capitulo iv (integrales)

MATEMATICA IFACULTAD DE INGENIERÍA

CAPITULO II:

LA INTEGRAL INDEFINIDA

En las últimas sesiones se ha estudiado el siguiente problema: dada una función , hallar su derivada, es decir, la función En esta parte del curso estudiaremos el caso inverso: dada una función , debemos hallar una función cuya derivada sea igual , es decir: .

Ejemplos

1.- Hallar , sabiendo que 2.- Hallar , sabiendo que

3.- Hallar , sabiendo que



Definición: (Antiderivada)

Si en todos los puntos del intervalo se verifica la ecuación: , la función se llama Primitiva o Antiderivada de la función sobre .

Definición: (Antiderivada General) Si es una antiderivada de sobre el intervalo es decir:

sobre ,

entonces la función es la Antiderivada General de , donde constante

Definición: (Integral Indefinida)

Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz


Se llama Integral Indefinida de una función , a la antiderivada general de la función., es decir, si , entonces:

Notación:: signo de la integral

: integrando: elemento de integración

Ejemplos

1.- ……

2.- ……

3.- ……

4.- ……

5.- ……

“La integral definida es el proceso de hallar la antiderivada general de la función”

PROPIEDADES ELEMENTALES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA:

Consideremos y funciones derivables y constantes:

a.-

b.-

c.-

d.-

e.- TABLA DE INTEGRALES BASICAS

Sea función diferenciable

1.- 11.-



2.- 12.-

3.- 13.-

4.- 14.-

5.- 15.-

6.- 16.-

7.- 17.-

8.- 18.-

9.- 19.-

10.- 20.-

21.-

22.-

23.-

24.-

Ejemplos explicativos:

Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:

1.- 6.-



2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-

Ejemplos para el aula:

Haciendo uso de las propiedades básicas y la regla de integrales, resolver:

1.- 6.-

2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

I.- Integración por Cambio de Variable.

Sea una función diferenciable, se cumple:


Resolver:



1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)


Resolver:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

INTEGRAL POR PARTES

Sea y , dos funciones diferenciables:

Luego es una antiderivada de , es decir:

Entonces:



……. Fórmula de Integración por Partes

Observaciones:

- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica, se elige a como el polinomio y al resto se le considera .

- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función exponencial, se elige a como el polinomio y al resto se le considera .

- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función logarítmica, se elige a como la función logarítmica y al resto se le considera .

- Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica inversa, se elige a como la función trigonométrica inversa y al resto se le considera .

- Si el integrando se compone del producto de una función exponencial por la función ó , se puede elegir a como la función exponencial y ó

ó viceversa.

Nota:En una sola integral se pueden aplicar varias veces integración por partes


Integrar:

1.- 6.-

2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-


Resolver las siguientes integrales:

1.- 6.-

2.- 7.-



3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-

III. INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMÈTRICA

A pesar de no existir un método para hacer el cambio de variable adecuado, muchas integrales que contienen expresiones de la forma:

Se pueden evaluar haciendo adecuadas sustituciones trigonométricas.

1) Para integrales que contiene expresiones de la forma:

Hacer el cambio , , entonces

2) Para integrales que contienen expresiones de la forma:

Hacer el cambio ,

3) Para integrales que contienen expresiones de la forma:

Hacer el cambio ,


Resolver:

6) 6)



7) 7)

8) 8)

9) 9)

10) 10)


Resolver:

1) 5)

2) 6)

3) 7)

4) 8)

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES POR DECOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES

Observaciones:

- Una función , donde y , son polinomios, recibe el nombre de

fracción racional.- Si el grado de es menor que el grado de , recibe el nombre de

función propia, de lo contrario, se denomina impropia.- Toda fracción racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio y de

una fracción propia.

Ejemplo:

- Toda fracción racional propia se puede expresar como suma de fracciones simples cuyos denominadores sean de la forma y , siendo un número entero positivo.

- De acuerdo a la naturaleza de los denominadores se pueden considerar los siguientes casos:



CASO I: FACTORES LINEALES DISTINTOS

A cada factor lineal, , del denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma:

, A constante a determinar

CASO II: FACTORES LINEALES IGUALES

A cada factor lineal, , que figure veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de fracciones:

,

constantes a determinar

CASO III: FACTORES CUADRATICOS DISTINTOS

A cada factor cuadrático irreducible, , que figura en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma:

, A, B constantes a determinar

CASO IV: FACTORES CUADRATICOS IGUALES

A cada factor cuadrático irreducible, , que se repita veces en el denominador en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de fracciones de la forma:

,

donde son constantes a determinar


Integrar:

1.-

2.-

3.-

4.-



5.-



1.- 6.-

2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-

INTEGRAL DEFINIDA

El concepto de integral definida nace a menudo de la consideración del área encerrada por la curva , el eje y las ordenadas levantadas en y ; pero podemos dar la definición de integral definida sin apelar a la geometría:

y

x

Subdividimos el intervalo en sub-intervalos mediante los puntos elegidos arbitrariamente, escojamos en cada uno de los nuevos

intervalos , los puntos arbitrariamente y formemos la suma:



Denotemos: , luego:

Geométricamente esta suma representa el área total de los rectángulos de nuestra figura.Si hacemos crecer el número de subdivisiones de tal modo que , tenemos:

Existe y su valor es independiente de la forma de subdividir el intervalo

Definición.- Consideremos una función definida en . Entonces la integral definida

de de hasta lo denotaremos por y es definido por:

Si existe el límite.

Observación:

En la integral definida , tenemos:

- se llama integrando.- se llama límite inferior.- se llama límite superior.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

“Si es continua en el intervalo cerrado y es la primitiva o integral indefinida de , se verifica:

”

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Consideremos dos funciones y integrables en y una constante arbitraria. Entonces:

1.-

2.-

3.-



4.-

5.-

6.- Si , entonces

7.- Si es continua en , tal que , se cumple:


Hallar:

1.- 6.-

2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-



1.- 6.-

2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-



5.- 10.-

CALCULO DE AREAS PLANAS POR INTEGRACION

Los pasos que debemos tener en cuenta para plantear la integral definida que proporciona el valor del área a calcular son:

1º Si el área de la región a calcular está acotada por la función , y las rectas y , hallamos el área de la siguiente forma:

y

a b x

2º Si el área de la región a calcular está acotada por las funciones , y las rectas

y , el área se calcula del siguiente modo:

y

a b x


Hallar el área acotada por las siguientes curvas:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.- Ejemplos para el aula:



Hallar el área acotada por las siguientes curvas:

1.- 2.-3.-4.- 5.-

HOJA DE PRÁCTICA 8

I.- Resolver las siguientes integrales:

1.- 15.-

2.- 16.-

3.- 17.-

4.- 18.-

5.- 19.-

6.- 20.-

7.- 21.-

8.- 22.-

9.- 23.-

10.- 24.-

11.- 25.-

12.- 26.-

13.- 27.-



14.- 28.-

29.- 40.-

30.- 41.-

31.- 42.-

32.- 43.-

33.- 44.-

34.- 45.-

35.- 46.-

36.- 47.-

37.- 48.-

38.- 49.-

39.- 50.-

HOJA DE PRÁCTICA 9


1.- 16.-

2.- 17.-



3.- 18.-

4.- 19.-

5.- 20.-

6.- 21.-

7.- 22.-

8.- 23.-

9.- 24.-

10.- 25.-

11.- 26.-

12.- 27.-

13.- 28.-

14.- 29.-

15.- 30.-



HOJA DE PRÁCTICA 10


1.- 16.-

2.- 17.-

3.- 18.-

4.- 19.-

5.- 20.-

6.- 21.-

7.- 22.-

8.- 23.-

9.- 24.-

10.- 25.-

11.- 26.-

12.- 27.-

13.- 28.-



14.- 29.-

15.- 30.-

HOJA DE PRÁCTICA 11


1.- 16.-

2.- 17.-

3.- 18.-

4.- 19.-

5.- 20.-

6.- 21.-

7.- 22.-

8.- 23.-

9.- 24.-

10.- 25.-

11.- 26.-



12.- 27.-

13.- 28.-

14.- 29.-

15.- 30.-

II.- Hallar el área de las regiones acotadas por las siguientes curvas:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-


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