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PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
11111
Demostrar que los puntos ( )A 0,1= y ( )B 3,5= ; ( )C 7,2= y ( )D 4, 2= −
son los vértices de un cuadrado.
Solución:
LQQDcuadrado. un es ABCD
5CDADBCAB:Como
525916CD
525169AD
525916BC
525169AB
ˆ
====
==+=
==+=
==+=
==+=
!
!
!
!
11111Capítulo
SISTEMA DE COORDENADAS
22222
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos ( )A 1,1= − y
( )B 3,1= . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).
Solución:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )321,1C
321y1x
: y De
161y3x
ABBC
1y1x
1y3x
ACBC
vértice. tercer el x,yC Sea
22
22
22
±=
±==
→=−+−
=
→−++=
=−+−
=
=
ˆ
!"
!
"
!
!
!
!
Dados los puntos ( )P 2, 31 = − y ( )P 1,22 = − encontrar sobre 21PP el
punto que diste doble de 1P que 2P .
Solución:
( )
( )
0x030
322
21122
r1xrxx
212
PPPPr
pedido. punto el x,yP Sea
21
2
1
===−=
=+
−+=+
+=
===
=
!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
33333
( )
( )
==
==+−=++−=
++=
31,0y,xP
31y
31
343
21223
r1yryy 21
ˆ
!!
El lado de un rombo es igual a 105 y dos de sus vértices opuestos son
los puntos ( )4,9P = y ( )2,1Q −= . Calcular el área de este rombo.
Solución:
101006436PQ ==+=
( )
2
2222
m150A1502
10302
dDA
:Luego
15x225x252505105x
==×=×=
==−=−=
!
!!!
:
44444
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es
dividido en tres partes iguales por los puntos ( )2,2P = y ( )1,5Q = .
Solución:
( )
( )13,A
1y2
5y2
3x2x12
1PQAPr
:,yxA de Cálculo
11
11
11
−=
−=+
=
=+=
==
=
ˆ
!
!
!
!
!
( )
( )0,8B
8y2y25
0x2x21
1QBPQr
:,yxB de Cálculo
22
22
22
=
=+=
=+=
==
=
ˆ
!
!
!!
!
La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto
( )23,M −= ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a 12− . Hallar
las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de
ordenadas un ángulo dado.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
55555
Solución:
( ) ( )
( ) ( )79,y,xN
7y132y3x13MNSi
9x123x12ABSi
22
−−==
−==++−=
−=−=−−=
ˆ
!!
!!
!
!
Tres de los vértices de un paralelogramo son ( )1,4A −= , ( )11,B −= y
( )6,1C = . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( )2222 1116461xBCAD
pedido. punto el ,6xD Sea
++−=−++=
=
!!
66666
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
( ) ( )4,6D,6xD
:Luego
6x4x
024x2x
es: operacionEfectuando
2
1
2
==
−=
=
=−+
!
!
!
!
El punto medio de cierto segmento es el punto ( )1,2M −= y uno de sus
extremos es el punto ( )2,5N = . Hallar las coordenadas del otro extremo.
Solución:
( )
( ) ( )14,yx,P
1y2
5y22yy
y
4x2
2x12xx
x
pedido. punto el yx,P Sea
NM
NM
−−==
−=+=+
=
−=+=−+
=
=
ˆ
!!
!!
!
!
Los vértices de un triángulo ABC son ( )12,A −= , ( )4,7B −= y ( )8,0C = .
Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.
Solución:
:que Sabemos
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
77777
( ) ( )2,2yx,G
236y
3071y
3yyyy
236x
3842x
3xxxx
321
321
==
==++−=++=
==+−=++=
ˆ
!!
!!
!
!
¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos
( )11,A −= y ( )4,5B = en la dirección AB, para que su longitud se triplique?
Solución:
( )
AB2BP21
BPAB:Sabemos
pedido. punto el yx,P Sea
==
=
!!
88888
Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
!
"
→=+−−+
++−=−+−+++−
=+
→=−−−+
++−=−+−
014y10x8yx
:soperacione Efectuando
1y1x5y4x1514
APBPAB: También
0139y10x8yx
:soperacione Efectuando
151425y4x
22
222222
22
2222
!
!
!
!
!
( ) ( )10,17yx,P
7y;2x17y;10x
: y De22
11
==
−=−=
==
ˆ
!"
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
99999
Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:
0yx16 2 =−
Solución:
( ) !→=− 0yx16:x,yE 2
1º. Intercepciones con los ejes:
( )0,0O0y0x: YEje
0x016x0y:X Eje 2=
==
===!
!
!!
22222Capítulo
GRÁFICA DE UNA ECUACIÓNY LUGARES GEOMÉTRICOS
1010101010
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
2º. Simetría:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )X eje el con
sólo simétrica Curva
yx,Eyx,E:Origen
yx,Eyx,E: YEje
yx,Eyx,E:X Eje
≠−−
=−
≠−
3º. Extensión:
ú∈= ∀ x;16xy:De 2!
4º. Asíntotas:
No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.
5º. Cuadro de valores:
....4416160y
....2121110x −−
6º. Gráfico:
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1111111111
012xxy =−−
Solución:
( ) !→=−− 012xxy:yx,E
1º. Intercepciones con los ejes:
( )X eje el con ónintercepci 0x: YEje
,021A;21x0y:X Eje
ò!
!
=
−=−==
2º. Simetría:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )origen el con ni ejes los
con ni simétrica no Curva
yx,Eyx,E:Origen
yx,Eyx,E: YEje
yx,Eyx,E:X Eje
≠−−
≠−
≠−
3º. Extensión:
0x;x
x21y01x2xy
:De
≠+==−− ∀!
!
4º. Asíntotas:
2y02y;2y
1x
0xx
x21y
:De
==−−
=
=+=
!
!
!
!
!
5º. Cuadro de valores:
....231253y
....2121x −−
1212121212
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
6º. Gráfico:
04y4yx 23 =+−+
Solución:
( ) !→=+−+ 04y4yx:yx,E 23
1º. Intercepciones con los ejes:
( )( )0,2B;2y0x: YEje
1.6,0A;6.1x0y:X Eje
===
−=−==
!
!
2º. Simetría:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )origen el con ni ejes los
con ni simétrica no Curva
yx,Eyx,E:Origen
yx,Eyx,E: YEje
yx,Eyx,E:X Eje
≠−−
≠−
≠−
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1313131313
3º. Extensión:
0x;x2y
:De3 ≤−±= ∀
!
4º. Asíntotas:
No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.
5º. Cuadro de valores:
....54,524101302y
....21580x
−
−−−
6º. Gráfico:
1414141414
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
4x1xy 2
22
−−=
Solución:
( ) !→−−=
4x1xy:yx,E 2
22
1º. Intercepciones con los ejes:
( )( )210,B;21y0x: YEje
1,0A;1x0y:X Eje
±=±==
±=±==
!
!
2º. Simetría:
Curva simétrica con los ejes y con el origen.
3º. Extensión:
[ ] ∞+∪−∪−∞−∈−−±= ∀ 2,1,12,x
4x1xy
:De
2
2
!
4º. Asíntotas:
1y01y1y1y4x
2x04x4x1xy
:De
22
2
22
2
±==−−−±=
±==−−−±=
!!
!!
!
!
!
5º. Cuadro de valores:
....5241011312100y
.....2143011x
±±±±
±±±−
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1515151515
6º. Gráfico:
( ) 41xy 2 =+
Solución:
( ) ( ) !→=+ 41xy:yx,E 2
1º. Intercepciones con los ejes:
( )0,4A;4y0x: YEje
X eje el con ónintercepci0y:X Eje
===
=
!
! ò
2º. Simetría:
Curva simétrica sólo con el eje Y.
1616161616
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
3º. Extensión:
ú∈=++
= ∀ x;01x1x
4y
:De
22 !
!
4º. Asíntotas:
( )X Eje0y0yy
y4x
x01x1x
4y
:De
22
==−±=
∉=++
=
!!
!!
!
! ú
!
5º. Cuadro de valores:
....525424y
....3210x ±±±
6º. Gráfico:
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1717171717
Una recta pasa por los dos puntos ( )32,A −−= y ( )4,1B = . Si un punto
de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada?
Solución:
( )
( )
( ) ( )
5y
:soperacione Efectuando
3y210
1y361636
ACBCAB:que Dado
pedido. punto ely10,CSea
22
2
=
+++=
=−+++
=+
=
!
!
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal
manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos
puntos ( )2,2A −= y ( )4,1B = es siempre igual a 12.
Solución:
( )
( ) ( )
( ) ( )
036y4x
:soperacione efectuando Luego,
122y2x
1y4x
:donde De
12APBP
:tenemos problema del condición la de Entonces
pedido. punto el y,xP Sea
222
222
22
=++
=
++−−
−
−+−
=−
=
!
!
!
1818181818
Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS
Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de
los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece
siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto
medio del segmento.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
16yx
:soperacione Efectuando
4y2y2x
2y2xx
4PBPA
:condición la De
22
22
22
=+
=−++
+−+−
=+
!
!
!
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP = , tal que la
distancia de P al punto ( )0,6A = es igual a la mitad de la distancia de
P al eje X.
Solución:
( )
0144y48y34x
:soperacione efectuando Luego,
y216yxy
21AP
:condición la De
22
22
=+−+
=−+=
!
!!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1919191919
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos ( )4,2A = y
( )7,5B −= .
Solución:
( )( )
( ) 038y9x5:4x952y:
95
4527mm
7,5B
2,4A:
pendiente. su conocer puede se recta, la de puntos dos conocen se que Dado
buscada. recta la Sea
AB
=−+−−=−
−=−−
−==
−=
=
‹‹
‹
‹
‹
!"
!
ˆ
33333Capítulo
LA LÍNEA RECTA
2020202020
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Calcular el área del triángulo que forma la recta 012y4x3 =−− con los
ejes coordenados.
Solución:
( ) 2u6A2
122
34A
3b4a
13
y4x:
:2 ividiendoD
12y4x3::Luego
012y4x3:
==−×
=
−==
=−
+
×
=−
=−−
∆∆ !"
!
ˆ
‹
‹
‹
!
!
!
Los vértices de un triángulo son ( )0,0A = , ( )4,2B = y ( )6,2C −= . Obtener
las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo.
Solución:
( )( )
( )
( )( )
( ) 014y3x24x322y
32m
6,2C
2,4B:BC
:BC de Ecuación
0y2x0x210y
21m
2,4B
0,0A:AB
:AB de Ecuación
BC
AB
=−+−−=−
−=
−=
=
=−−−=−
−=
=
=
!"
!
!"
!
ˆ
ˆ
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2121212121
( )( )
( ) 0yx30x30y
3m6,2B
0,0A:AC
:AC de Ecuación
AC
=+−−=−
−=
−=
=
!"
!
ˆ
!
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por ( )38,4A = y por la
intersección de las rectas 02y4x3 =−− , 06y11x9 =−−
Solución:
( )
( )
( )
( ) 08y15x12:4x54
38y:
:Finalmente54
432380mm:Dondexxmyy:
:Luego
,032B06y11x9:
02y4x3:
recta la de punto Un38,4A
:
AB11
212
1
=−−−=−
=−
−==−=−
==∩
=−−
=−−
=
‹‹
‹
‹‹‹
‹‹
‹
!"
!
Si la recta 0cbyax =++ pasa por el punto ( )q,pP = , escribir una
ecuación en forma de:
a) pendiente y ordenada en el origen.
b) punto - pendiente.
c) simétrica.
Solución:
)bcx
bay0cbyax:a −−==++ !‹
2222222222
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
) ( )
( )pxbaqy:
q,pP;bam:Donde;0cbyax:b
−−=−
=−==++
‹
‹‹
!
)
1
bc
y
ac
x:
cbyax:0cbyax:c
=−
+−
−=+=++
‹
‹‹
!
!
Encontrar la ecuación de una recta que tiene intercepciones iguales y que
pasa por el punto ( )6,8A −=
Solución:
( )
02yx:12y
2x:
2a1a6
a8:Luego
6,8A:Pero1ay
ax::Sea
=−+=+
==−+
∈−==+
‹‹
‹‹
!"
!
ˆ
Desde el punto ( )3,2M0 −= se ha dirigido hacia el eje OX un rayo de luz
con una inclinación de un ángulo α , se sabe que 3tg =α . El rayo se ha
reflejado del eje OX. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están
los rayos incidente y reflejado.
Solución:
( ) 09yx32x33y
3tgm:pendiente
:incidente rayo del Ecuación
=+−+=−
=α=
!"!
!
d
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2323232323
( )( )
( ) 09yx33x30y
3tgº180tgm:pendiente
3,0P;3x0ySi
:reflejado rayo del Ecuación
0
=+++−=−
−=α−=α−=
−=−==
!"!
!
!
Dados los puntos ( )2,2M = y ( )2,5N −= . Hallar en el eje de abscisas un
punto P de modo que en el ángulo NP̂M sea recto.
Solución:
( ) ( )1,0P;6,0P
1x6x
06x7x
:soperacione Efectuando
15x
22x
2
1mmNPMP
:que Dado
21
2
12
NPMP
==
=
==+−
−=
−⋅
−−
−=⋅⊥
ˆ
!
!
!"
2424242424
Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA
Los puntos ( )2,3A −= , ( )4,1B = y ( )5,3C −= son los vértices de un
triángulo. Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de los
lados AB y CD es paralelo a la base BC del triángulo.
Solución:
( )
( )
=
=+=
=+=
=
−=
−=+=
=+=
=
230,M
23
2yyy
02
xxx
y,xM de Cálculo
21,
27M
21
2yyy
27
2xxx
y,xM de Cálculo
2CA
2
CA2
222
1BA
1
BA1
111
!!
!!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2525252525
LQQDMMBC:nteefectivame Luego
74
74mmMMBC:que Sabemos
21
212M1MBC
*
* −=−= !"!"
Calcular la distancia entre las rectas paralelas: 04y2x =++ y
05y4x2 =−+
Solución:
( )
( )( ) ( )( )90.2
2013d
2058
42
52402d
:Luego
20,P2y0xPara
. recta la de , P racualesquie punto un Hallamos
05y4x2:04y2x:
:que Dado
22
1
21
≈=−−
=+
−−+=
−=−==
=−+∧=++
!"
!
ˆ
ˆ
‹
‹‹
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2727272727
Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de
un diámetro son los puntos ( )3,2A −= y ( )1,4B −= .
Solución:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
036y12x122y2x:
131y1x
rkyhx:
13r252
2AB
r:Luego
1,1C1k1h
AB de medio punto es kh,C
22
222
2
=+−++
=−+−
=−+−
===
=
==
=
C
Cˆ
!
!!
44444Capítulo
LA CIRCUNFERENCIA
2828282828
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6,
en el segundo cuadrante.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
036y12x12yx:
366y6x
rkyhx:
6.r radio su y
nciacircunfere la de
centro el es 6,6h,kC
que deduce se gráfico, Del
22
22
222
=+−++
=−++
=−+−
=
−==
C
Cˆ
Dada la ecuación de la circunferencia 07y4y3x3 22 =−++ , encontrar
el centro y el radio.
Solución:
35r;
32,0C
32k , 0h :donde De;
925
32yx
325
32y3x3
347
94y
34y3x3
07y4y3x3
:cuadrados oCompletand
22
22
22
22
=
−=
−===
++
=
++
+=
+++
=−++
ˆ
!
d
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
2929292929
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto ( )1,4C −−=
y que es tangente a la recta: 012y2x3 =−+ .
Solución:
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) 521y4x:
:doReemplazan
rkyhx:
52r13
261326
1312212
23
121243r
:Luego012y2x3: a C de Distanciar:Sea
22
222
2
22
=+++
=−+−
==−
=
−−−=
+
−−+−=
=−+=
C
Cˆ
!
!
‹
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )4,0A = ,
( )0,3B = y ( )2,2C −−= .
Solución:
( )( )( )
13132F;
135E;
1319D: y , de Luego,
8FE2D22,2C
0FE390,3B
0FD4164,0A
0FEyDxyx:Sea
22
−==−=
→=+−−∈−−=
→=++∈=
→=++∈=
→=++++ ⊗
!"#
!
"
#
!
!
!
C
C
C
C
!
!
!
3030303030
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
0132y5x19y13x13
013132y
135x
319yx:
: En
22
22
: =−+−+
=−+−+
⊗
C
Cˆ
Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente en el eje X,
cuyo centro está sobre la recta y2x = .
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0400y20x40yx
10010y20x
rkyhx:
20,10C;20h,10hCperoy2x:
caso Primer
22
22
221
21
11
=+−−+
=−+−
=−+−
==∈==
C
!‹‹
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3131313131
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0400y20x40yx
10010y20x
rkyhx:
1020,C;20h10,hCperoy2x:
caso Segundo
22
22
222
22
22
=++++
=+++
=−+−
−−=−=∈−==
C
!‹‹
!
La ecuación de una circunferencia es 50yx 22 =+ . El punto medio de
una cuerda de esta circunferencia es el punto ( )4,2P −= . Hallar la ecuación
de la cuerda.
Solución:
( )
( )
010y2x:
2x214y:
:Luego
21m
1m2
1mm
:Luego
202
04m: de Pendiente
ncia.circunfere la de centro el y P punto el por pasa que recta la y
referida cuerda la a contiene que recta la Sea
2
2
2
2
21
1
21
1
1
2
=+−
+=−
=
−=⋅−
−=⋅
−=−−
−=
⊥
‹
‹
‹‹
‹
‹
‹
‹
‹
‹‹
‹
!
!"
!"
!"
!
3232323232
Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA
Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en ( )34,4C = y
que pasa por ( )34,1Q −−= .
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )9
28934y4x:
9289rr
34
344134,1Q
r34y4x
rkyhx:
:tenemos datos, los De
22
222
2
222
222
=
−+−
==
−−+−−∈−−=
=−+−
=−+−
C
C
C
ˆ
!!!
Hallar el área del círculo cuya ecuación es:
0103y12x72y9x9 22 =+−++
Solución:
( )
( )
( )
22
22
2
22
22
22
22
u5A5rA
5r:Donde532y4x
4532y94x9
414410394y
34y916x8x9
103y12x72y9x9:
cuadrados ocompletand y nteindependie término el Despejando
0103y12x72y9x9:
:nciacircunfere la de ecuación la Tenemos
π=×π=π=
==
−++
=
−++
++−=
+−+++
−=−++
=+−++
!"
!
ˆ
C
C
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3333333333
Por una traslación de ejes, transformar la ecuación:
0133y4x42y2x3 22 =+−−−
en otra que carezca de términos de primer grado.
Solución:
( ) ( )( ) ( )
12y2x31yy7xx
:Siendo
121y27x3
21471331y2y249x14x3
0133y4x42y2x3
: cuadrados oCompletand
22
22
22
22
=−
+=−=
=+−−
−+−=++−+−
=+−−−
NNN
N!
55555Capítulo
TRANSFORMACIÓNDE COORDENADAS
3434343434
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Simplificar la ecuación:
055y36x48y36x72 22 =−+−+
por una traslación de los ejes coordenados.
Solución:
( )
=+
+=
−=
=
++
−
=
++
−
++=+++
+−
=−+−+
2yx2
21yy
31xx
:Siendo
221y
31x2
7221y36
31x72
98551yy3691x
32x27
055y36x48y36x72
:cuadrados oCompletand
22
22
22
22
22
NN
N
N
!
Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:
03y4x8y2x 22 =−++−
Solución:
( ) ( )( ) ( )
=−−=−=
=−−−
−+=+−−+−
17y2x1yy4xx
:Siendo
171y24x
21631y2y216x8x
:tiene se expresión, la en cuadrados oCompletand
22
22
22
NNN
N!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3535353535
Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer grado
de la ecuación: 04yxxy2 =+−−
Solución:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
07yx40421
21
21
212yx2
en Luego
21kh
01h201k2
:donde De
04khhk2y1h2x1k2yx2
4kyhxhk2yk2xk2yx2
kyhxkyhx2
: en
kyyhxx
04yxyx2
:
=+=+−−
+
==
=−=−
→=+−−+−+−+
+−−−−+++
+−+−++
→
+=+=
→=+−−
NNNN
NNNN
NNNNNN
NNNN
N
N
!
!
!
!
!
"#
#
"
Por una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación:
0x25y9xy24x16 22 =+++
en otra que carezca del término en xy.
Solución:
#
"
→
θ+θ=
θ−θ=
→=+++
cosysenxy
senycosxx:Luego
0x25y9xy24x16 22
NN
NN
3636363636
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
( )( )( )
⊗→=θ−θ+
+θθ+θ−θθ−θ+
+θ+θθ−θ+
+θ+θθ+θ
0seny25cosx25
yxcossen18sen24cossen32cos24
ycos9cossen24sen16
xsen9cossen24cos16
: en Ahora
22
222
222
NN
NN
N
N
"#
( )
7242tg02tg724
:2cos Dividiendo
02sen72cos24
0cossen272cos24
0cossen14sencos24
0cossen14sen24cos24
0cossen18sen24cossen32cos24
.y e x término el eliminar para Luego
22
22
22
=θ=θ−
θ×
=θ−θ
=θθ×−θ
=θθ−θ−θ
=θθ−θ−θ
=θθ+θ−θθ−θ
!!
!
NN
54cos
2516
22571
22cos1cos
53sen
259
22571
22cos1sen
:Además
2572cos
:figura la de Luego
=θ=+
=θ+=θ
=θ=−
=θ−=θ
=θ
!
!
!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3737373737
( ) ( )
0y3x4x5
0y15x20x25
0y5325x
5425y
543
534x
533
544
0seny25cosx25ycos3sen4xsen3cos4
En
2
2
222
222
:
=−+
=−+
=⋅−⋅+
⋅+⋅+
⋅+⋅
=θ−θ+θ+θ+θ+θ
⊗
NNN
NNN
NNNN
NNNN
!
!
Simplificar la ecuación:
013y2x10yxy10x 22 =++−+−
por transformación de coordenadas.
Solución:
( ) ( )
⊗→=++−−+
+−++−−++
=+++−−
−+++−−−−++
→+=
+=
→=++−+−
013k2h10hk10k
yh10k22x10k10h2yx
013k2y2h10x10
kky2yhk10yh10xk10yx10hhx2x
: en
kyy
hxx:Luego
013y2x10yxy10x
2
22
2222
22
NNNN
NN
NNNNNNNN
N
N
"#
#
"
1k;0h0h10k22
010k10h2
que cumplirse debe ;y e x términos los eliminar Para
−==
=−+
=−−!
NN
3838383838
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
( )( )
( )
( ) ( )( )
( )02cos0sencos
0sencos10
0sen10cos10
:yx término el eliminar para Ahora
......012yxsen10cos10
ycossen101xcossen101
012yxsen10cos10cossen2cossen2
ycossen10cossen
xcossen10sencos
012cosseny10senyx10cosyx10
cossenx10cosycossenyx2senxsenycossenyx2cosx
: en
......cosysenxy
senycosxx:Pero
......012yx10yx01321yx10yx
:En
22
22
22
22
22
22
222
222
22
222
222222
22
22
=θ=θ−θ
=θ−θ−
=θ+θ−
=+θ+θ−+
+θθ++θθ−
=+θ+θ−θθ−θθ+
+θθ+θ+θ
+θθ−θ+θ
=+θθ+θ+θ−
−θθ+−θ+θθ++θ+θ+θθ−θ
θ+θ=
θ−θ=
=+−+=+−+−+
⊕
⊗
!!
!
!
!
!
!
NNNN
NNNN
NNNN
NNNN
NN
NN
NNNNNNNNNN
NNNNNNNN
NNNNNNNNNN
NNNNN
NNNNN
NNNN
NNNN
!$
$
!
Ahora para eliminar el término x´´y´´:
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
3939393939
( ) ( )
06y3x2
:2 Dividiendo
012y6x4
012y51x51
012y22
22101x
22
22101
: en doReemplazan
22
21
22cos1cos
22
21
22cos1sen
:Además
22
22
22
22
=−−
×
=++−
=+++−
=+
⋅⋅++
⋅⋅−
==θ+=θ
==θ−=θ
⊕
NNNN
NNNN
NNNN
NNNN
!
!
!
!
Un punto P se mueve de tal modo que la diferencia de sus distancias a los
dos puntos ( )1,4A = y ( )2,1B −= es siempre igual a 3. Hallar la
ecuación del lugar geométrico y simplificarla por transformación de
coordenadas.
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 31y2x4y1x
3PBAP
:condición la De
mueve. se que punto el yx,P Sea
2222 =−++−−+−
=−
=
!
4040404040
Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
( ) ( )
09yx8
019101010yx8
01925
218
254
2110yx8
: en
21k;
25h
0h84
0k820
: y e x términos los eliminar para Ahora
019kh8k4h20yx8yh84xk820
:Luego
kyy
hxx
:Pero
09yx8y4x20
:tiene se soperacione Efectuando
=−−
=++−−−
=+
−−
−
−+−
−==
=+
=−
→=+−−+−+−−
→
+=
+=
→=+−−
NN
NN
NN
NN
NNNN
N
N
!
!
!!
!
!
!
!#
!
#
"
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4141414141
66666Capítulo
LA PARÁBOLA
Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz
es 2y = .
Solución:
y8x:
: En
2p
py4x:
:tiene se gráfico, Del
2
2
−=
=
→−=
!
!
!
4242424242
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta 6x −= y su
foco es ( )0,0F = .
Solución:
( ) ( )
( )
( )
36x12y:
3x12y:
: En
3FVpy3,0V:Como
hxp4ky:
:gráfico Del
2
2
2
+=
+=
==−=
→−=−
!
!
!
Calcular el radio focal del punto M de la parábola x20y2 = si la abscisa
del punto M es igual a 7.
Solución:
( )( )
( )( )
( ) ( )
12144FM
570140FM
:tanto lo Por
1407,M
140y720y
: En
y7,M
5,0F:donde de
5p204p: De
x20y:
22
12
1
1
2
==
−+−=
±=
±==
∈=
=
==
→=
!
!!
!
!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4343434343
Dada la ecuación de la parábola 7x2y8x2 =−+ . Hallar el vértice, eje,foco y directriz. Trazar la curva.
Solución:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3y:directriz la de Ecuación
1x:eje del Ecuación
11,pkh,F: foco del scoordenada las Ahora,
2p84p:teSeguidamen
1,1kh,V:parábola la de vértice del scoordenada las Luego,
1y81x:8y81x:
17y81x2x:7x2y8x:
cuadrados oCompletand
7x2y8x:
22
22
2
=
=
−=+=
−=−=
==
−−=−+−=−
++−=+−=−+
=−+
!
!
!
!
!
4444444444
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Encontrar la ecuación de la parábola, cuyo vértice es el punto ( )3,2V = y
el foco es ( ),24F = .
Solución:
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
16x4y4y:
3x42y
3x142y:
: en valores los doReemplazan
1VFp
:foco el y vértice el conoce se que Dado
hxp4ky:
2
2
2
2
−+=
−=−
−=−
==
→−=−
!
!
!
Obtener la ecuación de la parábola con foco en ( )2,3F = y cuya ecuación
de la directriz es 6x −= .
Solución:
( )
( ) ( )
023y6x16y:
:soperacione Efectuando
6x3y2x
definición aP de DistanciaFP
:gráfico Del
2
22
=−−−
+=−+−
=‹
!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4545454545
Determinar la longitud del segmento determinado por la ecuación x4y2 = ,
con la recta de ecuación 3y2x −= .
Solución:
( )( )
( ) ( ) 94,854PP16642619PP
:Luego
:gráficas dos las de ónintersecci P y P
9,6P
1,2Ppuntos los obtenemos y De
3y2x:x4y::Tenemos
2122
21
21
2
1
2
≈=+=−+−=
=
=
→−=→=
!"
"!
"!
‹
4646464646
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro la
cuerda normal de la parábola, cuya ecuación es x16y2 = .
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
048x8yx:
64y4x:
:tanto lo Por
4,0CFC
nciacircunfere la de centro C Siendo
64r8FPFPr
8,4P
8,4P: y De
4x:NC
recto ladonormal cuerda la Luego,
4,0p,khF:Tambien
0,0kh,V vértice el que deduce se
x16y:
22
22
221
2
1
2
=−−+
=+−
==
====
−=
=
→=
=+=
==
→=
C
C
!"!
!"
!
!
!
"!
"
!
Una recta que pasa por el foco de una parábola con el vértice en el origen
y con el eje horizontal, corta a la directriz en el punto ( )8,3A −= . Calcular
las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta.
Solución:
( ) ( )0,0k,hV vértice su y
px4y: 2
==
→= !!
é
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4747474747
( )( ) ( )
( )
( )
( )( )12,12P
3,43P
012y3x4:
x12y::P: y De
012y3x4:3x34y
3xm0y:
34mm
3,0k,phF
3,8A:
x12y:: en
3p:Además
2
12
2
AF
−=
=
=−+
=
→=−+−−=
−=−
−==
=+=
−=
→=
→=
!"
!"
!
‹
‹
‹
‹
‹
‹
#$
#
$!"
"
!
4848484848
Capítulo 6. LA PARÁBOLA
Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m.
y se extienden 80 m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la
forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente,
determinar la altura del cable por encima de la pista a 50 m y también a
100 m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal).
Solución:
( )( )
( )
( ) .m55,359
320yy4
1575100y,100P
.m88,8980yy
4157550y,50P
:Luego
y4
1575x:: En
41575p480p4150
.150,80P
py4x:que observa se gráfico, Del
222
22
112
11
2
2
2
≈=×=∈=
≈=×=∈=
×=
×==
∈=
→=
!!
!!
!"!
!
!
!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
4949494949
77777Capítulo
LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado
recto) es 5 vértices ( )10,0± .
Solución:
125y
100x:: en tanto lo Por
100a10a
25b5ab2CN
:enunciado del Luego
1by
ax::Sabemos
22
2
22
2
2
2
2
=+
==
===
→=+
õ
õ
!
!
!
!"
!
!
5050505050
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1x = , ( )1,5C = ,
( )1,8F = ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 136
5y27
1x::tanto lo Por
27b27936bcab:Sabemos
9c3CFc:Luego
36a6a12a2:Pero
1a
kyb
hx:: deducimos enunciado Del
22
22222
2
2
2
2
2
2
=−+−
==−=−=
===
===
=−+−
õ
õ
!"!"
!"
!"!"
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5151515151
Reducir la ecuación 021y16x6y4x 22 =++−+ a la forma ordinaria de
la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices
y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la
excentricidad.
Solución:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
113
ace:dadExcentrici
12
12a
2bNC:Normal Cuerda
2122b:menor Eje4222a:mayor Eje
3c3cc14cba
1b1b2a4a
:También
2,1V
2,5V2,23ka,hV
:de obtienen se elipse la de vértices los Luego
2,3kh,C:tenemos ecuación la De
112y
43x
:
42y43x
169214y4y49x6x
:y e x para cuadrados oCompletand
021y16x6y4x
2
222222
22
2
1
22
22
22
22
<==
=×==
=×==×=
±==+=+=
±==±==
−=
−=−±=±=
−==
=++−
=++−
++−=++++−
=++−+
!
!
!!
!
!!
!!!
!!
!!
õ
5252525252
Capítulo 7. LA ELIPSE
Por el foco de la elipse 115y25x 22 =+ se ha trazado una perpendicular
a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de
esta perpendicular con la elipse hasta los focos.
Solución:
( ) ( )
"
!
→=
±=±=
±=−±=−=−=
→=+
10x:es foco primer el en trazada
larperpendicu la de ecuación La
,010Fc,0F
:son elipse la de focos los Luego,
101525cbaccab:Sabemos
115y
25x:
:elipse la de ecuación la Tenemos
222222
22
!!
!!
! õ
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5353535353
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 7301010CF
3301010CF
:tanto lo Por
3,10yx,C:aquí De
3y9y115y
259: y De
222
221
22
=−+−−=
=−+−=
==
±===+
!
!
!!"!
Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro ( )2,4C −= y
sea tangente a los dos ejes de coordenadas.
Solución:
( ) ( )
( ) ( ) 116
4y42x:
4b2b
Yeje al C de Distancia:b
16a4a
X eje al C de Distancia:a
:caso este Para
1a
kyb
hx::Sea
22
2
2
2
2
2
2
=−++
==
==
=−+−
õ
õ
!
!!
!!
!
!
5454545454
Capítulo 7. LA ELIPSE
Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en
( )5,0V1 = y pasa por el punto ( )2,3P = .
Solución:
( )
( )
75y7x3:1775
y25x:
:tanto lo Por
775b1
b3
2542,3P:Como
1by
25x::Luego
25a5a5,0V:que Dado
1by
ax:
2222
22
2
22
21
2
2
2
2
=+=+
==+∈=
=+
===
=+
õõ
õ
õ
õ
!
!!
!!
!
La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m
de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha
claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro
foco?
Solución:
12c22F1F:tanto lo Por
6c36ccab:donde De
64b8b100a10a
:enunciado del datos los Según
2222
2
2
==
±==−=
====
!!
!
!
!
!
Según los datos del enunciado:
Por lo tanto:
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5555555555
Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos
en ( )3,4F −= y ( )5,4F2 = eje mayor 12.
Solución:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
031y72x10y9x5:
:soperacione Efectuando
124y5x4y3x
:donde De
12a2PFPF
:que tiene se elipse, de definición la Por
mueve. se que punto el yx,P Sea
22
2222
21
=+++−
=−+−−−++
==−
=
õ
!
!
5656565656
Capítulo 7. LA ELIPSE
Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia
de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la
mitad de la longitud del eje mayor.
Solución:
aaFB:tanto lo Por
bca:que definición por sabemos pero,
bcFB:figura la de Luego,
a2a2
2VV
FB
:que Probar
origen. el en vértice con elipse la1by
ax:Sea
211
222
2211
2111
2
2
2
2
==
+=
+=
===
=+
!
õ
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5757575757
Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los
puntos ( )2,0A −= y ( )2,6B −= es 8. Hallar la ecuación del lugar
geométrico de P .
Solución:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 116
3y72x:
015y42x64y7x16:
:tiene se s,operacione Efectuando
86y2xy2x
:donde De
8BPAP
:problema del condición la Por
mueve. se que punto el yx,P Sea
22
22
2222
=−++∴
=+−++
=−+++++
=+
=
õ
õ
La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una
elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica
es de .km000300 y la excentricidad es de 017,0 aproximadamente.
Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.
Solución:
5502c0001500,017a0,017c0,017ace
:elipse la de dadexcentrici la de aproximado valor Del
000150a0003002a:que tenemos gráfico, el según y datos los De
=×=×===
==
!!
!
!
!
Por la condición del problema:
5858585858
Capítulo 7. LA ELIPSE
450147ca5502000150ca:Minimo
550152ca5502000150ca:Máximo
:Luego
=−−=−
=++=+
!
!
!
!
´
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
5959595959
88888Capítulo
LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto ( )2,3A = , tiene
su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus
asíntotas es la recta 0x7y2 =− .
Solución:
( )( )( )
178
x2y:8x7y4:: En
8kk28362,3A:Pero
kx7y4:kx7y2x7y2:
:Luego
0x7y2:0x7y2:Si
. hipérbola la de asíntotas y Sean
2222
22
21
21
=−=−
==−∈=
→=−=+−
=+=−
HH
H
HH
H
!
!!
!
!
!
!!
‹‹
‹‹
6060606060
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en ( )70,V ±= y 34e = .
Solución:
( ) ( )
343y79x:
19343
x49y::tanto lo Por
9343b49
9784acb:Luego
9784ca
34c
34
ace:Además
7aa0,70,V:Si
1bx
ay::deduce se datos los De
22
22
2222
2
2
2
2
2
=−
=−
=−=−=
=×===
±=±=±=
=−
H
H
H
!
!!
!
Dada la ecuación de la hipérbola 4y4x 22 =− , hallar las coordenadas de
los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la
excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
25e
ace:dadExcentrici
,05c,0F:Focos
2,0a,0V:Vértices
5c514bac
1b1b2a4a
:donde De
11
y4x:4y4x::Sabemos
222
22
2222
==
±=±=
±=±=
±==+=+=
±==±==
=−=−
!
!
!!
!
!
!!
HH
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6161616161
2b2:Conjugado Eje
4a2:Transverso Eje
12
12a
2bCN:Normal Cuerda2
=
=
=×==
Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos ( )1,1F1 −= y ( ),15F2 =
y un vértice en ( )0,1V = .
Solución:
6262626262
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 151y
42x:
1b
kya
hx::tanto lo Por
5bb49bac
4a2CVa
:Ahora
2,1C1k2h
kh,C
9c3c6c2FF:Sabemos
22
2
2
2
2
22222
2
221
=−−−
=−−−
=+=+=
===
=
==
=
====
H
H
!!
!
!!
!!
!
!
!
Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los
puntos ( )3,4F1 = y ( )23,F2 −= y su excentricidad es igual a 2.
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 14273x
491y:
1b
hxa
ky::tanto lo Por
427b
499acb:que Sabemos
49a
23a2
ace:Además
3CFCFc:Luego
,13C1k3h
kh,C
22
2
2
2
2
2222
2
21
=−−−
=−−−
=−=−=
====
===
=
==
=
H
H
!
!!
!!!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6363636363
Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la
elipse: 164y100x 22 =+ . Y las directrices pasan por los focos de esta
elipse.
Solución:
( ) ( )
100c10c
elipse. la en a de valor del partir ahipérbola la enc de valor el obtenemos problema, del condición Por
1by
ax::hipérbola la En
6,0c,0F:donde De
6c3664100baccab
8b64b10a100a
164y
100x::elipse la En
2
2
2
2
2
222222
22
22
=±=
=−
±=±=
±==−=−=−=
±==±==
=+
!
!!
!!
!
!
!!
H
õ
6464646464
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
1100y
60x:
1by
ax::tanto lo Por
40b60100bcab:Seguido
60a: en Luego
elipse. la enobtenido valor un es c donde ; c x :problema del condición Por
10a
ca
acax
eax:hipérbola la de directriz la de ecuación La
22
2
2
2
2
22222
2
22
=−
=−
=−=−=
=
=
→±==±=
±=
H
H
!!
!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6565656565
Dada la ecuación de la hipérbola: ( ) 1128y164x 22 =−− , encontrar las
coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones
de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )
( )[ ] ( )[ ]( )
( )
=−−
=+−
=−−⋅+−
=−−−
==
±=±=
−=
=±=±=
=
=±=±=
±==+=+=
±==±==
==
→=−−
0y4x22:
0y4x22:
0y4x22y4x22
k128y4x8
: en ; asíntotas las de Ecuaciones
38x316x
344
eahx
:sdirectrice las de Ecuaciones
0,8F
0,16F,0124c,khF:Focos
0,0V
0,8V4,04a,khV:Vértice
12c14412816bac
28b128b4a16a
:Además
4,0kh,C que deduce se
1128y
164x: Si
2
1
2
2
1
2
1
222
22
22
‹
‹!
!
!
!
!
!
!!
!
!
!
!!
H
s:
6666666666
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
646441282
a2bCN:Normal Cuerda
2==×==
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6767676767
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos ( )2,3A −= y
( )7,6B = , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el
eje X.
Solución:
( )
( )
16y5x4:
1516
y4
x::Luego
516b;4a: y De
1b36
a49:6,7B
1b4
a9:23,A
1by
ax:
22
22
22
22
22
2
2
2
2
=−∴
=−
==
→=−∈=
→=−∈−=
=−
H
H
H
H
H
"!
"
!
!
!
!
!
Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el
golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el
lugar geométrico de P es una hipérbola.
Solución:
vettve:Además
sonido del Velocidad:Vbala la de Velocidad:V
:Sean
s
b
=⋅= !
!
!
6868686868
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
!→+=sbs V
BPVBR
VRP:problema del condición Por
( )LQQD
hipérbola de DefiniciónkBPRP
kVBRVBPRP
VBR
VBP
VRP
: De
bs
bss
=−
=×=−
=−
!
!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
6969696969
99999Capítulo
CURVAS PLANASDE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva potencial, cuya ecuación es: 32 xy = .
Solución:
...1.58.210y
...3210x
:valores de Cuadro
0x;xxyxyxy 332
±±±
≥±=±== ∀!!!
7070707070
Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva logarítmica, cuya ecuación es: xlogy 10=
Solución:
...21147.0301.00y
...1.0100941x
:valores de Cuadro
0x;xlogy 10
−
>= ∀!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7171717171
Trazar la curva exponencial, cuya ecuación es: 1xe4y −=
Solución:
...5.08.1044.1y
...1210x
:valores de Cuadro
x;e4y 1x
−
∈= ∀− ú!
7272727272
Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
Trazar la curva, cuya ecuación es:
=
3xcosy .
Solución:
12186.002186.01y
32522320x
:valores de Cuadro
−−−
ππππππ
La ley de Boyle - Mariotte establece que a una temperatura constante de
presión p y el volumen v de un gas satisfacen la ecuación cvp =⋅ , para
algún número real fijo c. Un cierto gas por debajo de una presión de 20
libras por pulgada cuadrada tiene un volumen de 300 pulgadas cúbicas.
Hallar c de la ecuación: cvp =⋅
Solución:
0p;p
6000v6000vp
:Luego
6000c30020ccvp
≠∀==⋅
=×==⋅
!
!!
!
!
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7373737373
...1600016000y
...6000160001x
:valores de Cuadro
−−
−−
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7575757575
1010101010Capítulo
PROBLEMASSUPLEMENTARIOS
¿Para qué valor de h estará el punto ( )3h,P −= en la recta determinada
por ( )1,1A −= y ( )4,7B = ?
41:Rpta.
Demostrar que el triángulo cuyos vértices son ( )10,5A = , ( )3,2B = y
( )5,6C −= es rectángulo. Hallar el área.
2u29:Rpta.
Si ( )5,12A = es el punto medio del segmento BC y ( )37,B −−= .
¿Cuáles son las coordenadas de C ?
( )17,27C =:Rpta.
Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:
)) ( ) x104xyb
04x2yxa2
222
=+
=−+
7676767676
Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia de
( )6,0A −= es dos veces su distancia de ( )6,0B = . Trazar la curva.
036x20yx 22 =+−+:Rpta.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( )5,3P = y su X-interceptor
es 10.
030y5x3 =−−:Rpta.
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )7,4P1 = y forma un
ángulo de 120º con la parte positiva del eje X.
0374yx3 =−−+:Rpta.
Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección
de las rectas 04y2x =−+ y 02yx4 =−− , tal que forman con el
primer cuadrante un triángulo de área 2u25 .
030y2x9,010yx2 =−+=−+:Rpta.
Los puntos ( )2,3X −= , ( )4,1Y = y ( )5,3Z −= son los vértices de un
triángulo. Hallar la ecuación de la recta perpendicular al lado XZ que pasa
por Y .
017y7x6 =−−:Rpta.
Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a ambos ejes, y su centro
está en el cuarto cuadrante.
( ) ( )3411y4x 22 =++−:Rpta.
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
7777777777
La ecuación de la circunferencia es 28x10yx 22 =−+ . Hallar la ecuación
de la recta tangente a la circunferencia en el punto ( )3,7A = .
043y7x2 =+−:Rpta.
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de
las circunferencias: 01yx2yx 22 =−+++ y 04y2x2yx 22 =−+++
y por el punto ( )0,3P −= .
03yx10y3x3 22 =++++:Rpta.
Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:
01y7x3yx2 22 =−−++
115y8x16 22 =+ NN:Rpta.
La parábola xp2y2 = tiene un extremo de la cuerda focal en el punto
( )8,8A = . Hallar las coordenadas del otro extremo.
−2,
21:Rpta.
Un cable suspendido se carga de tal manera que toma la forma de una
parábola. Los extremos tienen una separación de 400 pies y tienen una
altura de 100 pies del centro. Hallar la altura del cable a 50 pies desde el
centro.
pies 25.6:Rpta.
7878787878
Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Hallar la ecuación de la elipse con focos en ( )0,7F1 = y ( )120,F2 = , un
vértice en ( )160,V = .
( ) 14169219y
36x 22
=−+:Rpta.
Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje menor sobre el
eje Y, 54e = , cuerda normal (lado recto) 518 .
12y
6x 22
=+:Rpta.
Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje principal
(real) sobre el eje X; pasa por los puntos ( )3,1S = y ( )5,9T = .
12y
6x 22
=−:Rpta.
Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en ( )1,8C −= , con vértice en
( ),83V1 = , 3e = .
( ) ( ) 1128
8y16
1x 22=−−+:Rpta.
Trazar la curva, cuya ecuación es: 22 exy ⋅=