capítulo 5: circuitos pasivos recíprocos de microondasluise/mo-caf/uniones_guias_color.pdf ·...
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µO-CAF -5- 1
Capítulo 5:
Circuitos pasivos recíprocos de microondas
Este capítulo es continuación natural del anterior: una vez se ha descrito la herramienta necesaria para analizar circuitos
de microondas se pasa a la descripción de distintos circuitos pasivos recíprocos de microondas. Se analizarán y diseñarán
uniones de dos guías, de tres guías (divisores de potencia donde se diseñará un divisor Wilkinson), de cuatro guías
(análisis y diseño de acopladores direccionales: branch line, rat-race y tecnología de líneas acopladas).
µO-CAF -5- 2
ÍNDICE (I)
• Uniones de dos guías– Propiedades de la matriz de dispersión de un cuadripolo– Cierre de un cuadripolo por su impedancia característica o por una impedancia distinta de
la característica.– Matriz de transmisión.– Transformación de parámetros en cuadripolos
• Uniones de tres guías: divisores y combinadores de potencia– Definiciones de T plano H y plano E: propiedades de la matriz de dispersión.– Teoremas referentes a una unión de tres guías: cierre de una unión de tres guías.– Diseño de divisores sin pérdidas y con pérdidas.– Análisis y diseño de un divisor Wilkinson equilibrado: introducción al análisis en modo
par-impar.– Divisor de potencia Wilkinson desequilibrado.
• Uniones de cuatro guías: acopladores direccionales– Matriz de dispersión de un acoplador direccional: teoremas.– Definiciones: coeficientes de transmisión, acoplo y aislamiento.– Análisis y diseño de acopladores direccionales: acopladores de 90º (branch-line), T-
mágica (rat-race), acopladores basados en líneas acopladas.
µO-CAF -5- 3
Uniones de dos guías
• Se supone la red pasiva, lineal y recíproca.• Unión pasiva (Re(Z) definida positiva)
– No disipativa: Re(Z)=0
• Desde el punto de vista de matriz de dispersión:– Unión pasiva– Unión no disipativaProducto de filas por columnas– Para un cuadripolo:Restando las dos primeras ecuacionesSi el cuadripolo está adaptado desde 1resulta
• Si un cuadripolo no disipativo está adaptado desde una de sus guías, está completamente adaptado
211222112221
12112211 0;0;0 rrrr
rrrr
rr ⋅≥⋅⇔≥≥≥
=
2221
1211
xxxx
jZ
( )realSSP H ⋅−∆⇒≥ ;0( )
≠=⋅
=⋅⇒⋅=∆⇒=⋅−∆
∑
∑
=
=
)(1
10
1
*
1
*
jiss
ssSSSS
N
kkjki
N
kkiki
HH
=⋅+⋅
=⋅+⋅
=⋅+⋅
0
1
1
*2212
*1211
*2222
*2121
*2121
*1111
ssss
ssss
ssss
µO-CAF -5- 4
Relaciones de potencia en un cuadripolo (I)
• Caso 1: Cuadripolo acabado en su impedancia características Zo
• Concepto de ganancia de potencia:
T
in
Ga
bs
ab
s
===
Γ==
generador disponible Potenciacarga entregada Potencia
21
222
21
1
111
[S]
Zo
VS
a1
b1
GS GinZoGout GL
a2
b2
211
221
21
21
22
1cuadripolo entregada Potenciacarga entregada Potencia
s
s
ba
bGp
−=
−==
µO-CAF -5- 5
Relaciones de potencia en un cuadripolo (II)
• Caso 2: Cuadripolo acabado en impedancia Zg y ZL
• Las expresiones de las ganancias son totalmente diferentes a las de la anterior transparencia (se verán en el tema de amplificadores)
2
211
22
211211
1
1 ;1 b
as
sss
sab
LL
Lin =Γ≠
Γ⋅−Γ⋅⋅
+==Γ
[S]
Zg
VS
a1
b1
GS GinZLGout GL
a2
b2
µO-CAF -5- 6
Cuadripolos en cascada (I)
• La matriz S no es apropiada pues no relaciona ondas de entrada con ondas de salida
• Parámetros de transmisión en función de ondas de potencia
∏=
=⇒
−
⋅−
=⇒
⋅+⋅=⋅+⋅= N
iitotal TT
sss
ss
sss
sT
btatabtatb
1
1212
11
12
22
12
112221
1221212
1121112
1
a’2
a1
b1 b2
a2
b’2
a3
b3
µO-CAF -5- 7
Cuadripolos en cascada (II)
• Útil cuando se trabaja con cuadripolos en cascada y se disponen de los voltajes y corrientes en lugar de ondas de amplitud o potencia.
⋅+⋅=⋅+⋅=
221
221
IDVCIIBVAV
I1I2
V1V2
µO-CAF -5- 8
Parámetros de transmisión ABCD para estructuras comunes
µO-CAF -5- 9
Tabla de transformación de parámetros
µO-CAF -5- 10
Uniones de tres guías (I)
• Partiremos de hexapolos no disipativos• Se considerarán uniones de guías que soporten solamente el modofundamental• Las simetrías geométricas tenderán a tener una solución simétrica electromagnética• En una guía con modo TE10 el modo fundamental es simétrico con relación al plano paralelo a las generatrices y que pasa por las centrales de las caras anchas y no es simétrico respecto al perpendicular que pasa por las caras estrechas.• Análisis: se excita el TE10 por la puerta 1
• Unión figura a: simetría T plano E• Unión figura b: simetría T plano H• Unión figura c: simetría total de 120º
µO-CAF -5- 11
Uniones de tres guías (II)
1
1
1
T plano E T plano H
Unión en T impresa con simetría total
120º
µO-CAF -5- 12
Uniones de tres guías (III): simetría geométrica
⋅=⋅=
⇒⋅
=
BTBATA
AA''
100001010
'
T plano H
=
=
3
2
1
3
2
1
;bbb
Baaa
AExcitación inicial
=
=
3
1
2
3
1
2
' ;'bbb
Baaa
ANueva excitación
Relación entre A’ y A
Como la matriz de dispersión es una (la T es una)
ATSASTATSBTASBASB
⋅⋅=⋅⋅⇒⋅⋅=⋅⇒
⋅=⋅= ''
2313
2211
ssss
==
T plano E
=
=
3
2
1
3
2
1
;bbb
Baaa
AExcitación inicial
−=
−=
3
1
2
3
1
2
' ;'b
bb
Ba
aa
ANueva excitación
⋅=⋅=
⇒⋅
−=
BTBATA
AA''
100001010
'
Relación entre A’ y A
T plano H T plano E223
213
2211
ss
ss
=
=Unión simétrica
122313
332211
sss
sss
====
µO-CAF -5- 13
1) Una unión en T no disipativa no puede estar completamente adaptada. (Demostración por reducción al absurdo)o Corolario: Una unión en T no disipativa y de simetría completa no puede estar
adaptada desde ninguna de sus guías.
2) Si una unión en T no disipativa está adaptada desde dos de sus guías, la tercera está desacoplada de ellas y es una unión degenerada. (Dem. ejercicio)o Corolario: Una unión en T no disipativa y simétrica con relación a un plano, está
adaptada desde una de sus guías simétricas es una unión degenerada.o Corolario: Una unión en T no disipativa ni degenerada sólo puede estar adaptada
desde una de sus guías.
3) Si se cierra uno de los brazos de una unión en T con un cortocircuito colocado en posición conveniente, se consigue un cuadripolo degenerado, con sus dos guías desacopladas. (Demostración)
4) En una T no disipativa y simétrica con relación a un plano, un cortocircuito, colocado en una posición adecuada en la guía que coincide con su simétrica respecto dicho plano, adapta el cuadripolo resultante. (Demostración, ejercicio)
Uniones de tres guías (IV): teoremas de uniones no disipativas
µO-CAF -5- 14
El divisor de potencia Wilkinson
• De los teoremas anteriores, una unión en T sin pérdidas no puede estar adaptada desde todas sus puertas. Además, el aislamiento entre terminales no es bueno.
• La presencia de pérdidas (divisor resistivo, Pozar pp.362): tiene adaptadas todas las puertas, el aislamiento entre puertas de salida es malo, las pérdidas hace que la mitad de la potencia se disipe en las resistencias.
• Se puede conseguir mediante una red CON pérdidas (no verifica los teoremas de la unión en T sin pérdidas) un divisor denominado Wilkinson:
– Perfectamente adaptado– Con las puertas de salida aisladas entre sí– Que cuando está adaptado, no hay pérdidas de potencia porque forzamos a que no haya energía
por dicha resistencia
µO-CAF -5- 15
Diseño del divisor de potencia Wilkinson simétrico: excitación en modos par-impar
• Lo analizaremos para una relación de 3 dB mediante modos par-impar porque EXISTE SIMETRÍA ELÉCTRICA Y GEOMÉTRICA
• Incógnitas: impedancia de las líneas, Z, y resistencia entre puertos, r.• Proceso:
– Visualizar si existe simetría eléctrica y geométrica: EXISTE ENTRE LOS PUERTOS 2 Y 3
– Objetivo: adaptación puertos y aislaimiento.– Consecución de la excitación simétrica mediante una excitación apropiada en dos puertos tal
que su suma sea la que se pide en la definición– Si el parámetro es el s22 supone a3=0, si el parámetro es el s23 (=s32) supone a2=0. En ambos
casos el parámetro de salida a medir es b2
0;00,3
223
0,2
222
2131
====== aaaa
ab
sab
s
Plano de simetría
? 1- ?22a0(P-I)
?1+ ?202a(P+I)
?2-aaImpar (I)
?1aaPar (P)
b2a3a2Excitación
SalidaEntrada
µO-CAF -5- 16
Diseño del divisor de potencia Wilkinson simétrico: excitación par
2112 2
2
=⇒=Γ⇒== ZZ
Z e
adaptación
ein
• Los nodos 2 y 3 tienen el mismo nivel de potencial, lo que supone que:
– No hay corriente en r/2– Muro magnético en el plano de simetría.
• La impedancia de entrada en el terminal 2 vale:
• Los voltajes en los nodos son:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) 2
11
10
2222
14
1
2
jVVjVVV
VjVVV
eeVeVeVzV
e
e
zjzjzjzj
−=+Γ−Γ
⋅=Γ+⋅==
+−
=Γ
=Γ−⋅=
−=
Γ+⋅=+=
+
+
−+−−+
λ
ββββ
µO-CAF -5- 17
Diseño del divisor de potencia Wilkinson simétrico: excitación impar
2012 2 =⇒=Γ⇒== rr
Z o
adaptación
oin
• Los nodos 2 y 3 tienen niveles de potenciales opuestos, lo que supone que:
– No hay voltaje en el plano de simetría– Muro eléctrico en el plano de simetría.
• La impedancia de entrada en el terminal 2 vale:
• Los voltajes en los nodos son tales que excitan la resistencia y nada a la línea y valen:
01
2
=
=o
o
V
VV
µO-CAF -5- 18
Análisis del divisor de potencia Wilkinson simétrico
( )
( )
( )0
2
2
0
02
)(0
)(0
10
22
03
223
22
11
02
12112
33
2
3
1
02
222
01
111
21
31
31
32
=Γ−Γ
==
−=++
===
==
=Γ+Γ
=
+==
==
===
==
==
==
==
aa
ab
s
jVVVV
ab
ss
s
aa
b
IPa
Za
ab
s
Zab
s
ee
aa
oe
oe
aa
oe
o
aa
in
aa
µO-CAF -5- 19
Otros divisores de potencia Wilkinson
( )
KZ
RKZRK
KZR
KKZZ
KK
ZZ
PP
K
ooo
oo
oo
=⋅=
+⋅=
+⋅=
+⋅=
⇒=
32
22
3
2
3
2
32
;;1
1
1
1
• Divisor de potencia asimétrico, se describe arriba (ejercicio: Collin, pp 444-446)• Divisor Wilkinson de varias secciones para incrementar el ancho de banda.• Divisor Wilkinson con N divisiones (inconveniente hay cruces)
µO-CAF -5- 20
Acoplos directivos (I): teoremas
• De las uniones de 4 guías se estudiarán los acoplos directivos.• Definición: un acoplo directivo es una unión de 4 guías no disipativa y no
degenerada, adaptada desde 2 de dichas guías y tal que no existe acoplo entre una de las últimas y otra de las restantes: s11=s22=s13
• Teorema 1: Un acoplo directivo está completamente adaptado y también están desacopladas la pareja formada por las guías que no se suponen desacopladas inicialmente. (Demostración)
• Teorema 2: Una unión de 4 guías no disipativa y no degenerada que esté adaptada desde tres de ellas es un acoplo directivo. (Demostración)
• Teorema 3: Si una unión de 4 guías, no disipativa y no degenerada, tiene 2 guías desacopladas y está adaptada desde ellas, es un acoplo directivo.
=
=
0000
0000
;
0000
0000
2414
2313
2423
1413
3
3414
3423
2312
1412
1
ssss
ssss
S
ssss
ssss
S
µO-CAF -5- 21
Acoplos directivos (II): interpretación física
⋅==
⋅==
⇒
⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=
⇒
=
= 1144
3
1122
1
0,,3341144
4342233
3231122
4142121
3414
3423
2312
1412
1 0
0
;
0000
0000
423asb
basb
b
asasb
asasb
asasbasasb
ssss
ssss
S
aaa
La potencia incidente por la guía 1 se distribuye entre las 2 y 4.
Coeficiente de transmisión: el mayor de los anteriores coeficientes.Coeficiente de acoplamiento: el menor de los anteriores. El nombre del tipo de acoplo lo da la relación en dB del coeficiente anteriorDirectividad: relación entre la transmisión y el acoplamiento.
1241
221 =+ ss
1: entrada
3: aislada
2: transmitida
4: acoplada
µO-CAF -5- 22
Acoplos directivos (III): cambio de plano de referencia
( ) ( )( )
( )
⋅⋅⋅⋅−
⋅−⋅⋅⋅
=−∆=⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
= −+
−+
0000
0000
;4,23,1;
0000
0000
11
jdjb
jdbdaj
bdajja
jbja
H
jdjb
jdjc
jcja
jbja
eAeBeAeB
eBeAeBeA
SSsiS
eAeBeAeB
eBeAeBeA
S
23143421 ; ssss ==
−=⋅+⋅−+−+=⋅+⋅
−=⋅+⋅−=⋅+⋅
δββγπββ
βββαββ
dll
bdallbllall
4433
3322
4411
2211
Si calculamos los elementos diagonales de SHS=I se llega a:
Que en forma módulo-argumental resulta una matriz de parámetros S:
Si desplazamos distancias l1, l2, l3 y l4 para simplificar la anterior matriz
Sólo pueden fijarse 3 fases:;
0000
0000
1
=
AjBAjB
jBAjBA
S
22;0
πγ
πβδα =⇒===
Conclusión: la puerta acoplada y transmitida se encuentran desfasadas 90º
µO-CAF -5- 23
Acoplos directivos (IV), aplicación: obtención de un desfasador variable.
=
010100001
010
21
1
jj
jj
S
Ψ=Γ je
ΓΓ= 0
01 j
jS
Acoplo 3 dB (híbrido 3 dB): divide de igual forma la potencia incidente entre la puertatransmitida y acoplada. La matriz de dispersión (fijando las fases como en 5.22
Cerramos las guías 2 y 4 por un pistón de cortocircuito variableOperando para una estructura cerrada por dos guías queda:
Si la antigua puerta 3 del híbrido se remata con una carga resulta3
3'ba
=Γ
( ) ( ) ( )''1
'' 22
3
3
1
1 Γ⋅=Γ⋅Γ−=
Γ
Γ==Γ +Ψ πje
bj
ajab
El coeficiente de reflexión en la puerta 1 es el que hay en la puerta antigua 3 desfasadola cantidad ( )π+Ψ2
µO-CAF -5- 24
Acoplos directivos (V): acoplo branch-line
• Circuito impreso con las puertas transmitida y acoplada en cuadratura de fase:– La potencia puede dividirse simétricamente entre las puertas transmitida y acoplada
(branch-line de 3 dB)– Puede dividirse asimétricamente entre las puertas transmitida y acoplada (con la
estructura branch-line no pueden conseguirse grandes acoplamientos >8dB)– Formado por cuatro brazos de longitud ?/4 e impedancias Z1 (horizontal) y Z2
(vertical)– Las variables de diseño para un branch-line arbitrario son Z1 y Z2
– Para el branch-line simétrico la matriz es:
−=
010001
100010
21
1
jj
jj
S
µO-CAF -5- 25
Acoplos directivos (VI): análisis de un híbrido branch-line
• Proceso de análisis: obtención de la matriz de parámetros S del híbrido una vez que se conocen Z1 y Z2– Aplicación de la definición de cada parámetro S.– Existe simetría geométrica y eléctrica: se puede aplicar modos par-impar
• Simetría simple (proceso seguido en esta transparencia, Pozar, 7.5): se reduce el octopolo a un cuadripolo, hay que analizar parámetros de transmisión y reflexión
• Simetría doble (proceso seguido en la siguiente transparencia, se aplica al diseño; Collin 6.4, pp.432-434): se reduce el octopolo a un dipolo circuital; sólo se analizan parámetros de reflexión
µO-CAF -5- 26
Acoplos directivos (VII): análisis de un híbrido branch-line
( )
( )
( )
( )oe
oe
oe
oe
b
TTb
TTb
b
Γ−Γ=
−=
+=
Γ+Γ=
21212121
4
3
2
1
0;0;0;00,,4
114
0,,3
113
0,,2
112
0,,1
111
321421431432
============ aaaaaaaaaaaa
ab
sab
sab
sab
s
2a
0
-a
a
a3
Salida
Te - To
Te + To
To
Te
b1
0
2a
a
a
a2
Entrada
s12, s13
SalidaEntrada
Ge - Go2a0(P-I)
Ge + Go02a(P+I)
Go-aaImpar (I)
GeaaPar (P)
b1a4a1Excitación
s11, s14Parámetro a hallar
• Proceso: – Objetivo:– Consecución de la excitación simétrica mediante una excitación apropiada en dos puertos tal
que su suma sea la que se pide en la definición– En todos los casos el parámetro de salida a medir es b1 del cuadripolo en que la excitación
par-impar ha convertido al octopolo.
µO-CAF -5- 27
Acoplos directivos (VIII): análisis de un híbrido branch-line
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
=
⋅
⋅
=
−−=
⋅
⋅
=
11
21
101
cossinsincos
101
11
21
101
cossinsincos
101
0
0
0
0
jj
YlljYljZl
YDCBA
jj
YlljYljZl
YDCBA
o
e
ββββ
ββββ
( )
( )jT
jT
o
o
e
e
−=
=Γ
+−=
=Γ
12
1
0
12
10
=
−=
−=
=
02
12
0
4
3
2
1
b
b
jb
b
µO-CAF -5- 28
Acoplos directivos (IX): diseño de un branch-line
• Objetivo: determinar las impedancias de las líneas que con un esquema branch-line consiguen un acoplo directivo con las puertas transmitida y acoplada en cuadratura.
• Proceso: se hace uso de la simetría doble que existe en el branch-line. Planos PP’-QQ’– Se reduce el octopolo a un dipolo circuital.– El único parámetro que se mide es b1 en función de las reflexiones con excitación
par-impar
µO-CAF -5- 29
G1 + G2- G3- G44a000(1+2-3-4)
G1 - G2- G3+ G404a00(1-2-3+4)
G4
G3
G2
G1
b1
Salida
s14
G4
G3
G2
G1
b1
Salida
s13
G1 - G2+ G3- G4
G4
G3
G2
G1
b1
Salida
s12
0
0
a
-a
-a
a
a3
0
4a
a
a
a
a
a1
Entrada
4a
0
-a
a
-a
a
a2
G4-a4)I (PP’)-I (QQ’)
G3-a3)I(PP’)-P (QQ’)
Salida
0(1-2+3-4)
G1 + G2+ G3+ G40(1+2+3+4)
G2a2)P (PP’)-I (QQ’)
G1a1)P (PP’)-P (QQ’)
b1a4Excitación
s11Parámetro
Acoplos directivos (X): diseño de un branch-line
Y1=v2 Y0; Y2= Y0 ; d1=d2=?/4
µO-CAF -5- 30
• Cuando dos líneas desprotegidas se encuentran sumamente próximas puede existir acoplamiento de potencia entre ellas.
• Se asume que operan en modo TEM (cierto para stripline y “casi” cierto para µstrip)
• Se puede buscar un circuito equivalente en constantes concentradas:
– C12 capacidad de las tiras en ausencia de plano de masa.
– C11y C22 capacidades de las tiras con el plano de masa.
• Simetría eléctrica y geométrica: aplicación de modos par e impar:
– Modo par: las corrientes en las tiras son iguales en módulo y dirección.
• Ce= C11= C22 ; Zoe=1/(vCe)– Modo impar: corrientes en las tiras iguales
en módulo y sentido contrario.• Ce= C11+ C22; Zoo=1/(vCo)
Acoplos directivos basados en líneas acopladas(I): teoría de líneas acopladas
µO-CAF -5- 31
Acoplos directivos basados en líneas acopladas(II): teoría de líneas acopladas, nomogramas
STRIPLINE MICROSTRIP
µO-CAF -5- 32
Acoplos directivos basados en líneas acopladas(III): teoría de líneas acopladas, nomogramas
w/b s/b
µO-CAF -5- 33
Acoplos directivos basados en líneas acopladas(IV): diseño de acoplos directivos
( ) ( )
0;21
21
121
1
;
4
2
22
23
22
222
==
=⇒=
−=⇒−−=
⋅=+−
=
PZV
P
ZV
CPCVV
ZV
CPCjVV
ZZZZZZZ
C
oin
o
o
oooeooooe
oooe
A muy bajas frecuencias ?<<p/2: V3=0; V2=VPara ?=p/2: V3 máximo; V2 mínimo y l=?/4
( )( )( )( )C
CZZ
CC
ZZ
ooo
ooe
+−
⋅=
−+
⋅=
11
11
µO-CAF -5- 34
Acoplos directivos basados en líneas acopladas(V): diseño de acoplos directivos
µO-CAF -5- 35
Uniones de cuatro guías: doble T (I)
µO-CAF -5- 36
Uniones de cuatro guías (II): simetría geométrica
=
=
4
3
2
1
4
3
2
1
;
bbbb
B
aaaa
A
⋅=⋅=
⇒⋅
−=
BTBATA
AA''
1000001001000001
'
ATSASTATSBTASBASB
⋅⋅=⋅⋅⇒⋅⋅=⋅⇒
⋅=⋅= ''
Excitación inicial Nueva excitación
Relación entre A’ y A
Como la matriz de dispersión es una (la doble T es una)
0;;; 14241212134422 =−=== sssssss
−
=
−
=
4
2
3
1
4
2
3
1
;'
bbbb
B
aaaa
A
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=jcjrjr
jrjbjnjm
jrjnjbjm
jmjmja
eCeReReReBeNeM
eReNeBeMeMeMeA
S
0
0
µO-CAF -5- 37
Uniones de cuatro guías (III): aplicaciones
• Se procede a cerrar las puertas 1 y 4 con cargas adaptadas: a1=a4=0 y atacamos por las puertas 2 y 3:
• Propiedad: Si en una doble T se cierran las guías que pasan por el plano de simetría con cargas adaptadas, la energía recogida es proporcional a la suma y a la resta.
• Haciendo uso del hecho de que la matriz S sea unitaria resulta:
• Luego la matriz de dispersión depende de 6 parámetros: A, C, a, c, m, r• Aplicaciones: adaptador a muy altas frecuencias.
– Carga a adaptar en una de las guías simétricas (2 ó 3)– Se cierran con pistones en cortocircuito 1 y 4.
( )( )32324
32321
aaeRaeRaeRb
aaeMaeMaeMbjrjrjr
jmjmjm
−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=
+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=
12
1222
22
=+
=+
RC
MA
µO-CAF -5- 38
Uniones de cuatro guías (IV): T mágica
• Si la doble T se adapta desde las guías 1 y 4 se dice que la doble T es una T mágica. De aquí resulta:– A = C= 0– B = N= 0– M =R =1/v2
• De donde la matriz de parámetros S de una T mágica tiene la forma:
• La T mágica mantiene las propiedades de la doble T pero, además, tiene propiedades de acoplo directivo donde: – la relación de amplitud es siempre de 3 dB– una salida se encuentra desfasada 180º respecto a la otra
−−
=
000000
00
21
jrjr
jrjm
jrjm
jmjm
eeee
eeee
S
µO-CAF -5- 39
01 2
011010011001
0110
2
ZZ
jS
⋅=
−
−⋅−
=
Uniones de cuatro guías (V): T mágica impresa, rat-race
1,S
24, ?
3
µO-CAF -5- 40
BIBLIOGRAFÍA
• Robert E. Collin: "Foundations for microwave engineering" New York McGraw-Hill, 1992. (capítulo 4)
• David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second Edition 1998, John Wiley&Sons. (capítulo 4)
• Rafael Domínguez: Cuestiones Básicas de Electromagnetismo, Aplicación a la Técnica de Microondas. Consejo Superior Investigaciones Científicas.
• IEEE Transactions on Microwave, Theory and Techniques