capitulo 4.4
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Estatistica aplicada,Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuiçãode Probabilidades - parte IVTRANSCRIPT
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Variveis Aleatrias Contnuas e Distribuiode Probabilidades - parte IV
Marcos Oliveira Prates
2012/02
Marcos Oliveira Prates Variveis Aleatrias Contnuas e Distribuio de Probabilidades
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Marcos Oliveira Prates Variveis Aleatrias Contnuas e Distribuio de Probabilidades
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Distribuio Exponencial
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Vamos relembrar a definio de uma varivel comDistribuio Poisson.
Nmero de falhas ao longo do comprimento de um fio decobre.
A distncia entre as falhas uma varivel de interesse.
Seja X o comprimento de um ponto inicial at a primeirafalha do fio.
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A distribuio de X pode ser obtida a partir da distribuiodas falhas.Vejamos como estabelecer essa relao.A distncia at a primeira falha exceder 3 milmetrossomente se:
no houver nenhuma falha at um comprimento de 3milmetros.
Significa que at o comprimento de 3 milmetros nenhumafalha ainda foi observada.
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Se o nmero de falhas em um metro tem distribuioPoisson().Em 3 mm esperamos observar (0,03).
A probabilidade requerida ser
P(X > 3) = P(zero falhas no intervalo de 0 a 3 mm)
=e(0,03)((0,03))0
0!
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Vamos ver agora o caso geral.Seja N o nmero de falhas em x milmetros.O nmero mdio de falhas por metro .N tem distribuio Poisson com mdia x.Consideramos que o fio tem comprimento maior que x .Temos que
P(X x) = P(N = 0) = exx0
0! = ex .
Logo
F (x) = P(X x) = 1 ex X 0.
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A funo de distribuio cumulativa de X
F (x) = P(X x) = 1 ex .
Diferenciando F (X ) temos que
f (x) = ex x 0 .
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A distribuio de X est ligada ao Processo de Poisson.
Veremos que o ponto inicial para medir X no importa.
No processo de Poisson o nmero de falhas dependeapenas do comprimento do intervalo
e no da localizao do intervalo.
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Distribuio ExponencialSeja X a distncia entre contagens em um Processo dePoisson.Considere que a mdia desse processo > 0.X ento uma varivel aleatria exponencial comparmetro .A funo densidade de probabilidade de X
f (x) = ex para 0 x
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A distribuio Exponencial tem esse nome por causa dafuno exponencial que a aparece em sua densidade.Veja abaixo grficos da distribuio exponencial paraalguns valores de .
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Vamos agora calcular mdia e varincia dessa varivel.Relembre que
E(X ) =
xf (x)dx .
Usando a definio temos que
E(X ) =
0xexdx = 1
.
(fazer no quadro)Ento o tempo de espera at a falha :
inversamente proporcional taxa com que as falhasocorrem.
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Para a varincia, usamos
V (X ) =
(xE(X ))2f (x)dx =
x2f (x)dx(E(X ))2 .
Integrando por partes temos que
0x2f (x)dx = 2
2.
PortantoVar(X ) = 2
2
12
=12
.
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Mdia e VarinciaSeja X uma varivel aleatria com distribuioexponencial de parmetro .Temos ento que
E(X ) = 1
Var(X ) = 12
.
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Exemplo:
Considere uma rede de usurios de computadores.
As conexes dos usurios ao sistema podem sermodeladas por um Processo de Poisson.
A mdia desse processo de 25 conexes por hora.
Qual a probabilidade de no haver conexes em umintervalo de 6 minutos?
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Exemplo: (soluo)Seja X o tempo em horas at a primeira conexo.X tem distribuio exponencial com = 25 conexes porhora.Queremos saber a probabilidade de X exceder 6 minutos. dado em conexes por hora.Precisamos expressar as unidades de tempo em horas
6 minutos = 0,1 horas .
A probabilidade requerida
P(X > 0,1) =
0,125e25x = e25(0,1) = 0,082 .
(Fazer no quadro)
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Exemplo:Qual a probabilidade do tempo at a prxima conexoestar entre 2 e 3 minutos?Temos que
2 minutos = 0,033 horas 3 minutos = 0,05 horas .
A probabilidade requerida
P(0,033 < X < 0,05) = 0,05
0,03325e25xdx = e25x
0,050,033
= 0,152 .
(Fazer no quadro.)
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Exemplo:Determine o intervalo tal que a probabilidade de nenhumaconexo ocorrer nesse intervalo 0,9.Queremos saber o comprimento de x tal que
P(X > x) = e25x = 0,9
Tirando logartmo dos dois lados temos que
25x = ln(0,9) x = 0,00421 hora = 0,25 minuto .
O tempo mdio at a prxima conexo
E(X ) = 1/ = 1/25 = 0,04 hora = 2,4 minutos .
A varincia
Var(X ) = 1/2 = 1/252 .
O desvio padro Var(X ) = 1/ = 1/25 = 0,04 hora = 2,4 minutos .
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Vimos no exemplo anterior quea probabilidade de no haver conexes em um intervalo de6 minutos 0,082 no depende do tempo inicial dointervalo.
O processo de Poisson supe que os eventos ocorremuniformemente em um intervalo.
No h agrupamento de eventos.A probabilidade de que a primeira conexo depois do12:00 ocorra depois de 12:06 igual a :
probabilidade de que a primeira conexo depois das 15:00ocorra aps 15:06.
Falta de memria da exponencial.
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O ponto inicial de observao no importa.Se houver perodos com picos de conexo o modelo dePoisson no um bom modelo.Pode ser razovel modelar perodos do dia diferentes porprocessos de Poisson com parmetros distintos.Colocamos um valor de alto em alguns perodos e baixoem outros.A distribuio exponencial com o correspondente podeser usada para calcular probabilidades de conexo.
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Exemplo:Considere um contador que detecta partculas raras.Seja X o tempo entre deteces de uma partcula.X tem distribuio exponencial com
E(X ) = 1,4 minuto .
A probabilidade de detectarmos uma partcula dentro de30 segundos a partir do comeo da contagem
P(X < 0,5 minuto ) = F (0,5) = 1 e0,51,4 = 0,30 .
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Exemplo: (continuao)Suponha que ligamos o contador e esperamos 3 minutossem detectar nenhuma partcula.Qual a probabilidade de uma partcula ser detectada nosprximos 30 segundos?Como j esperamos 3 minutos sentimos que j temposuficiente.A probabilidade de deteco nos prximos 30 segundosdeveria ser menor que 0,3.Isso porm no verdade.
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Exemplo: (soluo)A probabilidade requerida
P(X < 3,5|X > 3) = P(X < 3,5;X > 3)P(X > 3) =P(3 < X < 3,5)
P(X > 3) .
Temos que
P(3 < X < 3,5) = F (3,5)F (3) = [1e3,51,4 ] [1e
31,4 ]
= 0,035
P(X > 3) = 1 F (3) = e3
1,4 = 0,117 .
AssimP(X < 3,5|X > 3) = 0,0350,117 = 0,3 .
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Observaes:Depois de esperar por 3 minutos
a probabilidade de deteco nos prximos 30 segundos a mesma de deteco nos 30 segundos imediatamentedepois de comear a contagem.
O fato de que voc esperou 3 minutos sem deteco nomuda a probabilidade de deteco.
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Propriedade de Falta de MemriaPara uma varivel aleatria exponencial X
P(X < t1 + t2|X > t1) = P(X < t2) .
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Veja a figura abaixo.A soma das reas um
A + B + C + D = 1 .A rea A P(X < t2).A rea C dividida por C + D
P(X < t1 + t2|X > t1) .A falta de memria implica que
a proporo em A igual a proporo de C em C + D.
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A distribuio exponencial muito usada para modelartempo de falha de um equipamento.
Exemplo: o tempo de vida de um chip.
A falta de memria significa que o equipamento nodesgasta.
Independente de quanto tempo o equipamento tenhaoperado a probabilidade de falha no muda.
Quando o equipamento sofre desgaste esse no ummodelo bom.
Uma distribuio usada nesse caso a Weibull.
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Distribuio Gama
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Algumas variveis aleatrias so sempre no negativas.
A Distribuio Gama generaliza a DistribuioExponencial.
A Distribuio Gama utilizada na modelagem deproblemas que a resposta estritamente positiva.
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Antes de apresentar a funo de densidade de umavarivel alaetria, X , que segue uma distribuio Gama.Iremos intorudizir a funo Gama:
(r) =
0x r1exdx para todo r > 0.
A funo Gama a generalizao da funo fatorial.Dessa forma temos:
se r inteiro: (r) = (r 1)!(r) = (r 1)(r 1)(1) = 1
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Uma varivel alaetria X , com funo de densidade
f (x) = r x r1ex
(r), para x > 0
uma varivel alaetria Gama, com parmetros > 0 er > 0.
0 f (x) = 1 (fazer no quadro)
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Vamos agora calcular mdia e varincia dessa varivel.Relembre que
E(X ) =
xf (x)dx .
Usando a definio temos que
E(X ) =
0
r x rex
(r)dx = r
(fazer no quadro)
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Para a varincia, usamos
V (X ) =
(xE(X ))2f (x)dx =
x2f (x)dx(E(X ))2 .
Logo temos que
0x2f (x)dx = r(r + 1)
2.
PortantoVar(X ) = r(r + 1)
2
r2
2=
r
2.
(fazer no quadro)
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Mdia e VarinciaSeja X uma varivel aleatria com distribuio gama deparmetros e r .Temos ento que
E(X ) = r
Var(X ) = r2
.
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A funo de distribuio acumulada de uma varivel gamano possui forma fechada.A distribuio exponencial um caso especial dadistribuio gama quando r = 1.Outra distribuio conhecida que tambm um casoespecial da distribuio gama a distribuiochi-quadrado (2).
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A distribuio 2 obtida quando r = /2 e = 1/2.O parmetro chamado de graus de liberdade.A funo de densidade de uma varivel alaetria 2
f (x) = x/21ex/2
2/2(/2), para x > 0
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Mdia e VarinciaSeja X uma varivel aleatria com distribuio 2 deparmetro .Temos ento que
E(X ) = Var(X ) = 2 .
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Distribuio Beta
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Uma distribuio que seja contnua, mas limitada a umafaixa finita til para modelos de probabilidade.
Dados de propores so exemplos de variveis contnuasao longo do intervalo [0,1].
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Uma varivel alaetria X , com funo de densidade
f (x) = (+ )()()
x1(1 x)1, para 0 x 1
uma varivel alaetria beta, com parmetros > 0 e > 0.
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Mdia e VarinciaSeja X uma varivel aleatria com distribuio beta deparmetros e .Temos ento que
E(X ) = +
Var(X ) = (+ )2( + + 1)
.
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Distribuio ExponencialDistribuio GamaDistribuio Beta