cap´ıtulo 4 distribuciones de probabilidad · la electricidad y la energ´ıa at´omica: ... real...

Capıtulo 4

Distribuciones de probabilidad

”Hay una fuerza motriz mas poderosa que el vapor,

la electricidad y la energıa atomica: la voluntad”.

Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad discretas y continuas.

Caracterısticas de una distribucion. Valores atipicos. Tipificar una variable.

Distribuciones de probabilidad importantes. Aproximaciones de la distribucion

binomial.

Ejercicios.

1

2 4. Distribuciones de probabilidad

4.1. Variable aleatoria. Distribucion de probabi-

lidad.

Si el fenomeno real que se observa esta gobernado por el azar, su modelo es el

espacio de probabilidad (Ω,A, P ) asociado.

A partir de aquı, y puesto que nuestro interes se suele centrar en el estudio

de cierta caracterıstica de dicho fenomeno, la expresamos mediante una funcion

numericaX : Ω −→ R

w −→ x

cuyos valores dependen del azar y, por ello, la llamamos variable aleatoria.

Definicion: Una variable aleatoria (v.a.) es una funcion que asigna un numero

real a cada uno de los resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo 4.1.1. Si el experimento aleatorio consiste en ”lanzar dos monedas” y X

describe el numero de caras obtenidas, entonces

w CC CX XC XX

X 2 1 1 0

Sin embargo, no toda funcion X : Ω −→ R puede ser una v.a. Para ello es

suficiente que cualquier informacion relativa a X se corresponda, en definitiva, con

algun suceso asociado al experimento aleatorio en estudio, es decir,

∀a, b ∈ R / a ≤ b [a ≤ X ≤ b] = w ∈ Ω / a ≤ X(w) ≤ b = A ∈ A

porque solo ası, sera posible determinar la probabilidad de que dicha v.a. X tome

valores en dicho intervalo. En efecto,

[a ≤ X ≤ b] = A

∈ A ⇒ ∃P [a ≤ X ≤ b] = P (A)

/∈ A ⇒ P [a ≤ X ≤ b] = P (A)

Ejemplo 4.1.2. Sea (Ω,P(Ω), P ) con Ω = CC,CX,XC,XX, el espacio de pro-

babilidad del experimento ”lanzar dos monedas” y X la funcion que describe el nume-

ro de caras obtenidas,

Alicia M. Juan GonzalezEnfermerıa GD A Curso 2013/14

4.1. Variable aleatoria. Distribucion de probabilidad 3

w CC CX XC XX

X 2 1 1 0

entonces

[X = 0] = XX ∈ P(Ω) ⇒ ∃P [X = 0] = P (XX) =1

4

[X = 1] = CX,XC ∈ P(Ω) ⇒ ∃P [X = 1] = P (CX,XC) =2

4

[X = 2] = CC ∈ P(Ω) ⇒ ∃P [X = 2] = P (CC) =1

4

y ası, X es una v.a. sobre dicho espacio de probabilidad. Sin embargo, si el espacio de

probabilidad fuese (Ω,A, P ) con A = ∅, Ω, CC, CX,XC,XX y X describiese

nuevamente el numero de caras obtenidas, entonces

[X = 0] = XX /∈ A ⇒ P [X = 0]

y, por tanto, X no serıa una v.a. sobre dicho espacio de probabilidad.

Se tiene, en definitiva, que si X es una v.a. sobre (Ω,A, P ), entonces

∀x ∈ R [X ≤ x] = w ∈ Ω / X(w) ≤ x = A ∈ A

Una vez definida una v.a. X sobre el espacio de probabilidad (Ω,A, P ) asociado

al fenomeno aleatorio en estudio, para describirla o conocerla no es suficiente saber

que valores toma, debemos saber ademas la probabilidad con que lo hace. Cuando

este es el caso, conocemos el comportamiento probabilıstico de la v.a. X, y decimos

que conocemos su ley o distribucion de probabilidad, L(X). Con este objetivo,

se introduce la siguiente

Definicion: Dada una v.a. X sobre un espacio de probabilidad (Ω,A, P ), su

funcion de distribucion de probabilidad (f.d.p.) es la funcion FX : R −→ R

monotona no decreciente, contınua a la derecha y acotada entre 0 y 1, definida por

∀x ∈ R FX(x) = P [X ≤ x] (4.1)

El significado de las propiedades que caracterizan a la f.d.p. FX es el siguiente:



1. FX es monotona no decreciente porque si x < y ⇒ FX(x) ≤ FX(y)

2. FX es continua a la derecha: ∀x ∈ R FX(x+) = lımy→x+ FX(y) = FX(x)

3. ∀x ∈ R 0 ≤ FX(x) ≤ 1. De hecho,

FX(−∞) = lımx→−∞

FX(x) = 0 y FX(+∞) = lımx→+∞

FX(x) = 1

Propiedad 4.1.1. ∀a, b ∈ R con a ≤ b,

P [a < X ≤ b] = FX(b) − FX(a) (4.2)

Dem. Puesto que a ≤ b, entonces [X ≤ a] ⊂ [X ≤ b]. De hecho,

[X ≤ b] = [X ≤ a] ∪ [a < X ≤ b]

con lo cual,

P [X ≤ b] = P [X ≤ a] + P [a < X ≤ b]

FX(b) = FX(a) + P [a < X ≤ b]

Como consecuencia de (4.2), se deduce

P [a < X < b] = FX(b−) − FX(a)

P [a ≤ X < b] = FX(b−) − FX(a−)

P [a ≤ X ≤ b] = FX(b) − FX(a−)

La relacion (4.2) establece, en definitiva, que la distribucion de probabilidad de

la v.a. X queda determinada por su funcion de distribucion FX ,

L(X) ⇐⇒ FX

Si SX es el soporte, es decir, el conjunto de valores que puede tomar la v.a. X,

distinguimos dos casos:



Variable aleatoria discreta, cuando SX es un conjunto finito o contable de

valores distintos, SX = x1, x2, . . . , xn. Por ejemplo, el numero de veces que

un novato intenta golpear una pelota de golf, antes de lograrlo.

Variable aleatoria continua, en caso contrario. Por ejemplo, la cantidad de

lluvia caıda al dıa sobre cierta region.

que dan lugar a las distribuciones de probabilidad discretas o continuas, respectiva-

mente.

Definicion: Dada una v.a. X, su cuantil de orden p (0 < p < 1) es el valor

xp de la v.a. que verifica

P [X ≤ xp] ≥ p y P [X ≥ xp] ≥ 1 − p (4.3)

pero, dado que la primera desigualdad da lugar a FX(xp) ≥ p y de la segunda se

deduce que

FX(xp) ≤ p + P [X = xp]

se tiene, de forma equivalente que el cuantil xp de orden p verifica

p ≤ FX(xp) ≤ p + P [X = xp] (4.4)

4.1.1. Distribuciones de probabilidad discretas.

Si X es una v.a. discreta sobre un espacio de probabilidad (Ω,A, P ), que toma los

valores SX = x1, x2, . . . , xn, entonces la funcion pX sobre R que nos proporciona

la probabilidad de que la v.a. X tome el valor x, es decir,

pX(x) = P [X = x]

> 0 x ∈ SX

= 0 x /∈ SX

(4.5)

se conoce como funcion masa de probabilidad (f.m.p.) o funcion de cuantıa de

la v.a. X. Su representacion grafica es el diagrama o grafico de barras.



En consecuencia, su f.d.p. FX viene dada por

FX(x) = P [X ≤ x] =∑xi≤x

xi∈SX

pX(xi) (4.6)

y es una funcion escalonada, cuyos saltos o puntos de discontinuidad a la izquierda

son los del soporte SX , y el valor del salto en cada punto lo determina la funcion

masa.

Ejemplo 4.1.3. Si X es el numero de caras al lanzar dos monedas, entonces

x pX(x)

0 14

1 12

2 14

F (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 x < 0

14

0 ≤ x < 1

34

1 ≤ x < 2

1 x ≥ 2

La f.m.p. pX tiene entonces las siguientes propiedades:

1. pX(x) ≥ 0, y

2.∑

x∈SXpX(x) = 1

Ademas, estas propiedades la caracterizan, es decir, cualquier funcion numerica f

que satisfaga ambas propiedades es la funcion masa de alguna v.a. discreta, y puede

enunciarse el siguiente

Teorema: La distribucion de probabilidad de una v.a. discreta X queda carac-

terizada tanto por su funcion masa pX como por su funcion de distribucion FX , es

decir,

L(X) ⇐⇒ pX ⇐⇒ FX



Ejemplo 4.1.4. Sea F : R −→ R definida por

F (x)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 x < 0

0, 70 0 ≤ x < 1

0, 90 1 ≤ x < 2

0, 95 2 ≤ x < 3

0, 98 3 ≤ x < 4

0, 99 4 ≤ x < 5

1 x ≥ 5

Es inmediato que F es funcion monotona no decreciente, continua a la derecha y aco-

tada entre 0 y 1, esto es, F es una f.d.p. En su grafica, que dejamos como ejercicio,

el alumno podra observar que es escalonada, con saltos en los puntos 0, 1, 2, 3, 4, 5y el valor del salto en cada punto es

x 0 1 2 3 4 5

p(x) = F (x) − F (x−) 0, 70 0, 20 0, 05 0, 03 0, 01 0, 01 1

Ası pues, p es la f.m. de alguna v.a. X cuyo soporte es SX = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

• Esperanza matematica: Si X es una v.a. discreta, con f.m.p. pX(x); x ∈SX y soporte SX = x1, x2, . . . , xn, su esperanza matematica, valor medio o pro-

medio es el valor

E[X] =n∑

i=1

xipX(xi) = µ (4.7)

4.1.2. Distribuciones de probabilidad continuas.

Una v.a. X sobre un espacio de probabilidad (Ω,A, P ) es continua cuando existe

una funcion fX : R −→ R, conocida como densidad de probabilidad de la v.a.

X, tal que

1. fX(x) ≥ 0, y

2.∫ +∞−∞ fX(x) dx = 1



de tal manera que su f.d.p. queda determinada por

FX(x) = P [X ≤ x] =

∫ x

−∞fX(u) du (4.8)

y recıprocamente, es decir, cualquier funcion numerica f que satisfaga ambas pro-

piedades es la densidad de alguna v.a. continua.

Puesto que la integral de una funcion no negativa puede interpretarse como un

area, la 2a propiedad indica que el ”area total bajo la curva de la densidad fX es 1”,

y (4.8) nos indica que FX(x) es el area de la curva de la densidad a la izquierda del

punto x.

De (4.2) se deduce que

∀a ≤ b P [a < X ≤ b] = FX(b) − FX(a) =

∫ b

a

fX(x) dx (4.9)

con lo cual,

P [X = b] = P [b ≤ X ≤ b] = FX(b) − FX(b−) =

∫ b

b

fX(x) dx = 0 ∀b ∈ R

y esto significa que FX es una funcion continua, esto es, carece de saltos y, por tanto,

unicamente tiene sentido determinar la probabilidad de que la v.a. tome valores en

algun intervalo. De hecho,

P [a < X ≤ b] = P [a ≤ X ≤ b] = P [a ≤ X < b] = P [a < X < b]


4.2. Caracterısticas de una distribucion 9

De (4.8) se deduce, entonces, la relacion recıproca segun la cual, si x es un punto de

continuidad de la densidad de probabilidad fX , entonces

fX(x) = F ′X(x) (4.10)

y de ambas relaciones, (4.8) y (4.10), se deduce, al igual que en el caso discreto el

siguiente

Teorema: La distribucion de probabilidad de una v.a. continua X queda ca-

racterizada de forma equivalente por su densidad de probabilidad fX como por su

funcion de distribucion, es decir,

L(X) ⇐⇒ fX ⇐⇒ FX

Ejemplo 4.1.5. Si X es v.a. continua con densidad

f(x) =

1 0 ≤ x ≤ 1

0 otro casoF (x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 x < 0

x 0 ≤ x < 1

1 x ≥ 1

• Esperanza matematica: Si X es una v.a. continua con densidad de proba-

bilidad fX(x) y soporte SX = x; fX(x) > 0, entonces el valor

E[X] =

∫ +∞

−∞xfX(x)dx = µ (4.11)

es la esperanza matematica, valor medio o promedio de la v.a. X, cuando este es

finito.

4.2. Caracterısticas de una distribucion.

Dada una v.a. X ya sea discreta o continua, toda la informacion proporcionada

por su distribucion de probabilidad puede resumirse mediante ciertas cantidades

numericas que nos permiten, ademas, comparar entre diversas variables aleatorias.



Dada una v.a. X, el momento de orden k de su distribucion de probabilidad

es el valor αk, cuando existe, definido por

αk = E[Xk] =

⎧⎪⎨⎪⎩

∑x∈SX

xk pX(x) X discreta

∫ +∞−∞ xk fX(x) dx X continua

(4.12)

Un caso particular es α1 = E[X], la esperanza matematica de la v.a. X, que

describe la tendencia central o centro de su distribucion de probabilidad y, cuando

existe, se suele representar por µ,

α1 = E[X] = µ

Propiedad de la esperanza matematica: Es un operador lineal, esto es, si

Y = a + b X ⇒ E[Y ] = E[a + b X] = a + b E[X]

Otras caracterısticas de la tendencia central son:

La mediana (Me) es el cuantil de orden 0,5. Cuando, en particular, X es v.a.

continua, entonces 1 la mediana es solucion de la ecuacion

FX(Me) =1

2

La moda es el valor (o valores) Mo mas probable de la v.a. Cuando, en

particular, X es v.a. continua, entonces la moda es el valor (o valores) de la

variable que maximiza la densidad de probabilidad:

f ′(x) = 0 y f ′′(x) < 0 ⇒ x = Mo

Conocida la media µ, el momento central de orden k de la distribucion de

probabilidad de X es el valor µk, cuando existe, definido por

µk = E[(X − µ)k] =

⎧⎪⎨⎪⎩

∑x∈SX

(x − µ)k pX(x) X discreta

∫ +∞−∞ (x − µ)k fX(x) dx X continua

(4.13)

1Cuando X es v.a. continua (P [X = xp] = 0), la expresion (4.4) se reduce a p ≤ FX(xp) ≤ p,esto es, el cuantil xp de orden p es solucion de la ecuacion FX(xp) = p.



Un caso particular es µ2 conocido como varianza de la distribucion de probabi-

lidad de X y que representamos por σ2,

µ2 = V ar[X] = σ2

Propiedades de la varianza:

1. V ar[a] = 0

2. Transformacion lineal: Si Y = a + b X ⇒ V ar[Y ] = b2 V ar[X]

3. Los momentos centrales pueden obtenerse a partir de los momentos ordinarios

y viceversa. En particular,

σ2 = E[(X − µ)2] = E[X2] − (E[X])2 (4.14)

Si V ar[X] = σ2, entonces σ(≥ 0), conocida como desviacion tıpica, es una

medida de la dispersion o separacion de los valores de la variable X con respecto a

su valor central µ.

Cuanto mayor sea σ, menos representativa es la media µ como valor central de la

distribucion de probabilidad de una v.a.

No obstante, el coeficiente de variacion de Pearson definido por

CV =σ

µ(×100)

es el que nos proporciona una buena medida de la representatividad de la media. Ası,

cuando CV = 0 %, la representatividad es maxima (no hay dispersion, σ = 0). En

general, coeficientes de variacion superiores al 30 % indican baja representatividad

de la media, y por debajo del 20 % la representatividad puede considerarse buena.

Ejemplo 4.2.6. Sea X la v.a. que describe el numero de neumaticos con baja presion

de un automovil seleccionado al azar. a) ¿Cual de las siguientes funciones de los

valores de X puede ser una distribucion de probabilidad? Razona tu respuesta.



X 0 1 2 3 4

P[X=k] 0,3 0,2 0,1 0,05 0,05

P[X=k] 0,4 0,1 0,1 0,1 0,3

P[X=k] 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3

b) Conocida la distribucion de probabilidad de X, ¿cual es la probabilidad de que

el numero de neumaticos con baja presion sean, como mucho, dos?, ¿cual es la

probabilidad de que algun neumatico tenga la presion baja?, c) Determina el numero

medio de neumaticos con baja presion y, analiza la representatividad del promedio

obtenido.

Sol. a) La unica funcion de probabilidad que satisface las dos propiedades de

toda f.m.p. es la de la segunda fila pues

P [X = k] ≥ 0 ∀k = 0, 1, 2, 3, 4 y4∑

k=0

P [X = k] = 1

b) Ası, si

X 0 1 2 3 4

P[X=k] 0,4 0,1 0,1 0,1 0,3

entonces la probabilidad de que el numero de neumaticos con baja presion sean, como

mucho, dos, viene dada por

P [X ≤ 2] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2] = 0, 6

y la probabilidad de que algun neumatico tenga la presion baja es

P [X = 0] = 1 − P [X = 0] = 1 − 0, 4 = 0, 6

c) Si, para mayor comodidad, realizamos los calculos utilizando la siguiente tabla,

X P[X=k] k P [X = k] k2 P [X = k]

0 0,4 0 0

1 0,1 0,1 0,1

2 0,1 0,2 0,4

3 0,1 0,3 0,9

4 0,3 1,2 4,8

1,8 6,2



entonces, el numero medio de neumaticos de baja presion es µ = E[X] = 1, 8, y

σ2 = E[X2] − (E[X])2 = 6, 2 − 3, 24 = 2, 96 ⇒ σ = 1, 72

CV =1, 72

1, 8= 0, 95 ⇒ 95 %

lo que indica una mala representatividad del promedio obtenido. Conviene, por tanto,

recurrir a otras medidas de la tendencia central. Ası, la moda es 0 (Mo=0), porque

es el valor mas probable, mientras que para calcular la mediana, consideramos la

tabla

X P[X=k] F (k) = P [X ≤ k]

0 0,4 0,4

1 0,1 0,5

2 0,1 0,6

3 0,1 0,7

4 0,3 1

y dado que

P [X ≤ k] ≥ 0, 5 ⇒ k = 1

y

P [X ≥ k] ≥ 0, 5 ⇒ k = 2

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ ⇒ Me = 1, 5

Ejemplo 4.2.7. Si la variable aleatoria X que describe la profundidad (cms) de la

capa de bioturbacion del sedimento de cierta region tiene una densidad de probabili-

dad

f(x) =

k

(x3

+ 1)

6 < x < 20

0 otro caso

a) ¿cual es la probabilidad de que la profundidad observada sea a lo sumo de 10

cms?, b) ¿cual es la profundidad promedio de la capa de bioturbacion?, c) ¿cual es

la probabilidad de que la profundidad observada se encuentre a 1 desviacion tıpica

de su valor promedio?, d) ¿cual el la profundidad mediana? Explica su significado,

e) ¿cual el la profundidad mas probable?.



Sol. a) En primer lugar, determinamos el valor que ha de tomar ”k” para que

f(x) sea una densidad de probabilidad,

∫ 20

6

f(x)dx = 1 ⇔∫ 20

6

k(x

3+ 1

)dx = k

∫ 20

6

(x

3+ 1

)dx = 1 ⇔ k =

3

224

Se tiene ası, que

f(x) =

3

224

(x3

+ 1)

6 < x < 20

0 otro caso

y la probabilidad de que la profundidad observada sea a lo sumo de 10 cms viene

dada por

P [X ≤ 10] =

∫ 10

6

3

224

(x

3+ 1

)dx =

11

56= 0, 1964 ⇒ 19, 64 %

b) La profundidad promedio de la capa de bioturbacion viene dada por

E[X] =

∫ 20

6

xf(x)dx =

∫ 20

6

x3

224

(x

3+ 1

)dx =

673

48= 14, 02 cms

c) Se trata de determinar la probabilidad

P [|X − µ| ≤ σ] = P [µ − σ ≤ X ≤ µ + σ]

para lo cual hemos de calcular la desviacion tıpica σ. Puesto que

E[X2] =

∫ 20

6

x2f(x)dx =

∫ 20

6

x2 3

224

(x

3+ 1

)dx =

1695

8

entonces

σ2 = V ar[X] = E[X2] − (E[X])2 = 15, 29 ⇒ σ = 3, 91 cms

con lo cual,

P [µ − σ ≤ X ≤ µ + σ] = P [10, 11 ≤ X ≤ 17, 93]

=

∫ 17,93

10,11

3

224

(x

3+ 1

)dx = 0, 59535 ⇒ 59, 54 %



d) Puesto que la mediana es el valor de la v.a. que satisface la ecuacion F (x) = 12,

determinamos la f.d.p.

F (x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 x < 0

3224

(x2

6+ x − 12

)6 ≤ x < 20

1 x ≥ 20

y si

3

224

(x2

6+ x − 12

)=

1

2⇔ x2 + 6x − 296 = 0 ⇒ x =

14, 46

−20, 46

de donde, Me = 14, 46 cms, lo que significa que es igual de probable que la profun-

didad de la capa de bioturbacion sea inferior a los 14,46 cms como superior a dicha

cantidad.

e) Finalmente, la profundidad mas probable nos la proporciona la moda de la

distribucion, que es solucion del sistema

f ′(x) = 0 ⇔ 1224

= 0 absurdo

y

f ′′(x) < 0 ⇔ 0 < 0 absurdo

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

pero, puesto que el sistema no tiene solucion, la moda no existe.

Valores atıpicos.

Son valores ”raros” que puede tomar una variable aleatoria y que se situan fuera

del intervalo (f1, f2) donde,

f1 = Q1 − 1, 5 (Q3 − Q1) y f2 = Q3 + 1, 5(Q3 − Q1)

siendo Q1 el cuantil de orden 0,25 y Q3 el de orden 0,75.

Tipificar una variable aleatoria.

Dada una v.a. X con media µ y desviacion tıpica σ conocidas, ”tipificarla”

consiste en transformarla en la v.a. Z definida por

Z =X − µ

σ(4.15)



con lo cual,

µZ = E[Z] = 0 y V ar[Z] = 1

y ası, la variable ”tipificada” Z, es siempre una v.a. de media nula y desviacion

tıpica unidad.

La tipificacion es una herramienta util cuando queremos ”comparar” valores de

v.a. distintas evitando las unidades de medida.

Ejemplo 4.2.8. Los moviles de la marca Nokia tienen una duracion media de 6

anos con una desviacion tıpica de 3 meses, mientras que los de la marca Motorola

tienen una duracion media de 5 anos con una desviacion tıpica de 10 meses. Si

Pedro tiene un Nokia que le ha durado 7 anos y 2 meses, y Pilar tiene un Motorola

que le ha durado 7 anos y 5 meses, ¿que movil ha durado mas?

Sol. Si X describe la duracion del Nokia y Y la del Siemens, entonces

X = 7 +2

12⇒ ZX =

7 + 212

− 6312

=14

3= 4, 67

Y = 7 +5

12⇒ ZY =

7 + 512

− 51012

=29

10= 2, 9

y, dado que ZX > ZY , el Nokia de Pedro ha durado, en terminos relativos, mas que

el de Pilar.

Caracterısticas de forma.

Sirven para describir la forma de la distribucion de probabilidad de la v.a. y son

el coeficiente de asimetrıa y el coeficiente de apuntamiento.

Una v.a. X o su distribucion se dice que es simetrica cuando, graficamente, lo es

respecto a su tendencia central, es decir, su diagrama de barras (en el caso discreto)

o la curva de la densidad (en el caso continuo) son simetricos respecto a la recta

x = µ.

Cuando una distribucion es simetrica, todos los momentos centrales de orden

impar son nulos,

µk = 0 k = 3, 5, 7, 9, . . .


4.3. Distribuciones de probabilidad importantes 17

En particular, el coeficiente de asimetrıa de Fisher, definido por

γ1 =µ3

σ3(4.16)

que indica la intensidad de la asimetrıa. Lo recıproco, en cambio, no es cierto, es

decir, si γ1 = 0, no puede asegurarse que la distribucion sea simetrica.

Cuando la distribucion no es simetrica, el signo del coeficiente γ1 indica el sentido

de la misma. Ası,

Distribucion asimetrica negativa (o de cola izquierda) : µ3 < 0 ⇔ γ1 < 0

Distribucion asimetrica positiva (o de cola derecha) : µ3 > 0 ⇔ γ1 > 0

γ1 < 0 γ1 = 0 γ1 > 0

El coeficiente de apuntamiento o curtosis es el grado de concentracion de

la distribucion en el centro frente a las colas, de tal manera que diremos que cuanto

mayor sea la concentracion, mayor sera el apuntamiento, se define por

γ2 =µ4

σ4− 3 (4.17)

y se distinguen tres tipos de distribuciones:

platicurtica o aplastada: γ2 < 0

mesocurtica: γ2 = 0

leptocurtica o puntiaguda: γ2 > 0

4.3. Distribuciones de probabilidad importantes.

Sea (Ω,A, P ) el espacio de probabilidad asociado a un experimento aleatorio.

Sea A un suceso de dicho experimento con probabilidad p (0 < p < 1) en una



sola prueba. La ocurrencia de A se llama ”exito” y su no ocurrencia ”fracaso”, de

probabilidad 1 − p.

Si realizamos ensayos o pruebas identicas de dicho experimento, en el sentido de

que el resultado de uno no afecta al resultado de los demas, entonces la probabilidad

p permanece sin cambio de una prueba a otra.

Distribucion binomial.

Es la de la v.a. X que describe el numero de exitos que pueden obtenerse en n

pruebas del experimento aleatorio. Dicha variable es discreta porque

SX = 0, 1, 2, . . . , n

y su funcion masa viene dada por

pX(k) = P [X = k] =

(n

k

)pk (1 − p)n−k k = 0, 1, 2, . . . , n (4.18)

Dado que la funcion masa queda determinada por n y p, estos son los parametros

de la distribucion binomial y se dice que X ∼ B(n, p). Su media y desviacion tıpica

son:

µ = np y σ =√

n p (1 − p) (4.19)

Debido a las muchas aplicaciones de esta distribucion, se han compilado tablas de

su funcion de distribucion F para valores escogidos de n y p.

Ejemplo 4.3.9. En las practicas para extraer sangre, un estudiante de enfermerıa

consigue pinchar en la vena al primer intento con una probabilidad del 40%. ¿Cual

es la probabilidad de que, en 10 pruebas, logre 3 pinchazos en la vena al primer

intento?

Sol. Si X es la v.a. que describe el numero de pinchazos en la vena al primer

intento (exitos) en 10 pruebas, entonces X ∼ B(10, 0, 4), con lo cual, la probabilidad

de que logre 3 pinchazos en la vena al primer intento

P [X = 3] =

(10

3

)0, 43 × 0, 67 = 0, 2150 ⇒ 21, 5 %



Distribucion binomial negativa.

Es la de la v.a. X que describe el numero de fracasos hasta obtener n exitos en

sucesivas pruebas del experimento aleatorio. En consecuencia, es una v.a. discreta

cuyo soporte es

SX = 0, 1, 2, . . .


pX(k) = P [X = k] =

(n + k − 1

k

)pn (1 − p)k k = 0, 1, 2, . . . (4.20)

Nuevamente la funcion masa queda determinada por n y p, que seran los parametros

de la distribucion binomial negativa y se expresa por X ∼ BN(n, p). Su media y

desviacion tıpica son:

µ = n1 − p

py σ =

√n

1 − p

p2(4.21)



es la probabilidad de que no encuentre la vena al primer intento en 10 pruebas hasta

conseguir acertar 3 veces al primer intento?

Sol. Si X es la v.a. que describe el numero de fallos (fracasos) hasta conseguir

3 pinchazos en la vena al primer intento (exitos), entonces X ∼ BN(3, 0, 4), con lo

cual, la probabilidad de que falle 10 veces es

P [X = 10] =

(3 + 10 − 1

10

)0, 43×0, 610 =

(12

10

)0, 43×0, 610 = 0, 0255 ⇒ 2, 55 %

Distribucion geometrica.

Es la de la v.a. X que describe el numero de pruebas hasta obtener el primer

exito en sucesivas pruebas del experimento aleatorio. En consecuencia, es una v.a.

discreta cuyo soporte es

SX = 1, 2, 3, . . .




pX(k) = P [X = k] = (1 − p)k−1 p k = 1, 2, 3, . . . (4.22)

Puesto que la funcion masa queda determinada por p, este es el parametro de la

distribucion geometrica y se expresa por X ∼ G(p). Su media y desviacion tıpica

son:

µ =1

py σ =

√1 − p

p2(4.23)



es la probabilidad de que pinche 10 veces hasta encontrar la vena?

Sol. Si X es la v.a. que describe el numero de pinchazos (pruebas) hasta encon-

trar la vena (exito), entonces X ∼ G(0, 4), con lo cual, la probabilidad de que pinche

10 veces hasta encontrarla es

P [X = 10] = 0, 69 × 0, 4 = 0, 004 ⇒ 0, 4 %

Distribucion de Poisson (o de los sucesos raros).

Es la de la v.a. X que describe el numero de exitos en un intervalo de u unidades.

Se usa el termino intervalo aunque no es un intervalo en el sentido matematico usual

porque, por ejemplo, podrıa tratarse de la observacion del numero de llamadas de

emergencia recibidas en el 061 cada noche (desde las 0h hasta las 8h), con lo cual, el

intervalo continuo es el perıodo de 8 horas; o podrıa tratarse de la observacion del

numero de leucocitos en una gota de sangre y ası, el intervalo continuo es la gota de

sangre.

Si λ > 0 es la tasa de ocurrencia del exito en un intervalo unidad (para u = 1),

es decir, el numero promedio de exitos por unidad de medicion, entonces X es una

variable aleatoria discreta con

SX = 0, 1, 2, 3, . . .




pX(k) = P [X = k] = e−λ u (λ u)k

k!k = 0, 1, 2, . . . (4.24)

Puesto que la funcion masa queda determinada por λ u, este es el parametro de

esta distribucion, que se expresa por X ∼ P(λu), y su funcion de distribucion

F (x) = P [X ≤ x], esta tabulada. Su media y desviacion tıpica son:

µ = λu y σ =√

λu (4.25)

Se conoce como ley de los sucesos raros porque se aplica en experimentos aleatorios

en los que la probabilidad del exito es muy pequena.

Ejemplo 4.3.12. El recuento de leucocitos de un individuo sano puede presentar

en promedio un valor mınimo de hasta 6000 por mm3 de sangre. Para detectar una

deficiencia de leucocitos, se toma una gota de sangre de 0,001 mm3 y se halla el

numero X de leucocitos. ¿Cuantos leucocitos cabe esperar en un individuo sano?.

Si, a lo sumo, se encuentran dos, ¿hay signos de una deficiencia de leucocitos?.

Sol. Si el exito (o suceso de interes) es encontrar un leucocito, el intervalo es

una gota de sangre, y el mm3 es la unidad de medida, entonces u = 0, 001 y λ

es el numero medio de leucocitos por cada unidad, esto es, 6000. Por tanto, X es

una v.a. de Poisson con E[X] = λu = 6000 × 0, 001 = 6. Para una persona sana,

observarıamos un promedio de, por lo menos, 6 leucocitos. Ahora bien, si a lo sumo

se encuentran dos, ello ocurrirıa con una probabilidad dada por P [X ≤ 2] = F (2) =

0, 062 y, dado que se trata de un valor moderado, la respuesta no este claramente

determinada.

Distribucion uniforme.

Una v.a. X se dice que es uniforme en un intervalo (a, b) si su funcion de densidad

es constante dentro de el. Formalmente, X ∼ U(a, b) con densidad de probabilidad

f(x) =1

b − aa < x < b



Por tanto, es una distribucion que tiene la peculiaridad de que la probabilidad de

un suceso depende exclusivamente de la amplitud del intervalo considerado y no de

su posicion en el campo de variacion de la variable. Su media y desviacion tıpica

son,

E[X] =a + b

2y σ =

√(b − a)2

12

Distribucion exponencial.

Una v.a. X tiene una distribucion exponencial de parametro λ > 0, cuando su

densidad de probabilidad viene dada por

f(x) = λ e−λx x > 0

En consecuencia, su f.d.p. es

F (x) =

⎧⎨⎩

0 x < 0

1 − e−λx x ≥ 0

Su media y desviacion tıpica son:

E[X] =1

λy σ =

1

λ

Distribucion normal.

Se dice que una v.a. X tiene distribucion gaussiana o normal, si su densidad

esta dada por

f(x) =1

b√

2 πexp

−1

2

(x − a

b

)2

−∞ < x < ∞ (4.26)

donde ”a” es un numero real y ”b” es un numero real positivo. Puesto que la

densidad (4.26) queda determinada por ”a” y ”b”, estos son los parametros de

dicha distribucion y se dice que X ∼ N (a, b). La curva de la densidad presenta las

caracterısticas siguientes:

Su dominio es R.



La recta y = 0 es una asıntota horizontal.

El valor maximo lo alcanza en el punto (a, 1b√

2 π), de tal forma que la curva

crece para x < a y decrece para x > a.

La curva tiene dos puntos de inflexion en x = a±b, de tal forma que es concava

para a − b < x < a + b, y convexa, en caso contrario.

La curva tiene, en definitiva, forma de campana y por ello se la conoce como campana

de Gauss.

Su media y desviacion tıpica son:

µ = E[X] = a y σ = b (4.27)

lo que significa que µ y σ son los parametros que la caracterizan y escribiremos

X ∼ N (µ, σ). Su densidad de probabilidad

f(x) =1

σ√

2 πexp

−1

2

(x − µ

σ

)2

−∞ < x < ∞ (4.28)

es simetrica respecto a la recta x = µ (⇒ γ1 = 0) y puesto que µ4 = 3σ4 (⇒ γ2 = 0),

la distribucion normal es mesocurtica.

Hay multitud de v.a. normales, segun los posibles valores de µ y σ. Ası, fijado σ,

la campana se desplaza a derecha o izquierda segun el valor de µ. Por el contrario,

fijado µ, la campana es mas apuntada o mas aplastada segun el valor de σ, esto es,

cuanto mayor sea σ, mas aplastada es la campana.



La importancia de esta distribucion y la complejidad2 del calculo de las probabili-

dades relativas a ella, han dado lugar a la compilacion de la tabla para la f.d.p. de

la llamada distribucion normal ”tipificada”, que es la distribucion normal de media

cero (µ = 0), y desviacion tıpica uno (σ = 1), que representamos por Z ∼ N (0, 1).

Para cualquier otra v.a. normal X ∼ N (µ, σ), podemos calcular probabilidades

relativas a X ”tipificandola”. En efecto, puesto que ley normal tiene la propiedad de

que cualquier transformacion lineal de una v.a. normal, es tambien una v.a. normal,

entonces

X ∼ N (µ, σ) =⇒ Z =X − µ

σ∼ N (0, 1) (4.29)

y ası,

FX(x) = P [X ≤ x] = P

[X − µ

σ≤ x − µ

σ

]= Φ

(x − µ

σ

)

Aproximaciones de la distribucion binomial.

Aunque actualmente la tecnologıa disponible hace posible determinar probabi-

lidades binomiales (4.18) exactas para cualquier par de valores del numero n de

2Su f.d.p. FX(x) no tiene una expresion explıcita, ha de calcularse por integracion numerica.



pruebas del experimento y probabilidad p del exito, en el pasado este no era el caso

y por ello, se planteo el problema de buscar aproximaciones satisfactorias de las

probabilidades binomiales. El problema fue resuelto por DeMoivre y Laplace que

observaron que, fijado p, y para valores crecientes de n, el diagrama de barras de la

distribucion binomial B(n, p) va adoptando forma de campana.

B(10, p) B(25, p) B(100, p)

La solucion formal se enuncia en el siguiente

Teorema de DeMoivre y Laplace: Si X ∼ B(n, p) donde p no es muy

pequeno ni muy grande, es decir, ni muy proximo a 0 ni a 1, y el parametro n es

suficientemente grande, entonces X ∼ B(n, p) X ′ ∼ N (µ, σ) con

µ = n p y σ =√

n p (1 − p) (4.30)

y ası,

P [a ≤ X ≤ b] ≈ P [a ≤ X ′ ≤ b] = P

[a − np√np(1 − p)

≤ Z ≤ b − np√np(1 − p)

]

En la practica la aproximacion es buena cuando

n ≥ 30 np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5 (4.31)

No obstante, puesto que al aplicar la aproximacion estamos pasando de una varia-

ble discreta (binomial) X a una variable continua (normal) Z, debemos utilizar la

correccion por continuidad de Yates segun la cual, el suceso [X = a] en una distri-

bucion binomial equivale al de un pequeno intervalo de longitud unidad alrededor

del punto a,

[X = a] −→ [a − 0,5 ≤ X ′ ≤ a + 0,5]



Por tanto, si X N(

np,√

np(1 − p)), entonces

P [X = a] ≈ P [a − 0,5 ≤ X ′ ≤ a + 0,5] = P

[a − 0,5 − np√

np(1 − p)≤ Z ≤ a + 0,5 − np√

np(1 − p)

]

(4.32)

Ejemplo 4.3.13. Si el 40% de los menores de 25 anos estan en paro y tomamos

una muestra de 200 de ellos, ¿cual es la probabilidad de que el numero de parados

coincida con la media?

Sol. Si X describe el numero de parados menores de 25 anos, entonces X ∼B(200, 0, 4), pero dado que np = 80 > 5 y n(1 − p) = 120 > 5, podemos aplicar la

aproximacion por la normal,

X ∼ B(200, 0, 4) X ′ ∼ N (80,√

48)

y ası,

P [X = 80] ≈ P [80 − 0, 5 ≤ X ′ ≤ 80 + 0, 5]

= P

[80 − 0, 5 − 80√

48≤ Z ≤ 80 + 0, 5 − 80√

48

]= P [−0, 072 ≤ Z ≤ 0, 072]

= Φ(0, 072) − Φ(−0, 072)

= 0, 0558

Cuando p sea muy pequeno, n tendra que ser extraordinariamente grande para

que np ≥ 5 y, por tanto, cuando este no es el caso, las probabilidades binomiales no

deben aproximarse por la normal, sino por la distribucion de Poisson.


4.4. Ejercicios 27

Teorema 4.3.1 (Aproximacion de la binomial por la Poisson). Si X ∼B(n, p) donde p ≈ 0 y n es lo suficientemente grande como para que el producto np

se mantenga constante, esto es, np ≈ λ > 0, entonces X P(λ).

En la practica la aproximacion es buena cuando n ≥ 50 y np ≤ 5.

Ejemplo 4.3.14. La probabilidad de que un individuo padezca cierta enfermedad,

catalogada como rara, es 1/100000. En una ciudad con 500000 habitantes, ¿cual es

el numero medio de habitantes que la padecen?, ¿cual es la probabilidad de que haya

mas de 3 personas con dicha enfermedad?.

Sol. Si X es la v.a. que describe el numero de personas que padecen la enfer-

medad, entonces X ∼ B(n, p) donde p = 1/100000 y n = 500000. Dado que p

es una probabilidad muy pequena, la v.a. X debe aproximarse por la Poisson con

λ = np = 5. Ası, el numero medio de personas de dicha ciudad que padecen la en-

fermedad es 5 pero, puesto que σ =√

5 = 2, 24, no serıa extrano encontrar muchas

mas o muchas menos personas que estan enfermas. La probabilidad de que haya mas

de 3 personas enfermas es

P [X > 3] = 1 − P [X ≤ 3] = 1 − F (3) = 0, 735

4.4. Ejercicios.

5. ¿De que tipo son las siguientes variables aleatorias?: a) Numero de estudiantes

ausentes el primer dıa de clases, b) Numero de veces que un novato intenta golpear

una pelota de golf, antes de lograrlo, c) Longitud de una serpiente de cascabel

seleccionada al azar, d) pH de una muestra de suelo seleccionada al azar, e) Cantidad

de sangre que pierde un paciente durante el transcurso de una operacion, f) Numero

de abejas obreras en una colonia de abejas productoras de miel, g) Cantidad de lluvia

caıda al dıa en cierta region, h) Peso que gana una vaca durante el embarazo, i)

La altitud a la que se situa el lımite de arbolado de una montana, j) Numero de

defectos en la superficie de un cristal, k) Numero de artıculos defectuosos en un lote

de 100, l) Numero de bits transmitidos que se reciben correctamente.



13. Sea X la v.a. que describe el numero de aleteos por segundo de una especie

de polillas grandes mientras vuelan, cuya funcion masa de probabilidad viene dada

por

X 6 7 8 9 10

P[X=k] 0,05 0,1 0,6 0,15 ?

Determina: a) Las probabilidades siguientes: P [X = 10], P [X ≤ 8], P [X < 8],

P [X ≥ 7], P [X > 7], b) La funcion de distribucion acumulada F de X, y utilızala

para calcular las probabilidades anteriores, c) Su media y desviacion tıpica.

15. Los injertos, union del tronco de una planta con el tronco o la raız de otra,

se utilizan comercialmente con gran frecuencia para hacer crecer el tronco de una

variedad que produce fruta fina, sobre el sistema radical de una variedad mas ro-

busta. La mayor parte de las naranjas dulces de Valencia crece en arboles injertados

a la raız de una variedad de naranja acida. Se lleva a cabo un experimento con 5

injertos de este tipo. La funcion masa de probabilidad de la v.a. X que describe el

numero de injertos que fracasan viene dada por:

X 0 1 2 3 4 5

P[X=k] 0,7 0,2 0,05 0,03 p 0,01

Determina su funcion de distribucion de probabilidad acumulada F , y utilizala para

calcular: a) la probabilidad de que fracasen como mucho 3 injertos, b) la probabili-

dad de que fracasen al menos 2 injertos, c) numero medio de injertos que fracasan

y su desviacion tıpica.

20. La distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X que describe el

numero de coches vendidos semanalmente por cierto concesionario es

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P [X = k] 0,04 0,04 p 0,11 0,30 0,23 0,10 0,05 0,03

a) ¿Cual es el numero medio de coches vendidos semanalmente?, ¿Que es lo mas

probable? b) ¿Cual es la probabilidad de que el numero de coches vendidos en una


4.4. Ejercicios 29

semana sea superior a 2 pero inferior a 5?, ¿Cual es el numero maximo de coches

vendidos semanalmente con una probabilidad del 50 %?, c) Si a mitad de una semana

el numero de coches vendidos es menor que 3, ¿cual es la probabilidad de que al

terminar la semana superemos la media?.

21. En las rebajas se escogen 3 artıculos al azar de un grupo de 15, de los cuales

6 son defectuosos. Determina la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria

que describe el numero de artıculos defectuosos entre los escogidos, y contesta las

cuestiones siguientes: a) ¿Cual es la probabilidad de que los tres sean defectuosos?,

b) ¿Cual es la probabilidad de que no sean defectuosos?, c) ¿Cual es la probabilidad

de que uno sea defectuoso?, d) ¿Cual es la probabilidad de que por lo menos, uno

sea defectuoso?, e) ¿que es lo mas probable?.

33. La remuneracion semanal de los empleados de una agencia de seguros se

compone de un sueldo fijo de 400 e y una comision de 100 e por cada seguro

vendido. La distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X que describe el

numero de seguros que un empleado vende semanalmente es:

X 0 1 2 3 4 5

P [X = k] 0,1 0,3 0,3 p 0,05 0,05

a) ¿Cual es la funcion de distribucion del numero de seguros vendidos?, ¿Cual es

el numero medio de seguros vendidos por un empleado en una semana? b) ¿Cual

sera la remuneracion semanal media por empleado?, ¿cual es su desviacion tıpica?,

c) Si la empresa tiene 8 agentes, ¿a cuanto deberıa ascender la comision por cada

seguro vendido si la empresa espera destinar a pagos para los empleados una cantidad

semanal de 8000 e?.

45. El tiempo X (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equi-

po para un experimento tiene una distribucion uniforme en el intervalo (0, 10).

Determina: a) la probabilidad de que el tiempo de preparacion exceda de 8 min, b)

la probabilidad de que el tiempo de preparacion no exceda de dos min del tiempo

promedio.



50. En cierta explotacion agrıcola, el peso (kg) de los melones es una v.a. X con

densidad f(x) = kx para 2 < x < 4. a) ¿Cual es el peso medio de los melones?,

b) ¿cual es la probabilidad de que un melon elegido al azar pese mas de 3 kgs?,

¿cual es la probabilidad de que un melon elegido al azar pese entre 2 y 3,5 kgs?, c)

¿cual es el peso mınimo que debe tener un melon para estar entre los mas pesados?

¿que debe pesar un melon para que su peso sea atıpico?.

51. Para trasladarse a la UAL, un alumno debe tomar un autobus cerca de casa y

despues transbordar a otro. Si el tiempo total de espera (en minutos) es una variable

aleatoria X con densidad

f(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x25

0 < x < 5

10−x25

5 ≤ x < 10

0 otro caso

a) ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea, a lo sumo, de 3

minutos?, b) ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo total de espera sea superior

a 8 minutos?, c) ¿Cual es el tiempo total de espera promedio?.

53. Si X es la variable aleatoria que describe la temperatura (oC) a la que tiene

lugar cierta reaccion quımica, y su densidad de probabilidad viene dada por

f(x) =1

9(k − x2) − 1 < x < 2

a) ¿Cual es la temperatura mas probable?, b) ¿Cual es la temperatura a la que se

espera tenga lugar la reaccion?, c) ¿Cual es la probabilidad de que la temperatura

observada se situe a una desviacion tıpica de su valor medio?, d) Si la temperatura

que se esta observando ya es superior a 0oC, ¿cual es la probabilidad de que no

alcance 1oC?.

55. La duracion de un marcapasos es una variable aleatoria T con densidad

de probabilidad f(t) = a e−at para t > 0. a) ¿Cuanto debe valer ”a” para que la

duracion media sea de 16 anos?, b) ¿Cual es la probabilidad de que a una persona a

la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20


4.4. Ejercicios 31

anos?, c) Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 anos en un paciente,

¿cual es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de los 25 anos?.

77. Se lleva a cabo un estudio comparativo de dos farmacos destinados a mante-

ner un ritmo cardıaco constante en pacientes que ya han sufrido un infarto. Sea X el

numero de latidos por minuto registrado cuando se administra el farmaco A, e Y el

numero de latidos registrado con el farmaco B. Si las distribuciones de probabilidad

vienen dadas por

X 40 60 68 70 72 80 100

P[X=k] 0,01 0,04 0,05 0,80 0,05 0,04 0,01

y

Y 40 60 68 70 72 80 100

P[Y=k] 0,40 0,05 0,04 0,02 0,04 0,05 0,40

determina: a) mediante observacion el ritmo cardıaco promedio para cada farmaco.

¿Existe alguna diferencia entre los ritmos cardıacos provocados por los dos farma-

cos?, b) mediante observacion ¿cual de los dos farmacos provocara una mayor va-

riacion en el ritmo cardıaco? ¿de que forma puedes justificar tu respuesta?.

82. Un hombre y una mujer, cada uno con un gen recesivo (azul) y uno dominante

(marron) para el color de los ojos, son padres de tres hijos, ¿cual es la probabilidad

de que tengan mas hijos con ojos azules que con ojos marrones?.

83. Diez individuos, cada uno de ellos propenso a la tuberculosis, entran en

contacto con un portador de la enfermedad. Si la probabilidad de que la enfermedad

se contagie del portador a un sujeto cualquiera es del 10 %, ¿Cual es la probabilidad

de que ninguno de los 10 individuos se contagie? ¿Cuantos se espera que contraigan

la enfermedad?.

88. Para estudiar la regulacion hormonal de una lınea metabolica, se inyecta

a ratas albinas un farmaco que inhibe la sıntesis de proteınas del organismo. En

general, 4 de cada 20 ratas mueren a causa del farmaco antes de que el experimento



haya terminado. Si se trata a 10 animales con el farmaco, ¿cual es la probabilidad

de que al menos 7 lleguen vivos al final del experimento?.

91. Cierta raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la probabilidad de

que un cachorro sea macho es de 0,55, determina a) la probabilidad de que en una

camada haya dos hembras exactamente, b) la probabilidad de que en una camada

haya al menos dos hembras.

92. La probabilidad de que un estudiante obtenga el tıtulo de enfermero es 0,7.

Determina la probabilidad de que en un grupo de 10 estudiantes matriculados en

primero a) ninguno se gradue en enfermerıa, b) todos se graduen en enfermerıa, c)

al menos 2 se graduen en enfermerıa, d) solo 1 se gradue en enfermerıa.

101. Un medico aplica un test a 10 alumnos de un colegio para detectar una

enfermedad cuya incidencia sobre la poblacion infantil es del 10 %. La sensibilidad

del test es del 80 % y la especificidad del 75 %, a) ¿cual es la probabilidad de que a

4 alumnos le de un resultado positivo?, b) Si en la muestra hay 4 personas a las que

el test da positivo, ¿cual es la probabilidad de que entre estas, dos esten sanas?, c)

Calcula la probabilidad de que el resultado del test sea incorrecto para dos personas,

d) Calcula la probabilidad de que el resultado del test sea correcto para mas de 7

personas.

124. Un matrimonio quiere tener una hija y, por ello, deciden tener hijos hasta el

nacimiento de una hija. Calcula el numero medio de hijos (entre varones y hembras)

que tendra el matrimonio. ¿Cual es la probabilidad de que el matrimonio acabe

siendo familia numerosa (tres hijos o mas).

126. Si la probabilidad de encontrar aparcamiento delante del Aulario-I cual-

quier dıa de lunes a viernes durante el curso academico es de 0,25, a) ¿cual es la

probabilidad de que en una semana cualquiera encuentre aparcamiento el lunes y

el martes?, ¿cual es la probabilidad de que en una semana cualquiera encuentre

aparcamiento solamente el lunes y el martes? b) ¿cual es la probabilidad de que en


4.4. Ejercicios 33

una semana cualquiera encuentre aparcamiento tres dıas al menos?, c) Si el curso

academico consta de 30 semanas, ¿cuantos dias cabe esperar encuentre aparcamien-

to en esa zona?, d) ¿cual es la probabilidad de que encuentre aparcamiento por

primera vez el tercer dıa de curso?.

135. En cierta poblacion, se ha observado un numero medio anual de muertes

por cancer de pulmon de 12. Si el numero de muertes causadas por esta enfermedad

sigue una distribucion de Poisson, ¿cual es la probabilidad de que durante el ano

en curso a) haya exactamente 10 muertes por cancer de pulmon?, b) 15 personas o

mas mueran a causa de esta enfermedad?, c) 10 personas o menos mueran a causa

de esta enfermedad?.

149. Entre los diabeticos, la glucemia en ayunas puede considerarse una dis-

tribucion aproximadamente normal con una media de 106 mg/100mL y desviacion

tıpica de 8 mg/100mL. a) Calcula la probabilidad de que el nivel de glucemia en

un individuo sea inferior a los 120 mg/100mL, b) ¿Que porcentaje de diabeticos

tendra niveles entre 90 y 120 mg/100mL?, c) ¿Que porcentaje de diabeticos ten-

dra niveles superiores a los 121 mg/100mL?, d) Determina el nivel de glucemia

maximo que corresponde al 25 % de los diabeticos con niveles mas bajos.

150. En cierta poblacion humana el ”ındice cefalico”, I, (cociente entre el diame-

tro transversal y el longitudinal expresado en tanto por ciento) se distribuye segun

una normal. El 58 % de los habitantes son dolicocefalos (I ≤ 75), el 38 % son me-

socefalos (75 < I ≤ 80) y el 4 % son barquicefalos (I > 80). Determina el ındice

cegalico medio y la desviacion tıpica de dicha poblacion.

151. La glucemia basal en individuos sanos es una variable aleatoria con distri-

bucion normal de media 80 y desviacion tıpica 10; mientras que en los diabeticos

sigue una distribucion normal de media 160 y desviacion tıpica 31,4. Si se conviene

en diagnosticar como sanos al 2 % de los diabeticos, a) ¿por debajo de que valor

se considera sano a un diabetico?, b) ¿cuantos sanos seran diagnosticados como



diabeticos?, c) Si el 10 % de la poblacion es diabetica, ¿cual es la probabilidad de

que un individuo elegido al azar y diagnosticado como diabetico, realmente lo sea?.

152. El coeficiente de inteligencia (CI) de un grupo de 500 alumnos se distribuye

normalmente con una media de 100 puntos y una desviacion tıpica de 15. Si los

infradotados tienen un CI inferior a 70 puntos, ¿cuantos infradotados hay en el

grupo?. Si el 2 % superior son superdotados, ¿que CI corresponde a dicho grupo?,

¿cuantos superdotados hay en el grupo?.

165. El diametro de una variedad de tomates procedentes de una huerta ecologica

es una variable aleatoria con distribucion normal cuya media es de 45 mm. Sabiendo

que la probabilidad de que un tomate tenga un diametro mayor de 50 mm es igual a

0,0062, calcula: a) La probabilidad de que el diametro de un tomate este comprendi-

do entre 39,7 y 43,5 mm, b) Si en dos kilos que he comprado, hay 10 tomates, ¿cual

es la probabilidad de que exactamente 4 tomates tengan un diametro comprendido

entre 39,7 y 43,5 mm?, c) En una caja con 40 tomates, ¿cual es la probabilidad de

que, a lo sumo, 10 tomates tengan un diametro comprendido entre 39,7 y 43,5 mm?.

169. El requerimiento mınimo diario (RMD) de vitamina C para un adulto es de

60 mg, y lo optimo recomendado es de 180 mg diarios (esto es, 3 veces el RMD). Una

de las frutas con mayor contenido en vitamina C es la guayaba tropical (psidium

guajava), cuyo contenido promedio es de 183 mg por cada 100 g de peso de la fruta.

Si el contenido en vitamina C de la guayaba tropical se distribuye normalmente con

una media de 165 mg por pieza y una desviacion tıpica de 16 mg, y he comprado

una caja con 40 piezas a) ¿cuantas de ellas cabe esperar tengan un contenido de

vitamina C superior al optimo recomendado? b) ¿cual es la probabilidad de que el

numero de piezas con un contenido de vitamina C mayor al optimo recomendado

sea superior a la docena?.

170. En 2002 se observo que los conejos de Andalucıa padecıan una apreciable

contaminacion por mercurio que podıa deberse a que habıan comido semillas de

plantas que fueron tratadas durante su crecimiento con metilo de mercurio. Si el


4.4. Ejercicios 35

nivel de mercurio (en ppm ”partes por millon) en un conejo es una v.a. X que se

distribuye normalmente con una media de 0,25 y una desviacion tıpica de 0,08, a)

¿cual es la probabilidad de que el nivel de mercurio de un conejo elegido al azar

sea superior a 0,17 pero inferior a 0,30?, b) Si un granjero tiene 5 conejos, ¿cual

es la probabilidad de que solo 3 tengan niveles de mercurio en dicho intervalo?, c)

Si, por el contrario, una granja tiene 35 conejos, ¿cual es la probabilidad de que,

como mucho, 15 de ellos tengan niveles de mercurio en dicho intervalo?, ¿cual serıa

la probabilidad de que solo 3 tengan niveles de mercurio en dicho intervalo?.

176. Una prueba de laboratorio para detectar heroına en sangre tiene un 92 %

de precision. Si se analizan 72 muestras en un mes, ¿cual es la probabilidad de que

a) al menos 60 esten correctamente evaluadas?, b) menos de 60 esten correctamente

evaluadas?, c) exactamente 60 esten correctamente evaluadas?.

178. En cierta explotacion agrıcola, el peso (kg) de los melones es una v.a. X

con densidad de probabilidad f(x) = 2x/15 para 1 < x < 4. a) ¿Cual es el peso

medio de estos melones?, b) ¿Cual es la probabilidad de que un melon elegido al

azar pese mas de 3kg?, c) En una caja con 10 melones, ¿cual es la probabilidad de

que 4 tengan un peso superior a los 3kg?, d) Si un mayorista compra 40 melones,

¿cual es la probabilidad de que mas de la mitad tengan un peso superior a los 3kg?.

179. Si el tiempo, en minutos, que tarda un enfermero en responder a la llamada

de un paciente tiene una densidad de probabilidad dada por f(t) = 15

para 0 < t < 5

a) ¿Cual es el tiempo de respuesta promedio?, b) ¿Cual es la probabilidad de que

el tiempo de respuesta no supere los tres minutos?, c) Si un enfermero recibe 7

llamadas, ¿cual es la probabilidad de que, en mas de la mitad, acuda antes de los

tres minutos?, d) Si a lo largo de un dıa, los enfermeros de una planta han recibido

35 llamadas, ¿cual es la probabilidad de que solo en 5 de ellas el tiempo de respuesta

haya sido superior a cuatro minutos?.

181. La talla de los recien nacidos se distribuye normalmente pero, mientras

que en la Comunidad Autonoma A la media es de 52cm con una desviacion tıpica



de 3cm, en otra Comunidad B la media es de 53cm con una desviacion tıpica de

5cm. a) ¿En que Comunidad es mas probable que la talla de un recien nacido sea

superior a los 50cm?, b) En el caso de la Comunidad A, determina entre que valores

simetricos respecto a la media esta el 50 % de las tallas de los recien nacidos, c)

Si la talla de un recien nacido de la Comunidad B esta entre 52 y 54cms, ¿cual

es la probabilidad de que su talla supere la media?, d) Si en la maternidad de un

hospital de la Comunidad B, han habido 50 nacimientos durante una semana, ¿cual

es el numero medio de recien nacidos que midieron entre 52 y 54cms?, ¿Cual es

la probabilidad de que, como mucho, 12 recien nacidos hayan medido entre 52 y

54cms?.

201. En las moscas de la fruta, cuatro de cada 105 espermatozoides presentan

una mutacion del color rojo de los ojos a blanco o viceversa. ¿Cuantas mutaciones

esperarıa usted que se produjesen en 200000 espermatozoides? ¿Cual es la proba-

bilidad de que se produzca un maximo de 10? ¿Cual es la probabilidad de que se

produzcan entre 6 y 10?.

203. Danando los cromosomas del ovulo o del espermatozoide pueden causarse

mutaciones que conducen a abortos, defectos congenitos u otras deficiencias geneti-

cas. La probabilidad de que dicha mutacion se produzca por radiacion es de 0,10. De

las 150 mutaciones proximas causadas por cromosomas danados, ¿cuantas se espera

que sean debidas a radiaciones?, ¿cual es la probabilidad de que solamnente 10 se

deban a radiaciones?.

204. El 10 % de las personas tienen algun tipo de alergia. Se seleccionan al azar

100 individuos y se les entrevista. Calcula la probabilidad de que a) al menos 12

tengan alguna alergia, b) a lo sumo 8 tengan alguna alergia.

205. La probabilidad de morir como consecuencia del uso de la pıldora anticon-

ceptiva es de 3/100000. Si un millon de mujeres utilizan este metodo anticonceptivo,

a) ¿cuantas muertes debidas a esta causa es de esperar?, b) ¿cual es la probabilidad


4.4. Ejercicios 37

de que a lo sumo se produzcan 25 muertes por esta causa?, c) ¿cual es la probabi-

lidad de que el numero de muertes por esta causa sea inferior a 35 pero superior a

25?.

206. La probabilidad de presentar cierta caracterıstica genetica es de 1/20. a)

En una muestra de 8 individuos, ¿cual es la probabilidad de que 3 de ellos la tengan?,

b) En una muestra de 80 individuos, ¿cual es la probabilidad de que mas de 5 la

tengan?.

207. Las radiaciones electromagneticas procedentes de la telefonıa movil e in-

alambrica pueden provocar cancer (rompen el ADN provocando danos cerebrales,

sobre todo en los ninos y jovenes cuyos cerebros estan todavıa en desarrollo). Sin

embargo, el uso del movil es casi universal. Segun un informe del grupo de traba-

jo internacional ”The Biolnitiative Working Group” dirigido por el Dr. David O.

Carpenter, director del Instituto de Salud y Medioambiente de la Universidad de

Albany, NY, los ninos y jovenes que usan el movil habitualmente son cinco veces

mas propensos a desarrollar tumores cerebrales que un adulto. Supuesto que la pro-

babilidad de que un adulto expuesto a tales radiaciones, desarrolle un tumor cerebral

es del 1 %, a) ¿Cual es la probabilidad de que en un grupo de 5 adultos expuestos

a radiaciones electromagneticas, alguno desarrolle un tumor cerebral?, b) ¿Cual es

la probabilidad de que en un grupo de 5 jovenes expuestos a radiaciones electro-

magneticas, alguno desarrolle un tumor cerebral?, c) ¿Cual es la probabilidad de

que en un grupo de 70 jovenes expuestos a radiaciones electromagneticas, alguno

desarrolle un tumor cerebral?.


cap´ıtulo 4 distribuciones de probabilidad · la electricidad y la energ´ıa at´omica: ... real...

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