capitulo xii espacios vectoriales

7/23/2019 Capitulo Xii Espacios Vectoriales

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INDICE

12.ESPACIOS VECTORIALES 253

12.1. DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 25312.2. SUBESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25412.3. COMBINACIONES LINEALES Y ESPACIO GENERADO . . . . . . . . 25612.4. CONJUNTOS LINEALMENTE DEPENDIENTES Y CONJUNTOS LI-

NEALMENTE INDEPENDIENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25812.5. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112.6. DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . 26312.7. EJERCICIOS RESUELTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.8. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268


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CAPITULO 12

ESPACIOS VECTORIALES

12.1. DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

Definicion 12.1.1. Sea Kun cuerpo y Vun conjunto, decimos que la cuaterna (V, +, , K)es un espacio vectorial si se cumple

a) v, w V :v+ w V; Ley de composicion Interna.

b) v+ (w+ r) = (v+ w) + r; v,w,r V; Asociatividad de la Suma.

c) 0 V tal que v + 0 = 0 + v= v; v V; Elemento Neutro 0.

d) v V v V tal que v + (v) =v+ v= 0; Elemento Opuesto v.

e) v+ w= w+ v; v, w V; Conmutatividad de la Suma.

f) v V, k Kse cumple k v V; Ley de composicion externa.

g) k (v+ w) =k v+ k w; v, w V, k K.

h) (k1+ k2) v= k1 v+ k2 v; v V, k1, k2 K.

i) (k1k2) v= k1(k2 v) v V, k1, k2 K.

j) 1 v= v; v V; 1 K.

Observacion 12.1.1.

1. A los elementos deV se les llama, genericamente, vectores y a los elementos de Kse les llama escalares.

2. En general anotamos kv en lugar de k v. Esta es la ponderacion de un vector porun escalar y no constituye una multiplicacion.

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254 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

3. Al referirnos a la cuaterna (V, +, , K) tambien anotaremos VK.

Proposicion 12.1.1. SeaVKun espacio vectorial sobre el cuerpo K; se cumple

a) Los vectores0 yv, cuya existencia garantiza c) y d) de la definicion, son unicos.

b) La ponderacion del vector nulo por cualquier escalar produce el vector nulo.

c) La ponderacion de cualquier vector por el escalar nulo produce el vector nulo.

d) (k)v= k(v) =(kv); v V, k K.

Demostracion.

c) Como 0v= (0 + 0)v= 0v+ 0v y dado que existe el vector opuesto (0v) entonces,sumando este opuesto a la expresion 0v= 0v + 0v obtenemos(0v) + 0v= (0v) +[0v+ 0v] de donde 0 = [(0v) + 0v] + 0v, as, 0 = 0v+ 0v = 0v.

Ejemplo 12.1.1.

1. El conjunto de las matricesM(nR) con las operaciones usuales es un espacio vecto-

rial sobre el cuerpo de los numeros reales.

2. (R2, +, , R) es un espacio vectorial (las operaciones usuales estan declaradas poromision).

3. (R2, +, , R) con las operaciones (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) yk(a, b) = (a,kb) noes un espacio vectorial sobreR ya que, por ejemplo, (2 + 3)(1, 2) = 5(1, 2) = (1, 10)y sin embargo 2(1, 2) + 3(1, 2) = (1, 4) + (1, 6) = (2, 10).

12.2. SUBESPACIO VECTORIAL

Definicion 12.2.1. Sea VKun espacio vectorial sobre K y =A V. Decimos que Aes un subespacio vectorial de V, lo que denotamos A V, si el conjuntoA provisto de lasoperaciones del espacio vectorial es, en si mismo, un espacio vectorial sobre el cuerpo K.

Observacion 12.2.1. Demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespa-cio implica, hasta el momento, verificar que se cumplen las diez caractersticas deseables;por cierto una gran tarea, sin embargo, la siguiente caracterizacion del concepto nos ayuda.


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HERALDO GONZALEZ SERRANO 255

Caracterizacion

Sea VKun espacio vectorial sobre K y =A V, entonces

A V

1) 0 A

2)v, w A (v+ w) A

3)k K, v A kv A

Demostracion. ) Sabemos queA Ventonces, se cumple inmediatamente 1), 2) y 3).

) Si sabemos que se cumple 1), 2) y 3) entonces debemos verificar que se cumple a),b), . . . , j) de la definicion.

Necesitamos demostrar solo que w A, w A ya que las otras, son inmediataspuesto que, si p A V entonces p Vy satisface las condiciones en V .

Como A = entonces existe w A V; en V, (1) w = w, pero por 3) de lahipotesis, (1) w= w A.

Ejemplo 12.2.1.

1. SeaVK un espacio vectorial sobreK, entoncesV V.

2. {0} VK.

3. Sea R3R

un espacio vectorial, entonces W = {(a,b,c) / a R, b= c = 0} R essubespacio vectorial deR3

R.

En efecto

1) 0 = (0, 0, 0) W.2) Seav = (a,b,c), w = (p, q, r) W (as, a R, b = c = 0; p R, q= r = 0)

entoncesv + w= (a +p, b + q, c + r) Wya que(a +p) Ryb + q= c + r= 0.

3) Siv = (a,b,c) W, k R entonceskv =k(a,b,c) = (ka,kb,kc) W puestoqueka R ykb = kc = 0.

Ejemplo 12.2.2. Decida siW es subespacio deR3R

en cada uno de los siguientes casos

a) W ={(a,b,c) / a= 2b, c R}.

b) W ={(a,b,c) / a b c}.

c) W ={(a,b,c) / ab= 0}.

Solucion.

a) Se verifica facilmente que W R3R

.

b) No es subespacio ya que, por ejemplo, v = (1, 2, 3) W y sin embargo 2v =(1, 4, 6) /W.


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c) No es subespacio ya que por ejemplo, v = (0, 1, 3), w = (1, 0, 7) W pero v+w =(1, 1, 10) /W.

Ejemplo 12.2.3. Si W, Uson subespacios vectoriales de VK entonces WU V. En

efecto1. Como 0 W y0 U entonces0 W U.

2. Sean v, w W U, debemos demostrar que (v+ w) W U. Como v, w W yv, w U entonces(v+ w) W y (v+ w) U, entonces(v+ w) W U

3. Ahora, seav W U, k K, debemos demostrar quekv W U. Como v Wyv U, k K entonceskv W ykv Uentonces, por definicion de interseccionconcluimos quekv W U.

Ejemplo 12.2.4. Sea W = p(x) =a + (a b)x2 + bx3 R3[x]. Demuestre queW R3[x].

Solucion.

1) p(x) = 0 = 0 + 0x + 0x2 + 0x3 Wya que p(x) = 0 + (0 0)x2 + 0x3.

2) Sip(x) =a +bx+cx2 +dx3,q(x) =e +f x+gx2 +hx3 Wentoncesp(x)+q(x) Wya que p(x) + q(x) = (a + e) + ((a + d) (d + h))x2 + (d + h)x3.

3) Si p(x) = a + bx + cx2 + dx3 W, k K entonces kp(x) W ya quekp(x) =ka + (ka dk)x2 + dkx3.

Por 1), 2), 3) W R

3[x].

Observacion 12.2.2. La caracterizacion de subespacio anterior, se puede expresar tambiencomo sigue

A VK

1) 0 A

2) v, w A, k K; (v+ kw) A

En el Ejemplo ????????, la parte 2) y 3) queda:Seanv, w W U,k K, debemos demostrar que (v + kw) W U. Comov, w W

y v, w U entonces (v+ kw) W y (v+ kw) U, entonces (v+ kw) W U.

12.3. COMBINACIONES LINEALES Y ESPACIO GENERADO

Definicion 12.3.1. Sea VKun espacio vectorial sobre el cuerpo Ky A= {v1, v2, . . . , vn} Ventonces, si existen escalares k1, k2, . . . , kn K tal que v =

ni=1 kivi decimos que el

vectorv es una combinacion lineal de los vectores de A.

Ejemplo 12.3.1. Determine si el vectorv= (1, 7, 4) R3 es combinacion lineal de losvectores del conjunto A= {v1, v2} R

3R

dondev1= (1, 3, 2), v2= (2, 1, 1).


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Solucion. Para quev sea combinacion lineal de los vectores del conjuntoA deben existirreales k1, k2 tal que se cumpla v = k1v1+ k2v2. Consideremos v = k1v1+ k2v2.

v= k1v1+ k2v2 (1, 7, 4) =k1(1, 3, 2) + k2(2, 1, 1)

k1+ 2k2= 1

3k1 k2= 7

2k1 k2= 4Aplicando el Teorema de Rouche obtenemos:

C= (A|B) =

1 23 1

2 1

17

4

f21(3)

f31(2)

1 20 5

0 5

1

106

f32(1)

1 20 5

0 0

1

104

f2( 15 )

f3(1

4)

1 20 1

0 0

121

.

Es claro que el sistema no tiene solucion y entonces v no es combinacion lineal de v1, v2.

Definicion 12.3.2. Sea VK un espacio vectorial sobre K y = A V, al conjuntoL(A) formado por todas las combinaciones lineales de vectores de A lo llamamos conjuntogenerado por A y lo denotamos tambien A.

Proposicion 12.3.1. Sea VK un espacio vectorial sobre K y = A V, entoncesA VK.

Demostracion. SeaA = {v1, v2, . . . , vn} V, entonces

1) 0 = 0v1+ 0v2+ + 0vn, as, 0 A.

2) Si v , w A y k K, debemos demostrar que (v+ kw) A.

Como v A entonces v =n

i=1 kivi, como w A entonces w =n

i=1pivi, dedonde (v+ kw) =

ni=1(ki+ kpi)vi A.

A A lo llamamos subespacio generado por A.

Ejemplo 12.3.2. ConsidereA= {v1, v2} R4R

dondev1 = (1, 2, 1, 1), v2 = (1, 1, 2, 2).Determine si los siguientes vectores pertenecen aA.

a) v= (4, 4, 0, 7) b) w= (2, 1, 0, 3) c) r= (2, 6, 8, 8) d) s= (4, 4, 0, 0)e) u= (4, 11, 7, 7) f) t= (1, 4, 5, 5) g) x= (4, 5, 0, 7) h) y= (5, 2, 7, 7)

Solucion.

Naturalmente que resulta largo realizar la verificacion vector a vector, en su reemplazo

determinemos una expresion funcional que cumplan los vectores que pertenecen a A.Sea (a,b,c,d) A entonces, (a,b,c,d) =k1(1, 2, 1, 1) +k2(1, 1, 2, 2), de aqu obte-

nemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

k1 k2= a

2k1+ k2= b

k1+ 2k2= c

k1+ 2k2= d


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Resolviendo el sistema obtenemos: a+ b = 3k1 de donde k1 = a+b

3 . Reemplazando k1en la ecuacion 2k1 +k2 = b obtenemos k2 =

b2a3 , finalmente, reemplazando k1 y k2

en la ecuacion k1 + 2k2 = c = d obtenemos c = a+b

3 + 2b2a

3 = b a. As, A ={(a,b,c,d) / b a= c, c= d}.

Con esto podemos deducir por quev,w, x, y / A y que los otros vectores s pertenecen

al subespacio generado por A.

Ejemplo 12.3.3. ConsidereW =p(x) =a + bx + cx2 + dx3 / c= a d, b= 0

R3[x].

Determine un conjunto generador deW.

Solucion. Si p(x) W entonces W =p(x) =a + bx + cx2 + dx3 / c= a d, b= 0

.

Si imponemos las condiciones de pertenencia a Wentonces el polinomio quedap(x) =a+(ad)x2+dx3, si reordenamos, agrupando por coeficientes obtenemos p(x) =a(1+x2)+d(x2 + x3), a, d Rentonces, esto ultimo dice que los elementos de W son combinacionlineal los polinomios 1 + x2 yx2 + x3, lo cual, es precisamente la definicion de conjuntogenerador, as, un generador de W es 1 + x

2, x2 + x3.12.4. CONJUNTOS LINEALMENTE DEPENDIENTES Y CONJUN-

TOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Considere los vectores v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 3, 4), v3 = (4, 7, 10), es inmediato notarque v3= 2v1+ v2, dicho de otra forma, v3 depende de v1 y de v2, por otro lado podemosescribir 2v1 + v2 v3 = 0; sin embargo, esta no es la unica combinacion lineal de losvectoresv1, v2, v3 que producen al vector nulo, ya que tambien 0v1+ 0v2+ 0v3 = 0; estonos indica la siguiente definicion.

Definicion 12.4.1. Sea VKun espacio vectorial sobre el cuerpo Ky A= {v1, v2, . . . , vn}

V.

a) El conjuntoAes un conjuntolinealmente dependientesi y solo si existe algun escalarki = 0, i = 1, 2, . . . , ntal que

ni=1 kivi = 0.

b) El conjunto A es un conjunto linealmente independiente si y solo sin

i=1 kivi = 0implica que todos los escalares ki son nulos y unicos.

Observacion 12.4.1.

a) Un conjunto es linealmente independiente (L.I) si la unica combinacion lineal que

forma al vector nulo es la combinacion lineal trivial (solo con escalares nulos) o, equi-valentemente, si el sistema lineal homogeneon

i=1 kivi = 0 es un sistema compatibledeterminado.

b) Un conjunto es linealmente dependiente (L.D) si existe alguna combinacion lineal notrivial que forma al vector nulo o, equivalentemente, si el sistema lineal homogeneon

i=1 kivi = 0 es un sistema compatible indeterminado.


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Ejemplo 12.4.1. Determine la dependencia o independencia lineal de los siguientes sub-conjuntos.

a) {(6, 1, 1), (2, 0, 0), (4, 1, 1)} R3R

.

b) {(1, 2, 1), (1, 0, 2), (2, 4, 2)} R3R

.

Solucion.

a) Considere la combinacion lineala(6, 1, 1) + b(2, 0, 0) + c(4, 1, 1) = (0, 0, 0), entoncesse produce el siguiente sistema lineal

6a 2b + 4c= 0

a + c= 0

a + c= 0

Si el sistema tiene solucion unica, la trivial, entonces el conjunto es linealmenteindependiente, en caso contrario, el conjunto es linealmente dependiente. Usando

matrices tenemos

C= (A|B) =

6 2 41 0 1

1 0 1

000

f12

1 0 16 2 4

1 0 1

000

f21(6)

f31(1)

1 0 10 2 2

0 0 0

000

f2(1

2)

1 0 10 1 1

0 0 0

000

.

El conjunto es linealmente dependiente ya que el sistema tiene infinitas solucionesademas de la trivial a = b = c = 0.

Es posible colocar los vectores en una matriz donde, cada vector constituye unafila; se puede demostrar que las filas no nulas de la matriz escalonada equivalente ala original estan asociados a vectores linealmente independientes.

Veamos la tecnica con los mismos vectores. 6 1 12 0 0

4 1 1

f21

2 0 06 1 1

4 1 1

f1( 12 )

1 0 06 1 1

4 1 1

f21(6)

f31(4)

1 0 00 1 1

0 1 1

f23(1)

1 0 00 1 1

0 0 0

Podemos concluir que los 3 vectores originales forman un conjunto linealmente de-pendiente ya que la matriz escalonada solo tiene dos filas no nulas, sin embargo, nosentrega mas informacion; los dos primeros vectores forman un conjunto linealmente

independiente, es decir{(2, 0, 0), (6, 1, 1)}es un conjunto linealmente independien-te.

b) Si los vectores del conjunto {(1, 2, 1), (1, 0, 2), (2, 4, 2)} R3R

los colocamos enuna matriz, obtenemos

1 2 11 0 22 4 2

f21(1)

f31(2)

1 2 10 2 3

0 0 0


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Es inmediato acepta que los tres vectores forman un conjunto linealmente dependien-te, en tanto que, los dos primeros vectores son vectores linealmente independientes.

Ejemplo 12.4.2. Si{u,v,w} VK es L.I. demuestre que{u + v, u v, u 2v+ w} esL.I.

Solucion.

Consideremos la combinacion linealk1(u + v) + k2(u v) + k3(u 2v + w) = 0, debemosdemostrar que k1 = k2= k3= 0, unicos.

k1(u+v)+k2(u v)+k3(u 2v +w) = 0 (k1 +k2 +k3)u+(k1 k2 2k3)v +k3w= 0,de donde se deduce el sistema

k1+ k2+ k3= 0

k1 k2 2k3 = 0

k3= 0

resolviendo el sistema encontramos la solucion unica k1 = k2 = k3 = 0, as,

{u + v, u v, u 2v+ w} es L.I.

Ejemplo 12.4.3. Demuestre que toda combinacion lineal de vectores L.I. es unica.

Solucion.

SeaA = {v1, v2, . . . , vn} VK y v =n

i=1 kivi, debemos demostrar que v es unico.Supongamos quev =

ni=1pivi, entonces

ni=1 kivi =

ni=1pivi, as,

ni=1(pi ki)vi =

0 y, comoA es un conjunto L.I. entoncespi ki = 0, i= 1, 2, . . . , n, luego la combinaciones unica.

Ejemplo 12.4.4. SeaVKun espacio vectorial yS= {v1, v2, . . . , vn} V, entonces

a) Ses L.D. algun vector deS es combinacion lineal de los restantes vectores.

b) Si algun vector deSes el vector nulo entoncesS es L.D.

c) SiSes L.I. yS1 S entoncesS1 es L.I.

d) SiS1 S yS1 es L.D. entoncesS es L.D.

Solucion.

a) ) Si S={v1, v2, . . . , vn} es L.D. entonces algun escalar es distinto de cero en laecuacion

ni=1 kivi= 0. Supongamos quekp = 0 para algunp = 1, 2, . . . , n, entonces

podemos despejarvp y obtenemos

vp= k1

kpv

1

kp1

kpvp

1

kp+1

kpvp

+1

kn

kpvn.

) Supongamos que el vectorvp es combinacion lineal de los restantes vectores deSentoncesvp = a1v1+ a2v2+ + ap1vp1+ ap+1vp+1+ + anvn, de esto ultimoobtenemos

a1v1+ a2v2+ + ap1vp1+ (1)vp+ ap+1vp+1+ + anvn = 0,

por lo tanto el conjunto S= {v1, v2, . . . , vn} es L.D. ya que ap= 1 = 0.


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b) Supongamos quevp= 0 0v1+ 0v2+ + 0vp1+ 3vp+ 0vp+1+ + 0vn = 0, as,S= {v1, v2, . . . , vn} es L.D.

c) SeaS1= {v1, v2, . . . , vp} Sy consideremos la combinacion lineala1v1+ +apvp=0, debemos demostrar que la ecuacion tiene solucion unica a1 = = ap = 0. Siagregamos n p ceros tenemos a1v1+ + apvp + 0vp+1 + + 0vn = 0; como

esta ultima combinacion lineal es de vectores linealmente independientes entoncesa1= = ap = 0, unicos, de donde S1 es un conjunto linealmente independiente.

d) Sea S1 = {v1, v2, . . . , vp} S. Si S1 es linealmente dependiente entonces, en lacombinacion lineal a1v1 +a2v2 + + apvp = 0 existe algun escalar no nulo. Siagregamos ceros a la combinacion precedente entonces a1v1+ a2v2+ + apvp+0vp+1+ + 0vn = 0 y se mantiene la existencia de un escalar no nulo, as entonces,Ses linealmente dependiente.

12.5. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Definicion 12.5.1. Sea VKun espacio vectorial. Decimos que el conjunto B = {v1, v2, . . . , vn}es una base de V si y solo si

a) B= V.

b) B es un conjunto linealmente independiente.

Ejemplo 12.5.1. Verifique que

1) E= {e1= (1, 0), e2= (0, 1)} es base deR2R

(base canonica).

2) B = {v1= (1, 5), v2 = (0, 3)} es base deR2R

.

Solucion.

1) Debemos demostrar que: a) E= R2, b)E es linealmente independiente.

a) Sea v = (x, y) R2; es inmediato concluir que v = (x, y) = xE1+ yE2, as,E= R2.

b) Para probar que E es linealmente independiente basta con usar la expresionmatricial ( 1 00 1 ), lo que indica, inmediatamente, que Ees linealmente indepen-diente.

Por a) y b) concluimos que Ees una base de R2.

2) Debemos demostrar que a)B= R2

, b)B es linealmente independiente.a) Seav = (x, y) R2, queremos determinark1, k2 Rtal que (x, y) =k1(1, 5) +

k2(0, 3). El sistema lineal que se produce esk1= x

5k1+ 3k2= y

Es comodo concluir que k1= x, k2= y5x

3 ; as, (x, y) =x(1, 5) + y5x

3 (0, 3).


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b) Como ( 1 50 3 ) esta escalonado entonces B = {v1= (1, 5), v2= (0, 3)} es lineal-mente independiente.

Ejemplo 12.5.2. Sea VK un espacio vectorial. Si A = {a,b,c} VK es base de Vdemuestre queN={a + b + c,a,a + c} tambien es base deV.

Solucion. Consideremos la combinacion linealA(a + b + c) + Ba + C(a + c) = 0, debemosdemostrar que la solucion unica es A = B = C= 0.

Dicha combinacion lineal podemos escribirla como a(A + B+ C) + bA + c(A + C) = 0y dado que el conjunto {a,b,c} es linealmente independiente, deducimos el sistema

A + B+ C= 0

A= 0

A + C= 0

este sistema tiene solucion unica A = B = C= 0 por lo tanto, Nes un conjunto lineal-

mente independiente.Veamos ahora que N= V. Basta con demostrar que: si v V entonces v N.Si v V entonces existen escalares k1, k2, k3 Ktal que v = k1a+k2b+k3c; como

queremos mostrar que existen escalaresp1, p2, p3 Ktal quev = p1(a + b) +p2a +p3(a +c)entonces procedemos como sigue.

Sean a + b= w1, a= w2, a + c= w3 entonces concluimos que a = w2, b= w1 w2, c=w3 w2, reemplazando en v = k1a+ k2b+ k3c obtenemos v = k1w2 + k2(w1 w2) +k3(w3 w2), esto ultimo lo podemos reagrupar en terminos de los w, la expresion quedav= w1(k2 k3) +w2(k1 k2)+ w3k3; es decir,v = (k2 k3)(a+b)+ (k1 k2)a+ k3(a+ c) =

p1(a + b) +p2a +p3(a + c).

Con algo mas de teora este problema se soluciona con mas eficiencia.

Proposicion 12.5.1. B ={v1, v2, . . . , vn} es base de VK todo vector deV se escribede manera unica como combinacion de los elementos deB.

Demostracion.

) Como B es base de V, en particular genera a V, entonces; todo vector de V seescribe como combinacion de los elementos de V.

Debemos demostrar, ahora, la unicidad de esta expresion.

Sea v V y escribamos v como v =n

i=1 aivi tanto como v =n

i=1 kivi; debemosdemostrar queai = ki.

Si restamos los vectores obtenemos

ni=1(ai ki)vi = 0, de donde, como B es unconjunto linealmente independiente, concluimos que ai = ki.

) Como todo vector de V se escribe como combinacion lineal de los vectores de BentoncesB= V. Veamos ahora que B es un conjunto linealmente independiente.

Consideremos la combinacion linealn

i=1 aivi = 0; como el vector nulo tambien sepuede escribir como

ni=10vi = 0 entonces, por la unicidad de la expresion obtene-

mos ai = 0.


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Proposicion 12.5.2. SeaVun espacio vectorial sobreK y{v1, v2, . . . , vn} un conjuntomaximo de elementos linealmente independientes, entonces{v1, v2, . . . , vn} es base deV.

Demostracion. Debemos demostrar que {v1, v2, . . . , vn}= V.Seaw V entonces{w, v1, v2, . . . , vn}es un conjunto linealmente dependiente, enton-

ces en la combinacion linealx0w + x1v1 + x2v2 + + xnvn = 0 existe algun escalarxi = 0,i= 0, 1, 2, . . . , n.

Necesariamentex0 = 0 ya que si as no es, es decir si x0 = 0 entonces la combinacionlineal queda x1v1 +x2v2 + + xnvn = 0 con algun escalar no nulo; esto ultimo esuna contradiccion ya que{v1, v2, . . . , vn}es linealmente independiente. Entonces podemosdespejar w de la combinacion lineal x0w+ x1v1+ x2v2+ + xnvn = 0 obteniendo

w= x1x0

v1x2x0

v2 xnx0

vn;

esto indica que w {v1, v2, . . . , vn}, lo que completa la demostracion.

Ejemplo 12.5.3. Sea VK un espacio vectorial. Si A = {a,b,c} VK es base de Vdemuestre queN={a + b + c,a,a + c} tambien es base deV.

Solucion. Consideremos la combinacion linealA(a + b + c) + Ba + C(a + c) = 0, debemosdemostrar que la solucion unica es A = B = C= 0.

Dicha combinacion lineal podemos escribirla como a(A + B+ C) + bA + c(A + C) = 0y dado que el conjunto {a,b,c} es linealmente independiente, deducimos el sistema

A + B+ C= 0

A= 0A + C= 0

este sistema tiene solucion unica A = B = C= 0 por lo tanto, Nes un conjunto lineal-mente independiente; como es un conjunto maximo de vectores linealmente independientesentonces es base.

Observe que este problema ya fue solucionado anteriormente

12.6. DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Demostraremos que dos bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cantidad

de elementos y definiremos como dimension del espacio vectorial a esa cantidad comun.Teorema 12.6.1. SeaVun espacio vectorial sobre el cuerpo K. Si{v1, v2, . . . , vn}es basedeV y{w1, w2, . . . , wm} V es un conjunto linealmente independiente entoncesm n.

El Teorema dice: si V es un espacio vectorial con una base que tiene n elementosy {w1, w2, . . . , wm} V es tal que m > n entonces {w1, w2, . . . , wm} es un conjuntolinealmente dependiente. El Teorema se demuestra usando la contrapositiva planteada.


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Demostracion. Sea {v1, v2, . . . , vn} una base de V entonces

w1 = a1v1+ a2v2+ + anvn, (12.1)

ya que {v1, v2, . . . , vn} es base de V.Si ai = 0 i= 1, 2, . . . , nentonces w1= 0 y {w1, w2, . . . , wm} V es L.D.

Si algun a1 = 0, suponiendo, sin perder generalidad, que a1 = 0 entonces de (12.1)podemos despejarv1obteniendov1=

1a1

w1 a2a1

v2 a3a1

v3 . . .ana1

vn, as entonces podemosconcluir que{w1, v2, v3, . . . , vn}contiene av1y, naturalmente av2, v3, . . . , vn; deducimosque {w1, v2, v3, . . . , vn}= V.

As, existen c1, c2, . . . , cn Ktal que

w2 = c1w1+ c2v2+ c3v3+ + cnvn. (12.2)

Si ci = 0 i= 1, 2, . . . , nentonces w2= 0 y {w1, w2, . . . , wm} V es L.D.Si algun ci = 0, suponiendo que c2 = 0, despejando v2 de la (12.2) conseguimos

v2= 1

c2 w2

c1c2 w

1c3c2 v

3 cnc2 v

n

y, de manera analoga obtenemos que {w1, w2, v3, . . . , vn}= V.El proceso de reemplazo de los vipor los winos lleva a concluir que {w1, w2, . . . , wn}=

V y como quedan todava wn+1, wn+2, . . . , wm {w1, w2, . . . , wm} V entonces{w1, w2, . . . , wm} V es L.D.

Corolario 12.6.1. Si VK es un espacio vectorial que tiene una base con n elementos yotra base conm elementos entoncesm= n.

Demostracion. Sean A = {v1, v2, . . . , vn}, B = {w1, w2, . . . , wm} dos bases del espaciovectorial VK entonces m n, considerando a A como base y a B como un conjuntolinealmente independiente; ademas, n m, considerando a B como base y a A como unconjunto linealmente independiente; entonces m n n m, as, m = n.

Definicion 12.6.1. Sea VKun espacio vectorial tal que V ={0}, entonces definimos ladimension de V, denotada dim(V), como la cantidad de elementos que tiene una base delespacio. Si V ={0} entonces dim(V) = 0.

Ejemplo 12.6.1.

1) dim(R2R

) = 2 ya queE= {e1= (1, 0), e2= (0, 1)} es la base canonica deR2R

.

2) dim(M(2,R)R) = 4 ya que la base canonica para este espacio vectorial es:

E=

e1 =

1 00 1

, e2=

0 10 0

, e3=

0 01 0

, e4=

0 00 1


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Ejemplo 12.6.2. SeaA = {(1, 0, 5), (0, 1, 1)}yB = {(x,y ,z) / x 2y+ z = 0}subes-pacio vectorial deR3

R. Determine una base paraA B.

Solucion. Sea (x,y ,z) A entonces a, b R tal que (x,y ,z) =a(1, 0, 5) +b(0, 1, 1),esta ecuacion genera el sistema

x= a

y= b

z = 5a + b

Reemplazando a y b en la ultima ecuacion obtenemos z = 5x + y de donde A ={(x,y ,z) / 5x y+ z= 0}.

Ahora, si (x,y ,z) A B entonces el tro debe satisfacer el sistema5x y+ z = 0

x 2y+ z = 0

Dado que la solucion del sistema es Sol = ( 19

z, 4

9

z, z / z R entonces, un ge-nerador de A B es, por ejemplo, {(1, 4, 9)} que, como es un conjunto linealmenteindependiente nos indica que A B tiene dimension 1.

12.7. EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio 12.1. Decida si el subconjunto del espacio vectorial dado es o no subespacio

i) A=(

a bc d

/ a + b= 0

M(2,R).

ii) B = {(x,y ,z) / z 2y= 2} R3R

.

Solucion.

i) A M(2, R) ya que

a) 0 =

0 00 0

A.

b) Si

v=

a cb d

, w=

e gf h

A, k R

entonces

kv+ w= ka + e kc + gkb + f kd + h

Aesto ultimo dado que (ka + e) + (kc + g) = 0. Note que (a + c) = (e + g) = 0.

ii) B no es subespacio vectorial de R3R

ya que (0, 0, 0) /B.

Ejercicio 12.2. Sea v / {q,w,z}. Demuestre que {v,q,w,z} VK es linealmenteindependiente si {q,w,z} es un conjunto linealmente independiente.


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Solucion.

Considere av+bq+ cw+dz = 0; a,b, c, d K. Debemos demostrar que la ecuaciontiene solucion unicaa = b = c = d = 0.

Se cumple quea = 0, ya que si no es as, es decir, sia = 0 entonces podramos despejarel vector v; tendramos v = b

aq c

aw d

az; esto nos indicara que v {q,w,z}lo que

es una contradiccion con la hipotesis; as entonces a = 0.Comoa = 0 entonces la combinacion original quedabq+ cw + dz= 0, como el conjunto{q,w,z} es linealmente independiente, entonces la unica solucion de la ecuacion es b =c= d = 0, de donde, finalmente la unica solucion es a = b = c = d = 0.

Ejercicio 12.3. Demuestre que A= {(2, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 0, 3)} R3R

es base.

Solucion. Se demuestra que

2 1 00 1 21 0 3

es equivalente fila con

1 0 30 1 60 0 8

, de donde, el conjunto

A= {(2, 1, 0), (0, 1, 2), (1, 0, 3)} es linealmente independiente. Como ademas es un conjuntomaximal L.I. entonces es base de R3

R.

Ejercicio 12.4. Sea

A=

2a a a0 c 0

0 0 c

/ a , c R

M(3, R).

Determine la dimension de A.

Solucion.

v=2a a a0 c 0

0 0 c

A 2a a a0 0 00 0 0

+0 0 00 c 00 0 c

A a2 1 10 0 00 0 0

+c0 0 00 1 00 0 1

A,de donde concluimos que

A=

2 1 10 0 0

0 0 0

,0 0 00 1 0

0 0 1

.

Solo falta ver si el conjunto generador es o no linealmente independiente.Considere la ecuacion

a

2 1 10 0 00 0 0

+ b0 0 00 1 0

0 0 1

=0 0 00 0 0

0 0 0

,se deduce que la unica solucion de la ecuacion planteada esa= b = 0, por tanto el conjuntoes linealmente independiente. Como el conjunto es una base de Aentonces dim(A) = 2.

Ejercicio 12.5. Sean A = {(1, 2, 0), (0, 2, 1)}, B = {(2, 2, 1), (1, 6, 2)} R3R

.


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a) Encuentre una expresion funcional para los elementos de A.

b) Demuestre que A= B.

Solucion.

a) Sea (x,y ,z) A, entonces existen escalares a, b tal que (x,y ,z) = a(1, 2, 0) +b(0, 2, 1), de esto deducimos el sistema

x= a

y = 2a + 2b

z = b

La segunda ecuacion del sistema, al expresarla en funcion dex, y ,zqueday = 2x+2zde donde, A= {(x,y ,z) / y= 2x + 2z; x, z R}.

b) De manera analoga al caso a) tenemos: si (p, q, r) B, entonces existen escalaresa, b tales que (p, q, r) =a(2, 2, 1) + b(1, 6, 2). El sistema es ahora

p= 2a + b

q= 2a + 6b

r= a + 2b

combinando las dos primeras ecuaciones del sistema obtenemos 5b = q p, luego,b = qp5 ; si esta expresion la reemplazamos en la tercera ecuacion, (despejando

all la variable a) tenemos, a= 2b r = 2q2p5 r = 2q2p5r

5 ; estamos ahora encondicion de encontrar una relacion entre p, q,r; para ello basta con reemplazara, ben la ecuacion q= 2a + 6b.

La relacion que se obtiene esq= 2p+2r; as, B= {(p, q, r) / q= 2p + 2r; p, r R}.Se concluye que A= B.

Ejercicio 12.6. SeaW =p(x) =ax2 + bx + c / 2a + c= b

R2(x).

a) Demuestre que Wes subespacio de R2(x).

b) Determine dim(W).

c) Extienda la base de Wa una base de R2(x).

Solucion.

a) i) 0 = 0x2 + 0x + 0 Wya que 2 0 + 0 = 0, as, 0 W.

ii) Si p(x) = ax2 +bx + c, q(x) = dx2 +ex + f W entonces p(x) +q(x) W ya que p(x) +q(x) = (a+ d)x2 + (b+ e)x+ (c+ f) satisface la relacion2(a + d) + (c + f) = (b + e).

iii) Si p(x) =ax2 + bx + c W, k Kentoncesk p(x) =kax2 + kbx + kc W yaque 2ka + kc = kb.

Por i), ii), iii)Wes subespacio vectorial de R2(x).


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b) Sip(x) =ax2 +bx+c Wentoncesp(x) =ax2 +(2a+c)x+c= a(x2 +2x)+b(x+1)as,

x2 + 2x, x + 1

= W. Como

x2 + 2x, x + 1

es linealmente independiente,

entonces

x2 + 2x, x + 1

es base de W y dim(W) = 2.

c) Como la dimension de R2(x) es 3 entonces debemos agregar un vector a la base deWtal que los tres vectores sean linealmente independientes, tal vector, por ejemploes el 1, as,

x2 + 2x, x + 1, 1

es base de R2(x).

Ejercicio 12.7. Sea A= {(1, 0, 5), (0, 1, 1)} y B ={(x,y ,z) / x 2y+ z= 0} subes-pacio vectorial de R3

R. Determine una base para A B.

Solucion. Sea (x,y ,z) A entonces a, b R tal que (x,y ,z) =a(1, 0, 5) +b(0, 1, 1),esta ecuacion genera el sistema

x= a

y= b

z= 5a + bReemplazando a y b en la ultima ecuacion obtenemos z = 5x + y de donde A ={(x,y ,z) / 5x y+ z = 0}.

Ahora, si (x,y ,z) A B entonces el tro debe satisfacer el sistema5x y+ z= 0

x 2y+ z= 0

Dado que la solucion del sistema es Sol=(

19 z,49 z, z

/ z R

entonces, un generador

deA B es, por ejemplo, {(1, 4, 9)}que, como es un conjunto linealmente independientenos indica que A B tiene dimension 1.

12.8. EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 12.1. Considere el conjunto formado por los polinomios en la indeterminadax, con grado a lo mas dos, definidos en el conjunto de los numeros reales, R2(x), con lasuma y ponderacion usuales. Demuestre que (R2(x), +, , R) es un espacio vectorial.

Ejercicio 12.2. Sean U yW espacios vectoriales sobre R; si definimos V =U Wy lasoperaciones (u, w) + (u, w) = (u + u, w + w); k(u, w) = (ku,kw), k R. Demuestre queVes espacio vectorial sobre R.

Ejercicio 12.3. Sea R2 y considere las siguientes operaciones: (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d);k(a, b) = (k2a,kb), k R. Es R2 sobre R un espacio vectorial. Justifique.

Ejercicio 12.4. Sea V = {(a, b) / a , b R}. Demuestre que (V, +, , R) es un espaciovectorial donde (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d); k(a, b) = (ak, bk), k R.


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Ejercicio 12.5. Sea R2 y considere las siguientes operaciones: (a, b)+(c, d) = (a+d, b+c);k(a, b) = (ka,kb), k R. Es R2 sobre R un espacio vectorial. Justifique.

Ejercicio 12.6. Sea R2 y considere las siguientes operaciones: (a, b) + (c, d) = (0, 0);

k(a, b) = (ka,kb), kR

. EsR

2

sobreR

un espacio vectorial. Justifique.

Ejercicio 12.7. Definimos los siguientes subconjuntos de R3.

a) U={(a,b,c) / a + b + c 1}.

b) W =

(x,y ,z) / z= 0 x2 + y2 0

.

c) P ={(x,y ,z) / x + 2y = 0 y+ z= 8}.

Es U, W, Psubespacio vectorial de R3R

?. Justifique.

Ejercicio 12.8. Si S1 VK y S2 VK demuestre que S1 S2 VK.

Ejercicio 12.9. Determine si los siguientes subconjuntos de R3R

son subespacios.

a) A= {(x,y ,z) / x= 0}.

b) B = {(x,y ,z) / z 2y= 0}.

c) C= {(x,y ,z) / z 2y= 2}.

d) D= (a,b,c) / a2 + b2 + c2 = 0.Ejercicio 12.10. SeaV =M(2,R) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden2 sobre R. Cuales de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial de V?. Justifique.

a) A=(

0 ab 0

/ a , b R

.

b) B =(

1 ab 0

/ a , b R

.

c) C= {A V / det(A) = 0}.

d) D= ( a bc d / a + b= 0.Ejercicio 12.11. Sea V = M(n,R) el espacio vectorial de las matrices cuadradas deorden n sobre R. Cuales de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial de V?.Justifique.

a) A=

A V / A= 3At

.

b) A= {A V / AC= CA, CV}.


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c) C={A V / Aes simetrica}.

Ejercicio 12.12. Sea V = M(2, 3, R) el espacio vectorial de las matrices cuadradas deorden 2 por 3 sobre R. Cuales de los siguientes subconjuntos es subespacio vectorial deV?. Justifique.

a) A=(

0 0 cd e f

/ c= d + f

.

b) B =(

a b cd 0 0

/ d >0

.

Ejercicio 12.13. Determine cual(es) de los siguientes conjuntos dados es o no un conjuntolinealmente independiente.

a) A= {(1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 2), (0, 1, 0, 0)} R4R

.

b) B = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} R4R

.

c) C=

t3

4t2

+ 2t + 3, t3

+ 2t2

4t + 1, 2t3

t2

+ 3t 5

R3(t).

Ejercicio 12.14. Sea A = {f(t), g(t), h(t)} V donde V es el espacio vectorial R2(t)sobre R, tal que f(t) = 2t2+ 3t + 1, g(t) =t

2 + at + 2, h(t) = 2t2 + 3t + a 5. Determinea Rpara que A sea un conjunto linealmente independiente.

Ejercicio 12.15. Sea A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} R3R

. Demuestre que A esun conjunto linealmente dependiente y que cualquier subconjunto de A con tres elementoses un conjunto linealmente independiente.

Ejercicio 12.16. Considere el espacio vectorial VK y S V un conjunto linealmenteindependiente. Siv / S demuestre queS{v} es un conjunto linealmente independiente.

Ejercicio 12.17. Demuestre que el conjunto A = {(1, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 3, 2)} formauna base para R3

Ry exprese cada vector de la base canonica como combinacion lineal de

los vectores de la base A.

Ejercicio 12.18. Si A = {v1, v2, . . . , vn} es una base del espacio vectorial VKdemuestreque B = {v1+ v2+ v3, v2+ v3, v3}tambien es base del espacio.

Ejercicio 12.19. Encuentre una base del conjunto solucion del sistema

S:

2x + y+ 3z= 0

x + 2y= 0

y+ z = 0

y determine su dimension.


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Ejercicio 12.20. Sea W =p(x) =ax2 + bx + c / 2a + c= b

R2(x).



c) Extienda la base de Wa una base deR

2(x).

Ejercicio 12.21. Demuestre que

A= {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} y B = {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (0, 0, 2)}

son base de R3R

.

Ejercicio 12.22. SeaA= {(x,y ,z) / 3x 2y z 4w= 0 x + y 2z 3w= 0} R4.

a) Demuestre que A R4R

.

b) Determine una base de A.

c) Determine la dimension de A.

Ejercicio 12.23. Demuestre que A =

a 2c 2bb 2a 2cc b a

/ a,b, c R

es subespacio vectorial de

M(3, R) sobre R; determine ademas, la dimension de A.

Ejercicio 12.24. Para que valor(es) de a R:

a) A= {(2, 3, 4), (6, 7, 8), (4, 5 a, 4)} es base de R3R?.

b) B =

( 1 10 1 ) , ( 1 21 ) ,(

1 1a+1 7

, ( 0 11 3 )

es base de M(2,R)R?.

Ejercicio 12.25. Sea W =p(x) =a + (a b)x2 + bx3

R3(x).



c) Extienda la base de Wa una base de R3(x).

Ejercicio 12.26. SeanU={(x,y ,z) / x + 3y 5z= 0},W ={(x,y ,z) / x y+ 2z = 0}dos subconjuntos de R3.

a) Demuestre que U, W R3R

.

b) Encuentre una base para cada subespacio.

c) Encuentre una base paraU W.


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d) Extienda la base encontrada en c) a una base de R3R

.

Ejercicio 12.27. SeaA = {(1, 2, 1, 1), (1, 1, 2, 2)} R4R

.

a) v1= (3, 2, 4, 5), v2= (1, 3, 2, 2), v3= (3, 3, 6, 6) A?. Justifique.

b) Encuentre una expresion funcional para los vectores que pertenecen al espacio gene-rado por el conjunto A.

Ejercicio 12.28. SeaA = {(1, 0, 1), (0, 1, 2)}y B = {(x,y ,z) / 5x y+ z = 0}subes-pacio vectorial de R3

R. Determine una base para A B.

capitulo xii espacios vectoriales

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