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Capıtulo 16
Teorema de pitagoras
Hemos visto que la razon de segmentos es igual a la de sus medidas toma-das con una misma unidad. Toda proporcion entre segmentos puede interpre-tarse como proporcion entre sus medidas. Habiendo elegido (arbitrariamente)una unidad, a todo segmento le corresponde el numero real de su medida conrespecto a dicha unidad. En lo que sigue, supondremos que hemos fijado unaunidad y entenderemos la expresion AB ·CD como el producto de las medidascon respecto a la unidad elegida de los segmentos AB y CD.
16.1. Rectas antiparalelas
s r
A a A’ O
b B’
B
Figura 1
Sean a y b dos rectas secantesen O. Sean r y s rectas secantes enlos puntos A, B y A′, B′ a las rec-tas a y b respectivamente, de modoque los pares AA′ y BB′ esten a unmismo lado o a distinto lado de O,y que el angulo ^OAB sea igual a^A′B′O. Diremos que las rectas r ys son antiparalelas respecto de a y b.
Tambien son iguales los angulos
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138 CAPITULO 16. TEOREMA DE PITAGORAS
s
A’
B’
O
B
A a
b r
Figura 2
∠ABO y ∠B′A′O por ser suplemen-tarios de la suma de los anteriores conAOB. La recta r forma ası con cadauna de las rectas a y b, angulos igualesa los que su antiparalela s forma conestas. Se sigue que el antiparalelismoes una relacion recıproca, esto es: Lasrectas a y b son tambien antiparalelasrespecto de r y s.
Los triangulos AOB y B′OA′ son semejantes porque tienen, respectiva-mente iguales los angulos homologos en este orden. Por tanto
OA
OB=
OB′
OA′ , (16.1)
OA · OA′ = OB · OB′. (16.2)
Dos rectas concurrentes en O son cortadas por dos antiparalelas respectode ellas en puntos cuyo producto de distancias a O es el mismo en ambasrectas
Reciprocamente, si se verifica (16.2), o equivalentemente se verifica (16.1)y los angulos OAB y OB′A′ son iguales, los triangulos OAB′ y OBA′ sonsemejantes y las rectas AB y A′B′ son antiparalelas de las rectas OA y OB.
De (16.1) tambien se desperende que
OA
OB′ =OB
OA′ , (16.3)
O
A
a
b
B
r
A '
s
Figura 3
de modo que las rectas AB′ y A′Btambien son antiparalelas de OA yOB.
Si B coincide con B′ tendremos
OA · OA′ = (OB)2.
Diremos que el segmento OB es me-dio proporcional entre los segmentosOA y OA′.
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16.1. RECTAS ANTIPARALELAS 139
16.1.1. Triangulo rectangulo
Consideremos el triangulo rectangulo ABC, con angulo recto en C. SeaCH la altura del vertice C. Tenemos que el cateto CB y la altura CH sonantiparalelas de la hipotenusa AB y el otro cateto AC. Similarmente, laaltura CH y el cateto AC son antiparalelas del otro cateto y la hipotenusa.
A H B
C
Figura 4
Se sigue que
(AC)2 = AH · AB (16.4)
(BC)2 = BH · BA (16.5)
Cada cateto de un triangulo rectangu-lo es medio proporcional entre la hi-potenusa y su proyeccion sobre ella.
De la semejanza de los triangulos ACH y CBH se desprende que
HA
HC=
HC
HBde donde HA · HB = (HC)2 (16.6)
La altura sobre la hipotenusa de un triangulo rectangulo es media proporcionalentre los segmentos en que aquella divide a esta.
El recıproco tambien es cierto: Si la altura de un triangulo verifica laecuacion (16.6) entonces el triangulo es rectangulo.
En efecto, (16.6) prueba que el los triangulos ACH y CBH son semejantesy
∠ACH = ∠CBH = 90◦ − ∠HCB
de donde ∠ACB = ∠ACH + ∠HCB = 90◦.
16.1.2. Construcciones de medias proporcionales
Los teoremas anteriores permiten la construccion del segmento x medioproporcional a dos segmentos a y b dados. En la figura de la izquierda se ha
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140 CAPITULO 16. TEOREMA DE PITAGORAS
x
x
a
b
H
A
B
C
H
A
B
C
a
b
a b
Figura 5
construido el segmento AB = a+b, lasemicircunferencia ACB de diametroAB y el punto H tal que AH = a.La altura del triangulo es el segmen-to buscado. En la figura de la dere-cha, sea ha construido el segmentoAB = b, la semicircunferencia con di-cho diametro y el punto H de formatal que AH = a. El cateto AC cu-ya proyeccion es AH es el segmentobuscado.
Tambien tenemos el siguiente
Teorema 16.1.1 (Pitagoras) El cuadrado de la longitud de la hipotenusade un triangulo rectangulo es igual a la de las longitudes al cuadrado de loscatetos sumadas.
En efecto, basta sumar las ecuaciones (4) y (5) para obtenter
(AC)2 + (BC)2 = AH · AB + BH · BA = (AH + HB) · AB = (AB)2
16.1.3. Generalizacion del teorema de Pitagoras
c mn
b
A B
C
H
hca
Figura 6
Sean ABC un triangulo, a la me-dida del lado BC, c la medida del ladoAB y b la medida del lado AC. Tra-cemos por C la altura hc y sean m yn las medidas en valor absoluto de lossegmentos BH y AH respectivamen-te. En las figuras 6 y 7 tendremos
a2 = m2 + h2c = (c − n)2 + b2 − n2
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16.1. RECTAS ANTIPARALELAS 141
c mn
b
A B
C
H
hca
Figura 7
= b2 + c2 − 2nc
y en la figura 8
a2 = m2 + h2c = (c + n)2 + b2 − n2
= b2 + c2 + 2nc
De modo que a2 = b2 + c2 − 2nc si∠A < 90◦ y a2 = b2 + c2 + 2nc si∠A > 90◦. Si ∠A = 90◦ entonces
cm
n
b
A B
C
H
hca
Figura 8
n = 0.Segun este teorema, dadas las me-
didas de los tres lados de un triangu-lo se puede reconocer si es acutangu-lo, recto o obtusangulo sin contruirle,comprobando si el cuadrado del ladomayor es menor, igual o mayor quela suma de los cuadrados de los otrosdos.
16.1.4. Suma y diferencia de los cuadrados de los ladosde un triangulo
Apliquemos el teorema anterior para expresar los cuadrados de dos ladosa y b (a > b) de un triangulo ABC en funcion de la mitad del tercer lado y
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142 CAPITULO 16. TEOREMA DE PITAGORAS
c
b
A
B
C
H
m c
a
M
Figura 9
de la mediana correspondiente mc. Enel triangulo MBC tendremos
a2 = (c/2)2 + m2c + 2 c/2 MH.
Analogamente, en el triangulo AMCtendremos
b2 = (c/2)2 + m2c − 2 c/2 MH.
Sumando obtenemos
a2 + b2 = 2( c
2
)2
+ 2 m2c (16.7)
y restando
a2 − b2 =c
2MH (16.8)
Las ecuaciones (7) y (8) nos permiten hacer el siguiente analisis. Supongamoslos puntos A y B fijos. Podemos
1. Hallar el lugar geometrico de puntos en el plano cuyas distancias alcuadrado a los puntos A y B sumada es contante.
Puesto que la longitud AB = c es fija, la ecuacion (7) nos dice que dicholugar geometrico es la circunferencia cuyo centro es el punto medio delsegmento AB y para que tal lugar exista es necesario y suficiente quea2 + b2 > c2/2 = (AB)2/2
2. Hallar el lugar geometrico de puntos en el plano cuyas distancias alcuadrado a los puntos A y B restadas es constante.
En este caso la ecuacion (8) nos dice que los puntos que stisfacen lacondicion han de tener la misma proyeccion H sobre el segmento AC.El lugar geometrico resulta ser una recta perpendicular a la recta AB.
Ejercicios.
1. Sean a, b, r y s dos pares de rectas antiparalelas (veanse las figuras 1,2, o 3). Sean A, A′ B y B′ los puntos de interseccion de estas rectas,tal como aparecen en las figuras refieridas. Muestre que dichos puntosse hallan sobre una cirunferencia.
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16.1. RECTAS ANTIPARALELAS 143
2. Para el triangulo de la figura 9 muestre que si a = b entonces MH = 0
3. Referiendonos a la figura 9, si a2 + b2 > c2 halle el radio de la circunfe-rencia cuya distancia a los puntos A y B es a2 + b2.