capitulo 2 solow-mathur

EL ARTS Y LA CIENCIA DE CONSTRUIR MODELOS

DETERMINISTICOS 0

C omo determina Case Chemicals la mezcla de productos que maximice las ganancias? i,Como` deduce Cosmic Computer Company el plan menos caro para transportar sus microcornputadoras a los detallistas al mismo tiempo que sa-tisface la demanda de sus clientes? i,Como decide Hexxon Oil la red de embarque que maximice el flujo de petroleo a sus tanques de almacenamiento en Filadelfia? Para fundamentar mejor la decision de negocios, debe saber como hater la pregunta adecuada y cOmo formular el problema correctamente.

Eneste capitulo aprenderci corn construir los modelos nzatematicos que lo conducircin a las respuestas de estas y otras preguntas.

CAPITULO

12

CANTULO 2 EL ARTE Y LA CIENCIA DL CONSTRUIR MODELOS DETERMINISTICOS

FormulaciOn del problema El proceso de convertir la description cualitativa de un problema a una forma matematica.

En el capitulo anterior, usted aprendio que entre los pasos ms importantes en la resolution de problemas estan el identificar y despues formular el problema de decision en un marco matematico. La construction de modelos es un arte que mejora con la prac-tica. Sin embargo, en un esfuerzo por hater el proceso ms sistematico, en este capitulo se ilustran varias tecnicas de formulaciOn de problemas con numerosos ejemplos. Al aplicar estas tecnicas, usted puede formular no solo los problemas de este libro, sino tambien muchos otros que podria encontrar en la practica.

Despues de formular correctamente un modelo matematico, usted deseara resolverlo, esto es, obtener una solution. Como el procedimiento de solution depende de las ca-racteristicas matematicas especificas de un modelo, la election de la tecnica apropiada significa que debe identificar las caracteristicas que su modelo posee. Este capitulo le ayudard a identificar estas caracterfsticas matematicas y corn se utilizan para cla-sificar modelos. Los capitulos posteriores tratan los diversos procedimientos de solu-tion, las clases de problemas a los que se pueden aplicar, y la forma de interpretar e implantar las soluciones obtenidas de una computadora.

11 2.1 PASOS GENERALES Y TECNICAS DE LA CONSTRUCCION DE MODELOS MATEMATICOS

En el capitulo 1 aprendio que el primer paso al usar tecnicas de administration es iden-tificar y describir el problema. El siguiente paso es formular el problema en un marco matematico. Esta section proporciona pasos y tecnicas sistematicas que puede aplicar al formular sus propios modelos deterministicos. Para ilustrar, considere el problema enfrentado por la gerencia de production de Case Chemicals.

EJEMPLO 2.1 EL PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION DE CASE CHEMICALS Case Chemicals produce dos solventes, CS-01 y CS-02, en su planta de Cleveland. Las em-presas que compran estos solventes los usan para disolver ciertas sustancias toxicas que se producen durante procesos de fabrication particulares. La planta opera 40 horas a la semana y emplea a cinco trabajadores de tiempo completo y a dos de tiempo parcial, que trabajan 15 horas a la semana. Estas personas operan las siete maquinas que mez-clan ciertos quimicos para producir cada solvente. Los productos salen del departamento de mezclado para ser refinados en el departamento de purification, que actualmente tiene siete purificadores y emplea a seis trabajadores de tiempo completo y a uno de tiempo parcial, que trabaja 10 horas a la semana.

Case Chemicals tiene una provision casi ilimitada de la materia prima que necesita para producir los dos solventes. Case Chemicals puede vender cualquier cantidad de CS-01, pero la demanda del producto ms especializado, CS-02, esta limitada a lo ms a 120 000 galones por semana. Como gerente de production, usted desea determinar el plan de production semanal Optimo para Case Chemicals. i,Que cantidad de cada solvente debe producir Case Chemicals para maximizar la ganancia? n

El objetivo ahora es convertir esta descripciOn cualitativa del problema a una forma matematica que pueda resolverse. Este proceso es llamado formulation del problema y generalmente implica cuatro pasos, cada uno de los cuales es descrito en las siguientes secciones.

2.1.1 IdentificaciOn de las variables de decisi6n El primer paso en la formulation del problema es identificar las variables de decision, a menudo simplemente liamadas variables. Los valores de estas variables, una vez

Felipe.JimenezResaltado

2.1 PASOS GENERALES Y TECNICAS DE LA CONSTRUCCION DE MODELOS MAIL N1A E1COS 13

determinados, proporcionan la solucion al problema. Para el ejemplo 2.1, usted puede identificar las variables de decision preguntandose que information necesita proporcionar al personal de production, los departamentos de mezclado y purification, para que sepan come. proceder. Su respuesta a esta pregunta deberia ser:

1. El mimero de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente. 2. El mimero de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente.

Como los valores de estos elementos no se conocen todavia, a cada variable de deci-sion se le da un nombre simbolico. Usted puede elegir el nombre simbolico que quiera, pero encontrard util seleccionar un nombre simbelico que le recuerde la canti-dad que la variable de decision representa. Para el ejemplo que estamos viendo, podria crear las siguientes variables, correspondientes a los dos elementos identificados ante-riormente:

CS, = el mlmero de miles de galones de CS-01 por producir semanalmente CS, = el mimero de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente

Observe que estas descripciones son precisas. Incluyen las u n /dudes asociadas con las cantidades que las variables representan (miles de galones, en este caso). No es sufi-ciente definir una variable como la "cantidad" de un elemento, porque para las otras personas que leyeran su formulation, el termino "cantidad" podrla tener varios significados (por ejemplo, miles de litros en este caso).

La necesidad de identificar las variables de decision correctamente es vital. De otra manera, la formulation de un modelo valid que capte todos los aspectos del problema es imposible. La election de estas variables no es Unica, y no existen reglas fijas. Sin embargo, las siguientes pautas son utiles en la identification de un conjunto adecuado de variables de decision para virtualniente cualquier pi-able/12a.

CARACTERISTICAS CLAVE

Pautas generates para identificar variables de decision 3 zQue elementos afectan los costos y/o ganancias ( o, en general, el objetivo

global)? 3 4Que elementos puede elegir y/o controlar libremente'? 3 zQue decisiones tiene que tomar'? 3 cQue valores, una vez determinados, constituyen una solucien para el pro-

blema? Pongase en la position de alguien que tiene que implanter su solucien, y luego pregantese que information se requiere.

Para el ejemplo 2.1, las respuestas a todas estas preguntas son iguales y lo llevan a identificar las variables de decisiOn como el numero de miles de galones de CS-01 y CS-02 por producir semanalmente.

2.1.2 Identificaciem de los datos del problema La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las va-riables de decision que ha identificado. Usted requiere conocer cierta information para

Nombre simbolico Un nombre descriptivo dado a una variable en un modelo matematico que ayuda a la comprension del significado de la variable.

14

CAIIruto 2 EL Y LA CIENCIA DE CONSTRUIR MODELOS DETERMINISTICOS

ayudar a determinar esos valores. Por ejemplo, para determinar las cantidades reales de los dos solventes a producir para maximizar las ganancias corporativas, necesitard saber:

1. El nurnero de horas de trabajo disponibles en el departamento de mezclado. 2. El numero de horas de trabajo disponibles en el departamento de purification. 3. La cantidad de ganancias obtenidas al producir y vender cada tipo de solvente.

Estas cantidades constituyen los datos del problema. En problemas deterministicos, se requiere conocer (u obtener) estos valores en el momento de formular el problema. Para Case Chemicals:

1. Como se establecio en la description del problema, el departamento de mezclado tiene cinco trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uno) y dos trabajadores .de tiempo parcial (15 horas cada uno). Esto da un total de 230 horas de trabajo a la semana en el departamento de mezclado.

2. De manera similar, los seis trabajadores de tiempo completo (40 horas cada uno) y el trabajador de tiempo parcial (10 horas) representan un total de 250 horas de trabajo a la semana en el departamento de purificaciOn.

3. El departamento de contabilidad estima un margen de ganancias de $0.30 por galon de CS-01 y de $0.50 por galOn de CS-02, esto es, $300 por mil galones de CS-01 y $500 por mil galones de CS-02.

A diferencia de las variables de decisiOn, cuyos valores usted puede controlar, usted no puede controlar directamente los valores de los clatos.

NI* CARACTERISTICAS CLAVE

La necesidad de que algunos de los datos del problema pueden aclararse cuando especifica el problema. Otros datos pueden hacerse necesarios al desarrollar el modelo maternAtico y descubrir que se requiere information adicional para ayudar a determinar los valores de las variables de decision.

Descomposicion La desintegracion de una funcion objetivo en la suma, diferencia o producto de cantidades individuales.

2.1.3 Identificacion de la funci6n objetivo El siguiente paso en la formulaciOn del problema es expresar el objetivo organizacional global en forma matematica usando las variables de decision y los datos conocidos del problema. Esta expresion, la funcion objetivo, generalmente se crea en tres etapas.

1. Establecer el objetivo en forma verbal. Para el ejemplo 2.1, este objetivo es: Maximizar la ganancia semanal total de la production de CS-01 y CS-02

2. Donde sea adecuado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia o producto de cantidades individuales. Para el ejemplo 2.1, la ganancia total puede calcularse como la suma de la ganancia de CS-01 y la de CS-02:

Maximizar ganancia = (ganancia de CS-01) + (ganancia de CS-02) 3. Expresar las cantidades individuales matematicamente usando las variables de

decision y otros datos conocidos en el problema.



2.1 PASOS GENERALES Y TECNICAS DE LA CONSTRUCCION DE MODELOS MATEMATICOS 15

Para lograr la tarea en la tercera etapa, a menudo es ail elegir algunos valores especificos para las variables de decision y luego usar esos valores para determinar la forma en que se calcula la funcion objetivo. Se hace referencia a esta tecnica como trabajo a traves de un ejemplo especifico. En el ejemplo 2.1, supongamos que se producen 10 mil galones de CS-01 y 20 mil galones de CS-02 (asi que CS1 = 10 y CS2= 20). El departamento de contabilidad le ha dicho que cada mil galones de CS-01 contribuye con $300 a la ganancia y que cada mil galones de CS-02 contribuye con $500. Se puede escribir:

Ganancia de CS-01 = 300(10) = $ 3 000 + Ganancia de CS-02 = 500(20) = $ 10 000

Ganancia total = $ 13 000

Sin embargo, el proposito de usar valores especificos para las variables no es obtener la ganancia total de estos valores, sino ms Bien ayudarlo a determinar como calcular el objetivo cuando los valores de las variables no se conocen explicitamente. En este problema, se puede ver facilmente de los calculos anteriores que si CS1 es el ntimero no especificado de miles de galones de CS-01 y CS2 es el numero no especificado de miles de galones de CS-02 por producir, entonces la ganancia es:

Ganancia de CS-01 = 300CS1 + Ganancia de CS-02 = 500CS2

Ganancia total = 300CS1 + 500052

Por lo tanto, la funcion objetiva maternatica expresada en terminos de las variables de decision y de los datos del problema es:

Maximizar 300CS1 + 500052


Este problema ilustra las siguientes caracteristicas clave:

3 Creacion de la funcion objetivo mediante: a. Enunciado del objetivo de manera verbal. b. Cuando sea apropiado, descomponer el objetivo en una suma, diferencia,

y/o producto de terminos individuales. c. Expresar los terminos individuales en (b) usando las variables de decision

y otros datos de problemas conocidos.

3 Trabajar con un ejemplo especifico para determinar corm se expresa la funcion objetivo en una forma matematica, eligiendo valores especificos para las variables de decision y realizando los calculos necesarios.

2.1.4 Identificaciort de las restricciones Su objetivo es maximizar las ganancias. La funcion objetivo le dice que mientras ms grande sea el valor de las variables, ms grande sera la ganancia. Pero el mundo real

Trabajo a traves de un ejemplo especifico La tecnica de usar valores especificos de las variables para determinar c6mo se calcula la funciOn objetivo.

16 CAP1TULO 2 EL ARTE Y LA CIENCIA DE CONSTRUIR MODELOS DETERMINISTICOS

pone un limite en los valores que puede asignar a estas variables. En el ejemplo 2.1, los departamentos de mezclado y purification tienen ciertas restricciones fisicas: un ntimero limitado de horas de trabajo disponible cada uno. Estas limitaciones, asi como otras consideraciones que imponen restricciones sobre los valores de las variables, son las restricciones. El paso final en la formulation del problema es identificar estas res-tricciones y escribirlas en forma maternatica.

Las restricciones son condiciones que las variables de decision deben satisfacer para constituir una solution "aceptable". Estas restricciones por lo general surgen de:

1. Limitaciones fisicas (el mimero limitado de horas de trabajo en los departamentos de mezclado y purification, por ejemplo).

2. Restricciones impuestas por la administration (por ejemplo, esta pudo haber prometido una cierta cantidad de un producto a un cliente estimado).

3. Restricciones externas (por ejemplo, Case Chemicals no puede vender ms de 120 mil galones de CS-02 a la semana, y no hay razen para producir ms que la cantidad demandada).

4. Relaciones implicadas entre variables (por ejemplo, en el problema de inversion de Mark de la section 1.1, las dos fracciones que representan la proportion de dinero a invertir en los dos fondos debe sumar 1).

5. Restricciones logicas sobre variables individuales (por ejemplo, el ralmero de carros producidos debe ser un ntimero entero, y Case Chemicals no puede pro-ducir una cantidad negativa de solventes).


Despues de identificar estas restricciones, debe expresarlas en forma maternatica usando las variables de decision y otros datos del problema. Este proceso es identico al usado para especificar la funcion objetivo.

3 Expresar las restricciones en forma verbal. 3 Cuando es apropiado, descomponer la restriction en una suma, diferencia

y/o producto de cantidades individuales. 3 Trabajar con un ejemplo especifico para expresar las cantidades individuales

en una forma matematica, usando las variables de decision y otros datos conocidos del problema.

Considere las restricciones del ejemplo 2.1.

RESTRICCION DE TRABAJO EN EL DEPARTAMENTO DE MEZCLADO (LIMITACION FiSICA)

Forma verbal: Horas totales usadas no pueden exceder de 230 en el mezclado

Horas) (

( Horas Descomposicion: usadas + usadas

no pueden exceder de 230 para CS-01 para CS-02

Matematicas: para expresar las horas usadas para CS-01 y CS-02 en el departamen-to de mezclado, trate de trabajar con un ejemplo especifico. Por ejemplo, suponga que

2.1 PASOS GENERALES Y TECNICAS DE LA CONSTRUCCION DE MODELOS MATEMATICOS

CS1 = 15 mil y que CS2 = 10 mil galones. I,Como calcula el numero de horas usadas en el departamento de mezclado? Estos valores son datos del problema (ademas de los datos ya identificados en la section 2.1.2) que usted debe obtener. Supongamos que usted llama al departamento de procesos y recoge los siguientes datos para los departamentos de mezclado y purificaciOn:

HORAS POR MILES DE GALONES DE

CS-01 CS-02

Mezclado 2 1 Purification 1 2

Resulta entonces facil calcular las horas usadas en el departamento de mezclado trabajando con valores especificos de CS1 = 15 y CS2 = 10:

Horas para 15 mil galones de CS-01 = 2(15) = 30 + Horas para 10 mil galones de CS-02 = 1(10) = 10

Total de horas en el mezclado = 2(15) + 1(10) = 40

El proposito de usar este ejemplo numerico especifico es ayudarle a escribir una res-tricciOn matematica general cuando los valores de las variables (CS1 y CS2, en este caso) no se conocen. De los calculos anteriores, usted obtiene la siguiente restriction mate-matica general:

2CSI + 1CS2 < 230

RESTRICCION DE TRABAJO EN EL DEPARTAMENTO DE PURIFICACION (LIMITACION FISICA) Forma verbal: Horas totales usadas

en la purificacion no pueden exceder de 250

Horas Horas Descomposicion: usadas

+ para CS-01 (

usadas para CS-02

no pueden exceder de 250

Matematicas: 1CS1 2CS2 250

RESTRICCION DE LIMITE (LIMITACION EXTERNA) La limitation de que a lo ms pueden venderse 120 mil galones de CS-02 da pie a la siguiente restriction sobre el valor de CS2:

17

CS2

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CAPITULO 2 EL ARTE Y LA CIENCIA DE CONSTRUIR MODELOS DETERMINiSTICOS

RESTRICCION DE NO NEGATIVIDAD (LIMITACIONES LOGICAS) Claro esta que usted sabe que los valores de estas variables de decision deben ser no negativos, esto es, cero o positivos. Tales restricciones implicitas de las que usted esta consciente deben hacerse explicitas en la formulation matematica. Para este problema, debe incluir las siguientes restricciones:

CS, 0 y CS2 0 o CS I, CS2 > 0

Juntando todas las piezas de los pasos anteriores, la formulation matematica completa del problema de planeacion de production de Case Chemicals es la siguiente:

FORMULACION MATEMATICA DEL PROBLEMA DE CASE CHEMICALS

Maximizar Condicionado por:

300CS1 + 500CS2 (ganancia)

2CS1 + 1CS2 :5_ 230 (mezclado)

1CS1 + 2CS2 __ 250 (purificaciOn)

CS2 S 120 (limitado en CS-02) CS CS2 0 (no negatividad)

Programa lineal EX2_1.DAT

donde:

CS, = el numero de miles de galones de CS-01 por producir semanalniente

CS2 = el nUmero de miles de galones de CS-02 por producir semanalmente

En el capitulo 4 aprendera el procedimiento de soluciOn para este tipo de problema. La aplicacion de ese procedimiento da por resultado la solution optima:

CS, = 70

CS2 = 90

Es decir, el plan de production optima es de 70 000 galones de CS-01 y de 90 000 galones de CS-02, lo que representa una ganancia semanal de $66 000.

En esta section, usted ha aprendido los pasos a tomar en la formulation de pro-blemas identificando (1) las variables de decision, (2) los datos del problema, (3) la funcion objetivo y (4) las restricciones. Para escribir la funcion objetiva y las restricciones en una forma matematica, use las variables junto con los datos del problema que usted tenga al formular el modelo. Es posible que no conozca todos los datos necesarios al definir por primera vez el problema. La necesidad de datos adicionales puede descubrirse cuando proceda con la formulation del problema. Estos valores de datos deben obtenerse de fuentes apropiadas dentro de la organization. Para ahorrar tiempo y espacio, los enunciados de problemas futuros en este libro incluiran todos los datos necesarios. La formulation consistird en estos tres pasos:

Paso 1. Identificacion de las variables de decision. Paso 2. Identification de la funcion objetivo. Paso 3. Identification de las restricciones.

19 2.2 EJEMPLOS ADICIONALES DE LA FORMULACION DE PROBLEMAS

El problema de esta seccion involucra solo dos variables de decision y unas cuantas restricciones. Los problemas de importancia practica a menudo contienen cientos o miles de variables y un nUmero similar de restricciones. Estos problemas ms corn-plejos tambien pueden formularse usando los pasos que aprendio en esta seccion.

III 2.2 EJEMPLOS ADICIONALES DE LA FORMULACION DE PROBLEMAS

En esta seccion, los pasos de formulacion que aprendio en la seccion 2.1 se aplican a pro-blemas de complejidad variable. Tambien aprendera nuevas tecnicas utiles en la iden-tificacion de las variables, los datos, la funcion objetivo y las restricciones. Por ejemplo, una de estas tecnicas consiste en dibujar un diagrama esquematico para representar los diversos componentes del problema. Una ventaja de hacer esto es que el aspecto ms importante de estos problemas puede ser transmitido con una sola imagen. Una clase de problemas en que los diagramas esquematicos son particularmente Utiles se deno-minan problemas de redes, que pueden incluir la distribucion de bienes, como se ilustra en las secciones 2.2.1 y 2.2.2.

2.2.1 Ejemplos de problemas de redes: el problema de la transportacion Entre los muchos problemas que enfrenta un negocio de produccion esta el determinar el mejor plan de embarque para distribuir bienes terminados desde las instalaciones de produccion (fabricas y plantas) hasta los mercados de distribucion (clientes y tiendas detallistas). Por ejemplo, zcomo traslada una compaiiia petrolera la gasolina de sus refinerfas a sus gasolineras de la mejor manera? Los negocios deben desarrollar un plan de embarque (o un programa de distribucion) en el que se establezca el namero (o cantidad) de productos terminados por embarcar desde cada instalaciOn de produccion hasta cada mercado de distribucion. Estos embarques no pueden exceder las capacidades disponibles o suministros de las instalaciones de producciOn y adernas deben satisfacer todas las demandas de los clientes. Con frecuencia, el mejor programa minimiza los costos totales de transportacion. El desarrollo de este programa se denomina el pro-blema de transportacion.

Es necesario identificar cierta informacion, datos del problema, para desarrollar el programa:

1. demandas de los clientes 2. capacidades de la planta 3. costos de embarque desde cada planta hasta cada cliente

Considere el siguiente problema enfrentado por CCC, Cosmic Computer Company.

EJEMPLO 2.2 EL PROBLEMA DE DISTRIBUCION DE COSMIC COMPUTER COM-PANY CCC tiene tres plantas de ensamblaje de microcomputadoras en San Fran-cisco, Los Angeles y Phoenix. La planta de Los Angeles tiene una capacidad de produc-ciOn mensual de 2000 unidades. Cada una de las plantas de San Francisco y Phoenix puede producir un maximo de 1700 unidades al mes. Las microcomputadoras de CCC se venden a tray& de cuatro tiendas detallistas localizadas en San Diego, Barstow, Tucson y Dallas. Los pedidos mensuales de los vendedores al menudeo son de 1700 unidades en San Diego, 1000 en Barstow, 1500 en Tucson y 1200 en Dallas. La tabla

Diagrams esquematico Un dibujo usado para representar los diversos componentes de un problema.

Problema de redes Un problema que puede representarse mediante circulos y flechas que los conectan.

Problema de transportacion El problema de determinar el plan de minimos costos para embarcar bienes desde las instalaciones de produccion hasta los mercados de distribuciOn.

20 CAPITULO 2 EL ARTE Y LA CIENCIA DE CONSTRUIR MODELOS DETERMINISTICOS

2.1 contiene el costo de embarque de una microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta cada una de las distintas tiendas minoristas. Su trabajo es formular un modelo matematico para encontrar el programa de embarque de minim costo. n

TABLA 2.1 Costos de embarque ($/unidad)

TIENDAS

PLANTAS SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS

San Francisco 5 3 2 6 Los Angeles 4 7 8 10 Phoenix 6 5 3 8

Antes de formular este problema matematicamente, es posible dibujar un diagra-ma de redes esquematico para representar los diversos componentes del problema, como se ilustra en la figura 2.1. Los siete circulos, o nodos, representan las tres plantas y las cuatro tiendas al menudeo. Cada arco indica que las computadoras pueden embarcarse desde la planta hasta la tienda minorista asociada.

Ademds de los nodos y arcos, el diagrama de redes incluye los datos del problema. En este caso, los nameros que estan junto a los nodos correspondientes a las tiendas al menudeo indican el numero de computadoras solicitadas allf. Finalmente, los nameros que estan junto a cada arco representan el costo de embarque de una computadora de la planta correspondiente a la tienda asociada. Todos los aspectos importantes de este problema se incluyen en este diagrama de redes y, como vera, el diagrama simplifica la formulacion matematica posterior.

PASO 1. IDENTIFICACION DE LAS VARIABLES DE DECISION

Despues de los pasos de la formulacion del problema, su primera tarea es identificar las variables de decision. Para hacerlo, hagase las siguientes preguntas:

1. zQue elementos afectan los costos y/o ganancias? 2. I,Que elementos puede escoger y/o controlar libremente? 3. ,Que decisions tiene que tomar? 4. 1,Cuales son los elementos cuyos valores, cuando se conocen, constituyen una

soluciOn (en este caso, un programa de embarque)? En otras palabras, ,que informaciOn tendria que proporcionar a las plantas de ensamblaje para que ellos supieran como distribuir sus productos?

Las respuestas a todas estas preguntas pueden conducirlo a identificar doce varia-bles de decision, correspondientes al namero de microcomputadoras por embarcar desde cada una de las tres plantas de ensamblaje hasta cada una de las cuatro tiendas minoristas. Podria referirse a ellas con nombres simbolicos x1, x2, . . . , x 12. Pero recuerde que al trabajar con variables, es atil usar un nombre simbolico que en cierta manera le recuerde la cantidad representada. Por ejemplo, podria definir:

Nodo Un circulo en un diagrama de redes que representa un aspecto importante de un problema, como la fuente y destinacion de bienes en un problema de transportacion.

Arco Una linea que conecta dos nodos en un diagrama esquematico que representa una relacion entre estos dos nodos, como podria ser una posible ruta para el embarque de bienes en un problema de transportacion.

San/Tuc = el flamer() de microcomputadoras por embarcar de la planta de ensamblaje en San Francisco a la tienda detallista en Tucson

1700

San Francisco

1700

Barstow

1000

Los Angeles

2000

1500

Phoenix Tucson

1700

1200

aps

de ar

21

7- a, is

2.2 EJEMPLOS ADIC1ONALES DE LA FORMULACION DE PROBLEMAS

Plantas Tiendas detallistas

San Diego

Dallas

Figura 2.1 La red de distribucion de CCC.

0 X13 = el namero de microcomputadoras por embarcar de la

planta de ensamblaje #1 (San Francisco) a la tienda detallista #3 (Tucson)

0 xsT = el nilmero de microcomputadoras por embarcar de la

planta de ensamblaje en San Francisco a la tienda detallista en Tucson.

TABLA 2.2 Variables de decisicin para el ejemplo 2.2

PLANTAS

TIENDAS

SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS

San Francisco Los Angeles Phoenix

X

XLS X,,

Xss XLs X

Xs.i. )(LT XPT

Xs, XLD X

Para este ejemplo, se utiliza la Ultima notacion. Los doce nombres simbolicos se re-sumen en la tabla 2.2. En terminos del diagrama de redes de la figura 2.1, cada una de estas variables de decision denota el numero de computadoras por embarcar junto al arco correspondiente, como se ilustra en la figura 2.2.

San Francisco

1700

xss

1000

Los Angeles

2000

1500

1700

1200

1700


PASO 2. IDENTIFICACION DE LA FUNCION OBJETIVO

Si recordamos el procedimiento usado en la section 2.1, puede especificar la funcicin objetiva de la manera siguiente:

Forma verbal:

Minimizar costos de embarque desde todas las plantas a todas las tiendas

costo de costo de costo de embarque + DescomposiciOn: Minimizar embarque + ( embarque desde SF desde LA desde Phoenix

Plantes Tiendas detailistas

San Diego

Dallas

Figura 2.2 Variables de decision para el problema de distribution de CCC.

EJEMPLO ESPECIFICO. Para obtener una expresiOn matematica de cada uno de estos tres costos de embarque, trabaje con un ejemplo especifico. Suponga que la planta de San Francisco embarca 500 microcomputadoras a San Diego, 200 a Barstow, 400 a Tucson y 300 a Dallas. Esto es, xss = 500, xs/3 = 200, xsT = 400 y xst, = 300. Recordemos los costos de transportation por unidad dados en la tabla 2.1,

Costo de embarque desde SF = 5(500) + 3(200) + 2(400) + 6(300) = 5700

En general, cuando las unidades Xss, XsB, XsT, y XsD son enviadas desde San Francisco,

Costo de embarque desde SF = 5xss 3xsB + 2xsT + 6xsp

2.2 EJEMPLOS ADICIONALES DE LA FORMULACION DE PROBLEMAS 23

Procediendo de manera similar para el costo de transportation desde Los Angeles y desde Phoenix, llegamos al siguiente costo de transportation total:

MATEMATICAS

Minimizar (5xss 3xsB + 2xsT + 6xsp) + (4xLs + 7xL8

+ 8xLT + 10xLD) + (6xps

+ 5xpB + 3x pT + 8x pD)

PASO 3. IDENTIFICACION DE LAS RESTRICCIONES

Para identificar las restricciones, hagase las siguientes preguntas:

1. zQue le impide elegir valores arbitrarios para las variables? (Analizando la funcion objetiva dada, usted puede minimizar el costo estableciendo cada va-riable en cero. 1,Que le impide hater esto?)

2. zQue limitaciones ffsicas o logicas se requieren para que los valores de las va-riables constituyan una solution aceptable?

Para contestar ambas preguntas, observe la figura 2.2, que le debe llevar a identificar los siguientes grupos de restricciones:

1. El embarque total de cada planta no debe exceder su capacidad. Estas limitacio-nes estan asociadas con cada nodo correspondiente a la planta de la figura 2.2.

2. El embarque total recibido por cada tienda al por menor debe satisfacer su demanda. Estas restricciones estan asociadas con cada nodo correspondiente a una tienda detallista y a su demanda en la figura 2.2. En este ejemplo, "satis-facer" significard "ser exactamente igual a". Sin embargo, en algunas situaciones, puede significar "al menos igual a". Siempre que surjan tales ambiguedades, asegurese de aclararlas antes de formular el problema.

3. El embarque desde cada planta hasta cada tienda detallista debe ser un numero completo no negativo, a menudo denominado entero no negativo, porque no Entero puede enviar parte de una computadora. Un numero completo.

Observe que los dos primeros grupos de restricciones son limitaciones fisicas y que el tercero es una limitaciOn

Lo que resta es convertir estas restricciones de su description verbal a matematicas, usando variables de decision y datos del problema. Para hacerlo, observe que existe una restriction de capacidad asociada con cada uno de los tres nodos de la figura 2.2 correspondiente a estas tres plantas. Por ejemplo, el numero de unidades embarcadas desde la planta de San Francisco no puede exceder su capacidad de 1700. Ahora bien, use la tecnica de descomposicion para expresar el numero de unidades embarcadas desde San Francisco como una suma de terminos individuales. De la figura 2.2, los cuatro arcos que salen del nodo correspondiente a la planta de San Francisco proporcionan la siguiente descomposicion:

Ntlmero de unidades embarcadas desde

= numero de unidades

San Francisco

embarcadas hacia San Diego

numero de unidades embarcadas hacia Barstow


nUmero de unidades embarcadas hacia Tucson

nUmero de unidades embarcadas hacia Dallas

Por tanto, la restriction de capacidad correspondiente a este nodo es:

xss + xsi3 + xsT + x, LC. 1700

Un proceso similar, con referencia al diagrama de redes de la figura 2.2, conduce al siguiente grupo de restricciones de capacidad:

xss XSB XST XSD 1700 (San Francisco) xLs xLB + XLT + xLD < 2000 (Los Angeles) xps + x pB + XPT + XPD < 1700 (Phoenix)

Para identificar las restricciones de demanda, observe que existe una de tales restric-ciones asociada con cada uno de los cuatro nodos de la figura 2.2, correspondiente a las cuatro tiendas al detalle. Por ejemplo, el nUmero de unidades enviadas a la tienda detallista de San Diego debe ser exactamente 1700. Ahora use la tecnica de des-composicion para expresar el nUmero de unidades embarcadas a San Diego como una suma de terminos individuales. De la figura 2.2, los tres arcos que entran al nodo correspondiente a la tienda detallista de San Diego proporcionan la siguiente des-composicion:

NUmero de unidades 1 embarcadas desde nUmero de unidades

San Francisco embarcadas desde San Francisco

nUmero de unidades embarcadas desde Los Angeles

numero de unidades embarcadas desde Phoenix

Por tanto, la restriction de demanda correspondiente a este nodo es:

x + x + x = 1700 ss Ls ps

Un proceso similar, nuevamente con referencia al diagrama de redes de la figura 2.2, conduce al siguiente grupo de restricciones de demanda:

xss + xLS + xPS 1700 (San Diego) XSB + XLB + XPB = 1000 (Barstow) XST + X LT + X PT = 1500 (Tucson) xSD + xLD + X PD r-= 1200 (Dallas)

Finalmente, cada embarque (variable de decision) debe ser no negativo y entero:

X SS' XSB, XST, XSD, X LS' XLB, X LT' X LD' X ps, X pB, XPT, XPD > 0 y entero

Si juntamos todas las piezas, el model() matematico completo es el siguiente:

TIENDAS

SAN DIEGO BARSTOW TUCSON DALLAS PLANTAS

San Francisco Los Angeles Phoenix

0 800 0 900

1700 0 0 300

0 200 1500 0

2.2 EJEMPLOS ADICIONALES DE LA FORMULACION DE PROBLEMAS

25

FORMULACION MATEMAT1CA DEL PROBLEMA DE TRANSPORTACION DE CCC

Minimizar (5xss 3xsB 2xST 6XSD) (4xLs + 7X LB 8XLT

10XLD) (6Xps 5XPB 3XPT

8XpD)

Programa entero EX2_2.DAT Condicionado por:

RESTRICCIONES DE CAPACIDAD

XSS XSB XST XSD < 1700 (San Francisco)

XLS XLB + XLT XLD < 2000 (Los Angeles)

x ps + x pB + xpT + xpD :5_ 1700 (Phoenix)

RESTRICCIONES DE DEMANDA

xSS + xLS + xPS 1700 (San Diego)

x SB + XLB + PB = 1000 (Barstow)

xST + XLT + XPT = 1500 (Tucson)

XSD + X LD XPD = 1200 (Dallas)

RESTRICCIONES LOGICAS

XSS, XsB, XsT, XSD, XLs, XLB, X LT, XLD, X ps, X pB, X pT, Xpr, 0 y entero

En el capitulo 9 aprendera el metodo para resolver este tipo de problemas. Aplicando ese procedimiento de solucion se llega al siguiente plan de embarque optimo para CCC:

El costo de embarque total asociado con esta solucion optima es $23 100.

CARACTERISTICAS CLAVE El problema de CCC ilustra los siguientes puntos clave ademas de las tecnicas de formulation de problemas previamente cubiertas.

3 El use de un diagrama esquematico, tanto para ilustrar el problema como para ayudar a su formulation matematica.

26

CAPITULO 2 EL ARTE Y LA CIENCIA DE CONSTRUIR MODELOS DETERMINISTICOS

Agrupamiento La tecnica de identificar una serie de restricciones similares, cada una de las cuales pertenece a un aspecto particular del problema, como la satisfaccion de demandas.

3 La necesidad de resolver ambiguedades que surgen con respecto a la inter-pretaciOn de las restricciones objetivas impuestas sobre el problema. Por ejemplo, "satisfacer la demanda" puede significar exactamente igual a o al menos.

3 La tecnica de agrupamiento, que es la identificacion de grupos de res-tricciones, cada una de las cuales pertenece a un aspecto particular del problema, como la satisfaccion de demandas. La ventaja de agrupar es que, despues de formular la restriccion de demanda de un detallista, se le facilitard formular todas las restricciones de ese grupo porque todas tienen la misma estructura matematica.

2.2.2 Ejemplos de problemas de redes: el problema del flujo mciximo Para ilustrar nuevamente el use de un diagrama de redes, considere el problema enfrentado por la administraciOn de la Hexxon Oil Company.

EJEMPLO 2.3 EL PROBLEMA DEL FLUJO MAXIMO DE LA HEXXON OIL COMPANY Hexxon Oil Company tiene una gran refineria localizada en Newark, New Jersey. La gasolina refinada es enviada de alli a tanques de almacenamiento en Filadelfia a traves de una red de oleoductos con estaciones de bombeo en Sayerville, Easton, Trenton, Bridgewater y Allentown. El oleoducto esta construido en segmentos que conectan parejas de estas ciudades. A lo largo de cada segmento existe un numero maximo conocido de galones por hora que pueden enviarse. Esos segmentos y sus respectivas capacidades en galones por hora son

DE

A CAPACIDAD

Newark Sayerville Trenton Newark Sayerville Bridgewater Easton Easton Allentown

Sayerville Trenton Filadelfia Bridgewater Bridgewater Easton Allentown Trenton Filadelfia

150 000 125 000 130 000

80 000 60 000

100 000 75 000 50 000 90, 000

En la region de Filadelfia se espera un aumento en la conduccion en los proximos meses de verano. i,Tendra Hexxon suficiente gasolina para satisfacer la mayor demanda en las estaciones de servicio? Antes de incrementar la tasa de producciOn de la refineria, la administracion de Hexxon desea conocer el rnimero maxim() de galones de gasolina por hora que pueden enviarse a tray& de la red de oleoductos a los tanques de alma-cenamiento de Filadelfia. n

Antes de formular este problema matematicamente, considere el dibujo de un diagrama de redes que le ayude a visualizar la informacion y los datos del problema. Primero identifique ciertos nodos y arcos. En este problema, cada lista de ciudades puede representarse mediante un nodo. Para conectar esas ciudades para las que existe

[150]'

[80] [90]

Allentown [100] [75]

Easton Bridgewater * En miles de galones por hora

[60] [50]

Newark Filadelfia

Sayerville Trenton

Bridgewater [100] [75]

Easton Allentown

27 2.2 EJEMPLOS ADICIONALES DE LA FORMULACION DE PROBLEMAS

un segmento de la red de oleoductos se'utiliza un arco, como se ve en la figura 2.3. Alli

tambien puede ver la capacidad de cada segmento escrita junto al arco correspondiente. Sayerville Trenton

Newark Filadelfia

Figura 2.3 RepresentaciOn de red del problema de flujo maximo: problema de flujo de Hexxon Oil Company.

PASO 1. IDENTIFICACION DE LAS VARIABLES DE DECISION El primer paso en la formulacion es identificar las variables de decision. Preguntese lo que puede controlar con libertad y lo que constituye una soluciOn a este problema. La respuesta es que debe determinar el ntimero de galones de gasolina que se pueden enviar por hora a lo largo de cada segmento del oleoducto. Puede definir

XNS = el numero de galones de gasolina por hora que se enviaran a lo largo del segmento Newark a Sayerville

Se requiere de una variable similar para cada uno de los otros ocho arcos del diagrama de redes de la figura 2.3. En la figura 2.4 se escriben estas nueve variables junto a los arcos.

Figura 2.4 Variables de decision para el problema de flujo maximo de Hexxon Oil Company.



El siguiente paso en el proceso de formulaciOn es la identification de la funcion objetivo, que en este caso es:

Maximizar el ntimero de galones de gasolina por hora enviada a Filadelfia

Examinando el diagrama de redes de la figura 2.4 y aplicando la tecnica de descom-posicion, puede ver que:

Ninnero de galones ntimero de galones por _ numero de galones por

por hora a Filadelfia hora desde Allentown

hora desde Trenton

En terminos de las variables de decision, entonces, la funcion objetivo es Maximizar xm, + XTP

PASO 3. IDENTIFICACION DE LAS RESTRICCIONES La tecnica de agrupamiento puede usarse para identificar los siguientes tres grupos de restricciones.

1. Restricciones de limite, especificando que la tasa de embarque de cada segmento del oleoducto no debe exceder su capacidad. Al usar las variables y las capacidades dadas en la figura 2.4, estas restricciones son:

XNS 150 000

XNB 80 000

xSB


29

Si igualamos estas dos cantidades obtenemos la siguiente restriction de balance para la estacion de bombeo de Bridgewater:

XBE = XNB + XSB 0

XBE XNB X sB = 0 (balance en Bridgewater)

Procediendo de manera similar para cada estacion de bombeo se obtienen las siguientes cuatro restricciones de balance adicionales:

XST XSB XNS = 0 (balance en Sayerville) xEA XET XBE = 0 (balance en Easton) XTP XST XET = 0 (balance en Trenton) Xm, XEA = 0 (balance en Allentown)

3. Restricciones iogicas, especificando que la cantidad enviada en cada segmento sea no negativa.

Juntando todas las piezas, la formulation matematica del problema de la Hexxon Oil Company es la siguiente:

FORMULACION MATEMATICA DEL PROBLEMA DE FLUJO DE LA HEXXON OIL COMPANY

Maximizar

Condicionado por:

XAP + XTP

RESTRICCIONES DE FRONTERA

150 000 X NS 80 000 X NB <

60 000 X SB

X < 125 000 ST 100 000 X BE

XEA 5- 75 000

50 000 X ET

XAP, 5- 90 000

XT < 130 000 P

Programa lineal EX2_3.DAT

RESTRICCIONES DE BALANCE

XBE XNB XSB = 0 (balance en Bridgewater) xST + XSB XNS = 0 (balance en Sayerville) xEA + XET X BE = 0 (balance en Easton) XTP XST XET = 0 (balance en Trenton) XAP XEA = 0 (balance en Allentown)

Filadelfia

Flow = 205

110

[125]

95

[100] Bridgewater Allentown

[75] Easton

30 CAPITULO 2 EL ARTE Y LA CIENCIA DE CONSTIZUIR MODELOS DETERMINISTICOS

RESTRICCIONES LOGICAS

Todas las variables son no negativas.

Aplicando el procedimiento de solution apropiado se obtienen los flujos optimos mostrados en la figura 2.5.

Sayerville Trenton

Figura 2.5 Una solution optima para el problema de flujo maxim de Hexxon Oil Company.

Esta solution resulta en un flujo maxim de 205 000 galones de petroleo por hora desde la refineria de Newark a los tanques de almacenamiento de Filadelfia.

La administration no sabe cuanta gasolina puede bombear la compaiiia a Filadelfia. Esta information tambien es importante al tomar la decision respecto a cudl deberia ser la tasa de production en la refineria de Newark. De hecho, el flujo maxim hacia Filadelfia pone un limite superior sobre cuanta gasolina debe fluir desde Newark.

2.2.3 Administration de cartera de valores: el use de variables enteras 0-1

En muchos problemas, los administradores deben tomar ciertas decisiones estrategicas, como:

Y. i,Debe construirse una nueva planta o almacen? 2. zDebe emprenderse un proyecto particular? 3. cDebe comprarse cierta seguridad? 4. zDebe comprarse una nueva pieza de equipo?

Estas cuatro preguntas abordan problemas que son distintos en naturaleza del problema de transportation y del problema de flujo maxim. Al desarrollar el programa de embarque y el flujo de gasolina, usted buscaba una respuesta cuantitativa: zcuanto? Las cuatro preguntas estrategicas anteriores son cualitativas: Sus respuestas seran "no" o "si".


Las decisiones cualitativas desconocidas, la respuesta de si o no a estas pregun tas, son los elementos que puede controlar con libertad y de esta manera se incorpo-ran a un modelo matematico como variables de decision. Al formular un modelo, estas' variables de decision estan restringidas a valores de 0 (para "no") y 1 (para "si") y son entonces llamadas variables enteras 0-1. El siguiente ejemplo ilustra como se usan estas variables en el desarrollo de modelos.

EJEMPLO 2.4 EL PROBLEMA DE ADMINISTRACION DE CARTERA DE HIGH TECH Los socios generales de High Tech, una compaiiia de inversion de capital de riesgo, estan considerando invertir en una o ms propuestas que han recibido de varios negocios empresariales. El departamento de investigacion ha examinado cada propuesta, y cuatro de los empresarios cumplen con el requerimiento de High Tech de lograr un rendimiento lo suficientemente alto para el riesgo asociado. Estas compailias son Bio-Tech, Tele-Comm, Laser-Optics y Compu-Ware. El departamento de investigacion de High Tech tambien ha estimado el rendimiento total de estos negocios en &Hares actuales, dado en la Ultima columna de la tabla 2.3.

Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversiones de una cantidad conocida al principio de cada uno de los siguientes cuatro anos, como se muestra en la tabla 2.3. El departamento de contabilidad de High Tech ha preparado una estimacion de los fondos totales que High Tech tiene para invertir a principios de cada uno de los siguientes cuatro atios, que se da en la Ultima fila de la tabla 2.3. Observe que los fondos no usados de cualquier ario no estan disponibles para su inversion en los aiios posteriores.

Como uno de los socios generales de High Tech, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a cuales de estos proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr el ms alto rendimiento total en &dares actuales. Usted y los otros socios han acordado que High Tech, en un esfuerzo por diversificarse, no invertird conjuntamente en Tele-Comm y Laser-Optics, que estan desarrollando el mismo tipo de tecnologia. n

TABLA 2.3 Datos de inversion para High Tech ($ miles)

PROYECTOS ANO 1 ANO 2 ANO 3 ANO 4 DEVOLUCION

Bio-Tech 60 10 10 10 250 Tele-Comm 35 35 35 35 375 Laser-Optics 10 50 50 10 275 Cornpu-Ware 15 10 10 40 140

Fondos para inversion 90 80 80 50


Pregtintese que puede controlar libremente en este problema y se dard cuenta de que puede elegir aceptar o rechazar cada una de las cuatro propuestas. Debe reconocer que estas decisiones implican una decision "no" o "si". Parece razonable entonces crear una variable entera para cada proyecto, de la manera siguiente:

{1

1, si High Tech debe invertir en Bio-Tech 0, si High Tech no debe invertir en Bio-Tech

1, si High Tech debe invertir en Tele-Comm 0, si High Tech no debe invertir en Tele-Comm

B =

T =

Variable entera 0-1 Una variable de decision, restringida a tener un valor de 0 o 1, usada para modelar decisiones "no/si".

32 CAPITULO 2 EL ARTE Y LA CIENC1A DE CONSTRUIR MODELOS DETERMINISTICOS

L =

C =

{1,si High Tech debe invertir en Laser-Optics 0, si High Tech no debe invertir en Laser-Optics

1, SiHigh Tech debe invertir en Compu-Ware 0,

si High Tech no debe invertir en Compu-Ware

La eleccion de 1 para "si" y 0 para "no" es completamente arbitraria. Tambien habrfa podido elegir 1 para "no" y 0 para "si". Sin embargo, una vez que ha elegido, debe usar esta eleccion consistentemente en toda la formulacion. En algunos casos, una eleccion particular simplifica la formulacion subsecuente.


En este caso, el objetivo es maximizar el rendimiento total de las inversiones en Mares actuales. El rendimiento total puede descomponerse en la suma de las utilidades para cada uno de los cuatro proyectos, como sigue:

Rendimiento total = rendimiento de Bio-Tech + rendimiento de Tele-Comm + rendimiento de Laser-Optics + rendimiento de Compu-Ware

Trabaje con un ejemplo especffico. El rendimiento de Bio-Tech es de $250 000, como se muestra en la tabla 2.3. Sin embargo, recibird este rendimiento solo si decide invertir en Bio-Tech, esto es, si B = 1. De otra manera, es decir, si B = 0, el rendimiento de Bio-Tech es 0. Estas dos posibilidades pueden combinarse en la siguiente expresiOn mate-matica:

Rendimiento de Bio-Tech = 250B

Si la decision es no invertir, es decir, B = 0, entonces 250B = 0. De otra manera, cuando la decision es invertir, esto es, B = 1, entonces 250B = 250.

De manera similar, el rendimiento de cada uno de los restantes tres proyectos se obtiene multiplicando el rendimiento de la tabla 2.3 con la variable de decision 0-1 correspondiente a ese proyecto. En resumen, la funcion objetivo para este problema es maximizar:

Rendimiento total = rendimiento de Bio-Tech rendimiento de Tele-Comm + rendimiento de Laser-Optics rendimiento de Compu-Ware

= 250B + 375T + 275L + 140C


Comience usando la tecnica de agrupamiento para identificar los siguientes grupos de restricciones: (1) flujo de efectivo anual, (2) una pauta para reflejar que High Tech no desea invertir en Tele-Comm y en Laser-Optics a la vez, y (3) restricciones lOgicas.

RESTRICCIONES DE FLUJO DE EFECTIVO ANUAL Pregiintese que le impide invertir en los cuatro proyectos. Una restriccion es la can-tidad limitada de fondos disponibles para inversion durante cada uno de los cuatro atios ( \Tease la tabla 2.3). En particular, se requiere de una restriccion de presupuesto para cada uno de los cuatro atios para asegurar que los fondos totales invertidos en proyectos

res

ara

TICOS

sria ar

;ion


seleccionados no excedan la cantidad de fondos para inversion disponibles ese ano. Por ejemplo, para el primer ario:

Fondos totales invertidos en proyectos seleccionados :5_ 90

Usando la tecnica de descomposicion, los fondos totales invertidos en proyectos seleccionados es la suma de las cantidades invertidas en cada uno de los cuatro proyectos, esto es:

Fondos totales invertidos = (cantidad invertida en Bio-Tech) + (cantidad invertida en Tele-Comm) + (cantidad invertida en Laser-Optics) + (cantidad invertida en Compu-Ware)

Se requiere una expresion matematica para cada una de estas cantidades en ter-minos de las variables de decision y otros datos del problema. Use nuevamente la descomposiciOn, y trabaje con un ejemplo especifico. La cantidad invertida en cada proyecto es la cantidad requerida para ese proyecto durante el primer alio (\Tease la tabla 2.3) multiplicada por la variable 0-1 correspondiente. Por tanto, la restriction de presupuesto para el primer ario se convierte en:

60B + 35T + 10L + 15C 90 (presupuesto para el ario 1)

Se requiere de una restriction similar para cada uno de los restantes tres arios. Usando los datos de la tabla 2.3, esas restricciones son

33

10B + 35T + 50L + 10C 80

10B + 35T + 50L + 10C:5_ 80

10B + 35T + 10L + 40C :5_ 50

(presupuesto para el ario 2) (presupuesto para el atio 3) (presupuesto para el ario 4)

RESTRICCION DE PAUTA DE INVERSION Recuerde que la administraciOn ha decidido no invertir en Tele-Comm y Laser-Optics a la vez. ,Puede usar las variables T y L para escribir una restriction matematica apropiada?

Se necesita una restriction para asegurar que si T es 1, entonces L es 0, y que si L es 1, entonces T es 0 (o, de manera equivalente, que ambas variables no pueden tener un valor de 1). Una forma de lograr esto es requerir que el producto de estas dos variables sea 0.

T*L= 0

Si una de las variables es positiva, la otra debe ser 0. Pensandolo un poco, puede darse cuenta de que la siguiente restriction logra el mismo objetivo:

T 4-L5_1

En la Ultima restriction, si T es 1, L no puede ser tambien 1 y satisfacer la desigualdad (y viceversa). Cualquiera de estas dos restricciones es aceptable. La opciOn deberia basarse finalmente en su capacidad de encontrar un metodo para resolver la formulation

Programa entero EX24.DAT

34


resultante. En este caso, la segunda restricciOn proporciona un modelo que es ms facil de resolver, como aprendera en los siguientes capitulos sobre tecnicas de solucion.

RESTRICCIONES LOGICAS Como se especifica en las definiciones, cada variable debe tener un valor de 0 o 1. Esta restriccion implicita se hace explicita de la siguiente manera:

B,T,LyC=Ool

De manera alternativa, podria escribir estas restricciones logicas como:

0_.-B.1c.1 y B entera

0 _

2.2 EJEMPLOS ADICIONALES DE LA FORMULACION IDE PROBLEMAS

I El uso de variables enteras (0-1), para incorporar decisiones no/si. I El uso de variables enteras (0-1), para modelar restricciones alternati-

vas al requerir que la suma de dos de estas variables no exceda de 1. I La posibilidad de distintas expresiones matematicas para la misma

restriction. I La posibilidad de distintos modelos, dependiendo de la election y definition

de las variables de decision.

2.2.4 Ian problema de ubicaciOn

Muchos problemas de la industria implican la election de un lugar para instalaciones, por ejemplo, plantas y almacenes. La ubicacion de instalaciones puede influir en gran medida en los costos de transportation. Por ejemplo, si las plantas de ensamblaje de la Cosmic Computer Company, en el ejemplo 2.2 de la section 2.2.1, estuvieran ubicadas en distintas ciudades, los costos de embarque de las computadoras a las tiendas deta-llistas cambiarian. Las decisiones de ubicaciOn tambien pueden afectar la satisfaction del cliente. conveniente y accesible una tienda? La ubicacion puede ser critica para el exit del negocio. La pregunta a contestarse es donde ubicar "mejor" las instalaciones para lograr un objetivo organizational global, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2.5 EL PROBLEMA DE LA UBICACIoN DEL BANCO DE SANGRE Suponga que la ciudad de Nueva York tiene cinco hospitales en Manhattan. El Departamento de Salud desea construir un banco central de sangre para proporcionar suministros diarios de sangre a cada hospital. Los hospitales 2 y 4 requieren entregas matutinas y vespertinas. Los restantes tres hospitales requieren solo una entrega al dia. Como administrador del departamento, se le ha pedido hacer una recomendacion respecto a la ubicaciOn ideal de este banco de sangre, ya sea que ese lugar este realmente disponible para su adquisicion o no.


zQue puede controlar libremente en este problema? Es claro que usted controla la ubicacion del banco de sangre. La cuestiOn real es como especifica esa ubicacion. La forma obvia de hacerlo es definiendo una variable simple, digamos, x, cuyo valor es la direction del banco de sangre. Pero piense cuidadosamente respecto a lo que va a hacer con esa variable en la formulation del problema. Si la direction conocida de un hospital es y, por ejemplo, no podra utilizar x junto, cony para desarrollar una expresion mate-matica para la distancia entre el banco de sangre y el hospital, porque las direcciones solas no contienen suficiente information.

Se requiere de un conjunto de variables ms preciso. Una forma de definir un lugar en un mapa (como en la figura 2.6) es describiendo cada punto en relation con un punto fijo, llamado el origen. Cada punto del mapa consta de dos coordenadas, digamos (a, b). La primera coordenada, a, representa la distancia Este-Oeste (digamos, en millas) desde el origen, y la segunda coordenada, b, representa la distancia Norte-Sur (en millas). No importa el punto que elija como el origen, siempre y cuando exprese todas las coordenadas con relation a ese punto.

En este ejemplo, el Ayuntamiento de la figura 2.6 se ha elegido como el origen. Sus coordenadas son (0, 0). Cualquier otro punto en el mapa consiste entonces en dos co-ordenadas (a, b), en las que un valor negativo de a representa la distancia al Este

35


(derecha). De manera similar, un valor negativo de b representa la distancia desde el Ayuntamiento hasta el Sur (abajo) y un valor positivo representa la distancia al Norte (arriba). Con este entendido, puede escribir las coordenadas conocidas de los cinco hospitales en la figura 2.6 relativas al Ayuntamiento de la siguiente manera:

Ubicacion del hospital 1 = (a1, b1) Ubicacion del hospital 2 = (a2, b2) Ubicacion del hospital 3 = (a3, b3) Ubicacion del hospital 4 = (a4, b4) Ubicacion del hospital 5 = (a5, b5)

Regresando a la cuestion de identificar las variables de decision, usted puede elegir con libertad la ubicacion del banco de sangre, esto es, su distancia Este-Oeste y Norte-Sur en millas desde el Ayuntamiento. En consecuencia, es razonable definir dos variables, una para cada coordenada de la ubicacion del banco de sangre:

x = la distancia Este-Oeste en millas desde el Ayuntamiento y = la distancia Norte-Sur en millas desde el Ayuntamiento

Norte

(a5, b5 )

Oeste (a4, 134 )

(a1, b,)

Este

Ayuntamiento

(a2, 132 )

(a b3 )

Sur

Figura 2.6 Ubicacion de hospitales en la ciudad de Nueva York.


Xual es el objetivo de este problema? Si relee el enunciado del problema, descubrird que el objetivo no se especifica de manera precisa. En terminos generales, se le ha pedido hacer una recomendaciOn respecto a una ubicacion "ideal" para el banco de sangre. Asi que la primera cuestion que debe abordarse es como medir lo "bueno" de una ubicacion particular. Por ejemplo, Lseria "mejor" un banco de sangre ubicado en las coordenadas (s, t) que uno ubicado en las coordenadas (x, y)? Se requiere de cierta


medida de comparacion para determinar la ubicaciOn "mejor". Para desarrollar esta medida, comience por preguntar lo que constituye una buena ubicacion. Algunas res-puestas posibles son la mejor ubicacion.

1. Minimiza la suma de las distancias desde el banco de sangre a cada uno de los cinco hospitales.

2. Minimiza la distancia al hospital ms lejano. 3. Minimiza la distancia total viajada al hacer las entregas durante el dia. La eleccion de un objetivo corresponde a los tomadores de decisiones de la

organizacion. En este problema, suponga que se selecciono el tercer criterio. La siguiente cuestion es como expresar este objetivo en terminos de las variables y

otros datos del problema. Usando la tecnica de descomposicion, puede expresar la funcion objetivo de la manera siguiente:

Minimizar la distancia total de viaje = 2 * (distancia desde el banco de sangre hasta el hospital 1) *

(numero de entregas al dia al hospital 1) + 2 * (distancia desde el banco de sangre hasta el hospital 2) *

(numero de entregas al dia all hospital 2) +

2 * (distancia desde el banco de sangre hasta el hospital 5) * (numero de entregas al dia al hospital 5)

El valor de 2 en cada termino surge porque cada entrega es un viaje redondo. Ahora es necesario expresar cada termino individual usando variables y otros datos

del problema. i,Puede hacer esto para la distancia desde el banco de sangre hasta el hospital 1 de la figura 2.6? Una dificultad que puede encontrar es que no es claramente preciso que se entiende por "distancia". Por ejemplo, si las entregas se hacen por aire (digamos, en helicoptero), la distancia no es la misma que si las entregas se hicieran por tierra. Supongamos que las entregas se hacen por aire. En este caso, recuerde la for-mula para calcular una distancia en linea recta. La distancia desde el banco de sangre, ubicado en las coordenadas desconocidas (x, y), al hospital 1, ubicado en (a1, b 1 ), es:

Distancia = \/(x a1)2 + (y bi)2

Porque cada entrega requiere un viaje redondo,

Distancia viaje redondo = 2 * V(x a1)2 + (y b1)2

Use la misma formula para cada uno de los cuatro hospitales restantes, y multiplique cada distancia por el numero de viajes diarios dados en la descripcion del problema. La funcion objetivo global es:

Minimizar 2 * \/(x a )2 + (y b i )2 ) +

4* \/(x a2)2 (y b2)2 ) + 2 * \/(x a3)2 + (y b3)2 ) + 4 * ( \/(x a4)2 + (y 1)4)2 ) + 2 * ( \/(x a5)2 + (y b5)2 )

37



Problema de optimization irrestricta Un modelo matematico que tiene una funcion objetiva pero carece de restricciones.

Para identificar las restricciones, pregantese lo que le impide elegir valores arbitrarios para las variables x e y. A primera vista, podria sentir que se requieren ciertas limitaciones sobre estas variables para asegurar que representan una ubicacion valida sobre el mapa. No desearia que el banco de sangre estuviera ubicado en Filadelfia. Aun cuando podria incluir tales restricciones, no se requiere hater eso en este problema. La razon es que la funcion objetivo restringe los valores para x e y. Cuando la funcion objetivo se minimiza de hecho, los valores para x e y automaticamente estaran cerca de los cinco hospitales.

Existen otras muchas consideraciones practicas respecto a la ubicacion real del banco de sangre, pero no se incluyen como restricciones en este modelo porque el objetivo es determinar la ubicacion ideal.

Adicionalmente observe que no existen restricciones de no negatividad. La razOn es que esta permitido que las variables x e y tengan valores negativos asi como positivos. De hecho, este problema no tiene restriction alguna y por lo tanto, se denomina pro-blema de optimization irrestricta. La formulation final es la siguiente.

FORMULACION MATEMATICA DEL PROBLEMA DE UBICACION DEL BANCO DE SANGRE Minimizar 2 * V(x a1)2 + (y b1)2 J +

4* [ V(x a2)2 + (y b2)2 I +

2 * [ V(x a3)2 + (y b3)2 1 +

4 * [ V(x a4)2 + (y b4)2 J +

2 * V(x a5)2 + (y b5)2

Non

Resolver este problema requiere la obtenciOn de valores especificos para los datos que representan la ubicacion (coordenadas) de los cinco hospitales.

CARACTERLSTICAS CLAVE

Este problema ilustra las siguientes caracteristicas slave ms alla de las tecnicas de formulation de problemas ensenadas:

3 La necesidad de aclarar ciertos aspectos del problema (como el concepto de "distancia") antes de intentar formular el problema.

3 La posibilidad de especificar la funcion objetivo de maneras diferentes, ba-sandose en criterios distintos, como los conceptos alternativos de una ubicacion ideal. En tales casos, elija el criterio que sea ms consistente con el plan estrategico global de la organization.

3 La capacidad para formular un problema usando nombres simbolicos para representar los datos (por ejemplo, (a1, b1) para representar la ubicacion de un hospital). Sin embargo, para obtener una solution, requerird reemplazar los nombres simbOlicos con valores de datos. El usar nombres simbolicos en vez de valores de datos especificos le permite:


a. Formular un problema sin esperar la recoleccion de los valores de datos y b. Usar el mismo modelo para problemas similares teniendo distintos valores

de datos. Por ejemplo, el modelo de banco de sangre, con diferentes ubicaciones de hospitales, puede ser usado tambien por el condado de Los Angeles.

3 La posibilidad de tener variables irrestrictas, esto es, variables cuyos valores pueden ser tanto negativos como positivos.

3 La posibilidad de omitir ciertas restricciones que, por la naturaleza de la funcion objetivo, se satisfacen automaticamente. Algunas veces, puede omi-tir una restriction porque esa restriction es impuesta automaticamente por alguna otra restriction del modelo.

2.2.5 El problema del diserio del contenedor Otra clase importante de problemas se centra en el disetio optimo de elementos como estructuras (por ejemplo, columnas de soporte) y equipo (por ejemplo, contenedores). El objetivo de estos problemas es determinar las dimensiones de un objeto particular con forma y materiales conocidos, sujetas a ciertas especificaciones de disetio. El mo-delado de estos problemas a menudo implica matematicas de ingenieria al especificar la funciOn objetivo y las restricciones, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2.6 EL PROBLEMA DE DISEICIO DE CONTAINERS, INC. Containers, Inc., fa-brica todo tipo de contenedores hechos por pedido. La compania acaba de recibir un estudio de una compaiiia britanica para contenedores rectangulares de seis lados reutilizables hechos de un material especial de lamina de fibra. El volumen de cada contenedor debe ser al menos de 12 000 centimetros cabicos (cm3). Las restricciones de embarque de estos contenedores en Inglaterra requieren que sus dimensiones (esto es, largo por ancho por altura) no exceda de 72 cm y que la mayor dimension sencilla no exceda de 40 cm. La compatila britanica ya obtuvo una oferta de $8.20 por contenedor. La presidencia de Containers, Inc., le ha preguntado, a usted, gerente de la divisiOn de production, si la compatifa puede proveer los contenedores por menos y seguir obteniendo una ganancia de 25%. Usted ha obtenido datos que indican que el material de lamina de fibra cuesta $20 por metro cuadrado y que los costos de trabajo y otros costos variables son de $1 por contenedor. zHace una oferta por el contrato? n


Despues de reconocer la necesidad de un modelo maternatico, primero identifica las variables. Al hacerse la pregunta usual de que es lo que puede controlar con libertad en este problema, debe darse cuenta que no puede controlar la forma del contenedor (debe ser rectangular y tener seis lados) y tampoco los costos variables de $1 por contenedor. Sin embargo, puede controlar el costo total de la lamina de fibra usada en la production de los contenedores controlando el diseno de la caja. Otras reflexiones deberian llevarlo a darse cuenta de que este diseiio esta determinado por el largo, ancho y altura del contenedor. Por tanto, usted podria comenzar por definir L, W y H como el largo, ancho y altura del contenedor, respectivamente. Sin embargo, esta definition no es lo bastante precisa, pues carece de las unidades en las que se miden las dimensiones. Usted tiene libertad para elegir esas unidades, pero piense en la forma en que se uti-

Variables irrestrictas Una variable en un problema de decisiOn cuyo valor puede ser positivo, negativo o cero.


lizaran y en las unidades dadas en los datos del problema.Como los datos estan ex-presados en unidades metricas centimetros y metros), es apropiado utilizar centi-metros o metros en vez de pulgadas o pies. Eligiendo arbitrariamente centimetros, sean

L = la longitud del contenedor en centimetros

W = el ancho del contenedor en centimetros

H = la altura del contenedor en centimetros


El objetivo global de este problema es decidir si puede producir los contenedores con un margen de ganancia de 25% por arriba de los costos, al mismo tiempo que fijar su precio por debajo de la oferta de la competencia de $8.20 por contenedor. Un enfoque para solucionar este problema es determinar el costo minimo posible de la lamina de fibra usada, anadir $1 por los costos de la mano de obra y otros costos variables para obtener el costo total por contenedor, y luego anadir 25% para ver si el valor resultante es menor que $8.20. Desde un punto de vista de modelado, el objetivo en palabras es:

Minimizar el costo total de la lamina de fibra usada por contenedor

Ahora determina una expresion matematica para el costo de la lamina de fibra usada en un contenedor en terminos de las variables de decision y de otros datos del problema. Si tiene problemas al hacer esto, intente la tecnica de trabajar con un ejemplo especifico. Por ejemplo, sea L = 40 cm, W = 20 cm y H = 10 cm. Para calcular el costo total, necesita saber cuanta lamina de fibra se requiere para hacer un contenedor de estas dimensiones. Si ve la figura 2.7 y usa la tecnica de descomposicion, debe darse cuenta que:

Costo total = suma de los costos para cada uno de los seis lados

Figura 2.7 Dimensiones del contenedor.

Para cada lado, el costo se calcula como:

Costo de un lado = (cantidad de lamina de fibra requerida) * (costo por unidad de lamina de fibra)

En particular, para el lado limitado por el largo y el ancho, la cantidad de lamina de fibra requerida es:


Area del lado = largo * ancho = (40 cm) (20 cm) = 800 cm2

Si ahora tuviera que calcular el costo de este lado como 800 veces el costo unitario de la lamina de fibra ($20 por metro cuadrado), obtendria un costo incorrecto de $16 000 por este lado. Este error ocurre debido a una mezcla incorrecta de unidades. Las dimen-siones del contenedor estan definidas en terminos de centimetros, pero el costo de la lamina de fibra esta dado en dolares por metro cuadrado. Una forma de corregir esta situation es redefinir las variables en terminos de metros en vez de centimetros. De manera alternativa, puede calcular el costo de la lamina de fibra en terminos de (Wares por centimetro cuadrado, como se hard aqui. Observe que 1 metro cuadrado es igual a 100 cm, o 10 000 centimetros cuadrados. Por tanto, un costo de $20 por metro cuadyado es equivalente a un costo de $20/10 000 = $0.002 por centimetro cuadrado. En conse-cuencia, el costo de un lado limitado por un largo de 40 y un ancho de 20 es:

Costo para este lado = 0.002 * 40 * 20 = $1.60

Recuerde que el proposito de trabajar con un ejemplo especifico no es obtener una respuesta numerica para este conjunto especifico de valores de variables, sino determinar como realizar los cdlculos cuando los valores de las variables no estdn especificados. En este caso, el costo para este lado, en terminos de L y W, esta dado por:

Costo de este lado = 0.002 * L W

Habiendo calculado el costo de este lado, todavia tiene que, calcular el costo de los otros cinco lados. De la figura 2.7, puede ver que hay dos lados acotados por el largo y el ancho; de manera similar, hay dos lados acotados por el largo y la altura y dos lados acotados por el ancho y la altura. Por tanto, el costo total de la construction del con-tenedor puede expresarse matemdticamente de la manera siguiente:

Costo total = suma de los costos para cada uno de los seis lados

= 2 * (costo del lado acotado por el largo y el ancho) + 2 * (costo del lado acotado por el largo y la altura) + 2 * (costo del lado acotado por la altura y el ancho)

= 2 * (0.002 * L* W) + 2 * (0.002 * L* H) + 2 * (0.002 * H W)

= 0.004 * L W + 0.004 * L* H + 0.004 * H W

La funcion objetivo para este problema es: Minimizar 0.004 'L W + 0.004 :IL *H + 0.004 :1H :1W

PASO 3, IDENTIFICACION DE LAS RESTRICCIONES

Relea la description del problema y pregtintese que le impide elegir arbitrariamente los valores para las dimensiones del contenedor. Debe entonces identificar tres tipos de restricciones, pertenecientes al volumen, tamario y mayor dimension simple.

42 CAPiTULO 2 EL ARTE Y LA CIENCIA DE CONSTRUIR MODELOS DETERMINISTICOS

LA RESTRICCION DE VOLUMEN La compaiifa britanica ha pedido que el contenedor tenga un volumen de al menos 12 000 cm3. Si recordamos que el volumen de una caja se calcula como el producto de sus tres dimensiones, puede usarL, W y H anteriormente definidos para expresar esta restriccion como:

L * W * H 12 000 (restriccion de volumen)

LA RESTRICCION DE TAMARO Para expresar la limitaciOn de que el tamario no exceda de 72 cm, recuerde que el tamailo es la suma de las tres dimensiones del contenedor, asi que:

L + W + H < 72 (restriccion de tamano)

RESTRICCION SOBRE LA MAYOR DIMENSION SIMPLE Otra restriccion dada en la description del problema es que la mayor dimension simple no exceda de 40 cm. Usted no sabe que dimension es la que va a ser la mayor, asi que una forma de expresar esta restriccion es la siguiente:

Maximo IL, W y H}

2.3 CLASIFICACION DE MODELOS MATEMATICOS 43

Observe que la restriction 0 L 40 significa que L es no negativo (0 L) y es menor que 40 (L < 40). En la section 2.3, aprendera que este problema pertenece a una clase general llamadaproblemas de programacion no lineal. El procedimiento para resolver estos problemas esta ms alla del alcance de este libro. Sin embargo, tales metodos existen y estan disponibles en algunos paquetes de computadora. La aplicacion de un procedimiento de estos tiene como resultado el diserio cptimo en el que el largo, el ancho y la altura son cada uno 22.8943 centimetros. Este diserio incurre en un costo total de $7.29, consistente en $6.29 para la lamina de fibra y un &liar adicional de mano de obra y gastos generales. La adicion de 25% de margen de ganancia da un total de $9.11. Como esta cantidad excede la oferta competitiva de $8.20, debe recomendar a la directiva que la compariia no acepte este contrato.


41. Este problema ilustra las siguientes caracteristicas clave adernas de las tecnicas de formulaciOn de problemas anteriores.

I La necesidad de usar unidades apropiadas (centimetros, en este ejemplo) al definir las variables y ser consistente a lo largo de toda la formulaciOn en ex-presar todos los aspectos del problem a en terminos de las unidades elegidas.

3 La posibilidad de escribir restricciones en ms de una forma (como la restriction de que la dimension maxima del contenedor no exceda de 40 cm).

11 2.3 CLASIFICACION DE MODELOS MATEMATICOS

Ahora que sabe como formular un problema matematicamente, el siguiente paso es resolver ese problema, esto es, encontrar valores para las variables de decision que satisfagan todas las restricciones y que, al mismo tiempo, proporcionen el mejor valor posible de la funcion objetivo. Esta tarea se logra usando procedimientos sistematicos, paso a paso, llamados algoritmos. Finalmente, una computadora efectna estos algo-ritmos. Los algoritmos que resuelven un modelo matematico pueden o no resolver otro. Los distintos algoritmos han sido diseriados para resolver distintos tipos de problemas. La pregunta natural a cuestionarse es, despues de formular un modelo matematico particular, 4como elijo el algoritmo correcto para resolver ese problema?

La respuesta a esta pregunta es identificar la clase de modelos matematicos a la que pertenece su problema particular. Existe uno o ms algoritmos para resolver todos los problem as de esa clase. Una vez que sabe la clase a la que pertenece su problema, podra seleccionar un algoritmo asociado para resolver ese problema.

En esta section, aprendera a identificar algunas de estas distintas clases de mo-delos, de acuerdo con las propiedades matematicas que comparten todos los problemas de esa clase. Tambien aprendera como determinar la clase a la que pertenece su problema examinando sus propiedades matematicas. Las ventajas y desventajas de los algoritmos asociados con cada clase se analizan brevemente aqui y en todo lo que resta del libro. Los detalles de como usar los diversos algoritmos de estas clases y como interpretar los resultados obtenidos de la computadora tambien se presentan en los capitulos subsecuentes.

Algoritmos Un procedimiento sistematico, paso a paso, usado para resolver un modelo matematico.

44


2.3.1 Clasificaciones basadas en datos de problemas Como aprendio en el capitulo 1, los problemas en los que todos los datos son conocidos con certeza, como los de este capitulo, son deterministicos. En los problemas estocasticos presentados en los capitulos 11 al 16, algunos (o todos) datos del problema no se conocen con certeza. Lo que resta de esta seccion esta dedicado a la clasificacion de problemas deterministicos basados en ciertas propiedades matematicas.

2.3.2 Clasificaciones basadas en las restricciones Los problemas deterministicos se clasifican primero sobre la base de la existencia de restricciones. Esto da pie a las siguientes dos clases:

Problema irrestricto Un problema que tiene una funcion objetivo pero no restricciones.

Problema restringido Un problema que tiene una o ms restricciones.

Aditividad Una propiedad matematica de restricciones en la que la contribucion de cada variable a la funcion de restriccion se suma (o sustrae) a la de cada una de las otras variables de la restriccion.

Proporcionalid a4 Una propiedad matematica de restricciones mediante la cual si el valor de una variable se multiplica por cualquier constante, su contribucion a la restriccion se multiplica por esa misma constante.

1. Problemas irrestrictos son aquellos que carecen de restricciones. 2. Problemas restringidos son aquellos que tienen una o ms restricciones.

El problema de ubicacion del banco de sangre del ejemplo 2.5, en la seccion 2.2, es un problema irrestricto. Todos los demas ejemplos de la seccion 2.2 son problemas restringidos.

Los problemas restringidos se clasifican entonces sobre la base de las propiedades matematicas que las restricciones satisfacen. Una de las dos propiedades matematicas fundamentales de las restricciones es la aditividad, en la que la contribucion de cada variable a la funciOn de restriccion se suma (o sustrae) a la de cada una de las otras variables de la restriccion.

Para ilustrar la propiedad de aditividad, recuerde la siguiente restriccion de mano de obra del departamento de mezclado del problema de Case Chemicals de la seccion 2.2, en el que CS1 es el namero de miles de galones de CS-01 por producir y CS2 es el namero de miles de galones de CS-02 por producir:

2CS1 + CS2 _< 230 (1) Esta restriccion satisface aditividad porque la contribucion de CS1 a la restriccion

(a saber, 2CS1) se suma a la de CS2 (a saber, CS2). De manera similar, considere la siguiente restriccion de equilibrio para la estaciOn de bombeo de Allentown en el problema del flujo maxim de Hexxon Oil Company en el ejemplo 2.3:

XAP - XEA = 0 (2)

Esta restriccion satisface la propiedad de aditividad porque la contribucion de xEA se sustrae de la de xAp.

En contraste considere la siguiente restriccion de volumen del problema de disefio de Containers, Inc., del ejemplo 2.6:

L*14T*H__12 000 (3) Esta restriccion no satisface la aditividad porque las contribuciones de L, W y H no se suman unas a otras. Ms bien, esos valores se multiplican entre si.

La segunda propiedad matematica de una restriccion es la de la proporcionalidad: si el valor de una variable se multiplica por cualquier constante, la contribucion de la variable a la restriccion se multiplica por esa misma constante. La restriccion anterior (1) si satisface la proporcionalidad. Suponga que CS1 tiene un valor de 5. En este caso:

Contribution de CS1 = 2CS1 = 2(5) = 10

2.3 CLASIFICACION DE MODELOS MATEMATICOS

Si el valor de CS1 = 5 se multiplica por cualquier constante, digamos, c, entonces:

Contribution de CS1 = 2CS1 = 2(5c) = 10c

Como puede ver, si el valor de CS1 se multiplica por cualquier constante c, la

contribution de CS1 a la restriction tambien se multiplica por c. Como esta misma propiedad es cierta para CS2, esta restriccion:

2CS1 + CS2 Lc. 230

satisface la proporcionalidad. En contraste, considere la restriccion:

x 2 + 2x2 > 10 (4)

La restriction (4) no satisface la proporcionalidad. Para ver por que, suponga que x i tiene un valor de 5:

Contribution de x1 = x1 2 = (5)2 = 25

Si el valor de x1 = 5 se multiplica por una constante, digamos, 2, entonces:

Contribution de x1 = x12 = (2 * 5)2 = (22) * (52) = 4 , 25

Como puede ver, si el valor de x i se multiplica por 2, la contribuciOn de x l a la restriction se multiplica por 4. La proporcionalidad no se mantiene.

Sobre la base de las propiedades de aditividad y proporcionalidad, existen dos clasificaciones de problemas restringidos:

1. Restricciones lineales, en las que todas las restricciones satisfacen tanto la aditividad como la proporcionalidad.

2. Restricciones no lineales, en las que alguna restriction no satisface al menos una de las propiedades de aditividad y proporcionalidad.

Usted puede reconocer si una restriccion particular es lineal c no viendo su forma. Una restriccion es lineal si, en terminos de las variables de decision xi , . . . , (o cualesquier nombres simbolicos), puede escribirse como:

a 1x1 + a 2 ' + + a x17 < (>, = )b

en donde cada una de las ai , . . . , a, y b es un numero real conocido. Por ejemplo, la restriccion anterior (1) es lineal porque el coeficiente de la variable CS1 es a l = 2, el de CS2

es a2 = 1, y b = 230. La restriccion (2) tambien es lineal porque el coeficiente de la

variable XAP es a1= 1, el de xEA es a2 = 1, y b = 0. En contraste, las restricciones (3) y (4) son no lineales.

2.3.3 Clasificaciones basadas en la funcion objetivo La siguiente clasificacion de modelos deterministicos se basa en las propiedades matematicas de la funcion objetivo. Como sucede con las funciones restringidas, la funcion objetivo puede ser lineal o no lineal, dando pie a las siguientes dos clases:

Restriction lineal Una propiedad matematica de un modelo en el que todas las restricciones satisfacen tanto la aditividad como la proporcionalidad.

Restriction no lineal Una propiedad matematica de un modelo en el que alguna restriccion no satisface al menos una de las propiedades de aditividad o proporcionalidad.

Restringido o irrestricto

Tipo de restricciOn

FunciOn objetiva

Tipo de variable

Irrestricto Restringido

Lineal

No lineal

Lineal

No lineal

Lineal

No lineal

AAAA Lineal No lineal

46


Objetivo lineal Funcion objetivo que es lineal.

Objetivo no lineal Funcion objetivo que es no lineal.

Divisibilidad La propiedad de una variable de decision que es capaz de asumir cualquier valor, fraccional u otro, dentro de cierto intervalo.

1. Objetivo lineal, en la que la funciOn objetivo es lineal. 2. Objetivo no lineal, en la que la funcion objetivo es no lineal.

Por ejemplo, la siguiente funcion objetivo del problema de planeacion de produccion de Case Chemicals es lineal:

Maximizar 300 CS1 + 500 CS2

En contraste, la siguiente funcion objetivo del problema de diseno de Containers, Inc., del ejemplo 2.6 es no lineal:

Minimizar (0.004 * L x W) + (0.004 * L H) + (0.004 * H * W)

2.3.4 Clasificaciones basadas en las variables La clasificacion final de los problemas deterministicos se basa en la propiedad ma-tematica de las variables. Esa propiedad se denomina divisibilidad, lo que significa que una variable de decision puede, en teoria, asumir cualquier valor, fraccional u otro, dentro de cierto intervalo. Por ejemplo, las variables CS1 y CS2 del ejemplo de Case Chemicals representan el numero de miles de galones de los solventes a producir. Como

Problema deterministico

Cont. Entero Cont. Entero Cont. Entero Cont. Entero Cont. Entero Cont. Entero

Figura 2.8 Clasificacion de modelos deterministicos.

cos CONSIDERACIONES GERENCIALES COMPLEMENTARIAS

47

de

a-

ca o, se 0

en teoria es posible producir 5.132 mil galones, estas variables son divisibles. En contraste, todas las variables del problema de transportacion de CCC, en el ejemplo 2.2, de la secciOn 2.2 representan el ntimero de microcomputadoras a ser enviadas. Estas variables no son divisibles porque no es posible enviar 1.3 microcomputadoras, esto es, a estas variables se les deben asignar valores enteros. La propiedad de divisibilidad da pie a las dos clases siguientes:

1. la clase de modelos de variable continua, en la que todas las variables satis-facen la divisibilidad.

2. la clase de modelos de variable entera (o discreta), en la que una o ms variables deben tener valores enteros.

Las diversas clasificaciones de modelos deterministicos se resumen en la figura 2.8. Como se menciono anteriormente, despues de la formulacion de un modelo, debe deter-minar a que clase pertenece, para que pueda elegir un algoritmo apropiado para solucionar el problema.

En esta secciOn, ha aprendido a clasificar un modelo en un grupo particular, basan-dose en sus diversas caracteristicas matematicas. Este esfuerzo le ayudard a elegir un algoritmo apropiado para obtener una soluciOn a su modelo. A continuaciOn se analizan cuestiones adicionales referentes al proceso de construcciOn de modelos.

Variable continua Una variable que satisface la divisibilidad.

Variable entera (discreta) Una variable que debe tener un Valor entero.

CONSIDERACIONES GERENCIALES COMPLEMENTARIAS

En este cal:dui ha aprendido como desarrollar y clasificar modelos matemati-cos para resolver ciertos tipos de problemas deterministicos. A lo largo de los procesos de formulaciOn, existen otras cuestiones que un administrador debe considerar.

Resolucion de ambigiiedades en la definicion del problema Cuando se identifica un problema por primera vez en una organizacion, a me-nudo resultan ambiguos muchos detalles y cuestiones. Por ejemplo: 1. El objetivo global puede no ser claro. Por ejemplo, el concepto de lo que es

"mejor" para una organizacion puede tener distintos significados. a. 4Deberia minimizar el costo total de embarcar sus mercancias, la distancia

total viajada en el embarque de esas mercancias, o el tiempo total re-querido para entregar esas mercancias?

b. En un problema de inversion, les mejor maximizar el rendimiento total en una inversion o la tasa de rendimiento?

c. i,Que se quiere decir con la "mejor" ubicacion para un banco de sangre, como en el ejemplo 2.5 de la seeder' 2.2?

2. Puede haber objetivos conflictivos. Por ejemplo, zdeberia minimizar costos o maximizar la satisfaccion del cliente?

3. El use de ciertas palabras para describir aspectos del problema puede ser vago y estar sujeto a diversas interpretaciones.


a. eSatisfaccion de la demanda" significa embarcar exactamente la demanda o al menos la demanda, como en el ejemplo 2.2 de la section 2.2?

b. !,La "distancia" entre dos ubicaciones significa la distancia viajada por aire o a traves de una red de carreteras, como en el ejemplo 2.5 de la section 2.2?

Estas preguntas deben responderse antes de que comience el proceso de for-mulacion. El no hacerlo podria ocasionar la implantation de una solution optima al problema errOneo.

Formulaciones alternatives del problema Como administrador, debe estar consciente de que no existe una formulation correcta simple para un problema dado. Cada formulation tiene sus ventajas y desventajas.

Existe ms de una forma de escribir una restriction matematica. Por ejemplo, recuerde la restriction del problema de High Tech del ejemplo 2.4. Los socios acuerdan no invertir en los proyectos de Tele-Comm y de Laser-Optics a la vez. zComo usa las variables de decision 0-1 asociadas, T y L, para especificar esta restriction? Cualquiera de los dos enfoques siguientes es valido:

T*L = 0 T+L__0

La election de un modelo particular deberia basarse en parte en los siguientes puntos:

1. Su habilidad para encontrar un procedimiento de solution eficiente para resolver el modelo matematico resultante.

2. Su h

capitulo 2 solow-mathur

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