capitulo 7 anova de dos factores

8/15/2019 Capitulo 7 Anova de Dos Factores

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• %upongamos !ue un departamento

policial de una gran ciudad estáinteresado en mejorar la actitud de losnuevos o&ciales 'acia las minorasradicadas en la ciudad$ Los responsa#les

piensan !ue la mejora dependerá de laduracin del curso !ue se les imparteso#re relaciones 'umanas pero nodescartan !ue tam#i*n sea importante ellugar en el sentido de zona de la ciudaddonde se va a desarrollar posteriormentesu la#or policial$


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• n general un diseño factorial esmás e&ciente !ue varios diseñossimples$

• s más econmico en el sentido de!ue proporcionan más informacincon menor n/mero de sujetos

esfuerzos " tiempo$


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• Los responsa#les de la formacin delos o&ciales de polica pueden

contrastar de maneraindependiente el efecto !ue tiene lazona donde se imparte el curso al

margen del tiempo$


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• +ara ello slo se tendran en cuentalos datos de los 12 o&cialesasignados a cada de las zonas (cinco

por cada uno de los tres grupos detiempo)$


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• Tam#i*n podran evaluar el efecto !uetiene la duración del curso al

margen de la zona para lo cual slo setendran en cuenta los datos de los 12o&ciales asignados a cada tiempo de

duracin de curso con independenciade la zona en !ue se imparten$


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• 6on esto estaramos contrastandolos denominados efectos principales !ue serán tantos como

factores 'a" implicados en el diseño$


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• Además de estos efectos principales'a" un conjunto de contrastes más

focalizados de cada factor con cadanivel del otro factor !ue representanlos llamados efectos simples en el

sentido de !ue se contrastan lostratamientos de un factor en cadanivel del otro factor$


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• Aplicado al ejemplo de laintroduccin un efecto simple es el

de la zona en !ue se imparte el cursocuando est* slo dura 2 'oras$


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• :tro efecto simple es el del tiempode duracin del curso cuando *ste se

imparte en una zona de clase media$


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• n total 'a" tantos efectos simplescomo la suma de los niveles de cada

factor$


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• ;maginemos en el ejemplo de lasactitudes ante las minoras por partede los o&ciales policiales !ue para el

caso de la zona alta la actitud de loso&ciales su#e conforme aumenta laduracin del curso " lo mismo

sucede para las otras zonas$


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• %i este fuera el caso elcomportamiento de la varia#ledependiente estara relacionado slo

por la duracin " sera independientede la zona$ n este caso las lneasdel grá&co de medias de la


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• +or el contrario si se o#servarancomportamientos diferentes de la


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;nteraccin

• ='at t"pe of #od" do >omen li?e9 American>omen generall" prefer men of average #uild#ut #igger a#ove t'e >aist t'an #elo>$ T'estudies tell us t'e" prefer omen &nd 'eft"#eefca?e do>nrig't distasteful$ T'e" go for t'edar? slim and sensitive #od" t"pes$


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#nteracción

,so es una interacción' nopodemos decir" sin m&s"

%ue a las mujeres lesgustan los ombresmusculosos .o con forma

de /( sino %ue supreferencia depende dela clase social a la %ue

ertenece+


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#nteracción

)omo regla general"podemos decir %ue si las

líneas %ue conectan lasmedias de los ni!eles delos factores no son

paralelas .en t0rminosestadísticos( entoncestenemos una interacción+


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,sto no es una interacción


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1ólo parece aber efectodel tipo de físico .factorprincipal(


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1ólo parece aber efectode la clase social

Hay efecto tanto de la clase


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Hay efecto" tanto de la clasesocial como del físico pero no de

la interacción


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,sto tampoco es unainteracción


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#nteracción y efectosprincipales


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1 de&nicin

• 4na interaccin está presentecuando los efectos de una varia#leindependiente so#re la conducta

o#jeto de estudio cam#ia en losdiferentes niveles de la otra varia#leindependiente (este cam#io no

signi&ca !ue una varia#leindependiente inBu"a so#re la otra0de 'ec'o las varia#les

independientes son valga la


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C de&nicin

• 4na interaccin está presentecuando los patrones dediferencias asociados con una

varia#le independiente cam#ia conlos diferentes niveles de la otravaria#le independiente$


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de&nicin

• 4na interaccin está presentecuando los efectos simples de unavaria#le independiente no son los

mismos en todos los niveles de laotra varia#le independiente$


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2 de&nicin

• 4na interaccin está presentecuando las diferencias entre lasmedias de las celdas !ue

representan el efecto de un factor enalg/n nivel del otro factor no soniguales a las correspondientes

diferencias en otro nivel de estefactor$


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E de&nicin

• 4na interaccin está presentecuando los efectos de una de lasvaria#les independientes están

condicionalmente relacionados a losniveles de la otra varia#leindependiente (6o'en 1FG)$


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• n los diseños factoriales de C factores (!uedenotaremos gen*ricamente como los factoresA " ) se sigue un patrn de análisis similarpero en esta ocasin la suma de cuadradosentre-grupos se divide a su vez en trescomponentes !ue reBejan. (1) la suma decuadrados entre tratamientos del factor A(%6A) !ue reBeja los efectos principales del

factor A0 (C) la suma de cuadrados entretratamientos del factor (%6) !ue reBeja los

efectos principales del factor 0 " () la sumade cuadrados !ue representa la interaccinentre A " (%6A,)$


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• Los datos en un diseño factorial dedos factores se pueden representaren una ta#la de do#le entrada


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• Tam#i*n se pueden representar enforma de columnas con las dos

primeras &las representando losdiferentes com#inaciones de losniveles de los factores$


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• +ara un diseño como el planteado enla introduccin con C factores (niveles por factor " 2 sujeto en cada

cruce de tratamiento) diramos !uetenemos un diseño factorial 232+

• Al tener niveles cada factor el

n/mero de tratamientos es F esdecir el producto de los niveles delos factores , H F$


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• 4na o#servacin gen*rica se

representa como Y ijk siendo i el nivel gen*rico del factor A

j el nivel gen*rico del factor " k lao#servacin gen*rica dentro del

tratamiento ABij$


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• A partir de esta matriz de datos seo#tienen las sumas de lostratamientos de cada factor (!ue en

la &gura se designan como sumasmarginales -Ai para el factor A " j

para el factor -) " la suma total de

todas las o#servacionesrepresentada por T$


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/ariabilidad del sistema


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/ariabilidad del sistema

• +reviamente 'emos visto !ue lasuma de cuadrados total (%6 T) esigual a la suma de cuadrados entre-

grupos (o tratamientos) " la suma decuadrados intra-grupo.


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• sta igualdad se mantiene en un diseñofactorial aun!ue con algunas

consideraciones so#re en !u*componentes está #asada a'ora la sumade cuadrados entre-grupos (%6)$

• n un diseño de un factor %6 está

#asada en las desviaciones de las mediasde cada tratamiento respecto la mediatotal es decir siendo A el factor "

prescindiendo de los sumatorios propiosen el cálculo de las sumas de cuadradosestá #asada en las desviaciones


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• %in em#argo en un diseño factorialde dos factores %6 (entre grupos)

está #asada en las desviaciones de

las medias de cada tratamientoconjunto A* respecto de la mediatotal.

+


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• De ello se conclu"e !ue la desviacinde cual!uier puntuacin individualrespecto de la media total del

conjunto de datos del diseño sepuede dividir en cuatro componentesde desviacin.


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• l primer componente es el relacionadocon los efectos del tratamiento Ai

• l segundo es el relacionado con los

efectos del tratamiento j• l tercero es el efecto de la interaccin

entre am#os factores

• l cuarto es la desviacin de la puntuacindel sujeto respecto del tratamiento !ue le'a sido asignado aleatoriamente$


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• A partir de a!u solo !uedararealizar los sumatorios " elevar alcuadrado para o#tener las

correspondientes sumas decuadrados para el análisis devarianza$


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• A'ora de#emos de determinar losgrados de li#ertad para cada una deestas fuentes$ +ara los efectos

principales se sigue la misma regladel n/mero de tratamientos menos1$


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• Los grados de li#ertad de#idos alerror e,perimental es decir a lasdiferencias individuales dentro de

cada tratamiento " 'a#ida cuentade !ue en cual!uier de ellos losgrados de li#ertad son n-1 los

asociados al error son

)1)(( −⋅=⋅−⋅⋅ nbababan

4roceso de c&lculo del A6/A de dos


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4roceso de c&lculo del A6/A de dosfactores


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j l


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jemplo


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• A partir de estos valores se calculan


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A partir de estos valores se calculanlas %6 (o %%).


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• %e comprue#a !ue

Mrados de li#ertad


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Mrados de li#ertad

2131.. =−=−= al g A


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Mrados de li#ertad


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Mrados de li#ertad

2131.. =−=−= al g A

2131.. =−=−= bl g B

4169133331.. =+−=+−−⋅=+−−⋅= babal g AxB

Mrados de li#ertad


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Mrados de li#ertad

2131.. =−=−= al g A

2131.. =−=−= bl g B

4169133331.. =+−=+−−⋅=+−−⋅= babal g AxB

34)15(33)1(.. =−⋅⋅=−⋅⋅=⋅−⋅⋅= sbaba sbal g B

Mrados de li#ertad


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Mrados de li#ertad

2131.. =−=−= al g A

2131.. =−=−= bl g B

4169133331.. =+−=+−−⋅=+−−⋅= babal g AxB

36)15(33)1(.. / =−⋅⋅=−⋅⋅=⋅−⋅⋅= sbaba sbal g ABS

4415331.. =−⋅⋅=−⋅⋅= sbal g T

7abla del ano!a


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• Los resultados ponen de mani&esto !uelos efectos principales del factor

(duración del curso) " de lainteracción son signi&cativos$ 6onvieneno o#stante representar grá&camentelas medias de los tratamientos cada unode los factores para ver los efectosprincipales " tam#i*n las medias de lostratamientos para ver el sentido de la

interaccin a trav*s de la representacinde los efectos simples$


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375

185

305

150

305

150

=

=

=


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525

260

405

200

20

5

100

=

=

=


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• A partir de los grá&cos es posi#le


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p g panticipar por !u* la interaccin

resulta signi&cativa$ :#serve elestudiante los grá&cos !uerepresentan los efectos principalesdel factor Nona " el segundo losefectos simples del factor Nona enfuncin de los tres niveles del factorDuracin


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,l modelo estadístico


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• l modelo estadstico !ue su#"ace enun diseño factorial de C factorescompletamente aleatorizados es unmodelo lineal en el cual se

especi&can los componentes !uecontri#u"en a e,plicar cual!uierpuntuacin Pij?


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• Q T es la media total de la po#lacin• Ri es el promedio del efecto del

tratamiento en el nivel ai (Ri H Qi - Q T)

• S j es el promedio del efecto deltratamiento en el nivel # j (S j H Q j - Q T)

• (RS)ij es el efecto de la interaccin en la

celda ai# j ((RS)ij HQij -Qi -Q j Q T)• ij? es el error e,perimental asociado con

cada puntuacin (ij? H Pij? - Qij)

• Las 'iptesis estadsticas con este


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pmodelo se pueden e,presar de la

siguiente forma.


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• l valor esperado del error


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j l 'i t i l l t d l


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• ajo la 'iptesis nula el componente de lavarianza !ue reBeja el efecto será cero " por

tanto

• Luego el cociente

• será igual a la unidad e,cepto variacionesde#idas al azar$

%i l 'i t i l f l l l


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• %i la 'iptesis nula es falsa el valorde J6efecto será signi&cativamente

superior a J6error " por consiguiente

la razn entre am#as mediascuadráticas será superior a la unidad

(tanto más cuanto ma"or sea lavarianza aportada por el efecto "más pe!ueña sea J6error)$


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• sta razn se distri#u"e seg/n ladistri#ucin de pro#a#ilidad I con losgrados de li#ertad de las J6 del

numerador " del denominador

#ajo los supuestos de normalidad'omocedasticidad e independencia$

Análisis de la interaccin


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Análisis de la interaccin• La prue#a anterior en donde se evalu la

signi&catividad de los efectos principales" la interaccin entre factores se conocecomo prue#a mni#us (glo#al) de#ido a!ue no diferencia entre niveles esto es elefecto de un factor principal con tresniveles puede ser signi&cativo seg/n eltest anterior pero *ste no nos indicará si

las tres comparaciones posi#les entreniveles son todas ellas signi&cativas o sololo son un su#conjunto de las mismas$


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6ontrate de los efectosi l


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simples• %eguiremos la lgica de razones

#ásicas !ue 'emos utilizado en elAO:


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• La manera de enfocar este análisises convertir cada columna o la dela matriz A en un diseño de un solo

factor " luego o#tener las sumas decuadrados entre grupos del mismomodo !ue 'a 'ec'o con las sumas

de cuadrados de los efectosprincipales$


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Ml H a-1

• Las medias cuadráticas para los


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Las medias cuadráticas para losefectos simples se o#tienen de la

misma manera !ue en el análisisgeneral dividiendo la suma decuadrados por los grados de li#ertad$

l denominador de la I es la mediacuadrática intra-grupos del análisisgeneral es decir


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• Del mismo modo se calcularan losefectos simples para el factor enrelacin a los niveles del factor A$


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•

Al 'a#er tres niveles por factor losgrados de li#ertad serán C (a K 1 " #K 1) para am#as sumas de cuadrados" las medias cuadráticas serán elresultado del cociente entre las %6 "sus grados de li#ertad$


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• Los efectos principales de unf t i d di t d l f t


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factor son independientes del efecto

de interacción (es decir sonortogonales) pero los efectossimples del factor A no sonindependientes ni de los efectosprincipales del Iactor A ni de suinteraccin con el factor de 'ec'osu suma es igual a la suma de los

efectos principales " la interaccin(lo mismo sucede con los efectossimples del factor ).


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• l efecto principal del Iactor A no esi i& ti l á&


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signi&cativo pero los grá&cos

señala#an !ue esa falta de efecto nose produca en alguno de los nivelesdel factor $ De 'ec'o 'a" dosefectos simples del factor Asigni&cativos (concretamente en losniveles #1 " #D)$


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• %in em#argo en los efectos simples


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g pslo en el nivel aD se producen

diferencias signi&cativas lo !ueimplica !ue ese nivel capitaliza todaslas diferencias reBejadas en el efecto

principal$

• l valor terico de referencia (la Icrtica) para las comparaciones


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crtica) para las comparaciones

simples

)omparaciones por pares dentrode los efectos simples


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de los efectos simples•

Desarrollaremos el análisis solo paraa!uellos efectos simples !ue 'anresultado signi&cativos el factor A enlos niveles #1 " #D " el factor en el

nivel aD$

• Iactor A. medias para los nivelesi i& ti l & i t


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signi&cativos " los coe&cientes para

los contrastes !ue 'a#ra !ue realizarpara las comparaciones !ue nosresultan interesantes tericamente$


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• La frmula para la comparacin


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• P aplicada a un efecto simple.


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• Donde

• se re&ere a las diferencias entre las

dos medias especi&cadas en cadacontraste cu"a e,presin es

• Aplicado al contraste del factor A setiene


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tiene.


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• Luego las sumas de cuadradoscorrespondientes serán.


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• P al ser la I crtica con 1 "E grados de li#ertad


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E grados de li#ertad

igual a 511

•valor inferior al o#tenidola comparacin resultasigni&cativa

•

n consecuencia tam#i*nlo será con la media delnivel aC$

• +ara el segundo contraste del factorA


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• +ara el tercer contraste del factor A


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• +ara el primer contraste del factor


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• 8uedan dos contrastes más peroson id*nticos a lo visto 'asta elmomento$

• P las %6 son.


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Las J6 H %6 en este caso "a !ue gl H 1


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• Al ser el valor terico de I el mismo!ue calculamos previamente

•

los cinco contrastes resultansigni&cativos$

6mo se act/a cuando no essigni&cativo el efecto de interaccin9


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g

• 6uando se analiza un diseñofactorial se 'ace la prue#a mni#uspara los efectos principales " el

efecto de interaccin$ %i *sta /ltimano es signi&cativa es precisoreacer el análisis focalizándolo sloso#re los efectos principales$

6mo se act/a cuando no essigni&cativo el efecto de interaccin9


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g

• sto tiene consecuencias en la ta#ladel AO:


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g

• La consecuencia es !ue el valor de laI del contraste se reduce por el

aumento !ue se da en el valor de lamedia cuadrática del error$


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• 6uando el efecto de interaccin noforma parte del modelo el valor dela suma de cuadrados de error es

igual a la suma de cuadrados errorcuando entra la interaccin " lasuma de cuadrados de la interaccin$


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• P los grados de li#ertad53 H E 5$

Los valores de I para los efectosprincipales son inferiores por elaumento de la media cuadrática delerror !ue pasa de 2GE11 a G517$


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F$E73 U 1$7E1$1F U 1$EC1


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• +or!u* los fsicos cuánticos nunca'acen el amor9

• +or!ue si encuentran la posicin noencuentran el momento " siencuentran el momento no dan con

la posicin$


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%o#re la interpretacin de lasestadsticas


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• n Oueva Por? un 'om#re esatropellado cada 13 minutos$

• l po#re tiene !ue estar 'ec'o polvo$


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• Los cient&cos son personalesnormales$ P si no !u* me dicen de laforma en !ue se descu#rieron las

'uellas fsiles de Laetoli 'ec'as porunos 'omnidos 'ace $7 millones deañosV se descu#rieron una tarde de1F7E mientras un grupo depaleontlogos se diverta tirándose#oñigas de elefante V ademástenan !ue se 'om#res$


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• 6uando a T'omas ouc' (1GCC-1GG3) se le pregunt la razn delparticular trazado del puente Ta" !ue

se desplom en 1G7F " del cual *l'a#a sido el diseñador respondi losiguiente. Wpor!ue facilita#a loscálculosX$

capitulo 7 anova de dos factores

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