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Capıtulo 4

CINEMATICA

4.1. Introduccion

La cinematica es la parte de la mecanica que estudia el movimiento de los cuerpos, sinatender a las causas que lo producen. De otra forma diremos que estudia la evolucion de laposicion de los cuerpos en el espacio en relacion con el tiempo.

Para definir la posicion de los cuerpos en el espacio sera necesaria la introduccion de unareferencia, la cual estara constituida por un punto 0 y una base vectorial de dicho espacio.

Ası una referencia cartesiana estara formada por (0,~i,~j,~k), en donde 0 es un punto tomadoarbitrariamente como origen, e~i, ~j y ~k son los versores de Hamilton.

El espacio que es objeto de nuestra atencion es el espacio puntual o euclıdeo.

Cada punto del mismo vendra biunivocamente ligado a un vector de posicion ~r que po-dra ser expresado en la referencia elegida.

En cuanto al tiempo nos referimos al tiempo newtoniano o absoluto.

Una dificultad que se plantea es la congruencia del tiempo en sistemas referenciales dis-tintos. Ello es objeto de estudio en la cinematica relativista y no de la clasica, que es la quesera aquı tratada.

91

CAPITULO 4. CINEMATICA 92

4.2. Cinematica del punto

4.2.1. Cinematica del punto en coordenadas cartesianas

Sea un punto P que esta efectuando un movimiento en el espacio euclıdeo, y sea ~r =−→0P

el vector de posicion del mismo, el cual tiene su origen en el punto 0, origen del sistemareferencial y su extremo en el punto P .

Dado que el punto P se esta moviendo, el vector de posicion sera variable en funcion deltiempo, lo cual podra expresarse como:

~r = ~r(t)

Expresion que podra denominarse ley vectorial del movimiento.

Esta expresion vectorial podra ser descompuesta en tres expresiones escalares:

~r = x~i + y ~j + z ~k = ~r(t) = x(t)~i + y(t) ~j + z(t) ~k

Y por tanto:

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

Ecuaciones que nos permiten determinar la posicion del punto en un instante cualquierapor medio de sus tres coordenadas cartesianas. Por ello diremos que estas tres ecuacionesson la expresion parametrica de la trayectoria en funcion del parametro escalar tiempo.

Para determinar la ecuacion analıtica de la trayectoria bastarıa eliminar el escalar tiempoentre ellas lo que darıa lugar a dos ecuaciones en coordenadas cartesianas:

f1(x, y, z) = 0f2(x, y, z) = 0

}

Las cuales representan evidentemente una lınea, la trayectoria, definida como interseccionde dos superficies.

Definimos la velocidad de la partıcula P como la derivada del vector de posicion con re-specto del tiempo:

~v =d~r

dt

En general el vector velocidad sera tambien una funcion del tiempo:

~v = ~v(t)


Esta expresion vectorial podra ser descompuesta en tres expresiones escalares:

~v = vx~i + vy

~j + vz~k = ~v(t) = vx(t)~i + vy(t) ~j + vz(t) ~k

vx = vx(t) = dxdt = x

vy = vy(t) = dydt

= y

vz = vz(t) = dzdt

= z

Definimos la hodografa del movimiento como el lugar geometrico de los puntos que sucesi-vamente ocupa el extremo del vector velocidad trasladado este en forma equipolente al origende referencia. Sus ecuaciones analıticas las obtendremos eliminando el parametro tiempo en:

x = vx(t)y = vy(t)z = vz(t)

Definimos la aceleracion como la derivada del vector velocidad con respecto del tiempo,lo que equivale a la derivada segunda del vector de posicion:

~a =d~v

dt=

d2~r

dt2

En general tambien sera una funcion vectorial del tiempo:

~a = ~a(t)

Y que como en los casos anteriores admitira una descomposicion en tres ecuaciones es-calares:

~a = ax~i + ay

~j + az~k = ~a(t) = ax(t)~i + ay(t) ~j + az(t) ~k

ax = ax(t) = vx = x

ay = ay(t) = vy = y

az = az(t) = vz = z

Es facil ver que por este camino se podrıan definir mediante derivaciones sucesivas nuevasfunciones vectoriales. Ası a la derivada primera de la aceleracion, es decir, a la segunda dela velocidad y tercera del vector de posicion, se la denomina superaceleracion.

Otra posible definicion del movimiento, previo conocimiento de la trayectoria, habrıa sidoexpresar la posicion del punto movil P en la misma mediante una ley:

s = s(t)


Donde s es la coordenada curvilınea que expresa la distancia medida sobre la propia trayec-toria del punto movil P a un punto fijo y arbitrario de la misma, tomado como origen. Estaley es la denominada ley escalar del movimiento.

El problema cinematico puede estar planteado en una de estas tres formas:

Forma directa: Conocida la ley del movimiento ~r = ~r(t) determinar la velocidad y laaceleracion. Esto se logra de forma inmediata mediante derivaciones sucesivas tal ycomo ya se ha visto.

Forma inversa: Conocida la aceleracion ~a = ~a(t) determinar la velocidad y la leydel movimiento. Esto se lograra mediante el proceso inverso, es decir, mediante inte-gracion. En efecto:

d~v(t) = ~a · dt∫

d~v(t) =∫

~a(t) · dt

Establecida como condicion de contorno que para el instante t0 la velocidad tomacomo valor ~v0:

~v(t) = ~v0 +∫ t

t0~a(t) · dt

En cuanto al vector de posicion:

d~r(t) = ~v · dt∫

d~r(t) =∫

~v(t) · dt

Tomando como como condicion de contorno que para el instante t0 la posicion vienedefinida por ~r0:

~r(t) = ~r0 +∫ t

t0~v(t) · dt

Como es sabido, la resolucion de cada una de estas integrales con funcion subintegralvectorial, implica la resolucion de tres integrales escalares.

Forma general: Conocida una funcion que relaciona las magnitudes cinematicas deltipo:

F (~r, ~v,~a, t) = 0

El problema implicara la resolucion de una ecuacion diferencial vectorial de segun-do orden, que se traducira en la resolucion de tres ecuaciones diferenciales escalarestambien en general de segundo orden.


4.2.2. Cinematica del punto en coordenadas cilındricas

En el sistema referencial cilındrico, la posicion de un punto viene dada por las coorde-nadas (ρ, θ, z). Dado que nuestro punto es movil, estas coordenadas seran en general funciondel parametro escalar tiempo:

ρ = ρ(t)θ = θ(t)z = z(t)

El conocimiento de estas tres ecuaciones determina la trayectoria del punto en la referenciacilındrica y en funcion parametrica del tiempo. La relacion existente entre las coordenadascilındricas y las coordenadas cartesianas es:

x = ρ · cos θy = ρ · sin θz = z

Fijandonos en la Figura 4.1 podremos obtener la relacion existente entre los vectores unitar-

r�

ρ

z

X

Y

Z

θ

ρu�

θu�

zu�

Figura 4.1: Coordenadas cilındricas

ios cartesianos (~i,~j,~k) y los vectores unitarios cilındricos (~uρ, ~uθ, ~uz):

~uρ = cos θ~i + sen θ ~j + 0 ~k

~uθ = −sen θ~i + cos θ ~j + 0 ~k~uz = 0~i + 0 ~j + 1 ~k


Ecuaciones que admitiran la siguiente expresion matricial:

~uρ

~uθ

~uz

=

cos θ sen θ 0−sen θ cos θ 0

0 0 1

·

~i~j~k

Siendo:

{Gcil} =


0 0 1

La matriz que permite el paso de un vector de componentes cartesianas a cilındricas.

Velocidades

La velocidad expresada en referencia cartesiana ya sabemos que es:

~v = x~i + y ~j + z ~k , en donde:

x = ρ cos θ − ρ θ sen θy = ρ sen θ + ρ θ cos θz = z

El vector velocidad expresado en la referencia cilındrica lo obtendremos mediante:

~vcil = {Gcil} · ~v

Esto es:

vρ

vθ

vz

=


0 0 1

·

ρ cos θ − ρ θ sen θ

ρ sen θ + ρ θ cos θz

Efectuando esta operacion resulta:

vρ = ρvθ = ρ · θvz = z

Que son las componentes del vector velocidad en expresion cilındrica. El vector velocidadexpresado en forma cilındrica sera:

~vcil = vρ ~uρ + vθ ~uθ + vz ~uz = ρ ~uρ + ρ · θ ~uθ + z ~uz


Aceleraciones

La aceleracion expresada en la referencia cartesiana sabemos que es:

~a = x~i + y ~j + z ~k , en donde:

x = ρ cos θ − 2 ρ θ sen θ − ρ θ sen θ − ρ θ2 cos θy = ρ sen θ + 2 ρ θ cos θ + ρ θ cos θ − ρ θ2 sen θz = z

Lo que habremos obtenido como derivacion segunda en la expresion de las coordenadascartesianas en funcion de las coordenadas cilındricas. El vector aceleracion expresado en lareferencia cilındrica lo obtendremos mediante:

~acil = {Gcil} · ~a

Esto es:

aρ

aθ

az

=


0 0 1

·

ρ cos θ − 2 ρ θ sen θ − ρ θ sen θ − ρ θ2 cos θ

ρ sen θ − 2 ρ θ cos θ + ρ θ cos θ − ρ θ2 sen θz

Efectuando esta operacion resulta:

aρ = ρ− ρ θ2

aθ = 2 ρ θ + ρ θaz = z

Que son las componentes del vector aceleracion en expresion cilındrica. El vector acel-eracion expresado en forma cilındrica sera:

~acil = aρ ~uρ + aθ ~uθ + az ~uz = (ρ− ρ θ2) ~uρ + (2 ρ θ + ρ θ) ~uθ + z ~uz


4.2.3. Cinematica del punto en coordenadas esfericas

En el sistema referencial esferico la posicion de un punto viene dada por las coordenadas(r, ϕ, θ). Dado que nuestro punto es movil, estas coordenadas seran en general funcion delparametro escalar tiempo:

r = r(t)ϕ = ϕ(t)θ = θ(t)

El conocimiento de estas tres ecuaciones determina la trayectoria del punto en la referen-cia esferica y en funcion parametrica del tiempo. La relacion existente entre las coordenadasesfericas y las coordenadas cartesianas es:

x = r sen ϕ cos θy = r sen ϕ sen θz = r cos ϕ

Observando la Figura 4.2 podremos obtener la relacion existente entre los vectores uni-

r

X

Y

Z

θ

ϕu�

θu�

ru�

ϕ

Figura 4.2: Coordenadas esfericas

tarios cartesianos (~i,~j,~k) y los vectores unitarios esfericos (~ur, ~uϕ, ~uθ):

~ur = sen ϕ cos θ~i + sen ϕ sen θ ~j + cos ϕ ~k~uϕ = cos ϕ cos θ~i + cos ϕ sen θ ~j − sen ϕ ~k

~uθ = −sen θ~i + cos θ ~j + 0 ~k


Ecuaciones que admitiran la siguiente expresion matricial:

~ur

~uϕ

~uθ

=

sen ϕ cos θ sen ϕ sen θ cos ϕcos ϕ cos θ cos ϕ sen θ −sen ϕ−sen θ cos θ 0

·

~i~j~k

Siendo:

{Gesf} =

sen ϕ cos θ sen ϕ sen θ cos ϕcos ϕ cos θ cos ϕ sen θ −sen ϕ−sen θ cos θ 0

La matriz que permite el paso de un vector de componentes cartesianas a esfericas.

Velocidades

La velocidad de un punto expresada en la referencia cartesiana ya sabemos que es:

~v = x~i + y ~j + z ~k , en donde:

x = r sen ϕ cos θ + r ϕ cos ϕ cos θ − r θ sen ϕ sen θy = r sen ϕ sen θ + r ϕ cos ϕ sen θ + r θ sen ϕ cos θz = r cos ϕ− r ϕ sen ϕ

El vector velocidad expresado en la referencia esferica lo obtendremos mediante:

~vesf = {Gesf} · ~v

Efectuada la correspondiente operacion matricial, obtendremos:

vr = rvϕ = r ϕvθ = r θ sen ϕ

Que son las componentes del vector velocidad en expresion esferica. El vector velocidadexpresado en forma esferica sera:

~vesf = vr ~ur + vϕ ~uϕ + vθ ~uθ = r ~ur + r ϕ ~uϕ + r θ sen ϕ ~uθ


Aceleraciones

La aceleracion del punto expresada en la referencia cartesiana sabemos que es:

~a = x~i + y ~j + z ~k

Determinadas por derivacion x, y y z, y aplicando:

~aesf = {Gesf} · ~a

Obtendremos:

ar = r − r ϕ2 − r θ2 sen2ϕaϕ = 2 r ϕ + r ϕ− r θ2 senϕ cos ϕaθ = 2 r θ sen ϕ + 2 r ϕ θ + r θ sen ϕ

Que son las componentes del vector aceleracion en coordenadas esfericas. El vector acel-eracion expresado en forma esferica sera:

~aesf = ar ~ur + aϕ ~uϕ + aθ ~uθ

~aesf = (r − r ϕ2 − r θ2 sen2ϕ) ~ur + (2 r ϕ + r ϕ− r θ2 senϕ cos ϕ) ~uϕ +

+ (2 r θ sen ϕ + 2 r ϕ θ + r θ sen ϕ) ~uθ


4.2.4. Cinematica del punto en componentes intrınsecas

Curvatura y torsion. Formulas de Frenet. Triedro intrınseco

Sea un punto P que en su movimiento en un espacio tridimensional describe una ciertatrayectoria. La posicion de este punto en todo instante viene dada por un vector de posicion ~rcuyo origen es el origen del sistema referencial empleado, y cuyo extremo es el propio puntomovil P .

Podemos considerar una coordenada curvilınea s que determina la posicion del punto Pen la trayectoria midiendo la distancia a lo largo de esta trayectoria del punto a un puntoarbitrario y fijo P0 situado en la misma.

Este planteamiento aparece reflejado en la Figura 4.3.

r�

X

Y

Z

rr��

∆+

r�

∆

s∆

s

oP

P

Figura 4.3: Trayectoria de un punto en el espacio

En estas condiciones podremos decir que el vector de posicion ~r es funcion de la coordenadacurvilınea escalar s. Es decir:

~r = ~r(s)

Si el vector ~r es fucion de la coordenada curvilınea s , tambien lo seran sus componentes, ypodremos decir:

~r(s) = x(s)~i + y(s) ~j + z(s) ~k


Derivando este vector con respecto del escalar s:

lım∆s→0

∆~r(s)

∆s=

d~r

ds=

dx

ds~i +

dy

ds~j +

dz

ds~k

Como la curva ∆s, y la cuerda |∆~r | tienden a coincidir para valores de ∆s suficientementepequenos, podremos decir:

lım∆s→0

|∆~r |∆s

=|d~r |ds

= 1

Con lo cual, el modulo del vector d~rds

es la unidad y se trata por tanto de un vector uni-tario. La direccion de este vector sera ademas la de la tangente a la curva en ese punto, yaque esta es la direccion lımite de la cuerda. Este vector es el denominado vector unitario enla direccion tangencial ~τ .

~τ =d~r

ds

Por ser su modulo la unidad, las componentes de este vector cumpliran:

(dxds

)2+(dyds

)2+(dzds

)2= 1

Derivemos ahora el vector unitario tangencial ~τ con respecto de s:

d~τds = d2~r

ds2 = d2xds2

~i + d2yds2

~j + d2zds2

~k

Por ser el vector ~τ de modulo constante, el vector d~τds

sera ortogonal a el. 1

Denominamos vector unitario en la direccion normal principal al vector unitario en la direc-cion de d~τ

ds, y lo representamos como ~η.

~η =

d~τ

ds∣∣∣∣∣d~τ

ds

∣∣∣∣∣

; o bien:d~τ

ds=

∣∣∣∣∣d~τ

ds

∣∣∣∣∣ · ~η

1La derivada de un vector de modulo constante es un vector ortogonal al vector derivado. En efecto, si ~r esun vector de modulo constante:

~r · ~r = norma ~r = |~r |2 = Kte. Derivando esta expresion:

d~rdt· ~r + ~r · d~r

dt= 0 → 2 · ~r · d~r

dt= 0 → ~r · d~r

dt= 0

Luego dado que en general ~r y d~r

dtno son nulos, al ser nulo su producto escalar, ambos vectores seran

ortogonales.


Sean A y B dos puntos de la trayectoria separados por un valor de coordenada curvilınea∆s; y consideremos en cada uno de esos puntos los vectores tangentes unitarios ~τ . Ambastangentes, al igual que las normales forman entre sı un angulo ∆α. ( Ver la Figura 4.4 )

A Bs∆

α∆

)A(τ�

)B(τ� )A(τ

�

)B(τ�

τ�

∆α∆

Figura 4.4: Puntos A y B en la trayectoria, y sus respectivos vectores tangentes unitarios

La variacion de ~τ al pasar del punto A al punto B se obtiene restando ambos vectores uni-tarios, verificandose que |∆~τ | = ∆α, ya que |~τ | = 1.

Dividiendo por ∆s y tomando el lımite cuando ∆s tiende a cero:

lım∆s→0

|∆~τ |∆s

= lım∆s→0

∆α

∆s

Definimos curvatura de la trayectoria como:

lım∆s→0

∆α

∆s

Y denominamos radio de curvatura ρ a su valor inverso. Nos queda entonces:

|d~τ |ds

=dα

ds=

1

ρ

Y teniendo en cuenta que:

d~τ

ds=

∣∣∣∣∣d~τ

ds

∣∣∣∣∣ · ~η

Nos quedara:

d~τ

ds=

1

ρ· ~η (Primera formula de Frenet)

Definimos el vector unitario en la direccion binormal en un punto de la trayectoria como:

~b = ~τ ∧ ~η


Siendo por tanto ortogonal a los vectores ~τ y ~η. Los vectores ~τ , ~η y ~b forman un triedrotrirrectangulo caracterıstico para cada punto de la trayectoria, denominado triedro intrınseco.

Derivando la expresion del vector unitario en la direccion binormal, con respecto a la co-ordenada curvilınea s, y teniendo en cuenta la primera formula de Frenet:

d~b

ds=

d~τ

ds∧ ~η + ~τ ∧ d~η

ds=

1

ρ~η ∧ ~η + ~τ ∧ d~η

ds= ~τ ∧ d~η

ds

Lo que demuestra que d~bds

es un vector ortogonal a ~τ , y como ~b es un vector de modulo

constante, su derivada tambien sera ortogonal a ~b; lo que forzosamente hace que d~bds

tenga ladireccion normal principal, y podamos escribir:

d~b

ds= −1

t~η (Tercera formula de Frenet)

Al escalar 1t

se le denomina torsion de la trayectoria, y es positivo cuando el triedro in-trınseco gira en sentido positivo alrededor de la tangente al desplazarse el punto a lo largo dela trayectoria en sentido positivo.

Derivando la expresion ~η = ~b∧~τ con respecto al escalar s, y teniendo en cuenta las formulasde Frenet 1a y 3a, obtendremos:

d~η

ds=

d~b

ds∧ ~τ +~b ∧ d~τ

ds= −1

t~η ∧ ~τ +~b ∧ 1

ρ~η

d~η

ds=

1

t~b− 1

ρ~τ (Segunda formula de Frenet)

Las tres formulas de Frenet pueden condensarse en una unica expresion matricial, que puedeservir como regla nemotecnica:

d~τ

ds

d~η

ds

d~b

ds

=

01

ρ0

−1

ρ0

1

t

0 −1

t0

·

~τ

~η

~b

La terna de vectores unitarios ~τ , ~η y ~b conforman un triedro trirrectangulo caracterıstico decada punto P de la trayectoria; es el denominado triedro intrınseco.

El plano conformado por las direcciones ~τ y ~η es el denominado plano osculador. Dichoplano osculador contiene la trayectoria en el punto P y en los inmediatamente anteriores y


posteriores a el. El elemento diferencial de trayectoria que esta contenido en el plano oscu-lador serıa asimilable a un arco diferencial de circunferencia. El radio de esa circunferenciadenominada circunferencia osculatriz es el radio de curvatura de la trayectoria, que se en-contrara dirigido segun la direccion de ~η y hacia la parte concava de la misma.

El plano conformado por las direcciones ~η y ~b es el denominado plano normal principal.Es el plano que contiene a todas las ortogonales a la trayectoria en el punto P .

El plano conformado por ~b y ~τ es el plano rectificante. La trayectoria en la zona diferen-cial proxima a P podrıa ser desarrollada y rectificada sobre dicho plano.

Una representacion del triedro intrınseco se puede observar en la Figura 4.5:

τ�

η�

b�

Plano normal

Plano rectificante

Plano osculador

Figura 4.5: Triedro intrınseco

Componentes intrınsecas del vector velocidad y del vector aceleracion

El vector velocidad podra expresarse como:

~v =d~r

dt=

d~r

ds· ds

dt= ~τ · v

En donde v es el modulo del vector velocidad, llamado tambien celeridad, siendo:

v =ds

dt

Por lo tanto, el vector velocidad expresado en la referencia intrınseca nos queda:

~v = v · ~τLo que nos indica que la velocidad esta alineada siempre con la direccion tangencial, nodando componentes ni en la direccion normal principal ni en la direccion binormal.


En cuanto a la aceleracion, recordemos que fue definida como:

~a =d~v

dt

La obtendremos derivando la expresion de la velocidad en referencia intrınseca:

~a =dv

dt· ~τ + v · d~τ

dt

Para obtener la derivada del vector unitario en la direccion tangencial τ con respecto deltiempo haremos:

d~τ

dt=

d~τ

ds· ds

dt

Teniendo en cuenta la primera formula de Frenet, y que la derivada con respecto del tiempode la coordenada curvilınea s es el modulo del vector velocidad:

d~τ

dt=

v

ρ~η

Con lo que la expresion del vector aceleracion en componentes intrınsecas sera:

~a =dv

dt· ~τ +

v2

ρ~η

Con lo que llegamos a la siguiente conclusion:

El vector aceleracion referido al triedro intrınseco solo tiene componentes segun las direc-ciones tangencial y normal principal, siendo estas:

aτ =dv

dt=

d2s

dt2

aη =v2

ρ

Es un vector que se encuentra siempre contenido en el plano osculador, por no tener compo-nente en la direccion binormal.

La componente de la aceleracion tangencial aτ indica la variacion del modulo de la ve-locidad, en tanto que la componente normal aη que se encuentra ligada a la geometrıa de latrayectoria mediante el radio de curvatura ρ, indica la variacion en la direccion del vectorvelocidad.


Ley del movimiento en coordenada curvilınea

Si el movimiento del punto movil en su trayectoria estuviese definido por una ley que nosdiese el valor de la coordenada curvilınea s medida desde un punto arbitrario de la trayecto-ria P0 en funcion del tiempo, del tipo:

s = s(t)

Dirıamos que hemos establecido la ley escalar del movimiento o ley del movimiento encoordenada curvilınea. Una primera derivacion con respecto al tiempo nos permite determi-nar el modulo de la velocidad:

v =ds

dt

Una segunda derivacion nos determina la componente tangencial de la aceleracion:

aτ =d2s

dt2

El conocimiento completo del vector aceleracion~a debera efectuarse a partir del conocimien-to de la geometrıa de la trayectoria, y por tanto de ρ ; con lo que se podrıa determinar aη ypor tanto ~a. Es decir, que teniendo como dato la ley s = s(t) no se podrıa entender todo elmovimiento si no se conoce asimismo la trayectoria.

4.2.5. Cinematica plana

Consideremos ahora el movimiento de un punto dentro de un plano; es decir el movimien-to de un punto en el que su trayectoria es una curva plana.

Veamos entonces cuales seran las expresiones del vector velocidad y del vector aceleracionsegun el tipo de referencia empleado:

Cinematica plana en coordenadas cartesianas

Supuesto que el movimiento tiene lugar dentro de un plano XY , el analisis se re-ducira simplemente a considerar el caso tridimensional sin mas que tener en cuenta quez = kte = 0. Por tanto:

~r = x~i + y ~j

Velocidad:

~v =d~r

dt=

dx

dt~i +

dy

dt~j = vx

~i + vy~j


vx =dx

dt= x

vy =dy

dt= y

Aceleracion:

~a =d2~r

dt2=

d2x

dt2~i +

d2y

dt2~j = ax

~i + ay~j

ax =d2x

dt2= x = vx

ay =d2y

dt2= y = vy

Cinematica plana en coordenadas polares

En un sistema referencial polar en el plano la posicion de un punto P viene definida porel par (ρ, θ); donde ρ es la distancia del punto P al punto fijo de referencia 0, y el angulo θes el que forma 0P con una direccion de referencia dada.

Sin mas consideraciones que las meramente geometricas, que podremos deducir en la Figura4.6, las ecuaciones que nos permiten el paso de las coordenadas polares a cartesianas son :

X

Y

x

y

i�

j�

ρ

θ

ρu�θu

�

P

0

Figura 4.6: Sistema referencial plano polar y cartesiano

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ


Y las ecuaciones que permiten efectuar el paso inverso son:

ρ =√

x2 + y2

θ = arc tgy

x

El analisis de la cinematica plana en polares, puede deducirse como una particularizacionde la cinematica espacial en coordenadas cilındricas, sin mas que considerar que en todomomento z = kte = 0 . De esta forma deduciremos:

Expresion de la velocidad en polares:

~v = vρ ~uρ + vθ ~uθ

vρ = ρ ( Componente radial )

vθ = ρ θ ( Componente transversal )

Expresion de la aceleracion en polares:

~a = aρ ~uρ + aθ ~uθ

aρ = ρ− ρ θ2 ( Componente radial )

aθ = 2 ρ θ + ρ θ ( Componente transversal )

A identico resultado hubieramos llegado particularizando las expresiones de la cinematicaespacial en coordenadas esfericas para r = ρ y ϕ = π

2= kte.

Cinematica plana en coordenadas intrınsecas

En el movimiento del punto P en una trayectoria plana, el triedro intrınseco asociado alpunto evoluciona en tal forma que el plano osculador permanece constantemente coincidentecon el plano que contiene a la trayectoria plana, dado que una lınea plana tiene torsion cero.Por tanto el vector aceleracion:

~a = aτ ~τ + aη ~η

Estara contenido permanentemente en el propio plano de la trayectoria.Igualmente, el vector velocidad:

~v = v ~τ

Tangente a la trayectoria, siempre estara contenido en el plano de la misma.


4.2.6. Estudio particular de algunos movimientos

Movimiento rectilıneo

Un movimiento rectilıneo es aquel cuya trayectoria es una lınea recta. En la lınea rectael vector unitario ~τ tiene la misma direccion en todos los puntos de la misma. El modulo de~τ es tambien constante, por tanto:

d~τ

ds=

1

ρ~η = 0 =⇒ Curvatura = 0 =⇒ ρ = infinito

Por tanto en un movimiento rectilıneo, la aceleracion, caso de existir, carece de componentenormal, ya que al ser el radio de curvatura ρ igual a infinito:

aη =v2

ρ=

v2

∞ = 0

Con lo que la unica componente posible del vector aceleracion es la componente tangen-cial aτ . Por tanto, en los movimientos rectilıneos, caso de haber aceleracion, esta siempresera colineal con la velocidad.

Movimiento rectilıneo uniforme

Es aquel cuya trayectoria es una lınea recta, y cuya velocidad ~v es constante.

~v = v · ~τ =−→kte =⇒ v =kte.

v =ds

dt= kte. =⇒ ds = v · dt Integrando: s = s0 + v · t

La componente tangencial de la aceleracion ( La unica posible en un movimien-to rectilıneo ) es nula, ya que :

aτ =dv

dt= 0

Las leyes de este movimiento rectilıneo uniforme quedan graficamente expre-sadas en los siguientes diagramas ( Figura 4.7 ) :

t t t

v sτaa =

so

Figura 4.7: Diagramas del movimiento rectilıneo uniforme


Movimiento rectilıneo uniformemente variado

Es aquel cuya trayectoria es una lınea recta, y cuya aceleracion es constante.

~a = aτ ~τ =−→kte =⇒ aτ =kte

aτ =d2s

dt2=

dv

dt= kte =⇒ dv = aτ dt Integrando: v = v0 + aτ t

Y teniendo en cuenta que:

v =ds

dt=⇒ ds

dt= v0 + aτ t =⇒ ds = v0 dt + aτ t dt

E integrando de nuevo:

s = s0 + v0 t +1

2aτ t2

Las leyes de este movimiento rectilıneo uniformemente variado quedan grafi-camente expresadas en los siguientes diagramas ( Figura 4.8 ) :

t

τaa =

ov

t t

v s

so

Figura 4.8: Diagramas del movimiento rectilıneo uniformemente variado

Movimiento lineal armonico simple

Es un movimiento de trayectoria rectilınea en el que la coordenada curvilınea smedida a partir de un punto fijo de la propia trayectoria viene dada por la sigu-iente ley:

s = A sen(wt + ϕ)

En donde los siguientes valores constantes presentan este significado:

A : Amplitud o maximo valor de la coordenada curvilınea s.

w : Pulsacion. w = 2 π ν = 2 πT

; donde ν es la frecuencia, y T es el periodo.

ϕ : Angulo de desfase inicial.


En cuanto a la velocidad y la aceleracion:

v =ds

dt= A w cos(wt + ϕ)

aτ =d2s

dt2= −A w2 sen(wt + ϕ) = −w2 s

Las leyes de este movimiento lineal armonico simple se expresan graficamenteen los siguientes diagramas ( Figura 4.9 ) :

t

v

s

a = aτ

Figura 4.9: Diagramas del movimiento lineal armonico simple


Movimiento circular

Un punto esta animado de movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferen-cia plana.

Una circunferencia posee en todos sus puntos un radio de curvatura ρ = R = Kte.

La direccion normal principal ~η es en todos los puntos la direccion del radio de la circunfer-encia y esta dirigida hacia el centro de la misma.

Considerando una referencia polar cuyo origen sea el centro de la trayectoria circunferencial,y trabajando en valores escalares, denominamos velocidad angular de rotacion w a:

w =dθ

dt

En donde θ representa el angulo que un radio vector trazado desde el centro 0 hasta el puntomovil forma con una direccion dada fija.

Con este planteamiento, denominaremos aceleracion angular ξ a:

ξ =dw

dt=

d2θ

dt2

Por una relacion propia de la geometrıa circunferencial ( Figura 4.10 ) sabemos que:

s = θ R

Y derivando: v =ds

dt= w R y aτ =

d2s

dt2= ξ R

θo

s

τ�

η�

Figura 4.10: Movimiento circular


Movimiento circular uniforme

Se trata de un movimiento de trayectoria circular, en el cual w = kte.

w =dθ

dt= kte =⇒ dθ = w dt Integrando: θ = θ0 + w t

Relacionando el angulo barrido con la coordenada curvilınea recorrida:

s = θ R =⇒ s = θ0 R + w R t =⇒ s = s0 + w R t

Dado que la velocidad angular w es constante, la aceleracion angular ξ sera nula:

ξ =dw

dt= 0

En cuanto a la velocidad lineal del punto, su modulo sera constante:

v = w R = kte.

Siendo esta velocidad un vector con direccion tangente a la trayectoria en ca-da punto:

~v = w R ~τ

El cambio de direccion del vector velocidad da lugar a la existencia de acel-eracion, aunque como hemos visto, el modulo de la velocidad es constante. Lascomponentes intrınsecas de la aceleracion seran:

aτ =dv

dt= 0

aη =v2

ρ=

v2

R= w2 R = kte

Y el vector aceleracion sera:

~a =v2

R~η = w2 R ~η

En el movimiento circular uniforme el modulo de la velocidad es constante,no siendolo su direccion, la cual es en todo momento tangente a la trayectoriacircular descrita. Este cambio en la direccion del vector velocidad da lugar a laaparicion de una aceleracion cuya direccion esta dirigida hacia el centro de latrayectoria circular, y cuyo modulo es a su vez constante.

Las leyes de este movimiento circular uniforme se expresan graficamente enlos siguientes diagramas ( Figura 4.11 ):


t t

v s

t

τa

so

t

ηa

Figura 4.11: Diagramas del movimiento circular uniforme

Movimiento circular uniformemente variado

Se trata de un movimiento de trayectoria circular, en el cual ξ = kte.

ξ =dw

dt= kte =⇒ dw = ξ dt Integrando: w = w0 + ξ t

w =dθ

dt= w0 +ξ t =⇒ dθ = w0 dt+ξ t dt Integrando: θ = θ0 +w0 t+

1

2ξ t2

De donde:

s = θ R =⇒ s = θ0 R + w0 R t +1

2ξ R t2 =⇒ s = s0 + v0 t +

1

2aτ t2

En cuanto a la velocidad lineal del punto:

v = w R = w0 R + R ξ t = v0 + aτ t

Las componentes intrınsecas de la aceleracion son:

aτ = ξ R = kte

aη =v2

ρ=

v2

R=

w2 R2

R= w2 R ( Variable )

En resumen, en el movimiento circular uniformemente variado, el modulo delvector velocidad es creciente linealmente con el tiempo. Ya sabemos que la di-reccion de este vector es variable y en todo momento tangente a la trayectoriacircular.

En cuanto al vector aceleracion, su componente tangencial, es constante; y sucomponente normal dirigida hacia el centro de la trayectoria, es creciente enforma cuadratica en relacion al tiempo.

Las leyes de este movimiento se expresan en forma grafica en los siguientesdiagramas ( Figura 4.12 ):


t t t t

v s τa

so

ηa

voR.ξ

Figura 4.12: Diagramas del movimiento circular uniformemente variado


4.3. Cinematica de los sistemas indeformables

4.3.1. Concepto de sistema indeformable

Un sistema material continuo o discreto, diremos que es indeformable cuando la distanciarelativa entre los puntos del mismo no varıa, es decir, permanece constante con el transcursodel tiempo.

Siendo A y B dos puntos cualesquiera de este sistema material indeformable, se debera cumplirque:

d

dtnorma

−→AB = 0

El sistema material continuo e indeformable recibe el nombre de solido rıgido.

La posicion en el espacio tridimensional de un sistema indeformable queda perfectamentedeterminada al conocer la localizacion de tres puntos del mismo no alineados. Si A, B y Cson tres puntos del sistema que cumplen dicha condicion:

A (xA, yA, zA) B (xB, yB, zB) C (xC , yC , zC)

El conocimiento de la localizacion de estos tres puntos implicarıa el conocimiento de nueveparametros, es decir, las nueve coordenadas cartesianas de los mismos. Sin embargo, estosparametros no son independientes entre sı, ya que al ser sus distancias mutuas invariablespodrıamos expresar:

norma−→AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 = kte

norma−−→BC = (xC − xB)2 + (yC − yB)2 + (zC − zB)2 = kte

norma−→CA = (xA − xC)2 + (yA − yC)2 + (zA − zC)2 = kte

Lo cual supone la presencia de tres ecuaciones de condicion. Luego de los nueve parametrossolo seis son realmente independientes.

Por tanto, la posicion de un sistema indeformable en el espacio tridimensional viene definidapor el conocimiento de seis parametros lagrangeanos o coordenadas generalizadas.

Pensando en un espacio bidimensional, un sistema indeformable de tipo laminar, tiene suposicion determinada si se conoce la posicion de dos puntos A y B del mismo; es decir si seconocen cuatro coordenadas cartesianas:

A (xA, yA) B (xB, yB)


Pero de estos cuatro parametros solo tres son realmente independientes ya que al suponerindeformable el sistema, la distancia entre A y B es constante.

norma−→AB = (xB − xA)2 + (yB − yA)2 = kte

Por tanto, la posicion de un sistema indeformable en un espacio bidimensional viene definidapor el conocimiento de tres parametros lagrangeanos o coordenadas generalizadas.

4.3.2. Teorema de la proyeccion de las velocidades

Dados dos puntos A y B de un sistema indeformable, el cual se mueve en el espaciocon un movimiento cualquiera, las proyecciones de las velocidades de dichos puntos sobrela lınea AB que los une, en un instante dado, son las mismas.

B

A

0

Av� Bv

�

AABvProy�

BABvProy�

Figura 4.13: Teorema de la proyeccion de la velocidades

En efecto, dada la definicion de sistema indeformable, podremos expresar:

d

dtnorma

−→AB = 0 =⇒ d(

−→AB · −→AB)

dt= 0 =⇒ d

−→AB

2

dt= 0

2 · −→AB · d−→AB

dt= 0 =⇒ −→

AB · d−→AB

dt= 0

Considerando ahora un punto fijo 0, y trazando desde el los vectores de posicion−→0A y

−→0B

que determinan la localizacion de los puntos A y B del sistema indeformable, podremos de-cir:

−→0B =

−→0A +

−→AB


Y derivando esta expresion con respecto al tiempo:

d−→0B

dt=

d−→0A

dt+

d−→AB

dt=⇒ ~vB = ~vA +

d−→AB

dt

Proyectamos ahora esta expresion sobre la lınea AB, para lo cual bastara multiplicarla es-calarmente por el vector unitario en la direccion de

−→AB.

~uAB =

−→AB

|−→AB|=⇒ ~vB · ~uAB = ~vA · ~uAB +

−→AB

|−→AB|· d

−→AB

dt

El ultimo termino como hemos visto es nulo, luego por tanto:

Proy−→AB ~vB = Proy−→AB ~vA

Recordemos que esta propiedad tambien la cumplen los momentos resultantes de un sistemade vectores deslizantes, que ya estudiamos en el Capıtulo 1. 2

Como consecuencia del teorema de la proyeccion de las velocidades podemos plantear lasiguiente aplicacion practica:

Sea un solido rıgido indeformable que se mueve en un espacio bidimensional, y del cualen un instante dado conocemos la velocidad de dos puntos, siendo ~vA la velocidad del puntoA, y ~vB la velocidad del punto B. En estas condiciones podremos determinar la velocidad decualquier otro punto P del solido procediendo de la siguiente forma: ( Ver Figura 4.14 )

Unimos mediante una lınea los puntos A y P , y proyectamos sobre la misma la velocidadde A. Dicha proyeccion la trasladamos sobre la lınea AP al punto P . Trazamos una perpen-dicular a AP indefinida por el extremo de la proyeccion trasladada. Procedemos en formasemejante con los puntos B y P , es decir, trazamos la lınea BP y proyectamos sobre la mis-ma la velocidad del punto B, trasladamos sobre esta lınea la velocidad proyectada al puntoP , y por el extremo de la proyeccion trasladada trazamos otra perpendicular indefinida a BP .

2En efecto, la relacion que liga los momentos resultantes en dos puntos distintos del espacio A y B,generados por un sistema de vectores deslizantes es : ( Ver § 1.23.5 )

−→MA =

−−→AB ∧ −→R +

−→MB

Proyectando esta expresion sobre la linea AB, es decir multiplicandola escalarmente por el vector uni-tario en al direccion de AB:

~uAB =

−−→AB

|−−→AB|=⇒ −→

MA · ~uAB = (−−→AB ∧ −→R ) ·

−−→AB

|−−→AB|+−→MB · ~uAB

Y teniendo en cuenta que el producto mixto que aparece es nulo por presentar dos vectores colineales,nos queda:

Proy−→AB−→MA = Proy−→AB

−→MB


Av�

Bv�A

B

PPv

�

AAPproy v

�

AAPproy v

�

BBPproy v

�

BBPproy v

�

Figura 4.14: Aplicacion del teorema de la proyeccion de las velocidades

El punto de interseccion de ambas perpendiculares define el extremo del vector velocidadde P que tiene su origen en el propio punto P .

Teoricamente, pero sin operatividad practica, se podrıa plantear que para un solido rıgidoindeformable que se mueve en un espacio tridimensional, con el conocimiento de las ve-locidades de tres puntos del mismo A, B y C es posible determinar en un instante dado, lavelocidad de cualquier otro punto P de dicho solido. En este caso las desproyecciones sobrelas lıneas AP , BP y CP deben efectuarse mediante planos ortogonales a las mismas. Lainterseccion de estos tres planos definirıan el extremo del vector velocidad de P buscado.


4.3.3. Movimientos que puede presentar un sistema indeformable enun instante dado

1. Traslacion: Diremos que en un instante dado, un sistema indeformable esta en traslacionsi su campo de velocidades es uniforme. Es decir, todos los puntos del sistema eseinstante considerado tienen la misma velocidad. Recordemos que el concepto de ve-locidad es un vector que comporta modulo, direccion y sentido.

2. Rotacion: Diremos que en un instante dado un sistema indeformable esta en rotacioncuando las lıneas vectoriales del campo de velocidades del mismo, es decir, las cur-vas tangentes en el punto de aplicacion a los vectores velocidad que presentan igualmodulo, son circunferencias, cuyos centros estan todos en una recta denominada ejeinstantaneo de rotacion. Los modulos de las velocidades de los puntos son propor-cionales a la distancia R al eje de rotacion, segun la relacion: v = w ·R.

3. Helicoidal: Un sistema indeformable presenta en un instante dado un movimientohelicoidal si las lıneas del campo de velocidades son helices. El eje de estas helices sedenomina eje instantaneo de rotacion-deslizamiento.

4.3.4. Vector velocidad angular. Velocidad de un punto de un sistemaindeformable sometido a rotacion

Para un sistema indeformable sometido a un movimiento de rotacion, definimos el vectorvelocidad angular de rotacion ~w como un vector deslizante cuya lınea de accion es el ejeinstantaneo de rotacion y caracterizado por:

Modulo: w =dθ

dt( Angulo girado por unidad de tiempo, en rad/s )

Direccion: La del eje de rotacion.

Sentido: Tal que la terna de vectores (~r, ~r + d~r, ~w) conforme un triedro directo. Locual se ajusta a la conocida regla nemotecnica de la “ley del sacacorchos”. Es decir,el sentido del vector ~w coincide con el del avance de un sacacorchos que gira como elsolido en movimiento. ( Ver Figura 4.15 )

rdr��

+

ω�

r�

θd

Figura 4.15: Direccion y sentido del vector ~w


La relacion que liga la velocidad de un punto P perteneciente a un sistema solido inde-formable en rotacion en torno a un eje fijo, con la velocidad angular de dicho sistema es:

~vP = ~w ∧ ~r = ~w ∧ −→0P

Donde ~r es el vector de posicion que localiza al punto P a partir de un punto cualquiera0 situado en el eje de rotacion. ( Ver Figura 4.16 )

ω�

r�

o

v�

Figura 4.16: Velocidad lıneal del punto P

Observemos el paralelismo que existe entre esta expresion, y aquella con la que definimos elmomento de un vector deslizante

−→F con respecto de un punto . ( Ver Figura 4.17 )

−→MP =

−→P0 ∧ −→F =

−→F ∧ −→0P

F�

O

P

Figura 4.17: Momento de un vector deslizante con respecto a un punto P

Es decir, podrıamos considerar la velocidad ~vP de un punto P perteneciente a un solido rıgi-do en rotacion como el momento con respecto a P del vector deslizante velocidad angularde rotacion ~w .

Evidentemente, como ya se demostro para los momentos, el resultado de ~v es independi-ente de cual sea el punto 0 en el que consideramos aplicado ~w siempre que sea de su lınea deaccion.


4.3.5. Vector aceleracion angular. Aceleracion de un punto de un sis-tema indeformable sometido a rotacion

Definimos el vector aceleracion angular ~ξ, como:

~ξ =d~w

dt= ~w

Como hemos visto en el apartado anterior, la velocidad de un punto P perteneciente a unsolido indeformable que rota alrededor de un eje fijo es: ~vP = ~w ∧ ~r, por tanto:

~aP =d~vP

dt= ~w ∧ ~r + ~w ∧ ~r = ~ξ ∧ ~r + ~w ∧ ~vP = ~ξ ∧ ~r + ~w ∧ (~w ∧ ~r)

En esta expresion, el primer sumando [~ξ ∧ ~r] representa la aceleracion tangencial, y es unvector que tiene la direccion de la tangente a la trayectoria descrita por el punto P .

El segundo sumando [~w ∧ (~w ∧ ~r)] representa la componente normal de la aceleracion.

Descomponiendo este doble producto vectorial mediante la ya conocida relacion de La-grange:

~w ∧ (~w ∧ ~r) = (~w · ~r) · ~w − (~w · ~w) · ~r = (~w · ~r) · ~w − w2 · ~r

Tomando como origen del vector de posicion ~r el punto del eje que es la interseccion con elmismo de un plano que pase por P y sea ortogonal a dicho eje, se verificara entonces que~w · ~r = 0 al ser los vectores ~w y ~r perpendiculares entre sı.

Nos quedara entonces como expresion para el vector aceleracion de un punto P pertenecientea un solido indeformable que gira alrededor de un eje fijo:

~aP = ~ξ ∧ ~r − w2 · ~r

Lo que nos define las dos componentes de la aceleracion de este punto en su trayectoriacircunferencial, la tangencial y la normal.

4.3.6. Campo instantaneo de velocidades en el movimiento general deun sistema indeformable

La velocidad de cada punto del sistema indeformable es un vector que en general depen-dera de la posicion y del instante del tiempo considerados:

~v = ~v (~r, t)


Para un instante dado, la velocidad de los puntos del sistema, sera funcion solo de su posi-cion:

~v = ~v (~r)

Consideremos un sistema referencial fijo (01,~i1,~j1, ~k1). Ası mismo, y solidaria en su movimien-to con el sistema indeformable movil consideremos una segunda referencia (0,~i,~j,~k). VerFigura 4.18.

Un punto P del sistema material, quedara situado con respecto a la referencia movil me-diante el vector de posicion ~r :

~r = x~i + y ~j + z ~k Donde; ~r =−→0P

Llamando ~r0 =−→010 y ~r1 =

−−→01P ; En todo instante se verificara que:

~r1 = ~r0 + ~r

P

1O

Z1

Y1

X1

Z

Y

X

1k�

1j�

1i�

O

i�

j�

k�

1r�

or�

r�

Figura 4.18: Referencia fija y referencia movil ligada al solido indeformable

Para determinar la velocidad del punto P en la referencia fija, bastara calcular:

~vP =d~r1

dt=

d~r0

dt+

d~r

dt(4.1)

El vector de posicion ~r0 tiene su origen en la referencia fija, por tanto su derivada sera:


d~r0

dt= ~v0

El vector ~r tiene su origen en la referencia movil (0,~i,~j,~k). Como esta referencia se muevesolidariamente con el sistema material, las coordenadas del punto P (x, y, z) permanecenconstantes, y podremos expresar:

d~r

dt= x

d~i

dt+ y

d~j

dt+ z

d~k

dt(4.2)

Recordemos que la derivada de un vector de modulo constante, como es el caso de los vec-tores ~i, ~j y ~k, es un vector ortogonal al vector derivado. Luego el vector d~i

dtpodra ser ex-

presado como el producto vectorial de un vector desconocido ~p de componentes p1, p2 y p3

por el propio vector ~i. Podemos efectuar el mismo planteamiento para los vectores d~jdt

y d~kdt

considerando ahora los vectores desconocidos ~q y ~s :

d~i

dt= (p1

~i + p2~j + p3

~k) ∧~i = p3~j − p2

~k

d~j

dt= (q1

~i + q2~j + q3

~k) ∧~j = q1~k − q3

~i

d~k

dt= (s1

~i + s2~j + s3

~k) ∧ ~k = s2~i− s1

~j

Con lo que los valores de los escalares p1, q2 y s3 pueden ser arbitrarios.

Sabemos que los vectores~i, ~j y ~k por ser ortogonales entre sı cumplen:

~i ·~j = 0

~j · ~k = 0

~k ·~i = 0

Y derivando con respecto del tiempo:

d~i

dt~j +~i

d~j

dt= 0

d~j

dt~k +~j

d~k

dt= 0

d~k

dt~i + ~k

d~i

dt= 0

Eliminando entre las nueve ultimas ecuaciones planteadas los versores~i,~j y ~k y sus derivadasobtendremos:


p3 = q3

q1 = s1

s2 = p2

Y teniendo en cuenta que p1, q2 y s3 son arbitrarios, podrıamos decir:

p1 = q1 = s1

p2 = q2 = s2

p3 = q3 = s3

Con lo que los tres vectores ~p, ~q y ~s planteados a priori, coinciden en un vector unico, quedenominaremos ~w. Las tres ecuaciones que expresan la derivacion de los vectores unitariosadoptaran entonces la forma:

d~i

dt= ~w ∧~i

d~j

dt= ~w ∧~j

d~k

dt= ~w ∧ ~k

Sustituyendo estas expresiones en (4.2) :

d~r

dt= x (~w ∧~i) + y (~w ∧~j) + z (~w ∧ ~k) = ~w ∧ (x~i + y ~j + z ~k) = ~w ∧ ~r (4.3)

Y sustituyendo finalmente en (4.1) :

~vP = ~v0 + ~w ∧ ~r (4.4)

Expresion que nos determina la velocidad de un punto generico P perteneciente a un sistemaindeformable que se encuentra en movimiento.

Anotemos las siguientes consideraciones:

1. La velocidad de un punto P del sistema indeformable consta de dos sumandos. Elprimero es la velocidad de un punto 0 perteneciente al propio sistema, y nos determinala traslacion del mismo.

2. El segundo sumando ~w ∧ ~r, es el momento del vetor ~w aplicado en 0 con respecto delpunto P . Indica la existencia de una rotacion. Es de hacer notar que en la generaciondel vector ~w no ha intervenido el punto P considerado.


En resumen concluiremos diciendo: El movimiento mas general de un sistema indeformablese puede considerar como la suma de una traslacion de velocidad igual a la de uno de lospuntos 0 del sistema elegido arbitrariamente como origen de la referencia movil ligada alsistema, mas una rotacion en torno a un eje que pasa por dicho punto 0.

El conjunto formado por los dos vectores (~v0, ~w) se denomina grupo cinematico del movimien-to del sistema indeformable en el punto 0.

4.3.7. Invariantes cinematicos

El vector velocidad angular ~w no depende del punto 0 del solido indeformable consider-ado.

Pensemos en un sistema indeformable en movimiento, y en el dos puntos, 0′ y 0′′. Supon-dremos que para el punto 0′ el grupo cinematico es (~v0′ , ~w0′), y para el punto 0′′ el grupocinematico es (~v0′′ , ~w0′′). Ver Figura 4.19.

P

ov ′

�

o′ω�

r ′′�

r ′�

or�

o ′′ω�

ov ′′

�

O′O ′′

Figura 4.19: Sistema indeformable con dos puntos de referencia 0′ y 0′′

Tomando como base el punto 0′, la velocidad de un punto cualquiera P del sistema sera:

~vP = ~v0′ + ~w0′ ∧ ~r ′

Tomando como base ahora el punto 0′′, la velocidad del mismo punto P se expresara:

~vP = ~v0′′ + ~w0′′ ∧ ~r ′′

Como la velocidad del punto P en un instante dado sera unica:


~v0′ + ~w0′ ∧ ~r ′ = ~v0′′ + ~w0′′ ∧ ~r ′′

Expresando la velocidad de 0′′ en funcion de 0′ :

~v0′ + ~w0′ ∧ ~r ′ = ~v0′ + ~w0′ ∧ ~r0 + ~w0′′ ∧ ~r ′′

Y teniendo en cuenta que ~r0 = ~r ′ − ~r ′′ :

~v0′ + ~w0′ ∧ ~r ′ = ~v0′ + ~w0′ ∧ (~r ′ − ~r ′′) + ~w0′′ ∧ ~r ′′

Operando:

~w0′ ∧ ~r ′ = ~w0′ ∧ ~r ′ − ~w0′ ∧ ~r ′′ + ~w0′′ ∧ ~r ′′

Y de aquı:

~0 = (~w0′′ − ~w0′) ∧ ~r ′′

Para que este producto vectorial sea cero, alguno de los vectores que intervienen en el debeser nulo, o bien, deben ser paralelos. El vector ~r ′′ puede tomar cualquier valor o direccionpor tratarse del vector de posicion de un punto generico, por tanto, la unica posibilidad esque:

~w0′′ − ~w0′ = ~0 ⇒ ~w0′′ = ~w0′

Por lo tanto, el vector velocidad angular de rotacion ~w adopta un valor unico en cualquierpunto del solido indeformable en un instante dado. Diremos que es un invariante.

Tomamos ahora la ecuacion que relaciona la velocidad del punto 0′′ con la del punto 0′:

~v0′′ = ~v0′ + ~w ∧ ~r0

Y la multiplicamos escalarmente por ~w en sus dos terminos:

~v0′′ · ~w = ~v0′ · ~w + (~w ∧ ~r0) · ~w

El producto mixto que aparece en el segundo termino es nulo por tener dos vectores iguales.Por tanto:

~v0′′ · ~w = ~v0′ · ~w

Lo que se podrıa enunciar de la siguiente forma: El producto escalar de los vectores veloci-dad y velocidad angular de rotacion que constituyen el grupo cinematico, es un invariante encualquier punto de un sistema indeformable en un instante dado.


La ultima ecuacion, atendiendo a la definicion del producto escalar, podrıa expresarse co-mo:

|~w| · Proy~w ~v0′′ = |~w| · Proy~w ~v0′

Proy~w ~v0′′ = Proy~w ~v0′ = vd

Lo que enunciaremos como: La proyeccion del vector velocidad ~v de cualquier punto delsistema indeformable, sobre el vector velocidad angular ~w es un invariante, que denominare-mos vd o velocidad de deslizamiento.

En resumen, en el campo instantaneo de velocidades de un sistema indeformable, se pre-sentan con referencia a los grupos cinematicos los siguientes invariantes:

1. El vector velocidad angular ~w

2. El producto escalar (~v · ~w)

3. La proyeccion del vector velocidad ~v sobre la direccion de ~w : Proy ~w ~v = vd

4.3.8. Semejanza entre el campo de velocidades y el campo de los mo-mentos de un sistema de vectores deslizantes

Recordando los sistemas de vectores deslizantes, la relacion que liga los momentos re-sultantes en dos puntos distintos del espacio es:

−→MA =

−→MB +

−→AB ∧ −→R =

−→MB +

−→R ∧ −→BA

En nuestro estudio del campo instantaneo de velocidades de un sistema indeformable enmovimiento, hemos obtenido:

~vA = ~vB + ~w ∧ ~r = ~vB + ~w ∧ −→BA

Fijemonos por otra parte en los invariantes:


Sistema de vectores deslizantes Campo instantaneo de velocidades

~R ( Resultante ) ~w ( Velocidad angular )

−→M · −→R ~v · ~w

Proy−→R−→M = m Proy~w ~v = vd

En resumen, se podra suponer que el campo instantaneo de las velocidades de un solido inde-formable en movimiento, es el campo de los momentos de un sistema de vectores deslizantes( rotaciones ) que actuan sobre el. La resultante de todas estas rotaciones es ~w , que es unvector invariante.

Tambien aquı existira un eje central, que en este caso denominaremos eje instantaneo derotacion-deslizamiento.

Tambien aquı sera posible efectuar una clasificacion en funcion de los invariantes.

El conjunto de las velocidades, al igual que el de los momentos, presentara tambien en sudisposicion geometrica la ya conocida simetrıa cilındrica en torno en este caso, al eje in-stantaneo de rotacion-deslizamiento. Ver Figura 4.20.

π

ntodeslizamierotaciondeoinstantaneEje −

Figura 4.20: Distribucion de las velocidades en torno al eje instantaneo de rotacion-deslizamiento

4.3.9. Clasificacion de los movimientos del sistema indeformable en fun-cion de los invariantes cinematicos

1. ~w 6= ~0 ; vd 6= 0


Movimiento helicoidal instantaneo. Es el caso mas general. En los puntos del eje in-stantaneo de rotacion-deslizamiento, el vector velocidad angular ~w y el vector veloci-dad ~v, que coincide en este caso con la velocidad de deslizamiento, son colineales.

2. ~w 6= ~0 ; vd = 0

Movimiento de rotacion instantanea. En este caso las velocidades de los puntos del sis-tema indeformable resultan ser ortogonales a ~w. El movimiento podra ser consideradocomo generado por un conjunto de rotaciones concurrentes, coplanarias o paralelasque actuan sobre el sistema. Los puntos del eje instantaneo de rotacion en este caso,presentan velocidad nula. La distribucion de las velocidades de los puntos del sistemaesta expresada en la Figura 4.21.

π

rotaciondeoinstantaneEje

ω�

Figura 4.21: Distribucion de las velocidades en la rotacion instantanea. (~w 6= ~0 y vd = 0)

3. ~w = ~0 ; vd 6= 0

Movimiento de traslacion instantanea. Al faltar el elemento rotacion, solo queda latraslacion. El campo de velocidades es uniforme.

Este movimiento puede considerarse generado por un par de rotaciones, es decir, dosrotaciones iguales y de sentidos opuestos.

En efecto:

Consideremos las rotaciones opuestas ~w y −~w. Ver Figura 4.22.

La velocidad de un punto P de este sistema material sera:

~vP = ~w ∧ ~r1 + (−~w ∧ ~r2) = ~w ∧ ~r1 − ~w ∧ ~r2 = ~w ∧ (~r1 − ~r2) = ~w ∧ ~r0

Con lo que la velocidad del punto P , ~vP , es independiente de su posicion, por tan-to todos los puntos del sistema indeformable tienen la misma velocidad, es decir, el


2r�

or�

ω�

B

A

ω�

−

1r�

P

Figura 4.22: Par de rotaciones aplicado a un sistema material indeformable

campo de velocidades es uniforme. Esto es lo que ha sido definido como movimientode traslacion.

4. ~w = ~0 ; vd = 0

Se trata del movimiento nulo, o situacion de inmovilidad.

4.3.10. Reduccion a un punto del movimiento de un sistema indeformable

Sea un sistema indeformable sometido a un conjunto de n rotaciones ~w1, ~w2, . . . , ~wn.Recordemos que si existe alguna traslacion, esta se puede considerar compuesta por un parde rotaciones.

La velocidad de un punto cualquiera P del sistema material sera:

~vP = ~w1 ∧ −−→01P + ~w2 ∧ −−→02P + · · ·+ ~wi ∧ −→0iP + · · ·+ ~wn ∧ −−→0nP =i=n∑

i=1

~wi ∧ −→0iP

En donde 0i representa a un punto de aplicacion del vector deslizante ~wi en su recta deaccion.

La resultante de todas las rotaciones sera:

~w = ~w1 + ~w2 + · · ·+ ~wi + · · ·+ ~wn =i=n∑

i=1

~wi

Por tanto, en un punto P el movimiento del solido indeformable queda reducido por losdos terminos del grupo cinematico, que son:

Una traslacion ~vP . Esta velocidad es propia de cada punto del sistema considerado.

Una rotacion resultante ~w. Esta rotacion es invariante para todos los puntos del sistema.

4.3.11. Eje instantaneo de rotacion-deslizamiento

Definimos el eje instantaneo de rotacion-deslizamiento como el lugar geometrico de lospuntos del sistema en que para los cuales, y en un instante dado, el vector velocidad y elvector rotacion son colineales. Dada la invarianza de la proyeccion del vector velocidad ~v


sobre la rotacion ~w, tambien podrıamos decir que los puntos del eje instantaneo de rotaciondeslizamiento poseen la velocidad de mınimo deslizamiento ~vd.

Determinaremos la ecuacion analıtica de este eje central referida a estos dos sistemas ref-erenciales: ( Ver Figura 4.23 )

1. Sistema referencial fijo (01,~i1,~j1, ~k1).

2. Sistema referencial movil y ligado al movimiento del sistema material (0,~i,~j,~k).

1O

Z1

Y1

X1

Z

Y

X

1k�

1j�

1i�

O

i�

j�

k�

Figura 4.23: Sistema referencial fijo y sistema referencial movil

En el sistema referencial fijo

En la referencia fija las coordenadas de P y 0 seran:

P (x1, y1, z1) 0(x01, y01

, z01)

Y las velocidades de dichos puntos se obtendran mediante la derivacion:

~vP = ~v1 = (vx1, vy1

, vz1) = (x1, y1, z1)

~v01= (v0x1

, v0y1, v0z1

) = (x01, y01

, z01)

La rotacion ~w la expresamos en el sistema fijo como:

~w1 = (wx1, wy1

, wz1)


La velocidad de un punto P del sistema material ~vP = ~v0 + ~w ∧ −→0P , se expresara analıtica-mente en el sistema referencial fijo como:

vx1

vy1

vz1

=

v0x1

v0y1

v0z1

+

∣∣∣∣∣∣∣

~i1 ~j1~k1

wx1wy1

wz1

x1 − x01y1 − y01

z1 − z01

∣∣∣∣∣∣∣

Es decir:

vx1= v0x1

+

∣∣∣∣∣wy1

wz1

y1 − y01z1 − z01

∣∣∣∣∣

vy1= v0y1

+

∣∣∣∣∣wz1

wx1

z1 − z01x1 − x01

∣∣∣∣∣

vz1= v0z1

+

∣∣∣∣∣wx1

wy1

x1 − x01y1 − y01

∣∣∣∣∣

Expresando ahora la caracterıstica propia de los puntos del eje instantaneo de rotacion-deslizamiento, es decir, la colinealidad en los mismos entre la velocidad ~v1 y la rotacion~w1:

vx1

wx1

=vy1

wy1

=vz1

wz1

Esto es:

v0x1+

∣∣∣∣∣wy1

wz1

y1 − y01z1 − z01

∣∣∣∣∣wx1

=

v0y1+

∣∣∣∣∣wz1

wx1

z1 − z01x1 − x01

∣∣∣∣∣wy1

=

v0z1+

∣∣∣∣∣wx1

wy1

x1 − x01y1 − y01

∣∣∣∣∣wz1

Que es la ecuacion del eje instantaneo de rotacion-deslizamiento expresada en la referenciafija (01,~i1,~j1, ~k1).

En el sistema referencial movil

En el triedro referencial movil y ligado al sistema material en movimiento tanto las coor-denadas de P , como las de 0 son constantes, y por tanto en esta referencia ~vP = ~0 y ~v0 = ~0.

Sin embargo, lo que nosotros vamos a expresar son las velocidades de estos puntos P y0 con respecto a la referencia fija, pero con sus componentes en la referencia movil. Esto lo


haremos mediante una matriz de transformacion {G} que realiza el paso de vectores de unsistema referencial a otro:

~v = {G} ~v1 ~v0 = {G} ~v01

En donde:

~v = (vx, vy, vz) ~v0 = (v0x, v0y, v0z)

Siendo las componentes del vector rotacion ~w en el sistema referencial movil (wx, wy, wz),y expresando ~vP = ~v0 + ~w ∧ −→0P en este sistema referencial movil:

vx

vy

vz

=

v0x

v0y

v0z

+

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~kwx wy wz

x y z

∣∣∣∣∣∣∣

Es decir:

vx = v0x +

∣∣∣∣∣wy wz

y z

∣∣∣∣∣

vy = v0y +

∣∣∣∣∣wz wx

z x

∣∣∣∣∣

vz = v0z +

∣∣∣∣∣wx wy

x y

∣∣∣∣∣

Y expresando el paralelismo entre los vectores ~v y ~w propio de los puntos del eje central:

vx

wx=

vy

wy=

vz

wz

Esto es:

v0x +

∣∣∣∣∣wy wz

y z

∣∣∣∣∣wx

=

v0y +

∣∣∣∣∣wz wx

z x

∣∣∣∣∣wy

=

v0z +

∣∣∣∣∣wx wy

x y

∣∣∣∣∣wz

Que es la ecuacion del eje instantaneo de rotacion-deslizamiento expresada en la referenciamovil (0,~i,~j,~k).


4.3.12. Axoides

Lo visto hasta ahora hace referencia a un analisis del movimiento del solido indeformableen un instante dado. Veamos lo que ocurre a lo largo del transcurso del tiempo.

El eje instantaneo de rotacion-deslizamiento ira cambiando su posicion con el paso del tiem-po, y podremos suponer que en esa evolucion va generando una superficie reglada, que de-nominaremos axoide.

Si la evolucion del eje instantaneo de rotacion-deslizamiento se observa desde la referenciafija, el axoide generado sera el denominado axoide fijo. Si la evolucion del eje se consideravista desde la referencia movil ligada al movimiento del solido indeformable, el axoide gen-erado sera el axoide movil.

En un momento dado, el eje instantaneo de rotacion-deslizamiento es unico, por tanto en eseinstante ambos axoides coinciden en una recta comun que es el eje instantaneo de rotacion-deslizamiento en ese instante.

A lo largo del transcurso del tiempo podremos considerar que el axoide movil rueda so-bre el fijo alrededor de su recta comun ( El eje instantaneo de rotacion-deslizamiento ) conuna velocidad angular ~w, y ademas desliza en la direccion del eje con la velocidad de mıni-mo deslizamiento ~vd. En esta teorica composicion, el axoide movil arrastra al solido inde-formable reproduciendo su movimiento real.

La obtencion analıtica de las ecuaciones de los axoides se harıa expresando las ecuacionesanalıticas del eje instantaneo de rotacion-deslizamiento en funcion del tiempo. Eliminandoel parametro tiempo en la expresion de la referencia fija, obtendrıamos el axoide fijo, y elim-inando el parametro tiempo en la ecuacion del eje en la referencia movil, obtendrıamos elaxoide movil.

La forma geometrica de los axoides puede ser muy variada, pero en todo caso siempre setratara de superficies regladas. Ver Figura 4.24.

4.3.13. Aceleracion de un punto de un sistema indeformable con movimien-to general

Retomamos ahora la expresion de la velocidad de un punto P perteneciente a un solidoindeformable (4.4) que aparece en la pagina 126:

~vP = ~v0 + ~w ∧ ~r

Para obtener la aceleracion del punto P bastara con efectuar la derivacion de dicha expresion:


FijoAxoide

MovilAxoidentodeslizamierotaciondeoinstantaneEje −

Figura 4.24: Axoide fijo y axoide movil

~aP =d~vP

dt=

d~v0

dt+

d~w

dt∧ ~r + ~w ∧ d~r

dt

Teniendo en cuenta que:

d~v0

dt= ~a0

d~w

dt= ~ξ

Y que como vimos en (4.3), tambien en la pagina 126:

d~r

dt= ~w ∧ ~r

Con lo que nos queda:

~aP = ~a0 + ~ξ ∧ ~r + ~w ∧ (~w ∧ ~r)

Observamos que en esta expresion aparece ~ξ ∧ ~r + ~w ∧ (~w ∧ ~r), que se corresponde exacta-mente con el vector aceleracion de un punto de un sistema indeformable que rota alrededorde un eje fijo, tal y como vimos en el apartado 4.3.5. Por tanto podrıamos decir:

La aceleracion de un punto P perteneciente a un solido indeformable que se mueve conmovimiento general en un instante dado, es igual a la aceleracion de otro punto 0 pertenecientea ese sistema material, mas la aceleracion de ese punto P en su rotacion alrededor de un ejeque pasa por 0.

Y desarrollando el doble producto vectorial nos queda:

~aP = ~a0 + ~ξ ∧ ~r + (~w · ~r) · ~w − w2 · ~r

Que es la expresion general de la aceleracion del punto P en funcion de los vectores delgrupo cinematico en 0 y de sus derivadas con respecto del tiempo.


4.3.14. Movimiento relativo entre dos sistemas indeformables en con-tacto. Deslizamiento, rodadura y pivotamiento.

Sean dos sistemas indeformables S1 y S2 que se mueven estando permanentemente encontacto. En un instante dado el punto de contacto es 0.

Dada la tangencia entre los dos sistemas, el punto 0 geometricamente es unico, pero den-tro de el, podrıamos distinguir mecanicamente dos puntos diferenciados, el 01 pertenecienteal sistema S1, y el 02, perteneciente al sistema S2. El movimiento del sistema S1 podrıa serdefinido mediante el grupo cinematico en 01, (~v01, ~w1), y el movimiento del sistema S2, me-diante el grupo cinematico en 02, (~v02, ~w2).

Definimos el plano π tangente comun a ambos sistemas en el punto 0, y la direccion ~η per-pendicular al plano π en el punto 0 como plano del contacto y direccion normal al contactoen 0 respectivamente.

Como nuestro interes esta en el movimiento relativo entre ambos sistemas, podremos fi-jar uno de ellos, por ejemplo el S1, aplicando en 01 su grupo cinematico con signo contrario.El movimiento relativo del sistema S2 con respecto al sistema S1 vendra entonces expresadoal agregar igualmente al sistema S2 el par cinematico del sistema S1 en 01 con el signo cam-biado. Nos quedara entonces:

~vrel = ~v02− ~v01

~wrel = ~w2 − ~w1

Observando la Figura 4.25, haremos las siguientes consideraciones:

Si el contacto entre ambos sistemas es permanente, es decir, se mantiene a lo largo deltiempo, el vector velocidad relativa ~vrel, en el punto 0 sera un vector que esta contenidoen el plano de contacto tangente comun a ambos sistemas π.

La existencia de una velocidad relativa ~vrel nos expresa el deslizamiento entre los pun-tos 02 y 01 de ambos sistemas materiales en contacto. Si el contacto entre ambos sis-temas materiales es sin deslizamiento, en ese caso ~vrel = ~0, y por tanto : ~v01

= ~v02

En cuanto a la velocidad angular de rotacion relativa ~wrel entre ambos sistemas, lapodremos descomponer en dos sumandos vectoriales, uno en la direccion normal alcontacto ~η , que denominaremos componente de pivotamiento ~wp , y otro contenidoen el plano π de contacto, que denominaremos componente de rodadura ~wr. Evidente-mente se verificara que ~wrel = ~wp + ~wr


π

S2

S1

rω�

pω�

relv�

relω�

η�

02

01

Figura 4.25: Velocidades relativas entre los sistemas S2 y S1

Si el vector velocidad angular relativa ~wrel se encuentra alineado con la direccion ~η,la componente de rodadura serıa nula, y en este caso hablarıamos de un pivotamientopuro. Por contra, si la velocidad angular relativa se encuentra contenida en el plano decontacto π, la componente de pivotamiento serıa nula, y entonces estarıamos frente auna rodadura pura.

En principio, las aceleraciones de los puntos en contacto 01 y 02 pertenecientes a los dossistemas materiales en contacto son distintas.

Pero si el contacto es sin deslizamiento podremos afirmar que las proyecciones de las acel-eraciones de ambos puntos sobre el plano π de contacto coinciden. Este hecho se encuentrareflejado en la Figura 4.26. Esto es:

~a01(En la componente tangencial al contacto) = ~a02

(En la componente tangencial al con-tacto)


π

S2

S1

η�

2oa�

1oa�

ττ21 oo aa

��

=02

01

Figura 4.26: Aceleraciones en el contacto sin deslizamiento


4.4. Cinematica del movimiento relativo

4.4.1. Sistemas de referencia moviles

En el estudio de la cinematica visto hasta ahora se supone la existencia de un sistemareferencial fijo.

En la realidad practica, la obtencion de un sistema referencial de estas caracterısticas essumamente compleja. No valdrıa, por ejemplo, un sistema referencial ligado a la Tierra,pues sabemos que esta presenta movimiento con respecto del Sol. Tampoco serıa fija unareferencia ligada al Sol, pues este se mueve en la Galaxia.

En resumen, no se dispone de un sistema referencial realmente fijo, al cual referir los movimien-tos. La mejor precision se puede obtener empleando ejes ligados a estrellas fijas. ( Son estrel-las de nuestra Galaxia que se mueven con una lentitud aparente tal que se requieren grandesperiodos de tiempo para apreciar cambios aparentes en su posicion vistas desde la tierra ).

El problema que se va a considerar aquı esta en la relacion existente entre la posicion deun punto y las componentes de los vectores velocidad y aceleracion, referidas a un sistemareferencial considerado aquı arbitrariamente como fijo, y las referidas a otro sistema refer-encial movil con respecto del considerado fijo.

4.4.2. Derivacion de los vectores unitarios de los ejes moviles

Consideremos el sistema referencial fijo (01,~i1,~j1, ~k1), y el sistema referencial movil(0,~i,~j,~k) que se mueve con una velocidad angular ~w respecto del primero. Ver la Figura4.27.

1O

Z1

Y1

X1

Z

Y

X

1k�

1j�

1i�

O

i�

j�

k�

ω�

Figura 4.27: Sistema referencial fijo y sistema referencial movil

Se trata de determinar la variacion de los vectores unitarios ~i, ~j y ~k con el tiempo. Por


supuesto, ya sabemos que su modulo no variara, pues al ser unitarios, sera constantemente launidad. Sin embargo, si habra una variacion al existir cambio en la orientacion de los mismos.

Como ya determinamos en el estudio del campo de velocidades de un sistema indeformableen la pagina 126:

d~i

dt= ~w ∧~i ;

d~j

dt= ~w ∧~j ;

d~k

dt= ~w ∧ ~k

Para obtener las derivadas segundas, bastara derivar las expresiones anteriores:

~i =d(~w ∧~i)

dt= ~w ∧~i + ~w ∧ d~i

dt= ~w ∧~i + ~w ∧ (~w ∧~i)

Y analogamente:

~j = ~w ∧~j + ~w ∧ (~w ∧~j)

~k = ~w ∧ ~k + ~w ∧ (~w ∧ ~k)

4.4.3. Derivada de un vector en ejes moviles

Sea el vector ~r, funcion del tiempo, que expresado en sus componentes referidas a losejes moviles sera:

~r = rx~i + ry

~j + rz~k

Derivamos este vector con respecto del tiempo, teniendo en cuenta que sus componentesrx, ry y rz son variables con el tiempo, y que los versores ~i, ~j y ~k tambien varıan con eltiempo:

d~r

dt= rx

~i + ry~j + rz

~k + rxd~i

dt+ ry

d~j

dt+ rz

d~k

dt

Los tres primeros terminos del segundo miembro no representan otra cosa que la deriva-da del vector ~r suponiendo que los vectores ~i, ~j y ~k son fijos, y los denominamos derivadarelativa a los ejes moviles:(

d~r

dt

)

rel

= rx~i + ry

~j + rz~k

Para los otros tres terminos hacemos:

rxd~i

dt+ry

d~j

dt+rz

d~k

dt= rx ·(~w∧~i)+ry ·(~w∧~j)+rz ·(~w∧~k) = ~w∧(rx

~i+ry~j+rz

~k) = ~w∧~r


Por tanto nos quedara:

d~r

dt=

(d~r

dt

)

rel

+ ~w ∧ ~r (4.5)

Que nos da la expresion general de la derivada de un vector cuyas componentes estan referi-das a unos ejes moviles.

Si se tratase de derivar precisamente el vector ~w , el ultimo termino resulta ser nulo, porser ~w ∧ ~w = ~0.

d~w

dt=

(d~w

dt

)

rel

1O

Z1

Y1

X1

Z

Y

X

1k�

1j�

1i�

O

i�

j�

k�

ω�

r�

Figura 4.28: Vector en ejes moviles

4.4.4. Velocidad en ejes moviles

Sea un punto movil P cuyo vector de posicion−→0P = ~r se refiere a la referencia movil

(0,~i,~j,~k).

~r = rx~i + ry

~j + rz~k

Pero la posicion del punto P tambien podra referirse a la referencia fija (01,~i1,~j1, ~k1) medi-ante el vector de posicion

−−→01P = ~r1 .

Observando la Figura 4.29. podemos establecer la siguiente relacion vectorial:

−−→01P =

−→010 +

−→0P Esto es: ~r1 = ~r0 + ~r


1O

Z1

Y1

X1

Z

Y

X

1k�

1j�

1i�

O

i�

j�

k�

ω�

r�

1r�

or�

P

Figura 4.29: Punto movil P en la referencia fija y en la referencia movil

Derivando esta expresion con respecto del tiempo:

d~r1

dt=

d~r0

dt+

d~r

dt

En donde podremos hacer las siguientes consideraciones:

El vector d~r1

dtes la velocidad absoluta ~v1 del punto P , es decir, referida a la referencia

fija.

Analogamente, el vector d~r0

dtexpresa la velocidad absoluta ~v0 del punto 0, origen del

sistema referencial movil.

En cuanto a d~rdt

, dado que se trata de la derivada de un vector expresado en una ref-erencia movil, podremos utilizar la expresion (4.5) obtenida en el apartado anterior:d~rdt

= (d~rdt

)rel + ~w ∧ ~r = ~vrel + ~w ∧ ~r

Por tanto, nos quedara:

~v1 = ~v0 + ~vrel + ~w ∧ ~r (4.6)

Si ahora consideramos que el punto P y los ejes moviles son solidarios, entonces ~vrel = ~0, yla velocidad absoluta del punto P serıa la que tendrıa unicamente en funcion del movimientode la referencia movil. A esta velocidad la denominaremos velocidad de arrastre ~vs:

~vs = ~v0 + ~w ∧ ~r

Sustituyendo este valor en la expresion (4.6) nos quedara:

~v1 = ~vs + ~vrel


Lo que podemos enunciar como: La velocidad absoluta de un punto en movimiento conrespecto a una referencia que a su vez se mueve con respecto a otra referencia que consider-amos fija, es igual a la suma vectorial de la velocidad de arrastre ( la debida al movimientode los ejes moviles ), mas la velocidad relativa del punto con respecto a dichos ejes moviles.

4.4.5. Aceleracion en ejes moviles

Con el mismo planteamiento del apartado anterior, vamos a tratar de determinar ahora laaceleracion del punto P . Para ello derivaremos la expresion (4.6) anteriormente obtenida:

~v1 = ~v0 + ~vrel + ~w ∧ ~r

Esta derivacion sera:

d~v1

dt=

d~v0

dt+

d~vrel

dt+

d(~w ∧ ~r)

dt

Veamos lo que representan los terminos que aparecen en esta ecuacion:

El vector d~v1

dt= ~a1 sera la aceleracion absoluta del punto P , es decir, la que presenta

con respecto a la referencia absoluta o fija.

Analogamente, el vector d~v0

dt= ~a0 representa la aceleracion absoluta del punto 0, ori-

gen del sistema referencial movil.

Por su parte, d~vrel

dtla obtendremos teniendo en cuenta que ~vrel es un vector expresado

en la referencia movil:

d~vrel

dt=

(d~vrel

dt

)

rel

+ ~w ∧ ~vrel = ~arel + ~w ∧ ~vrel

En donde hemos llamado aceleracion relativa ~arel a la derivada de la velocidad rel-ativa respecto de los ejes moviles, considerando a estos como fijos.

En cuanto al ultimo sumando d(~w∧~r)dt

haremos:

d(~w ∧ ~r)

dt= ~w∧~r+ ~w∧ d~r

dt= ~w∧~r+ ~w∧(~vrel + ~w∧~r) = ~w∧~r+ ~w∧~vrel + ~w∧(~w∧~r)

Sustituyendo todo tendremos:

~a1 = ~a0 + ~arel + ~w ∧ ~vrel + ~w ∧ ~r + ~w ∧ ~vrel + ~w ∧ (~w ∧ ~r)

Y agrupando:

~a1 = ~a0 + ~arel + ~w ∧ ~r + ~w ∧ (~w ∧ ~r) + 2 ~w ∧ ~vrel


Si consideramos ahora que el punto P se mueve solidario con los ejes moviles, lo cual equiv-ale a anular la velocidad y la aceleracion relativas: ~vrel = ~0 y ~arel = ~0, obtendremos la acel-eracion del punto P debida al arrastre ~as:

~as = ~a0 + ~w ∧ ~r + ~w ∧ (~w ∧ ~r)

La cual se corresponde exactamente con la expresion de la aceleracion de un punto de unsolido indeformable que ya habıamos determinado en el apartado 4.3.13.

Sustituyendo ahora en la expresion de la aceleracion absoluta del punto P nos quedara:

~a1 = ~as + ~arel + 2 ~w ∧ ~vrel

Expresion que es analoga a la obtenida para las velocidades, con la particularidad que ahoraaparece el termino 2 ~w ∧ ~vrel denominado aceleracion complementaria o de Coriolis.

Atendiendo a las condiciones de nulidad del producto vectorial, este termino complemen-tario se anulara cuando concurra alguna de estas circunstancias:

1. Que los ejes de referencia moviles no posean velocidad angular de rotacion, es decir,~w = ~0. Si los ejes moviles solo tienen movimiento de traslacion, no existe aceleracionde Coriolis.

2. Que el punto P presente velocidad nula con respecto a la referencia movil, es decir,que ~vrel = ~0

3. Que la velocidad relativa ~vrel y la rotacion de la referencia movil ~w sean vectoresparalelos

ω

relv�

o

cora�

P

Figura 4.30: Ejemplo que pone de manifiesto la existencia de la aceleracion de Coriolis

Para comprender cual es el significado de la aceleracion de Coriolis pensemos en el siguienteejemplo indicado en la Figura 4.30:


Un disco gira en el plano en sentido antihorario con velocidad angular ~w alrededor de sucentro geometrico 0. Un punto P se mueve a lo largo de uno de los radios del mismo haciael centro 0 con velocidad ~vrel.

Este punto movil ira pasando por puntos del disco que cada vez poseen menos velocidadgenerada por la rotacion. Esto equivale a una disminucion en el modulo de la velocidad ab-soluta, es decir, una aceleracion dirigida hacia la izquierda, lo cual como podemos comprobarcoincide plenamente con el sentido obtenido en la expresion 2 ~w ∧~vrel. En resumen, la acel-eracion de Coriolis se produce por el hecho de que el punto movil atraviesa en su recorridopor la referencia movil un campo de velocidades de arrastre no uniforme. Ası, la aceleracionde Coriolis no es ya un termino inesperado, sino perfectamente previsible y necesario.

4.4.6. Efecto de la rotacion de la Tierra

Para el movimiento de un punto P que tiene lugar en la superficie terrestre normalmentese utilizara una referencia ligada a la misma. Pero sabemos que la Tierra no es fija, por loque todo movimiento referido a ella sera un movimiento relativo, y ası las velocidades yaceleraciones que observemos seran relativas.

Entonces, la ecuacion:~a1 = ~as + ~arel + 2 ~w ∧ ~vrel

Sera conveniente ponerla en la forma:

~arel = ~a1 − ~as + 2 ~vrel ∧ ~w

En donde la aceleracion relativa, que es la observada por nosotros, aparece en funcion de laabsoluta, de la de arrastre y de la de Coriolis, cambiadas estas dos ultimas de signo.

En primer lugar, ~a1 es la aceleracion absoluta del punto P generada por una accion exterior.Si este punto material esta aislado de toda accion exterior que no sea la atraccion gravitatoriade la Tierra, ~a1 = ~g0, siendo un vector en direccion radial y dirigido hacia el centro de laTierra. ( Ver la Figura 4.31 )La aceleracion de arrastre sera generada por el movimiento terrestre de rotacion alrededor desu eje. La trayectoria de arrastre sera un paralelo terrestre, por lo que esta aceleracion sera unvector contenido en el plano del paralelo, y dirigido hacia el eje de rotacion ( aceleracioncentrıpeta ). Su modulo sera:

|~as| = (w2 R cos λ)

En donde R es el radio de la Tierra, y λ la latitud del lugar.

La aceleracion de arrastre cambiada de signo, sera este mismo vector pero dirigido en sentidocontrario ( aceleracion centrıfuga ). ( Ver la Figura 4.32 )


ω�

og� P

λ

Figura 4.31: Aceleracion absoluta generada por la accion gravitatoria

ω�

P

λ

sa�

−

Figura 4.32: Aceleracion de arrastre cambiada de signo

Podemos efectuar una descomposicion de este vector segun una direccion radial, verticalpara el lugar, y una direccion tangente al meridiano del lugar, contenida en el plano delhorizonte del lugar y en la direccion del meridiano. Los modulos de estas componentesseran:

Vertical: (w2 R cos2 λ)Su valor es nulo en los Polos y maximo en el Ecuador.Tiende a restar a la aceleracion absoluta ~g0.

Horizontal en la direccion del meridiano: (w2 R cos λ senλ)Su valor es nulo en los Polos y en el Ecuador.Tiende a llevar al punto al Sur en el hemisferio norte, y al Norte en el hemisferio sur.

1. Si el punto estuviese inmovil sobre la Tierra, en ese caso ~vrel = ~0 y entonces po-drıamos simplemente plantear:

~arel = ~a1 − ~as + 2 ~vrel ∧ ~w = ~g0 − ~as = ~g ( Ver la Figura 4.33 )

Dado el valor variable de −~as con la latitud λ, observamos como la aceleracion ~g


con que la Tierra atrae a los cuerpos no es constante para todos los puntos de la super-ficie terrestre.

En geodesia se suele emplear la siguiente Formula:

ω�

P

λ

sa�

−

og�

g�

a−

Figura 4.33: Aceleracion ~g con que la Tierra atrae a los cuerpos

|~g| = 9, 80629 (1− 0, 002637 · cos 2λ− 0, 000000315 · h) [m/s2]

En donde λ es la latitud y h es la altitud expresada en metros.

En las aplicaciones practicas mas usuales esta influencia del arrastre sobre la acciongravitatoria es considerada despreciable

2. Si por el contrario el punto estuviese en movimiento sobre la superficie terrestre, esdecir su ~vrel 6= ~0, aparecerıa entonces el sumando correspondiente a la aceleracion deCoriolis. Consideremos estos dos posibles movimientos:

El punto P se mueve en la direccion vertical del lugar. ( Radial para la esfera ter-restre )

Como observamos en la Figura 4.34 atendiendo a a la reglas del producto vectorial,el termino (2 ~vrel ∧ ~w) , es decir, la aceleracion de Coriolis con el signo cambiado,desviara la trayectoria vertical del punto hacia el Este o hacia el Oeste segun que elsentido sea descendente o ascendente.

El punto P se mueve en un plano horizontal.

Descomponemos la velocidad angular de rotacion ~w de la Tierra en dos componentes,una radial, correspondiente a la vertical del lugar, ~wv, y otra sobre el plano horizontaldel lugar, en la direccion del meridiano ~wh. ( Ver la Figura 4.35 )


λ

relv�

ω�

ω��

∧relv2λ

relv�

ω�

ω��

∧relv2

Figura 4.34: Movimiento en la vertical del lugar, descendente y ascendente

ω�

λ

vω�

hω�

λ

Figura 4.35: Descomposicion de la velocidad angular de rotacion de la Tierra

~w = ~wv + ~wh En donde: |~wv| = w · sen λ |~wh| = w · cos λ

Podremos expresar entonces la aceleracion de Coriolis cambiada de signo como:

2 ~vrel ∧ ~w = 2 ~vrel ∧ (~wv + ~wh) = 2 ~vrel ∧ ~wv + 2 ~vrel ∧ ~wh

Considerando el movimiento del punto P en un plano horizontal y tal que el vector~vrel forma un angulo α con la direccion Este, pasamos a efectuar un analisis de laactuacion de los dos sumandos en que ha quedado descompuesta la aceleracion deCoriolis cambiada de signo. ( Ver la Figura 4.36 )

En esta Figura 4.36 observamos que (2 ~vrel∧ ~wv) es un vector que estara contenido enel plano horizontal del lugar, cuyo modulo vale (2 vrel wv sen 90o) = (2 vrel w sen λ)y que estara dirigido hacia la derecha del movimiento si nos encontramos en el hem-isferio Norte, y hacia la izquierda si nos encontramos en el hemisferio Sur, ya que eneste caso, ~wv serıa un vector entrante en el plano del horizonte del lugar.


O E

N

α

S

vω�

hω�

ω�

relv�

λ

Figura 4.36: Movimiento de un punto en el plano horizontal del lugar

Vemos tambien que su valor en modulo es independiente de la direccion del movimien-to para un lugar geografico dado, y que es funcion de la latitud del lugar y del valor dela velocidad relativa. Su efecto sera provocar una desviacion lateral a la derecha en elhemisferio Norte, y hacia la izquierda en el hemisferio Sur.

Por otra parte, (2 ~vrel ∧ ~wh) es un vector ortogonal al plano horizontal del lugar, esdecir, con direccion segun la vertical, cuyo modulo sera [2 vrel wh sen (90o − α)] =(2 vrel w cos λ cos α) y estara dirigido en direccion saliente al plano horizontal si(−π

2< α < π

2), y por el contrario, estara dirigido en direccion entrante al plano hori-

zontal si (π2

< α < 3 π2

). Su efecto sera sustraer o incrementar el valor de la gravedadsegun la orientacion del movimiento.

La accion de la aceleracion de Coriolis cambiada de signo sobre el movimiento delos cuerpos sobre la esfera terrestre se denomina Efecto geostrofico.


4.5. Movimiento plano-paralelo

4.5.1. Definicion y generalidades

Diremos que un sistema indeformable esta animado de un movimiento plano-paralelo siexiste un plano de puntos del sistema que se mantiene constantemente coincidente consigomismo a lo largo de la evolucion del movimiento en el tiempo.

Como consecuencia, las velocidades de todos los puntos del sistema indeformable pertenecientesa ese plano, son vectores contenidos en el mismo. En efecto:

Si la velocidad de un punto P , contenido en ese plano π, ~vP , no estuviera contenida enel, admitirıa una descomposicion sobre el plano π y en la direccion perpendicular a el. Es-ta ultima componente indicarıa que el punto P abandona el plano π, lo cual esta contra lahipotesis definitoria del movimiento.

Por lo tanto, las trayectorias de todos los puntos del plano π, son curvas planas contenidasen el mismo.

El eje instantaneo de rotacion es perpendicular en todo momento al plano π.

En efecto:

Observando la Figura 4.37 consideraremos: Sean P y A dos puntos pertenecientes al sis-tema material y contenidos en el plano π. Podremos expresar:

~vP = ~vA + ~w ∧ −→AP = ~vA + ~w ∧ ~r

ω�

Av�

Pv�r

�

P

A

π

Figura 4.37: El eje instantaneo de rotacion es ortogonal al plano π

Como ~vP y ~vA son vectores contenidos en el plano π, el vector (~w ∧ ~r) tambien estara con-tenido en π. Como por otra parte (~w ∧ ~r) es ortogonal a ~w y ~r, y ~r esta contenido en π, sededuce que ~w es ortogonal al plano π. Por tanto, el eje instantaneo de rotacion es ortogonalen todo instante al plano π.


Pensemos ahora en otro punto B del sistema indeformable contenido en la perpendicularal plano π por el punto A; y sea π′ el plano paralelo al π que contiene a este punto B. ( Verla Figura 4.38. )

ω�

Av�

A

π

π ′

BBv

�

Figura 4.38: Velocidades iguales en puntos situados en normales al plano π

Podremos expresar:

~vB = ~vA + ~w ∧ −→AB

Pero ~w ∧ −→AB = ~0 por ser ambos vectores colineales. Por tanto:

~vB = ~vA

Lo que indica que las velocidades de los puntos pertenecientes a rectas perpendiculares alplano π son identicas, y que si existe un plano que coincide consigo mismo durante todo elmovimiento, esta propiedad tambien la tendran una infinidad de planos paralelos a el.

Bastara por tanto, con estudiar el movimiento en uno de esos planos del haz de planos par-alelos, al que denominaremos plano director, ya que el movimiento se reproduce en formaidentica a sı mismo en todos los planos del haz.

4.5.2. Centro instantaneo de rotacion. Base y ruleta

Al ser la velocidad de cualquier punto del sistema material ortogonal a la velocidad in-stantanea de rotacion ~w, el invariante cinematico (~v · ~w) se anula, por tratarse de vectores or-togonales. Ası mismo, la velocidad de deslizamiento mınimo vd = Proy~w ~v se anulara tam-bien. Por tanto, el movimiento plano-paralelo es de los clasificados como de 2a clase en laclasificacion que efectuamos en el apartado 4.3.9. siempre que ~w 6= ~0.


El movimiento plano-paralelo sera entonces una rotacion pura alrededor del eje instantaneode rotacion siempre que ~w 6= ~0.

Los axoides son dos cilindroides de generatrices perpendiculares al plano director. ( VerFigura 4.39 )

FijoAxoide

)(BaseFijaPolar

π

P

MovilAxoide

)(RuletaMovilPolar

RotaciondeoInstantaneEje

Figura 4.39: Axoides en el movimiento plano-paralelo

El movimiento se podra materializar entonces en una rodadura sin deslizamiento, por servd = 0, del axoide movil sobre el fijo, siendo en cada instante la generatriz comun de tan-gencia entre ambos axoides el eje instantaneo de rotacion.

La interseccion de ambos axoides con el plano director, determina las denominadas cur-vas polares; la polar fija o base, y la polar movil o ruleta.

Ambas son tangentes en el punto P , que es la interseccion del eje instantaneo de rotacioncon el plano director π, denominado centro instantaneo de rotacion, o centro de velocidades.Este punto en ese instante tiene velocidad nula.

El movimiento puede materializarse ahora en el plano director como la rotacion sin desliza-miento de la polar movil o ruleta, solidaria con el sistema material, sobre la polar fija obase.


4.5.3. Distribucion de las velocidades en el movimiento plano-paralelo

Estudiando el movimiento plano-paralelo en un plano director, consideramos en un in-stante dado la base y la ruleta, tangentes en el centro instantaneo de rotacion P . ( Ver Figura4.40 )

La velocidad de un punto cualquiera M del sistema material y contenido en el plano di-rector sera:

~vM = ~vP + ~w ∧ ~r

Pero como sabemos: ~vP = ~0; luego:

~vM = ~w ∧ ~r

Tal y como se deduce del producto vectorial, el vector ~vM es perpendicular a ~r y esta con-tenido en el plano director, su sentido dependera del de la rotacion ~w, y dado que ~w y ~r sonvectores perpendiculares, su modulo sera:

|~vM | = |~w| · |~r | · sen 90o = |~w| · |~r |

Lo que nos indica que:

Dentro del plano director del movimiento plano-paralelo, la velocidad de un punto del sis-tema material, es un vector perpendicular al vector de posicion del punto trazado desde elcentro instantaneo de rotacion, y su modulo es proporcional a su distancia a dicho centro P .Con esto, la distribucion de las velocidades nos quedara tal y como se encuentra expresadaen la Figura 4.40.

P

M

Mv�

R

B

Figura 4.40: Distribucion de las velocidades en el movimiento plano-paralelo

Se deduce entonces que si conocieramos la direccion de las velocidades de dos puntos delsistema indeformable se podrıa determinar la posicion del centro instantaneo de rotacion P ,sin mas que trazar por los puntos sendas rectas ortogonales a las mismas, siendo el centroinstantaneo de rotacion el punto de interseccion de ambas rectas. Si ademas se conociera


el valor del modulo de una de ellas se podrıa determinar w, y por tanto, la velocidad decualquier otro punto del sistema material. ( Ver Figura 4.41 )

A

B

P

Av�

Bv�

Figura 4.41: Determinacion del centro instantaneo de rotacion P

w =|~vA|PA

=|~vB|PB

La direccion del vector ~w es evidentemente ortogonal al plano director, y su sentido vienedado por el de el giro que efectuan los vectores velocidad frente al punto P .

Casos particulares:

Las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B del solido indeformable sonparalelas, y los puntos A y B no estan alineados segun una direccion ortogonal a lasmismas.

En este caso, las ortogonales por A y B a las direcciones de las velocidades resul-tan ser dos rectas paralelas ( Ver Figura 4.42 ), y su punto de corte P se encuentra enel infinito. El sistema se encuentra en ese instante en traslacion, y las velocidades detodos sus puntos son iguales.

En efecto:

w =|~vA|PA

=|~vB|PB

=|~vA|∞ =

|~vB|∞ = 0

Recordemos que en la traslacion, el campo de las velocidades es uniforme.


A

B

∞⇒P

Av�

Bv�

Figura 4.42: Velocidades paralelas en puntos no alineados en la ortogonal a las mismas

Las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B del solido indeformable sonparalelas, y los puntos A y B estan alineados segun una direccion ortogonal a las mis-mas.

En este caso, las ortogonales por A y B a las direcciones de las velocidades resul-tan ser dos rectas coincidentes ( Ver Figura 4.43 ). Para romper la indeterminacionen la determinacion de P se unen los extremos de los vectores ~vA y ~vB, dibujados aescala, y la interseccion de esta recta con la que une A y B determina P , ya que ası secumple que :

|~vA|PA

=|~vB|PB

= w

A

B

Av�

Bv�

P

Figura 4.43: Velocidades paralelas en puntos alineados en la ortogonal a las mismas


4.5.4. Velocidad de cambio de polo

A lo largo del transcurso del movimiento en el tiempo, la posicion del centro instantaneode rotacion se ira trasladando sobre la polar fija. A su velocidad en un instante dado en estemovimiento la denominaremos velocidad de cambio de polo ~vs. Notese que esta velocidad notiene nada que ver con la velocidad del punto P como perteneciente al sistema indeformable,que como sabemos en todo instante es nula.

En un instante dado, las polares base y ruleta son tangentes en el punto P . Al cabo de untiempo dt el nuevo centro instantaneo sera el punto del solido P ′

1 que habra pasado a ocuparla posicion P1 sobre la polar fija o base, con lo que al movimiento de rodadura de la ruletasobre la base, habra supuesto el giro de un angulo dθ. Los puntos CB y CR son los centros decurvatura de la base y la ruleta, siendo RB y RR sus radios de curvatura. ( Ver Figura 4.44 )

P

Bdϕsv

�

R

B

1P′

1P

θd

Rdϕ

RR

BR

RC

BC

Figura 4.44: Velocidad de cambio de polo

El modulo de la velocidad de cambio de polo sera:

vs = lım∆t→0

PP1

∆t

El vector ~vs sera en todo momento tangente a la base, ya que esa es la trayectoria que recorreel polo a lo largo del desarrollo del movimiento.

Por otra parte, segun vemos en la Figura 4.44:

dθ = dϕB + dϕR (4.7)

Puesto que en un triangulo, un angulo exterior es igual a la suma de los dos interiores noayadcentes.


Como la ruleta rueda sobre la base sin deslizamiento, los elementos de arco sobre ambascurvas seran iguales, es decir:

PP1 = PP ′

1 = RB · dϕB = RR · dϕR (4.8)

Dividiendo por dt la expresion 4.7:

dθ

dt=

dϕB

dt+

dϕR

dt

Teniendo en cuenta 4.8:

w =RB · dϕB

RB · dt+

RR · dϕR

RR · dt=

vs

RB+

vs

RR

Y de aquı:

vs = w · RB ·RR

RB + RR

Expresion que nos permite determinar la velocidad de cambio de polo vs en funcion de larotacion w y de los radios de curvatura de base y ruleta.

Existe el denominado procedimiento grafico de Hartmann que permite determinar la veloci-dad de cambio de polo si se conocen las velocidades y las trayectorias, es decir, los radios decurvatura de las mismas, de dos puntos del sistema.


4.5.5. Distribucion de las aceleraciones en el movimiento plano-paralelo.Centro instantaneo de aceleraciones

Determinaremos la aceleracion de un punto M perteneciente a un sistema material inde-formable con movimiento plano-paralelo derivando la expresion de su velocidad a partir delpunto P , centro instantaneo de velocidades.

Utilizaremos unas coordenadas polares cuyo polo es el centro instantaneo de velocidadesP , y como eje origen de angulos, la tangente comun a base y ruleta orientada por el sentidode la velocidad de cambio de polo ~vs. El punto M tendra entonces definida su posicion en elplano director por las coordenadas polares (r, ϕ). ( Ver Figura 4.45 )

P

r�2ω−

sv�

R

B

ω�

O

sv ��

∧−ω

ϕr

�

r�

�

∧ξM

ϕ

Figura 4.45: Aceleracion del punto M

Velocidad del punto M : ~vM = ~w ∧ ~r

Obtendremos su aceleracion derivando:

~aM =d~vM

dt=

d~w

dt∧ ~r + ~w ∧ d~r

dt

Pero ~r =−→0M − −→0P ; siendo 0 un punto arbitrario fijo.

d~r

dt=

d−→0M

dt− d

−→0P

dt= ~vM − ~vs

Sustituyendo este valor en la expresion de la aceleracion de M :

~aM = ~ξ ∧ ~r + ~w ∧ ~vM − ~w ∧ ~vs = ~ξ ∧ ~r + ~w ∧ (~w ∧ ~r)− ~w ∧ ~vs = ~ξ ∧ ~r− |~w|2 · ~r− ~w ∧ ~vs

Sobre cada uno de estos sumandos podremos indicar:

El primer termino (~ξ∧~r) es un vector perpendicular a ~r y por tanto tangente a la trayec-toria del punto M . Representa la aceleracion tangencial del punto M en su rotacionalrededor del punto P .


El segundo termino (−|~w|2 · ~r) es normal a la trayectoria de M , y esta dirigido haciaP . Representa la aceleracion normal de M en su movimiento alrededor de P .

Estos dos terminos son funciones lineales de la distancia de P a M , anulandose portanto cuando ~r = ~0. ( Ver Figura 4.46 )

El ultimo termino (−~w ∧ ~vs) es constante en todos los puntos, pues no depende de ~r.Representa la aceleracion del centro instantaneo de rotacion P , ya que en este puntose anulan los dos primeros terminos.

P

R

B

ω�

r�

�

∧ξ

sv ��

∧−ω

r�2ω−

Figura 4.46: Distribucion de las aceleraciones en torno a P en el movimiento plano-paralelo

En resumen, podrıamos expresar que:

~aM = ~aP + ~aMPτ + ~aMPη

Proyectando ahora la aceleracion del punto M sobre las direcciones tangente y normal ala trayectoria, obtendrıamos las componentes intrınsecas:

aτ = ξ · r − w · vs · cos ϕ

aη = −w2 · r + w · vs · sen ϕ

Veamos si existe algun punto en el cual la aceleracion es nula, lo que implicarıa que suscomponentes deberan ser ası mismo nulas. Plantearemos por tanto:{

ξ · r − w · vs · cos ϕ = 0−w2 · r + w · vs · sen ϕ = 0

⇒{

ξ · r = w · vs · cos ϕw2 · r = w · vs · sen ϕ


Sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, ϕ y r cuya solucion es:

ϕ = arc tgw2

ξr =

w · vs√w4 + ξ2

=aP√

w4 + ξ2

Las cuales son las coordenadas polares en la referencia definida de un cierto punto Q, quedenominaremos centro instantaneo de aceleraciones, el cual es un punto del sistema inde-formable cuya aceleracion es nula en un instante dado.

La aceleracion de un punto cualquiera del sistema M , vendra expresada en funcion de lade otro punto del mismo 0, segun la expresion general ya vista:

~aM = ~a0 + ~ξ ∧ ~r + ~w ∧ (~w ∧ ~r) = ~a0 + ~aM0τ + ~aM0η = ~a0 + ~aM0

Si consideramos como polo 0 el punto Q, centro instantaneo de aceleraciones, el cual pre-senta aceleracion nula, podremos expresar la aceleracion del punto M como:

~aM = ~aQ + ~aMQ = ~aMQ = ~aMQτ + ~aMQη = ~ξ ∧ −−→QM − |~w|2 · −−→QM

Observando la Figura 4.47 deducimos que:

1. El angulo µ que forma el vector−−→QM con la aceleracion del punto M es constante para

todos los puntos del sistema indeformable:

tg µ =|~ξ| · |−−→QM ||~w|2 · |−−→QM |

=|~ξ||~w|2

2. El modulo de la aceleracion de un punto M del sistema indeformable es proporcionala la distancia |−−→QM | que lo separa del centro instantaneo de aceleraciones. En efecto:

|~aM |2 = |~ξ|2 · |−−→QM |2 + |~w|4 · |−−→QM |2 =⇒ |~aM | =√|~ξ|2 · |−−→QM |2 + |~w|4 · |−−→QM |2

Esto es: |~aM | = |−−→QM | ·√|~ξ|2 + |~w|4


M

MQ∧ξ�

MQ2ω− µ

Ma�

Q ξ�

Figura 4.47: Disposicion de la aceleracion del punto M frente al centro de aceleraciones Q

4.5.6. Circunferencias de las inversiones y de las inflexiones

Recordamos que las componentes tangencial y normal de la aceleracion de un punto Mperteneciente a un sistema indeformable en movimiento plano-paralelo son:

aτ = ξ · r − w · vs · cos ϕ

aη = −w2 · r + w · vs · sen ϕ

En donde r es la distancia del punto M al centro instantaneo de rotacion P , y ϕ es el anguloque forma el vector ~r con la direccion del vector velocidad de cambio de polo ~vs.

Definimos Circunferencia de las inversiones como el lugar geometrico de los puntos pertenecientesal sistema indeformable y al plano director tales que poseen aceleracion tangencial nula.

Aplicando esta condicion obtendremos:

0 = ξ · r − w · vs · cos ϕ =⇒ r =w · vs

ξcos ϕ

Ecuacion que en el sistema referencial de coordenadas polares elegido, representa efecti-vamente una circunferencia de diametro (w·vs

ξ), que tiene su centro en la direccion de la

tangente comun base-ruleta y que pasa por el punto P . ( Ver la Figura 4.48 )En los puntos de esta circunferencia el vector aceleracion es ortogonal al vector velocidad.

Definimos ahora Circunferencia de las inflexiones como el lugar geometrico de los pun-tos pertenecientes al sistema indeformable y al plano director tales que poseen aceleracionnormal nula.


P sv�

R

B

ξω Sv

A

ϕr

Av�

AA aa η��

=

Figura 4.48: Circunferencia de las inversiones

Aplicando esta condicion obtendremos:

0 = −w2 · r + w · vs · sen ϕ =⇒ r =vs

wsen ϕ

Expresion que representa la ecuacion en polares de una circunferencia, la cual tiene comodiametro ( vs

w), su centro esta en la direccion normal a la tangencia entre base y ruleta, y que

pasa por el punto P . ( Ver la Figura 4.49 )

ωSv

P sv�

R

B

A

ϕ

rAv

�

AA aa τ��

=

Figura 4.49: Circunferencia de las inflexiones

En los puntos de esta circunferencia la velocidad y la aceleracion son vectores colineales.

La interseccion de estas dos circunferencias sera un punto en el que se anulan simultanea-mente las aceleraciones normal y tangencial, y por tanto el vector aceleracion. Dicho puntosera evidentemente el centro instantaneo de aceleraciones Q.

El otro punto de interseccion sera el P , centro instantaneo de velocidades, en el cual nose anula la aceleracion por ser un punto singular al ser en el r = 0.


4.5.7. Cinema de velocidades

Sea un sistema indeformable animado de un movimiento plano-paralelo cuyo centro in-stantaneo de rotacion es P , y sean ~vA, ~vB y ~vC las velocidades de tres puntos del mismo A,B y C. ( Ver la Figura 4.50 )

C

A

B

P

Cv�

Av�

Bv�

Figura 4.50: Velocidades en un sistema indeformable con movimiento plano-paralelo

Desde un punto cualquiera 0 del plano, trazaremos vectores equipolentes a los vectores ve-locidad ~vA, ~vB y ~vC . Sean a, b y c los extremos de estos vectores. Obtendremos ası el de-nominado cinema de velocidades cuyo polo es el punto 0, representado en la Figura 4.51.

c

a

b

O

Cv�

Av�

Bv�

Figura 4.51: Cinema de velocidades

A cada punto M del sistema movil le corresponde otro punto m del cinema tal que:

~vM ≡ −→0m

La correspondencia entre los puntos del sistema movil y los del cinema es una proyectividaden la que el homologo de cada punto M es el m segun hemos indicado, siendo el homologodel centro instantaneo de rotacion P el polo del cinema 0.


Los triangulos formados por tres puntos cualesquiera del sistema indeformable movil y porsus homologos del cinema son semejantes con una razon de semejanza w. En efecto:

vA = w · PA = 0a

vB = w · PB = 0b

vC = w · PC = 0c

Despejando en todas ellas w e identificando:

w =0a

PA=

0b

PB=

0c

PC

Y como PA es perpendicular a 0a, PB es perpendicular a 0b, y PC es perpendicular a0c, resulta que existe una semejanza entre los triangulos y tambien entre los cuadrilateros,ya que un cuadrilatero siempre se puede descomponer en la suma de dos triangulos. Ası porejemplo, el triangulo ABC es semejante al triangulo abc, y el cuadrilatero PABC lo es al0abc.

La figura del cinema aparece ademas girada 90o con respecto a la figura del sistema movilen el sentido de la rotacion ~w.

Por medio del cinema se puede determinar graficamente la velocidad de cualquier puntodel sistema, si conocemos previamente las velocidades de otros dos puntos del mismo.

El cinema de velocidades nos permite tambien determinar las velocidades relativas entrepuntos del mismo sistema material. En efecto, la velocidad relativa de A con respecto de Bserıa:

~vA/B = ~vA − ~vB =−→0a− −→0b =

−→ba

El vector−→ba que une los puntos b y a del cinema de velocidades representa la velocidad

de A con respecto de B.


4.5.8. Cinema de aceleraciones

Sea un sistema indeformable animado de un movimiento plano-paralelo cuyo centro in-stantaneo de aceleraciones es Q , y sean ~aA, ~aB y ~aC las aceleraciones de tres puntos delmismo A, B y C. ( Ver la Figura 4.52 )

µ

Aa�

Ca�

Ba�

C

A

B

µµ

Q

Figura 4.52: Aceleraciones en un sistema indeformable con movimiento plano-paralelo

Desde un punto 0′ cualquiera del plano trazamos vectores equipolentes a los vectores acel-eracion ~aA, ~aB y ~aC . Sean a′, b′ y c′ los extremos de estos vectores. Se obtiene ası el de-nominado cinema de aceleraciones, representado en la Figura 4.53, siendo 0′ el polo de estecinema.

c′

a′

O′

Ba�

Aa�

b′

Ca�

Figura 4.53: Cinema de aceleraciones

A cada punto M del sistema movil le corresponde otro punto m′ del cinema tal que:

~aM =−−→0′m′

La correspondencia entre los puntos del sistema movil y los del cinema es una proyectividaden la que el homologo de cada punto M es el m′ segun hemos indicado, siendo el homologodel centro instantaneo de aceleracion Q el polo del cinema 0′.

Los triangulos formados por tres puntos del sistema indeformable movil y por sus homolo-gos del cinema de aceleraciones son semejantes, siendo la razon de semejanza

√ξ2 + w4.


aA = QA√

ξ2 + w4 = 0′a′

aB = QB√

ξ2 + w4 = 0′b′

aC = QC√

ξ2 + w4 = 0′c′

Despejando en todas ellas√

ξ2 + w4 e identificando:

√ξ2 + w4 =

0′a′

QA=

0′b′

QB=

0′c′

QC

Lo cual demuestra lo enunciado.

Por otra parte, los angulos que forman 0′a′ con QA, 0′b′ con QB, y 0′c′ con QC son to-dos ellos iguales, y de valor :

µ =arc tgξ

w2

El triangulo ABC de los puntos del sistema indeformable movil y el a′b′c′ del cinema deaceleraciones estan girados uno con respecto al otro un angulo µ.

Analogamente al cinema de velocidades, es posible en este caso determinar las aceleracionesrelativas entre dos puntos A y B :

~aA/B = ~aA − ~aB =−→0′a′ −−→0′b′ =

−→b′a′

Visto todo esto, un metodo grafico muy sencillo para determinar el centro instantaneo deaceleraciones de un sistema indeformable en movimiento plano-paralelo del que se conocenlas aceleraciones de dos puntos del mismo serıa el siguiente:

Sean ~aA y ~aB las aceleraciones de dos puntos del sistema indeformable: ( Ver la Figura4.54 )

µAa�

Ba�

A B

µ

Q

Figura 4.54: Aceleracion en dos puntos y centro instantaneo de aceleraciones Q


Construimos ahora el cinema de aceleraciones: ( Ver la Figura 4.55 )

b′

O′

Aa�

Ba�

a′

Figura 4.55: Cinema de aceleraciones

Todo lo que habra que hacer ahora es construir sobre el sistema indeformable en movimiento( Sobre la Figura 4.54 ) un triangulo ABQ semejante al a′b′0′. El punto Q ası determinadoes el homologo del 0′ del cinema.

Pudiera darse el caso de que solo conocieramos la aceleracion de uno de los puntos delsistema, por ejemplo del A, y de otro punto del mismo, el B, que conocieramos su trayecto-ria, o lo que es lo mismo, su radio de curvatura ρ en ese instante.

Se nos supone ası mismo, en conocimiento del cinema de velocidades, y por tanto, de to-das las velocidades de los puntos del sistema indeformable.

La forma de proceder serıa la siguiente:

Dado que los puntos A y B pertenecen al mismo sistema indeformable podemos plantear:

~aB = ~aA + ~aB/A = ~aA + ~aB/Aη + ~aB/Aτ

Como conocemos la trayectoria del punto B, su aceleracion se puede expresar como:

~aB = ~aBη + ~aBτ

En estas ecuaciones:

~aA : Es dato conocido.

~aB/Aη : Es un vector dirigido de B hacia A, y cuyo modulo esv2

B/A

BA

~aB/Aτ : Es un vector ortogonal al anterior, de modulo desconocido por el momento.

~aBη : Es un vector dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria del punto B,

y cuyo modulo es v2

B

ρ


~aBτ : Es un vector ortogonal al anterior, y de modulo desconocido por el momento.

Con estas dos ecuaciones se puede realizar una composicion grafica tal y como se indicaen la Figura 4.56. Como resultado de esta composicion se obtiene la aceleracion del puntoB, ~aB; la aceleracion tangencial de B, ~aBτ ; y la aceleracion tangencial de B con respec-to de A, ~aB/Aτ . Esta ultima nos permitirıa determinar la aceleracion angular ~ξ del sistemaindeformable.

Ba�

ηBa�

Aa�

Aa�

ηABa /

�

τABa /

�

ηABa /

�

BA

τBaladeDirección�

BpuntodelaTrayectori

BC

ρτBa

�

τABaladeDirección /

�

Figura 4.56: Composicion grafica de la aceleracion en el punto B

Una vez determinada la aceleracion del punto B, ~aB; ya estamos en las condiciones an-teriores que nos permiten determinar el centro instantaneo de aceleraciones Q del sistemaindeformable al que pertenecen los puntos A y B.

Por ultimo, veremos un procedimiento exclusivamente grafico que nos permite determinarla aceleracion normal de un punto M conociendo el centro de curvatura de de su trayectoriaCM , y su velocidad ~vM .

Bastara para ello efectuar la construccion grafica indicada en la Figura 4.57: Se construyeuna circunferencia con centro en la mitad de M y CM . Con centro en M se traza un arcocuyo radio sea el modulo de ~vM . Se proyecta el punto de interseccion de la circunferencia yel arco sobre MCM . El vector con origen en M y extremo en la proyeccion obtenida es elvector aceleracion normal de M , ~aMη .La demostracion de la validez de este procedimiento grafico es simple. Basta con aplicar elteorema del cateto para los triangulos rectangulos, que nos indica que un cateto es mediaproporcional entre la hipotenusa y su proyeccion sobre la misma. ( Ver la Figura 4.58 )En efecto, aplicando dicho teorema:

v2M = MCM · aMη ⇒ aMη =

v2M

MCM

=v2

M

ρ

Procediendo de forma analoga se obtendrıa la aceleracion normal de B con respecto deA, ~aB/Aη . ( Ver la Figura 4.59 )


MC

ηMa�

Mv�

M

Figura 4.57: Metodo grafico para la determinacion de la aceleracion normal de M

ηMa

Mv

MC

M

ρ=MMC

Figura 4.58: Teorema del cateto

En este caso, se ha tenido que utilizar ~vB/A, la cual se puede obtener a partir del cinema develocidades.

A

ηABa /

�

AB /v�

B

Figura 4.59: Metodo grafico para la determinacion de la aceleracion normal de B con re-specto de A

cap´ıtulo 4 cinematica´ - vc.ehu.es´ıtulo 4 cinematica´ 4.1. introduccion´ la cinem´atica es...

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