capitulo 2. fluctuaciones

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Capítulo 2.

Fluctuaciones superconductoras

En este capítulo se exponen las ideas básicas del estudio de fluctuaciones

termodinámicas superconductoras en HTSC y su relación con la teoría de Ginzburg-

Landau; además, se hace énfasis en las teorías y modelos matemáticos aplicados al

estudio de fluctuaciones en la magnetización por encima y por debajo de la

temperatura de transición de campo medio.

2.1. INTRODUCCIÓN A LAS FLUCTUACIONES

TERMODINÁMICAS SUPERCONDUCTORAS

Las fluctuaciones superconductoras consisten en la aparición de pares de Cooper, aún

por encima de la temperatura crítica ((T-Tc)/Tc~102), que tienen un tiempo de vida

finito y característico ( ), tal que, aparecen y desaparecen como

consecuencia de fluctuaciones termodinámicas que se presentan en un estado de no

equilibrio; como consecuencia, se presentan variaciones abruptas medibles en ciertos

parámetros como la conductividad eléctrica, la capacidad calorífica, la magnetización

o la susceptibilidad magnética, entre otros; p.e. en un amplio rango de temperatura

por encima de la Tc, el principal efecto de las fluctuaciones, es crear un gap virtual en

el espectro electrónico del superconductor, esto se produce, porque el número total de

estados electrónicos cambia debido a la interacción de Cooper y solamente podrá

Jully Paola Peña Pacheco

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haber una distribución de niveles a lo largo del eje energético ocurriendo un pseudo

gap en el nivel de Fermi. La disminución de la densidad de estados electrónicos en el

nivel de Fermi origina una reducción de la conductividad eléctrica y un aumento de

su resistividad, como resultado, esta presenta un máximo cerca de la Tc [27, 28].

En la fase normal, hay presencia de cierta cantidad de pares fuera del equilibrio, los

cuales dan lugar a tres efectos importantes sobre la conductividad: 1) la aparición del

efecto Meissner-Ochsenfeld que incrementa la susceptibilidad diamagnética, este

efecto se conoce como contribución de Aslamasov-Larkin o paraconductividad. 2)

Disminución en la densidad de estados electrónicos en el nivel de Fermi conocida

como contribución a la densidad de estados y 3) una contribución cuántica conocida

como contribución de Maki-Thompson debida a las dispersiones elásticas y

coherentes de los pares de Cooper con las impurezas de los materiales.

Las fluctuaciones termodinámicas tienen un papel importante en la descripción de las

transiciones de fase de segundo orden porque explican las variaciones del parámetro

de orden y la capacidad calorífica, esta última, presenta un salto justo en la Tc

(Fig.1.6); existe un rango de temperatura (determinado por Ginzburg-Landau) en el

que la corrección por fluctuaciones este parámetro es importante y esta dado por [29]:

(2.1)

donde a es la distancia interatómica y ξ0 es la longitud de coherencia. Como puede

verse en (2.1) el rango de temperatura ΔT en el que las fluctuaciones tienen efectos

importantes, puede aumentar si se incrementa a y/o disminuye ξ0, esto ocurre en los

superconductores de alta temperatura (HTSC) anisótropos como la familia

TRBa2Cu3O7-δ.

2.1.1. Fluctuaciones y energía libre de Ginzburg-Landau

Las fluctuaciones superconductoras pueden ser tratadas a través de la teoría de

Ginzburg-Landau [30], en la que se consideran las causantes de la variación de la


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energía libre f en una cantidad aproximada a kBT por encima del valor mínimo

considerándose fluctuaciones débiles (k<<λ2) y fuertes (k>>λ2) de acuerdo con un

parámetro k (diferente del parámetro de Ginzburg-Landau) definido en [27] como

función de la Tc, la frecuencia y una constante que depende de la tasa de dispersión

electrónica del material. Estas variaciones se estudian a través de la expansión de la

energía libre de Ginzburg-Landau (1.2):

(2.2)

en la que se presentan dos casos dependiendo del signo de . En campo magnético

nulo (A=0), si es positivo, la mínima diferencia de energía libre ocurre en |Φ|2=0

(Fig. 2.1a), lo que corresponde al estado normal; por otro lado, si es negativo, el

mínimo de la diferencia de energía, calculado como la segunda derivada con respecto

al parámetro de orden, permite encontrar

(2.3)

que corresponden a los dos mínimos en la Fig. 2.1b. Reemplazando (2.3) en (2.2) con

A=0 y de acuerdo con (1.4a) se tiene que en los puntos mínimos la diferencia de

energía vale

(2.4)

Figura 2.1. Densidad de energía libre en función del parámetro de orden (Φ=ψ) para a) α>0 y b) α<0.


27

El parámetro de orden puede saltar hacia otros valores de Φ(r) con energía f siempre

que f-f0< kBT (siendo f0 la energía asociada al equilibrio); tales desviaciones se

conocen como fluctuaciones térmicas [30]. A causa de estas fluctuaciones, el sistema

puede pasar a estados distintos de equilibrio con una probabilidad significativa a

pesar de ser energéticamente menos favorables, así, las fluctuaciones en la energía se

manifiestan como fluctuaciones del parámetro de orden. La magnitud de las

fluctuaciones del parámetro de orden pueden calcularse encontrando la segunda

derivada de F respecto a en el punto de equilibrio Φ0, este procedimiento se

desarrolla en [31]; por debajo de Tc las fluctuaciones son pequeñas comparadas con

el valor de equilibrio, estas se conocen como fluctuaciones gaussianas ya que sus

expresiones resultan de considerar una función de partición que resulta tener forma de

una Gaussiana [32]; cerca del punto crítico se van haciendo más apreciables pues |Φ|2

decrece suavemente incluso por encima de Tc donde decae como ε-1 (ε es la

temperatura reducida) [31], en ese régimen no es posible despreciar los términos de

orden superior de la expansión de F.

El estudio de fluctuaciones es aplicable bajo ciertas condiciones generales, siendo su

principal limitación el rango de temperatura: debe considerarse un límite inferior y un

límite superior (ε<<1) dentro de los cuales pueda considerarse un régimen Gaussiano

si no se van a considerar interacciones significativas de las fluctuaciones; sin

embargo, la teoría de fluctuaciones se asume válida, por ejemplo, para una

concentración arbitraria de impurezas, paso de modelos 2D a 3D y campos aplicados

paralelos al eje c [33].

2.2 TEORÍA DE FLUCTUACIONES EN LA MAGNETIZACIÓN

Para incluir el efecto de las fluctuaciones por encima de la Tc se debe ir más allá de la

teoría BCS, la cual es una aproximación de campo medio y donde además, la

formación de los pares y la superconductividad ocurren a la misma temperatura: el


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efecto de las fluctuaciones invalida la teoría de campo medio cerca de Tc [34]. Una

de las variables más adecuadas para el estudio de fluctuaciones termodinámicas en

los HTSC en el límite de campo débil, es la variación de la magnetización Mab(T,B)

con campos (B) perpendiculares a los planos ab; estas fluctuaciones pueden ser

cuantificadas a través del llamado exceso de magnetización

, donde es la magnetización asociada al

estado normal en caso que no se diera la transición superconductora, es decir, la

contribución extrapolada muy por encima de la temperatura de transición de campo

medio con H=0 (Tc0) donde los efectos de fluctuaciones son despreciables [35].

2.2.1. Fluctuaciones por encima de Tc0

Por encima de Tc0, la magnetización depende linealmente del campo y el estudio de

proporciona información acerca de la longitud de coherencia de

Ginzburg-Landau a 0 K en el plano ab (ξab(0)) y en c (ξc(0)); por debajo de Tc0, en el

estado mixto reversible, es debida al diamagnetismo tipo London y a

fluctuaciones térmicas [7], que en campo débil, se asocian a las posiciones de los

vórtices; en ausencia de acoplamiento superconductor (como ocurre en los

superconductores laminares) los vórtices bidimensionales de una capa y otra

interactúan solamente a través del campo magnético [2]. En el rango de campos

magnéticos intermedios ( es el cuanto de flujo

magnético) donde el parámetro de GL k>>1 la magnetización M varía linealmente

con el lnB si se asume que los vórtices no se traslapan [4].

Se habla de límite de campo débil si donde es la temperatura

reducida y el campo crítico superior a 0 K. La temperatura reducida está dada

en términos de Tc0 así: [5].

Por encima de Tc0 suele usarse el llamado exceso de diamagnetismo

para el estudio de fluctuaciones térmicas, teniendo en

cuenta la creación de pares de Cooper como consecuencia de las mismas. El exceso


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de diamagnetismo puede abordarse matemáticamente desde la teoría de Ginzburg-

Landau o desde la teoría microscópica BSC [36], sin embargo, es más usual tratarla

desde la expresión de la energía libre de GL. La aparición de pares de Cooper por

encima de la temperatura crítica disminuye la medida de la susceptibilidad magnética

χ(T) induciendo el exceso de diamagnetismo dado por:

(2.5)

donde χB(T) corresponde a la susceptibilidad normal por encima de la transición

superconductora en ausencia de fluctuaciones [26]; este exceso puede ser obtenido,

teniendo en cuenta la cantidad de planos fluctuantes independientes (Ne) con una

periodicidad s (s~11,7 Å para el YBCO), en términos de la longitud de coherencia de

los planos (ξab) y en eje (ξc), de los componentes complejos de las funciones de onda

de los planos (g) y de los coeficientes de acoplamiento Josephson (γj) [26]. Partiendo

de una expansión de la energía libre de GL (1.2) con un término adicional y

despreciando potencias superiores del parámetro de orden se tiene [26, 36, 37]:

(2.6)

(ver Fig. 2.2), aquí m corresponde a la masa efectiva del plano. De acuerdo con esto

el exceso de diamagnetismo puede ser expresado como:

(2.7)

donde V es el volumen y el promedio es conocido como energía libre efectiva [26,

37] y resulta de considerar la función de partición Z así:

(2.8)


30

De introducir una expansión de Fourier del parámetro de orden en función de las

funciones propias del operador resulta una expresión de energía libre

similar a los niveles de Landau de partícula libre, de hecho, el diamagnetismo

inducido por las fluctuaciones puede ser debido, cualitativamente, a la presencia de

pares de Cooper que aparecen y desaparecen por las fluctuaciones térmicas y que se

mueven en órbitas circulares con la frecuencia de un oscilador armónico, más

exactamente, la frecuencia de ciclotrón [26, 36]. Este tipo de expansión permite

expresar (2.8) así (el procedimiento completo es desarrollado en [26]):

(2.9)

Siendo λjkz función de los acoplamientos Josephson (kz proviene de la expansión de

Fourier). Así, en el eje c se encuentra:

y (2.10)

con y la misma relación se cumple para los planos.

Desarrollando la integral (2.9) para N=1 se tiene que:

(2.11)

Reemplazando (2.11) en (2.7) se encuentra que, en la región de campo débil (también

válido en campo medio) y asumiendo que la magnitud del acoplamiento Josephson es

la misma para todos los planos CuO2 (aproximación de Schmidt), el exceso de

diamagnetismo está dado por [5, 7]:

(2.12)


31

donde (con la permeabilidad del vacío, la constante de

Boltzman y el cuanto de flujo magnético) es el diamagnetismo de Schmidt y

(siendo s la longitud entre capas sucesivas de CuO2) es el parámetro

de Lawrence-Doniach que controla la variación del parámetro de orden. El 2 (g) en

(2.12) corresponde al número efectivo de planos fluctuantes independientes por cada

longitud s, este valor depende de la fuerza del acoplamiento Josephson entre capas

subyacentes y tiene relevancia en la contribución de las fluctuaciones del parámetro

de orden a la paraconductividad [26]. Sin la aproximación de Schmidt, (2.12) sería

mucho más complicada pero puede reducirse en esa forma porque, en la región de

campo medio y por encima de Tc0, los efectos de las fluctuaciones del parámetro de

orden son bidimensionales pues ξc(ε)<<s. Como esta última condición es

ampliamente verificada en los HTSC, en estos, (2.12) se reduce a

. Si la interacción Josephson entre capas sucesivas de CuO2, en la región de campo

medio es muy fuerte, esto es equivalente a una sola capa sin estructura interna [38,

26]. Un amplio estudio de las fluctuaciones del diamagnetismo en superconductores

laminares con diferentes acoplamientos se encuentra en [26].

Ahora, para N=2 se cumple que:

(2.13)

Donde

El primero de estos límites incluye el caso en que la interacción Josephson es tan

fuerte que en la región de campo medio se comportan como un solo plano sin

estructura interna, en el otro límite, si los acoplamientos son iguales, el sistema

biperiódico es equivalente a un superconductor laminar con un solo valor de

periodicidad [36,37,38].


32

Así, en la región de campo medio (ε>>1 y ξc<<s) la amplitud del parámetro de orden

está en el límite 2D, esto significa que cada plano de CuO2 fluctúa

independientemente, por otro lado, si ε<<1 y ξc<<s, la amplitud del parámetro de

orden está en el límite 3D y los planos fluctúan todos juntos [26]. Debido a la

anisotropía, se espera que en el límite 3D el exceso de diamagnetismo en c para H

aplicado perpendicular a c sea diferente del exceso de diamagnetismo en los planos,

estos se relacionan así [26]:

(2.14)

Además, Δχ para H paralelo al eje del cristal aplicando el formalismo convencional

de la función de partición utilizado por Schmid [36] el diamagnetismo inducido por

fluctuaciones resulta ser:

(2.15)

donde es la longitud de correlación superconductora en la dirección

de H y es la media geométrica de la longitud de correlación de las

direcciones perpendiculares.

Figura 2.2. Vista esquemática de un superconductor laminar con s=d1+d2 donde j es el plano

superconductor de la n celda de longitud s [26].


33

2.2.2. Fluctuaciones por debajo de Tc0 (modelo BLK)

Para campos magnéticos suficientemente altos para confinar los pares de Cooper en

el más bajo nivel de Landau, las fluctuaciones adquieren un carácter unidimensional a

lo largo de la dirección del campo magnético lo cual aumenta la importancia de la

fluctuaciones en temperaturas alrededor de la Tc, la región en la que ocurre esto

depende del campo y para determinarla se utiliza el llamado “criterio de campo

dependiente” que está dado por:

(2.16)

donde Hc2(0) es el campo crítico superior extrapolado a T= 0 K para B perpendicular a

los planos ab [38].

Por debajo de Tc0 se utiliza el modelo para el exceso de magnetización propuesto por

Bulaevskii, Ledvig y Kogan (BLK) [2] que tiene en cuenta las fluctuaciones en las

posiciones de los vórtices [35]. Este formalismo introduce un término adicional en la

energía libre debido a un aumento de la entropía causada por el desorden de la red de

vórtices [6], esta contribución está dada por donde el primer término,

, es la energía del vórtice (πR2 es su área y d su espesor) y

en el segundo, es su entropía y TKT es la temperatura de Kosterlitz-

Thouless [39] por encima de la cual la creación espontánea de vórtices 2D es

favorable debido a que la energía libre resulta negativa [2], está dada por:

(2.17)

Cuando el acoplamiento Josephson es débil, la energía del vórtice crece linealmente

con R mientras que la entropía de vórtices bidimensionales aún lo hace

logarítmicamente, en ese caso, la creación de vórtices espontánea, inducida


34

térmicamente es imposible. El funcional de la densidad de energía libre puede

expresarse como:

(2.18)

Donde F0 es la densidad de energía de la red no distorsionada, fel representa la energía

elástica y u la energía interna promedio [2]. Están dadas por:

(2.19)

(2.20)

Donde k=λab/ξab es el parámetro de GL, k=(kx,ky), i,j=x,y, c66, cL, c44 son módulos

laminar, de volumen y de inclinación., PL y PT son los operadores de proyección

longitudinal y trasversal y Q2 y u son los componentes de Fourier de las distorsiones.

Desarrollando la integración y la suma en (2.20) se tiene que fel=Fth(B,T) dado por:

(2.21)

Siendo λJ=sλc/λab la longitud Josephson, e la constante de Euler, α una constante de

valor unidad y Bcr un “campo crítico” dado por:

(2.22)

Ahora, la energía de un solo vórtice renormalizada por fluctuaciones térmicas puede

encontrarse con (2.19) y (2.21) obteniendo:


35

(2.23)

Por encima de una cierta temperatura Ts, definida por E(Ts)=0 la energía libre de un

vórtice es negativa por lo que la generación espontánea de vórtices es posible para

T>Ts. Con esta consideración, puede encontrarse que si E(T)=0:

(2.24)

Sea (2.25)

En Ts se satisface (2.26)

Para λJ<< λab(0) el lado derecho de (2.25) es menor que uno; definiendo f(T*)=1,

asumiendo Tc0-Ts<<Tc0 y sabiendo, que λab(T)=0,7 λab(0)/t1/2 por la teoría

microscópica, con t=1-T/Tc0 se obtiene:

(2.27)

y (2.28)

donde t*=1-T*/Tc0 y se sigue que

(2.29)

y , que al reemplazar en (2.27) se encuentra ts=1-Ts/Tc0 que

satisface:


36

(2.30)

La presencia de vórtices y antivórtices inducidos térmicamente en el intervalo

Ts<T<Tc0 resulta en fluctuaciones del capo magnético en la muestra [2].

Por debajo de Ts, en presencia de un campo aplicado, se puede calcular la

magnetización renormalizada por fluctuaciones térmicas . Para

campos Bcr<<B<<Hc2(T) puede calcularse el exceso de magnetización en función de

la temperatura T y el campo H así [2,4,5,7]:

(2.31)

Siendo η una constante relacionada con la energía de la red de vórtices (η ̴ 1,4),

y f (T) definida como en (2,25). En (2.31) el primer término

corresponde a la magnetización usual de London y el segundo a la contribución de las

fluctuaciones; la variación del exceso con lnB según (2.31) está dado por [4]:

con (2.32)

En (2.32), g(T) representa las fluctuaciones térmicas en la magnetización, las cuales

como es evidente, aumentan con el incremento de T y de λ. varía linealmente

con lnB hasta cierta temperatura en la que se presenta una leve desviación debida,

posiblemente, a contribuciones cuánticas de la fluctuación de vórtices o la influencia

del anclaje su distribución [35].

Como se vio, ésta teoría se predice la existencia de una temperatura T*, inferior a Tc0,

a la cual el exceso de magnetización = es independiente del campo

magnético [7] tal que, si se hacen varias curvas de vs. T, para diferentes campos

(Fig. 2.3), todas se cruzan en T* (debe tenerse en cuenta que este formalismo es

válido solamente para temperatura cercanas a T*). Como en T* la magnetización no


37

depende del campo, entonces g(T*)=1. Para valores cercanos a Tc0 (T*~Tc0), de

(2.31) se sigue que:

(2.33)

donde por la aproximación de Tesanovic . Así, varias curvas isotermas

de M vs. lnB relacionadas como (2.31) permiten determinar el valor de temperatura

(T*) para el cual la magnetización se muestra como una función constante (de valor

), así, de acuerdo con (2.33) puede encontrarse también el valor de s; por otra

parte, estos parámetros y curvas vs. T permiten, usando (2.32),

determinar el valor de λab(T). Cuando no se considera el término debido las

fluctuaciones térmicas, λab(T) diverge en T* haciéndose infinita, sin embargo, con las

fluctuaciones se encuentra una contribución adicional para λab(T) [40] que evita este

problema.

Figura 2.3. vs. T para una muestra de CaLaDyBaCuO [40].

Los datos de M(B) pueden usarse también para determinar Hc2 y k (y por consiguiente

) reescribiendo (2.31) en la forma:

(2.34)


38

y graficando el lado derecho de (2.34) contra lnB para diferentes T; extrapolando los

datos se puede obtener ηHc2(T)/e; obtenido el campo superior, se estima

[4]. Así, el estudio de este modelo permite tener en cuenta los

efectos de las fluctuaciones térmicas en los vórtices, y de este pueden obtenerse los

parámetros críticos corregidos de un HTSC a través de medidas de magnetización

únicamente.

Algunos de los parámetros característicos estimados, son los mismos por encima y

por debajo de Tc0, como es el caso de la longitud de coherencia de los planos de los

HTSC laminares y también algunos de los posibles efectos no intrínsecos de

; así, el análisis simultáneo de a ambos lados de Tc0 puede

reducir las incertidumbres experimentales y el número de parámetros libres en las

aproximaciones teóricas [35].


capitulo 2. fluctuaciones

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