CAPÍTULO8

EnergiaPotencialeConservaçãodaEnergia

8-1ENERGIAPOTENCIAL

ObjetivosdoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...

8.01Saberadiferençaentreumaforçaconservativaeumaforçanãoconservativa.

8.02Nocasodeumapartículaquesemovedeumpontoparaoutrodoespaço,saberqueotrabalhorealizadoporumaforçaconservativadependeapenasdospontosinicialefinal.

8.03Calcularaenergiapotencialgravitacionaldeumapartícula(ou,maisrigorosamente,deumsistemapartícula-Terra).

8.04Calcularaenergiapotencialelásticadeumsistemamassa-mola.

Ideias-Chave•Umaforçaéditaconservativaseotrabalhorealizadopelaforçasobreumapartículaquedescreveumpercursofechado,ouseja,noqualopontofinalcoincidecomopontoinicial,ézero.Épossíveldemonstrarqueotrabalhorealizadoporumaforçaconservativanãodependedatrajetóriadapartícula,masapenasdospontosinicialefinal.Aforçagravitacionaleaforçaelásticasãoforçasconservativas;aforçadeatritocinéticonãoéumaforçaconservativa.•Energiapotencialéaenergiaassociadaàconfiguraçãodeumsistemaqueestásujeitoàaçãodeumaforçaconservativa.QuandoumaforçaconservativarealizaumtrabalhoWsobreumapartículadosistema,avariaçãoΔUdaenergiapotencialdosistemaédadapor

ΔU=−W.

Issosignificaque,seapartículasedeslocadopontoxiparaopontoxfsobaaçãodeumaforçaF(x),avariaçãodaenergiapotencialdosistemaédadapor

•A energia potencial associada a um sistema formado pela Terra e umapartícula nas vizinhanças daTerra é chamada deenergiapotencialgravitacional.Seapartículasedeslocadaalturayiparaaalturayf,avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemapartícula-Terraédadapor

ΔU=mg(yf−yi)=mgΔy.

•Seopontodereferênciadapartículaétomadocomoyi=0eaenergiapotencialgravitacionalcorrespondenteétomadacomoUi=0,aenergiapotencialgravitacionalUquandoapartículaestáaumaalturahédadapor

U(y)=mgy

•Aenergiapotencialelásticaéaenergiaassociadaaoestadodecompressãoouextensãodeumobjetoelástico.Nocasodeumamolaqueexerceuma forçaelásticaF=–kxquandoaextremidade livresofreumdeslocamentox,aenergiapotencial

RevisãoeResumo

ForçasConservativas Uma força é uma força conservativa se o trabalho que ela realiza sobre umapartículaseanulaaolongodeumpercursofechado.Podemosdizertambémqueumaforçaéconservativaseotrabalhoqueelarealizasobreumapartículaquesemoveentredoispontosnãodependedatrajetóriaseguidapelapartícula.Aforçagravitacionaleaforçaelásticasãoforçasconservativas;aforçadeatritocinéticoéumaforçadissipativa(nãoconservativa).

EnergiaPotencialEnergiapotencialéaenergiaassociadaàconfiguraçãodeumsistemasubmetidoàaçãodeumaforçaconservativa.QuandoaforçaconservativarealizaumtrabalhoWsobreumapartículadosistema,avariaçãoΔUdaenergiapotencialdosistemaédadapor

Seapartículasedeslocadopontoxiparaopontoxf,avariaçãodaenergiapotencialdosistemaé

EnergiaPotencialGravitacionalAenergiapotencialassociadaaumsistemaconstituídopelaTerraeumapartículapróximaéchamadadeenergiapotencialgravitacional.Seumapartícula sedeslocadeumaalturayiparaumaalturayf,avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemapartícula-Terraédadapor

Seopontode referência deumapartícula é tomadocomoyi = 0 e a energia potencial gravitacionalcorrespondentedosistemaétomadacomoUi=0,aenergiapotencialgravitacionalUdeumapartículaaumaalturayédadapor

EnergiaPotencialElásticaEnergiapotencialelásticaéaenergiaassociadaaoestadodecompressãooudistensãodeumobjetoelástico.NocasodeumamolaqueexerceumaforçaelásticaF=−kxquandoaextremidadelivresofreumdeslocamentox,aenergiapotencialelásticaédadapor

Naconfiguraçãodereferência,quandoamolaestánoestadorelaxado,x=0eU=0.

EnergiaMecânicaAenergiamecânicaEmecdeumsistemaéasomadaenergiacinéticaKcomaenergiapotencialUdosistema:

Sistema isolado éumsistemanoqualnenhuma forçaexterna produzvariaçõesde energia.Se apenasforçasconservativasrealizamtrabalhoemumsistemaisolado,aenergiamecânicaEmecdosistemanãopodevariar.Esseprincípiodeconservaçãodaenergiamecânicapodeserescritonaforma

emque os índices se referem a diferentes instantes de umprocesso de transferência de energia. Esseprincípiodeconservaçãopodetambémserescritonaforma

CurvasdeEnergiaPotencialSeconhecemosafunçãoenergiapotencialU(x)deumsistemanoqualumaforçaunidimensionalF(x)agesobreumapartícula,podemosdeterminaraforçausandoaequação

SeU(x)édadanaformadeumgráfico,paraqualquervalordex,aforçaF(x)éonegativodainclinaçãodacurvanopontoconsideradoeaenergiacinéticadapartículaédadapor

emqueEmecéaenergiamecânicadosistema.Umpontoderetornoéumpontoxnoqualomovimentodeumapartículamudadesentido(nesseponto,K=0).ApartículaestáemequilíbrionospontosemqueainclinaçãodacurvadeU(x)énula[nessespontos,F(x)=0)].

TrabalhoRealizadosobreumSistemaporumaForçaExternaO trabalhoWéaenergia transferidaparaumsistema,oudeumsistema,porumaforçaexternaqueagesobreosistema.Quandomaisdeumaforçaexternaagesobreosistema,otrabalhototaldasforçaséigualàenergiatransferida.Quandonãoexisteatrito,otrabalhorealizadosobreosistemaeavariaçãoΔEmecdaenergiamecânicadosistemasãoiguais:

Quandoumaforçadeatritocinéticoagedentrodosistema,aenergiatérmicaEtdosistemavaria.(Essaenergia está associada ao movimento aleatório dos átomos e moléculas do sistema.) Nesse caso, otrabalhorealizadosobreosistemaédadopor

AvariaçãoΔEtestárelacionadaaomódulofkdaforçadeatritoeaomóduloddodeslocamentocausadopelaforçaexternapormeiodaequação

ConservaçãodaEnergiaAenergiatotalEdeumsistema(asomadaenergiamecânicaedasenergias

internas,incluindoaenergiatérmica)sópodevariarsecertaquantidadedeenergiafortransferidaparaosistema, ou retirada do sistema. Esse fato experimental é conhecido como lei de conservação daenergia.SeumtrabalhoWforrealizadosobreosistema,

Seosistemaforisolado(W=0),issonosdá

emqueosíndices1e2indicamdoisinstantesdiferentes.

PotênciaApotênciadesenvolvidaporumaforçaéa taxacomaqualessa força transfereenergia.SeumadadaquantidadedeenergiaΔEétransferidaporumaforçaemumintervalodetempoΔt,apotênciamédiadesenvolvidapelaforçaédadapor

Apotênciainstantâneadesenvolvidaporumaforçaédadapor

Perguntas1NaFig.8-18,umblocoquesemovehorizontalmentepodeseguirtrêscaminhossematrito,quediferemapenas na altura, para alcançar a linha de chegada representada por uma reta tracejada. Ordene oscaminhos,emordemdecrescente,deacordo (a)comavelocidadedoblocona linhadechegadae (b)comotempodepercursodoblocoatéalinhadechegada.

Figura8-18 Pergunta1.

2AFig.8-19mostraafunçãoenergiapotencialdeumapartícula.(a)OrdeneasregiõesAB,BC,CDe

DEdeacordocomomódulodaforçaqueatuasobreapartícula,emordemdecrescente.QualéomaiorvalorpermitidodaenergiamecânicaEmec(b)paraqueapartículafiqueaprisionadanopoçodepotencialdaesquerda,(c)paraqueapartículafiqueaprisionadanopoçodepotencialdadireita,e(d)paraqueapartículasejacapazdesemoverentreosdoispoços,massemultrapassaropontoH?Paraasituaçãodoitem(d),emqualdasregiõesBC,DEeFGapartículapossui(e)amaiorenergiacinéticae(f)amenorvelocidade?

Figura8-19 Pergunta2.

3AFig.8-20mostraumcaminhodiretoequatrocaminhosindiretosdopontoiaopontof.Aolongodocaminhodiretoede trêsdoscaminhos indiretos,apenasumaforçaconservativaFcagesobreumdadoobjeto. Ao longo do quarto caminho indireto, tantoFc como uma força dissipativaFd agem sobre oobjeto.A variaçãoΔEmec da energiamecânica do objeto (em joules) ao se deslocar de i para f estáindicadaaoladodecadasegmentodoscaminhosindiretos.QualéovalordeΔEmec (a)de ipara faolongodocaminhodiretoe(b)produzidaporFdaolongodocaminhoemqueessaforçaatua?

Figura8-20 Pergunta3.

4NaFig.8-21,umpequenobloco,inicialmenteemrepouso,éliberadoemumarampasematritoaumaalturade3,0m.Asalturasdas elevaçõesao longoda rampaestão indicadasna figura.Oscumesdaselevaçõessãotodosiguais,deformacircular,eobloconãoperdecontatocomopisoemnenhumadaselevações.(a)Qualéaprimeiraelevaçãoqueobloconãoconseguesuperar?(b)Oqueacontececomoblocoemseguida?Nocumedequeelevação(c)aaceleraçãocentrípetadoblocoémáximae(d)aforçanormalsobreoblocoémínima?

Figura8-21 Pergunta4.

5NaFig.8-22,umblocodeslizadeAparaCemumarampasematritoedepoispassaparaumaregiãohorizontalCDondeestásujeitoaumaforçadeatrito.Aenergiacinéticadoblocoaumenta,diminuioupermanececonstante(a)naregiãoAB,(b)naregiãoBCe(c)naregiãoCD?(d)Aenergiamecânicadoblocoaumenta,diminuioupermanececonstantenessasregiões?

Figura8-22 Pergunta5.

6NaFig.8-23a,vocêpuxaparacimaumacordapresaaumcilindroquedeslizaemumahastecentral.Comoocilindroeahasteseencaixamsemfolga,oatritoéconsiderável.AforçaquevocêaplicarealizaumtrabalhoW=+100Jsobreosistemacilindro-eixo-Terra(Fig.8-23b).Um“balançodeenergia”dosistema é mostrado na Fig. 8-23c: a energia cinética K aumenta de 50 J e a energia potencialgravitacionalUg aumentade20 J.Aúnicaoutravariaçãodaenergiadentrodo sistemaéadaenergiatérmicaEt.QualéavariaçãoΔEt?

Figura8-23 Pergunta6.

7OarranjodaFig.8-24ésemelhanteaodaPergunta6.Agora,vocêpuxaparabaixoumacordaqueestápresaaocilindroquedeslizacomatritoemumahastecentral.Alémdisso,aodescer,ocilindropuxaumblocopormeiodeumasegundacordaeofazdeslizaremumabancada.Considerenovamenteosistemacilindro-eixo-Terra,semelhanteaodaFig.8-23b.Otrabalhoquevocêrealizasobreosistemaéde200J.Osistemarealizaumtrabalhode60Jsobreobloco.Dentrodosistema,aenergiacinéticaaumentade130Jeaenergiapotencialgravitacionaldiminuide20J.(a)Escrevaum“balançodeenergia”paraosistema,semelhanteaodaFig.8-23c.(b)Qualéavariaçãodaenergiatérmicadentrodosistema?

Figura8-24 Pergunta7.

8NaFig.8-25,umblocodeslizaemumapistaquedesceumaalturah.Apistanãopossuiatrito,excetonapartemaisbaixa.Nessaparte,oblocodeslizaatéparar,devidoaoatrito,depoisdepercorrerumadistânciaD.(a)Sehdiminui,oblocopercorreumadistânciamaior,menorouigualaDatéparar?(b)Se,emvezdisso,amassadoblocoaumenta,adistânciaqueoblocopercorreatépararémaior,menorouigualaD?

Figura8-25 Pergunta8.

9AFig.8-26mostratrêssituaçõesqueenvolvemumplanocomatritoeumblocoquedeslizanoplano.Oblococomeçacomamesmavelocidadenastrêssituaçõesedeslizaatéqueaforçadeatritocinéticoofaçaparar.Ordeneassituaçõesdeacordocomoaumentodaenergiatérmicadevidoaodeslizamento,emordemdecrescente.

Figura8-26 Pergunta9.

10AFig.8-27mostra trêsbolas iguaisque são lançadasdomesmonível e comamesmavelocidadeescalar.Aprimeiraélançadanavertical,asegundaélançadacomumavelocidadequefazumpequenoângulo coma vertical, e a terceira é lançada para cima emumplano inclinado sem atrito.Ordene asbolas de acordo com a velocidade escalar que possuem ao atingirem o nível da reta tracejada,começandopelamaior.

Figura8-27 Pergunta10.

11Quandoumapartículasedeslocadoponto fparaoponto iedoponto jparaoponto i seguindoastrajetórias mostradas na Fig. 8-28 e nos sentidos indicados, uma força conservativa realiza ostrabalhos indicados.Qualéo trabalho realizadopela força sobreapartículaquandoela sedeslocadiretamentedefparaj?

Figura8-28 Pergunta11.

Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema.

InformaçõesadicionaisdisponíveisemOCircoVoadordaFísica,deJearlWalker,LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo8-1EnergiaPotencial

·1Qualéaconstanteelásticadeumamolaquearmazena25Jdeenergiapotencialaosercomprimida7,5cm?

·2NaFig.8-29,umcarrodemontanha-russa,demassam=825kg,atingeocumedaprimeiraelevaçãocomumavelocidadev0=17,0m/saumaalturah=42,0m.Oatritoédesprezível.Qualéo trabalhorealizadosobreocarropelaforçagravitacionalentreestepontoe(a)opontoA,(b)opontoBe (c)opontoC?Seaenergiapotencialgravitacionaldosistemacarro-TerraétomadacomonulaemC,qualéoseuvalorquandoocarroestá(d)emBe(e)emA?(f)Seamassaméduplicada,avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemaentreospontosAeBaumenta,diminuioupermaneceamesma?

Figura8-29 Problemas2e9.

·3Vocêdeixacairumlivrode2,00kgparaumaamigaqueestánacalçada,aumadistânciaD=10,0mabaixodevocê.Seasmãosestendidasdasuaamigaestãoaumadistânciad=1,5macimadosolo(Fig.8-30),(a)qualéotrabalhoWgrealizadosobreolivropelaforçagravitacionalatéolivrocairnasmãosda sua amiga? (b) Qual é a variação ΔU da energia potencial gravitacional do sistema livro-Terraduranteaqueda?SeaenergiapotencialgravitacionalUdosistemaéconsideradanulanoníveldosolo,qualéovalordeU(c)quandovocêdeixacairolivroe(d)quandoolivrochegaàsmãosdasuaamiga?SuponhaagoraqueovalordeUé100Jaoníveldosoloecalculenovamente(e)Wg,(f)ΔU,(g)Uno

pontodoqualvocêdeixoucairolivroe(h)Unopontoemqueolivrochegouàsmãosdasuaamiga.

Figura8-30 Problemas3e10.

·4 A Fig. 8-31mostra uma bola, demassam = 0,341 kg, presa à extremidade de uma haste fina decomprimentoL=0,452memassadesprezível.Aoutraextremidadedahasteéarticulada,demodoqueabolapodesemoveremumacircunferênciavertical.Ahasteémantidanaposiçãohorizontal,comonafigura, edepois recebeum impulsoparabaixocom força suficienteparaqueabolapassepelopontomaisbaixoda circunferência e continue emmovimento até chegar aopontomais alto comvelocidadenula.Qualéotrabalhorealizadosobreabolapelaforçagravitacionaldopontoinicialaté(a)opontomaisbaixo,(b)opontomaisalto,(c)opontoàdireitanamesmaalturaqueopontoinicial?Seaenergiapotencialgravitacionaldosistemabola-Terraétomadacomozeronopontoinicial,determineoseuvalorquandoabolaatinge(d)opontomaisbaixo,(e)opontomaisaltoe(f)opontoàdireitanamesmaalturaqueopontoinicial.(g)Suponhaqueahastetenharecebidoumimpulsomaiorepassepelopontomaisaltocomumavelocidadediferentedezero.AvariaçãoΔUgdopontomaisbaixoaopontomaisaltoémaior,menorouamesmaquequandoabolachegavaaopontomaisaltocomvelocidadezero?

Figura8-31 Problemas4e14.

·5NaFig.8-32,umflocodegelode2,00géliberadonabordadeumataçahemisféricacom22,0cmderaio.Nãoháatritonocontatodo flococoma taça. (a)Qualéo trabalho realizadosobreo flocopela

força gravitacional durante a descida do floco até o fundo da taça? (b)Qual é a variação da energiapotencialdosistemafloco-Terraduranteadescida?(c)Seaenergiapotencialé tomadacomonulanofundodataça,qualéseuvalorquandooflocoésolto?(d)Se,emvezdisso,aenergiapotencialétomadacomonulanopontoondeoflocoésolto,qualéoseuvalorquandooflocoatingeofundodataça?(e)Sea massa do floco fosse duplicada, os valores das respostas dos itens de (a) a (d) aumentariam,diminuiriamoupermaneceriamosmesmos?

Figura8-32 Problemas5e11.

··6NaFig.8-33,umpequenobloco,demassam=0,032kg,podedeslizaremumapistasematritoqueformaumloopderaioR=12cm.OblocoéliberadoapartirdorepousonopontoP,aumaalturah=5,0R acima do ponto mais baixo do loop. Qual é o trabalho realizado sobre o bloco pela forçagravitacionalquandooblocosedeslocadopontoPpara(a)opontoQe(b)opontomaisaltodoloop?Seaenergiapotencialgravitacionaldosistemabloco-Terraétomadacomozeronopontomaisbaixodoloop,qualéaenergiapotencialquandooblocoseencontra(c)nopontoP,(d)nopontoQe(e)nopontomaisaltodoloop?(f)Se,emvezdesersimplesmenteliberado,oblocorecebeumavelocidadeinicialparabaixoaolongodapista,asrespostasdositensde(a)a(e)aumentam,diminuemoupermanecemasmesmas?

Figura8-33 Problemas6e17.

··7AFig.8-34mostraumahastefina,decomprimentoL=2,00memassadesprezível,quepodegirar

emtornodeumadasextremidadesparadescreverumacircunferênciavertical.Umabola,demassam=5,00kg,estápresanaoutraextremidade.Ahasteépuxadalateralmenteatéfazerumânguloθ0=30,0°comaverticaleliberadacomvelocidadeinicial 0=0.Quandoaboladesceatéopontomaisbaixodacircunferência, (a) qual é o trabalho realizado sobre a bola pela força gravitacional e (b) qual é avariaçãodaenergiapotencialdosistemabola-Terra?(c)Seaenergiapotencialgravitacionalétomadacomozeronopontomaisbaixodacircunferência,qualéseuvalornomomentoemqueabolaéliberada?(d)Osvaloresdasrespostasdositensde(a)a(c)aumentam,diminuemoupermanecemosmesmosseoânguloθ0éaumentado?

Figura8-34 Problemas7,18e21.

··8Umaboladenevede1,50kgélançadadeumpenhascode12,5mdealtura.Avelocidadeinicialdaboladeneveé14,0m/s,41,0°acimadahorizontal.(a)Qualéotrabalhorealizadosobreaboladenevepela força gravitacional durante o percurso até um terreno plano, abaixo do penhasco? (b) Qual é avariação da energia potencial do sistema bola de neve-Terra durante o percurso? (c) Se a energiapotencialgravitacionalétomadacomonulanaalturadopenhasco,qualéoseuvalorquandoaboladenevechegaaosolo?

Módulo8-2ConservaçãodaEnergiaMecânica

·9NoProblema2,qualéavelocidadedocarro(a)nopontoA,(b)nopontoBe(c)nopontoC?(d)Quealturaocarroalcançanaúltimaelevação,queéaltademaisparasertransposta?(e)Seocarrotivesseumamassaduasvezesmaior,quaisseriamasrespostasdositens(a)a(d)?

·10 (a)NoProblema3,qualéavelocidadedo livroaochegaràsmãosdasuaamiga? (b)Seo livrotivesse umamassa duas vezesmaior, qual seria a velocidade? (c) Se o livro fosse arremessado parabaixo,arespostadoitem(a)aumentaria,diminuiriaoupermaneceriaamesma?

·11(a)NoProblema5,qualéavelocidadedoflocodegeloaochegaraofundodataça?(b)Seoflocodegelotivesseodobrodamassa,qualseriaavelocidade?(c)Seoflocodegelotivesseumavelocidadeinicialparabaixo,arespostadoitem(a)aumentaria,diminuiriaoupermaneceriaamesma?

·12 (a) No Problema 8, usando técnicas de energia em vez das técnicas do Capítulo 4, determine avelocidadedaboladeneveaochegaraosolo.Qualseriaessavelocidade(b)seoângulodelançamentofossemudadopara41,0°abaixodahorizontale(c)seamassafosseaumentadapara2,50kg?

·13Umaboladegudede5,0gé lançadaverticalmenteparacimausandoumaespingardademola.Amoladevesercomprimida8,0cmparaqueabolaapenastoqueumalvo20macimadaposiçãodaboladegudenamolacomprimida.(a)QualéavariaçãoΔUgdaenergiapotencialgravitacionaldosistemaboladegude-Terraduranteasubidade20m?(b)QualéavariaçãoΔUsdaenergiapotencialelásticadamoladuranteolançamentodaboladegude?(c)Qualéaconstanteelásticadamola?

·14(a)NoProblema4,qualdeveseravelocidadeinicialdabolaparaqueelachegueaopontomaisaltodacircunferênciacomvelocidadeescalarzero?Nessecaso,qualéavelocidadedabola (b)nopontomaisbaixoe(c)nopontoàdireitanamesmaalturaqueopontoinicial?(d)Seamassadabolafosseduas vezes maior, as respostas dos itens (a) a (c) aumentariam, diminuiriam ou permaneceriam asmesmas?

·15NaFig.8-35,umcaminhãoperdeuos freiosquandoestavadescendouma ladeira a130km/heomotoristadirigiuoveículoparaumarampadeemergência,sematrito,comumainclinaçãoθ=15°.Amassadocaminhãoé1,2×104kg.(a)QualéomenorcomprimentoLquearampadeveterparaqueocaminhãopare(momentaneamente)antesdechegaraofinal?(Suponhaqueocaminhãopodesertratadocomo uma partícula e justifique essa suposição.) O comprimento mínimo L aumenta, diminui oupermaneceomesmo(b)seamassadocaminhãoformenore(c)seavelocidadeformenor?

Figura8-35 Problema15.

··16Umblocode700géliberado,apartirdorepouso,deumaalturah0acimadeumamolaverticalcomconstante elástica k = 400 N/m e massa desprezível. O bloco se choca com a mola e paramomentaneamentedepoisdecomprimiramola19,0cm.Qualéotrabalhorealizado(a)peloblocosobreamolae(b)pelamolasobreobloco?(c)Qualéovalordeh0?(d)Seoblocofossesoltodeumaaltura2,00h0acimadamola,qualseriaamáximacompressãodamola?

··17NoProblema6,qualéomódulodacomponente(a)horizontale(b)verticaldaforçaresultantequeatuasobreobloconopontoQ?(c)Dequealturahoblocodeveriaser liberado,apartirdorepouso,para ficar na iminência de perder contato com a superfície no alto do loop? (Iminência de perder ocontatosignificaqueaforçanormalexercidapeloloopsobreoblocoénulanesseinstante.)(d)Ploteomódulo da força normal que age sobre o bloco no alto do loop em função da altura inicialh, para o

intervalodeh=0ah=6R.

··18 (a)NoProblema7,qualéavelocidadedabolanopontomaisbaixo?(b)Avelocidadeaumenta,diminuioupermaneceamesmaseamassaaumenta?

··19AFig.8-36mostraumapedrade8,00kgemrepousosobreumamola.Amolaécomprimida10,0cmpelapedra.(a)Qualéaconstanteelásticadamola?(b)Apedraéempurradamais30cmparabaixoeliberada.Qual é a energiapotencial elásticadamola comprimida antesde ser liberada? (c)Qual é avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemapedra-Terraquandoapedrasedeslocadopontoondefoiliberadaatéaalturamáxima?(d)Qualéaalturamáxima,medidaapartirdopontoondeapedrafoiliberada?

Figura8-36 Problema19.

··20Umpênduloéformadoporumapedrade2,0kgoscilandonaextremidadedeumacordade4,0mdecomprimentoemassadesprezível.Apedratemvelocidadede8,0m/saopassarpelopontomaisbaixodatrajetória.(a)Qualéavelocidadedapedraquandoacordaformaumângulode60°comavertical?(b)Qualéomaiorângulocomaverticalqueacordaassumeduranteomovimentodapedra?(c)Seaenergiapotencialdosistemapêndulo-Terraétomadacomonulanaposiçãomaisbaixadapedra,qualéaenergiamecânicatotaldosistema?

··21 A Fig. 8-34mostra um pêndulo de comprimento L = 1,25 m. O peso do pêndulo (no qual estáconcentrada,paraefeitospráticos,todaamassa)temvelocidadev0quandoacordafazumânguloθ0=40,0°comavertical.(a)Qualéavelocidadedopesoquandoestánaposiçãomaisbaixasev0=8,00m/s?Qualéomenorvalordev0paraoqualopêndulooscilaparabaixoedepoisparacima(b)atéaposiçãohorizontale(c)atéaposiçãoverticalcomacordaesticada?(d)Asrespostasdositens(b)e(c)aumentam,diminuemoupermanecemasmesmasseθ0aumentardealgunsgraus?

··22 Umesquiadorde60kgpartedorepousoaumaalturaH=20macimadaextremidadedeumarampapara saltosde esqui (Fig.8-37) e deixa a rampa fazendo um ânguloθ = 28o com a horizontal.Desprezeosefeitosdaresistênciadoaresuponhaquearampanãotematrito.(a)Qualéaalturamáximahdosaltoemrelaçãoàextremidadedarampa?(b)Seoesquiadoraumentasseoprópriopesocolocandoumamochilanascostas,hseriamaior,menorouigual?

Figura8-37 Problema22.

··23AcordadaFig.8-38,decomprimentoL=120cm,possuiumabolapresaemumadasextremidadeseestáfixanaoutraextremidade.AdistânciaddaextremidadefixaaumpinonopontoPé75,0cm.Abola, inicialmente em repouso, é liberada com o fio na posição horizontal, como mostra a figura, epercorrea trajetória indicadapeloarco tracejado.Qual é avelocidadedabolaaoatingir (a)opontomaisbaixodatrajetóriae(b)opontomaisaltodepoisqueacordaencostanopino?

Figura8-38 Problemas23e70.

··24Umbloco,demassam=2,0kg,édeixadocairdeumaalturah=40cmsobreumamoladeconstanteelástica k = 1960 N/m (Fig. 8-39). Determine a variação máxima de comprimento da mola ao sercomprimida.

Figura8-39 Problema24.

··25Emt=0,umabolade1,0kgéatiradadeumatorrecom =(18m/s) +(24m/s) QuantoéΔUdosistemabola-Terraentret=0et=6,0s(aindaemquedalivre)?

··26Umaforçaconservativa =(6,0x−12) N,emquexestáemmetros,agesobreumapartículaquesemoveaolongodeumeixox.AenergiapotencialUassociadaaessaforçarecebeovalorde27Jemx=0.(a)EscrevaumaexpressãoparaUcomoumafunçãodex,comUemjoulesexemmetros.(b)Qualéomáximovalorpositivodaenergiapotencial?Paraquevalor(c)negativoe(d)positivodexaenergiapotencialénula?

··27Tarzan,quepesa688N,saltadeumpenhasco,penduradonaextremidadedeumcipócom18mdecomprimento(Fig.8-40).Doaltodopenhascoatéopontomaisbaixodatrajetória,eledesce3,2m.Ocipóseromperáseforsubmetidoaumaforçamaiorque950N.(a)Ocipóserompe?Searespostafornegativa,qualéamaiorforçaaqueésubmetidoocipó?Searespostaforafirmativa,qualéoânguloqueocipóestáfazendocomaverticalnomomentoemqueserompe?

Figura8-40 Problema27.

··28AFig.8-41aserefereàmoladeumaespingardaderolha(Fig.8-41b);elamostraaforçadamolaem função do alongamento ou compressão da mola. A mola é comprimida 5,5 cm e usada paraimpulsionarumarolhade3,8g.(a)Qualéavelocidadedarolhaseelaseseparadamolaquandoestapassapelaposiçãorelaxada?(b)Suponhaque,emvezdisso,arolhapermaneçaligadaàmolaeamolasofraumalongamentode1,5cmantesdeocorreraseparação.Qualé,nessecaso,avelocidadedarolhanomomentodaseparação?

Figura8-41 Problema28.

··29NaFig.8-42,umbloco,demassam=12kg,éliberadoapartirdorepousoemumplanoinclinado,sematrito,deânguloθ=30°.Abaixodoblocoháumamolaquepodesercomprimida2,0cmporumaforça de 270N.O bloco paramomentaneamente após comprimir amola 5,5 cm. (a)Que distância oblocodesceaolongodoplanodaposiçãoderepousoinicialatéopontoemqueparamomentaneamente?(b)Qualéavelocidadedobloconomomentoemqueeleentraemcontatocomamola?

Figura8-42 Problemas29e35.

··30Umacaixadepão,de2,0kg,emumplanoinclinado,sematrito,deânguloθ=40°,estápresa,por

umacordaquepassaporumapolia,aumamoladeconstanteelásticak=120N/m,comomostraaFig.8-43.Acaixaéliberadaapartirdorepousoquandoamolaseencontrarelaxada.Suponhaqueamassaeoatrito da polia sejam desprezíveis. (a)Qual é a velocidade da caixa após percorrer 10 cm? (b)Quedistânciaoblocopercorredopontoemquefoiliberadoatéopontoemqueparamomentaneamente?(c)Qualéomóduloe(d)qualéosentido(paracimaouparabaixoaolongodoplano)daaceleraçãodobloconoinstanteemqueeleparamomentaneamente?

Figura8-43 Problema30.

··31Umbloco,demassam=2,00kg,estáapoiadoemumamolaemumplanoinclinado,sematrito,deânguloθ=30,0° (Fig.8-44). (Obloconãoestápresoàmola.)Amola,deconstanteelásticak=19,6N/cm, é comprimida 20 cm e depois liberada. (a) Qual é a energia potencial elástica da molacomprimida?(b)Qualéavariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemabloco-Terraquandooblocosemovedopontoemquefoiliberadoatéopontomaisaltoqueatingenoplanoinclinado?(c)Qualéadistânciapercorridapeloblocoaolongodoplanoinclinadoatéatingiraalturamáxima?

Figura8-44 Problema31.

··32NaFig.8-45,umacorrenteémantidaemumamesa,sematrito,comumquartodocomprimentototalpendendoparaforadamesa.SeacorrentetemumcomprimentoL=28cmeumamassam=0,012kg,qualéotrabalhonecessárioparapuxarapartependuradaparacimadamesa?

Figura8-45 Problema32.

···33NaFig.8-46,umamolacomk=170N/mestápresanoaltodeumplanoinclinado,sematrito,deângulo θ = 37,0°. A extremidade inferior do plano inclinado fica a uma distância D = 1,00 m daextremidadeinferiordamolaquandoestaseencontrarelaxada.Umalatade2,00kgéempurradacontraamolaatéestasercomprimida0,200medepoisliberada.(a)Qualéavelocidadedalatanoinstanteemqueamolaretornaaocomprimentorelaxado(queéomomentoemquealataperdecontatocomamola)?(b)Qualéavelocidadedalataaoatingiraextremidadeinferiordoplanoinclinado?

Figura8-46 Problema33.

···34UmmeninoestáinicialmentesentadonoaltodeummontehemisféricodegeloderaioR=13,8m.Elecomeçaadeslizarparabaixocomumavelocidadeinicialtãopequenaquepodeserdesprezada(Fig.8-47).Suponhaqueoatritocomogeloédesprezível.Emquealturaomeninoperdecontatocomogelo?

Figura8-47 Problema34.

···35NaFig.8-42,umblocodemassam=3,20kgdeslizaparabaixo,apartirdorepouso,percorreumadistânciademumplanoinclinado,deânguloθ=30,0°,esechocacomumamoladeconstanteelástica431 N/m. Quando o bloco para momentaneamente, a mola fica comprimida 21,0 cm. (a) Qual é a

distânciade(b)qualéadistânciaentreopontodoprimeirocontatodoblococomamolaeopontoondeavelocidadedoblocoémáxima?

···36Duasmeninasestãodisputandoumjogonoqual tentamacertarumapequenacaixa,nochão,comumaboladegudelançadaporumcanhãodemolamontadoemumamesa.AcaixaestáaumadistânciahorizontalD=2,20mdabordadamesa;vejaaFig.8-48.Liacomprimeamola1,10cm,masocentrodaboladegudecai27,0cmantesdocentrodacaixa.DequantoRosadevecomprimiramolaparaacertaracaixa?Suponhaqueoatritodamolaedabolacomocanhãoédesprezível.

Figura8-48 Problema36.

···37Umacordauniformecom25cmdecomprimentoe15gdemassaestápresahorizontalmenteemumteto.Mais tarde,épenduradaverticalmente,comapenasumadasextremidadespresano teto.Qualéavariaçãoda energia potencial da cordadevido a essamudançadeposição? (Sugestão: Considere umtrechoinfinitesimaldacordaeuseumaintegral.)

Módulo8-3InterpretaçãodeumaCurvadeEnergiaPotencial

··38AFigura8-49mostraumgráficodaenergiapotencialUemfunçãodaposiçãoxparaumapartículade 0,200 kg que pode se deslocar apenas ao longo de um eixo x sob a influência de uma forçaconservativa.TrêsdosvaloresmostradosnográficosãoUA=9,00J,UC=20,00JeUD=24,00J.ApartículaéliberadanopontoemqueUformauma“barreiradepotencial”de“altura”UB=12,00J,comumaenergiacinéticade4,00J.Qualéavelocidadedapartícula(a)emx=3,5me(b)emx=6,5m?Qualéaposiçãodopontoderetorno(c)doladodireitoe(d)doladoesquerdo?

Figura8-49 Problema38.

··39AFig.8-50mostraumgráficodaenergiapotencialUemfunçãodaposiçãoxparaumapartículade0,90kgquepodesedeslocarapenasaolongodeumeixox.(Forçasdissipativasnãoestãoenvolvidas.)OstrêsvaloresmostradosnográficosãoUA=15,0J,UB=35,0JeUC=45,0J.Apartículaéliberadaemx=4,5mcomumavelocidadeinicialde7,0m/s,nosentidonegativodoeixox. (a)Seapartículapuderchegaraopontox=1,0m,qualserásuavelocidadenesseponto?Senãopuder,qualseráopontoderetorno?(b)Qualéomóduloe(c)qualaorientaçãodaforçaexperimentadapelapartículaquandoelacomeçaasemoverparaaesquerdaapartirdopontox=4,0m?Suponhaqueapartículasejaliberadanomesmopontoecomamesmavelocidade,masosentidodavelocidadesejaosentidopositivodex. (d)Seapartículapuderchegaraopontox=7,0m,qualserásuavelocidadenesseponto?Senãopuder,qualserá o ponto de retorno? (e) Qual é o módulo e (f) qual a orientação da força experimentada pelapartículaquandoelacomeçaasemoverparaadireitaapartirdopontox=5,0m?

Figura8-50 Problema39.

··40Aenergiapotencialdeumamoléculadiatômica(umsistemadedoisátomos,comoH2ouO2)édadapor

em que r é a distância entre os átomos da molécula eA eB são constantes positivas. Essa energiapotencialestáassociadaàforçadeligaçãoentreosdoisátomos.(a)Determineadistânciadeequilíbrio,ouseja,adistânciaentreosátomosparaaqualaforçaaqueosátomosestãosubmetidosénula.Aforçaérepulsivaouatrativaseadistânciaé(b)menore(c)maiorqueadistânciadeequilíbrio?

···41UmaúnicaforçaconservativaF(x)agesobreumapartículade1,0kgquesemoveaolongodeumeixox.AenergiapotencialU(x)associadaaF(x)édadapor

U(x)=−4xe−x/4J,

emquexestáemmetros.Emx=5,0m,apartículapossuiumaenergiacinéticade2,0J.(a)Qualéaenergiamecânicadosistema?(b)FaçaumgráficodeU(x)emfunçãodexpara0≤x≤10meplote,nomesmo gráfico, a reta que representa a energiamecânica do sistema.Use o gráfico do item (b) paradeterminar(c)omenorvalordexqueapartículapodeatingire(d)omaiorvalordexqueapartículapodeatingir.Useográficodoitem(b)paradeterminar(e)aenergiacinéticamáximadapartículae(f)ovalor dex paraoqual a energia cinética atinge essevalor. (g)EscrevaumaexpressãoparaF(x), emnewtons,emfunçãodex,emmetros.(h)F(x)=0paraquevalor(finito)dex?

Módulo8-4TrabalhoRealizadoporumaForçaExternasobreumSistema

·42Umoperárioempurraumcaixotede27kg,comvelocidadeconstante,por9,2m,emumpisoplano,comumaforçaorientada32°abaixodahorizontal.Seocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeopisoé0,20,(a)qualéotrabalhorealizadopelooperárioe(b)qualéoaumentodaenergiatérmicadosistemabloco-piso?

·43Umcolliearrastaacaixadedormiremumpiso,aplicandoumaforçahorizontalde8,0N.Omódulodaforçadeatritocinéticoqueagesobreacaixaé5,0N.Quandoacaixaéarrastadaporumadistânciade0,7m,qualé(a)otrabalhorealizadopelaforçadocãoe(b)qualoaumentodeenergiatérmicadacaixaedopiso?

··44Umaforçahorizontaldemódulo35,0Nempurraumbloco,demassa4,00kg,emumpisonoqualocoeficientedeatritocinéticoé0,600.(a)Qualéotrabalhorealizadopelaforçasobreosistemabloco-piso seobloco sofreumdeslocamentode3,00m? (b)Duranteodeslocamento, a energia térmicadoblocoaumentade40,0J.Qualéoaumentodaenergiatérmicadopiso?(c)Qualéoaumentodaenergiacinéticadobloco?

··45Umacordaéusadaparapuxarumblocode3,57kgcomvelocidadeconstante,por4,06m,emumpisohorizontal.Aforçaqueacordaexercesobreoblocoé7,68N,15,0°acimadahorizontal.Qualé(a)otrabalhorealizadopelaforçadacorda,(b)qualoaumentonaenergiatérmicadosistemabloco-pisoe(c)qualocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeopiso?

Módulo8-5ConservaçãodaEnergia

·46 Um jogador de beisebol arremessa uma bola com uma velocidade escalar inicial de 81,8 mi/h.Imediatamente antesdeumoutro jogador segurar abolanamesmaaltura, avelocidadedabola é110pés/s.Qualfoiareduçãodaenergiamecânicadosistemabola-Terra,empés-libras,produzidapelaforçadearrastodoar?(Amassadeumaboladebeiseboléde9,0onças.)

·47Umdiscodeplásticode75géarremessadodeumponto1,1macimadosolo,comumavelocidadeescalar de 12m/s.Quando o disco atinge uma altura de 2,1m, sua velocidade é 10,5m/s.Qual é areduçãodaEmecdosistemadisco-Terraproduzidapelaforçadearrastodoar?

·48NaFig.8-51,umblocodeslizaparabaixoemumplanoinclinado.EnquantosemovedopontoAparaopontoB,queestãoseparadosporumadistânciade5,0m,umaforça commódulode2,0Nedirigidaparabaixoaolongodoplanoinclinado,agesobreobloco.Omódulodaforçadeatritoqueagesobreoblocoé10N.Seaenergiacinéticadoblocoaumentade35JentreAeB,qualéotrabalhorealizadopelaforçagravitacionalsobreoblocoenquantoelesemovedeAatéB?

Figura8-51 Problemas48e71.

·49 Um urso de 25 kg escorrega, a partir do repouso, 12 m para baixo em um tronco de pinheiro,movendo-se com uma velocidade de 5,6 m/s imediatamente antes de chegar ao chão. (a) Qual é avariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemaurso-Terraduranteodeslizamento?(b)Qualéaenergiacinéticadoursoimediatamenteantesdechegaraochão?(c)Qualéaforçadeatritomédiaqueagesobreoursoenquantoeleestáescorregando?

·50 Umesquiadorde60kgdeixaumarampadesaltocomumavelocidadede24m/s,fazendoumângulode25°paracimacomahorizontal.Devidoàforçadearrastodoar,oesquiadortocaanevecomumavelocidade de 22m/s, emumponto 14m abaixoda extremidadeda rampa.Dequanto a energiamecânicadosistemaesquiador-Terrafoireduzidapelaforçadearrastodoarduranteosalto?

·51Duranteumaavalanche,umapedrade520kgdeslizaapartirdorepouso,descendoaencostadeumamontanhaquetem500mdecomprimentoe300mdealtura.Ocoeficientedeatritocinéticoentreapedraeaencostaé0,25.(a)SeaenergiapotencialgravitacionalUdosistemarocha-Terraénulanabasedamontanha, qual é o valor de U imediatamente antes de começar a avalanche? (b) Qual é energiatransformadaemenergiatérmicaduranteaavalanche?(c)Qualéaenergiacinéticadapedraaochegaràbasedamontanha?(d)Qualéavelocidadedapedranesseinstante?

··52Umbiscoitodementira,deslizandoemumasuperfíciehorizontal,estápresoaumadasextremidadesde umamola horizontal de constante elástica k = 400N/m; a outra extremidade damola está fixa.Obiscoitopossuiumaenergiacinéticade20,0Jaopassarpelaposiçãodeequilíbriodamola.Enquantoo

biscoitodesliza,umaforçadeatritodemódulo10,0Nagesobreele.(a)Quedistânciaobiscoitodeslizaa partir da posição de equilíbrio antes de pararmomentaneamente? (b) Qual é a energia cinética dobiscoitoquandoelepassadevoltapelaposiçãodeequilíbrio?

··53NaFig.8-52,umblocode3,5kgéaceleradoapartirdo repousoporumamolacomprimida,deconstante elástica 640N/m.O bloco deixa amola quando esta atinge seu comprimento relaxado e sedeslocaemumpisohorizontalcomumcoeficientedeatritocinéticoμk=0,25.Aforçadeatritofazcomque o bloco pare depois de percorrer uma distânciaD = 7,8m.Determine (a) o aumento da energiatérmica do sistema bloco-piso, (b) a energia cinéticamáxima do bloco e (c) o comprimento damolaquandoestavacomprimida.

Figura8-52 Problema53.

··54Uma criança que pesa 267Ndesce emumescorrega de 6,1mque faz umângulo de 20° comahorizontal.O coeficiente de atrito cinético entre o escorrega e a criança é 0,10. (a)Qual é a energiatransformada em energia térmica? (b) Se a criança começa a descida no alto do escorrega com umavelocidadede0,457m/s,qualésuavelocidadeaochegaraochão?

··55NaFig.8-53,umblocodemassam=2,5kgdeslizadeencontroaumamoladeconstanteelásticak=320N/m.Oblocoparaapóscomprimiramola7,5cm.Ocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeopisoé0,25.Paraointervaloemqueoblocoestáemcontatocomamolaesendolevadoaorepouso,determine(a)otrabalhototalrealizadopelamolae(b)oaumentodaenergiatérmicadosistemabloco-piso.(c)Qualéavelocidadedoblocoimediatamenteantesdesechocarcomamola?

Figura8-53 Problema55.

··56Vocêempurraumblocode2,0kgcontraumamolahorizontal,comprimindo-a15cm.Emseguida,vocêsoltaobloco,eamolaofazdeslizaremumamesa.Oblocoparadepoisdepercorrer75cmapartirdopontoemquefoisolto.Aconstanteelásticadamolaé200N/m.Qualéocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeamesa?

··57 Na Fig. 8-54, um bloco desliza ao longo de uma pista, de um nível para outro mais elevado,

passandoporumvaleintermediário.Apistanãopossuiatritoatéoblocoatingironívelmaisalto,ondeuma força de atrito faz com que o bloco fique em repouso depois de percorrer uma distância d. Avelocidadeinicialv0doblocoé6,0m/s,adiferençadealturahé1,1meμké0,60.Determineovalorded.

Figura8-54 Problema57.

··58Umpotedebiscoitosestásubindoumplanoinclinadode40°.Emumpontoa55cmdedistânciadabasedoplanoinclinado(aolongodoplano),opotepossuiumavelocidadede1,4m/s.Ocoeficientedeatritocinéticoentreopoteeoplanoinclinadoé0,15.(a)Qualéadistânciaadicionalpercorridapelopoteatépararmomentaneamenteantesdecomeçaradescer?(b)Qualéavelocidadedoblocoaochegarnovamente à base do plano inclinado? (c) As respostas dos itens (a) e (b) aumentam, diminuem oupermanecemasmesmasquandoocoeficientedeatritocinéticoéreduzido(semalteraravelocidadeeaposiçãodopote)?

··59Umapedraquepesa5,29Nélançadaverticalmente,apartirdoníveldosolo,comumavelocidadeinicialde20,0m/seoarrastodoarsobreelaéde0,265Ndurante todoopercurso.Determine(a)aalturamáximaalcançadapelapedrae(b)avelocidadedapedraimediatamenteantesdesechocarcomosolo.

··60Umpacotede4,0kgcomeçaasubirumplanoinclinadode30°comumaenergiacinéticade128J.Quedistânciaopacotepercorreantesdepararseocoeficientedeatritocinéticoentreopacoteeoplanoé0,30?

··61 Quando um besouro salta-martim está deitado de costas, ele pode pular encurvandobruscamente o corpo, o que converte em energia mecânica a energia armazenada em um músculo,produzindoumestaloaudível.Ovideoteipedeumdessespulosmostraqueumbesourodemassam=4,0×10−6kgsedesloca0,77mmnaverticalduranteumsaltoeconsegueatingirumaalturamáximah=0,30m.Qualéovalormédio,duranteosalto, (a)domóduloda forçaexternaexercidapelopisosobreascostasdobesouroe(b)domódulodaaceleraçãodobesouroemunidadesdeg?

···62NaFig.8-55,umblocodeslizaemumapistasematritoatéchegaraumtrechodecomprimentoL=0,75m,quecomeçaaumaalturah=2,0memumarampadeânguloθ=30°.Nessetrecho,ocoeficientedeatritocinéticoé0,40.OblocopassapelopontoAcomumavelocidadede8,0m/s.Seoblocopode

chegaraopontoB(ondeoatritoacaba),qualésuavelocidadenesteponto?Senãopode,qualéamaioralturaqueeleatingeacimadeA?

Figura8-55 Problema62.

···63Ocabodoelevadorde1800kgdaFig.8-56serompequandooelevadorestáparadonoprimeiroandar,comopisoaumadistânciad=3,7macimadeumamoladeconstanteelásticak=0,15MN/m.Umdispositivo de segurança prende o elevador aos trilhos laterais, de modo que uma força de atritoconstante,de4,4kN,passaaseoporaomovimento.(a)Determineavelocidadedoelevadornomomentoemqueelesechocacomamola.(b)Determineamáximareduçãoxdocomprimentodamola(aforçadeatritocontinuaaagirenquantoamolaestásendocomprimida).(c)Determineadistânciaqueoelevadorsobe de volta no poço. (d) Usando a lei de conservação da energia, determine a distância totalaproximada que o elevador percorre até parar. (Suponha que a força de atrito sobre o elevador édesprezívelquandooelevadorestáparado.)

Figura8-56 Problema63.

···64NaFig.8-57,umblocoéliberado,apartirdorepouso,aumaalturad=40cm,desceumarampasematritoechegaaumprimeirotrechoplano,decomprimentod,emqueocoeficientedeatritocinéticoé0,50.Seoblocoaindaestásemovendo,desceumasegundarampasematrito,dealturad/2,echegaaumsegundotrechoplano,emqueocoeficientedeatritocinéticotambémé0,50.Seoblocoaindaestásemovendo,elesobeumarampasematritoatéparar(momentaneamente).Ondeoblocopara?Seaparada

finaléemumtrechoplano,digaemqualdelesecalculeadistânciaLqueoblocopercorreapartirdaextremidadeesquerdadesseplatô.Seoblocoalcançaarampa,calculeaalturaHacimadotrechoplanomaisbaixoondeoblocoparamomentaneamente.

Figura8-57 Problema64.

···65Umapartículapodedeslizaremumapistacomextremidadeselevadaseumapartecentralplana,comomostra aFig.8-58.A parte plana tem comprimentoL = 40 cm.Os trechos curvos da pista nãopossuematrito,masnaparteplanaocoeficientedeatritocinéticoéμk=0,20.ApartículaéliberadaapartirdorepousonopontoA,queestáaumaalturaL/2.Aquedistânciadaextremidadeesquerdadaparteplanaapartículafinalmentepara?

Figura8-58 Problema65.

ProblemasAdicionais

66Umapreguiça,de3,2kg,estápenduradaemumaárvore,3,0macimadosolo.(a)Qualéaenergiapotencialgravitacionaldosistemapreguiça-Terra,setomamosopontodereferênciay=0comooníveldosolo?Seapreguiçacaidaárvoreeoarrastodoarédesprezível,determine(b)aenergiacinéticae(c)avelocidadedapreguiçanomomentoemqueoanimalchegaaosolo.

67Umamola(k=200N/m)estápresanoaltodeumplanoinclinado,sematrito,deânguloθ=40°(Fig.8-59).Umblocode1,0kgélançadoparacimaaolongodoplano,deumaposiçãoinicialqueestáaumadistânciad=0,60mdaextremidadedamolarelaxada,comumaenergiacinéticainicialde16J.(a)Qualé a energia cinética do bloco no instante emque ele comprime amola 0,20m? (b)Comque energiacinética o bloco deve ser lançado ao longo do plano para ficar momentaneamente parado depois decomprimiramola0,40m?

Figura8-59 Problema67.

68Umprojétilde0,55kgélançadodabordadeumpenhascocomumaenergiacinéticainicialde1550J. Amaior distância vertical que o projétil atinge acima do ponto de lançamento é 140m. Qual é acomponente (a) horizontal e (b) vertical da velocidade de lançamento? (c) No instante em que acomponente vertical da velocidade é 65m/s, qual é o deslocamento vertical em relação ao ponto delançamento?

69NaFig.8-60,apoliatemmassadesprezível,etantoelacomooplanoinclinadonãopossuematrito.OblocoA temmassade1,0kg,oblocoB temmassade2,0kgeoânguloθéde30°.Seosblocossãoliberadosapartirdo repousocomacordaesticada,qualéaenergiacinética totalapósoblocoB terdescido25cm?

Figura8-60 Problema69.

70 Na Fig. 8-38, a corda tem um comprimento L = 120 cm e possui uma bola presa em uma dasextremidades,enquantoaoutraestáfixa.ExisteumpinonopontoP.Liberadaapartirdorepouso,aboladesceatéacorda tocaropino;emseguida,abola sobeecomeçaagirarem tornodopino.Qualéomenorvalordadistânciadparaqueaboladêumavoltacompletaemtornodopino?(Sugestão:Aboladeveaindaestarsemovendonopontomaisaltodavolta.Vocêsabeporquê?)

71NaFig.8-51,umblocoélançadoparabaixo,emumarampasematrito,comumavelocidadeinicialdiferentedezero.AvelocidadedobloconospontosAeBé2,00m/se2,60m/s,respectivamente.Emseguida, é novamente lançadoparabaixo,masdessavez a velocidadenopontoA é 4,00m/s.Qual éentãoavelocidadedobloconopontoB?

72DoispicosnevadosestãoH=850meh=750macimadovalequeossepara.Umapistadeesqui,

comumcomprimentototalde3,2kmeumainclinaçãomédiaq=30°,ligaosdoispicos(Fig.8-61).(a)Um esquiador parte do repouso no cume domontemais alto.Comque velocidade chega ao cume domontemaisbaixosenãousarosbastõesparadarimpulso?Ignoreoatrito.(b)Qualéovaloraproximadodocoeficientedeatritocinéticoentreaneveeosesquisparaqueoesquiadorpareexatamentenocumedomontemaisbaixo?

Figura8-61 Problema72.

73Atemperaturadeumcubodeplásticoémedidaenquantoocuboéempurrado3,0memumpiso,comvelocidadeconstante,porumaforçahorizontalde15N.Asmedidasrevelamqueaenergiatérmicadocuboaumentou20J.Qualfoioaumentodaenergiatérmicadopisoaolongodoqualocubodeslizou?

74Umaesquiadoraquepesa600Npassapeloaltodeummorrocircular,sematrito,deraioR=20m(Fig.8-62).Suponhaqueosefeitosdaresistênciadoarsãodesprezíveis.Nasubida,aesquiadorapassapelopontoB,emqueoânguloéθ=20°,comumavelocidadede8,0m/s.(a)Qualéavelocidadedaesquiadoranoaltodomorro(pontoA)seelaesquiasemusarosbastões?(b)Qualamenorvelocidadeque a esquiadora deve ter emB para conseguir chegar ao alto domonte? (c) As respostas dos itensanterioresserãomaiores,menoresouiguais,seopesodaesquiadorafor700Nemvezde600N?

Figura8-62 Problema74.

75Paraformarumpêndulo,umabolade0,092kgépresaemumadasextremidadesdeumahastede0,62mdecomprimentoemassadesprezível;aoutraextremidadedahasteémontadaemumeixo.Ahasteélevantadaatéabolaficarverticalmenteacimadoeixo,eentãoliberadaapartirdorepouso.Quandoabolaatingeopontomaisbaixo,(a)qualéavelocidadedabolae(b)qualatraçãodahaste?Emseguida,ahasteécolocadanahorizontaleliberadaapartirdorepouso.(c)Paraqueânguloemrelaçãoàvertical

a tração da haste é igual ao peso da bola? (d) Se a massa da bola aumenta, a resposta do item (c)aumenta,diminuioupermaneceamesma?

76Umapartículasedeslocaaolongodeumeixox,primeiroparafora,dopontox=1,0matéopontox=4,0m, e depois para dentro, de volta ao ponto x = 1,0m, enquanto uma força externa age sobre apartícula.Aforçaéparalelaaoeixoxepodetervaloresdiferentesnocasodedeslocamentosparaforaeparadentro.Atabelaaseguirmostraosvalores(emnewtons)emquatrosituações,comxemmetros:

Parafora Paradentro

(a)+3,0 −3,0

(b)+5,0 +5,0

(c)+2,0x −2,0x

(d)+3,0x2 +3,0x2

Determineotrabalhototalrealizadosobreapartículapelaforçaexternaduranteaviagemdeidaevoltanasquatrosituações.(e)Emquesituaçõesaforçaexternaéconservativa?

77UmaforçaconservativaF(x)agesobreumapartículade2,0kgquesemoveaolongodeumeixox.AenergiapotencialU(x)associadaaF(x)estáplotadanaFig.8-63.Quandoapartículaestáemx=2,0m,avelocidade é−1,5m/s.Qual é (a) omódulo e (b) qual o sentidodeF(x) nessaposição?Entre queposições(c)àesquerdae(d)àdireitaapartículasemove?(e)Qualéavelocidadedapartículaemx=7,0m?

Figura8-63 Problema77.

78 Em uma fábrica, caixotes de 300 kg são deixados cair verticalmente de uma máquina deempacotamento emuma esteira transportadora que semove a 1,20m/s (Fig. 8-64). (A velocidade daesteiraémantidaconstanteporummotor.)Ocoeficientedeatritocinéticoentreaesteiraecadacaixoteé0,400.Apósumpequenointervalodetempo,deixadehaverdeslizamentoentreaesteiraeocaixote,quepassaasemovercomamesmavelocidadequeaesteira.Paraointervalodetemponoqualocaixoteestádeslizandosobreaesteira,calcule,tomandocomoreferênciaumsistemadecoordenadasemrepousoemrelação à fábrica, (a) a energia cinética total fornecida ao caixote, (b) o módulo da força de atritocinético que age sobre o caixote e (c) a energia total fornecida pelomotor. (d) Explique por que asrespostasdositens(a)e(c)sãodiferentes.

Figura8-64 Problema78.

79Umcarrode1500kgcomeçaadescer,a30km/h,umaladeiracominclinaçãode5,0°.Omotordocarroestádesligadoeasúnicas forçaspresentes sãoa forçadeatritoexercidapelaestradaea forçagravitacional.Apósoveículo tersedeslocado50m,avelocidadeé40km/h.(a)Dequantoaenergiamecânicadocarrofoireduzidapelaforçadeatrito?(b)Qualéomódulodaforçadeatrito?

80 Na Fig. 8-65, um bloco de granito de 1400 kg é puxado para cima por um cabo, em um planoinclinado,comvelocidadeconstantede1,34m/s.Asdistânciasindicadassãod1=40med2=30m.Ocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeoplanoinclinadoé0,40.Qualéapotênciadesenvolvidapelaforçaaplicadapelocabo?

Figura8-65 Problema80.

81Umapartículapodesemoverapenasaolongodeumeixox,sobaaçãodeforçasconservativas(Fig.8-66etabela).Apartículaéliberadaemx=5,00mcomumaenergiacinéticaK=14,0Jeumaenergia

potencialU=0.Seapartículasemovenosentidonegativodoeixox,qualéovalor(a)deKe(b)deUemx=2,00mequalovalor(c)deKe(d)deUemx=0?Seapartículasemovenosentidopositivodoeixox,qualéovalor(e)deKe(f)deUemx=11,0m,qualovalor(g)deKe(h)deUemx=12,0mequalovalor(i)deKe(j)deUemx=13,0m?(k)PloteU(x)emfunçãodexparaointervalodex=0ax=13,0m.

Figura8-66 Problemas81e82.

Apartículaéliberadaapartirdorepousoemx=0.Qualé(l)aenergiacinéticaemx=5,0me(m)qualovalormáximodex,xmáx,atingidopelapartícula?(n)Oqueacontececomapartículaapósatingirxmáx?

Intervalo Força

0a2,00m 1=+(3,00N)

2,00ma3,00m 2=+(5.00N)

3,00ma8,00m F=0

8,00a11,0m 3=+(4,00N)

11,0a12,0m 4=+(1,00N)

12,0a15,0m F=0

82ComoarranjodeforçasdoProblema81,umapartículade2,00kgéliberadaemx=5,00m,comumavelocidadede3,45m/s,nosentidonegativodoeixox.(a)Seapartículapodechegaraopontox=0m,qualéavelocidadedapartículanesseponto?Senãopode,qualéopontoderetorno?Suponhaqueapartículasemovenosentidopositivodexquandoéliberadaemx=5,00mcomvelocidadede3,45m/s.(b)Seapartículapodechegaraopontox=13,0m,qualéavelocidadedapartículanesseponto?Senãopode,qualéopontoderetorno?

83Umblocode15kgsofreumaaceleraçãode2,0m/s2emumasuperfíciehorizontalsematritoquefazsuavelocidadeaumentarde10m/spara30m/s.Qualé(a)avariaçãodaenergiamecânicadoblocoe(b) qual a taxa média com que a energia é transferida para o bloco? Qual é a taxa instantânea detransferênciadeenergiaquandoavelocidadedoblocoé(c)10m/se(d)30m/s?

84SuponhaqueumamolanãoobedeceàleideHooke.Aforça(emnewtons)queamolaexercequandoestáalongadadeumcomprimentox(emmetros)temmódulode52,8x+38,4x2eosentidoopostoaoda

forçaresponsávelpeloalongamento.(a)Calculeotrabalhonecessárioparaalongaramoladex=0,500mparax=1,00m. (b)Comumaextremidadedamolafixa,umapartículademassa2,17kgépresaàoutra extremidade quando amola está alongada de x = 1,00m. Se a partícula é liberada a partir dorepouso,qualéavelocidadedapartículanoinstanteemqueoalongamentodamolaéx=0,500m?(c)Aforçaexercidapelamolaéconservativaounãoconservativa?Justifiquesuaresposta.

85Acadasegundo,1200m3deáguapassamporumaquedad’águade100mdealtura.Trêsquartosdaenergiacinéticaquefoiganhapelaáguaaocairsãotransformadosemenergiaelétricaporumgeradorhidrelétrico.Aquetaxaogeradorproduzenergiaelétrica?(Amassade1m3deáguaé1000kg.)

86NaFig.8-67,umpequenoblocopartedopontoAcomvelocidadede7,0m/s.Opercursoésematritoaté o trecho de comprimento L = 12 m, em que o coeficiente de atrito cinético é 0,70. As alturasindicadassãoh1=6,0meh2=2,0m.Qualéavelocidadedobloco(a)nopontoBe(b)nopontoC?(c)OblocoatingeopontoD?Casoarespostasejaafirmativa,determineavelocidadedobloconesseponto;casoarespostasejanegativa,calculeadistânciaqueoblocopercorrenapartecomatrito.

Figura8-67 Problema86.

87UmahasterígidademassadesprezívelecomprimentoLpossuiumabolademassampresaaumadasextremidades(Fig.8-68).A outra extremidade está presa a um eixo de tal forma que a bola pode semoveremumacircunferênciavertical.Primeiro,suponhaquenãoexisteatritonoeixo.Abolaélançadapara baixo a partir da posição horizontal A, com velocidade v0, e para exatamente no pontoD. (a)Escrevaumaexpressãoparav0emfunçãodeL,meg.(b)QualéatraçãodahastequandoabolapassapelopontoB? (c)Coloca-se umpouco de areia no eixo para aumentar o atrito.Depois disso, a bolachegaapenasaopontoC quandoé lançadaapartirdeA comamesmavelocidadedeantes.Qual éodecréscimode energiamecânica durante omovimento? (d)Qual é o decréscimode energiamecânicaquandoabolafinalmenteentraemrepousonopontoBapósváriasoscilações?

Figura8-68 Problema87.

88Umaboladeaniversário,cheiad’água,comumamassade1,50kg,élançadaverticalmenteparacimacomumavelocidade inicial de3,00m/s. (a)Qual é a energia cinéticadabolanomomento emque élançada?(b)Qualéotrabalhorealizadopelaforçagravitacionalsobreaboladuranteasubida?(c)Qualéavariaçãodaenergiapotencialgravitacionaldosistemabola-Terraduranteasubida?(d)Seaenergiapotencial gravitacional é tomada como nula no ponto de lançamento, qual é seu valor quando a bolachega à alturamáxima? (e)Se a energia potencial gravitacional é consideradanula na alturamáxima,qualéseuvalornopontodolançamento?(f)Qualéaalturamáxima?

89Umalataderefrigerantede2,50kgélançadaverticalmenteparabaixodeumaalturade4,00m,comuma velocidade inicial de 3,00m/s. O efeito do ar sobre a lata é desprezível. (a) Qual é a energiacinéticadalataquandoelachegaaosolonofinaldaquedae(b)quandoseencontraameiocaminhodosolo?(c)Qualéaenergiacinéticadalatae(d)qualéaenergiapotencialgravitacionaldosistemalata-Terra0,200santesdealatachegaraosolo?Tomeopontodereferênciay=0comoosolo.

90Umaforçahorizontalconstantefazumbaúde50kgsubir6,0memumplanoinclinadode30°comvelocidadeconstante.Ocoeficientedeatritocinéticoentreobaúeoplanoinclinadoé0,20.(a)Qualéotrabalhorealizadopelaforçae(b)qualéoaumentodaenergiatérmicadobaúedoplanoinclinado?

91Doisblocos,demassasM=2,0kge2M,estãopresosaumamoladeconstanteelásticak=200N/mque tem uma das extremidades fixa, comomostra a Fig. 8-69. A superfície horizontal e a polia nãopossuematritoeapoliatemmassadesprezível.Osblocossãoliberados,apartirdorepouso,comamolanaposiçãorelaxada.(a)Qualéaenergiacinéticatotaldosdoisblocosapósoblocoqueestápenduradoterdescido0,090m?(b)Qualéaenergiacinéticadoblocoqueestápenduradodepoisdedescer0,090m?(c)Qualéadistânciaqueoblocopenduradopercorreantesdepararmomentaneamentepelaprimeiravez?

Figura8-69 Problema91.

92Umanuvemdecinzasvulcânicasestásemovendohorizontalmenteemsoloplanoquandoencontraumaencosta com uma inclinação de 10°. A nuvem sobe 920 m antes de parar. Suponha que os gasesaprisionadosfazemascinzasflutuarem,tornandoassimdesprezívelaforçadeatritoexercidapelosolo;suponha também que a energia mecânica da nuvem é conservada. Qual era a velocidade inicial danuvem?

93Umescorregadeparquinhotemaformadeumarcodecircunferênciacom12mderaio.Aalturadoescorregaéh=4,0meochãoétangenteàcircunferência(Fig.8-70).Umacriançade25kgescorregadoaltodobrinquedo,apartirdorepouso,eaochegaraochãoestácomumavelocidadede6,2m/s.(a)Qualéocomprimentodoescorrega?(b)Qualéaforçadeatritomédiaqueagesobreacriança?Se,emvezdosolo,umaretaverticalpassandopeloaltodoescorregaétangenteàcircunferência,qualé(c)ocomprimentodoescorregae(d)qualaforçadeatritomédiaqueagesobreacriança?

Figura8-70 Problema93.

94O transatlânticode luxoQueenElizabeth2 possui uma central elétrica a diesel comumapotênciamáximade92MWaumavelocidadedecruzeirode32,5nós.Queforçapropulsoraéexercidasobreonavioaessavelocidade?(1nó=1,852km/h.)

95Umoperáriodeumafábricadeixacairacidentalmenteumcaixotede180kgqueestavasendomantidoemrepousonoaltodeuma rampade3,7mdecomprimento inclinada39°em relaçãoàhorizontal.Ocoeficientedeatritocinéticoentreocaixoteearampaeentreocaixoteeopisohorizontaldafábricaé

0,28. (a)Qual é a velocidade do caixote ao chegar ao final da rampa? (b)Que distância adicional ocaixotepercorrenopiso?(Suponhaqueaenergiacinéticadocaixotenãosealteracomapassagemdarampaparaopiso.)(c)Asrespostasdositens(a)e(b)aumentam,diminuemoupermanecemasmesmas,seamassadocaixoteéreduzidaàmetade?

96 Se um jogador de beisebol, de 70kg, chega a umabasedepois de escorregar pelo chão comumavelocidade inicial de 10m/s, (a) qual é o decréscimo da energia cinética do jogador e (b) qual é oaumentodaenergiatérmicadocorpodojogadoredochãonoqualeleescorrega?

97Umabananade0,50kgéarremessadaverticalmenteparacimacomumavelocidadeinicialde4,0m/sealcançaumaalturamáximade0,80m.Qualéavariaçãodaenergiamecânicadosistemabanana-Terracausadapelaforçadearrastodoarduranteasubida?

98Umaferramentademetalépressionadacontraumapedradeamolargiratóriaporumaforçade180Npara ser amolada. As forças de atrito entre a pedra de amolar e a ferramenta removem pequenosfragmentos da ferramenta. A pedra de amolar tem raio de 20,0 cm e gira a 2,50 revoluções/s. Ocoeficientedeatritocinéticoentreapedradeamolareaferramentaé0,320.Aquetaxaaenergiaestásendotransferidadomotor,quefazapedragirar,paraaenergiatérmicadapedra,edaferramentaeparaaenergiacinéticadosfragmentosremovidosdaferramenta?

99Umnadadorsedeslocanaáguaaumavelocidademédiade0,22m/s.Aforçadearrastomédiaé110N.Quepotênciamédiaonadadorestádesenvolvendo?

100Umautomóvelcompassageirospesa16.400Neestásemovendoa113km/hquandoomotoristapisabruscamentenofreio,bloqueandoasrodas.Aforçadeatritoexercidapelaestradasobreasrodastemmódulode8230N.Determineadistânciaqueoautomóvelpercorreatéparar.

101Umabolade0,63kg,atiradaverticalmenteparacimacomvelocidadeinicialde14m/s,atingeumaalturamáximade8,1m.Qualéavariaçãodaenergiamecânicadosistemabola-Terraduranteasubidadabolaatéaalturamáxima?

102OcumedoMonteEverestestá8850acimadoníveldomar.(a)Qualseriaaenergiagastaporumalpinistade90kgparaescalaroMonteEverestapartirdoníveldomar,seaúnicaforçaquetivessequevencerfosseaforçagravitacional?(b)Quantasbarrasdechocolate,a1,25MJporbarra,supririamessaenergia?Arespostamostraqueo trabalhousadoparavenceraforçagravitacionaléumafraçãomuitopequenadaenergianecessáriaparaescalarumamontanha.

103Umvelocistaquepesa670Ncorreosprimeiros7,0mdeumaprovaem1,6s,partindodorepousoeacelerandouniformemente.Qualé(a)avelocidadee(b)qualaenergiacinéticadovelocistaaofinaldos1,6s?(c)Qualéapotênciamédiadesenvolvidapelovelocistaduranteointervalode1,6s?

104Umobjetode20kgsofreaaçãodeumaforçaconservativadadaporF=−3,0x−5,0x2,comFemnewtonsexemmetros.Tomeaenergiapotencialassociadaaessaforçacomonulaquandooobjetoestáemx=0.(a)Qualéaenergiapotencialassociadaàforçaquandooobjetoestáemx=2,0m?(b)Seo

objetopossuiumavelocidadede4,0m/snosentidonegativodoeixoxquandoestáemx=5,0m,qualéavelocidadedoobjetoaopassarpelaorigem?(c)Quaissãoasrespostasdositens(a)e(b)seaenergiapotencialdosistemaétomadacomo28,0Jquandooobjetoestáemx=0?

105Umamáquinapuxaumtroncodeárvore,comvelocidadeconstante,2,0mparacimaemumarampade 40°, com a força damáquina paralela à rampa.O coeficiente de atrito cinético entre o tronco e arampa é 0,40. (a) Qual é o trabalho realizado sobre o tronco pela força da máquina e (b) qual é oaumentodaenergiatérmicadotroncoedarampa?

106Amoladeumaespingardadebrinquedo temumaconstante elásticade700N/m.Para atirarumabola,amolaécomprimidaeabolaé introduzidanocanodaespingarda.Ogatilho liberaamola,queempurraabola.Abolaperdecontatocomamolaexatamenteaosairdocano.Quandoaespingardaéinclinadaparacima,deumângulode30°comahorizontal,abola,de57g,atingeumaalturamáximade1,83 m acima da ponta do cano. Suponha que o efeito do ar sobre a bola é desprezível. (a) A quevelocidade a mola lança a bola? (b) Supondo que o atrito da bola dentro do cano da pistola édesprezível,determineacompressãoinicialdamola.

107Aúnicaforçaqueagesobreumapartículaéaforçaconservativa .SeapartículaestánopontoA,aenergiapotencialdosistemaassociadaa eàpartículaé40J.SeapartículasedeslocadopontoAparaopontoB,otrabalhorealizadopor sobreapartículaé+25J.QualéaenergiapotencialdosistemacomapartículanopontoB?

108 Em 1981, Daniel Goodwin escalou 443m pela fachada do Edifício Sears, em Chicago, com oauxíliodeventosasegramposdemetal.(a)Estimeamassadoalpinistaecalculeaenergiabiomecânica(interna)transferidaparaaenergiapotencialgravitacionaldosistemaGoodwin-Terraduranteaescalada.(b)Queenergiaseriaprecisotransferirseeletivessesubidoatéamesmaalturapelointeriordoprédio,usandoasescadas?

109Umaartistadecircode60,0kgescorrega4,00mapartirdorepouso,descendodoaltodeumposteatéochão.Qualéaenergiacinéticadaartistaaochegaraochãoseaforçadeatritoqueoposteexercesobreela(a)édesprezível(elairásemachucar)e(b)temummódulode500N?

110Umblocode5,0kgélançadoparacimaemumplanoinclinadode30°comvelocidadede5,0m/s.Quedistânciaoblocopercorre(a)seoplanonãopossuiatritoe(b)seocoeficientedeatritocinéticoentreoblocoeoplanoé0,40?(c)Nosegundocaso,qualéoaumentodaenergiatérmicadoblocoedoplanodurante a subidadobloco? (d)Seoblocodescedevolta submetidoà forçadeatrito, qual é avelocidadedoblocoaochegaraopontodeondefoilançado?

111 Um projétil de 9,40 kg é lançado verticalmente para cima. O arrasto do ar diminui a energiamecânicadosistemaprojétil-Terrade68,0kJduranteasubidadoprojétil.Quealturaamaisoprojétilteriaalcançadoseoarrastodoarfossedesprezível?

112Umhomemde70,0kgpuladeumajanelaevaicairemumarededesalvamentodosbombeiros,11,0mabaixodajanela.Eleparamomentaneamente,apósaredeteresticado1,50m.Supondoqueaenergia

mecânicaéconservadaduranteoprocessoequearedesecomportacomoumamolaideal,determineaenergiapotencialelásticadaredequandoestáesticada1,50m.

113Umabaladerevólverde30g,movendo-secomumavelocidadehorizontalde500m/s,penetra12cmemumaparedeantesdeparar.(a)Qualéavariaçãodaenergiamecânicadabala?(b)Qualéaforçamédiaexercidapelaparedeparafazerabalaparar?

114Umcarrode1500kgpartedorepousoemumaestradahorizontaleadquireumavelocidadede72km/h em 30 s. (a)Qual é a energia cinética do carro no fim dos 30 s? (b)Qual é a potênciamédiadesenvolvida pelo carro durante o intervalo de 30 s? (c) Qual é a potência instantânea no fim dointervalode30s,supondoqueaaceleraçãosejaconstante?

115Umaboladeneve,de1,5kg,éatiradaparacimaemumângulode34,0°comahorizontalecomumavelocidade inicial de 20,0m/s. (a) Qual é a energia cinética inicial da bola? (b) De quanto varia aenergiapotencialgravitacionaldosistemabola-Terraquandoabolasemovedopontodelançamentoatéopontodealturamáxima?(c)Qualéaalturamáxima?

116Umparaquedistade68kgcaicomumavelocidadeterminalconstantede59m/s.(a)Aquetaxaaenergia potencial gravitacional do sistema Terra-paraquedista está sendo reduzida? (b) A que taxa aenergiamecânicadosistemaestásendoreduzida?

117 Um bloco de 20 kg em uma superfície horizontal está preso a umamola horizontal de constanteelásticak=4,0kN/m.Oblocoépuxadoparaadireitaatéamolaficaralongada10cmemrelaçãoaocomprimentonoestadorelaxado,eentãoliberadoapartirdorepouso.Aforçadeatritoentreoblocoemmovimentoea superfície temummódulode80N. (a)Qualéaenergiacinéticadoblocoapós ter semovido 2,0 cm em relação ao ponto em que foi liberado? (b)Qual é a energia cinética do bloco noinstante emque volta pela primeira vez ao ponto no qual amola está relaxada? (c)Qual é amáximaenergiacinéticaatingidapeloblocoenquantodeslizadopontoemquefoiliberadoatéopontoemqueamolaestárelaxada?

118 A resistência ao movimento de um automóvel é constituída pelo atrito da estrada, que é quaseindependentedavelocidade,eoarrastodoar,queéproporcionalaoquadradodavelocidade.Paraumcarrocomumpesode12000N,aforçaderesistênciatotalFédadaporF=300+1,8v2,comFemnewtons e v emmetros por segundo. Calcule a potência (em horsepower) necessária para acelerar ocarroa0,92m/s2quandoavelocidadeé80km/h.

119Umabolade50gélançadadeumajanelacomumavelocidadeinicialde8,0m/seumângulode30°acimadahorizontal.Usandoaleideconservaçãodaenergia,determine(a)aenergiacinéticadabolanopontomaisaltodatrajetóriae(b)avelocidadedabolaquandoestá3,0mabaixodajanela.Arespostadoitem(b)depende(c)damassadabolaou(d)doângulodelançamento?

120Umamolacomumaconstanteelásticade3200N/méalongadaatéqueaenergiapotencialelásticaseja1,44J.(U=0paraamolarelaxada.)QuantoéΔUseoalongamentomudapara(a)umalongamentode2,0cm,(b)umacompressãode2,0cme(c)umacompressãode4,0cm?

121Umalocomotivacomumapotênciade1,5MWpodeacelerarumtremdeumavelocidadede10m/spara25m/sem6,0min.(a)Calculeamassadotrem.Determine,emfunçãodotempo(emsegundos),(b)avelocidadedo treme(c)a forçaqueacelerao tremduranteo intervalode6,0min. (d)Determineadistânciapercorridapelotremduranteesseintervalo.

122Umdiscodeshuffleboardde0,42kgestáemrepousoquandoumjogadorusaumtacoparaimprimiraodiscoumavelocidadede4,2m/scomaceleraçãoconstante.Aaceleraçãoocorreemumadistânciade2,0m,aofinaldaqualotacoperdecontatocomodisco.Odiscodeslizaumadistânciaadicionalde12mantes de parar. Suponha que a pista de shuffleboard é plana e que a força de atrito sobre o disco éconstante.Qualéoaumentodaenergiatérmicadosistemadisco-pista(a)paraadistânciaadicionalde12me(b)paraadistânciatotalde14m?(c)Qualéotrabalhorealizadopelotacosobreodisco?

123Umacorredeiraemumrioenvolveumadescidade15m.Avelocidadedaáguaé3,2m/snoiníciodacorredeirae13m/sno final.Queporcentagemdaenergiapotencialgravitacionaldo sistemaágua-Terraétransferidaparaenergiacinéticaduranteadescidadaágua?(Sugestão:Considereadescidade,porexemplo,10kgdeágua.)

124Omódulodaforçagravitacionalentreumapartículademassam1eumapartículademassam2édadopor

emqueG é umaconstante ex é a distância entre as partículas. (a)Qual é a função energia potencialU(x)?SuponhaqueU(x)→0quandox→ϕ∞equexépositivo.(b)Qualéotrabalhonecessárioparaaumentaradistânciaentreaspartículasdex=x1parax=x1+d?

125Aproximadamente5,5×106kgdeáguacaemdasCataratasdoNiágaraporsegundo. (a)Qualéodecréscimo da energia potencial gravitacional do sistema água-Terra por segundo? (b) Se toda essaenergiapudesseserconvertidaemenergiaelétrica(oquenãoépossível),aquetaxaaenergiaelétricaseria produzida? (Amassa de 1m3 de água é 1000 kg.) (c) Se a energia elétrica fosse vendida a 1centavodedólar/kW·h,qualseriaareceitaanual?

126Parafazerumpêndulo,umabolade300gépresaaumadasextremidadesdeumacordacom1,4mdecomprimentoemassadesprezível.(Aoutraextremidadedacordaestáfixa.)Abolaépuxadaparaumladoatéacordafazerumângulode30,0°comavertical;emseguida(comacordaesticada)abolaéliberadaapartirdorepouso.Determine(a)avelocidadedabolaquandoacordafazumângulode20,0°comaverticale(b)avelocidademáximadabola.(c)Qualéoânguloentreacordaeaverticalquandoavelocidadedabolaéigualaumterçodovalormáximo?

127Emumnúmerodecirco,umpalhaçode60kgédisparadoporumcanhãocomumavelocidadeinicialde16m/seumângulodesconhecidoacimadahorizontal.Apósumcurtointervalodetempo,opalhaçocaiemumaredecujaalturaexcedeem3,9maalturadaposiçãoinicialdopalhaço.Desprezeoarrasto

doar.Qualéaenergiacinéticadopalhaçoaocairnarede?

128Umbombeirode70kgescorrega4,3mparabaixo,apartirdorepouso,emumpostevertical.(a)Seobombeiroseguraopostedeleve,oquetornaaforçadeatritoexercidapelopostedesprezível,qualésuavelocidadeimediatamenteantesdeatingirosolo?(b)Seobombeiroseguraopostecomforçaeaforçadeatritomédiaé500N,dirigidaverticalmenteparacima,qual é suavelocidade imediatamenteantesdeatingirosolo?

129OsEstadosUnidoscontinentaistêmumaáreadeaproximadamente8×106km2eumaaltitudemédiade500m(emrelaçãoaoníveldomar).Aprecipitaçãomédiaanualé75cm.Afraçãodaáguadechuvaque retornaàatmosferaporevaporaçãoé2/3;o restovaiparaooceano.Seodecréscimodeenergiapotencialgravitacionaldosistemaágua-Terraassociadoàparceladeáguaquevaiparaooceanopudessesertotalmenteconvertidoemenergiaelétrica,qualseriaapotênciamédia?(Amassade1m3deáguaé1000kg.)

130Umamola cuja constante elástica ék=200N/mestá suspensaverticalmente, coma extremidadesuperior fixano tetoeaextremidade inferiornaposiçãoy=0.Umblocode20Ndepesoépresoàextremidadeinferiordamola,mantidonessaposiçãoporummomentoedepoisliberado.Determine(a)aenergiacinéticaK,(b)avariação(apartirdovalorinicial)daenergiapotencialgravitacionalΔUg,e(c)avariaçãodaenergiapotencialelásticaΔUedosistemabloco-molaquandooblocoestáemy=−5,0cm.Determine(d)K,(e)ΔUge(f)ΔUeparay=−10cm,(g)K,(h)ΔUge(i)ΔUeparay=−15cme(j)K,(k)ΔUge(l)ΔUeparay=−20cm.

131Prendaumadasextremidadesdeumamolaverticalnoteto,prendaumrepolhonaoutraextremidadeebaixeorepolholentamenteatéqueaforçaparacimaexercidapelamolasobreorepolhoequilibreaforçagravitacionalqueatuasobreele.Mostrequeaperdadeenergiapotencialgravitacionaldosistemarepolho-Terraéigualaduasvezesoganhodeenergiapotencialdamola.Porqueasduasgrandezasnãosãoiguais?

132Amaiorforçaquepodemosexercersobreumobjetocomumdentemolarécercade750N.Suponhaque,quandovocêmordegradualmenteumcaramelo,ocarameloresisteàcompressãoexercidaporumdos dentes agindo como uma mola para a qual k = 2,5 × 105 N/m. Determine (a) a compressão docarameloe(b)otrabalhorealizadopeloseudentesobreocarameloduranteacompressão.(c)Ploteomódulo da sua força em função da compressão. (d) Se existe uma energia potencial associada a estacompressão,desenheumgráficodaenergiapotencialemfunçãodacompressão.

Na década de 1990, marcas profundas de dentadas foram descobertas na pelve do fóssil de umdinossauro Triceratops. A forma das marcas sugeria que tinham sido feitas por um dinossauroTiranossaurorex.Paratestaraideia,oscientistasfabricaramaréplicadeumdentedeumT.rexfeitadebronzeealumínioeusaramumaprensahidráulicaparaintroduzirgradualmentearéplicaemumossodevacaatéaprofundidadeobservadanoossodoTriceratops.AFig.8-71mostraa forçaempregadaemfunçãodaprofundidadedepenetraçãoemumdosensaios;aforçaaumentacomaprofundidadeporque,à

medidaqueodenteaproximadamentecônicopenetranoosso,umapartemaiordodenteentraemcontatocomoosso. (e)Qual foio trabalho realizadosobreoossopelaprensahidráulica (epresumivelmentepeloT.rex)nesseensaio?(f)Existeumaenergiapotencialassociadaaesseensaio?(AgrandeforçadamordidaeoaltoconsumodeenergiaatribuídosaoT.rexporessapesquisasugeremqueoanimalfoiumpredadorenãoumsaprófago.)

Figura8-71 Problema132.

133UmaforçaconservativaF(x)agesobreumapartículaquesemoveaolongodeumeixox.AFig.8-72mostraavariaçãodaenergiapotencialU(x)associadaaF(x)comaposiçãodapartícula.(a)PloteF(x)nointervalo0<x<6m.(b)SeaenergiamecânicaEdosistemaé4,0J,ploteaenergiacinéticaK(x)dapartículanográficodaFig.8-72.

Figura8-72 Problema133.

134AFig. 8-73amostra umamolécula composta por dois átomos demassasm eM (comm <<M)separadosporumadistânciar.AFig.8-73bmostraaenergiapotencialU(r)damoléculaemfunçãoder.

Descrevaomovimentodosátomos(a)seaenergiamecânicatotalEdosistemadedoisátomosformaiorquezero(comoE1)e(b)seEformenorquezero(comoE2).ParaE1=1×10−19Jer=0,3nm,determine(c) a energia potencial do sistema, (d) a energia cinética total dos átomos e (e) a força (módulo eorientação)queatuasobrecadaátomo.Paraquevaloresderaforçaé(f) repulsiva, (g)atrativae(h)nula?

Figura8-73 Problema134.

135RepitaoProblema83supondoqueoblocoestásubindoumarampaquefazumângulode5,0°comahorizontal.

136 Umamola de constante elástica k = 620N/m émantida na posição vertical, com a extremidadeinferior sustentada por uma superfície horizontal. A extremidade superior é comprimida 25 cm, e umbloco com peso de 50 N é colocado sobre a mola, e o sistema é liberado. Supondo que a energiapotencialgravitacionalUgdoblocoézeronoponto (y=0)emqueo sistemaé liberado,determineaenergiacinéticaKdoblocoparay igual a (a)0, (b)0,050m, (c)0,10m, (d)0,15m, (e)0,20m. (f)Calculetambémovalordeyparaaalturamáximaatingidapelobloco.