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Velocidade Angular e Aceleração AngularRotação com Aceleração Angular Constante

Relações entre Cinemática Linear e Cinemática AngularEnergia no Movimento de Rotação

Capítulo 9 - Rotação de Corpos Rígidos

Aquino Lauri Espíndola 1

1Departmento de FísicaInstituto de Ciências Exatas - ICEx,Universidade Federal Fluminense

Volta Redonda, RJ27.213-250

1 de dezembro de 2010

Aquino Espíndola Capítulo 9 - Rotação de Corpos Rígidos



Conteúdo

1 Velocidade Angular e Aceleração AngularVelocidade AngularVelocidade Angular como um VetorAceleração AngularAceleração Angular como um Vetor

2 Rotação com Aceleração Angular Constante

3 Relações entre Cinemática Linear e Cinemática AngularAceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido

4 Energia no Movimento de Rotação




Velocidade AngularVelocidade Angular como um VetorAceleração AngularAceleração Angular como um Vetor

Velocidade Angular

Eixo Fixo: eixo que permanece em repouso em relação aum referencial inercial.

O eixo passa através do ponto O⊥ ao plano do quadro.

A linha OP permanece fixa nocorpo e gira com ele.

O ângulo θ descreve a posiçãoda rotação.

θ será coordenada da rotação.

A coordenada θ pode ser (+) ou(−).





Velocidade Angular

O ângulo θ é medido em radianos , não em graus.

r , raio de circunferência.

s, comprimento do arco decircunferência.

Se o ângulo for 1 rad ⇒ s = r .





Velocidade Angular

O valor de θ em radianos é:

θ =sr

ou s = rθ.

O comprimento de umacircunferência é 2πr .

Existem 2π radianos em umarevolução completa.

1 rad =360◦

2π= 57,3◦





Velocidade Angular

O movimento de rotação pode ser descrito em termos dataxa de variação do ângulo θ.

Em t1, OP faz um ângulo θ1.

Em t2, OP faz um ângulo θ2.

Definimo a velocidade angularmédia:

ωm =θ2 − θ1

t2 − t1=

∆θ

∆t.

A rotação ocorre em torno doeixo z.





Velocidade Angular

A velocidade angular instantânea :.

ω = lim∆t→0

∆θ

∆t=

dθdt

A velocidade angular ω pode ser (+) ou (−).

Rotação no sentidoanti-horário (+):

∆θ > 0 ⇒(

ωm = ∆θ

∆t

)

> 0

Rotação no sentidohorário (−):

∆θ < 0 ⇒(

ωm = ∆θ

∆t

)

< 0





Velocidade Angular

Unidade de velocidade angular: rad/s.Outras unidades:

Revolução por minuto: rev/min ou rpm.1 rev = 2π.

Conversões úteis:

1 rev/s = 2π rad/s

1 rev/min = 1 rpm =2π60

rad/s





Velocidade Angular como Vetor

Translação: vx é o componente x do vetor ~v .Rotação: ω é o componente do vetor velocidade ~ω aolongo do eixo.Qual o sentido de ~ω?

Encurvar os dedos da mãodireita no sentido darotação.

Sentidos de ~ω:





Aceleração Angular

Se a velocidade angular varia, o corpo possui aceleraçãoangular .

Em t1, o corpo possui ω1.

Em t2, o corpo possui ω2.

A aceleração angular média:

αm =ω2 − ω1

t2 − t1=

∆ω

∆t

A aceleração angular instantânea:

α = lim∆t→0

∆ω

∆t=

dωdt





Aceleração Angular como Vetor

Translação: ax é o componente x do vetor ~a.

Rotação: α é o componente do vetor aceleração ~α aolongo do eixo.

~α e ~ω no mesmo sentido:a rotação é acelerada.

~α e ~ω em sentidos opostos :a rotação é retardada.




Rotação com α = cte

Em t = 0, o corpo possui velocidade angular ω0.

Em um t qualquer, a velocidade angular será ω.

Assim, neste intervalo de tempo:

α =ω − ω0

t − 0

ou

Somente para α = cte

ω = ω0 + αt (1)





Outra equação já conhecida:

ωm =ω0 + ω

2. (2)

Também sabemos que:

ωm =θ − θ0

t − 0. (3)

Igualando as Equações (2) e (3) e multiplicando-as por t :


θ − θ0 =12(ω0 + ω) . (4)





Substituindo a Eq. (1) na Eq. (4):


θ = θ0 + ω0t +12αt2 . (5)

Relacionando as grandezas translacionais com asgrandezas rotacionais :


ω2 = ω20 + 2α∆θ . (6)




Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido

Relação Grandezas de Translação e Rotação

Movimento Retílineo Rotaçãocom Aceleração Constante com Aceleração Constante

a = constante α = constante

v = v0 + at ω = ω0 + αt

x = x0 + v0t + 12at2 θ = θ0 + ω0t + 1

2αt2

v2 = v20 + 2a∆x ω2 = ω2

0 + 2α∆θ

x − x0 = 12(v + v0)t θ − θ0 = 1

2(ω + ω0)t





Cinemática Linear e Angular

Como achar a velocidade linear e a aceleraçãoum dado ponto em um corpo girando?

Cada partícula se move em uma trajetória circular.

O círculo fica sobre um plano ⊥ ao eixo.

O círculo possui centro no eixo.

A velocidade da partícula é diretamente proporcional avelocidade angular.





Velocidade Linear na Rotação

Relação entre ângulo e comprimentode arco: s = rθ.

Derivando a equação acima em relaçãoao tempo:

∣

∣

∣

∣

dsdt

∣

∣

∣

∣

= r

∣

∣

∣

∣

dθdt

∣

∣

∣

∣

.

|ds/dt | é a taxa de variação docomprimento de arco.

|dθ/dt | é a taxa de variação ângulo.

Portanto:v = rω .





Aceleração Linear na Rotação

Uma partícula girando:aceleração centrípeta ou radial, arad ,

aceleração tangencial , atg .

atg é paralela a v , portanto, altera o módulo de v .

Sabemos que atg = dv/dt .

Derivando a expressão v = ωr :

atg =dvdt

= rdωdt

= rα






Uma partícula girando:aceleração centrípeta ou radial, arad ,

aceleração tangencial , atg .

arad aponta em direção ao centro e modifica direção de v .

Sabemos que arad = v2/r .

Sabemos que v = ωr , então:

arad =v2

r= ω2r






Atenção:

Usar grandezas angulares somente em radianos!!!




Energia no Movimento de Rotação

Um corpo rígido é constituído por:

grande número de partículas com massas m1, m2, . . .,

partículas estãoà distância do centro r1, r2, . . .,

a i−ésima partícula: mi e ri .

Quando um corpo rígido gira:

a i−ésima partícula tem velocidade vi = riω;

onde ω é a velocidade angular do corpo .





A energia cinética da i−ésima partícula:

12

miv2i =

12

mi r2i ω

2 .

A energia cinética total do corpo é:

K =12

m1r21ω

2 +12

m2r22ω

2 + . . . =12

∑

i

mi r2i ω

2

Colocando em evidência o termo ω2/2:

K =12

(

m1r21 + m2r2

2 + . . .)

ω2 =12

(

∑

i

mi r2i

)

ω2





A grandeza entre parênteses é denominada momento deinércia , I

Momento de Inércia em Relação a um Eixo

I = m1r21 + m2r2

2 + . . . =∑

i

mi r2i

A energia cinética de rotação da por:

K =12

(

∑

i

mi r2i

)

ω2

Pode ser reescrita como:

K =12

Iω2




Momento de Inércia

Massa próxima ao eixo.

Menor momento de inércia.

Fácil fazer girar.

Massa distante do eixo.

Maior momento de inércia.

Difícil fazer girar.




Momento de Inércia: Exemplos


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