capítulo 2 deformaciones -...
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Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
Facultad de Ingeniería - U.N.N.E. 1
Capítulo 2 Deformaciones
2 - 1 : INTRODUCCIÓN
Es bien conocido el hecho que un sólido sometido a un estado de cargas, efectos de temperatura, etc., sufre un estado de deformación que se puede visualizar por el corrimiento de sus partículas que pasan de un estado inicial (configuración inicial) a un estado final deformado (configuración final).
Se podrán entonces medir los desplazamientos de las partículas o también las deformaciones específicas que producen alargamientos o acortamientos de la distancia entre dos partículas próximas o bien el cambio de forma producido por la variación de ángulos entre la configuración final y la inicial.
Analizaremos en este capítulo el Estado de Deformación mediante un estudio geométrico de los desplazamientos, tratando de interpretarlas con el objeto de relacionarlas a posteriori con el Estado de Tensiones.
Denominaremos con la palabra "punto" a la posición en el espacio físico y geométrico y estará determinado por sus coordenadas, mientras que la palabra "partícula" se referirá a un pequeño elemento de volumen o "punto material" del sólido continuo.
En general las deformaciones se pueden tratar en dos campos: a) Deformaciones finitas que conduce a tratamientos no lineales b) Deformaciones infinitesimales, que por ser muy pequeñas se consideran
como infinitésimos físicos permitiendo la linealización del planteo matemático, simplificando enormemente la solución de los problemas.
Trataremos en este capítulo el caso b) de deformaciones infinitesimales, en un medio continuo con deformaciones lentas representadas por funciones continuas. 2 - 2 : DEFORMACIONES EN TORNO DE UN PUNTO
Sea un sólido deformable, para
el cual estudiamos los desplazamientos de una partícula P de coordenadas iniciales ( )321 x,x,x y el desplazamiento de otra partícula Q de su entorno próximo.
La partícula P después de la deformación se traslada a P' con un desplazamiento:
[ ]321 u,u,u'PPP ==δ mientras que para Q se producirá un desplazamiento 'QQQ =δ .
De la figura y considerando que drPQ = es infinitesimal (muy pequeño) por ser muy próximas las partículas P y Q y que las funciones de
deformación son continuas, con desplazamientos muy pequeños, tendremos las coordenadas:
[ ]321 x,x,xP = [ ]ixP =
x3
x1
x2
x1
x2
x3
P
Q P'
Q'
dr
dr'
δP
δQ
u1
u2
u3
O
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[ ]332211 dxx,dxx,dxxQ +++= [ ]ii dxxQ += [ ]321 dx,dx,dxdr = [ ]idxdr =
Los desplazamientos de P y Q serán:
[ ]321 u,u,uP =δ [ ]iuP =δ [ ]332211 duu,duu,duuQ +++=δ [ ]ii duuQ +=δ
Donde los desplazamientos (corrimientos) [ ]iu son funciones continuas que dependen
de las coordenadas [ ]ix de la posición de la partícula.
( )( )( )32133
32122
32111
x,x,xuu
x,x,xuu
x,x,xuu
=
=
=
( )jii xuu =
Se cumplirá que, despreciando infinitésimos de segundo orden:
33
32
2
31
1
33
33
22
2
21
1
22
33
12
2
11
1
11
dx.xu
dx.xu
dx.xu
du
dx.xudx.
xudx.
xudu
dx.xudx.
xudx.
xudu
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
jj,ijj
ii dxudx.
xu
du =∂∂
=
Matricialmente podemos escribir:
CdrPQ +δ=δ con:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
C y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
dx
dx
dx
dr
Matriz que podemos descomponer en la suma de una matriz simétrica D y una
antisimétrica R.
[ ] [ ] [ ]RDC += , con 2CCD
T+= y
2CCR
T−=
Siendo:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
=
3
3
3
2
2
3
3
1
1
3
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
xu
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
D
P
Q
P'
Q'
δQ Q''
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matriz simétrica, cuyos componentes son infinitésimos de primer orden
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=
0xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
210
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
210
R
3
2
2
3
3
1
1
3
2
3
3
2
2
1
1
2
1
3
3
1
1
2
2
1
matriz antisimétrica, cuyos componentes son infinitésimos de primer orden.
De la figura se desprende: ( )PQdr'dr δ−δ+=
Como teníamos anteriormente: ( ) dr.CPQ =δ−δ
dr.Rdr.Ddr.Idr.Cdr.ICdrdr'dr ++=+=+= Las matrices D; R; y C tienen carácter tensorial conociéndoselas con el nombre de:
D: Tensor o matriz de deformación lineal R: Tensor o matriz de rotación lineal
Analizaremos por separado los efectos de D y R en el proceso de desplazamiento o deformación, pero adelantamos que el vector dr está sometido a:
a) Un desplazamiento paralelo como si fuera un rígido definido por la matriz de transformación I (unidad)
b) Una rotación como si fuera un rígido definida por la matriz R c) Una deformación (específica) con cambio de módulo y de dirección definido
por la matriz D como estudiaremos en 2-3 y 2-4 2 - 3 : INTERPRETACIÓN DE LA EXPRESIÓN rd.Drd.Rrd.I'rd rrrr ++=
Veamos ahora de tratar de comprender qué le
pasa al elemento dr=PQ para alcanzar a convertirse en dr'=P'Q' después de la deformación.
Para ello partamos de la expresión final del tema (2-2): rd.Drd.Rrd.I'rd rrrr ++= y pensemos que el elemento dr llega al dr' mediante tres etapas sucesivas que en realidad se producen simultáneamente.
a) Traslación como un rígido en forma paralela a si mismo pasando de PQ a P'Q".
Siendo I la matriz unidad, este movimiento queda definido por la expresión "Q'Prd.IrdPQ === rr , no significando ni rotaciones ni deformaciones específicas.
P
Q
P'
Q'
δQ Q''
P
Q
P'
Q''
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b) Rotación como un rígido pasando de P'Q" a P'Q"' mediante la rotación que produce una traslación Q'Q"' normal a P'Q", no significando tampoco deformaciones específicas, y está representada por la expresión: Q"Q"'=R.dr.
Los desplazamientos a) y b) para pasar de PQ a P'Q"' son solo movimientos (desplazamientos) como un rígido que no cambian la longitud de dr, y veremos más adelante que no produce tensiones al ser nulas las deformaciones específicas, y están representadas por la expresión ( ) rd.RIrd.Rrd.I rrr +=+
c) Desplazamiento debido a deformaciones específicas para pasar de P'Q"' a P'Q' . Este desplazamiento definido por la expresión D.dr produce debido a las deformaciones específicas
i
iiiii x
u2 ∂
∂=
γ=ε
i
j
j
iij x
uxu
∂
∂+
∂∂
=γ
cambio de dirección y de longitud del elemento dr y que más adelante relacionaremos con el tensor de tensiones.
2 - 4 : INTERPRETACIÓN DEL TENSOR DE DEFORMACIÓN LINEAL (D)
De acuerdo con (2-2)
[ ]321 dx,dx,dxdr = ∴ 23
22
21
2 dxdxdxdr ++=
[ ]332211 dudx,dudx,dudx'dr +++= con 33
i2
2
i1
1
ii dx.
xu
dx.xu
dx.xu
du∂∂
+∂∂
+∂∂
=
2
33
32
2
31
1
33
2
33
22
2
21
1
22
2
33
12
2
11
1
11
2
dxxu
dxxu
dxxu
dx
dxxu
dxxu
dxxu
dxdxxu
dxxu
dxxu
dx'dr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+=
que desarrollada y considerando a los ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
j
i
xu como infinitesimales de primer orden y sus
productos o cuadrados de segundo orden despreciables, obtendremos:
Ω = d Idr .
drR I ).( +
Q''
P'
Q'''d Idr .
drR I ).(
P
Q
P'
Q'
Q''
Q'''
D.dr
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211
2
2
123
3
322
2
22
1
12 dx.dxxu
xu
2dxxu
21dxxu
21dxxu
21'dr1 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+=
133
1
1
332
2
3
3
2 dx.dxxu
xu
2dx.dxxu
xu
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+
longitud al cuadrado deformada ( )'Q'P'dr = en función de los desplazamientos 321 u ,u ,u . Siendo los cosenos directores de dr:
drdxncos 1
11 ==α
drdxncos 2
22 ==α
drdxncos 3
33 ==α
y denominando con i
j
j
iijij x
uxu
2∂
∂+
∂∂
=ε=γ tendremos
( ) ( ) ( ) 1331322321122333
2222
211
2 dx.dx2dx.dx.2dx.dx2dx1dx1dx1'dr1
γ+γ+γ+γ++γ++γ+=
( ) ( ) ( ) 1331322321122333
2222
2112
2
n.n2n.n.2n.n2n1n1n1dr
'dr1
γ+γ+γ+γ++γ++γ+=
o bien, teniendo en cuenta que: 1nnn 23
22
21
=++
1331322321122333
2222
2112
22
n.n2n.n.2n.n2nnndr
dr'dr1
γ+γ+γ+γ+γ+γ=−
Interpretemos ahora el significado de los:
iii
iii 2
xu
2 ε=∂∂
=γ
i
j
j
iij x
uxu
∂
∂+
∂∂
=γ con i≠j
Será:
[ ]321 x;x;xP = [ ]3211 x;x;dxxQ += [ ]3221 x;dxx;xR +=
11 dxdr =
22 dxdr =
aplicando las últimas expresiones: ( ) 211
21
21
dx1'dr'Q'P γ+==
( ) 2222
22
2 dx1'dr'R'P γ+==
( ) ( ) 21122222
2111
2 dxdx2dx1dx1'R'Q γ+γ++γ+= La deformación específica longitudinal (dilatación o contracción) de una fibra en el
sentido de 1x , será:
1
1
1
11 dx
dxdrdr Δ
=Δ
=ε
1
111 dr
dr'dr −=ε
x3
x1
x2
dr 1 dr'2
P
Q
P'
Q'
1
Odr2
dr' 1
R
R'ϕ12
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( ) 21
21
1121
21
drdx
1dr
'drγ+= ( )112
1
21 1
dr'dr
γ+= 11
2
1
1 1dr
'drγ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
111
1
1
1 1dr
'dr.1
dr'dr
γ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
γ=−
1dr
'dr1
dr'dr
1
1
11
1
1
En el campo de las deformaciones infinitesimales 11 dr'dr ≈ y por lo tanto:
1dr
'dr
1
1 ≈ 21dr
'dr
1
1 ≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Será entonces: 111
111
1
1
1
111 x
u2
1dr
'drdr
dr'drε=
∂∂
=γ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−=ε
Análogamente: 222
2222 x
u2
ε=∂∂
=γ
=ε
333
3333 x
u2
ε=∂∂
=γ
=ε
iii
iiii x
u2
ε=∂∂
=γ
=ε Deformación específica longitudinal en el sentido de ix
A la deformación angular específica podemos obtenerla de la siguiente manera:
( ) 1212 2ϕ−
π=β+α=γ
como ( )β+α es pequeño
121212 cossen ϕ=γ=γ
Por el teorema del coseno
12212
22
12 cos.'dr'dr2'dr'dr'R'Q ϕ−+=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 212211
2112
212211
21122222
211
2222
211
21
222
21
12
dxdx1.12dxdx2
dxdx1.12
dxdx2dx1dx1dx1dx1
'dr'dr2'R'Q'dr'dr
cos
11
γ+γ+
γ−=
γ+γ+
γ−γ+−γ+−γ++γ+=
−+=ϕ
( ) ( ) 1
2
2
112
2211
1212 x
uxu
1.1cos
∂∂
+∂∂
=γ≈γ+γ+
γ=ϕ para deformaciones infinitesimales
Análogamente:
( ) ( ) 2
3
3
223
3322
2323 x
uxu
1.1cos
∂∂
+∂∂
=γ≈γ+γ+
γ=ϕ
( ) ( ) 3
1
1
331
1133
3131 x
uxu
1.1cos
∂∂
+∂∂
=γ≈γ+γ+
γ=ϕ
x1
x2
dr'2
P'
Q'
dr' 1
R'ϕ12
α
β
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i
j
j
iij x
uxu
∂
∂+
∂∂
=γ Deformación angular específica
Aunque es inmediato, analicemos geométricamente las derivadas de los corrimientos iu
1
1111
111
1
111 dx
dxudxxu
udx
dxdx
PQPQ
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++
=Δ
=Δ
=ε
1
111 x
u∂∂
=ε
Para el cálculo de la variación angular de dos fibras que antes de la deformación formaban un ángulo recto y en el campo de las deformaciones infinitesimales tendremos:
1
2
1
11
2
xu
dx
dxxu
tg∂∂
=∂∂
=α≈α
2
1
2
22
1
xu
dx
dxxu
tg∂∂
=∂∂
=β≈β
y por lo tanto la deformación angular o tangencial
2
1
1
212 x
uxu
∂∂
+∂∂
=β+α=γ
Pudiéndose llegar a idénticas conclusiones para las otras direcciones.
Concluyendo, la matriz D de deformación lineal representa en sus términos a las deformaciones específicas
iε y ijγ que conocemos de Resistencia de Materiales, recordando que ijij 2ε=γ :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεε
εεε
εεε
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γγγ
γγγ
γγγ
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
εγγ
γε
γ
γγε
=
333231
232221
131211
333231
232221
131211
333231
2322
21
131211
21
22
22
22D
11
11 dx
xuu∂∂
+
1u
x3
x1
x2P
Q
P'
Q'
11
11 dx
xuu∂
+
1u
11
22 dx
xuu∂∂+
22
11 dx
xuu∂∂
+
22
1 dxxu∂∂
11
2 dxxu∂∂
1u
2u
x1
x2P
11
22 dx
xuu∂
+
22
11 dx
xuu∂
+
22
1 dxxu∂
11
2 dxxu∂
1u
2u
dx2
P'
dx1
α
β
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2 - 5: INTERPRETACIÓN DEL TENSOR DE ROTACIÓN LINEAL Analicemos que pasa con dos fibras de longitud 21 dxdx = y que por simplicidad suponemos que 0uu 21 == o sea P'P ≡
1
2
xu∂∂
=α 2
1
xu∂∂
=β
El eje PC está a un ángulo del eje P'C' que denominamos 3ω tal que:
∧
= QPRbisectrizPC
∧
= R'P'Q'bisectriz'C'P
α+β+α
−°=ω+°2
4545 3
23β−α
=ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=ω2
1
1
23 x
uxu
21
representando la rotación sobre el eje x3 del paralelepípedo P'Q'C'R' después de la deformación. Análogamente con:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=ω3
2
2
31 x
uxu
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=ω1
3
3
12 x
uxu
21
Concluyendo, la matriz R (antisimétrica) está compuesta por términos que representan las rotaciones respecto de los ejes coordenados no implicando esto deformaciones específicas.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωω−
ω−ω
ωω−
=
0
0
0
R
12
13
23
2 - 6 : DEFORMACIONES PRINCIPALES. INVARIANTES. DILATACIÓN CÚBICA.
Sea el tensor de deformaciones representado por la matriz
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
εγγ
γε
γ
γγε
=
333231
2322
21
131211
22
22
22D
y como hemos anticipado en 2-3 a) y c) con dr).DI('dr += , busquemos la dirección n del vector dr para la cual después de la deformación dr' es colineal con dr. Cambia de módulo
pero no de dirección, para ello tomamos el versor drdrn = colineal con dr
con =ε deformación longitudinal en dirección n
≡
x1
x2RP'
α
β
C'
CQ'Q
P
R'
ω345°−(α+β)/2
45°
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⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
dx
dx
dx
rdr drdrn =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
drdx
drdx
drdx
n
n
n
3
2
1
3
2
1
( ) ( ) rd.1rd.DI'rd rrr ε+=+=
( ) ( ) ( )n.1n.DIdrdr.DI
dr'dr
ε+=+=+=
( ) ( )n.1n.DI ε+=+ n.1n.I = n.n.D ε=
n..In.D ε= ( ) 0n..ID =ε−
0
n
n
n
.
00
00
00
22
22
22
3
2
1
333231
2322
21
131211
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ε
ε
ε
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
εγγ
γε
γ
γγε
( )
( )
( )
0
n
n
n
.
22
22
22
3
2
1
333231
2322
21
131211
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ε−εγγ
γε−ε
γ
γγε−ε
( )
( )
( ) 0n.n.2
n.2
0n.2
n.n.2
0n.2
n.2
n.
333232
131
323
222121
313
212
111
=ε−ε+γ
+γ
=γ
+ε−ε+γ
=γ
+γ
+ε−ε
Cuya condición de compatibilidad está dada por la ecuación característica de tercer
grado ( similar a lo ocurrido en tensiones) 0I.I.I 3d2d
21d
3 =−ε+ε−ε que nos da tres raíces reales )3()2()1( , , εεε que definen tres direcciones 321 n , n , n (normales entre sí) denominadas direcciones principales.
Denominaremos como invariantes a: 3322111dI ε+ε+ε=
444I
231
223
212
1133332222112dγ
−γ
−γ
−εε+εε+εε=
DD de teDeterminanI 3d ==
Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
Facultad de Ingeniería - U.N.N.E. 10
Referida a sus ejes principales tendremos:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ε
ε
ε
=
)3(
)2(
)1(
00
00
00
D
Denominamos dilatación cúbica al valor del invariante de primer orden
eI )3()2()1(3322111d =ε+ε+ε=ε+ε+ε= ya que representa la variación de volumen específico del paralelepípedo referido a sus direcciones principales:
( ) ( ) ( )321
3213)3(2)2(1)1(
dxdxdxdxdxdxdx1.dx1.dx1
VVe
−ε+ε+ε+
=Δ
=
)3()2()1(e ε+ε+ε= al despreciar los productos de )j()i( εε . 2 - 7 : DEFORMACIÓN ESPECÍFICA EN UNA DIRECCIÓN n CUALQUIERA Sea el versor [ ]321 n,n,nn =r que define la dirección del vector [ ]321 dx,dx,dxdr =
Con dr
dxn ii = donde:
[ ][ ]rd.Drd.Ddr'QQ * rr === con *rdrd'rd rrr +=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
εγγ
γε
γ
γγε
=
333231
2322
21
131211
22
22
22D
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ε+γ
+γ
γ+ε+
γ
γ+
γ+ε
==
333232
131
323
222121
313
212
111
*
dx.dx.2
dx.2
dx.2
dx.dx.2
dx.2
dx.2
dx.
dr.Ddr y con
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
drdx
drdx
drdx
n
n
n
n
3
2
1
3
2
1r
Si queremos reducir todo a un vector unitario dr obtenemos un vector de deformación unitaria ε
x =x1 (1)
x =x2 (2)
x =x3 (3)
dx (1)
dx(2)
dx(3
)
Dx .(1+ )(2) ε(2)
Dx
.(1+
)(3
)ε (3
)
dx.(1
+)
(1)
(1)ε
drDdri .* =→
drDIdr ).(' +=→→
dr
'PP ≡
'Q
Q
drDdri .* =→
drDIdr ).(' +=→→
dr
'Q
Q
n
Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
Facultad de Ingeniería - U.N.N.E. 11
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
ε+γ
+γ
γ+ε+
γ
γ+
γ+ε
====ε
333232
131
323
222121
313
212
111
*
n.n.2
n.2
n.2
n.n.2
n.2
n.2
n.
n.Ddrrd.D
drrd r
rrr
Expresiones con una estructura similar a n.Tt n = (del tema 1-3) al tratar el tensor de tensiones.
Podemos decir que las deformaciones también tienen carácter tensorial.
También en este caso podemos descomponer εr en
una dirección del versor ( )nn ε y en una dirección normal ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ γ n2
1 .
n.D.nn. Tn =ε=ε r y tal que 2
n22
n41
ε−ε=γ
133132232112233
222
211n n.n.n.n.n.n.n.n.n. γ+γ+γ+ε+ε+ε=ε
Expresión de la "forma bilineal del tensor de deformaciones". Que referida a los ejes
principales (2-4): 23)3(
22)2(
21)1(n n.n.n. ε+ε+ε=ε
Al igual que en el caso de tensiones podremos
definir la Cuádrica de Indicatriz (de Cauchy) de deformaciones de manera tal que:
n
krOQε
==
obteniendo:
2
1331322321122333
2222
2111 kx.x.x.x.x.x.x.x.x. ±=γ+γ+γ+ε+ε+ε
y referido a ejes principales:
223)3(
22)2(
21)1( kx.x.x. ±=ε+ε+ε Ecuación de segundo grado representativa de una cuádrica.
Al igual que en tensiones, y referido a ejes principales se puede obtener el elipsoide de
tensiones (o de Lamé):
1xxx
2
23
2
22
2
21
)3()2()1(
=ε
+ε
+ε
→
r
x1
x2
x3
Qn
O
→
nε nD.=→
ε
nγ21
nε
n
nD.=→
ε
nγ21
Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
Facultad de Ingeniería - U.N.N.E. 12
Razones de tiempo no aconsejan desarrollos de estas expresiones, que al igual que en tensiones son producto de que las deformaciones también tienen carácter tensorial y por lo tanto le son aplicables todas sus propiedades. 2 - 8 : TENSOR ESFÉRICO Y TENSOR DESVIADOR
Tomemos el tensor de deformaciones D
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
εγγ
γε
γ
γγε
=
333231
2322
21
131211
22
22
22D
donde denominamos con:
[ ]3322110m 31
3e
ε+ε+ε==ε=ε
pudiéndose descomponer D en la suma de 0D (tensor esférico) y dD (tensor desviador)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ε
ε
ε
=
0
0
0
0
00
00
00
D
( )
( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ε−εγγ
γε−ε
γ
γγε−ε
=
0333231
23022
21
1312011
d
22
22
22D
d0 DDD += Como la deformación volumétrica de D ( )1dI y de 0D ( )0
1dI son iguales: ( ) 0
1d000)3()2()1(1d IIe =ε+ε+ε=ε+ε+ε==
es posible verificar que la variación volumétrica de dD ( )d1dI es nula:
( ) ( ) ( ) 0I 033022011d1d =ε−ε+ε−ε+ε−ε=
Esto indica que dD implica un cambio de forma sin variación de volumen, mientras
0D representa un cambio de volumen sin variación de ángulos o forma. Por último, dejamos expresado que la bibliografía utiliza distintos tipos de matrices (o
tensores) para expresar las deformaciones, entre los cuales tenemos:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
3
3
3
2
1
3
2
3
2
2
1
2
1
3
1
2
1
1
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
C
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
εγγ
γε
γ
γγε
=
333231
2322
21
131211
22
22
22D
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Facultad de Ingeniería - U.N.N.E. 13
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γγγ
γγγ
γγγ
=
332331
232221
131211
D2
( )( )
( )( )⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γ+γγ
γγ+γ
γγγ+
=+
332331
232221
131211
1
1
1
D2I
2 - 9 : ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
Hemos visto en cursos anteriores que la resolución de ciertos problemas necesita de la utilización no solo de ecuaciones de equilibrio, sino también de ecuaciones donde intervienen los desplazamientos (Deformaciones).
Analicemos ahora que sucede con las funciones ijii ; γε de deformación. El sólido deformable sometido a un estado de cargas, tendrá un estado de tensiones y
de desplazamientos δr
de cada una de las partículas que lo componen. El desplazamiento de una partícula genérica queda definido por sus tres proyecciones (o coordenadas
[ ]321 u;u;uu = ). Si analizamos el tensor de deformaciones (simétrico) D tenemos definidas seis
funciones:
i
iii x
u∂∂
=ε ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
=γ=γi
j
j
ijiij x
uxu
El problema consiste en que tengo 6 ecuaciones:
1
111 x
u∂∂
=ε 2
222 x
u∂∂
=ε 3
333 x
u∂∂
=ε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=γ1
2
2
112 x
uxu
21
21 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=γ2
3
3
223 x
uxu
21
21 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=γ3
1
1
331 x
uxu
21
21
con 3 incógnitas: las variables 321 u ,u ,u .
Dado el desplazamiento iu es posible calcular las derivadas i
i
xu∂∂ y por lo tanto las iiε ;
ijγ que definen D. El proceso inverso no es tan sencillo. Dados D definido por las 6 iiε ijγ , estas últimas
6 son funciones de sólo 3 iu (incógnitas) lo cual implica que las seis primeras no pueden ser arbitrarias sino que deben cumplir con ciertas condiciones para que el sistema sea compatible y por lo tanto integrable. Estas son las condiciones de compatibilidad (ecuaciones diferenciales), cuya demostración no realizaremos pero son fáciles de encontrar en la bibliografía, y que se expresan matemáticamente como sigue:
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21
222
22
112
21
122
xxxx ∂
ε∂+
∂
ε∂=
∂∂γ∂
22
332
23
222
32
232
xxxx ∂
ε∂+
∂
ε∂=
∂∂γ∂
23
112
21
332
13
312
xxxx ∂
ε∂+
∂
ε∂=
∂∂γ∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂γ∂
+∂γ∂
+∂γ∂
−∂∂
=∂∂ε∂
3
12
2
31
1
23
132
112
xxxxxx2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂γ∂
+∂γ∂
+∂γ∂
−∂∂
=∂∂ε∂
1
23
3
12
2
31
231
222
xxxxxx2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂γ∂
+∂γ∂
+∂γ∂
−∂∂
=∂∂ε∂
2
31
1
23
3
12
321
332
xxxxxx2
Condiciones que deben cumplir los componentes de D para poder representar un estado de deformación físicamente posible.
En sistemas simplemente conexos el cumplimiento de estas condiciones implica en general que:
a) iu son funciones continuas de las ix b) se cumplen las relaciones entre iiε ijγ y las iu c) si bien puede haber (en determinados casos) más de un vector desplazamiento
( )321 u,u,uδ solución al problema, la diferencia de estos es equivalente al desplazamiento de un sólido rígido.
d) Esto último implica que si hay una relación biunívoca entre las tensiones y las deformaciones, el campo de tensiones es único.
Con el fin de fijar ideas pensemos que el sólido continuo es hiperestático y analicemos lo aprendido en el curso de hiperestática de estructuras.
Para su resolución era necesario el planteo de ecuaciones de equilibrio a las cuales debíamos adicionar ecuaciones de compatibilidad de deformación, todas ellas algebraicas que formaban un sistema de ecuaciones con igual número de ecuaciones que de incógnitas.
En el caso del sólido continuo para el estudio de las tensiones y deformaciones también debemos plantear:
a) Ecuaciones de equilibrio (Diferenciales) b) Ecuaciones de compatibilidad (Diferenciales)
En el sólido elástico lineal a) y b) se relacionan mediante leyes de dependencia lineal
que son conocidas como Ley de Hooke, al igual que lo hecho en la resolución de las estructuras.
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2 - 10 TENSOR DE DEFORMACIONES FINITAS (problema no lineal) Caída de la linealidad en grandes deformaciones: Desgraciadamente, no se puede separar en forma aditiva rotaciones de deformaciones provocando la imposibilidad de sostener lo visto (repercute en compatibilidad, deformaciones no irrotacionales): Magnitud de desplazamientos y / o deformaciones.
• Tensor R no mide rotaciones No se puede • Tensor D no mide deformaciones simplificar!! • Tensor T (tensiones) tiene trampas!!!!
Problema se tiene en cuenta el cuerpo deformado afectando tensiones y def. Medición de deformaciones y desplazamientos:
Introducimos la nomenclatura: iii uXx += , i
i
XXN = y
i
i
xxn =
Algunas maneras
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂
−∂
∂+
∂∂
=
∂∂
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
∂∂==
∂∂=
∂∂=
•••
))xu.
xu
xu
xu(
21l ( (Almansi) defor. de espacial T.
))Xu.
Xu
Xu
Xu(
21L ( Lagr.)(Green defor. de material T.
)xuDc( espacial entodesplazami de tasala de gradiente T.
)XuC ( material entodesplazami de gradienteTensor
)Xx(Fn deformació de material gradienteTensor
j
k
i
k
i
j
j
i
j
k
i
k
i
j
j
i
ji
ji
ji
Veamos uno (el que se desprende más fácil): Partiendo del apartado 2-2:
23
22
21
2 dxdxdxdr ++=
( ) ( ) ( )2332
222
112 dudXdudXdudX'dr +++++=
sustituyendo a 1du , 2du y 3du por las ecuaciones de página 2
2
33
32
2
31
1
33
2
33
22
2
21
1
22
2
33
12
2
11
1
11
2
dXXudx
XudX
XudX
dXXudX
XudX
XudXdX
XudX
XudX
XudX'dr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+=
Desarrollando la expresión y llamando:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=γ2
1
32
1
22
1
1
1
111 X
uXu
Xu
Xu
2 , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
=γ2
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
112 X
uXu
Xu
Xu
Xu
Xu
Xu
Xu
Compactado:
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⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=γj
k
i
k
i
j
j
iij X
uXu
Xu
Xu i,j,k=1,2,3
queda: ( ) ( ) ( ) 322331132112
2333
2222
2111
2 dXdX.2dXdX.2dXdX.2dX1dX1dX1'dr γ+γ+γ+γ++γ++γ+=
El tensor de Green-lagrange se forma L= ijγ . Relaciones: 1) IFC −= 2) FIc 1−−= 3) )CCCC(2
1L TT ++=
4) )cccc(21l TT −+= 5) )IFF(2
1L T −= 6) )FFI(21l 1T −−−=
Significado: • L ó l, calculan deformaciones sin afectarse por rotaciones.
L invariante ante rotación; l transforma objetivamente. Ejes principales de L rotan a ejes principales de l
• L: Calcula deformaciones con la fibra inicial 1N.L.N21 −+=ε
• l: Calcula def. con la fibra en la posición final 1n.l.n21
1−
−=ε
Y las Rotaciones??
A, F se lo descompone en un tensor ortogonal y uno simétrico. U.QF = , con 21T )FF(U = y 1FUQ −=
U es otra medida de deformación (tensor derecho de deformación) • Q es la rotación!!!!!!!
Y como volvemos a pequeñas???:
1) Gradiente de deformación CIF += si C 0 entonces F I; 2) Green Lagrange: Eliminando la porción no lineal L D. 3) Almansi 0 I-IFIc 1 ==−= −
4) Tensor DI)CC(21I)CCI()CI).(CI(FFU T
0C serieT
0CTT
2
+→++→++→++==→=
5) Tensor Q=I+R ( RIQ ;)DI(Uy CIF-1F.Uen sust. 0D ,serie
11 +→→+=+=→
−− ) Medición de Tensiones:
Debemos usar tensores que sean conjugados de las deformaciones vistas.
Algunas maneras
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
ρρ
=τ
ρρ
=
ρρ
=
.)etc ,Naghdi Green ,Truesdell ,Jaumann( tensoresde Tasas
)Q.T.Q( Kirchhoff de rotado- CoTensor
)F.T.FS ( kirchoff Piola de tensor Segundo
)T.F(P Kirchhoff Piola desor Primer ten
T0
T-1-0
1-0
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Significado:
Se formulan evitando que los desplazamientos como rígido los afecten. P y S se definen de modo de calcular la tensión sobre una superficie a partir del cuerpo sin
deformar o deformado. El co-rotado acompaña la rotación (OBVIO)
Las tasas (derivadas en el tiempo) se usan para la formulación de principios en términos de potencia mecánica y resultan cómodos para formular grandes deformaciones en
forma semejante a pequeñas.
Ecuaciones principales: Equilibrio:
0XXP
ij
j,i =+∂
∂ ó 0x
xT
ij
j,i =+∂
∂
Compatibilidad:
FATAL!!!!. Nunca usadas.
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Facultad de Ingeniería - U.N.N.E. 18
PRÁCTICO DE DEFORMACIONES
Problemas resueltos Problema 1:
a) Dado el tensor de desplazamiento relativo: 30,030,040,015,015,020,040,020,010,0
C −−−
=
Obtener: a.1) D (Tensor deformación) a.2) R (Tensor rotación) a.3) Direcciones principales de D. a.4) El desplazamiento relativo en ( )2
12
12
1 ,,nr Solución:
a.1) 3,0075,00
075,015,000010,0
D =
a.2) 0225,040,0225,0020,040,020,00
R −−−
=
a.3) 001
n1 = 383.0
924.00
n2
−=
924.0383.00
n 3 =
a.3) 266.0n.D.nTn ==ε
Problema 2: El campo de desplazamiento es: 211 x3x10u += , 212 x2x3u += , 33 x6u = Probar que no hay rotaciones en pequeñas deformaciones. Solución: Al realizar el cálculo de la matriz C, esta resulta simétrica debido a que las derivadas cruzadas resultan iguales. Por lo anterior, no hay rotaciones. Problema 3:
La matriz de deformación en un punto del sólido elástico es (pequeñas
deformaciones)
.ctekcon
k2k2k
k2k0
k0k3
D =
−
−
=
1) Calcular la deformación longitudinal unitaria en la dirección ( )3
23
23
11 ,,n
2) Calcular la deformación del ángulo formado por 1n y ( )0,,n 51
52
2 −
Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
Facultad de Ingeniería - U.N.N.E. 19
3) Determinar la deformación angular máxima. 4) Hallar la matriz desviadora y calcular las deformaciones principales.
Solución: Punto 1:
Aplicando la forma bilineal: n*D*nT
n =ε k3n =ε
Punto 2: Para determinar lo pedido, analizaremos la expresión:
dr*Rdr*Ddr*Ir'd ++= (Pag. 3 de Deformaciones) Gráficamente:
Se pide determinar:
⇒ϕ= 12212T
1 'cos*'dr*'dr'dr*'dr 'dr*'dr'dr*'dr'cos
21
2T
112 =ϕ
Utilizando la expresión de arriba ( ) ( )
'dr*'drdr*RDI*RDI*dr'cos
21
2TT
112
++++=ϕ
Pero despreciando infinitésimos de orden superior y sabiendo que R = - RT por ser hemisimétrico:
( )'dr*'dr
dr*D2I*dr'cos21
2TT
112
+=ϕ
'drdrD
'drdr2
'dr*'drdr*dr'cos
2
2
1
T1
21
2T
112 +=ϕ
Sabemos que la forma bilineal de la deformación específica en una dirección cualquiera:
11 drdr1
1
1
1dr ˆ1
dr'dr
1dr
'drε=+ε=⇒−=ε
( ) dr*RI +
dr*R
Q
P'
P δP
dr dr dr*D
'dr
'dr1 2dr
1dr
'dr2
? = ϕ'12
ϕ12
P
P' δP
Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
Facultad de Ingeniería - U.N.N.E. 20
2dr
2
1dr
T1
2dr
2
1dr
T1
12 drˆdrD
drˆdr2
dr*ˆdr
dr*ˆdr'cos
2121εε
+εε
=ϕ
2121 drdr
2
T
1
dr
2
dr
T
112 ˆ*ˆ
n*D*n2ˆn
ˆn'cos
εε+
εε=ϕ
21 drdr
2
T
11212 ˆ*ˆ
n*D*n*2cos'cosεε
+ϕ=ϕ
Podrá suponerse que: 2121 drdrdrdr 1ˆ*ˆ ε+ε+=εε
21 drdr
211212 1
n*D*n*2cos'cosε+ε+
+ϕ=ϕ
Para el caso tomado ⇒°=ϕ 9012 el denominador será ⇒≅1
( ) 12121212212 ''2'sen'cos ϕ−ϕ=ϕ−π≅ϕ−=ϕ π
k53
8n*D*n*2 2
T
112 ==γ⇒
Punto 3: la deformación angular máxima es γmax . Para ello las deformaciones principales son:
0
k2k2k
k2k0
k0k3
=
ε−−
ε−
−ε−
k67.0;k53,2;k14,4 321 −=ε−=ε=ε⇒ ojo con esto ( ) k405.2k2
67,014,4.max =
−−=γ⇒
Punto 4:
0k2k
k2k0
k0k
k200
0k20
00k2
k2k2k
k2k0
k0k3
−
−
−
+=
−
−
Las deformaciones principales desviadoras son:
k67.2;k53,0;k14,2 )3(d)2(d)1(d −=ε=ε=ε
Problema 4:
A partir de las ecuaciones de deformación lineales, deducir por inversión de operador, las ecuaciones de compatibilidad del primer grupo.
Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
Facultad de Ingeniería - U.N.N.E. 21
23
13
12
33
22
11
3
2
1
23
13
12
3
2
1
000uuu
100xx0
010x0x
0010xx
000x00
0000x0
00000x
γγγεεε
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ε=⇒ u.A
Resolución:
Multiplicar la 1ra, 2da y 3ra ecuación por 1
1x−
∂∂ ;
1
2x−
∂∂ ;
1
3x−
∂∂ . Luego con las
tres modificadas, si se multiplica la 1ra por 2x∂
∂ y la 2da por1x∂
∂ para luego sumando la
cuarta ecuación Recordar que lo que se pretende es tornar unitaria a la matriz A para despejar u.
( ) 111
1
11
1
1
.x
ux
.x 11
ε∂∂
=∂∂
∂∂
−
−
−
−
1111
1
1 .x
u ε∂∂
=⇒−
−
1xx
.x 0
1
0
n1
n
n1
n
=∂∂
=∂∂
∂∂
−
−
( ) 2212
1
22
12
1
.x
ux
.x
ε∂∂
=∂∂
∂∂
−
−
−
−
2212
1
2 .x
u ε∂∂
=⇒−
−
1xx
.x 0
2
0
n2
n
n2
n
=∂∂
=∂∂
∂∂
−
−
( ) 3313
1
33
13
1
.x
ux
.x
ε∂∂
=∂∂
∂∂
−
−
−
−
3313
1
3 .x
u ε∂∂
=⇒−
−
1xx
.x 0
3
0
n3
n
n3
n
=∂∂
=∂∂
∂∂
−
−
Luego:
ecuación 4 la a cambiado signocon sumado es
xxu
x
xxu
xta
2212
1
12
1
1111
1
21
2
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
ε∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ε∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−
−
−
−
122212
1
1111
1
1
22
121
22 xxxxu
xxu
xxγ+ε
∂∂
∂∂
−ε∂∂
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
−
−
−
−
La matriz quedará, haciendo lo mismo en la 5ta y 6ta:
23
13
12
33
22
11
13
1
21
2
1
3
13
1
11
1
1
3
12
1
11
1
1
2
13
1
12
1
11
1
3
2
1
100xxxx0
010xx0
xx
0010xxxx
000x
00
0000x
0
00000x
000uuu
100000010000001000000100000010000001
γγγεεε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂∂
∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂∂
∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂∂
∂−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂∂
∂−
∂∂
∂∂
∂∂
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Tomando las tres últimas e igualando a cero tenemos:
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0xxxx 12221
2
1
1111
1
1
2
=γ+ε∂∂
∂∂
−ε∂∂
∂∂
− −
−
−
−
multiplico por 21 x
yx ∂
∂∂∂
0xxxxxx 12
2122
1111
22
=γ∂∂
∂∂
+ε∂∂
∂∂
−ε∂∂
∂∂
−
Las otras dan: Venant -Saint de ecuaciones las de grupoPrimer
xxxx
xxxx
xxxx
23
232
22
332
23
222
31
132
21
332
23
112
21
122
21
222
22
112
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
∂∂γ∂
=∂ε∂
+∂ε∂
∂∂γ∂
=∂ε∂
+∂ε∂
∂∂γ∂
=∂ε∂
+∂ε∂
Problema 5: Un elemento rota un ángulo θ a partir del origen. No sufre distorsión y solo rotación. Evaluar el tensor de deformaciones lineales (trabajar en el plano). Resolución: La matriz de rotación de un cuerpo en dos dimensiones viene dada por:
2
1
2
1
2
1
2
1
XX
´*Rxx
.;XX
* cos sen sen cos
xx
=θθθ−θ
=
Si se tiene en cuenta que iii uXx +=
=−θθθ−θ
= .XX
XX
* cos sen sen cos
uu
2
1
2
1
2
1
;XX
CXX
*)I´R(.XX
*1) cos( sen
sen1) cos(
2
1R
2
1
2
1 =−=−θθθ−−θ
con CCR = para rotación exclusivamente.
Con
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
2
2
1
2
2
1
1
1
xu
xu
xu
xu
C para el caso plano.
Además, para terminar la comparación, si (cosθ )-1≅ 0 y senθ ≅ θ ; R0 0
CR =θ+
θ−=
definido en el curso con θxuy θx
u1
2
2
1 +=∂∂−=∂
∂ .
Cuando se desea calcular las deformaciones lineales a partir de la definición de los corrimientos obtenidos arriba, se llega a:
0sensen ; 1)(cosxu ; 1)(cosx
u12
2
222
1
111 =θ−θ=γ−θ=∂
∂=ε−θ=∂∂=ε
)x,x( 21
)X,X( 21 1u 2u
1X
2X
θ
Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
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Claramente, las deformaciones longitudinales deberían ser nulas porque estamos ante un caso de rotación pura. Para que estas deformaciones se anulen, los cosenos deben tender a uno, y el seno al valor del ángulo, algo que ya se indicó arriba. Ahora bien, cuanto debe valer θ para poder hacer esta suposición. Desarrollemos en serie el valor de 11ε en las proximidades de θ =0:
2 1)(21242
11θ−=−θ∈+θ−=ε
Si se desea una deformación con precisión 210− y se acepta un error del 1%, las rotaciones deberán ser del orden de 210− , pues, elevadas al cuadrado como indica el desarrollo en serie, darían una deformación real del orden de 410− que es el 1% de 210− , es por lo tanto un error dentro de la tolerancia (equivale a decir que es despreciable). Presentada esta circunstancia, los tensores R y D de pagina 2 del presente apunte, serán tensores de rotación y deformación respectivamente, ya que este último será nulo y RCR = . Rotaciones mayores, inducirán al análisis de deformaciones finitas según apartado 2-8. (Numéricamente, el ángulo va hasta 0.03 rad o 1.72 grados) Problema 6: Calcular las ecuaciones de .compatibilidad de un campo vectorial cualquiera “v” denominado potencial (esto se debe a que se deduce de una función escalar). Resolución: Para que un campo vectorial se deduzca de un potencial, se debe cumplir:
ii x vó v ∂
φ∂=φ∇= Con φ siendo campo escalar.
esta expresión también puede escribirse:
0xvi
i =∂φ∂−
pero estamos ante un caso de un sistema superabundante ya que, no se conoce el campo escalar y si se conoce el vector, son tres ecuaciones con una incógnita. Para que esto tenga solución es necesario deducir un conjunto de ecuaciones que restrinja el problema: derivamos la anterior con relación a las coordenadas:
ij
2
i
j
ji
2
j
i2
i
2
i
ixxx
v ; xxxv ;
xxv
∂∂φ∂=∂
∂∂∂
φ∂=∂∂
∂φ∂=∂
∂ (9 ecuaciones)
por teorema de Schwartz, ij
2
ji
2
xx xx ∂∂φ∂=∂∂
φ∂ (quedan solo 6 ecuaciones)
de donde se deduce que : 0xv x
v i
j
j
i =∂∂
−∂∂ (3 ecuaciones)
que escritas en forma desarrollada:
Sxv x
v ; Sxv x
v ; Sxv x
v 23
1
1
31
2
3
3
23
1
2
2
1 =∂∂−∂
∂=∂∂−∂
∂=∂∂−∂
∂
que no es otra cosa que
0v)v(rotSi =×∇== (a) donde el signo “×” indica producto vectorial. Por esto se enuncia que, dado un campo vectorial cualquiera, para que exista un campo φ escalar del que pueda deducirse el campo
Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
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vectorial, es condición necesaria y suficiente que el rotor de ese campo sea nulo (campo irrotacional) o lo que es lo mismo, el rotor de un campo vectorial potencial es siempre nulo. La idea de irrotacionalidad se puede adquirir pensando en la siguiente operación: supongamos el siguiente campo vectorial
)2,0,0(R ; )0,X,X(R 12 =×∇−= Como puede apreciarse en el dibujo de la Izquierda, el campo vectorial gira en torno a el eje vertical y el producto vectorial indica un vector coincidente con ese eje y de valor constante. Por eso se llama “rotor” porque indica una rotación en torno a algún eje. Volviendo al ejercicio, a esta expresión (a), se la denomina Ecuaciones de Compatibilidad del campo vectorial. Esta conclusión puede también apoyarse en el teorema de Stokes (formula 29 del Balloffet, M. G.):
)unitario( a rodea que curva la a tangente:t̂
)unitario( superficie la a normal :n
ds v.t̂ d )v.(n
Ω
Ω
=Ω×∇∫ ∫Ω Ω∂
Si v φ∇= , la derivada direccional de ese campo escalar es: t̂.dsd φ∇=φ , si se integra esta
expresión sobre una curva cerrada: 0)s()s(ds.dsd
11 =φ−φ=φ
∫ Ω∂ (φ es función de estado o
diferencial perfecto) y aplicada al otro miembro de la derivada direccional: 0ds t̂.vds t̂. ==φ∇ ∫∫ Ω∂Ω∂
, y aplicando esto a Stokes: ∫Ω =×∇⇒=Ω×∇ 0v0d )v.(n ; que no es
otra conclusión que si el campo vectorial que atraviesa la superficie se deduce de un potencial, su rotor debe ser nulo. Otra conclusión: si se aplica:
0)v.( =×∇∇ Ya que es el producto escalar entre vectores normales (por propiedad del producto vectorial), por lo que 0S. =∇ : Las ecuaciones de compatibilidad NO SON LINEALMENTE INDEPENDIENTES. Finalmente, esta deducción puede aplicarse al caso de un campo tensorial que se deduce de uno vectorial.
)2,0,0(R×∇
R
1X
3X
2X
R
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Problemas propuestos Problema 1:
Esquematice para los siguientes tensores gradiente de desplazamiento j
i
xu∂∂ , la posición
deformada de un elemento inicialmente cuadrado en el plano x1-x2 y con lados paralelos a los ejes.
0000001.0001.00
0000001.0001.00
− 0000002.0000
Problema 2: Para cada una de las matrices gradiente de desplazamiento, determine la matriz de deformación, la matriz de rotación, la deformación volumétrica y la matriz de deformación desviadora.
2718141818104109
10 4
−−−−−
− y 620041414
10 4 −−−
Problema 3: En un cubo simple de un cristal cuyas caras son paralelas a los ejes, los deslizamientos solo tienen lugar en planos paralelos a los cartesianos dados por la matriz de abajo:
00
0
3231
2321
1312
εεεεεε
Encontrar una ecuación que permita determinar la máxima deformación longitudinal y explique como calcularía ese valor si se dieran números a la matriz de deformación. Problema 4: Si el plano x2-x3 es un plano de simetría para la distribución de desplazamientos de modo que cualquier desplazamiento iu de un punto (-a, b, c) es una imagen en espejo del desplazamiento de iu en (a, b, c) , cual componente rectangular en pequeñas deformaciones son funciones pares en x1 y cual es impar. Ayuda: la diferenciación cambia una función par en impar. Problema 5: Usando como base el problema 4 de la guía de ejercicios resueltos, calcular el segundo grupo de ecuaciones de Saint Venant. Problema 6:
Estabilidad IV-a Capítulo 2: Deformaciones
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Usando como base el problema 5 de la guía de ejercicios resueltos, probar que las ecuaciones de compatibilidad del tensor D se pueden deducir de:
0)D()D( =∇××∇=∇××∇ Nota: para resolver, tener en cuenta:
eegD)D(y eeDg)D( qrspqprs,mqpkm,pkq =∇×=×∇
donde ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+=
n)permutació leimpar(simpn permutació una esk j,i, cuando 1n)permutació (doblepar n permutació una o 1,2,3 esk j,i, cuando 1 repiten. se indices los cuando 0
geij
denominado operador de Levi Civita, que responde a la expresión: egee kijkji =∧ con espacio. elen sortogonale esson versor e y e,e kji
Donde la razón de la permutación se basa en la anticonmutatividad del producto vectorial.
Ejemplo: 0ggg
1ggg1ggg
222122112
321213132
312231123
===−===+===
ortogonal basee1,2,3 =
Tener en cuenta que el tensor deformación se escribe: eeD jiij si se toma la versión de combinación lineal de díadas (diádica).