capítulo 20 ondas electromagnéticas
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Capítulo 20
Ondas electromagnéticas
1
Ondas electromagnéticas
Las ondas electromagnéticas sontransversales. Su campo eléctrico esperpendicular al magnético, yE × B señala siempre en el sentido depropagación.
El campo eléctrico de una onda que se propaga en el sentido positivo delejeZ, con el campo eléctrico oscilando en la direcciónY viene dado por:
E = E0 sen
(ωt− 2πz
λ
)ı
Este campo eléctrico lleva asociado el siguiente campo magnético:
B =E0
csen
(ωt− 2πz
λ
)
Velocidad de la luz
La velocidad de la luz en el vacío valec = 300.000 km/s.
La velocidad en un medio material es:
v =c√κµ
=c
n
A la constanten =√εµ se le denomina índice de refracción del medio.
En el airen = 1.
La relación entreω y λ en un medio material viene dada por:
λ =c
nT =
2πc
nω.
Energía e intensidad
La intensidad o cantidad de energía por unidad de área y unidad de tiempoque transmite una onda electromagnética es igual a:
S = 12 cε0E
20
La potencia de una onda electromagnética es igual a la intensidad por elárea de la sección, trasversal a la onda.
La energía transmitida en un cierto intervalo temporal es igual a la poten-cia por el tiempo.
La intensidad luminosa se mide en W/m2, la potencia en W y la energíaen J.
Concepto de fotón
La radiación electromagnética está formada por fotones, cuya ener-gía es igual a:
E = h ν
h se denominaconstante de Planck, y vale6.63 · 10−34 J s. La constantereducida de Planck es igual ah = h/2π.
La energía total de una determinada radición es igual al número de foto-nes que contiene,N , por la energía de cada uno de ellos:
E = N hν
La potencia es igual al número de fotones por unidad de tiempo por laenergía de uno de ellos, y la intensidad al número de fotones por unidadde área y de tiempo por la energía de uno de ellos.
Los fotones poseen un momento lineal igual a:
p =h
λ
Efecto fotoeléctrico
La función de trabajo y la frecuencia umbral están relacionadas por:
φ = hνc
La energía cinética máxima de los fotoelectrones vale:
Emax = hν − φ
Problema 20.1
Escribe las expresiones de los campos eléctrico y magné-tico de una onda plana que viaja en el sentido negativo deleje Z y está polarizada en la dirección Y , sabiendo queposee una frecuencia de 2 ·109 Hz y la amplitud del campoeléctrico es de 0.1 V/m.
Problema 20.2
Obtén la energía por unidad de tiempo y unidad de áreaque transporta la onda dada en el ejercicio anterior.
Problema 20.3
El campo eléctrico de una onda electromagnética que sepropaga por el aire viene dado por:
E = 3 sen
(108t+
2πx
λ
)k V/m.
Determina:(a) el sentido de propagación de la onda,(b) su longitud de onda,(c) la expresión del campo magnético correspondiente,(d) la energía por unidad de tiempo y unidad de área que
transporta.
Problema 20.4
El campo magnético de una onda electromagnética que sepropaga por el aire viene dado por:
B = 10−7 sen
(1015t+
2πx
λ
) T.
Determina:(a) el sentido de propagación de la onda,(b) su longitud de onda,(c) la expresión del campo eléctrico correspondiente,(d) la energía por unidad de tiempo y unidad de área que
transporta,(e) la energía que transporta a través de una superficie
de 3 m2 durante dos horas.
Problema 20.5
La amplitud del campo eléctrico de una onda electromag-nética es de 10 V/m. Obtén la amplitud del campo magné-tico correspondiente y la intensidad de la onda.
Problema 20.6
La radiación solar en un punto de la superficie terrestre esde 1.1 kW/m2 de intensidad. Calcula:(a) la amplitud de los campos eléctrico y magnético que
componen dicha radiación,(b) la potencia luminosa que se recibe en una placa de 2
m2 de superficie,(c) la energía que recibe una piscina de 50 m2 de su-
perficie suponiendo que los rayos solares incidieranperpendicularmente sobre ella durante cuatro horas.
Problema 20.7
Calcula la energía y el momento lineal de los fotonesque componen las ondas electromagnéticas de frecuenciaigual a 1020 Hz.
Problema 20.8
Una radiación electromagnética está compuesta por foto-nes con una energía de 100 eV. ¿Cuáles son la frecuenciay la longitud de onda de dicha radiación?
Problema 20.9
Un rayo luminoso posee una potencia de 10 W y una fre-cuencia angular de 4 · 1015 rad/s. ¿Cuántos fotones porsegundo atraviesan una sección perpendicular a la direc-ción del rayo?
Problema 20.10
Una onda electromagnética posee una longitud de ondade 100 nm y una intensidad de 500 W/m2. ¿Qué ener-gía posee cada uno de los fotones que componen dichaonda? ¿Cuántos fotones por segundo y por metro cuadra-do atraviesan una sección perpendicular a la dirección depropagación de la onda?
Problema 20.11
Una onda luminosa posee una frecuencia de 1015 Hz y unaintensidad de 800 W/m2. Determina:(a) su longitud de onda,(b) la energía de los fotones que la componen,(c) el momento lineal de los mismos,(d) el número de fotones por unidad de tiempo y de su-
perficie que atraviesan una sección perpendicular ala onda,
(e) el número de fotones que inciden durante un minutosobre una circunferencia de 4 cm de radio iluminadapor dicha onda.
Problema 20.12
¿Cuál es la frecuencia umbral para un metal que poseeuna función de trabajo de 2.3 eV?
Problema 20.13
Luz de una frecuencia de 1.5·1015 Hz incide sobre un metalcon una función de trabajo de 2.1 eV. Determina:(a) la frecuencia umbral del metal,(b) el momento lineal de los fotones que componen la
luz,(c) la máxima energía cinética de los electrones arran-
cados al metal por la luz incidente.
20.1 Escribe las expresiones de los campos eléctrico y magnético de una ondaplana que viaja en el sentido negativo del eje Z y está polarizada en la direcciónY , sabiendo que posee una frecuencia de 2 · 109 Hz y la amplitud del campoeléctrico es de 0.1 V/m.
La longitud de onda de la onda electromagnética es igual a la velocidadde la luz dividida por la frecuencia:
λ =c
ν=
3 · 108
2 · 109 = 0.15 m.
El campo eléctrico viene dado por:
E = E0 sen
(ωt+
2πz
λ
) = 0.1 sen
(4π 109t+
2πz
0.15
) V/m.
Para que la onda viaje en el sentido−k el campo magnético deberá se-ñalar haciaı cuando el eléctrico lo hace hacia (ya que × ı = −k) ypor tanto:
B =E0
csen
(ωt+
2πz
λ
)ı
= 3.33 · 10−10 sen
(4π 109t+
2πz
0.15
)ı T.
20.2 Obtén la energía por unidad de tiempo y unidad de área que transporta laonda dada en el ejercicio anterior.
La energía por unidad de tiempo y de área que propaga una onda electro-magnética es:
S = 12 cε0E
20 = 1
2 3 · 108 0.12
4π 9 · 109 = 1.33 · 10−5 W/m2.
20.3 El campo eléctrico de una onda electromagnética que se propaga por elaire viene dado por:
E = 3 sen(
108t+2πx
λ
)k V/m.
Determina:
(a) el sentido de propagación de la onda,
(b) su longitud de onda,
(c) la expresión del campo magnético correspondiente,
(d) la energía por unidad de tiempo y unidad de área que transporta.
(a) La onda se propaga hacia el sentido negativo del ejeX.
(b) La longitud de onda es igual a la velocidad de la luz dividida por lafrecuencia:
λ =c
ν=
3 · 108 2π
108 = 18.8 m.
(c) El campo magnético asociado al campo eléctrico dado es:
B =3
csen
(108t+
2πx
λ
)(−)
= −10−8 sen(108t+ 0.33x
) T.
(d) La energía por unidad de tiempo y de área correspondiente es:
S = 12 cε0E
20 = 1
2 3 · 108 32
4π 9 · 109 = 1.2 · 10−2 W/m2.
20.4 El campo magnético de una onda electromagnética que se propaga porel aire viene dado por:
B = 10−7 sen(
1015t+2πx
λ
) T.
Determina:
(a) el sentido de propagación de la onda,
(b) su longitud de onda,
(c) la expresión del campo eléctrico correspondiente,
(d) la energía por unidad de tiempo y unidad de área que transporta,
(e) la energía que transporta a través de una superficie de 3 m2 durante doshoras.
(a) La onda se propaga hacia el sentido negativo del ejeX.
(b) La longitud de onda es igual a la velocidad de la luz dividida por lafrecuencia:
λ =c
ν=
3 · 108 2π
1015 = 1.88 · 10−6 m.
(c) El campo eléctrico asociado al campo magnético dado es:
E = B0c sen
(1015t+
2πx
λ
)k
= 30 sen(1015t+ 3.33 · 106 x
)k V/m.
(d) La energía que transporta la onda por unidad de tiempo y de áreaes:
S = 12 cε0E
20 = 1
2 3 · 108 302
4π 9 · 109 = 1.2 W/m2.
(e) La energía transportada después de 2 horas a través de 3 m2 es:
E = StA = 1.2 · 2 · 3600 · 3 = 25900 J.
20.5 La amplitud del campo eléctrico de una onda electromagnética es de 10V/m. Obtén la amplitud del campo magnético correspondiente y la intensidadde la onda.
La amplitud del campo magnético es igual a:
B0 =E0
c=
10
3 · 108 = 3.33 · 10−8 T.
La intensidad de la onda correspondiente es:
I = S = 12 cε0E
20 = 1
2 3 · 108 102
4π 9 · 109 = 0.133 W/m2.
20.6 La radiación solar en un punto de la superficie terrestre es de 1.1 kW/m2
de intensidad. Calcula:
(a) la amplitud de los campos eléctrico y magnético que componen dicha ra-diación,
(b) la potencia luminosa que se recibe en una placa de 2 m2 de superficie,
(c) la energía que recibe una piscina de 50 m2 de superficie suponiendo quelos rayos solares incidieran perpendicularmente sobre ella durante cuatrohoras.
(a) El valor de la amplitud del campo eléctrico lo encontramos despe-jando en la expresión de la intensidad:
E0 =
(2I
cε0
)1/2
=
(2 · 1100
3 · 108 36π 109)1/2
= 911 V/m.
La amplitud del campo magnético correspondiente es igual a:
B0 =E0
c=
911
3 · 108 = 3.04 · 10−6 T.
(b) La potencia luminosa es la intensidad por el área:
P = IA = 1100 · 2 = 2200 W.
(c) La energía es la intensidad por el área y por el tiempo:
E = IA t = 1100 · 50 · 4 · 3600 = 7.92 · 108 J.
20.7 Calcula la energía y el momento lineal de los fotones que componen lasondas electromagnéticas de frecuencia igual a 1020 Hz.
La energía de un fotón de1020 Hz es:
E = hν = 6.63 · 10−34 1020 = 6.63 · 10−14 J.
El momento lineal correspondiente vale:
p =h
λ=hν
c=
6.63 · 10−34 1020
3 · 108 = 2.21 · 10−22 kg m/s.
20.8 Una radiación electromagnética está compuesta por fotones con una ener-gía de 100 eV. ¿Cuáles son la frecuencia y la longitud de onda de dicha radia-ción?
La frecuencia correspondiente a fotones de 100 eV es:
ν =E
h=
100 · 1.6 · 10−19
6.63 · 10−34 = 2.41 · 1016 Hz.
La longitud de onda vale:
λ =c
ν=
3 · 108
2.41 · 1016 = 1.24 · 10−8 m.
20.9 Un rayo luminoso posee una potencia de 10 W y una frecuencia angu-lar de 4 · 1015 rad/s. ¿Cuántos fotones por segundo atraviesan una secciónperpendicular a la dirección del rayo?
La energía de cada fotón es:
E = hν = hω
2π= 6.63 · 10−34 4 · 1015
2π= 4.22 · 10−19 J.
El número de fotones por segundo que atraviesa la sección es:
N =P
E=
10
4.22 · 10−19 = 2.37 · 1019 s−1.
20.10 Una onda electromagnética posee una longitud de onda de 100 nm yuna intensidad de 500 W/m2. ¿Qué energía posee cada uno de los fotones quecomponen dicha onda? ¿Cuántos fotones por segundo y por metro cuadradoatraviesan una sección perpendicular a la dirección de propagación de la onda?
La energía de un fotón de 100 nm de longitud de onda es:
E = hν = hc
λ= 6.63 · 10−34 3 · 108
100 · 10−9 = 1.99 · 10−18 J.
El número de fotones por unidad de área y de tiempo vale:
N =I
E=
500
1.99 · 10−18 = 2.51 · 1019 s−1m−2.
20.11 Una onda luminosa posee una frecuencia de 1015 Hz y una intensidad de800 W/m2. Determina:
(a) su longitud de onda,
(b) la energía de los fotones que la componen,
(c) el momento lineal de los mismos,
(d) el número de fotones por unidad de tiempo y de superficie que atraviesanuna sección perpendicular a la onda,
(e) el número de fotones que inciden durante un minuto sobre una circunfe-rencia de 4 cm de radio iluminada por dicha onda.
(a) La longitud de onda es:
λ =c
ν=
3 · 108
1015 = 3 · 10−7 m.
(b) La energía de cada fotón vale:
E = hν = 6.63 · 10−34 1015 = 6.63 · 10−19 J.
(c) El momento lineal de los fotones es:
p =h
λ=
6.63 · 10−34
3 · 10−7 = 2.21 · 10−27 kg m/s.
(d) El número de fotones por unidad de área y de tiempo vale:
NI =I
E=
800
6.63 · 10−19 = 1.21 · 1021 s−1m−2.
(e) Tras un minuto, sobre la circunferencia del problema incide un nú-mero de fotones igual a:
N = NI 60π r2 = 1.21 · 1021 60π 0.042 = 3.6 · 1020.
20.12 ¿Cuál es la frecuencia umbral para un metal que posee una función detrabajo de 2.3 eV?
La frecuencia umbral viene dada porhνc = φ, y por tanto vale:
νc =φ
h=
2.3 · 1.6 · 10−19
6.63 · 10−34 = 5.55 · 1014 Hz.
20.13 Luz de una frecuencia de 1.5 · 1015 Hz incide sobre un metal con unafunción de trabajo de 2.1 eV. Determina:
(a) la frecuencia umbral del metal,
(b) el momento lineal de los fotones que componen la luz,
(c) la máxima energía cinética de los electrones arrancados al metal por laluz incidente.
(a) La frecuencia umbral es:
νc =φ
h=
2.1 · 1.6 · 10−19
6.63 · 10−34 = 5.07 · 1014 Hz.
(b) El momento lineal de un fotón de1.5 · 1015 Hz es:
p =h
λ=hν
c=
6.63 · 10−34 1.5 · 1015
3 · 108 = 3.31 · 10−27 kg m/s.
(c) La máxima energía cinética de los fotoelectrones es igual a la ener-gía de un fotón menos la función de trabajo:
Emax = E − φ = hν − φ = 6.63 · 10−34 1.5 · 1015
− 2.1 · 1.6 · 10−19 = 6.58 · 10−19 J.