capitulo 2 tensiones y deformaciones. … de... · de elasticidad, y la pieza se reemplaza antes de...

Versión 2004

CCAAPPIITTUULLOO 22

TTEENNSSIIOONNEESS YY DDEEFFOORRMMAACCIIOONNEESS.. RREEVVIISSIIÓÓNN DDEE PPRRIINNCCIIPPIIOOSS FFÍÍSSIICCOOSS

División 5

Teorías de Falla Dinámica

Análisis de Falla por Fatiga

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versión 2004

1. Introducción En División 4 del Capítulo 2 se ha visto el problema de la falla por solicitaciones estrictamente estáticas o bien por simplificaciones que hagan de la solicitación supuesta quasiestática. En esta división se desarrollarán métodos para el análisis de las solicitaciones que varían con el tiempo. Cuando piezas o bien partes de una máquina falla estáticamente, es muy frecuente que las mismas presenten grandes deflexiones pues fue sobrepasado el límite de elasticidad, y la pieza se reemplaza antes de que se produzca la rotura. Así pues la falla estática tiene la ventaja de señalar o “avisar” de su presencia. Ahora bien, las fallas dinámicas o por fatiga son del tipo de fallas que no proporcionan evidencia. Son repentinas y fatales en muchos casos. El Diseño y cálculo contra la falla estática son tareas relativamente sencillas debido a que el conocimiento del fenómeno de falla estática es bastante completo desde el punto de vista experimental y su modelación matemática. Sin embargo el diseño de piezas contra la falla dinámica o bien contra la fatiga es algo de mayor complejidad y actualmente solo es comprendido en formal parcial y los métodos de cálculo que pueden emplearse se deben entender en términos estadísticos. Una visión muy conservadora consiste en no emplear métodos de cálculo por fatiga y multiplicar por 3 o por 4 los coeficientes de seguridad comúnmente empleados, pero está práctica conduce a diseños poco competitivos; lo cual conduce a derrotas seguras en el mercado profesional.

2. Tipos de Cargas dinámicas y sus características

En las piezas de máquinas se pueden hallar diferentes tipos de solicitaciones, las cuales se pueden distinguir en dos tipos característicos: ESTÁTICAS y DINÁMICAS según que no varíen o que varíen con el tiempo. También se las suele llamar con otros apelativos. Así pues las cargas estáticas suelen denominarse “ESTACIONARIAS” o “MONOTONICAS” y a las cargas dinámicas se las suele denominar “CICLICAS” o “NO ESTACIONARIAS” o “TRANSITORIAS”. En la Figura 2.79 se pueden apreciar las dos clases de fuerzas.

(a) (b)


Figura 2.79. (a) Fuerzas Estacionarias (b) Fuerzas Transitorias

Versión 2004

En el caso de la Figura 2.79.a se dice que el tipo de análisis implica “Diseño y Cálculo por Resistencia” y en el caso de la Figura 2.79.b se dice que el tipo de análisis implica “Diseño y Cálculo para la duración”. De la Figura 2.79.b se pueden desprender varias configuraciones de solicitación dinámica, sin embargo dentro de ellas existe una muy característica y que por su sencillez descriptiva (en el sentido matemático) será la que se utilice en los modelos de análisis de falla por fatiga. En la Figura 2.80 se puede apreciar la denominada carga cíclica o periódica, que conduce a las tensiones cíclicas o periódicas. El tipo de fuerzas y/o tensiones cíclicas puede tener diferentes casos, tales como axiales (tractivas o compresivas), flexional o torsionales.

Figura 2.80. Forma de la Carga Cíclica o periódica

Es claro que la forma más elemental de representación de este tipo de solicitación y/o tensión puede seguir una ley sinusoidal (2.177), amén de otras que puedan ser fácilmente representables en términos matemáticos. En la (2.177), A, C y B son constantes que dependen de la condición y característica de la carga.

( ) [ ] BtCSenAt += ..σ (2.177)

Sea la (2.177) u otra mucho más compleja, la expresión genérica para calcular las tensiones cíclicas, siempre se podrán distinguir las siguientes tensiones notables:

a) Tensión Máxima: σmax b) Tensión Mínima: σmín

En función de las anteriores dos se pueden definir las siguientes tensiones o entidades

c) Tensión Media: que se obtiene de la siguiente relación

2máx

mminσσ

σ+

= (2.178)

d) Amplitud de Tensión: se obtiene de la siguiente manera

2máx

aminσσ

σ−

= (2.179)


e) Rango de Tensión: es la diferencia entre las tensiones máxima y mínima

Versión 2004

minσσσ −= máxr (2.180)

f) Relación de tensiones: es la razón entre la tensión mínima a la máxima.

máxSR

σσ min= (2.181)

g) Relación de amplitud: es la razón entre la amplitud de tensión y la tensión media

S

S

máx

máx

m

aa R1

R1A

+−

=+−

==min

min

σσσσ

σσ

(2.182)

De acuerdo a los valores relativos que tengan las expresiones (2.178) a (2.182) se pueden presentar cuatro casos característicos:

1) Completamente alternante o Invertida. Se verifica cuando se cumple que σm=0, RS= -1 y Aa=∞. Tal como se puede ver en la Figura 2.81.a.

2) Caso General o de tensión media no nula: Todas las expresiones (2.178) a (2.182) tienen un valor no nulo. Esto se puede apreciar en la Figura 2.81.b

3) Pulsante tractiva: Se verifica cuando se cumple que σmin=0, σm= σmax /2, RS= 0 y Aa=1. Tal como se puede ver en la Figura 2.81.c.

4) Pulsante compresiva: Se verifica cuando se cumple que σmax=0, σm= σmin /2, RS= ∞ y Aa=-1. Tal como se puede ver en la Figura 2.81.d.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.81. Tipos de configuraciones de solicitación cíclica.

3. El Fenómeno de Fatiga


El mecanismo de Fatiga es uno de los más complejos fenómenos en el estudio de falla en piezas sometidas a la acción de cargas dinámicas. Este fenómeno puede aparecer súbitamente y sin aviso previo. Este fenómeno está asociado principalmente a la presencia de patrones de carga dinámicos de tipo cíclico como los vistos en el apartado anterior. El fenómeno de rotura súbita ya era conocido desde los albores de la era industrial asociado a la rotura o falla

Versión 2004

catastrófica de puentes (Ver Figura 2.82.a, tomado de Hamrock[2]) con el advenimiento del ferrocarril se inicio en distintos países del mundo el estudio científico de dicho fenómeno, para dar la explicación racional a la superstición que la Muerte hollaba en los puentes. Otro Ejemplo puede verse en la Figura 2.82.b donde la cubierta superior de primera clase de un avión comercial Boeing 737-200 se separó en el aire y cuya causa fue la fatiga del material asociada con micro-corrosión.

(a) (b)

Figura 2.82. (a) Alegoría supersticiosa del siglo XIX (b) falla actual en un avión comercial (1988) (Hamrock[2])

Desde mediados del siglo XIX se sabe que en aquellas piezas sometidas a cargas variables, con un numero grande de aplicaciones se producía la rotura de la pieza prácticamente sin deformaciones; a este fenómeno se lo llamo “fatiga”, por semejanza al cansancio humano. Los distintos estudios efectuados, condujeron a distintas teorías, que tomadas en su conjunto pueden dejar las siguientes conclusiones:

a) Los aceros de construcción de maquinas y en general los metales, no poseen homogeneidad en su estructura, ni continuidad de resistencia (aun a pesar de la hipótesis del continuo de la elasticidad clásica) en los metales que poseen cristales de una sola fase, que variar de tamaño y orientación, hacen que la resistencia promedio sea sólo valida para solicitaciones estáticas, debido a que estas solicitaciones permiten un re-acomodamiento adaptativo de los cristales a medida que aumenta la carga.

b) A su vez las cargas variables tienen su aplicación prácticamente instantánea, lo cual no deja mucho margen temporal para el reacomodamiento, siendo este el motivo de la separación de los cristales en aquellos lugares donde hay menor cohesión intercristalina, generando el inicio de una microfisura, la que por el efecto de concentración de tensiones producida por la microentalla, crea en esa zona un incremento de tensiones que va aumentando rápidamente la fisura hasta que la sección resistente no puede soportar la carga, produciéndose en ese instante la rotura súbita de la pieza.


c) Las micro-fisuras o grietas iniciales de fatiga comienzan sobre la superficie de las piezas en varios puntos simultáneamente y se propagan a los sustratos inferiores. Estas grietas que son normalmente muy pequeñas y difíciles de observar, pero se propagan

Versión 2004

en conjunto ante la presencia de un defecto dominante pueden llevar rápidamente a la catástrofe.

En consecuencia la vida o la duración de una pieza se puede maximizar si se tienen en cuenta las siguientes pautas:

1) Minimizando defectos superficiales: con esto se tiene un gran cuidado de no generar superficies demasiado rugosas y en consecuencia susceptible a los fenómenos de fatiga, y en consecuencia las superficies son cuidadosamente protegidas.

2) Maximizando el tiempo de iniciación: se ha observado que las tensiones residuales superficiales se reducen por medio de procesos de acabado de manufactura como el granallado o el bruñido.

3) Maximizando el tiempo de propagación: también son importantes las propiedades del sustrato superficial, dado que las grietas se propagan más rápido por las fronteras reticulares que a través de los granos. De esta manera empleando materiales que no presenten granos alargados en la dirección de propagación de la grieta permite maximizar el tiempo de propagación.

4) Maximizando la longitud crítica de la grieta. Existe una condición para la cual la grieta puede mantenerse estable. Esto se verá en la División 6 del presente capítulo.

Las roturas por fatiga tienen dos zonas características. En la Figura 2.83 se muestran las diferentes zonas de la sección fallada. La (1) es la zona de rotura por fatiga neta, donde puede apreciarse un granulado liso y fino, casi aterciopelado al tacto. Por otro lado la (2) es la Zona de rotura súbita, es aquella parte de la sección resistente original que por ser menor que la sección necesaria a la carga nominal se rompe abruptamente, dejando una superficie de grano grueso y deforme con un cierto brillo en los aceros.

(a) (b)

Figura 2.83. Zonas de Falla de fatiga (a) solicitación variable suave (b) solicitación variable intensa


Versión 2004

Sin embargo la sección (2) puede presentar dos sub-zonas, una característica y apariencia superficial más bien gruesa en comparación con la zona (1), luego la zona de falla final (normalmente pequeña) puede presentar un aspecto que da la idea de una fractura frágil o bien presentar un aspecto de ligero deslizamiento fibroso que sugiere una rotura dúctil. Así pues en la Figura 2.83 se muestran esquemáticamente dos aspectos típicos de la falla/rotura por fatiga por flexión rotativa, en las Figuras 2.84 se muestran dos fotografías de fracturas reales ocurridas en ejes de transmisión (ver referencias [5] y [4], respectivamente), con sus patrones de rotura fibrosos remarcados. En la Figura 2.85 se puede apreciar el patrón de rotura de un perno de una biela experimental (tomado de referencia [5]). En la Figura 2.85.a se muestra una mitad de la pieza y en la Figura 2.85.b se muestran las zonas de rotura en la sección

(a) (b)

Figura 2.84. Roturas en ejes bajo flexión rotativa.

(a) (b)

Figura 2.85. Rotura de perno de biela (a) perfil del perno (b) sección del perno


Versión 2004

La Figura 2.85, muestra pues la zona de rápido deslizamiento, entendiendo que la falla evoluciona en el sentido de la flecha, en tres secuencias, la primera con el típico aspecto grano cristalográfico fino, la segunda con aspecto más grueso y la final con patrones de deslizamiento. En la Figura 2.86 se muestran algunos patrones de rotura por fatiga en piezas sometidas a la acción de esfuerzos predominantemente torsionales.

Figura 2.86. Roturas por fatiga en ejes bajo efecto predominantemente torsional.

La teoría de fatiga a partir de la deformación unitaria


La fatiga como fenómeno, es un proceso donde se sucede daño acumulativo manifestado por la propagación de grietas, sin embargo la propagación de grietas no es posible sin la presencia de deformaciones plásticas en el extremo de la grieta. Téngase presente que aunque sea muy pequeño el volumen donde se ejerce una tensión suficientemente alta para generar alguna deformación plástica, si los campos de tensiones en el extremo de la fisura son de índole elástica, la fisura no se propagará de una manera continua. En estas circunstancias, el empleo de los límites de resistencia a la fluencia o el límite de resistencia a la rotura presentan inconvenientes debido a que los valores cambian ciclo a ciclo de carga y son propiedades que dependen de su manufactura, tratamientos térmicos, etc. Un ejemplo de esto se puede ver en las Figuras 2.87.a y 2.87.b, para los ensayos estático y cíclico, en aceros H11 y SAE 4142, respectivamente. Nótese que para las cargas cíclicas, un tipo de acero muestra la evolución de la tensión con relación a la deformación censada entre los dos ensayos estáticos de compresión y de tracción de progresión de carga monótona, en cambio para el otro acero tal

Versión 2004

variación se halla por debajo. Otros tipos de materiales metálicos y no metálicos presentan variantes particulares a su propia naturaleza.

(a) (b)

Figura 2.87. Ensayos monótonos y cíclicos (a) Acero H11 660 Bhn (b) acero SAE 4142 de 400 Bhn Considerando las dificultades para poder identificar un parámetro de resistencia ante la fatiga, se han propuesto diferentes enfoques para analizar el comportamiento del material (principalmente las relaciones de deformación y de tensión) en la zona de grietas. Una de las formas de solución a este problema (fuertemente basado en aspectos experimentales) es la relación de Manson-Coffin que establece que la deformación unitaria total en cada semiperiodo, se puede hallar como la suma de las componentes elástica y plástica de la deformación según la expresión (2.183). Los detalles deductivos de esta expresión no se darán en el presente curso y pueden hallarse con mayor extensión en la Referencia [1] y en la Referencia [6].

( ) ( )αεσεεε N2N2E222 f

afpe +=+=∆∆∆ (2.183)

donde εe y εp son las componentes elástica y plástica de la deformación, N es el número de ciclos antes de la falla, σf y εf son la tensión de fractura en para un ciclo de carga y la deformación total correspondiente a un ciclo de carga respectivamente. En tanto que a y α son exponentes de resistencia a fatiga y de ductilidad de fatiga respectivamente.


En la Figura 2.88 se puede apreciar el ciclo de histéresis con el cual se deduce la expresión (2.183). Nótese en tal figura que se producen mayores deformaciones a niveles más bajos de tensión. Por otro lado, son claramente comprensibles los aportes elástico y plástico según se puede ver en la Figura 2.88.b. En la Figura 2.89 se muestra el perfil de evolución con el número de ciclos de la expresión (2.183). En tal Figura se puede ver claramente la suma de ambos efectos elástico y plástico. En la Figura 2.89 se muestran las dos líneas (logarítmicas) de evolución de deformaciones elástica y plástica con la carga cíclica, nótese que ambas coinciden en el punto Nf donde ocurre la falla. En virtud de lo que se puede apreciar en la Figura 2.89, la expresión (2.183) deja como principal aporte, que la resistencia a la fatiga

Versión 2004

está fuertemente vinculada (y se demostró experimentalmente) a la resistencia a la rotura (estática) de un material dado. Esto puede verse con un poco más de detalle en la Figura 2.94 que muestra la relación entre la resistencia a la fatiga y la resistencia (estática) a la rotura.

(a) (b) Figura 2.88. Ensayos cíclicos (a) Ciclo de histéresis (b) descripción de deformaciones en un ciclo

Figura 2.89. Grafica de la relación de deformación a número de ciclos.

La Resistencia a la Fatiga El fenómeno de fatiga es de trama eminentemente estocástica o probabilística, y como tal debe ser entendido en su faceta de cálculo. En los problemas analizados en las Divisiones anteriores de este capítulo se han puesto en juego frases como “la peor de las condiciones de carga”. En términos de fatiga este escenario de peor condición está asociado a imponer el cálculo en lugares donde no se maximice el tiempo de aparición de grietas. Aún así esta operatoria debe ser tratada con muchísimo cuidado en casos o condiciones críticas.


Si bien el principio de análisis de la fatiga a partir de la deformación total, presentado en el apartado anterior, es sustancialmente representativo, el mismo es exige controles experimentales muy estrictos, lo cual redunda en un costo muy alto para la caracterización de

Versión 2004

un material determinado. Los ensayos experimentales más conocidos y fáciles de implementar son los de flexión de viga rotatoria bajo cargas alternativas, dado que el fenómeno es más propenso de ser observado en elementos de máquina rotantes. En la Figura 2.90 se puede apreciar un espécimen estándar para los ensayos de fatiga por flexión, en tanto que en las figuras 2.91 y 2.92 se pueden apreciar dos tipos de máquina distintos para poner en marcha un protocolo de ensayos de fatiga, junto con sus respectivos mecanismos de solicitación flexional.

Figura 2.90. Probeta estándar para ensayos de Flexión (para la Máquina R.R. Moore)

Figura 2.91. Máquina de Ensayo.

Figura 2.92. Máquinas de Ensayo (Tomado de Gunt Machines [7]).


Versión 2004

La información experimental colectada se reproduce en diagramas denominados, Diagramas S-N o Diagramas de Wöhler. En la Figura 2.93.a se puede apreciar la razón de tensión a la fatiga, es decir la relación entre la tensión de resistencia a la fatiga y la resistencia a la rotura, para un acero forjado. En la Figura 2.93.b muestra las tensiones de resistencia a la fatiga para las aleaciones de aluminio. En la Figura 2.93.a se pueden ubicar tres zonas distintivas, que se pueden identificar con los siguientes tres regímenes de fatiga

a) Régimen de Fatiga de Bajo Ciclaje b) Régimen de Fatiga de Alto Ciclaje de vida finita c) Régimen de Fatiga de Alto Ciclaje vida “Infinita”

(a) (b)

Figura 2.93. Resistencia a la fatiga (a) Aleaciones de acero (b) Aleaciones de aluminio

Figura 2.94. Relaciones de resistencia a la fatiga respecto a la resistencia estática a la rotura.


Según el diagrama S-N, la zona de Falla por fatiga de bajo ciclaje, se halla por debajo de los 1000 ciclos, la zona de falla por fatiga de alta ciclaje se halla por encima de los 1000 ciclos, hasta 106 ciclos, luego de esta zona, se halla una zona intermedia de hasta los 107 ciclos y a partir de allí la zona de vida “infinita”. En la Figura 2.95 se puede apreciar con mayor claridad

Versión 2004

la distinción entre las tres zonas o regímenes de fatiga mencionados; en este caso se trata de un acero UNS G41300

Figura 2.95. Diagrama S-N para un acero UNS G41300

Resistencia a la Fatiga en la zona de bajo ciclaje Esta zona se halla por debajo de los 1000 ciclos de evolución de la carga de solicitación. Este tipo de carga es común en una gran variedad de elementos o piezas de máquinas, como por ejemplo: las cerraduras de las guanteras de los automóviles, pernos de llantas de vehículos de carga pesada camiones, tractores, excavadoras. Muchas veces para el rango bajo de fatiga, muchos diseñadores emplean solo consideraciones estática, ignorando por completo la fatiga del material y empleando únicamente coeficientes de seguridad y tensiones permisibles. Para tener en cuenta los efectos de bajo ciclaje, se suele emplear la evidencia experimental basada en la relación entre la resistencia a la fatiga y la resistencia a la rotura del material. Para las aleaciones ferrosas (aceros al carbono, aceros aleados, hierros forjados, etc) se pueden considerar las siguientes relaciones:

torsiónS720SaxialS750SflexiónS900S

ue

ue

ue

⇒=′⇒=′

⇒=′

..

. (2.184)

Resistencia a la Fatiga en la zona de vida infinita Esta zona comienza a partir de 106 ciclos. Observando la Figura 2.93.a se puede establecer la siguiente relación para los límites de fatiga, a semejanza de lo hecho con el apartado anterior


Versión 2004

torsiónS290SaxialS450SflexiónS500S

ue

ue

ue

⇒=′⇒=′

⇒=′

..

. (2.185)

Resistencia a la Fatiga en la zona de alto ciclaje de vida finita En una gran proporción de las piezas de dispositivos o máquinas mecánicas, la vida útil que pueden tener oscila entre 103 y 107 ciclos de carga. Los ejemplos más clásicos de esta situación son las bisagras y las manijas de las puertas de los automóviles, las juntas articuladas de los balancines de los vehículos. De acuerdo con las figuras 2.93.a o 2.95 se puede ver que el valor de la resistencia a la fatiga respecto del número de ciclos de carga, sigue una ley lineal (en términos logarítmicos). Para hallar esta recta que define para un número específico de ciclos de carga, la resistencia a la fatiga correspondiente, es necesario conocer los límites de fatiga correspondientes a esta zona. En consecuencia se deben y , que son el límite de fatiga para 1000 ciclos y el límite de

fatiga para 10LS ′ eS ′

6 ciclos. Así pues la relación lineal logarítmica para la zona de vida finita de alto ciclaje se puede obtener por medio de:

[ ] [ ] STSf CNLogBSLog +′=′ (2.186)

donde y SB SC son la pendiente de la recta y un punto de intersección con el eje de

ordenadas, respectivamente. Mientras que tN ′ es el número de ciclos hasta una falla en un

determinado instante, para una determinada condición de carga o tensión de fatiga. Así pues conociendo y , de (2.186) se tiene: LS ′ eS ′

[ ] [ ] S3

SL C10LogBSLog +=′ (2.187)

[ ] [ ] S6

Se C10LogBSLog +=′ (2.188)

Restando la (2.188) de la (2.187) se puede obtener la pendiente como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

−=e

LS S

SLog

31B (2.189)

Luego reemplazando la ecuación (2.189) en (2.188) se obtiene la constante de intersección:

[ ] ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′

′=′+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

=e

2L

ee

LS S

SLogSLog

SS

Log2C (2.190)

Ahora bien, reemplazando los valores numéricos de LS ′ y eS ′ se pueden obtener valores

numéricos para la pendiente (2.189) y la constante de intersección (2.190), En consecuencia de la expresión (2.186) se puede obtener el valor de la tensión de fatiga en la zona de vida finita de alto ciclaje como:


[ ] [ ]63T

SBT

SCf 1010NN10S , ∈′∀′=′ (2.191)

Versión 2004

o bien el número de ciclos necesarios para llevar a la rotura por fatiga bajo una tensión establecida como:

( )( ) [ ]63T

SB1SC

fT 1010N10SN , /

∈′∀′=′ − (2.192)

Factores de modificación de la tensión de resistencia a la Fatiga En los experimentos a la fatiga, se suelen disponer las condiciones de laboratorio ideales para extender la vida o la durabilidad de la probeta. Sin embargo, los resultados que se obtengan en laboratorio, rara vez se pueden utilizar en las condiciones de trabajo convencionales de una pieza. Esto se debe a varias razones entre las que figuran los aspectos geométricos de la pieza, la forma en que fue fabricada la pieza, las condiciones térmicas de trabajo, etc. Estas razones impulsan a establecer modificaciones sobre el valor de la resistencia a la fatiga obtenida en condiciones de laboratorio, la cual normalmente se obtiene con valor de tensión media nula. Así pues, el Límite de fatiga modificado se obtiene empleando la siguiente expresión:

emtrsfoe SkkkkkkS ′= (2.193)

donde es el límite de fatiga experimental en condiciones ideales. eS ′

ko es el factor de concentración de tensiones. kf es el factor de acabado superficial ks es el factor de tamaño kr es el factor de confiabilidad. kt es el factor de temperatura km es el factor de efectos varios

Así pues, la (2.193) se tiene que usar con los valores que se tienen de las (2.184), (2.185) o (2.191), según corresponda a una condición de durabilidad establecida. A continuación se explicarán con mayor detalle los alcances y usos de aquellos factores.

Factor de concentración de tensiones


Debido a que los sitios donde existen concentraciones de tensiones, son los más probables para el inicio de una grieta, es necesario contabilizar de alguna manera este efecto para afectarlo al cálculo de la resistencia por fatiga. Sin embargo los coeficientes de concentración de tensiones que se introdujeron en la división 4 del presente capítulo no son útiles en problemas de fatiga, puesto que en el comportamiento estático muchos materiales reacomodan su constitución cristalina, liberando algunas zonas de tensiones plastificantes, retardando así el inicio de las grietas, lo cual no ocurre en las solicitaciones dinámicas.

Versión 2004

Para cargas estáticas se utiliza el factor de concentración de tensiones KC, en tanto que para cargas cíclicas se emplea el denominado factor de concentración de tensiones a fatiga KF. Este factor se calcula de la siguiente manera:

EntallasCONpiezaFatigadeTensiónEntallasSINpiezaFatigadeTensiónKF _____

_____= (2.194)

Los coeficientes KF y KC se relacionan mediante resultados experimentales asociados al tipo y forma de carga. Estos coeficiente se condensan en el denominado factor de sensibilidad de entalla, que se define de la siguiente manera:

1K1K

qC

Fn −

−= (2.195)

El factor de sensibilidad de entalla se emplea en términos generales para poder hallar con uno pocos experimentos, el factor KF en función del factor KC que depende exclusivamente de aspectos geométricos, lo cual conduce a:

( )1Kq1K CnF −+= (2.196)

Es claro que si no hay entallas KF=KC. Luego el factor ko se obtiene de la siguiente manera:

Fo K

1k = (2.197)

Para la obtención de KF, es necesario emplear el diagrama que se muestra en al Figura 2.96.

Figura 2.96. Sensibilidad a la entalla en función de parámetros geométricos

Factor de acabado superficial


La probeta empleada en los experimentos (Ver Figura 2.90) tiene una superficie altamente pulida en la dirección axial para reducir el efecto de las estrías circunferenciales del maquinado. Pero para diferentes condiciones de acabado superficial los factores que afectan a

Versión 2004

la tensión de resistencia a la fatiga pueden ser obtenidos de los experimentos que se condensan en los siguientes gráficos. En la Figura 2.97 se muestran los coeficientes de acabado superficial para diferentes procesos de manufactura. En la Figura 2.98 se hace lo propio para diferentes grados de acabado superficial en términos de la rugosidad. Nótese que ambos se dan en función de la resistencia a la rotura estática del material. En ambos casos se trata de acero. Por otro lado los coeficientes de la Figura 2.97 se pueden obtener también empleando la siguiente expresión

( ) futf Sek = (2.198)

donde Sut es la resistencia a la rotura del material y los factores e y f se pueden tomar de la Tabla 2.16. En estos casos se debe tener extremo cuidado con las unidades para calcular lso mencionados factores.

Factor e Tipo de Manufactura

para Sut en MPa para Sut en ksi Exponente f

Esmerilado 1.58 1.34 -0.085 Maquinado o estirado en frío 4.51 2.70 -0.265 Laminado en caliente 57.7 14.70 -0.718 Tal como sale de forja 272.0 39.90 -0.995

Tabla 2.16. Factores para hallar la influencia del acabado superficial


Figura 2.97. Factor de acabado superficial para distintos procesos de manufactura (acero)

Versión 2004

Figura 2.98. Factor de acabado superficial para distintos grados de rugosidad

Factor de tamaño El factor de tamaño está asociado al diámetro especifico de la probeta estándar, que tiene 0.30 pul. Para otros diámetros se utilizan los siguientes valores:

( ) [ ][ ]

( ) [ ][ ]⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈∀⇒−∈∀⇒

∈∀⇒−∈∀⇒

= −

−

pul00254pul0051dd00083708590mm0051mm792d627d

pul0010pul002dd0212508590pul002pul110d30d

k 1070

1070

s

.;....;../

.;....;../

.

.

(2.199)

Para el caso de una solicitación netamente axial el efecto de tamaño es insensible y en consecuencia se toma ks = 1. En el caso de secciones no circulares se emplea en (2.199) el denominado diámetro equivalente que se muestra en la Tabla 2.17

Tipo de sección Diámetro Equivalente

Redonda flexión rotativa y/o torsión d Redonda, Flexión no rotativa 0.37 d Rectángulo, Flexión no rotativa 0.808 (b h)1/2

Tabla 2.17. diámetros equivalentes para los factores de tamaño

Factor de confiabilidad El factor de confiabilidad depende de la probabilidad de supervivencia a una tensión en particular. Los valores de este factor se exponen en la Tabla 2.18 y se han obtenido sobre la base de una desviación estándar de 8%. Estos valores deben considerarse orientativos.

Probabilidad de supervivencia en porcentaje factor de confiabilidad

50% 1.00 90% 0.90 95% 0.87 99% 0.82

99.9% 0.75 99.99% 0.70 Tabla 2.18. factores de confiabilidad


Versión 2004

Factor de temperatura Existen muchas piezas que tienen un servicio a temperaturas muy altas, mayores de las correspondientes al ensayo de laboratorio. Para hallar el factor de temperatura se efectúan convalidaciones experimentales adicionales estableciendo la siguiente relación:

refut

utt S

Sk

/

= (2.200)

donde Sut es la resistencia estática a la rotura por tracción a una temperatura determinada, mientras que Sut/ref es la resistencia estática a la rotura por tracción a una temperatura de referencia (típicamente 20°C). En la Tabla 2.19 se indican algunos valores de tal coeficiente para un acero típico.

Temperatura [°C] factor de temperatura

20 1.000 50 1.010

100 1.020 200 1.020 300 0.975 400 0.900 500 0.768 600 0.549

Tabla 2.19. factores de temperatura

Factor de efectos varios En este factor se condensan distintos efectos que pueden alterar el valor de la resistencia a la fatiga, entre los cuales se pueden citar:

- El proceso de Manufactura - La presencia de tensiones residuales como resultado de procesos de recuperación

elástica. Presentes en procesos de manufactura como la soldadura, tratamientos térmicos, etc.

- Fenómenos de corrosión de la macro y micro estructura del material. Las principales causas de corrosión en los metales se deben a la presencia de oxígeno y de hidrógeno. Este último puede generar la denominada “fragilidad por adsorción de hidrógeno”, ayudando a propagar más rápidamente las grietas.


- Los tratamientos superficiales de electrodeposición que evidencien porosidad como los óxidos anodizados.

Versión 2004

3. Daño Acumulativo Los diagramas de las Figuras 2.93, 2.94 y 2.95 se basan en resultados experimentales de solicitación completamente invertida (o sea σm = 0, Figura 2.81.a). Sin embargo dado que el problema de fatiga está asociado a la acumulación de daño en la estructura cristalográfica del material, y que muchas solicitaciones reales no son tan exactas como la representada en Figura 2.81.a, es necesario establecer un patrón de análisis que permita evaluar el proceso de daño ante la presencia de solicitaciones como la de la Figura 2.99.

Figura 2.99. Tipo de solicitación con diferentes niveles de intensidad de tensión

Para un material determinado con LS ′ y eS ′ conocidos, ante un tipo de solicitación

existirá una cantidad determinable de ciclos hasta su rotura de . Pero si a la

misma pieza ante la misma solicitación

[ Le1 SSS ′′∈′ , ] 1N ′

1S ′ durante un número de ciclos , no se

registrará rotura, pero si un determinado daño. Otro tanto ocurriría con niveles de solicitación de , en ciclos de ,

11 Nn ′<′

2S ′ 3S ′ 22 Nn ′<′ 33 Nn ′<′ , etc. En estas circunstancias se puede establecer una

ley denominada ley de daño lineal o ley de Miner, que predice falla si se cumple:

1NnZ

1i i

i ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′∑

=

, siendo Z el número de distintas intensidades de carga (2.201)

Esta ley supone que la secuencia u orden o historia de la solicitación no es influyente y a su vez estipula que el daño ante cualquier solicitación es directamente proporcional al número de ciclos. Sin embargo esta ley aunque posee algunas limitaciones (la linealidad es una de ellas para el tipo de fenómeno que está tratando) es fácil de usar y de interpretar como para emplearla en cálculos estimativos. Así pues si 1N ′ es el número de ciclos total hasta la falla,

cuando existen patrones de cíclicos diferentes se tendrá:

TjjT

jj Nn

Nn

′=′⇒′

′= αα (2.202)

y sustituyendo en (2.201) se tiene

T

Z

1i i

i

N1

N ′≥⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′∑

=

α, siendo Z el número de distintas intensidades de carga (2.203)


Con esta ecuación se calculan el tiempo de vida de una pieza.

Versión 2004

4. Métodos de Análisis con esfuerzo medio no nulo Muchos Elementos de Máquinas poseen esfuerzos y tensiones fluctuantes cuyo valor medio es distinto de cero. Este es el caso más general y uno de los más frecuentes. En determinadas circunstancias no se puede contar con otra información experimental que no sea la correspondiente a los ensayos de flexión rotativa (σm = 0), y la influencia de la tensión media no nula se calcula por medio de varias relaciones empíricas que determinan la falla en una vida determinada cuando las tensiones alternantes y medias son distintas de cero.

Materiales Dúctiles En la Figura 6.100 se muestra como por medio de cuatro relaciones experimentales se calcula la influencia de la tensión media no nula, sobre la vida a fatiga para materiales dúctiles sometidos a tracción. Los enfoques más conocidos son:

- Criterio Parabólico de Gerber o curva de Gerber - Criterio Lineal de Goodman o Línea de Goodman - Criterio Lineal de Soderberg o Línea de Soderberg - Criterio Langer o Línea de fluencia

Figura 2.100. Criterios de Falla ante tensiones medias no nulas

Los mencionados criterios vienen identificados por las siguientes expresiones:


1S

nS

n2

ut

ms

e

as =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

σσ, Criterio Gerber (2.204)

syt

m

e

a

n1

SS=+

σσ, Criterio Soderberg (2.205)

sut

m

e

a

n1

SS=+

σσ, Criterio Goodman (2.206)

Versión 2004

syt

m

yt

a

n1

SS=+

σσ, Criterio de Langer o de Fluencia (2.207)

donde - Se es el límite de fatiga modificado - Sut es la resistencia a la rotura por tracción - ns es el factor de seguridad - σm es la tensión media - σa es la tensión alternante

La (2.207) permite establecer la falla por fluencia en el primer ciclo de carga. Si se conocen los valores de los estados tensionales, se pueden emplear alguno de los anteriores criterios para establecer la vida a la Fatiga. Nuevamente, en cualquiera de los criterios se puede emplear el conocido concepto de recta de carga, introducido en la División 4 del Capítulo 2, para poder establecer una zona segura empleando el coeficiente de seguridad. En la Figura 2.101 se puede apreciar el diagrama de Smith (1942), también denominado diagrama Goodman (1890) según algunos autores. Como se puede observar en la Figura 2.101 los valores de la tensión alternativa σa varían de un máximo σfa, zona I del gráfico (Alternativa pura) como también se nota que dicho valor diminuye a medida que aumenta la tensión media σm, pasando por un punto intermedio, zona III (Intermitente pura), hasta llegar a valer cero, en la zona V (Estática pura). En la figura, se puede apreciar los enunciados de Smith, originalmente observados por Goodman, que por el incremento de la tensión media, las tensiones alternantes diminuye gradualmente hasta llegar al limite en el que la pieza no puede soportar ninguna variación de carga (Zona V). Con esto se podría establecer razonablemente como valido que la rotura de una pieza depende de

a) La tensión Media b) El numero de aplicaciones o ciclos c) La tensión alternativa respecto de la media

La aplicación de estos conceptos es válida para muchos casos de tensiones variables que se presentan en el campo de la Ingeniería Mecánica Sin embargo, el diagrama de la Figura 2.101 puede no ser estrictamente válido y representativo, debido a que si la tensión alternante máxima llega al estado de fluencia del material, ya comienza la plastificación del material.


En estas circunstancias, Goodman propuso una modificación al diagrama típico de Smith. Esta modificación, que se muestra en la Figura 2.102 contempla la observación mencionada en el párrafo anterior.

Versión 2004

Figura 2.101. Diagrama de Smith-Goodman

Figura 2.102. Diagrama de Goodman Modificado


Teniendo los datos de rotura, fluencia y fatiga para un material determinado es posible efectuar el diagrama de Goodman modificado, tal como se aprecia en la Figura 2.102. En este diagrama el criterio de Goodman establecido en la ecuación (2.206) es modificado por la

Versión 2004

combinación de falla por fatiga con la falla por fluencia. Así pues los puntos que se hallan dentro del lugar geométrico descripto por la secuencia de segmentos ABCDEFGH suponen tensiones fluctuantes que no causarán la falla por fatiga ni por fluencia. Este diagrama es un diagrama completo ya que en el se contemplan los aspectos de tracción y de compresión en conjunto. Nótese que los segmentos AB, ED, EF y AH son las líneas del criterio de Goodman adaptado según se ha mencionado, en tanto que los segmentos FG, GH, BC y DC corresponden a líneas de fluencia. Así pues, las zonas indicadas con “a” y con “d” son zonas falla por fluencia, en tanto que las zonas “b” y “c” son zonas de falla por fatiga. La construcción de este diagrama modificado exige conocer los puntos característicos, para luego definir las rectas de acción. Tales rectas de acción vienen definidas en un rango determinado con una expresión determinada según se aprecia en las siguientes expresiones:

Segmento AB, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

u

eme S

S1S σσ max válida en

u

e

eym

SS

1

SS0

−

−≤≤σ (2.208)

Segmento BC, yS=maxσ válida en ym

u

e

ey S

SS

1

SS≤≤

−

−σ

(2.209)

Segmento CD, ym S2 −= σσ min válida en ym

u

e

ey S

SS

1

SS≤≤

−

−σ

(2.210)

Segmento DE, eu

em S

SS

1 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=σσ min válida en

u

e

eym

SS

1

SS0

−

−≤≤σ (2.211)

Segmento EF, em S−=σσ min válida en 0SS mye ≤≤− σ (2.212)

Segmento FG, yS−=minσ válida en yemy SSS −≤≤− σ (2.213)

Segmento GH, ym S2 += σσ max válida en yemy SSS −≤≤− σ (2.214)

Segmento HA, em S+=σσ max válida en 0SS mye ≤≤− σ (2.215)

Materiales Frágiles


En un material frágil, se recordará que la tensión de resistencia a la rotura por compresión es más grande que su homónima de resistencia a la tracción. Por otro lado en un material frágil la presencia de entallas o muescas o concentradores de tensión en términos generales, suele incrementar sustancialmente la probabilidad de rotura por tensiones alternantes. Una forma de analizar la fatiga en este tipo de materiales es emplear factores concentradores de tensión tanto en la parte de tensión alternativa como en la parte de tensión media.

Versión 2004

Así pues, para una sola tensión normal, el cálculo de un coeficiente de seguridad ante una solicitación constante σm será:

mC

uts K

Sn

σ= (2.216)

Ahora en el caso de una tensión alternante σa se tiene que reemplazar el factor de entalla Kf por KC en la ecuación de cálculo de la tensión de fatiga modificada (2.193), así el coeficiente de seguridad se obtiene de:

a

es

Sn

σ= (2.217)

Para una sola tensión de corte constante σm presente en una pieza de material frágil, el factor de seguridad será:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

uc

utmCS

uts

SS

1K

Sn

σ

(2.218)

Para una tensión de corte alternante σa en una pieza de material frágil se emplea el mismo procedimiento detallado para (2.117) en el cálculo del límite de fatiga modificado y el coeficiente de seguridad resulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

uc

uta

es

SS

1

Sn

σ

(2.219)

En (2.118) y (2.119), por Suc y Sut se deben entender los límites de resistencia a la rotura por compresión y tracción respectivamente.

5. Agradecimientos

Se desea agradecer formalmente al Ing. Gerardo Pender, del Laboratorio de Mecánica de la Facultad Regional Bahía Blanca de la U.T.N. por las sugerencias y el valioso aporte de información experimental.

6. Bibliografía [1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002. [2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000 [3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1998. [4] American Society for Metals. “Metals Handbook” Vol 9. 8th edition. 1974 [5] P.G. Forrest, “Fatigue of Metals”, Pergamon Press LTD. 1962


[6] M. Mitchell. “Fundamentals of modern Fatigue analysis for design”. Fatigue and Microstructure, M. Meschii Ed, American Society for Metals Park OH pp. 385-437 (1978).

Versión 2004

[7] Gunt Geratebau GmbH, “WP140, Máquina para ensayo de fatiga por flexión rotativa” http://www.gunt.de


http://www.gunt.de/

capitulo 2 tensiones y deformaciones. … de... · de elasticidad, y la pieza se reemplaza antes de...

Documents