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Capítulo 7

TESTES DE SIMULAÇÃO COM DOCUMENTO CARTOGRÁFICO DE DIFERENTES NÍVEIS DE QUALIDADE

7.1 Introdução

Pelos resultados apresentados no capítulo anterior o mapeamento é de classe

B e, teoricamente, o processo terminaria naquelas análises apenas. No entanto, como

apontado no final daquele capítulo, os resultados e reflexões sugerem algumas

questões que se pretendem responder neste capítulo mediante simulações.

O ponto de partida é a situação do usuário que recebe um mapeamento em

meio digital e deve avaliar a qualidade da mesma através de uma amostra de

tamanho n. Os testes e as simulações a seguir visam estudar precisamente o que

acontece quando se varia o tamanho dessa amostra e a qualidade do mapeamento

(percentual de pontos fora do limite) para uma dada classe.

Para tanto, foi definido como semente o arquivo descrito do capítulo anterior

contendo as coordenadas do documento mais acurado (1:2.000) e do documento a ser

avaliado (1:10.000).

Para as simulações foram gerados novos arquivos de diferente qualidade, a

partir dessa semente, com a redução ou a ampliação do percentual de discrepâncias

inferiores (5 %, 6 %, 7 %, 7,5 %, 8 %, 9 %, 9,5 % e igual a 10 %) e superiores (10,2

%, 10,5 %, 12,5%, 15 %, 17,5 %, 20 %, 30 % e 40 %) ao LMAS estabelecido para a

classe A da norma brasileira. Foram aplicados a uma única coordenada X, que

representa qualquer das três (N, E ou H) e para uma única classe Q, que representa

qualquer uma delas (A, B, C ou outra que se defina em função das necessidades).

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A partir desses dados são aplicadas análises estatísticas e gerados gráficos de

rejeição de mapeamento, criando-se as chamadas curvas operacionais, como se

denomina em alguns trabalhos: ARIZA (2002b), ARIZA (2005), ARIZA et al

(2001), HANSEN e GHARE (1990), e MONTGOMERY (2005).

Maiores detalhes da metodologia são descritos a seguir.

7.2 Processo geral de simulação

O esquema geral do processo de simulação é visualizado na figura 7.1.

Figura 7.1 – Esquema geral do processo de simulação.

2.1 Amostragem aleatória de n pontos de controle (com reposição)

2.2 Teste de Precisão Qui-quadrado

2.3 Teste da Norma brasileira

2.4 Resultados

1 Seleção do tamanho da amostra (n) 10, 15, 20, 25, ........., 255

3000 vezes

3 Tabela Resumo para cada tamanho da amostra

4 Tabela Resumo Final e geração de gráfico

0 Geração de um mapeamento (arquivo) com determinada qualidade % de pontos com erro acima de 90 %:

5 %, 6 %, ..., 9,5 %, 10 %, 10,5 %, 12,5%, ..., 40 %

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As etapas do processo, segundo o esquema da figura 7.1 são os seguintes:

0) Geração (criação) de um mapeamento (base de dados) com determinada

qualidade, medida pelo percentual de pontos superiores ao LMAS para uma

coordenada qualquer X;

1) Determinação do tamanho da amostra: o tamanho da amostra de pontos de

controle varia de cinco em cinco pontos (para ajustar melhor a curva), iniciando-se

em 10, e terminando em 255 pontos;

2) Para cada um dos eixos de coordenadas (E e N) e para cada conjunto de pontos

(n=5, 10, 15, ....., 255) são realizadas 3000 vezes as seguintes operações:

2.1) Amostragem de n pontos de controle com reposição, sendo calculados

para cada uma das amostras os parâmetros estatísticos, tais como média e desvio

padrão a partir das diferenças entre as coordenadas homólogas dos mapeamentos

1:10.000 e 1:2.000;

2.2) Teste de precisão: conforme já exemplificado no capítulo anterior ao

nível de confiança (1-α) de 90 %.

2.3) Verificação se 10 % ou mais das diferenças entre as coordenada

homólogas da amostra de n pontos é superior ao PEC (é o teste da norma brasileira);

2.4) Tabela dos resultados para cada tamanho de amostra apresentando os

valores de percentual de rejeição e os respectivos desvios-padrão calculados de cada

teste (2.2 e 2.3);

3) Geração, ao final, de uma tabela resumo com o percentual de rejeição do

teste de precisão para cada tamanho da amostra. Tal tabela é o resultado de 3.000

simulações por amostra aleatória simples, isto é, 3.000 amostragens com reposição

para cada n coordenadas de PCs numa direção qualquer X. Essas 3.000 vezes se

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justificam pela facilidade computacional, sendo que outros trabalhos ((exemplo

ARIZA (2002b) E HARDIN (1997)), utilizam 1.000 vezes.

Para a realização do processo de simulação foi desenvolvida uma rotina no

programa Excel. Ao final foi gerado um gráfico correspondente ao percentual de

rejeição em função do tamanho n da amostra para cada um dos testes (2.2 e 2.3).

Em geral, uma simulação para um mapeamento de determinada qualidade,

com n variando de 10 a 255 (de 5 em 5) e realizando todos os testes, demorou cerca

de 3 horas.

Em relação aos erros na coordenada, estes foram inseridos primeiramente, de

maneira aleatória, digitando-se diretamente um valor qualquer (inferior ao erro

grosseiro) que gerase erro superior ao LMAS classe A, na quantidade de pontos

correspondente à qualidade desejada (6%, 7%, 15%, etc.). Num segundo momento

foi aplicado um fator k de multiplicação para todos os desvios nessa coordenada,

mantendo-se a distribuição normal.

7.3 Aplicação da simulação com erros quaisquer

Como mencionado, num primeiro processo de simulação, os erros nos dados

foram lançados ao acaso, sendo criadas tabelas de percentual de rejeição em função

do tamanho da amostra (n) para cada um dos testes. Isso pode ser visto nas tabelas

7.1 e 7.3, onde os números na primeira linha referem-se ao nível de qualidade do

mapeamento.

A partir dos dados das tabelas 7.1 e 7.2 foram gerados os gráficos das figuras

7.2 e 7.3 para os dois testes.

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Tabela 7.1 – Percentual de rejeição do mapeamento com simulação com erros quaisquer pelo teste de precisão, em função do tamanho da amostra (colunas) e da

qualidade do mapeamento (linhas). n 40 30 21,19 20 17,5 15 12,5 10,36 10,2 10 9,5 9 8 7 6 10 67,13 52,00 48,43 33,93 30,60 26,53 24,43 14,03 16,90 16,40 14,57 14,20 11,80 10,27 8,0315 80,77 61,60 62,83 38,20 34,77 29,10 26,80 14,30 18,77 18,40 16,53 15,37 12,60 9,53 7,2020 88,43 72,33 73,23 46,30 38,40 32,83 28,00 14,77 17,90 17,70 16,40 15,63 13,73 8,80 7,0325 92,80 78,50 79,90 49,07 43,50 35,43 31,00 16,97 20,10 18,90 18,83 16,23 13,50 9,20 6,0030 95,67 82,57 83,63 56,07 45,33 37,33 33,73 16,07 20,70 19,50 19,20 17,73 13,17 9,27 6,1035 97,20 87,50 89,07 60,37 50,90 41,77 37,40 18,07 22,53 20,60 18,93 17,10 14,57 9,47 5,1040 99,17 90,67 91,43 64,20 54,77 45,27 39,57 16,40 22,30 20,60 19,07 17,60 13,00 9,33 4,1745 99,00 92,47 94,30 68,30 58,27 47,73 42,83 18,00 22,67 22,43 20,67 18,40 14,17 9,03 5,2350 99,73 94,30 96,63 70,90 60,97 50,93 43,23 16,77 22,93 23,77 21,40 19,13 12,90 8,37 4,6755 99,80 96,90 97,30 74,20 63,60 50,83 45,00 18,07 25,13 22,67 20,10 18,33 12,63 7,73 3,5060 99,97 97,47 98,27 76,43 64,70 52,90 46,37 17,93 26,17 22,30 21,07 19,20 13,00 7,70 3,6765 99,97 98,30 98,93 79,83 69,27 56,03 48,90 19,20 26,33 23,83 22,87 18,33 13,60 6,77 4,0070 99,93 98,80 99,43 82,13 72,97 60,03 53,93 19,70 29,53 27,13 22,53 21,43 13,63 7,77 4,4775 99,97 99,10 99,50 83,30 73,33 60,10 53,67 20,33 30,73 26,63 24,13 19,97 13,50 6,40 4,1780 100,00 99,33 99,50 86,33 77,23 66,20 57,60 21,77 31,60 28,83 27,83 22,87 16,27 8,07 3,0385 100,00 99,63 99,87 89,20 80,17 68,37 59,63 23,97 29,93 29,07 26,87 22,20 14,47 8,60 3,1790 100,00 99,63 99,93 87,70 81,40 70,23 61,90 21,60 30,70 28,57 25,90 24,73 15,70 7,30 3,6395 100,00 99,87 99,97 90,20 82,00 71,80 61,83 24,77 32,00 29,43 26,37 22,20 14,70 6,40 2,97

100 100,00 99,93 99,87 91,67 83,60 67,67 61,63 21,70 31,10 29,07 26,13 23,87 13,50 6,73 3,60105 100,00 99,90 99,93 92,90 86,23 74,87 65,33 23,20 34,60 31,73 29,23 25,23 15,33 5,53 2,07110 100,00 100,00 100,00 93,97 87,00 74,53 65,10 24,03 33,47 30,10 26,30 22,30 12,90 6,13 2,27115 100,00 100,00 100,00 93,83 86,80 75,23 66,93 24,93 34,33 31,80 27,97 23,20 14,47 6,90 2,63120 100,00 100,00 100,00 95,33 88,77 76,53 66,37 24,40 36,00 31,87 27,87 24,17 13,77 5,77 2,30125 100,00 100,00 100,00 96,60 91,60 80,30 71,53 24,77 35,90 33,57 28,97 25,93 13,83 5,03 1,70130 100,00 100,00 100,00 97,07 90,93 79,23 72,27 24,83 35,77 34,70 28,33 25,50 13,47 6,70 2,40135 100,00 99,97 100,00 96,97 91,00 79,97 72,37 23,33 37,80 33,17 30,37 25,57 13,60 6,00 2,17140 100,00 99,97 100,00 96,87 92,40 81,33 71,70 24,17 35,10 34,53 26,43 21,37 12,00 5,00 1,60145 100,00 100,00 100,00 98,57 93,10 85,27 76,77 26,20 39,87 39,37 31,90 26,83 14,20 4,90 1,23150 100,00 100,00 100,00 98,17 94,07 83,47 75,30 24,90 40,30 37,40 31,20 27,00 15,73 4,60 1,90155 100,00 100,00 100,00 98,83 95,93 89,47 82,17 34,60 49,07 42,87 39,33 34,27 17,27 8,70 2,60160 100,00 100,00 100,00 99,33 97,07 89,10 82,03 27,43 43,30 41,13 36,70 28,47 17,03 4,63 1,30165 100,00 100,00 100,00 99,07 95,70 87,67 78,90 27,73 41,63 39,43 33,27 28,20 14,20 4,73 1,20170 100,00 100,00 100,00 99,67 97,00 89,10 81,03 27,00 42,10 37,23 31,57 26,30 12,27 3,90 0,97175 100,00 100,00 100,00 99,37 97,70 91,97 84,23 34,07 49,43 45,67 40,90 31,43 19,30 8,17 1,93180 100,00 100,00 100,00 99,67 98,53 95,00 88,70 33,47 47,10 45,20 39,17 32,93 17,50 5,30 1,57185 100,00 100,00 100,00 99,80 98,80 93,67 88,27 29,77 46,63 44,70 40,43 34,97 16,53 5,57 1,10190 100,00 100,00 100,00 99,73 97,80 93,07 85,27 28,93 46,20 43,17 39,37 30,47 13,40 4,83 1,30195 100,00 100,00 100,00 99,73 98,50 92,17 85,03 26,27 47,73 45,23 37,97 28,23 15,57 5,03 0,57200 100,00 100,00 100,00 99,87 98,83 93,97 87,77 31,13 46,00 41,60 37,17 29,50 15,77 4,60 0,90205 100,00 100,00 100,00 99,83 99,23 94,77 89,70 33,03 53,17 48,43 41,60 34,20 16,73 5,40 0,73210 100,00 100,00 100,00 99,77 99,33 95,13 90,67 31,67 49,37 43,97 38,77 30,73 13,33 4,20 0,50215 100,00 100,00 100,00 99,83 99,03 94,80 88,57 30,83 49,47 45,33 41,37 33,03 15,23 3,60 0,60220 100,00 100,00 100,00 99,97 98,93 95,23 90,43 31,63 51,03 45,67 40,33 30,87 13,37 3,67 0,57225 100,00 100,00 100,00 99,93 99,57 96,13 89,33 29,90 49,00 44,90 37,70 29,03 11,73 3,47 0,50230 100,00 100,00 100,00 99,90 99,47 95,17 90,07 28,43 46,73 42,53 34,27 26,03 11,27 2,97 0,30235 100,00 100,00 100,00 100,00 99,80 97,83 93,87 34,57 60,63 55,93 46,93 40,30 18,37 3,83 0,50240 100,00 100,00 100,00 99,97 99,73 97,37 94,33 45,53 56,27 51,37 46,57 38,63 16,80 3,77 0,67245 100,00 100,00 100,00 100,00 99,90 99,63 98,70 45,97 73,90 69,17 62,33 52,27 24,77 6,60 0,53250 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 99,00 96,20 44,13 67,17 64,97 56,40 46,03 23,27 5,53 0,83255 100,00 100,00 100,00 100,00 99,80 98,40 96,17 46,80 53,97 49,67 41,67 33,37 13,23 3,53 0,33

Tabela 7.2 – Percentual de rejeição do mapeamento com simulação com erros quaisquer pelo teste de 10 % maior que o LMAS (norma brasileira), em função do

tamanho da amostra (colunas) e da qualidade do mapeamento (linhas). n 40 30 21,19 20 17,5 15 12,5 10,36 10,2 10 9,5 9 8 7 6 10 99,77 97,73 89,63 90,60 86,30 81,70 77,30 69,67 68,00 67,47 65,93 63,83 59,77 55,17 48,9015 99,67 97,03 87,53 85,27 79,13 70,43 60,00 51,47 50,20 47,83 44,20 42,83 37,03 32,90 24,8720 100,00 99,60 95,97 94,77 90,63 84,53 76,10 66,30 62,67 64,90 60,27 58,47 54,30 45,63 39,0025 100,00 99,37 93,97 92,33 85,60 77,60 64,47 55,23 49,03 47,17 45,57 43,20 37,83 29,40 21,9330 100,00 99,80 96,77 97,33 93,53 85,83 76,20 65,80 62,47 60,43 57,57 57,07 49,10 40,13 31,7035 100,00 100,00 96,63 96,10 91,73 82,60 69,57 55,93 51,23 50,40 45,33 45,93 35,47 27,20 18,50

87

n 40 30 21,19 20 17,5 15 12,5 10,36 10,2 10 9,5 9 8 7 6 40 100,00 100,00 98,73 98,87 95,43 90,67 80,30 67,17 62,53 60,60 57,77 54,97 46,03 37,07 24,0045 100,00 100,00 98,20 97,83 93,93 85,87 71,83 57,43 50,90 50,83 45,23 43,07 34,60 24,43 15,6750 100,00 100,00 99,17 99,13 97,47 92,13 80,10 64,77 60,93 60,07 55,63 53,10 43,37 31,63 21,6055 100,00 100,00 99,13 99,43 97,10 89,03 74,27 57,03 54,00 49,33 43,63 42,97 32,00 23,17 12,1060 100,00 100,00 99,70 99,70 97,87 92,33 82,13 67,50 62,60 58,90 54,63 52,20 39,20 28,63 18,1365 100,00 100,00 99,47 99,57 97,97 91,33 76,30 59,80 53,53 50,27 46,13 42,80 32,00 20,47 12,2370 100,00 100,00 99,80 99,77 98,87 95,17 85,70 66,87 63,23 61,13 53,67 54,33 39,17 27,53 17,3075 100,00 100,00 99,73 99,73 98,77 93,27 80,60 59,93 53,13 50,53 44,67 45,57 30,20 17,70 10,0380 100,00 100,00 99,90 99,90 99,20 96,50 86,33 69,30 64,67 62,10 57,13 55,80 41,13 26,60 13,5785 100,00 100,00 99,97 99,97 99,13 95,57 81,73 65,33 53,50 54,10 47,60 44,83 30,40 18,87 8,6790 100,00 100,00 100,00 100,00 99,77 97,50 87,70 71,20 62,53 61,93 55,33 54,23 37,97 22,93 12,4395 100,00 100,00 99,97 100,00 99,37 96,27 82,00 63,27 53,27 51,53 45,07 42,23 27,90 15,43 6,70

100 100,00 100,00 99,93 100,00 99,63 96,43 85,97 68,73 60,47 58,00 50,03 49,27 33,60 20,03 10,03105 100,00 100,00 99,97 100,00 99,63 97,17 85,70 65,27 56,63 54,93 47,43 45,57 27,40 14,70 6,33110 100,00 100,00 100,00 100,00 99,73 98,33 87,80 70,07 60,17 58,00 51,27 47,33 30,30 17,87 7,30115 100,00 100,00 100,00 99,97 99,87 97,40 84,80 65,70 52,20 51,10 43,00 40,47 25,27 12,00 5,27120 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 98,03 88,27 71,07 62,57 59,30 52,73 49,67 30,10 18,27 7,03125 100,00 100,00 100,00 100,00 99,90 98,10 86,97 64,83 54,30 52,57 42,03 42,23 20,87 9,87 2,63130 100,00 100,00 100,00 100,00 99,87 98,87 90,30 70,00 63,40 59,40 51,30 47,80 26,87 16,90 6,03135 100,00 100,00 100,00 100,00 99,90 98,27 87,50 63,67 54,87 50,30 42,70 40,07 21,43 11,13 3,53140 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 99,20 90,07 73,43 58,60 56,07 44,83 42,97 23,70 11,93 4,20145 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 98,83 90,27 67,93 58,77 56,97 45,37 42,77 22,23 10,90 2,60150 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,37 92,53 73,80 64,10 60,60 52,63 48,50 27,50 12,97 4,60155 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 99,30 91,50 72,73 63,53 57,87 49,40 47,77 23,20 11,90 3,67160 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,43 95,00 76,30 65,23 64,03 56,90 51,27 29,93 12,57 3,30165 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 99,20 90,33 67,67 57,70 52,97 42,80 40,30 19,57 7,33 1,80170 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,80 93,63 75,67 62,77 57,40 48,20 44,80 22,40 8,60 1,73175 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 99,57 91,60 70,43 59,70 55,90 45,90 41,80 20,40 9,57 1,67180 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,83 96,43 78,73 67,33 65,83 55,50 53,67 27,53 11,23 2,93185 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,90 95,17 71,50 61,93 59,57 50,47 48,03 22,10 8,63 1,80190 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,67 94,03 72,57 62,00 56,70 48,77 44,67 18,80 7,37 1,33195 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 99,57 93,53 66,80 60,57 56,33 43,87 41,37 19,63 6,63 0,87200 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,90 95,97 74,97 63,33 60,20 52,03 47,10 23,63 8,60 1,43205 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 95,83 73,77 63,40 59,57 47,07 45,47 20,27 6,43 0,43210 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 97,10 79,70 65,57 61,47 50,93 46,20 19,33 7,73 1,10215 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,77 94,37 71,27 57,73 53,03 42,03 39,73 15,83 4,97 0,33220 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,83 97,03 75,80 64,20 61,27 48,50 42,97 17,43 5,43 0,37225 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 94,17 70,73 55,67 50,73 39,53 33,83 11,13 3,47 0,07230 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,77 96,27 75,40 59,50 55,57 41,77 38,97 14,33 3,93 0,27235 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,90 96,40 71,83 60,77 56,37 41,80 40,40 13,10 2,77 0,07240 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 97,97 84,67 68,47 64,07 55,27 51,50 20,23 4,83 0,53245 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,67 82,77 77,63 72,80 61,70 56,70 18,50 6,17 0,13250 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 98,37 84,00 73,97 70,67 58,90 52,40 19,33 5,50 0,43255 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 98,67 86,43 60,40 55,57 42,67 37,93 12,80 3,80 0,03

Cada uma das curvas dos gráficos das figuras 7.2 e 7.3, a seguir, foram

geradas no Excel pela introdução de linhas de tendência para cada nível de qualidade

do mapeamento. Tendo como parâmetros os valores de rejeição de mapeamento de

acordo com o tamanho da amostra para cada um dos testes.

88

Figura 7.2 – Gráfico de percentual de rejeição do mapeamento, para simulação com

erros quaisquer pelo teste de precisão.

Figura 7.3 – Gráfico de percentual de rejeição do mapeamento, para simulação com

erros quaisquer, pelo teste da norma brasileira.

89

7.3.1 Análise dos resultados da simulação com erros quaisquer

Antes de iniciar a análise é interessante recordar o que significa cada um dos

testes. O de precisão mede estatisticamente, através da amostra, se existe ou não

aderência (teste de hipótese) da população a uma curva normal que possui um desvio

padrão igual ao limite da norma brasileira (EP, LSE). Já o teste da norma brasileira

verifica, também através da amostra, se a mesma (extrapolando para a população)

possui 90 % dos pontos numa dada coordenada abaixo do limite daquela classe de

mapeamento (LMAS). Teoricamente, uma distribuição normal obedece aos dois

critérios, um no ponto 68 %, outro no 90 %.

Vale destacar que as curvas acima serão corrigidas em seus percentuais com

uma próxima simulação, mas mesmo assim podem ser antecipadas algumas

considerações.

Analisando-se cada uma das tabelas e figuras anteriores podem-se fazer os

seguintes comentários:

1) A quantidade de pontos proposta pela maioria das normas (20) não parece

suficiente para aceitar ou rejeitar um mapeamento, com certo grau de confiança.

2) Como esperado, quanto pior a qualidade do mapeamento menor o número de

pontos suficientes para se rejeitar um mapeamento em ambos os testes, para uma

dada segurança;

3) De forma análoga, quanto melhor a qualidade do mapeamento menor o número de

pontos para se aceitar um mapeamento em ambos os testes, para uma dada

segurança;

90

4) Algumas curvas inferiores, mas próximas a 10% mostram uma tendência final de

crescimento, que levaria a valores altos se extrapolada, quando se espera que se

comporte de uma forma assintótica ao valor de 50%.

5) Considerando as curvas que estão acima da de 10 %, ou seja, as dos produtos de

baixa qualidade, que consideram o “risco do usuário”, pode ser feita a seguinte

análise: tome-se, por exemplo, a curva dos 20 % e uma amostra de 20 pontos:

constata-se que no caso do teste de precisão corre-se o risco de aceitar um

mapeamento ruim em cerca de 54,7 % dos casos (100 % menos o percentual de

rejeição que é de 46,3%); já para o teste da norma brasileira, tal risco cai para 5,23 %

(100 % menos o percentual de rejeição que é de 94,77 %). Esses percentuais serão

alterados na próxima simulação, mas a forma de análise é valida;

6) Considerem-se agora as curvas que estão abaixo da de 10 %, ou seja, as dos

produtos de boa qualidade e, portanto, considerando o “risco do produtor”. Por

exemplo, para a curva dos 6 % e uma amostra de 20 pontos, constata-se pelo teste de

precisão que se corre um risco de rejeitar um mapeamento bom em cerca de 7,03 %

dos casos, o que parece um valor razoável; já, analogamente, para o teste da norma

brasileira, tal risco sobe para 39,0 %, o que pode ser considerado alto.

7) Percebe-se que as curvas no primeiro caso estão incoerentes com a realidade, se

interpolarmos os dados reais das coordenadas E e N.

Dadas essas incoerências, levantou-se a hipótese que isso poderia ter ocorrido

em função dos erros terem sido alocados manual e aleatoriamente em magnitude,

podendo levar a uma distribuição não normal, com curtose, por exemplo. Assim,

buscando maior consistência e para ter parâmetros de comparação, foi aplicado um

91

fator k de multiplicação aos desvios, de modo a se manter a normalidade da

distribuição, realizando-se os experimentos apresentados nos itens seguintes.

Tenha-se em conta que essa multiplicação não altera a média (que é zero, pois

a tendência foi eliminada) e multiplica o desvio padrão por k (como se pode deduzir

pela fórmula do mesmo) tornando a população e a amostra menos precisas. Esse

fator foi controlado de forma a produzir distribuições com porcentagens pré-

determinadas de pontos fora do limite.

7.4 Aplicação da simulação mantendo a distribuição normal

A metodologia de simulação foi a mesma aplicada anteriormente. No entanto,

no que se refere à preparação da população foi realizada apenas uma multiplicação,

por meio de um fator k, de acordo com o percentual de pontos que deveriam estar

fora da especificação, para efeito de simulação da qualidade do mapeamento.

Então, após o processamento das simulações, foram criadas as tabelas de

percentual de rejeição em função do tamanho da amostra (n) para cada um dos testes.

Isso pode ser visto nas tabelas 7.3 e 7.4 (interpretar linhas e colunas como no item

anterior).

Tabela 7.3 – Percentual de rejeição do mapeamento com simulação com erros mantendo a normalidade da distribuição, pelo teste de precisão, em função do

tamanho da amostra (colunas) e da qualidade do mapeamento (linhas). n 40 30 21,19 20 15 12,5 10,5 10,36 10 9,5 7,5 5 10 93,60 79,83 48,43 44,57 28,83 21,90 15,77 14,03 12,73 12,10 7,83 1,1715 98,57 90,93 62,83 56,83 36,03 25,87 15,33 14,30 14,57 11,20 7,90 0,8720 99,70 95,87 73,23 65,90 41,40 28,00 16,50 14,77 15,00 11,30 6,87 0,6325 99,93 98,23 79,90 70,97 43,80 29,63 16,57 16,97 14,23 10,97 6,40 0,2730 100,00 99,23 83,63 78,07 51,43 33,43 17,07 16,07 15,73 10,80 6,17 0,2035 100,00 99,90 89,07 80,03 55,00 34,03 19,83 18,07 15,83 10,20 7,73 0,0740 100,00 99,97 91,43 87,53 57,90 37,03 19,00 16,40 16,20 10,77 5,93 0,0045 100,00 99,97 94,30 88,57 60,27 37,40 21,77 18,00 16,83 11,20 6,27 0,1050 100,00 99,97 96,63 90,63 64,40 40,30 20,30 16,77 17,87 11,07 5,87 0,0055 100,00 100,00 97,30 94,43 68,03 41,17 20,97 18,07 16,70 10,33 5,27 0,0060 100,00 100,00 98,27 94,77 70,83 44,30 21,30 17,93 15,53 10,83 4,80 0,0065 100,00 100,00 98,93 96,40 75,30 47,57 23,10 19,20 18,53 9,63 5,37 0,0070 100,00 100,00 99,43 98,23 75,77 50,47 23,90 19,70 19,97 11,93 5,40 0,0075 100,00 100,00 99,50 97,50 78,27 52,07 24,10 20,33 17,80 10,37 3,93 0,0080 100,00 100,00 99,50 98,53 82,30 55,83 24,97 21,77 19,90 10,87 4,67 0,00

92

n 40 30 21,19 20 15 12,5 10,5 10,36 10 9,5 7,5 5 85 100,00 100,00 99,87 98,70 85,93 57,07 28,63 23,97 22,43 12,00 4,80 0,0090 100,00 100,00 99,93 98,97 86,17 59,70 27,80 21,60 21,80 11,23 5,00 0,0095 100,00 100,00 99,97 99,77 86,30 60,23 27,87 24,77 20,03 11,47 4,03 0,00

100 100,00 100,00 99,87 99,47 87,37 60,73 28,30 21,70 20,70 10,20 4,63 0,00105 100,00 100,00 99,93 99,73 90,67 63,70 26,93 23,20 22,90 11,33 3,70 0,00110 100,00 100,00 100,00 99,80 89,70 63,73 29,67 24,03 20,83 10,50 3,77 0,00115 100,00 100,00 100,00 99,50 91,47 67,17 29,90 24,93 22,50 10,67 3,90 0,00120 100,00 100,00 100,00 99,83 92,13 66,13 29,27 24,40 23,17 10,20 4,07 0,00125 100,00 100,00 100,00 100,00 94,17 70,30 30,30 24,77 22,00 11,07 2,63 0,00130 100,00 100,00 100,00 100,00 94,50 69,27 29,90 24,83 22,63 10,77 3,17 0,00135 100,00 100,00 100,00 99,93 94,07 68,37 29,37 23,33 22,80 10,67 2,23 0,00140 100,00 100,00 100,00 99,87 95,43 73,07 31,77 24,17 22,70 9,80 2,87 0,00145 100,00 100,00 100,00 100,00 96,73 74,90 31,63 26,20 22,97 10,27 2,47 0,00150 100,00 100,00 100,00 100,00 97,30 75,80 31,63 24,90 20,83 8,60 1,80 0,00155 100,00 100,00 100,00 100,00 98,00 83,10 42,53 34,60 30,57 14,67 3,93 0,00160 100,00 100,00 100,00 100,00 98,87 80,57 37,03 27,43 25,60 11,53 2,37 0,00165 100,00 100,00 100,00 100,00 98,20 78,77 35,40 27,73 24,60 10,83 2,13 0,00170 100,00 100,00 100,00 100,00 98,70 82,27 36,17 27,00 22,97 9,30 1,80 0,00175 100,00 100,00 100,00 100,00 99,10 83,97 41,17 34,07 31,37 12,60 3,67 0,00180 100,00 100,00 100,00 100,00 99,53 87,87 41,47 33,47 29,13 11,83 2,80 0,00185 100,00 100,00 100,00 100,00 99,13 85,60 40,80 29,77 27,77 10,20 1,73 0,00190 100,00 100,00 100,00 100,00 99,17 84,43 37,27 28,93 25,70 8,50 1,70 0,00195 100,00 100,00 100,00 100,00 99,50 85,13 36,30 26,27 25,60 8,00 1,37 0,00200 100,00 100,00 100,00 100,00 99,57 87,53 41,30 31,13 27,57 9,17 1,47 0,00205 100,00 100,00 100,00 100,00 99,63 89,13 40,97 33,03 30,03 10,37 1,97 0,00210 100,00 100,00 100,00 100,00 99,63 88,43 42,00 31,67 30,07 10,27 1,37 0,00215 100,00 100,00 100,00 100,00 99,77 89,20 37,67 30,83 26,37 7,83 0,90 0,00220 100,00 100,00 100,00 100,00 99,63 90,27 41,83 31,63 28,37 10,17 1,43 0,00225 100,00 100,00 100,00 100,00 99,87 89,87 40,27 29,90 26,40 7,37 0,97 0,00230 100,00 100,00 100,00 100,00 99,87 89,63 41,10 28,43 25,00 7,47 0,57 0,00235 100,00 100,00 100,00 100,00 99,87 95,33 47,07 34,57 28,70 7,50 0,83 0,00240 100,00 100,00 100,00 100,00 99,83 95,40 55,43 45,53 41,93 15,80 3,07 0,00245 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 97,57 59,03 45,97 43,77 15,90 1,53 0,00250 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 97,63 60,77 44,13 42,17 13,37 1,20 0,00255 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 97,50 56,93 46,80 37,70 12,57 1,50 0,00

Tabela 7.4 – Percentual de rejeição do mapeamento com simulação com erros mantendo a normalidade da distribuição, pelo teste da norma brasileira, em função

do tamanho da amostra (colunas) e da qualidade do mapeamento (linhas). n 40 30 21,19 20 15 12,5 10,5 10,36 10 9,5 7,5 5 10 99,57 97,63 89,63 90,43 82,77 75,67 70,03 69,67 68,33 66,57 56,60 43,7015 99,83 97,47 87,53 85,93 72,00 61,10 52,03 51,47 50,13 47,67 34,70 19,6020 100,00 99,70 95,97 94,80 86,17 77,60 69,23 66,30 64,63 64,63 48,77 30,3725 100,00 99,57 93,97 92,53 77,20 67,97 55,90 55,23 50,23 47,90 32,27 14,2330 100,00 99,93 96,77 97,40 89,03 79,53 69,93 65,80 64,27 60,73 44,83 21,5735 100,00 99,97 96,63 95,30 83,87 69,10 59,47 55,93 51,97 49,97 31,20 11,8340 100,00 100,00 98,73 98,23 90,20 81,13 70,63 67,17 63,73 60,30 42,03 15,9745 100,00 100,00 98,20 97,67 87,30 73,00 60,97 57,43 54,03 49,13 29,27 8,1750 100,00 100,00 99,17 99,07 93,50 81,47 70,97 64,77 64,07 60,67 36,87 11,4055 100,00 100,00 99,13 99,07 91,47 76,27 62,00 57,03 55,30 49,17 26,80 6,7060 100,00 100,00 99,70 99,37 94,73 84,97 71,77 67,50 64,57 59,50 34,27 8,3065 100,00 100,00 99,47 99,53 92,87 79,43 66,03 59,80 57,20 50,67 27,23 5,3770 100,00 100,00 99,80 100,00 95,57 86,83 72,53 66,87 66,87 57,80 32,37 7,5375 100,00 100,00 99,73 99,53 94,60 82,47 66,80 59,93 55,67 50,37 24,33 3,5080 100,00 100,00 99,90 99,77 96,90 88,10 74,23 69,30 66,70 59,53 30,60 5,0785 100,00 100,00 99,97 99,93 96,63 83,07 71,73 65,33 60,33 53,00 23,93 3,5090 100,00 100,00 100,00 100,00 98,30 89,20 76,07 71,20 66,83 61,63 29,97 3,7795 100,00 100,00 99,97 99,90 96,37 85,70 68,70 63,27 57,77 53,03 21,53 2,33

100 100,00 100,00 99,93 99,90 98,00 88,57 74,33 68,73 64,43 57,40 27,67 3,50105 100,00 100,00 99,97 99,93 97,70 88,27 70,67 65,27 60,83 55,10 21,27 1,70110 100,00 100,00 100,00 99,97 98,47 91,27 74,70 70,07 64,73 57,33 24,13 1,77115 100,00 100,00 100,00 100,00 98,00 89,13 71,27 65,70 59,60 52,97 18,53 1,07120 100,00 100,00 100,00 99,93 98,73 91,27 75,10 71,07 66,60 56,83 23,50 1,70125 100,00 100,00 100,00 100,00 98,50 90,10 70,93 64,83 59,23 48,97 15,03 0,37130 100,00 100,00 100,00 99,97 98,97 92,17 78,37 70,00 65,70 59,20 22,47 1,30

93

n 40 30 21,19 20 15 12,5 10,5 10,36 10 9,5 7,5 5 135 100,00 100,00 100,00 100,00 98,67 89,70 71,27 63,67 59,53 50,57 14,83 0,53140 100,00 100,00 100,00 100,00 99,57 94,57 79,97 73,43 69,53 59,60 21,10 0,83145 100,00 100,00 100,00 100,00 99,27 92,27 73,33 67,93 61,67 55,13 15,30 0,23150 100,00 100,00 100,00 100,00 99,63 94,63 80,70 73,80 67,67 59,20 16,37 0,53155 100,00 100,00 100,00 100,00 99,37 93,87 79,43 72,73 66,40 59,37 17,00 0,53160 100,00 100,00 100,00 100,00 99,87 96,23 84,00 76,30 71,47 63,63 17,60 0,37165 100,00 100,00 100,00 100,00 99,70 93,43 75,60 67,67 61,40 53,23 12,90 0,10170 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 96,73 84,93 75,67 70,30 63,60 16,47 0,13175 100,00 100,00 100,00 100,00 99,70 94,40 78,27 70,43 64,93 57,40 16,73 0,30180 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 97,10 85,47 78,73 71,63 63,70 14,90 0,10185 100,00 100,00 100,00 100,00 99,80 96,37 79,67 71,50 65,10 54,93 9,90 0,13190 100,00 100,00 100,00 100,00 99,73 95,80 79,40 72,57 66,97 56,90 12,60 0,27195 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 95,20 77,30 66,80 60,17 50,40 8,80 0,00200 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 97,50 83,60 74,97 68,70 56,63 13,80 0,13205 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 96,77 78,23 73,77 67,03 53,43 11,80 0,13210 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 97,30 86,93 79,70 73,57 64,03 12,73 0,03215 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 96,40 79,83 71,27 63,60 51,07 6,57 0,00220 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 97,43 84,10 75,80 70,67 60,17 10,40 0,00225 100,00 100,00 100,00 100,00 99,93 96,73 79,93 70,73 62,73 50,50 6,17 0,03230 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 98,33 85,33 75,40 69,03 58,07 9,40 0,00235 100,00 100,00 100,00 100,00 99,90 97,90 80,73 71,83 61,53 49,37 5,10 0,00240 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 98,80 89,03 84,67 80,30 68,47 15,23 0,00245 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,43 90,13 82,77 76,70 67,50 8,27 0,00250 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,13 91,90 84,00 80,00 67,30 8,73 0,00255 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,37 92,23 86,43 78,93 68,50 9,43 0,00

A partir dos dados das tabelas 7.3 e 7.4 foram gerados os gráficos das figuras

7.4 e 7.5 para os dois testes respectivamente.

Figura 7.4 – Gráfico de percentual de rejeição do mapeamento com simulação com

erros mantendo normalidade da distribuição para o teste de precisão.

94

Figura 7.5 – Gráfico de percentual de rejeição do mapeamento com simulação com

erros mantendo normalidade da distribuição para o teste da norma brasileira.

7.4.1 Análise dos resultados da simulação mantendo a distribuição normal

Analisando-se as tabelas 7.3 e 7.4 e as figuras 7.4 e 7.5 podem-se fazer os

seguintes comentários:

1) Permanece válido o comentário feito no caso anterior quanto a quantidade de

pontos proposta pela maioria das normas (20);

2) Como esperado, quanto pior a qualidade do mapeamento menor o número de

pontos suficientes para se rejeitar um mapeamento em ambos os testes, para uma

dada confiabilidade. Por exemplo, se um mapeamento está fora das especificações

com cerca de 40 %, bastam cerca de 25 a 30 pontos para rejeitá-lo pelo teste de

precisão com quase 100% de confiança; já pelo segundo teste da norma brasileira,

95

bastariam entre 15 a 20 pontos, o que é um tamanho de amostra compatível com as

normas, mas o mesmo não ocorre com mapeamentos ruins e mais próximos dos

10%;

3) Como esperado, também, quanto melhor a qualidade do mapeamento menor deve

ser o número de pontos suficientes para se aceitar um mapeamento em ambos os

teste;

4) Considerando as curvas que estão acima da de 10 %, ou seja, as dos produtos de

pior qualidade e, portanto, considerando-se o “risco do usuário”, pode ser feita a

seguinte análise através das curvas da figura 7.4, por exemplo, considerando a curva

dos 20 % e uma amostra de 20 pontos, no teste de precisão, constata-se que se corre

o risco de aceitar um mapeamento ruim em cerca de 34,10 % (100 % menos o

percentual de rejeição de 65,90 %). Já para o teste da norma brasileira (figura 7.5),

tal risco cai para 5,20 % (100 % menos o percentual de rejeição de 94,80 %). Essa

diferença talvez se deva ao maior rigor da norma brasileira;

5) Considerando as curvas que estão abaixo da de 10 %, ou seja, as dos produtos de

boa qualidade e, portanto, considerando-se o “risco do produtor”, pode-se medir

analogamente esse risco. Por exemplo, levando em conta a curva dos 5 % e uma

amostra de 20 pontos, constata-se que no caso do teste de precisão corre-se o risco de

rejeitar um mapeamento bom em cerca de 0,63 % dos casos; já, para o teste da norma

brasileira, tal risco sobe para 30,37 %. Novamente, essa discrepância talvez se deva

ao maior rigor da norma brasileira;

6) Percebe-se que novas curvas estão de acordo com a realidade em ambos os testes,

se interpolarmos os dados reais das coordenadas E e N, ou seja, as curvas de 10,36 %

e 21,19 %, que se situam de forma coerente com o conjunto.

96

7.5 Conclusões do capítulo

Quanto a esse capítulo chega-se às seguintes conclusões:

a) Analisando as curvas operacionais dos gráficos percebe-se, como era esperado,

que quanto maior o percentual de pontos com erros superiores ao exigido na norma

brasileira da classe (A, B ou C) menor pode ser a o tamanho da amostra para rejeitar

um mapeamento fora da especificação, com maior segurança;

b) Da mesma forma quanto menor esse percentual, abaixo dos 10 %, menor pode ser

a amostra para aceitar esse mapeamento;

c) Outra análise consiste em fixar “n” e verificar o que acontece em cada curva

(diferentes percentuais de erros), chegando-se ao percentual de rejeição (ordenada)

ou de aceitação (complemento para chegar a 100 %). Assim, fixando n pode-se

avaliar o risco que se corre, por parte do usuário, de aceitar como bom um

mapeamento que na verdade é ruim (erro do tipo I); da mesma maneira, por parte do

produtor ao ver rejeitado como ruim um mapeamento que é bom (erro do tipo II);

d) Outra conclusão é que não se pode pretender, na maioria dos casos, uma certeza

de 100 %, pois isso levaria a amostras muito grandes, encarecendo o controle de

qualidade. Amostras maiores podem ser conseguidas, sem muito custo, quando o

documento de controle é um mapeamento mais acurado em meio digital, ou quando

se possa utilizar método de campo (GPS) que seja altamente produtivo;

e) Pode-se também verificar que o aumento da segurança produz um determinado

aumento no número mínimo de pontos da amostra. Por exemplo, passar de 20 para

40 pontos na curva de 12,5 % significa um aumento de aproximadamente 5 %, o que

pode ser irrelevante;

97

f) Invertendo a entrada no gráfico poder-se-ia fixar um determinado percentual,

entrar numa determinada curva e extrair o tamanho da amostra;

g) Mapeamentos muito bons ou muito ruins são mais fáceis de detectar; o problema

ocorre com os mapeamentos próximos de 10 % (pouco acima ou pouco abaixo).

Seria até de esperar que o mapeamento de 10 % oscilasse em torno da reta de 50 %,

sendo que nos gráficos está em torno de 60 %. Análises posteriores podem indicar a

causa; talvez isso se deva ao nível de confiança; uma variação no mesmo faz com

que a curva suba ou desça;

h) Embora possa haver uma relativa alta probabilidade de aceitar um mapeamento

ruim próximo de 10 % (por exemplo, 12,5 %), isso pode não ser muito significativo.

Deve-se responder à pergunta: o que acontece se for aceito um mapeamento com erro

de 12,5 % (e não 10 %)? Estaria um pouco abaixo da classe A (LSE de 0,3 mm) e

com bastante folga com relação à classe B (LSE de 0,5 mm), seu sigma seria, por

exemplo, 0,35 mm. Isso prejudica a aplicação do mapeamento?

i) Em geral, não se conhece a priori a qualidade de um mapeamento para saber em

que curva entrar. No caso da análise de várias folhas poder-se-ia arbitrar a primeira e

ir supondo a qualidade das próximas em função das anteriores, para aumentar ou

diminuir “n” (tamanho da amostra);

j) É preciso ter em conta que o que se fez nesse teste é algo bem peculiar: comparar

mapeamento com mapeamento. O caso de comparar mapeamento com dados de

campo, o que corresponde à única opção caso de escalas maiores (1:2.000, 1:1.000,

1:500), pode modificar bastante a questão, pois não se pode colocar um equipamneto

GPS no cruzamento virtual de eixos de vias, nem no canto de edifícios, nem em

outros tantos lugares. A prática tem demonstrado que em escalas como essas há

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dificuldade de coletar os 20 pontos por carta; no mapeamento digital de São Paulo,

em andamento, a média de pontos por carta não ultrapassa 8 ou 10. Assim, levantar

todos esses pontos não se constitui uma amostra, mas a população (tal como a norma

leva a interpretar), modificando substancialmente o problema, ou seja, encarece a

aplicação.