatibles para todos los elementos que convergen al mismo nudo. Ensamblando la estructura miembro por miembro incluyendo los nudos encontramos la ecuacin matricial de equilibrio y cuya matriz de rigidez de nudo de toda la estructura se extrae de los coeficientes del vector de desplazamientos y la matriz de carga se ensamblan rpidamente ya que las cargas son conocidas, En base a estas matrices se establece la ecuacin de equilibrio de nudo total de la estructura, para posteriormente resolver el sistema de ecuaciones cuyas incgnitas son los desplazamientos, una vez conocidos estos con ellos podemos encontrar para cada miembro estructural las fuerzas de extremo (ver Fig. 1 y 2).
Fig. 1Estructura ensamblada (completa) y codificada segn sus miembros estructurales.
Fig. 2 Estructura desensamblada del prtico de la fig. 1.
2.2FUERZAS RESTAURADORAS DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES
Estas fuerzas restauradoras o elsticas de un elemento estructural son dependientes de la rigidez y de los desplazamientos elemento estructural del material, la geometra y las caractersticas geomtricas de la seccin transversal de dichos elementos estructurales e originan debido a desplazamientos en sus extremos, es decir, los desplazamientos (DxJ, DyJ, DJ), que se producen en los nudos inducen fuerzas restauradoras que dependen del material y la geometra de los miembros estructurales. Se consideran tres grados de libertad por nudo, puesto que un miembro I simo tiene dos nudos extremos J y K, por lo tanto tenemos seis grados de libertad por miembro, si no por nudo, ya que se presentan casos en que varios miembros estructurales tienen nudos comunes. Las fuerzas elsticas o restauradoras en un miembro estructural se infieren debido a los desplazamientos que sufren sus extremos. Dichas fuerzas dependen de la rigidez y de los desplazamientos y stas se calculan aplicando el principio de la superposicin. Las fuerzas restauradoras de extremo se pueden calcular para cada grado de libertad, aplicando desplazamientos exclusivos para cada grado de libertad, tal como se ilustra en la fig. 3 y posteriormente se calcula el efecto (o fuerzas) que producen en la direccin de los grados de libertad considerados. Y finalmente el efecto total se calcula por la superposicin de los seis desplazamientos.
Fig. 3Desplazamientos sucesivos en cada grado de libertad de un miembro estructural en coordenadas locales.
En un miembro estructural cualquiera se inducen fuerzas internas en sus nudos extremos debido a los desplazamientos en dichos nudos. Estos esfuerzos en los extremos se denominan vector de fuerzas restauradoras o elsticas de un miembro estructural con nudos rgidos, cuya estructura matemticas:
Esta relacin matricial puede particionarse en sub-matrices, segn sus nudos extremos: J y K. Donde el guin superpuesto sobre los vectores de: desplazamientos, fuerzas elsticas y la matriz de rigidez, nos indica que estn en un sistema de coordenadas es locales. Y el primer sub-ndice de las fuerzas o desplazamientos representa la direccin, que puede ser: "x", "y", "". Y el segundo sub-ndice se refiere al cdigo del nudo. El vector de fuerzas restauradoras expresado en sub-matrices es:
(2)
Donde:
{IfJ}, {IfK} =fuerzas internas en los extremos de las barras nudas: J o K en coordenadas locales.
{IdJ}, {IdK} =desplazamientos en los nudos J o K en coordenadas locales.
[Ib ] =sub-matriz de 3x3 de rigidez del miembro I-simo en coordenadas locales.
La ecuacin (2) en forma compacta, puede escribirse as:
{If} = [Ik] {Id} (3)
Donde:
{If} = vector de fuerzas elsticas en coordenadas locales del miembro i.
{Id} = vector de desplazamientos en coordenadas locales del miembro i.
[Ik] = matriz de rigidez en coordenadas locales del miembro i.
Fig. 4Codificacin de fuerzas y desplazamientos en coordenadas locales de un miembro estructural I-simo.
La matriz de rigidez de un miembro estructural I-simo en coordenadas locales expresada en sub-matrices en funcin de los nudos conectivos J y K, es:
[IbJJ] [IbJK]
[Ik] = --------- ---------- (4)
[IbKJ] [IbKK]
2.3MATRICES DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO ESTRUCTURAL EN COORDENADAS LOCALES
La matriz de rigidez de un miembro en coordenadas locales, se obtiene, de la matriz coeficiente del vector de desplazamientos, o en base a producir desplazamientos unitarios sucesivos exclusivamente para cada grado de libertad, tal como se ilustra en la fig. 2. Para prticos planos en el caso ms general se consideran tres grados de libertad por nudo, a saber: dos desplazamientos lineales en la direccin de los ejes x, y; y un desplazamiento angular en la direccin .
2.3.1 Matriz de Rigidez de un miembro, con sus nudos extremos J y K rgidos: (Tipo de Miembro: MT=0)
Esta matriz se ensambla para cada grado de libertad aplicando el principio de superposicin se encuentra el efecto total. Para una mejor ilustracin se indican los grados de libertad en el encabezamiento de la matriz de rigidez (ver Fig. 5).
Fig. 5Desplazamientos unitarios para cada grado de libertad por separado y el efecto que produce en sus extremos, para un miembro con los nudos J y K rgidos.
2.3.2Matriz de Rigidez para un miembro con articulacin en el nudo J y rgido en el nudo K. La matriz de rigidez se obtiene por el principio de superposicin, se muestra a continuacin (Ver Fig. 6): (MT=1)
Fig. 6Desplazamientos unitarios para cada grado de libertad por separado y el efecto que produce en los extremos, para un miembro con el nudo J articulado y el nudo K rgido.
2.3.3 Matriz de Rigidez de un miembro con el nudo J rgido y el nudo K articulado (Ver Fig. 7), (MT=2)
Fig. 7Desplazamientos unitarios para cada grado de libertad por separado y el efecto que produce en los extremos, para un miembro con el nudo J rgido y con articulacin en el nudo K.
2.3.4 Matriz de Rigidez de un miembro tipo armadura, (articulado en los nudos: J y K) Esta se encuentra aplicando el principio de superposicin. Alternativamente puede obtenerse haciendo EI=0, a la matriz de la ecuacin (5), (MT=3):
Fig. 8 Desplazamientos unitarios en un miembro tipo armadura y el efecto que produce con los nudos: J y K articulados.
2.3.4 Matriz de Rigidez de un miembro estructural considerando la deformacin por esfuerzo cortante, es decir, para los miembros tipo: muros de cortante. Esta matriz es usada para prticos que incluyen muros de cortante (Shear-Wall); y tambin viga de corte su estructura matemtica en coordenadas locales, es: (Ver Fig. 9, siendo el nmero de cdigo MT=4)).
Fig. 9Miembro estructural tipo muro de cortante o viga de corte.
Donde los parmetros son:
AE 6EI (4+)EI
s1 = ---- s3 = ---------- s5 = -----------
L (1+)L2 (1+)L
12EI (2-)EI 12EI
s2 = ----------- s4 = ---------- = -------------
(1+)L3 (1+)L L2GARW
ARW = Abruta / Ff
E = Mdulo de elasticidad del material.
G = E/(2(1+v) (Mdulo de rigidez).
v = Relacin de Poisson (v=1/6 para el concreto).
Ff = Factor de forma por corte que depende de la seccin transversal.
2.3.5 Matriz de Rigidez para un miembro con extremos rgidos considerando la deformacin por esfuerzo: cortante, axial y flexin (este caso es general en los prticos con muros de cortante y/o en vigas de corte, ver Fig. 9) Cdigo: Member Type: MT=5
Fig. 10Miembro estructural que esta compuesto por extremos rgidos y zonas flexibles.
3.CARGAS EQUIVALENTES DE EXTREMO FIJO
3.ESFUERZOS DE EXTREMO, CARGAS EQUIVALENTES DE EXTREMO Y CARGAS NODALES
Todas las estructuras estn conformadas por elementos o miembros o barras estructurales que en un caso general pueden estar sometidas a cargas aplicadas en los nudos (denominadas carga nodal), y cargas que actan sobre los miembros denominados por el mtodo de rigidez cargas equivalentes de extremo o de empotramiento perfecto.
El mtodo de la rigidez se basa en una formulacin generalizada de la matriz de rigidez de miembro en coordenadas globales para los desplazamientos en los nudos y en la direccin que sea posible describir su deformacin y ello se demuestra con el procedimiento de flexibilidades o por el mtodo de energa de deformacin que nos sirve para cualquier tipo de cargas. Por ello este mtodo trabaja con los desplazamientos que sufren los nudos y que son consideradas como incgnitas llamados grados de libertad (GDL). Puesto que debemos establecer el equilibrio en los nudos de la estructura, por ello las cargas que actan sobre el miembro 2 de la Fig. 11 por ejemplo deben transformarse a cargas equivalentes de extremo.
Fig. 11Cargas en un nudo sobre un miembro de una estructura.
Las fuerzas internas de extremo de los miembros en coordenadas locales {If}se calculan en base a su matriz de rigidez [Ik] por el desplazamiento de los nudos extremos {Id} y agregando las cargas equivalentes de extremo fijo todos en coordenadas locales {IfF}, se calculan en base a las cargas en coordenadas locales. Por tanto el vector de fuerzas de extremo esta dado por: (Ver Fig.12).
{If} = [Ik] {Id} + {IfF} (11)
Fig. 12Cargas equivalentes de extremo fijo en un sistema de coordenadas locales.
Donde:
{IfF} =Vector de cargas equivalentes de extremo fijo en coordenadas locales del miembro I-simo.
Fig. 13Fuerzas de extremo y desplazamientos de un miembro en un sistema de coordenadas locales.
4.TRANSFORMACION DE COORDENADAS DE LAS FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS
Un miembro estructural puede estar orientado en cualquier direccin. Se sabe tambin que los vectores de fuerzas y desplazamientos tienen los mismos cosenos directores. Por tanto basta con calcular los cosenos directores del miembro geomtricamente y mediante una transformacin de coordenadas por rotacin de dichas coordenadas locales obtenemos sus componentes en un sistema de coordenadas globales. (Ver Fig. 14)
Fig. 14aTransformacin de fuerzas de extremo de un sistema de coordenadas de locales a globales.
de la Fig. 14a en base a las coordenadas calculamos la longitud del miembro I-simo, por Pitgoras:
LI = (xK - xJ)2 + (yK - yJ)2 (12)
y sus cosenos directores: xK - xJ
cx = cos I = ---------- (13)
LI
yK - yJ
cy = sen I = ---------- (14)
LI
4.1.1 Transformacin de coordenadas del vector de fuerzas para un nudo cualquiera.- De la Fig. 14a se obtienen las relaciones de transformacin de coordenadas de fuerzas en coordenadas locales a globales de un miembro:
Fx = fxcx - fycy + 0
Fy = fxcy + fycx + 0 (15)
F = 0 + 0 + f
Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial, tenemos:
Fx cx -cy 0 fx
Fy = cy cx 0 fy (16)
F 0 0 1 f
y en forma compacta la fuerza en un nudo se expresa con la submatriz de 3x3:
{F} = [A]T {f} (17)
4.1.2Transformacin de coordenadas del vector de fuerzas de un miembro I-simo, que tiene los nudos conectivos: J y K, este vector se forma completando un arreglo matricial quedando la siguiente expresin:
{IFJ} [IA]T {IfJ} + [0] {IfK}
------- = ---------------------------------- (18)
{IFK} [0] {IfJ} + [IA]T {IfK}
Factorizando los vectores de fuerzas locales de los nudos J y K, se obtiene:
{IFJ} [IA]T [0] {IfJ}
= (19)
{IFK} [0] [IA]T {IfK}
Expresando en forma compacta:
{IF} = [IR]T {IfJ} (20)
en donde la matriz [IR], representa a la matriz de transformacin de coordenadas, cuya matriz tiene la propiedad de ser una matriz ortogonal, esto sucede cuando su determinante es igual a la unidad y tambin cuando la inversa de dicha matriz es igual a su transpuesta, es decir:
[IR]T = [IR]-1 (21)
de ello, podemos encontrar la siguiente transformacin coordenadas globales a locales:
{If} = [IR] {IF} (22)
Donde:
cx cy 0 0 0 0
-cy cx 0 0 0 0
[IR] = 0 0 1 0 0 0 (23)
0 0 0 cx cy 0
0 0 0 -cy cx 0
0 0 0 0 0 1
Fig. 14bFuerzas de extremo y desplazamientos de nudo no dependen del miembro en un sistema de coordenadas globales.
4.1.3Transformacin de coordenadas del vector de desplazamientos para un miembro I-simo, anlogamente al procedimiento descrito en la seccin 4.1.2, se obtiene:
{ID} = [IR]T {Id} (24)
Despejando tenemos:
{Id} = [IR] {ID} (25)
4.1.4 Transformacin de coordenadas locales del vector de fuerzas de empotramiento perfecto a
un sistema de coordenadas globales de un miembro I-simo:
{IFF} = [IR]T {IfF} (26)
Donde:
{IfF} = Vector de cargas equivalentes de extremo fijo en coordenadas locales.
{IFF} = Vector de cargas equivalentes de extremo fijo en coordenadas globales.
4.1.5Transformacin del sistema de coordenadas locales del vector de fuerzas elsticas del miembro I-simo a coordenadas globales. Sabemos que el vector de fuerzas restauradoras en coordenadas locales se encuentra con la expresin matricial (ecs-1 y 4):
{If} = [Ik] {Id} (4)
Reemplazando el vector de fuerzas restauradoras a un sistema de coordenadas globales, se tiene
{IF} = [IR]T {If} = [IR]T [Ik] {Id} (27)
transformando el vector de desplazamientos a un sistema de coordenadas globales, la ecuacin (27) anterior, queda:
{IF} = [IR]T [Ik] {Id} = [IR]T [Ik] [IR] {ID} (28)
de donde la matriz coeficiente del vector {ID} es la matriz de rigidez del miembro I-simo en coordenadas globales, esto es:
[IK] = [IR]T [Ik] [IR] (29)
4.1.6Transformacin de coordenadas del vector de fuerzas de extremo de un miembro I en coordenadas locales a un sistema de coordenadas globales, la (ec-11) se encuentra con la siguiente expresin:
{If} = [Ik] {Id} + [IfF] (11)
transformando el sistema de coordenadas de este vector de fuerzas a un sistema de coordenadas globales, reemplazando en la ec-11 en la ec-20 se tiene:
{IF} = [IR]T [Ik] {Id} + {IfF} (30)
efectuando el producto matricial, obtenemos:
{IF} = [IR]T [Ik] {Id} + [IR]T {IfF} (31)
Reemplazando por: {Id} = [IR] [ID] en la ecuacin anterior, haciendo un arreglo, se tiene:
{IF} = ( [IR] T [Ik] [IR] ) {ID} + [IR]T {IfF} (32)
en donde la matriz coeficiente del vector de desplazamiento {ID} representa a la matriz de rigidez de un miembro en coordenadas globales, esto es:
[IK] = [IR]T [Ik] [IR] (29)
y el vector de cargas de extremo equivalente en coordenadas globales es:
[IFF] = [IR]T [IfF]
de ello la ecuacin (32) puede ser expresada as:
{IF} = [IK] {ID} + [IFF] (32)
4.1.7Aplicacin de la transformacin.
Ejemplo 1. Encontrar la matriz de rigidez de una columna para un sistema de coordenadas globales, sabemos que la direccin de una columna es = 90; y la matriz de rigidez en coordenadas globales se encuentra con la transformacin:
[IK] = [IR]T [Ik] [IR]
Y la matriz de rigidez de un miembro estructural en coordenadas locales puede expresarse, as:
a1 0 0 -a1 0 0
0 a2 a3 0 -a2 a3
[IR] = 0 a3 2a4 0 -a3 a4
-a1 0 0 a1 0 0
0 -a2 -a3 0 a2 -a3
0 a3 a4 0 -a3 2a4
donde:
a1 = AE/L, a2 = 12EI/L3 a3 = 6EI/L2 a4 = 2EI/L
Y la matriz de transformacin dada en la ecuacin (23), para: =90 tenemos que, cx=0, cy=1, ser, reemplazando, se obtiene:
0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
[IR] = 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
Efectuando el triple producto matricial, obtenemos la matriz de rigidez de miembro en coordenadas globales:
a2 0 -a3 -a2 0 -a3
0 a1 0 0 -a1 0
[IK] = [IR]T [IK] [IR] = -a3 0 2a4 a3 0 a4
-a2 0 a3 a2 0 a3
0 -a1 0 0 a1 0
-a3 0 a4 a3 0 2a4
5.EQUILIBRIO DE LA ESTRUCTURA
5.ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE NUDOS DE LA ESTRUCTURA
Una estructura plana de NJ nudos que est en equilibrio esttico, tiene tres ecuaciones de equilibrio por nudo, por lo tanto tenemos: 3 NJ ecuaciones de equilibrio de la estructura. Y en cada miembro estructural actan seis fuerzas, tres por cada nudo. La magnitud de dichas fuerzas depende de las rigideces de los miembros estructurales, de las cargas en los nudos y de las cargas equivalentes de extremo fijo. En consecuencia, puesto que la estructura est en equilibrio, la suma de las fuerzas en un nudo debe ser igual a cero.
Con estas ecuaciones de nudo se ensambla la matriz de rigidez del nudo total y los coeficientes en sub-matrices del vector de desplazamientos se suman.
Sea S un nudo S-simo cualquiera, al ser aislado de la estructura dicho nudo tambin debe estar en equilibrio, es decir, la resultante de la sumatoria de las fuerzas totales que llegan a este nudo; transmitidas por los extremos de los miembros en sentido contrario ms las cargas nodales debe ser igual a cero.
Fig.15 Equilibrio de la estructura se da en todos sus nudos.
El vector de fuerzas de extremo de un miembro en coordenadas globales, expresado en sub-matrices, es:
{IFJ} [IBJJ] [IBJK] {DJ} {IFFJ}
------- = ---------------- ------- + ------- (33)
{IFJ} [IBKJ] [IBKK] {DK} {IFFK}
Es importante notar que el desplazamiento de los nudos no depende del sub ndice I que representa el cdigo de miembro debido a ello se ha obviado este sub ndice puesto que puede existir varios miembros con un mismo nudo en comn. Luego efectuando el producto matricial en sub-matrices de la ecuacin (33) se obtienen los vectores de fuerzas de extremo en los nudos J y K:
{IFJ} = [IBJJ] {DJ} + [IBJK] {DK} + {IFFJ} (34)
{IFK} = [IBKJ] {DJ} + [IBKK] {DK} + {IFFK} (35)
Con estos vectores de fuerzas de extremo por nudo se establecen las ecuaciones de equilibrio de un nudo cualquiera ensimo, es decir: (n = J K)
NB NB
- {IFn} + {FNn} = {0} (36)
n=1 n=1
donde:
{FNn} = Vector fuerzas del nudo ensimo (3x1).
{IFJ}, {IFK} = Vectores de fuerzas de extremos de los nudos: J y K, del miembro I-simo. (3x1)
NB = Nmero de miembros conectivos al nudo ensimo.
Con la ecuacin (34), se ensambla la matriz de rigidez de nudo total [K] separando los coeficientes de rigidez, cargas y desplazamientos mediante un arreglo matricial, se obtiene la ecuacin matricial de equilibrio de nudo:
-[K] {D} - {FF} + {FN} = {0} (37)
donde:
[K] = matriz de rigidez de total de la estructura.
{D} = vector de desplazamientos en los GDL.
{FF} = vector de cargas equivalentes de extremo fijo de toda la estructura.
{FN} = vector de fuerzas nodal.
La ecuacin matricial de equilibrio de nudo total, puede particionarse en funcin de los grados de libertad. Ya que los vectores de desplazamientos en los GDL son desconocidos y sabemos que los desplazamientos de los nudos restringidos son nulos. Por ello, planteamos las ecuaciones de equilibrio en sub-matrices en funcin de los desplazamientos segn los GDL y los grados restringidos, as:
[KUU] [KUR] {DU} {FFU} {FNU} {0}
- ----------------- ------- - ------- + -------- = ----- (38)
[KRU] [KRR] {DR} {FFR} {FNR} {0}
donde:
{DU} = vector de desplazamientos de los nudos libres.
{DR} = vector de desplazamientos de los nudos restringidos.
{FFU} = vector de fuerzas de empotramientos de los nudos libres.
{FFR} = vector de fuerzas de empotramientos de los nudos restringidos.
{FNU} = vector de cargas en los nudos libres.
{FNR} = vector de cargas en los nudos restringidos o vector de reacciones.
Los grados restringidos con subndice u son desplazamientos conocidos, es decir, son nulos, reemplazando {DR} = {0} efectuando el producto en sub matrices:
- [KUU] {DU} - {FFU} + {FNU} = {0} (39)
- [KRU] {DU} - {FFR} + {FNR} = {0} (40)
de la ecuacin (39) despejamos el vector de desplazamientos de nudos libres:
{DU} = [KUU]-1 (-{FFU} + {FNU} ) (41)
y el vector de reacciones o de fuerzas restringidas se encuentra con la ecuacin (40):
{FNR} = [KRU] {DU} + {FFR} (42)
6. EJEMPLO 1
Para el prtico que se muestra en la figura encontrar lo siguiente:
1. Matriz de rigidez global.
2. Desplazamientos y giros en cada nudo.
3. Momentos flectores, fuerzas cortantes y fuerzas axiales.
PORTICOCARGAS
Fig. 16Prtico del ejemplo
DATOS GENERALES:Nmero de nudos = 8
Nmero de barras = 10
6.1 BLOQUE DE DATOS DE NUDOS:
Coordenadas Restricciones
NUDOXYIrxIryIr
106000
236000
366000
403000
533000
600111
730111
860111
6.2 BLOQUE DE DATOS DE MIEMBROS: I = 9.232E-5 A = 9.6E-3 E = 2E6 L= 3
Miembro
J
K
Tipo De Elemento
INERCIA
AREA
LONG
E
Cx
Cy
1
6
4
con extremos empotrados
I
A
L
E
0
1
2
7
5
con extremos empotrados
I
A
L
E
0
1
3
4
1
con extremos empotrados
I
A
L
E
0
1
4
5
2
con extremos empotrados
I
A
L
E
0
1
5
8
3
con extremos empotrados
I
A
2L
E
0
1
6
4
7
con extremos articulados
I
A
L
E
1/
-1/
7
4
5
con extremos empotrados
I
A
L
E
1/
-1/
8
1
5
con extremos articulados
I
A
L
E
1
0
9
1
2
con extremos empotrados
I
A
L
E
1
0
10
2
3
con extremos empotrados
I
A
L
E
1
0
6.3 DATOS DE CARGAS:
Cargas nodales:
Nudo 1:Fx = 10Tn
Nudo 4:Fx = 5Tn
Cargas sobre los miembros:
Miembro 7:y = -2.5Tn/m2
Miembro 9: y = -2.5Tn/m2
Miembro 10: y = -2.5Tn/m2
6.4 SOLUCION
Encontramos las matrices de rigidez locales [k], de cada miembro con las siguientes frmulas:
Matriz de rigidez para armadurasMatriz de rigidez para miembros con extremos empotrados
Matriz de rigidez local para los miembros 1, 2,3 y 4:Matriz de rigidez local para el miembro 5:
k =
k =
Matriz de rigidez local para los miembros 6 y 8:Matriz de rigidez local para los miembros 7, 9 y 10:
k =
k =
Encontramos las matrices transformacin de coordenadas [R], para cada miembro con la siguiente frmula:
Donde:
Cx, Cy: son los cosenos directores
Matriz de transformacin de coordenadas para los miembros inclinados a 45: (6, 8)
Matriz de transformacin de coordenadas para miembros verticales: (1, 2, 3, 4, 5)
Matriz de transformacin de coordenadas para miembros horizontales: (7, 9, 10)
En base a estos datos podemos encontrar las matrices de rigidez de los miembros en coordenadas locales, para luego encontrar en la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales; con la siguiente frmula:
[IK] = [IR] T [Ik] [IR]
A continuacin se muestra la matriz de rigidez global de uno de los elementos.
MIEMBROS 1, 2, 3 y 4:[K] = [1,2,3,4R] T [1,2,3,4k] [1,2,3,4R]
[RT][k] [R]
[K] =
MIEMBRO 5: [5K] = [5R] T [5k] [5R]
[K] =
MIEMBROS: 6 y 8:[6,8K] = [6,8R] T [6,8k] [6,8R]
[K] =
MIEMBROS 7, 9 y 10:[7,9,10K] = [7,9,10R] T [7,9,10k] [7,9,10R]
[K] =
Ahora procederemos a encontrar las matrices de Cargas Equivalentes de Extremo Fijo para cada miembro:
Donde el sub-ndice I denota el cdigo del miembro y los sub-ndices J, K denotan los nudos conectivos de dicho miembro (cercano y lejano).
ESFUERZOS EQUIVALENTES DE EXTREMO FIJO:
Reacciones de empotramiento perfecto:
Para el ejemplo, slo los miembros 7, 9, y 10 poseen carga distribuida y su matriz de fuerzas de empotramiento perfecto es la siguiente:
Para este caso la matriz de fuerzas es la misma para los elementos 7, 9 y 10, al tener similar geometra, dimensiones y misma condicin de carga.
En base a estos resultados podemos encontrar la matriz de fuerzas de empotramiento perfecto de cada miembro en coordenadas globales, con la siguiente expresin:
Donde:
[IFF] : Matriz de empotramiento en coordenadas globales
[IR] T:: Matriz de transformacin de coordenadas
[IfF] : Matriz de cargas equivalentes de extremo fijo en coord. locales
[IFF] = [IR] T [IfF]
Desarrollando el producto matricial obtenemos:
PROCEDIMIENTO DE ENSAMBLE DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ, FUERZAS Y DESPLAZAMIENTO
Ahora procederemos a resolver la siguiente ecuacin en forma matricial.
{IF}= [IK] {ID}+ {IFF}
Donde:
[IFF] : Matriz de fuerzas de empotramiento en coordenadas globales.
{ID} : Matriz de desplazamientos globales.
[IK] : Matriz de rigidez de miembro en coordenadas globales.
{IF} : Matriz de fuerzas del miembro en coordenadas globales.
Por simplicidad del problema la ecuacin anterior la trabajaremos con sub-matrices, todas las matrices se encuentran en coordenadas globales, esta ecuacin se aplica para cada miembro.
Donde el sub-ndice I denota el cdigo del miembro y los sub-ndices J, K denotan los nudos conectivos de dicho miembro.
1 paso.- Se preparan los casilleros de la matriz de rigidez de NJ x NJ, en este ejemplo la matriz de rigidez es de 8x8, la dividimos en sub-matrices de 3x3, para cada nudo:
Fig. 17Casilleros para el ensamble de la matriz de rigidez del nudo de la estructura
Donde:
U = Grados de libertad libres.
R = Grados de libertad restringidos.
NJ = Nmero de nudos.
2 paso.- Cada miembro tiene 4 sub-matrices, correspondientes a sus nudos, estas sub-matrices se colocan en el casillero correspondiente de la matriz de rigidez del prtico, Por ejemplo, el miembro I = 1, tiene las conectividades J = 6 y K = 4, y est dividida en 4 sub-matrices las cuales se colocan en los casilleros segn los sub-ndices, como se indica en la siguiente representacin de una sub-matriz: Entonces la sub-matriz [1K66] se ubica en el casillero de la fila 6 y la columna 6, la sub-matriz [1K64] se ubica en la fila 6 y la columna 4, y as sucesivamente con las otras sub-matrices quedando tal como se muestra en la siguiente figura; el mismo procedimiento se realiza con las sub-matrices de empotramiento, desplazamiento y fuerzas:
Fig. 18 Ensamble de la matriz de rigidez total de nudo, proceso de ensamblaje para el miembro I = 1.
Despus proseguimos ensamblando con el segundo miembro I = 2, J = 7 y K = 5, de la cual sus 4 sub-matrices se aaden en la matriz de rigidez global y posteriormente proseguimos con el miembro I = 3, J = 4 y K = 1, donde la sub-matriz [K44] se coloca en casillero (4,4) y encontramos que tenemos dos sub-matrices en el mismo casillero, esto significa que los miembros con el cdigo 1 y 3 tienen el mismo nudo conectivo y por lo tanto se superponen sumndose todas las sub-matrices que se colocan en un mismo casillero esto se produce solamente en la diagonal (ver Fig. 19). As sucesivamente se va ensamblando la matriz de rigidez de nudo con los dems miembros hasta completar todos ellos.
Fig. 19Proceso de ensamblaje de las matrices con los miembros 1,2 y 3.
CALCULO COMPUTARIZADO DE ESTRUCTURAS Mtodo de Rigidez
Fidel Copa Pineda1
MATRIZ DE CARGAS, EN EQUILBRIO CON LA FUERZA ELASTICA Y CARGA EQUIVALENTES DE EXTREMO FIJO DE LA ESTRUCTURA
=
+
Matriz de fuerzas de empotramiento
Matriz de desplazamientos globales
Matriz global de rigidez
Matriz de Cargas Nodales
ECUACIN MATRICIAL DE EQUILIBRIO DE LA ESTRUCTURA
MATRICES COMPLETAMENTE ENSAMBLADAS PARA EL PORTICO
La matriz de rigidez se divide en funcin a los nudos libres y restringidos, sabemos que los nudos del 1 al 5 son libres y los nudos 6, 7 y 8 estn restringidos entonces podemos dividir dicha matriz en la forma siguiente:
Donde:
U = Grados de libertad.
R = Grados restringidos.
Resolviendo la anterior ecuacin matricial hallamos los valores correspondientes a la matriz de desplazamientos en coordenadas globales:
{D} = [K]-1({F}- {FF})
CALCULO DE ACCIONES LOCALES EN CADA MIEMBRO
Para calcular estos esfuerzos, primeramente realizamos la transformacin de los desplazamientos globales a locales con la ecuacin (25) y posteriormente se calculan los esfuerzos con la ecuacin (11) as tenemos:
Miembro 1:[1R] {1D} = {1d}
=
x
[1k] {1d} + {1fF} = {1f}
+
=
Miembro 2:[2R] {2D} = {2d}
=
x
[2k] {2d} + {2fF} = {2f}
+
=
x
Miembro 3:[3R] {3D} = {3d}
=
x
[3k] {3d} + {3fF} = {3f}
x
+
=
Miembro 4:[4R] {4D} = {4d}
=
x
[4k] {4d} + {4fF} = {4f}
x
+
=
Miembro 5:[5R] {5D} = {5d}
=
x
[5k] {5d} + {5fF} = {5f}
x
+
=
Miembro 6:[6R] {6D} = {6d}
=
x
[6k] {6d} + {6fF} = {6f}
=
+
x
Miembro 7:[7R] {7D} = {7d}
x
=
[7k] {7d} + {7fF} = {7f}
=
x
+
Miembro 8:[8R] {8D} = {8d}
x
=
[7k] {7d} + {7fF} = {7f}
=
+
x
Miembro 9:[9R] {9D} = {9d}
=
x
[9k] {9d} + {9fF} = {9f}
=
x
+
Miembro 10:[10R] {10D} = {10d}
=
x
[10k] {10d} + {10fF} = {10f}
=
+
x
7.0 DEMOSTRACIN DEL CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ PARA MIEMBROS CON EXTREMOS RGIDOS ESTRUCTURAS
Tenemos estructuras tipo prtico (viga-columna) y con muros de corte como podemos apreciar en los figura 1
Figura 1. Estructuras con muros de corte modelo matemtico.
Para deducir la matriz nos fijamos en un miembro de una de estas estructuras y tenemos:
Figura .2 Miembro con extremos rgidos (end offsets).
De la figura 2. Sabemos
d L + c L + b L = L
Si: d = b = 0, simplificamos L tenemos que c = 1, entonces el miembro se comportara como una viga sin extremos rgidos (end offsets), caso contrario el miembro estar sujeto con extremos rgidos para lo cual recurrimos a la transportacin de fuerzas y desplazamiento de los nudos del miembro con zona flexible a los nudos con extremos rgidos, el cual se establece por equilibrio de fuerzas y geometra para el caso de los desplazamientos, como demostraremos mas adelante:
7.1 TRANSPORTACIN DE FUERZAS EN NUDOS DE LOS EXTREMOS DEL MIEMBRO
Para Fuerzas en los nudos J y K del miembro estructural, tenemos del grfico:
F4 = F4*
F5 = F5*
F6 = - F5*.bL + F6*
F1 = F1*
F2 = F2*
F3 = F2*.dL + F3*
{F} = [Tf].{F*} (I)
7.2 TRANSPORTACIN DE DESPLAZAMIENTOS EN NUDOS DE LOS EXTREMOS DEL MIEMBRO
D4 = D4*
D5 = D5* + bL.D6*
D6 = D6*
D1 = D1*
D2 = D2* + dL.D3*
D3 = D3*
{D} = [Td].{D*} (II)
De la relacin de la fuerza elstica o restauradora del miembro con zonas flexibles se conoce la matriz de rigidez y lo que se desea como se dijo anteriormente es transportar las fuerzas y desplazamientos al extremo del miembro con extremos rgidos
{F*} = [K].{D*}
Reemplazando esta en la ec-I, tenemos:
{F} = [Tf].[K]{D*} (III)
Reemplazando esta en la ec-II, tenemos:
{F} = [Tf].[K][Td]{D*}(IV)
Las operaciones matematicas se proceden en MathCad 14 como se muestra en el programa de computo del metodo de las rigideces pro procedimientos matriciales que se adjunta en el programa anexo a este documento. Se recomienda verificar la formulacion mediante el algebra matricial y se demostrara esta matriz de rigidez de un miembro estructural considerando la deformacion por esfuerzos: axial, cortante y flexion. Si no se tiene elementos con extremos rigidos se debera considerar c=1 y b=d=0, Y si ademas no se tiene elementos robustos como las vigas de gran peralte o muros de cortante se puede despreciar la deformacion por corte y para ello basta con hacer =0 y la matriz queda como la clasica de los porticos reticulares cosiderando solo deformaciones solo por esfuerzos axiales y por flexion .
Si b=d=0, queda c=1 y la matriz de rigidez de un miembro sin extremos rigidos, queda asi:
Si hacemos =0 la matriz se de rigidez se reduce aun mas y no se considera la deformacion por esfuerzo de corte
8.0 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN MIEMBRO TIPO 4 MURO DE CORTE O VIGA DE CORTE
Una fuerza cortante en un muro (columna robusta) causa esfuerzos por corte y flexin y estas son considerables cuando es mas robusta o ancha la columna causando errores si no se considera los efectos de deformacin por esfuerzo de corte. Una forma de analizarlo es calcular las deformaciones por separado primero en la figura de arriba descomponemos en dos partes la deformacin primero el efecto por deformacin por corte D y luego la deformacin debido a la flexin Dm y en base a ello calculamos la deformacin total Dt por el principio de superposicin de deformaciones, esto es.
Para hallar la matriz de flexibilidades [|F] de un muro de corte se aplica una fuerza lateral la misma que produce desplazamientos por corte y flexin.
Es as que podemos ver como produce deformaciones debido a corte y a flexin
Para hallar 11 y 21 para hallar estos valores observamos que existe corte y flexin diagrama cortante diagrama flexin
entonces 11 = D + DM
= G
Del diagrama por flexin obtenemos ( Dm ) por viga conjugada
Luego Dm ser igual al momento
Luego reemplazando F1 =1 obtenemos
Para hallar 12 y 22 para hallar estos valores observamos que no existe corte mas si hay flexin
Ahora para hallar 21 tenemos que el giro lo podemos hallar del rea del diagrama por flexin y reemplazando F1= 1 obtenemos
entonces 12 = D + DM
D = 0
Por lo tanto tenemos que 12 = DM este valor lo obtenemos por viga conjugada
Luego Dm ser igual al momento
Luego reemplazando F2 =1, tenemos
Ahora para hallar 22 tenemos que el giro lo podemos hallar del rea del diagrama por flexin y reemplazando F2= 1 obtenemos
Acoplamos estos resultado a la matriz de flexibilidad y obtenemos
Seccin debido a esfuerzo cortante Cortante
38
Fidel Copa Pineda
Tn
x
L
75
.
3
2
3
5
.
2
2
.
=
=
w
f
F
0
3.75
1.875
0
3.75
1.875
-
:=
X
Y
q
X
Y
q
F
F
0
3.75
1.875
0
3.75
1.875
-
:=
{
I
F
K
}
{
I
F
J
}
[
I
K
JJ
] [
I
K
JK
]
[
I
K
KJ
] [
I
K
KK
]
J
K
=
K
J
{
I
D
K
}
{
I
D
J
}
+
F
{
I
F
J
}
{
I
F
K
}
F
d
q
d
d
d
q
U
R
8
7
6
5
4
3
2
1
GRADOS DE LIBERTAD
=
+
R
U
8
7
6
5
4
3
2
1
NJxNJ
NJx1
NJx1
NJx1
R
U
=
{
F
4
}
{
F
6
}
+
F
F
{
D
6
}
{
D
4
}
{
1
F
6
}
{
1
F
4
}
1
2
3
4
5
6
7
8
U
R
[
1
K
66
]
[
1
K
64
]
[
1
K
46
]
[
1
K
44
]
1
2
3
4
5
6
7
8
{
D
7
}
{
D
1
}
F
{
3
F
1
}
F
{
3
F
4
}
F
{
2
F
5
}
F
{
2
F
7
}
{
1
F
4
}
+
{
1
F
6
}
{
D
4
}
{
D
6
}
F
F
+
8
7
6
5
4
3
2
1
U
R
R
U
8
7
6
5
4
3
2
1
{
F
6
}
{
F
4
}
+
=
[
2
K
57
]
[
2
K
55
]
[
2
K
75
]
[
2
K
77
]
[
3
K
14
]
[
3
K
41
]
[
3
K
11
]
[
1
K
46
]
[
1
K
64
]
[
1
K
66
]
[
1
K
44
]+
[
3
K
44
]
{
F
3
}
{
F
7
}
{
F
4
}
[
2
K
57
]
[
2
K
55
] +
[
4
K
55
] +
[
7
K
55
] +
[
8
K
55
]
[
2
K
75
]
[
2
K
77
] +
[
6
K
77
]
[
3
K
14
]
[
3
K
41
]
R
U
R
U
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
6
5
4
3
2
1
[
3
K
11
] +
[
8
K
11
] +
[
9
K
11
]
[
1
K
46
]
[
1
K
64
]
[
1
K
66
]
[
1
K
44
] +
[
3
K
44
] +
[
6
K
44
] +
[
7
K
44
]
[
4
K
52
]
[
4
K
22
] +
[
9
K
22
] +
[
10
K
22
]
[
4
K
25
]
[
5
K
88
]
[
5
K
83
]
[
5
K
33
] +
[
10
K
33
]
[
5
K
38
]
[
6
K
74
]
[
6
K
47
]
[
7
K
45
]
[
7
K
54
]
[
8
K
15
]
[
8
K
51
]
[
9
K
12
]
[
9
K
21
]
[
10
K
23
]
[
10
K
32
]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
{
D
7
}
{
D
1
}
F
{
3
F
1
}
+
{
8
F
1
}
+
{
9
F
1
}
F
{
2
F
5
}
+
{
4
F
5
}
+
{
7
F
5
}
+
{
8
F
5
}
F
{
2
F
7
}
+
{
6
F
7
}
{
1
F
4
}
+
{
3
F
4
}
+
{
6
F
4
}
+
{
7
F
4
}
{
1
F
6
}
{
D
4
}
{
D
6
}
F
F
+
{
4
F
2
}
+
{
9
F
2
}
+
{
10
F
2
}
F
{
5
F
8
}
F
{
5
F
3
}
+
{
10
F
3
}
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
=
{
D
2
}
{
D
3
}
{
D
5
}
{
D
8
}
{
F
8
}
{
F
5
}
{
F
3
}
{
F
2
}
{
F
6
}
{
F
4
}
{
F
1
}
{
F
7
}
{
F
1
}
{
F
4
}
{
F
2
}
{
F
3
}
{
F
5
}
{
D
5
}
{
D
3
}
{
D
2
}
=
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
{
5
F
3
}
+
{
10
F
3
}
F
{
4
F
2
}
+
{
9
F
2
}
+
{
10
F
2
}
+
F
{
D
4
}
{
1
F
4
}
+
{
3
F
4
}
+
{
6
F
4
}
+
{
7
F
4
}
{
2
F
5
}
+
{
4
F
5
}
+
{
7
F
5
}
+
{
8
F
5
}
F
{
3
F
1
}
+
{
8
F
1
}
+
{
9
F
1
}
F
{
D
1
}
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[
10
K
32
]
[
10
K
23
]
[
9
K
21
]
[
9
K
12
]
[
8
K
51
]
[
8
K
15
]
[
7
K
54
]
[
7
K
45
]
[
5
K
33
] +
[
10
K
33
]
[
4
K
25
]
[
4
K
22
] +
[
9
K
22
] +
[
10
K
22
]
[
4
K
52
]
[
1
K
44
] +
[
3
K
44
] +
[
6
K
44
] +
[
7
K
44
]
[
3
K
11
] +
[
8
K
11
] +
[
9
K
11
]
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
[
3
K
41
]
[
3
K
14
]
[
2
K
55
] +
[
4
K
55
] +
[
7
K
55
] +
[
8
K
55
]
0
3.75
1.875
0
7.5
0
0
3.75
1.875
-
0
3.75
1.875
0
3.75
1.875
-
8744.79
2262.74
-
123.07
6400
-
0
0
0
0
0
82.04
-
0
123.07
2262.74
-
2262.74
0
2262.74
-
8744.79
123.07
0
82.04
-
123.07
0
0
0
0
6400
-
0
2262.74
2262.74
-
0
123.07
123.07
492.27
0
123.07
-
123.07
0
0
0
123.07
-
0
123.07
0
0
0
6400
-
0
0
12882.04
0
123.07
6400
-
0
0
0
0
0
82.04
-
0
123.07
0
82.04
-
123.07
-
0
6564.09
0
0
82.04
-
123.07
0
0
0
0
6400
-
0
0
123.07
123.07
123.07
0
738.4
0
123.07
-
123.07
0
0
0
123.07
-
0
123.07
0
0
0
6400
-
0
0
6410.26
0
30.77
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
82.04
-
123.07
-
0
3282.04
123.07
-
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
123.07
123.07
30.77
123.07
-
369.2
0
0
0
0
0
0
82.04
-
0
123.07
-
0
0
0
0
0
0
8826.85
2262.74
-
0.03
6400
-
0
0
0
6400
-
0
0
0
0
0
0
0
2262.74
-
15144.79
123.07
0
82.04
-
123.07
123.07
0
123.07
0
0
0
0
0
0
0.03
123.07
738.45
0
123.07
-
123.07
2262.74
-
2262.74
0
82.04
-
0
123.07
-
0
0
0
6400
-
0
0
8826.83
2262.74
-
0
2262.74
2262.74
-
0
0
6400
-
0
0
0
0
0
82.04
-
123.07
-
2262.74
-
15144.79
123.07
-
0
0
0
123.07
0
123.07
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EI
L
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L
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L
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xj
d
yj
d
q
j
d
xk
d
yk
d
q
k
DD
T
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f
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f
2
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KL
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f
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D
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10.258
-
30.773
-
0
10.258
30.773
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0
30.773
61.547
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f
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D
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K
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AE
-
L
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L
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EI
L
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-
EI
L
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L
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EI
L
2
4
EI
L
0
6
-
EI
L
3
2
EI
L
AE
-
L
0
0
AE
L
0
0
0
12
-
EI
L
3
6
-
EI
L
3
0
12
EI
L
3
6
-
EI
L
3
0
6
EI
L
2
2
EI
L
0
6
-
EI
L
3
4
EI
L
2
R
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fe
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=
f
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19.61
-
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=
R
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1
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1
=
D
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-
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0.003
-
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-
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-
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-
=
KL
7
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123.093
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-
123.093
-
0
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123.093
-
0
123.093
123.093
0
123.093
-
246.187
=
fe
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0
3.75
1.88
-
=
KL
7
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6400
-
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123.093
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82.062
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123.093
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123.093
-
123.093
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-
0
0
6400
0
0
0
82.062
-
123.093
-
0
82.062
123.093
-
0
123.093
123.093
0
123.093
-
246.187
=
fe
7
0
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1.88
0
3.75
1.88
-
=
1
1
1
1
1
1
f
7
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-
3.443
1.096
9.407
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2.019
-
=
R
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0.707
0
0
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0
0.707
-
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0.707
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0.707
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1
=
D
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0.007
-
0.01
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-
0.001
-
=
R
8
D
8
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0.00703
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=
KL
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4525.483
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0
0
0
0
=
fe
8
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0
0
0
0
0
=
f
8
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0
13.588
-
0
0
=
D
9
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-
0.021
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-
0.002
-
=
R
9
D
9
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-
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-
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-
=
d
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L
0
0
AE
-
L
0
0
0
3
EI
L
3
0
0
3
-
EI
L
3
3
EI
L
2
0
0
0
0
0
0
AE
-
L
0
0
AE
L
0
0
0
3
-
EI
L
3
0
0
3
EI
L
3
3
-
EI
L
2
0
3
EI
L
2
0
0
3
-
EI
L
2
3
EI
L
KL
9
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0
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-
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-
123.093
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-
0
0
6400
0
0
0
82.062
-
123.093
-
0
82.062
123.093
-
0
123.093
123.093
0
123.093
-
246.187
=
fe
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1.88
0
3.75
1.88
-
=
f
9
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3.287
0.885
0.932
-
4.213
2.273
-
=
R
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1
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0
0
0
0
0
1
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0
0
0
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0
0
0
0
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0
0
0
0
1
=
D
10
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0.005
-
0.002
-
0.021
0.001
-
0.005
=
R
10
D
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-
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-
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-
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KL
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0
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0
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0
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123.093
0
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-
246.187
=
R
10
D
10
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0.00465
-
0.00223
-
0.02125
0.00115
-
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=
KL
10
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0
0
6400
-
0
0
0
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0
82.062
-
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0
123.093
-
123.093
6400
-
0
0
6400
0
0
0
82.062
-
123.093
-
0
82.062
123.093
-
0
123.093
123.093
0
123.093
-
246.187
=
f
10
0.379
3.831
1.538
0.379
-
3.669
1.296
-
=
0.359
0.358
1.175
1.092
0.737
0.885
0.885
0.927
0.735
0.975
1.296
1.296
1.096
2.019
2.273
1.538
1.27
1.25
1.40
-
+
-
-
-
+
+
+
-
-
-
+
-
-
-
+
+
+
4.213
0.756
0.541
0.554
0.379
3.443
4.057
3.287
3.831
3.669
+
-
+
+
-
+
-
+
-
+
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
DIAGRAMA DE FUERZAS CORTANTES
1
1
1
1
1
1
16.74
-21.709
6.321
-16.74
-19.61
-8.043
9.407
-0.932
-0.379
-3.669
-
+
-
+
-
+
-
-
DIAGRAMA DE FUERZAS AXIALES
-
=
*
*
*
*
*
*
6
5
4
3
2
1
.
1
.
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
.
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
6
5
4
3
2
1
F
F
F
F
F
F
L
b
L
d
F
F
F
F
F
F
=
*
*
*
*
*
*
6
5
4
3
2
1
.
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
6
5
4
3
2
1
D
D
D
D
D
D
bL
dL
D
D
D
D
D
D
1
0
0
0
0
0
0
1
d
L
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
b
-
L
0
0
0
0
0
1
AE
c
L
0
0
AE
c
L
-
0
0
0
12
EI
c
L
(
)
3
6
EI
c
L
(
)
2
0
12
EI
c
L
(
)
3
-
6
EI
c
L
(
)
2
0
6
EI
c
L
(
)
2
4
a
+
(
)
EI
c
L
0
6
EI
c
L
(
)
2
-
2
a
-
(
)
EI
c
L
AE
c
L
-
0
0
AE
c
L
0
0
0
12
EI
c
L
(
)
3
-
6
EI
c
L
(
)
2
-
0
12
EI
c
L
(
)
3
6
EI
c
L
(
)
2
-
0
6
EI
c
L
(
)
2
2
a
-
(
)
EI
c
L
0
6
EI
c
L
(
)
2
-
4
a
+
(
)
EI
c
L
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
d
-
L
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
b
L
1
1
-
AE
c
L
0
0
AE
-
c
L
0
0
0
12
EI
c
3
L
3
12
d
L
2
EI
c
3
6
EI
c
2
L
2
+
0
12
-
(
)
EI
c
3
L
3
12
EI
c
3
L
2
b
6
EI
c
2
L
2
+
0
12
d
L
2
EI
c
3
6
EI
c
2
L
2
+
12
d
L
2
EI
c
3
6
EI
c
2
L
2
+
d
L
6
d
L
EI
c
2
+
4
a
+
(
)
EI
c
L
+
0
12
-
(
)
d
L
2
EI
c
3
6
EI
c
2
L
2
-
12
EI
c
3
L
2
b
6
EI
c
2
L
2
+
d
L
6
b
L
EI
c
2
+
2
a
-
(
)
EI
c
L
+
AE
-
c
L
0
0
AE
c
L
0
0
0
12
-
(
)
EI
c
3
L
3
12
-
(
)
d
L
2
EI
c
3
6
EI
c
2
L
2
-
0
12
EI
c
3
L
3
12
-
(
)
EI
c
3
L
2
b
6
EI
c
2
L
2
-
0
12
EI
c
3
L
2
b
6
EI
c
2
L
2
+
12
-
(
)
d
L
2
EI
c
3
6
EI
c
2
L
2
-
-
b
L
6
d
L
EI
c
2
+
2
a
-
(
)
EI
c
L
+
0
12
-
(
)
EI
c
3
L
2
b
6
EI
c
2
L
2
-
12
-
(
)
EI
c
3
L
2
b
6
EI
c
2
L
2
-
-
b
L
6
b
L
EI
c
2
+
4
a
+
(
)
EI
c
L
+
*
AE
c
L
0
0
AE
-
c
L
0
0
0
12
EI
c
3
L
3
6
EI
2
d
c
+
c
3
L
2
0
12
-
(
)
EI
c
3
L
3
6
EI
2
b
c
+
c
3
L
2
0
6
EI
2
d
c
+
c
3
L
2
EI
L
12
d
2
12
d
c
+
4
c
2
+
c
2
a
+
c
3
0
6
-
(
)
EI
2
d
c
+
c
3
L
2
EI
L
12
b
d
6
d
c
+
6
b
c
+
2
c
2
c
2
a
-
+
c
3
AE
-
c
L
0
0
AE
c
L
0
0
0
12
-
(
)
EI
c
3
L
3
6
-
(
)
EI
2
d
c
+
c
3
L
2
0
12
EI
c
3
L
3
6
-
(
)
EI
2
b
c
+
c
3
L
2
0
6
EI
2
b
c
+
c
3
L
2
EI
L
12
b
d
6
d
c
+
6
b
c
+
2
c
2
c
2
a
-
+
c
3
0
6
-
(
)
EI
2
b
c
+
c
3
L
2
EI
L
12
b
2
12
b
c
+
4
c
2
+
c
2
a
+
c
3
1
1
a
+
1
1
1
1
1
1
AE
c
L
0
0
AE
c
L
-
0
0
0
12
EI
c
L
(
)
3
6
EI
c
L
(
)
2
0
12
EI
c
L
(
)
3
-
6
EI
c
L
(
)
2
0
6
EI
c
L
(
)
2
4
a
+
(
)
EI
c
L
0
6
EI
c
L
(
)
2
-
2
a
-
(
)
EI
c
L
AE
c
L
-
0
0
AE
c
L
0
0
0
12
EI
c
L
(
)
3
-
6
EI
c
L
(
)
2
-
0
12
EI
c
L
(
)
3
6
EI
c
L
(
)
2
-
0
6
EI
c
L
(
)
2
2
a
-
(
)
EI
c
L
0
6
EI
c
L
(
)
2
-
4
a
+
(
)
EI
c
L
1
1
a
+
EI
FL
Dm
3
3
=
rw
GA
FL
D
=
t
t +
t
EI
FL
GA
FL
D
D
D
D
rw
t
m
t
3
3
+
=
+
=
t
d
d
2
d
d
22
t
d
d2
d
d22
K
AE
L
0
0
AE
-
L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
AE
-
L
0
0
AE
L
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
L
D
G
Arw
F
t
.
=
L
D
t
g
=
Arw
G
L
F
D
.
.
=
t
EI
L
F
EI
L
L
F
Area
P
.
2
.
1
.
2
.
.
1
2
=
=
=
EI
L
F
L
EI
L
F
Dm
3
.
1
3
.
2
*
2
.
1
3
2
=
=
EI
L
2
21
2
=
d
EI
L
Arw
G
L
3
.
11
3
+
=
d
1
1
1
1
1
1
EI
L
F
Area
P
.
.
.
2
=
=
EI
L
2
12
2
=
d
EI
L
F
L
EI
L
F
Dm
2
.
2
2
.
*
.
2
2
=
=
EI
L
=
22
d
+
=
EI
L
EI
L
EI
L
GArw
L
EI
L
IF
2
2
3
2
2
3
Fig. Frmulas del rea reducida de cortante Arw. (Traducido del Wilson Book 2001)
rea de cortante reducida
para seccin rectangular
para ambas direcciones.
Seccin de ala ancha fuerza
cortante paralela a las alas.
Seccin de ala ancha fuerza
cortante paralela al alma.
Pared delgada
Tubo de Seccin circular
fuerza cortante para alguna
direccin
Seccin circular slida
Fuerza cortante para alguna
direccin.
Pared delgada
Tubo de Seccin rectangular
fuerza cortante paralela a la
direccin d.
Seccin General
Fuerza cortante paralela a la
direccin Y
Ix = momento de inercia de la
seccin alrededor de X-X
Seccin
Descripcin
rea reducida
de corte Arw
L
K
s
1
0
0
s
1
-
0
0
0
s
2
s
3
0
s
2
-
s
3
0
s
3
s
5
0
s
3
-
s
4
s
1
-
0
0
s
1
0
0
0
s
2
-
s
3
-
0
s
2
s
3
-
0
s
3
s
4
0
s
3
-
s
5
bL
aL
cL
Matriz de Rigidez de un elemento con deformacin por cortante y extremos rgidos
KLw
1
1
a
i
+
A
E
c
L
0
0
A
-
E
c
L
0
0
0
12
E
I
c
3
L
3
12
d
L
2
E
I
c
3
6
c
2
L
2
+
0
12
-
c
3
L
3
12
b
L
2
c
3
6
c
2
L
2
+
0
12
d
L
2
E
I
c
3
6
c
2
L
2
+
12
d
L
2
E
I
c
3
6
c
2
L
2
+
d
L
6
d
L
c
2
+
4
a
+
c
L
+
0
12
-
d
L
2
c
3
6
c
2
L
2
-
12
b
L
2
c
3
6
c
2
L
2
+
d
L
6
b
L
c
2
+
2
a
-
c
L
+
A
-
E
c
L
0
0
A
E
c
L
0
0
0
12
-
c
3
L
3
12
-
d
L
2
c
3
6
c
2
L
2
-
0
12
c
3
L
3
12
-
b
L
2
c
3
6
c
2
L
2
-
0
12
b
L
2
c
3
6
c
2
L
2
+
12
-
d
L
2
c
3
6
c
2
L
2
-
-
b
L
6
d
L
c
2
+
2
a
-
c
L
+
0
12
-
b
L
2
c
3
6
c
2
L
2
-
12
-
b
L
2
c
3
6
c
2
L
2
-
-
b
L
6
b
L
c
2
+
4
a
+
c
L
+
expresando en forma paramtrica para un elemento i-simo, se tiene
W1
i
Arw
i
E
c
i
L
i
:=
W2
i
12
E
I
i
1
a
i
+
(
)
c
i
(
)
L
i
(
)
3
:=
KLw
i
W1
i
0
0
W1
i
-
0
0
0
W2
i
W3
i
0
W2
i
-
W4
i
0
W3
i
W6
i
0
W3
i
-
W5
i
W1
i
-
0
0
W1
i
0
0
0
W2
i
-
W3
i
-
0
W2
i
W4
i
-
0
W4
i
W5
i
0