capítulo 2: cálculo diferencial de una y varias...
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Capıtulo 2: Calculo diferencial de una yvarias variables
(Fundamentos Matematicos de la Biotecnologıa)
Departamento de MatematicasUniversidad de Murcia
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
ContenidosLımites y continuidad
Lımites lateralesLımites infinitos y lımites en el infinitoCalculo de lımitesContinuidad de una funcion
Derivada de una funcionDefinicion de derivada y aplicacionesReglas de derivacionEl polinomio de TaylorCrecimiento y decrecimiento de una funcionMaximos y mınimos de una funcion
Representacion grafica de una funcion
Funciones de varias variablesFunciones escalares de dos variablesLımites y continuidad de funciones de dos variablesLas derivadas parcialesGradiente y derivada direccionalExtremos de funciones de dos variables
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Lımites y continuidad
Concepto de lımite
Definicion (intuitiva) de lımite
Sean f : R −→ R una funcion real y c ∈ R. Decimos que el lımite def (x), cuando x tiende a c , es L, si f (x) se aproxima a L a medida que xse acerca a c . Escribiremos
L = lımx→c
f (x).
Pero, ¿que significa que ((x se acerca a c)) (en R)?
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Lımites y continuidad
Lımites laterales
Definicion de lımites laterales
En la recta real R nos podemos aproximar a un numero c por la izquierdao por la derecha. Esto conduce a la siguiente definicion.
Lımites por la izquierda y por la derecha
El lımite por la izquierda (derecha) de f (x), cuando x tiende a c , es L sif (x) se aproxima a L a medida que x se acerca a c por la izquierda(derecha):
L = lımx→c−
f (x)
(respectivamente, L = lımx→c+ f (x))
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Lımites y continuidad
Lımites laterales
Lımites laterales y lımite
Los lımites laterales no siempre existen.Por ejemplo:
f (x) =√
x .Entonces
lımx→0−
√x =
?
no existe
lımx→0+
√x = 0
Los lımites laterales pueden existir pero nocoincidir. Por ejemplo:
f (x) =|x |x
.
Entonces
lımx→0−
|x |x
=
?
− 1
lımx→0+
|x |x
= 1
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Lımites y continuidad
Lımites infinitos y lımites en el infinito
Lımites infinitos
Lımite +∞ (respectivamente, −∞)
Se dice que f tiene lımite infinito (menos infinito) cuando x tiende a c , sidado cualquier numero M > 0 (N < 0) se cumple que f (x) > M(f (x) < N) siempre que x se acerque suficientemente a c :
lımx→c
f (x) = +∞.
(lımx→c f (x) = −∞).
La recta x = c se denomina asıntota vertical de la funcion f .
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Lımites y continuidad
Lımites infinitos y lımites en el infinito
Lımites infinitos
f (x) =1
x2f (x) =
1
1− x
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Lımites y continuidad
Lımites infinitos y lımites en el infinito
Lımites en el infinito
Lımite en +∞ (respectivamente, en −∞)
Diremos que el lımite de f cuando x tiende a +∞ (−∞) es L si losvalores de f (x) se aproximan a L tanto como queramos cuando x essuficientemente grande (pequeno):
lımx→+∞
f (x) = L
(lımx→−∞ f (x) = L).
La recta y = L se denomina asıntota horizontal de la funcion f .
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Lımites y continuidad
Lımites infinitos y lımites en el infinito
Lımites en el infinito
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Lımites y continuidad
Calculo de lımites
¿Como calcular lımites?Las propiedades basicas de los lımites (infinitos o no) son las siguientes:
1 Lımite de una suma (o diferencia):
lımx→c
[f (x)± g(x)] = lımx→c
f (x)± lımx→c
g(x)
2 Lımite de un producto:
lımx→c
[f (x)g(x)] = lımx→c
f (x) lımx→c
g(x)
3 Lımite de un cociente:
lımx→c
f (x)
g(x)=
lımx→c f (x)
lımx→c g(x), si lım
x→cg(x) 6= 0
4 Lımite de una potencia:
lımx→c
[f (x)b] = ( lımx→c
f (x))b
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Lımites y continuidad
Calculo de lımites
¿Que hacemos con ((los infinitos)) en los lımites?
Si al calcular un lımite se obtiene:
+∞+∞ = +∞, −∞−∞ = −∞.
c +∞ = +∞, c −∞ = −∞, para todo c ∈ R.
(+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞
(+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
Si c > 0: c × (+∞) = +∞, c × (−∞) = −∞.
Si c < 0: c × (+∞) = −∞, c × (−∞) = +∞.
c
+∞=
c
−∞= 0, para todo c ∈ R.
Si c > 0: lımx→0+
c
x= +∞, lım
x→0−
c
x= −∞.
Si c < 0: lımx→0+
c
x= −∞, lım
x→0−
c
x= +∞.
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Lımites y continuidad
Calculo de lımites
¿Como calcular lımites?
¡OJO!
Las siguientes expresiones son ((indeterminaciones)):
0× (±∞), +∞−∞, −∞+∞,0
0,
±∞±∞
, 1±∞, 00, (±∞)0.
Algunas estrategias para calcular lımites son las siguientes:
Sustitucion, factorizacion o simplificacion, operaciones elementales...
Si obtenemos0
0o±∞±∞
−→ Regla de L’Hopital:
lımx→c
f (x)
g(x)= lım
x→c
f ′(x)
g ′(x).
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Lımites y continuidad
Continuidad de una funcion
Concepto de continuidad
Continuidad en un punto
Sean f : R −→ R una funcion real y c ∈ R un numero. Se dice que f escontinua en c si se satisfacen las siguientes tres condiciones:
1 Existe f (c) (es decir, c ∈ dom(f )).
2 Existe lımx→c f (x).
3 lımx→c f (x) = f (c).
La funcion f es continua si lo es en todos los puntos de su dominio.
La funcion f es discontinua en c si no es continua en c .
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Lımites y continuidad
Continuidad de una funcion
Ejemplos de funciones continuas y discontinuas
1 Todas las funciones polinomicas son continuas.
2 Las funciones exponenciales y logarıtmicas son continuas.
3 Las funciones trigonometricas son continuas.
4 La funcion valor absoluto f (x) = |x | es continua.
5 La funcion
f (x) =
x si x < 1,2 si x = 1,1 si x > 1,
es discontinua en x = 1.
6 La funcion parte entera es discontinua.
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Lımites y continuidad
Continuidad de una funcion
Operaciones con funciones y continuidad
Si f y g son funciones continuas en c , entonces tambien soncontinuas en c :
la suma, f + g ,
la diferencia, f − g ,
el producto, f · g ,
y el cociente,f
g, si g(c) 6= 0.
Si f es una funcion continua en c y g es una funcion continua enf (c), entonces la composicion g ◦ f es una funcion continua en c .
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Derivada de una funcion
¿Como obtener la recta tangente a una grafica?
Dada una funcion y = f (x), sea P = (x0, f (x0)) un punto de sugrafica.
Si Q = (x , f (x)) se aproxima a P, es decir, si x tiende a x0, entoncesla recta que une Q y P ((se acerca)) a la recta tangente en P.
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Derivada de una funcion
¿Como obtener la recta tangente a una grafica?La recta que pasa por los puntos
(x0, f (x0)
)y
(x , f (x)
)viene dada por
f (x)− f (x0) = mx(x − x0),
donde mx es la pendiente de la recta (tangente del angulo que forma conel eje OX ).
Ası, si x tiende a x0, tambien las pendientes mx de las rectas seaproximaran a m:
m = lımx→x0
mx
= lımx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0
= lımh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h.
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Derivada de una funcion
Definicion de derivada y aplicaciones
La derivada de una funcion
Una funcion f : R −→ R se dice derivable en un punto x0 si existe
lımx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lım
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h.
Este lımite se llama la derivada de f (x) en x0 y se representa por
f ′(x0) odf
dx(x0).
Si no existe f ′(x0) se dice que f no es derivable en x0.
La recta tangente en f (x0) se escribe y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0).
Por ejemplo:
f (x) = x2 + 2 es derivable en x0 = 1.
f (x) = |x | no es derivable en x0 = 0.
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Derivada de una funcion
Definicion de derivada y aplicaciones
Derivada y continuidad
1 Una funcion continua en un punto no tiene por que ser derivable endicho punto.
Tomemos la funcion
f (x) = |x |
y consideremos el punto x0 = 0.
2 Una funcion derivable en un punto tambien es continua en dichopunto.
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Derivada de una funcion
Reglas de derivacion
Reglas basicas de derivacion
1 Si f (x) = c , con c constante, entonces f ′(x) = 0.
2 Si F (x) = c f (x), con c constante, entonces F ′(x) = c f ′(x).
3 Si F (x) = f (x)± g(x) entonces F ′(x) = f ′(x)± g ′(x).
4 Si G (x) = f (x)g(x) entonces G ′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x).
5 Si H(x) =f (x)
g(x)entonces H ′(x) =
f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)
g(x)2.
6 Regla de la cadena: (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)
)g ′(x).
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Derivada de una funcion
Reglas de derivacion
Derivadas de las funciones elementales
f (x) f ′(x) f (x) f ′(x)
x r , r ∈ R rx r−1√
x1
2√
x
ln x1
xloga x
1
xloga e
ex ex ax ax ln a
sen x cos x cos x − sen x
tg x 1 + tg2 x cotg x −(1 + cotg2 x)
sec x sec x tg x cosec x − cosec x cotg x
arc sen x1√
1− x2arc cos x − 1√
1− x2
arc tg x1
1 + x2arccotg x − 1
1 + x2
senh x cosh x cosh x senh x
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Derivada de una funcion
El polinomio de Taylor
El polinomio de Taylor
La recta tangente y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) a y = f (x) en x0 esuna funcion lineal que ((aproxima)) f ((cerca)) de x0.
¿Existe un polinomio de grado mayor que ((aproxime)) mejor a f ?
El polinomio de Taylor
Sea f (x) una funcion que es derivable, al menos, n veces, en un puntox0. Se llama polinomio de Taylor de grado n de f a
P(x) = f (x0)+f ′(x0)
1!(x−x0)+
f ′′(x0)
2!(x−x0)
2 + · · ·+ f (n)(x0)
n!(x−x0)
n.
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Derivada de una funcion
El polinomio de Taylor
El polinomio de Taylor
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Derivada de una funcion
Crecimiento y decrecimiento de una funcion
Crecimiento y decrecimiento de una funcion
Funcion creciente y decreciente
Una funcion f : R −→ R es creciente en un intervalo I si paracualesquiera x1, x2 ∈ I con x1 < x2, se tiene que f (x1) ≤ f (x2).
Una funcion f : R −→ R es decreciente en un intervalo I si paracualesquiera x1, x2 ∈ I tales que x1 < x2 se tiene que f (x1) ≥ f (x2)
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Derivada de una funcion
Crecimiento y decrecimiento de una funcion
Derivabilidad y monotonıa
Derivabilidad y monotonıa estan relacionadas. Recordemos:
f ′(x0) = lımx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0.
Si f ′(x0) > 0 entonces f es creciente.
O bien x < x0 y f (x) < f (x0) =⇒ Creciente.
O bien x > x0 y f (x) > f (x0) =⇒ Creciente.
Si f ′(x0) < 0 entonces f es decreciente.
O bien x < x0 y f (x) > f (x0) =⇒ Decreciente.
O bien x > x0 y f (x) < f (x0) =⇒ Decreciente.
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Derivada de una funcion
Maximos y mınimos de una funcion
Extremos relativos de una funcionMaximos relativosSea f : R −→ R una funcion real.
Se dice que f tiene un maximo relativo (resp., maximo relativo estricto)en el punto x0 si f (x0) ≥ f (x) (resp., f (x0) > f (x)) para los puntos xsuficientemente proximos a x0.
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Derivada de una funcion
Maximos y mınimos de una funcion
Extremos relativos de una funcionMınimos relativosSea f : R −→ R una funcion real.
Se dice que f tiene un mınimo relativo (resp., mınimo relativo estricto)en el punto x0 si f (x0) ≤ f (x) (resp., f (x0) < f (x)) para los puntos xsuficientemente proximos a x0.
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Derivada de una funcion
Maximos y mınimos de una funcion
Extremos relativos y derivabilidad
Derivabilidad y extremos relativos estan relacionados. Ya sabemos que:
f es creciente en los intervalos donde f ′(x) > 0.
f es decreciente en los intervalos donde f ′(x) < 0.
¿Que ocurre si f ′(x0) = 0? Pueden suceder varias cosas:
1 f ′(x) > 0 si x < x0 (f es creciente antes de x0) y f ′(x) < 0 six > x0 (f es decreciente despues de x0). Luego en x0 hay un maximorelativo.
2 f ′(x) < 0 si x < x0 (f es decreciente antes de x0) y f ′(x) > 0 six > x0 (f es creciente despues de x0). Luego en x0 hay un mınimorelativo.
3 f ′(x) tiene el mismo signo alrededor de x0, de modo que f es siemprecreciente o decreciente, por lo que en x0 hay un punto de inflexion.
Capıtulo 2: Calculo diferencial de una y varias variables
Derivada de una funcion
Maximos y mınimos de una funcion
Extremos relativos y derivada segunda
Todo esto puede expresarse en terminos de la derivada segunda:
1 Si f ′′(x0) < 0 entonces hay un maximo relativo en x0.
2 Si f ′′(x0) > 0 entonces hay un mınimo relativo en x0.
3 Si f ′′(x0) = 0 entonces podrıa haber un punto de inflexion, unmaximo o un mınimos relativos.
Ejemplo:
La funcion f (x) =4x
x2 + 4tiene
un maximo relativo en x = 2 y unmınimo relativo en x = −2.
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Representacion grafica de una funcion
Representacion grafica de una funcion
Para representar la grafica de una funcion y = f (x) conviene:
1 Determinar el dominio de la funcion.
2 Determinar los cortes con los ejes y estudiar el signo de la funcion encada intervalo.
3 Analizar las simetrıas de la funcion: ¿f (−x) = ±f (x)?
4 Determinar las asıntotas verticales y horizontales.
5 Determinar las asıntotas oblicuas: si existen los lımites
lımx→±∞
f (x)
x= m y lım
x→±∞
(f (x)−mx
)= n,
entonces la recta y = mx + n es una asıntota oblicua.
6 Estudiar el crecimiento y decrecimiento.
7 Calcular los extremos relativos: maximos y mınimos y posiblespuntos de inflexion.