1 UNIVE RSIDA D TE CNICAP A RTICUL A R DEL OJA . La Universidad Catlica de Loja Abr i l -Agost o M A TE M TI CA S CA P I TUL O I D o cente:I ng.Jo sH u r ta doL O JA - E C U A D O R 2 n nd di ic ce e Pg.C Ca ap p t tu ul lo o I I 1. VECTORES EN EL PLANO 1.1Definicin de un vector..3 1.2Notacin.......3 1.3 Tipo de Vectores......4 1.4 Operaciones con vectores 1.4.1 Adicin y Sustraccinentrevectores...5 1.4.2 Producto de un vector por un escalar.6 1.4.3 Producto escalar de dos vectores.7 1.4.4 Producto Punto.7 1.4.5Producto Cruz8 1.4.6Mdulo de un vector..8 1.5 Ejercicios Resueltos.9 1.6 Ejercicios Resueltos de Aplicacin...18 1.7 Deber para el capitulo...20 3 C Ca ap p t tu ul lo o I I V VE EC CT TO OR RE ES S E EN N E EL L P PL LA AN NO O. . GEOMETRIA DE PARES ORDENADOS VECTOR: Esunsegmentoderectadirigidaenelespacioquecuentaconorigen, direccin, modulo y sentido. Origen.-El punto exacto sobre el que acta el vector. Direccin.-Viene dada por la orientacin en el espacio de la recta que lo contiene. Modulo.-Eslalongitudotamaodelvector.Parahallarlaespreciso conocerelorigenyelextremodelvector,puesparasaberculeselmdulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Sentido.-Seindicamedianteunapuntadeflechasituadaenelextremo del vector, indicando hacia qu lado de la lnea de accin se dirige el vector. NOTACION: Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en Modulo 4 cursiva.Enlostextosmanuscritos,lasmagnitudesvectorialesserepresentan colocando una flechita sobre la letra que designa su mdulo. ...representan,respectivamente,lasmagnitudesvectoriales demdulos A, a, ,... Elmdulo deunamagnitudvectorial tambin se representaencerrandoentrebarraslanotacincorrespondienteal vector:... En los textos manuscritos escribiramos:... para los vectores y ... o... para los mdulos. Ademsdeestasconvencioneslosvectoresunitarioscuyomduloesla unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, ( ) TIPO DE VECTORES: Vectores Libres.- No estn aplicados en ningn punto en particular. Vectores Deslizantes.- su punto de aplicacin puede deslizar a lolargo de su recta de accin. Vectores Fijos o Ligados.- Estn aplicados en un punto en particular. Vectores Concurrentes.- Sus rectas de accin concurren en un punto propio o impropio (paralelos). Vectores Opuestos.- Vectores de igual magnitud, pero direccin contraria. Vectores Colineales.- Los vectores que comparten una misma recta de accin. VectoresCoplanarios.-Losvectorescuyasrectasdeaccinsoncoplanarias (situadas en un mismo plano). Vector Ordinario.- Es aquel que tiene su origen en cero. Vector Unitario.-Es aquel que tiene como modulo la unidad. Vector Escalares.- Son aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas pormedio deunnmeroyla correspondienteunidad. Ejemplo de ello son: La masa, temperatura, presin, densidad, etc. VectorVectorial.-Sonmagnitudesqueparaestardeterminadasprecisande un valor numrico, una direccin, un sentido y un punto de aplicacin. 5 Hayquetenermuyencuentaelsistemadereferenciadelosvectores,que estarformadoporunorigenytresejesperpendiculares.Estesistemade referencia permite fijar la posicin de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia queusaremos, comonormageneral, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. OPERACIN ENTRE VECTORES. ADICION Y SUSTRACCION: ( ) ( )( ) ) , ( ) , ( ,, , ,2 1 2 1 2 2 1 1 2 122 2 221 1 1y y x x y x y x v ventonces R y x v y R y x v Si+ + = + = +e = e = Mtododelparalelogramo.-Consisteendisponergrficamentelosdos vectoresdemaneraquelosorgenesdeamboscoincidanenunpunto, completandounparalelogramotrazandorectasparalelasacadaunodelos vectores,enelextremodelotro.Elresultadodelasumaesladiagonaldel paralelogramo que parte del origen comn de ambos vectores. b a R + = 6 Mtodoanalticoparalasumaydiferenciadevectores.-Dadosdos vectores libres ( ) k b j b i b bk a j a i a az y xz y x+ + =+ + = ) ( El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma ( ) k b j b i b k a j a i a b az y x z y x+ + + + = ) ( Ordenando las componentes, ( )k b i a j b a i b a b az z y y x x + = ) ( ) ( Conocidos los mdulos de dos vectores dados, a y b, as como el ngulo que forman entre s, el mdulo de b a es: u - + + = Cos ab b a b a 22 2Ley de los Cosenos PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR: Elproductodeunvectorporunescalaresotrovectorcuyomduloesel producto del escalar por el mdulo del vector, cuya direccin es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo. Elresultadodemultiplicarunescalarkporunvectorv,expresado analticamente por kv, es otro vector con las siguientes caractersticas: 1. Tiene la misma direccin que v. 2.Susentidocoincideconeldev,sikesunnmeropositivo,yesel opuesto, si k es un nmero negativo. 3.Elmdulo eskveceslalongitud que representa elmdulode v.(Sik es 0 el resultado es el vector nulo). Propiedades 1.- Conmutativa: k v = v k. 2.- Distributiva: k (v + u) = (k v) + (k u). 7 3.- Elemento Neutro: 1 v = v. 4.- Elemento Simtrico: -1 v = - v. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: Elproductoescalardedosvectoresseobtienedelasumadelosproductos formadosporlascomponentesdeunoyotrovector.Esdecir,dadosdos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas. Propiedades Conmutativa : r v = v r Distributiva : r ( v + u ) = r v + r u Asociativa : ( k r ) v = k ( r v ) = r ( k v ) siendo k escalar. PRODUCTO PUNTO: Elproductopuntoesunaoperacinentrevectoresquedevuelveunescalar. Estaoperacinesintroducidaparaexpresaralgebraicamentelamagnitudo norma del vector que resulta de la proyeccin de b sobre a multiplicado por la magnitud de a. El producto punto de dos vectores A y B, denotado por A*B, se define como (i) Si A=(a1,a2) y B=(b1,b2) son dos vectores de V2, entonces: A*B=a1b1+a2b2 (ii) Si A=(a1,a2,a3) y B=(b1,b2,b3) son dos vectores de V3,entonces : A*B=a1b1+a2b2+a3b3 PropiedadesConsideremos los vectoresR y R u u vne e , , entonces

( ) ) * ( ) ( * . 3* * . 20 0 * . 1u v u vu v v uv === 8 Observacin: No hay propiedad asociativa pues) * ( * u u v no tiene sentido dado queu u *es un nmero real.PRODUCTO CRUZ: Multiplicacin de dos vectores para producir un vector.Elproductocruzesunaoperacinvectorialpara vectores en V3, tiene aplicaciones en la geometra, el movimientoplanetario,laelectricidadyel magnetismo y la mecnica. SiAyBsondosvectoresnoparalelos,entoncesla representacindelosdosvectoresconelmismo puntoinicial determinaunplano. SilosvectoresAyB (generalmente escrita como AB) es unvector cuyamagnitud es |A||B|sen, en donde|A|y|B| son las magnitudes de A y B yes el ngulo entre A y B. La direccin del vector resultanteapuntaenladireccinenlaqueuntornillodecuerdaderechase moveraalpasardelvectorAalvectorB.Seencuentraenngulorectocon respecto a ambos, A y B. A=(a1,a2,a3)yB=(b1,b2,b3)entonceselproductocruzdeA*B,estdado por: A*B= (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1) MODULO DE UN VECTOR: Grficamenteesladistanciaqueexisteentresuorigenysuextremo,yse representa por: a a = Paracadavectorv=(x,y)enR2,existeunescalarnicollamadonormao magnitud de v la cual se define como: 2 2y x v + =La magnitud de cualquier vector siempre ser positiva. 9 EJERCICIOS RESUELTOS: DadosS(-1,4),T(3,2)yU(-4,-1).Encuentreunvectorvparaelcualla ecuacin dada sea verdadera. ) 2 , 4 (0 ) 2 , 4 () 2 , 3 ( ) 4 , 1 ( == = VVVT V ST V S Para qu valores reales de (x, y) se tiene que (x+y, x-y) = (5,3)? Realcelo analticamente. 41 555= = == +xxy xy x 12 25 333= = + = = = yyy yx yy x Determine para que nmeros reales la operacin es valida.

12 33 2= == +xxx 12 25 7 2) 3 , 5 ( ) 2 , 7 2 (== = = + xxxx x 10 CalculeladistanciaqueseparaalospuntosSyTyexpresesurespuesta de la forma ms sencilla. ) 2 , 2 ( SY ) 2 , 2 ( T Demuestre que los vrtices R (0,1), S (8,-7) y T (1,-6) forman un tringulo Issceles. 12864 64) 1 7 ( ) 0 8 (2 2=+ = + =RSRSRS 501 49) 7 6 ( ) 8 1 (2 2=+ =+ + =STSTST

5049 1) 1 6 ( ) 0 1 (2 2=+ = + =RTRTRT 4 16) 2 ( 4 ) 2 ( 4) 2 2 ( ) 2 2 () 2 2 ( ) 2 2 (2 22 2 = c+ = c + = c+ + + = cSTSTSTST 11 UselaformuladeladistanciaparademostrarqueRTeselvector resultante dado los puntos R(-2,-5),S(1,-1) y T(4,3). Calcule cual es el vector unidad que tiene la misma direccin del vectorv (3,6). 4536 9) 6 ( ) 3 (2 22 2=+ =+ =+ =vvvy x v

||.|

\|=||.|

\|=456, 453,vvyvxv Calcule el vector unidad de A( 3/5, 4/5) 1252554532 22 2==|.|

\|+ |.|

\|=+ =AAAY X A 1010064 36) 5 3 ( ) 2 4 (2 2==+ =+ + + =RTRTRTRT56 1 9) 1 3 ( ) 1 4 (2 2=+ =+ + =STSTST516 9) 5 1 ( ) 2 1 (2 2=+ =+ + + =RSRSRS 12 Determinelamedidaenradianesdelngulodelosvectores:A(-1,1), B (0,-5) y C (1,-2).

Calcule la magnitud y direccin del vector (-6,-8). 1010064 36==+ =vvv

10 2231061061 = u|.|

\| = u= uCosCos = u= u= u= u27005022TanTanYXTan4313511111 = u = u= u= uTanTanYXTan = u = u= u= u56 , 2965 , 02133TanTanYXTan 13 Un vector (x, y) cuya magnitud es 5 y tiene la misma direccin que (3,7). 5849 9) 7 ( ) 3 (2 2=+ =+ =vvv 135 * 3585 * 7= u= uCosSen)5835 * 58,5815 * 58( = v Calculeelvalordexoytalqueelprimervectorseaa)Paralelo, b) Perpendicular al segundo. (X, 5) (2,9) a)3591010 929 5====xxxxb)24545 292 5== =xxx Un vector (x, y) cuyamagnitud es igual a la de (-5,12) y cuya direccin es igual a la de (-2,2). 13144 25) 12 ( ) 5 (8) 2 ( ) 2 (2 22 2=+ =+ ==+ =mmmvv 8282= u= uCosSen

|.|

\| =|.|

\| =826,826826,82 * 13vv 14 Encuentre el vector de x o y tal que el primer vector sea perpendiculares al segundo. (7,-y) (3,-21) 121 210 21 21 = == +yyy 0 00 21 210 ) 21 * 1 ( ) 3 * 7 (== = +Son Perpendiculares// Calcule u*v, si: 60430221====mvmu 0 *)) 30 ( ), 30 ( * 2 ()) 30 ( ), 30 ( ( 2===v uSen Cos uu Sen Cos

)) 60 ( 4 ), 60 ( * 4 ()) 60 ( ), 60 ( ( 4Sen Cos vv Sen Cos== 3 4 928 , 6 *) 46 , 3 * 1 ( ) 2 * 7 , 1 ( *)) 60 ( 4 ) 30 ( * 2 ( )) 60 ( 4 ) 30 ( * 2 ( * =+ =+ + =v uv uSen Sen os Cos v u Demuestre que si u es perpendicular a v, entonces u es perpendicular a v. 0 0) ( ) () , )( , ( ) , ( * ) , (* *2 1 2 1 2 1 2 12 2 1 1 2 2 1 1= = + = =y y x x y y x xy x y x y x y xv u v uSon Perpendiculares 15 Calcule la medida del ngulo entre dos vectores dados u(3i,4j) y v(5i,12j) ( )0 3 120507 , 0 ) (6548 15) (013 * 5) 12 , 5 ( * 4 , 3* ) (**) () (' = =|.|

\| == |.|

\| ||.|

\|=||.|

\|=CosCosCosv uv uCosuySenuu Calcule las componentes escalares de v de coordenadas v= (-2,3) que son paralelas al vector T (1,1) y Tp. ( )21 ) 1 () 1 , 1 () 1 , 1 () 3 , 2 (2 2=+ = == =TTTPTV( )( )( ) ( )|.|

\|=|.|

\|=||.|

\||.|

\|+||.|

\||.|

\|=||.|

\|((

++||.|

\|((

=||.|

\| |.|

\| + |.|

\| =||.|

\|+||.|

\|=2521*25*21*23 2*23 , 2* ) 3 , 2 ( *21 , 1* ) 3 , 2 ( *23 , 2 * 1 , 1***2 2Up Compv CompTpTpTTVTpTpTpTVTpTpTTVTpTpV TpTTV TVtt 16 CalculelascomponentesvectorialesdeVsi|.|

\|=21,21V yuesel vector (2,1). ( )( ) 1 , 221,2123,2321,2121,21*2123,2321,2123*21* *23) 1 , 2 ( *21,21* 1 , 2 *21,21* ) * ( * ) * ( ) 1 , 2 (* *21*21121212 22 2=|.|

\| +|.|

\|=|.|

\| =|.|

\||.|

\| =|.|

\|=|.|

\|=|.|

\| ||.|

\|=((

|.|

\| +((

|.|

\|= + =+ =|.|

\| ==|.|

\|+ |.|

\|=+ =vvv Copv Copv Copv CopUp uUp uUp v Up u v uUp b u a VUpuuy x uupupuu 17 Encuentrelaproyeccinvectorialylaproyeccinescalardevsobreu siendo:

( ) ( )( ) 2 , 124,2221,2123,2321,2121,21*21*23,2321,21*23**21*23) 2 , 1 (*22 1*2221) 2 , 1 (* 2 , 1 *21,21* 2 , 1 *22,21) 2 , 1 (* ) * ( * ) * ( ) 2 , 1 (*=|.|

\|=|.|

\| +|.|

\|=+ =|.|

\| =||.|

\| ||.|

\|==|.|

\|=||.|

\|||.|

\|==+ =||.|

\|++||.|

\|+ =((

||.|

\| +((

||.|

\|=+ =+ =vvvv u vV Up CompV Up CompUp b V Up CompV CompV Compv u V CompUp uUp uUp uUp v Up u v ubUp u a vpppuuu

( )|.|

\| ==|.|

\|+ |.|

\|==|.|

\|=21,21121212 , 121,212 2Upuuvu 18 EJERCICIOS DE APLICACIN: Encuentre el valor de los ngulos y , si la F1 y F2 valen 30lb y la FR es igual a 20 lb.

LaarmellaroscadaestasometidaadosfuerzasF1yF2.Determinela magnitud y la direccin de la fuerza de la resultante. ( ) ( ) ( )( )N FFCos N N N N FRRR213) 4226 . 0 ( 30000 22500 10000) 115 ( 150 100 2 150 1002 2= + = + = =+ + = = + = + =94 , 382) () ( * 2) ( * 2) ( * 22 2 22 2 22 2 22 2ABB A FRCosB A FR Cos ABCos AB B A FRCos AB B A FR =====5 , 709428 , 0 ) (20) 94 , 38 ( * 30) () () ( ) (22 SenSenSenFRFSenSenFSenFR( ) = + = =|.|

\|=||.|

\|=||.|

\|8 . 54 15 8 . 398 . 399063 . 06 . 212150) () 115 (6 . 212 150NNSenSenNSenN 19 Resuelva la fuerza de 200lb que acta sobre el tubo, en componentes en las direcciones a) x y y, y en las direcciones b) x y y. // 129) 40 ( * 200// 153) 40 ( * 200lb FSen lb Flb FCos lb Fyyxx==== // 217) 60 () 70 (200) 60 (200) 70 (// 177) 60 () 50 (200) 60 (200) 50 (lb FSenSenlb FSenlbSenFlb FSenSenlb FSenlbSenFyyyxxx=||.|

\|=||.|

\|=||.|

\|=||.|

\|=||.|

\|=||.|

\|''''' Lafuerza F que acta sobrela estructura que tieneunamagnitud de 500N y debe resolverse en dos componentes actuando a lo largo de las barras AB yAC. Determine el ngulo medido bajola horizontal, demanera quela componente FAC este dirigida de A hacia C. // 1 . 769 . 43 60 1809 . 436928 . 0 ) () 60 ( *500400) () 60 (500) (400 = = ==|.|

\|=||.|

\|=||.|

\|SenSenNNSenSenNSenN 20 DEBER DEL CAPITULO(Los deberes debern ser realizados 100% a mano) En los siguientes ejercicios calcular los valores de r y s tales que las afirmaciones sean verdaderas. Hacer un diagrama que muestre las representaciones geomtricas ordinarias de todos los vectores que se mencionan. 1.(r, s)+(3, -1)=(2,5) 2.(r, s)=(7,-2)-(3,-5) 3.(7, -3)-(r, s)=(5, 1) Enlossiguientesejercicioscalculelosvectoresqueserequieren, expresando las respuestas en forma radical.4.Unvector(x,y)cuyamagnitudes5ytienelamismadireccinque (3, 7). 5.Un vector (x, y) cuya magnitud es 3 y que es perpendicular a (5, 2) 6.Un vector (x, y) cuya magnitud es igual a la de (4, -3) y cuya direccin es la misma que la de( ) 3 , 1 . 7.Un vector (x, y) cuya magnitud es igual a la de (-5,12) y cuya direccin es igual a la d e(-2,2) Enlossiguientesejercicios,encuentreunvalordex,oy,talqueel primer vector sea perpendicular al segundo. 8.(x, y),(3,1) 9.(x, -2), (3, -4) 10. (-4, y), (3, 2) Enlos siguientes ejercicios calculeu*v, si 1es el ngulo dedireccin deuy 2eselngulodedireccindev.Uselosvaloresexactosdel Seno y Coseno. 11.60 ) ( , 4 ; 30 ) ( , 22 1= = = = m v m u12.30 ) ( , 5 ; 45 ) ( , 32 1= = = = m v m u13.135 ) ( , 2 ; 120 ) ( , 72 1= = = = m v m u14.270 ) ( , 6 ; 180 ) ( , 62 1= = = = m v m u Demuestre que si u es perpendicular a v, entonces u es perpendicular a v. 21 Demuestre que si u es perpendicular a v, entonces ru es perpendicular a v. Demuestre queU Up = . Demuestre que (Up)p= -U Demuestre mediante un contraejemplo, que u*x=u*yno implica ni que x=y ni que u=0 Dosfuerzade340lby475lbformanentresiunngulode34.6oyse aplicanaunobjetoenelmismopunto.Calculea)elmduloo intensidadelafuerzaresultanteyb)Elnguloqueformalaresultante con la fuerza de 475lb con aproximacin de decimales de grado. Dos fuerza de 60lb y 80lb forman entre si un ngulo de 30o y se aplican a un objeto en elmismo punto. Calcule a) elmdulo ointensidad elafuerza resultanteyb)Elnguloqueformalaresultanteconlafuerzade60lbcon aproximacin de decimales de grado. Determine el rea del triangulo cuyos vrtices son A(-2,3,1) B(1,2,3) y C(3,-1,2) Calcule los cosenos del ngulo del triangulo que tiene vrtices en A(0,0,0) B(4,-1,3) y C(1,2,3) 22 Determine la magnitud de la fuerza resultante FR=F1+F2 y su direccin DeterminelamagnituddelafuerzaresultanteFR=F1+F2ascomosu direccin. Resuelva la fuerza F2 en componentes que acten a lo largo de los ejes u y v y determine las magnitudes de los componentes.