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Resistência dos Materiais IIUniversidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
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Capítulo 5Flambagem
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5.1 – Experiências para entender a
flambagem
1) Pegue uma régua escolar de plástico e pressione-aentre dois pontos bem próximos, um a cincocentímetros do outro. Você está simulando umaestrutura em compressão simples. Agora,pressione dois pontos distantes 15cm um do outro.Algo começa a aparecer nessa nova posição, évisivelmente mais fácil criar condições para abarra começar a encurvar. A barra está começandoa sofrer o fenômeno da flambagem. Faça agoracom pontos distantes a 30cm. Force a régua até aruptura. A régua se quebra, pois o plástico é ummaterial frágil.
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2) Pise em cima de uma lata vazia de refrigerante. Você notará que a lata,sem se quebrar, amassa. Não quebrou porque, ao contrário do plásticoque é frágil, o alumínio é dúctil e se deforma bastante antes de perdersua unidade.
Peças comprimidas de grande altura podem flambar, fato que éreduzido sensivelmente se a altura for pequena.
Quanto maior for a espessura da peça comprimida, menor a tendênciaa flambar.
Quanto mais flexível for o material(menor E), mais fácil é a ocorrência daflambagem.
Deve-se a Leonhard Euler (1744) a primeira formulação de umaquantificação do limite que se pode colocar uma peça comprimida,para que ela não flambe.
Conclusões
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5.2 – Carga crítica – fórmula de Euler para coluna ideal com apoios de pinos
Elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos auma força de compressão axial são denominadoscolunas.Uma coluna ideal é uma coluna perfeitamente retaantes da carga. A carga é aplicada no centroide daseção transversal.A deflexão lateral que ocorre é denominadaflambagem.A carga axial máxima que uma coluna pode suportarquando está na iminência de sofrer flambagem édenominada carga crítica, Pcr.
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Essa equação diferencial linear homogênea de segunda
ordem com coeficientes constantes de solução geral é:
Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=0 e y=0 em x=L:
2
2
d yEI M Pydx
1 2 cos
P Py C sen x C x
EI EI
2
20
d y Py
dx EI
10
PC sen L
EI
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O menor valor de P é obtido com n=1, de modo que a carga crítica é:
1
1
0
0 0
0
PC sen L
EI
C y
Psen L
EI
PL n
EI
2 2
2 1,2,3....
n EIP n
L
2
2cr
EIP
L
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Pcr ⟶ carga crítica ou carga axial
σcr ⟶tensão crítica
E ⟶módulo de elasticidade para o material
I ⟶ menor momento de inércia para a área da seção
transversal
L ⟶ comprimento da coluna sem apoio
i⟶ menor raio de giração da coluna
λ=L/i ⟶ índice de esbeltez – medida da flexibilidade
da coluna
2
2
2
2
/
cr
cr
EIP
L
Eσ
L i
Ii
A
2 2
2
2
2
( )
/
cr
cr
E AiP
L
P E
A L i
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Gráfico Tensão crítica x λ
2
2
cr
P E
A
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A coluna sofrerá flambagem em torno do eixo
principal da seção transversal que tenha o menor
momento de inércia (o eixo menos resistente).
Na coluna da figura ao lado, sofrerá flambagem em
torno do eixo a-a e não do eixo b-b.
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1)Um tubo de aço A-36 com 7,2m de
comprimento e a seção transversal
mostrada ao lado deve ser usado como
uma coluna presa por pinos na
extremidade. Determine a carga axial
admissível máxima que a coluna pode
sofrer flambagem. Resposta:
Exercício de fixação
200
250e
E GPa
MPa
Pcrit=228,2kN
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2)Uma coluna de aço A-36 tem 4m de
comprimento e está presa por pinos
em ambas as extremidades. Se a área
da seção transversal tiver as dimensões
mostradas na figura, determine a carga
crítica. Resposta:
Exercício de fixação
200
250e
E GPa
MPa
Pcrit=22,7kN
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O elemento estrutural A-36 W200 X 46
de aço mostrado na figura ao lado deve
ser usado como uma coluna acoplada
por pinos. Determine a maior carga
axial que ele pode suportar antes de
começar a sofrer flambagem ou antes
que o aço escoe.
Exemplo 1-
2 6 4 6 45890 mm , 45,5 10 mm , 15,3 10 mm
250 , 200
x y
e
A I I
MPa E GPa
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Ocorrerá flambagem em torno do eixo y–y (menor):
Quando totalmente carregada, a tensão de compressão média na coluna é:
Visto que a tensão ultrapassa a tensão de escoamento,
Resposta:
2 3 2 6 423
2 2
(200 10 / ) 15,3 10 mm1887,6 10 1887,6
(4000 )cr
N mmEIP N kN
L mm
3
2 2
1887,6 10320,5 320,5
5890 mm mmcr
cr
P N NMPa
A
3
2 2250 1472,5 10 1472,5
mm 5890
N PP N kN
mm
1472,5P kN
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A fórmula de Euler foi deduzida para uma coluna com extremidades
acopladas por pinos ou livres para girar. Todavia, muitas vezes as colunas
podem ser apoiadas de outro modo.
Le é denominado comprimento efetivo da coluna.
Um coeficiente dimensional K, fator de comprimento efetivo, é usado para
calcular Le.
KLLe
5.3- Colunas com vários tipos de apoios
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Portanto, temos,
2 2
2 2
/cr cr
e e
EI EP
L L i
λ=Le/i ⟶índice de esbeltez efetivo
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3)Determinar a carga crítica se a coluna for engastada na base e presa
por pinos no topo.
Resposta:
Exercício de fixação
Pcrit=46,4kN
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4) O elemento estrutural W200x100 é feito de
aço A—36 e usado como uma coluna de 7,5m
de comprimento. Podemos considerar que a
base dessa coluna está engastada e que o topo
está preso por um pino. Determine a maior
força axial P que pode ser aplicada sem
provocar flambagem. Considere:
Exercício de fixação-
E = 200GPaIx = 113(106)mm4
Iy = 36,6(106)mm4
σe=250MPaA=12700mm2 Resposta: Pcrit=2621,2kN
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5.4 – A fórmula da secante
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Essa equação tem solução geral é:
Condições de contorno: y=0 em x=0, C2=e e y=0 em x=L:
2
2( )
d yEI M P e ydx
1 2 cos
P Py C sen x C x e
EI EI
2
2
d y P Py e
dx EI EI
1
[1 cos ]P
e LEI
CP
sen LEI
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Usando identidades trigonométricas:
Deflexão máxima: (x=L/2)
1 2
P LC e tg
EI
cos 12
P L P Py e tg sen x x
EI EI EI
sec 12máx
P Ly e
EI
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máx
P Mc
A I
21 sec
2e
máx
LP ec P
A i i EA
sec 12
sec 12
máx
máx
M Py
P Ly e
EI
P LM Pe
EI
sec 12
máx
P P L cPe
A EI I
σmáx ⟶ tensão elástica máxima na coluna
P ⟶ carga vertical aplicada a coluna
e ⟶ excentricidade da carga P
c ⟶ distância do eixo neutro até a fibra
externa da coluna onde ocorre a tensão de
compressão máxima
A ⟶ área da seção transversal da coluna
Le ⟶ comprimento não apoiado da coluna no
plano de flexão.
E ⟶ módulo de elasticidade para o material
i⟶ raio de giração
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Gráficos Aço A-36
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5) A coluna W8x48 de aço estrutural A-36 está
engastada na base e presa por pino no topo. Se
for submetida à carga excêntrica de 75kip,
determine se ela falha por escoamento. A
coluna está escorada de modo a não sofrer
flambagem em torno de y-y. Considere:
Exercício de fixação-
E = 29(103)ksiσe = 36ksiResposta: não falha
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6) Um elemento estrutural W10x15 de aço A-36 é usado como uma
coluna engastada. Determine a carga excêntrica máxima P que pode
ser aplicada de modo que a coluna não sofra flambagem ou
escoamento. Considere:
Exercício de fixação-
E = 29(103)ksiσe = 36ksid=9,99in
P=36,8kN
A = 4,41in2
Ix = 68,9in4
Iy = 2,89in4
ix=3,95inResposta:
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7) A coluna de alumínio tem a seção transversal mostrada abaixo. Se
estiver engastada na base e livre no topo, determine a força máxima
que pode ser aplicada em A sem provocar flambagem ou escoamento.
Considere:
Exercício de fixação-
E = 70 GPaσe = 95MPaResposta: P=23,6kN