Capítulo 2. Funciones de variable real.

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“Mientras el álgebra y la Geometría han estado separadas, su progreso ha sido lento y sus aplicaciones limitadas; pero una vez vinculadas estas ciencias, se prestaron apoyo mutuo y avanzaron rápidamente hacia la perfección. Le debemos a Descartes la aplicación del álgebra a la geometría; esto se ha convertido en la clave de los mayores descubrimientos en todos los campos de las matemáticas ".

(LaGrange 1795, Oeuvres, vol. 7, p. 271)1

2.1 El Plano cartesiano

La geometría analítica es un enfoque de la geometría en la que los objetos están representados por ecuaciones o desigualdades. En esta disciplina, es necesario contar con un punto de referencia; de esta manera, todos los objetos, ecuaciones o inecuaciones, se ubicarán en relación con esta referencia lo que obliga a establecer un sistema de coordenadas.

René Descartes (1596-1650) es el creador de la geometría analítica2. Fue quien propuso el método de describir la ubicación de los puntos en un plano cartesiano, llamado así en su honor, y que las líneas pueden ser representadas por ecuaciones utilizando esta técnica, siendo el primero en relacionar el álgebra y la geometría. A este método lo llamo “método de coordenadas”. Descartes estableció que podía pasar un problema geométrico a su contraparte algebraica mediante un sistema de coordenadas. El plano cartesiano está formado por dos líneas perpendiculares, que se cortan formando un ángulo de 90°; una de estas líneas, comúnmente la horizontal, se conoce como eje de las 𝑥𝑥´𝑠𝑠 y la otra, línea vertical, es el eje de la 𝑦𝑦´𝑠𝑠. Este sistema se denomina ejes coordenados. Cada eje tiene una escala y el punto donde se cruzan se conoce como origen. Este es el único punto donde el valor de 𝑥𝑥 y el valor de 𝑦𝑦 es cero. Dicha intersección divide al plano en cuatro partes, tomando como primer cuadrante el superior derecho, y numerando en sentido inverso a las manecillas del reloj.

En él 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥, los valores a la derecha del origen son positivos y los de la izquierda son negativos. Por el otro lado, en el eje de las 𝑦𝑦`𝑠𝑠, los valores por encima del origen son positivos y los de abajo negativos.

1 Hairer, E., Warner, G. Analysis by its history. Springer, New York 2008. 2 La geometría analítica nace en 1637, cuando Descartes pública, como anónimo para evitar problemas con la iglesia, su famoso libro EL DISCURSO DEL MÉTODO. La tercera parte de esta obra lleva por título “La Geometría”, donde expone los principios fundamentales de la geometría analítica.

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La ubicación geográfica de un punto en el plano es identificada por un par de números. El primero, indica la posición del punto en el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑋𝑋 y el segundo corresponde a la posición en 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑌𝑌. En conjunto, definen una posición única.

Por ejemplo, el punto 𝑃𝑃(2,3), en donde 𝑥𝑥 = 2 es la coordenada horizontal y 𝑦𝑦 = 3 es la coordenada vertical. El signo de la coordenada es importante. Un número positivo significa ir a la derecha del eje de las 𝑥𝑥´𝑠𝑠 o arriba, eje de las 𝑦𝑦´𝑠𝑠. Los valores negativos van a la izquierda del eje de las 𝑥𝑥´𝑠𝑠 o abajo del eje de las 𝑦𝑦´𝑠𝑠.

Es importante destacar que existe una correspondencia entre los pares de números y los puntos donde se representan. A cada par de números, que vamos a llamar coordenadas de un punto, le corresponde un único punto en el espacio y viceversa. Finalmente, a la primera coordenada 𝑥𝑥`𝑠𝑠 se le llama abscisa; y la segunda coordenada la de las 𝑦𝑦`𝑠𝑠 es la ordenada de este punto. Un punto en el plano, 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es diferente entonces a otro punto 𝑄𝑄(𝑦𝑦, 𝑥𝑥), por esta razón es importante escribir las coordenadas de un punto en su propio orden. Por ejemplo, el punto (2,3) es diferente al punto (3,2). Así, un punto en el plano, abscisa y ordenada, se le conoce como par ordenado. Ejercicios.

1. Grafique los siguientes pares ordenados (−3,4), (2,5), (3,−2)

2. Escriba las coordenadas de los puntos que se indican en la gráfica, a la derecha.

3. En que cuadrante se ubican los siguientes puntos

𝐴𝐴(5,−3),𝐵𝐵(−2 − 4)𝑦𝑦 𝐶𝐶(3,3) Si tenemos al menos dos puntos en el plano podemos determinar los siguientes elementos:

• La distancia entre ellos • La forma de la línea que los une, ecuación y pendiente • Construir y encontrar líneas paralelas o perpendiculares.

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2.2 Distancia entre dos puntos.

Dados dos puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1)𝑦𝑦 𝑄𝑄(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) del plano cartesiano y queremos encontrar la distancia que hay entre ellos, nos apoyamos en el teorema de Pitágoras3.

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado, que justamente es la distancia 𝑑𝑑 entre los puntos.

𝑑𝑑2 = (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2 Entonces, la distancia entre dos puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝑦𝑦 𝑄𝑄(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) está definida por la ecuación;

𝒅𝒅 = �(𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏)𝟐𝟐 + (𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟏𝟏)𝟐𝟐

Ejemplo: Dados los puntos 𝑃𝑃(2,4) 𝑦𝑦 𝑄𝑄(8,−4); encontrar la distancia entre los puntos.

(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) = (2,4) (𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) = (8,−4) 𝑑𝑑 = �(8 − 2)2 + (−4 − 4)2 = √100 = 10 Ejemplo: Si la distancia entre dos puntos es 𝑑𝑑 = 5 y uno de los puntos extremos es (3,−2), y la abscisa del otro extremo es 6, encontrar el valor de la ordenada ´𝑦𝑦´. 5 = �(𝑦𝑦 + 2)2 + (6 − 3)2 ⇒ 52 = (𝑦𝑦 + 2)2 + 32

25 − 9 = (𝑦𝑦 + 2)2 ⇒ 16 = (𝑦𝑦 + 2)2

√16 = �(𝑦𝑦 + 2)2 ⇒ ±4 = 𝑦𝑦 + 2 por lo tanto, tendremos dos respuestas que son válidas, Para 4 = 𝑦𝑦 + 2 los que al despejar obtenemos 𝑦𝑦 = 2, Y para −4 = 𝑦𝑦 + 2, al despejar 𝑦𝑦 = −6 Ambos resultados son correctos.

Una vez que conocemos la distancia entre dos puntos, el interés se centra en conocer la ecuación de la línea que pasa por ellos.

3 Nos referimos al teorema que señala que; en un triángulo rectángulo, “la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

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2.3 La Línea recta

Dados dos puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝑦𝑦 𝑄𝑄(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) podemos trazar una línea recta que pase por ellos. Esta línea es única, y puede ser expresada por medio de la ecuación general 𝒚𝒚 = 𝒎𝒎𝒙𝒙 + 𝒃𝒃, donde 𝑥𝑥,𝑦𝑦 son variables y 𝒎𝒎 es una constante denominada pendiente de la recta. La pendiente relaciona la inclinación de la línea con respecto al sistema cartesiano, y 𝒃𝒃 es la llamada ordenada al origen, es el punto en el cual la recta corta el eje de las ordenadas. En forma gráfica se verían así, dependiendo del valor de la pendiente. Si la línea recta es inclinada hacia arriba a la derecha, la pendiente será un número positivo, mientras mayor sea el valor de la pendiente más vertical es. Si, por lo contrario, la línea recta se inclina hacia abajo a la derecha, la pendiente tendrá un valor negativo. El valor absoluto de la pendiente indicará el grado de la inclinación. En el caso de que la pendiente sea cero, la ecuación de la recta será 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏, que es paralela al eje de las 𝑥𝑥. En forma gráfica se verían así:

Como se muestra en las gráficas anteriores, el valor de la variable ′𝑦𝑦′ cambia proporcionalmente al valor de ′𝑥𝑥′. Como se distingue en la gráfica a mayor pendiente mayor inclinación de la recta ya sea positiva, a la izquierda, o negativa.

• 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚 > 0 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑑𝑑𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 • 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚 < 0 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑑𝑑𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 • 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚 = 0 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑑𝑑𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒

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• 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝, 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟𝑝𝑝𝑙𝑙 Así que, la relación lineal entre dos variables se expresa por 𝒚𝒚 = 𝒎𝒎𝒙𝒙 + 𝒃𝒃, también se puede escribir como 𝒚𝒚(𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙 + 𝒃𝒃 o simplemente como 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙).

2.3.1 Cálculo de la pendiente La pendiente, como ya lo hemos indicado antes, mide la inclinación de la recta. Es decir, la variación del valor de la función cuando la variable independiente 𝑥𝑥 aumenta en una unidad. Gráficamente representa la variación vertical de la recta cuando las abscisas cambian en una unidad. En otras palabras, podemos ver a la pendiente como “cuantos escalones subo o bajo cuando avanzo un paso de 𝑥𝑥. También, la pendiente se obtiene como la diferencia en el eje de las 𝑦𝑦’𝑠𝑠 dividido por la diferencia en el eje de la 𝑥𝑥’𝑠𝑠 para dos puntos cualesquiera en una recta. De tal forma que, dados dos puntos de la línea 𝐴𝐴(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝑦𝑦 𝐵𝐵(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2), la pendiente está dada por la fórmula

Pendiente 𝑚𝑚 = 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥

= 𝛥𝛥2−𝛥𝛥1𝛥𝛥2−𝛥𝛥1

dónde: 𝑥𝑥1 es la coordenada 𝑥𝑥 del punto A 𝑦𝑦1 la coordenada 𝑦𝑦 del punto A 𝑥𝑥2 es la coordenada 𝑥𝑥 del punto B 𝑦𝑦2 la coordenada 𝑦𝑦 del punto B

Dados dos puntos de la recta, 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) y el punto 𝑃𝑃2(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2). Estos puntos de ben verificar la ecuación de la recta,

𝑦𝑦2 = 𝑚𝑚𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏 𝑦𝑦 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚𝑥𝑥1 + 𝑏𝑏

Al restar las ecuaciones tendremos 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚𝑥𝑥1. Finalmente despejamos y obtenemos la ecuación de la pendiente

(𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1) = 𝑚𝑚(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑚𝑚 ==𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

No importa qué punto se elija para A o B, basta que ambos estén en la misma línea y la pendiente será la correcta. Para demostrar que tres puntos, A, B y C pertenecen a la misma recta, la pendiente entre ellos debe ser la misma.

Ejemplos 1) Como se interpretan las siguientes funciones económicas.

a. La función de costos siguiente, donde 𝑟𝑟 es el costo y 𝑥𝑥 la producción.

𝑟𝑟(𝑥𝑥) = 70.3𝑥𝑥 + 6000

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Esta función nos indica que, si la producción aumenta en una unidad, por ejemplo, un artículo o una tonelada, el costo aumenta en $70.3 pesos.

b. Una función de demanda como la siguiente, 𝑞𝑞 es la demanda y 𝑝𝑝 el precio.

𝑞𝑞(𝑝𝑝) = 850 − 25𝑝𝑝

Entonces, si el precio aumenta en una unidad, el consumo disminuye en 25 unidades

2) Determinar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos 𝐴𝐴(−3,2)𝑦𝑦 𝐵𝐵(8,14) y por los puntos 𝐶𝐶(40,5)𝑦𝑦 𝐷𝐷(10,20)

𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 = 14−28−(−3) = 12

11= 1.09 𝑚𝑚𝐶𝐶𝐶𝐶 = 20−5

10−40= 15

−30= −0.5

3) Tres puntos pertenecen a la misma recta si las pendientes 𝐴𝐴𝐵𝐵 y 𝐵𝐵𝐶𝐶 son iguales, grafique y determine si los siguientes puntos pertenecen a la misma recta.

a. 𝐴𝐴(2,5), 𝐵𝐵(−1,2), 𝐶𝐶(−6,−3) b. 𝐴𝐴(1,5), 𝐵𝐵(2,3), 𝐶𝐶(−2,−1) c. 𝐴𝐴(−2,7), 𝐵𝐵(0,3), 𝐶𝐶(2,−1)

Solución a. 𝐴𝐴(2,5), 𝐵𝐵(−1,2), 𝐶𝐶(−6,−3)

Recta 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐴𝐴(2,5) = 𝐴𝐴(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝐵𝐵(−1,2) = 𝐵𝐵(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2)

𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2−5−1−2

= −3−3

= 1

Recta 𝐵𝐵𝐶𝐶

𝐵𝐵(−1,2) = 𝐵𝐵(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝐶𝐶(−6,−3) = 𝐶𝐶(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2)

𝑚𝑚𝐴𝐴𝐶𝐶 = −3−2−6+1

= −5−5

= 1

Como 𝒎𝒎𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝒎𝒎𝑨𝑨𝑩𝑩 = 1 ∴ Si pertenecen a la misma recta

b. 𝐴𝐴(1,5), 𝐵𝐵(2,3), 𝐶𝐶(−2,−1)

Recta 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐴𝐴(1,5) = 𝐴𝐴(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝐵𝐵(2,3) = 𝐵𝐵(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2)

𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 =3 − 52 − 1

=−21

= −2

Recta 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐵(2,3) = 𝐵𝐵(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝐶𝐶(−2,−1) = 𝐶𝐶(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) Las pendientes 𝒎𝒎𝑨𝑨𝑨𝑨 ≠ 𝒎𝒎𝑨𝑨𝑩𝑩 son diferentes, no

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𝑚𝑚𝐴𝐴𝐶𝐶 = −1−3−2−2

= −4−4

= 1 pertenecen a la misma recta c. 𝐴𝐴(−2,7), 𝐵𝐵(0,3), 𝐶𝐶(2,−1)

Recta 𝐴𝐴𝐵𝐵

𝐴𝐴(−2,7) = 𝐴𝐴(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝐵𝐵(0,3) = 𝐵𝐵(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 = 3−7

0+2= −4

2= −2

𝐵𝐵(2,3) = 𝐵𝐵(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝐶𝐶(−2,−1) = 𝐶𝐶(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2)

𝑚𝑚𝐴𝐴𝐶𝐶 =−1 − 32 − 0

=−42

= −2

𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐶𝐶 = −2 ∴ Si pertenecen a la misma recta

2.3.2 Ecuación de la recta

Para encontrar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, se utiliza uno de los siguientes métodos:

a) Si disponemos de las coordenadas de dos puntos de la recta, método punto-punto. b) Dadas las coordenadas de un punto y la pendiente de la recta, método punto-

pendiente

No importa el método a utilizar, dependiendo de los datos conocidos, la ecuación es la misma.

𝒚𝒚 = 𝒎𝒎𝒙𝒙 + 𝒃𝒃 Ecuación punto-punto Supongamos que 𝐴𝐴(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) y 𝐵𝐵(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) son dos puntos de una misma recta. Como vimos en el ejemplo anterior, si tomamos un tercer punto de la recta 𝐶𝐶(𝑥𝑥,𝑦𝑦) se debe cumplir que las pendientes 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐶𝐶 deben ser iguales, como hemos demostrado anteriormente, entonces, las pendientes son:

𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝛥𝛥2−𝛥𝛥1𝛥𝛥2−𝛥𝛥1

y 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝛥𝛥−𝛥𝛥1𝛥𝛥−𝛥𝛥1

Al igualar estas pendientes tenemos,

𝛥𝛥−𝛥𝛥1𝛥𝛥−𝛥𝛥1

= 𝛥𝛥2−𝛥𝛥1𝛥𝛥2−𝛥𝛥1

la podemos reescribir así,

𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟏𝟏 =

𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏

(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟏𝟏)

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que es la ecuación punto-punto, de la recta que pasa por dos puntos.

Ejemplos.

1) Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a) 𝐴𝐴(40,5) y 𝐵𝐵(10,20)

𝐴𝐴(40,5) = 𝐴𝐴(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) y 𝐵𝐵(10,20) = 𝐵𝐵(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) la ecuación de la recta es;

𝑦𝑦 − 5 = 20−510−40

(𝑥𝑥 − 40) ⇒ 𝑦𝑦 − 5 = 15−30

(𝑥𝑥 − 40). Despejamos 𝒚𝒚 = −𝟎𝟎.𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟓𝟓

¿Qué pasaría si utilizamos la formula 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟐𝟐 =𝒚𝒚𝟐𝟐−𝒚𝒚𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐−𝒙𝒙𝟏𝟏

(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟐𝟐)?

¿Se alterará el resultado? Veamos,

𝑦𝑦 − 20 = 20−510−40

(𝑥𝑥 − 10) → 𝑦𝑦 − 20 = −0.5(𝑥𝑥 − 10). Despejamos 𝒚𝒚 = −𝟎𝟎.𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝟓𝟓

Que es el mismo resultado, así pues, podemos usar cualquiera sin afectar el resultado.

b) 𝑃𝑃(5,−2) y 𝑄𝑄(−1,3)

𝑃𝑃(5,−2) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) y 𝑄𝑄(−1,3) = 𝑄𝑄(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) la ecuación de la recta es;

𝑦𝑦 + 2 =3 + 2−1− 5 (𝑥𝑥 − 5) ⇒ 𝑦𝑦 + 2 =

5−6

(𝑥𝑥 − 5) ⇒ 𝑦𝑦 = −56𝑥𝑥 +

256−

126

Despejamos 𝑦𝑦 = −56𝑥𝑥 + 13

6 finalmente la ecuación de la recta es 𝟔𝟔𝒚𝒚 + 𝟓𝟓𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟏𝟏

c) De acuerdo con los datos de población publicados por el INEGI, Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática, nos dice que la población de México para el año 2000 fue de 97 millones y en el año 2010 de 112 millones de personas, aproximadamente. Estimar la población en el 2020 y 2025 ¿cuál fue la población para el 2015?

Si 𝑝𝑝 es el número de años transcurridos, desde el año 2000. Entonces 𝑝𝑝 tomará los siguientes valores; 𝑝𝑝2000 = 0, 𝑝𝑝2001 = 1, 𝑝𝑝2002 = 2, … ..

Entonces tendremos los puntos 𝑃𝑃(0,97) = 𝑃𝑃(𝑝𝑝1,𝑝𝑝1) 𝑦𝑦 𝑄𝑄(10,112) = 𝑄𝑄(𝑝𝑝2,𝑝𝑝2). La ecuación lineal será entonces;

𝑝𝑝 − 97 = 112−9710−0 (𝑝𝑝 − 0) ⇒ 𝑝𝑝 − 97 = 15

10(𝑝𝑝) ⇒ 𝑝𝑝 − 97 = 3

2𝑝𝑝 ⇒ 𝑝𝑝 = 3

2𝑝𝑝 + 97.

Para encontrar las poblaciones que nos piden, sustituimos los valores en esta ecuación,

𝑝𝑝2015 =32

(15) + 97 = 119.5

𝑝𝑝2020 =32

(20) + 97 = 127

𝑝𝑝2025 =32

(25) + 97 = 134.5

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Se puede reescribir también esta ecuación como 𝒑𝒑(𝒕𝒕) = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝒕𝒕 + 𝟗𝟗𝟗𝟗

Ecuación punto-pendiente. La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥1, 𝑦𝑦1) y tiene pendiente 𝑚𝑚 se deduce de los resultados anteriores; es decir, nos relaciona un punto de la recta y su pendiente

𝒚𝒚 − 𝒚𝒚𝟏𝟏 = 𝒎𝒎(𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟏𝟏)

Si despejamos ′𝑦𝑦′ podremos encontrar la ecuación de la recta en la forma 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏

Ejemplo. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃𝑃(−1,2) y que tiene como pendiente 4. Primero se sustituye el punto en la ecuación 𝑦𝑦 − 2 = 4(𝑥𝑥 + 1) Efectuamos las operaciones y nos queda 𝑦𝑦 − 2 = 4𝑥𝑥 + 4 Simplificamos 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 + 6

Ejercicios. 1. Hallar la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos.

a) (1,3) 𝑦𝑦 (2,4) e) (−1,2) 𝑦𝑦 (−3,−3) b) (−5,3) 𝑦𝑦 (4,5) f) ( 𝑝𝑝, 3) 𝑦𝑦 (2 + 𝑝𝑝, 5) c) (15,3) 𝑦𝑦 (3,6) g) (𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝑦𝑦 (2 + 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 + 3) d) (2,7) 𝑦𝑦 (8,13) h) (𝑥𝑥 − 1,𝑦𝑦) 𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦 − 3)

2. Para la siguiente línea recta, 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 + 2, determinar cuales de los siguientes puntos estan en esta línea, justifique su respuesta.

a) 𝐴𝐴(0,1) d) 𝐷𝐷(2,5) b) 𝐵𝐵(0,2) e) 𝐸𝐸(−1,−3) c) 𝐶𝐶(1,7) e) 𝐹𝐹(−2,−8)

3. Dibuje la gráfica y encuentre la ecuación de una función tal que, a) Su gráfica pase por los puntos 𝑃𝑃(3, 5)𝑦𝑦 𝑄𝑄(6,−2) b) La ecuación de la recta cuya pendiente es 3, e intercepta al eje de las 𝑦𝑦′𝑠𝑠 en −3 c) La ecuación la recta 𝐿𝐿, pasa por el punto 𝑃𝑃(3, 3) y 𝑑𝑑(2) = 5 d) La ecuación de la recta que tiene como pendiente 3 y que pasa por el punto (3, 6) e) La ecuación que tiene como pendiente −2 y 𝑑𝑑(−1) = 2

3. El propietario de un negocio de abarrotes encuentra que puede vender 980 litros de leche cada semana a $8.5 pesos el litro y 1,220 litros a la semana a un precio de $8.20. Suponga una relación lineal entre el precio de venta y la demanda ¿cuántos litros puede vender a la semana a $9.2 peso por litro.

4. Una organización de productores de café orgánico sabe que puede vender 300 kilos de café al día, si el precio por kilo es de $25 pesos. Ellos piensan que podrán vender 350 si

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el precio por kilo lo reducen a $20 pesos por kilo. Determine la ecuación de la demanda suponiendo que es lineal.

5. La tabla siguiente muestra el número de familias y el ingreso familiar en una comunidad indígena, en miles de unidades monetarias. Representar los puntos de la tabla en un plano 𝑋𝑋𝑌𝑌, dibujar la recta que pasa por los puntos extremos (6, 3.5) y (10, 14.5). Hallar la ecuación de esta recta, ¿Cómo se interpreta la pendiente?

Familias (𝑥𝑥) 6 8 26 15 12 10 Ingreso familiar (𝑦𝑦) 3.5 9.8 5.2 7.5 12.0 14.5

Formas rápidas para encontrar la ecuación de una recta

Algunas formas alternativas para encontrar y representar la ecuación de una recta se basan en la fórmula punto-pendiente. Como se vio antes, esta fórmula se centra en la pendiente y en un punto de la recta. Una primera alternativa, es sustituir la pendiente por 𝑚𝑚 = −𝐴𝐴

𝐴𝐴. Esta transformación

modifica la ecuación y nos queda ahora,

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = −𝐴𝐴𝐵𝐵

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)

Hacemos un arreglo de términos 𝐵𝐵(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0) = −𝐴𝐴(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)

Con esto la nueva forma de la ecuación de la recta es 𝑨𝑨𝒙𝒙 + 𝑨𝑨𝒚𝒚 − (𝑨𝑨𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝑨𝑨𝒚𝒚𝟎𝟎) = 𝟎𝟎 Ejemplo. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por 𝑃𝑃(5,−2) y pendiente 𝑚𝑚 = 5

6

A partir del enunciado sabemos que 𝐴𝐴 = 5 y 𝐵𝐵 = 6. Igualmente 𝑥𝑥0 = 5 y 𝑦𝑦0 = −2. Sustituimos estos valores en la ecuación y tenemos,

5𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − (5 ∗ 5 − 6 ∗ 2) = 0 ⇒ 5𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 − 13 = 0 Esta ecuación se obtiene de manera más rápida que por la fórmula punto-pendiente. La segunda alternativa rápida consiste en obtener la línea recta a partir de los puntos que cortan los ejes coordenados. Si el punto donde la recta corta el eje 𝑥𝑥`𝑠𝑠 es (𝑝𝑝, 0) y la intersección con el eje de las 𝑦𝑦`𝑠𝑠 es (0, 𝑏𝑏) y la pendiente 𝑚𝑚 = −�𝑎𝑎

𝑏𝑏�. Entonces, aplicamos

la fórmula punto-punto y llegamos a la ecuación. Para los puntos (𝑝𝑝, 0) y (0, 𝑏𝑏) 𝑦𝑦 − 𝑏𝑏 = 𝑏𝑏−0

0−𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 0) ⇒ 𝑦𝑦 − 𝑏𝑏 = −𝑏𝑏

𝑎𝑎𝑥𝑥 ⇒

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𝑝𝑝(𝑦𝑦 − 𝑏𝑏) = −𝑏𝑏𝑥𝑥

𝑝𝑝𝑦𝑦 − 𝑝𝑝𝑏𝑏 = −𝑏𝑏𝑥𝑥 ⇒ 𝑝𝑝𝑦𝑦𝑝𝑝𝑏𝑏

+𝑏𝑏𝑥𝑥𝑝𝑝𝑏𝑏

=𝑝𝑝𝑏𝑏𝑝𝑝𝑏𝑏

Finalmente, la ecuación que buscamos es 𝛥𝛥

𝑏𝑏+ 𝛥𝛥

𝑎𝑎= 1

Ejemplo. Encontrar la ecuación de la recta, si los puntos de intersección con los ejes son (6,0) y (0,3). Sustituimos en la ecuación anterior,

𝑦𝑦3

+𝑥𝑥6

= 1 ó 2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 = 6

Intersección entre dos rectas.

Si tenemos dos rectas 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 y 𝑛𝑛 = 𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑑𝑑 que podemos representar como 𝑑𝑑(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥). Para encontrar el punto de intersección debemos resolver la ecuación que resulta de hacer 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛(𝑥𝑥). De esta manera encontraremos el valor de la abscisa 𝑥𝑥0 donde las dos rectas se cruzan. Para el valor de la ordenada, sustituimos el valor de la abscisa en la ecuación; es decir hacemos 𝑦𝑦0 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥0). Así, tendremos el punto de intersección (𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0).

Ejemplo. Dadas las siguientes ecuaciones 𝑦𝑦 = 7𝑥𝑥 + 3 y 𝑦𝑦 = −3𝑥𝑥 + 13, encontrar el punto de intersección.

Primero igualamos las rectas 7𝑥𝑥 + 3 = −3𝑥𝑥 + 13

Despejamos 7𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 = 13 − 3 de donde 10𝑥𝑥 = 10 ⇒ 𝑥𝑥 = 1

Sustituimos en una ecuación, por ejemplo, la primera, 𝑦𝑦 = 7(1) + 3 ⇒ 𝑦𝑦 = 10

El punto de intersección es entonces (𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟎𝟎)

2.3.3 Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si por más que se prolonguen nunca se encuentran; es decir si tienen la misma pendiente. Una forma alternativa, aunque más larga, de demostrar este paralelismo es resolver el sistema de ecuaciones que forman las dos rectas; si el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas. Por lo contrario, si dos rectas no son paralelas,

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entonces se juntan en algún punto, tienen un punto de intersección. Si este es el caso, el punto de intersección se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones. Ejemplos:

1. Dadas las ecuaciones de las rectas 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 + 10 𝑒𝑒 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 + 20, son paralelas ya que ambas tienen la misma pendiente. 𝑚𝑚 = 4. (Se deduce de la ecuación general de la recta 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)

2. En las siguientes ecuaciones; 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5 𝑦𝑦 − 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −5 no son paralelas ya

que tiene pendientes distintas. Si las pasamos a su forma general,

𝑦𝑦 = −4𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 − 5 Tienen pendientes diferentes 𝑚𝑚1 = −4 𝑦𝑦 𝑚𝑚2 = 4

3. Demostrar que las rectas 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 6 y 9𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 20 son paralelas. Si no lo son, encontrar el punto de intersección.

Multiplicamos la primera ecuación por (-3) y la restamos a la segunda.

3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 6 (−3)9𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 20

0𝑥𝑥 + 0𝑦𝑦 = 2

No hay punto de

intersección. Las rectas son paralelas.

4. Las rectas 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 5; 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 + 2 no son paralelas ya que sus pendientes 𝑚𝑚1 = 3

y 𝑚𝑚2 = 4 son distintas. El punto de intersección es;

4𝑥𝑥 + 2 = 3𝑥𝑥 − 54𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 = −5 − 2

𝑥𝑥 = −7

Sustituimos en la primera ecuación para encontrar el valor de 𝑦𝑦 = 3(−7) − 5 = −26 El punto de intersección es (−𝟗𝟗,−𝟐𝟐𝟔𝟔)

68

2.3.4 Rectas perpendiculares

Dos rectas con pendientes 𝑚𝑚1 y 𝑚𝑚2 son perpendiculares si la multiplicación de sus pendientes es 𝑚𝑚1𝑚𝑚2 = −1. En el espacio, estas rectas se interceptan en un ángulo recto.

Para demostrar esta condición, obtenemos las pendientes, del gráfico, y las igualamos.

𝑚𝑚1 = 𝛥𝛥2−𝛥𝛥0𝛥𝛥2−𝛥𝛥0

y 𝑚𝑚2 = 𝛥𝛥0−𝛥𝛥1𝛥𝛥1−𝛥𝛥0

Igualamos las pendientes 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 tenemos,

𝑚𝑚1 = 𝛥𝛥0−𝛥𝛥1𝛥𝛥1−𝛥𝛥0

⟹ 𝑚𝑚1 = −(𝛥𝛥1−𝛥𝛥0)𝛥𝛥1−𝛥𝛥0

⟹

𝑚𝑚1 = − 1(𝑥𝑥1−𝑥𝑥0)𝑦𝑦1−𝑦𝑦0

⟹ 𝑚𝑚1 = − 1𝑚𝑚2

Finalmente 𝑚𝑚1𝑚𝑚2 = −1 que es la condición de perpendicularidad

E.g.:

a) Encontrar la recta perpendicular a 𝑦𝑦 = −3𝑥𝑥 + 5 y que pasa por el punto 𝑃𝑃(4, 12) Por la condición de perpendicularidad 𝑚𝑚1𝑚𝑚2 = −1

𝑚𝑚1 = −3 entonces 𝑚𝑚2 = 13

La ecuación de la recta que pasa por 𝑃𝑃(4, 12) y es perpendicular a

𝑦𝑦 = −3𝑥𝑥 + 5

Recta perpendicular

𝑦𝑦 − 12 =13

(𝑥𝑥 − 4) ⇒ 𝑦𝑦 =13𝑥𝑥 +

323

𝑦𝑦 =13

(𝑥𝑥 + 32)

b) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃𝑃(2, 10) y que es perpendicular a la recta 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 1 = 0

Despejamos la variable ′𝑦𝑦′ y obtenemos la pendiente de la recta dada.

3𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 − 1 ⇒ 𝑦𝑦 = 53𝑥𝑥 −

13

Por la condición de perpendicularidad 𝑚𝑚1𝑚𝑚2 = −1 𝑚𝑚1 = 5

3 entonces 𝑚𝑚2 = −3

5

Sustituimos en la fórmula 𝑦𝑦 − 10 = −35

(𝑥𝑥 − 2) ⇒ 𝑦𝑦 = −35𝑥𝑥 +

65

+ 10

La ecuación de la recta que pasa por 𝑃𝑃(2, 10) y es perpendicular a la recta 5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 1 = 0 es

5𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥 − 56 = 0

69

c) Sean las rectas 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 + 22; 𝑦𝑦 + 8𝑥𝑥 − 34 = 0. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección y es perpendicular a la recta 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥 + 18

Encontrar el punto de intersección Sustituimos el valor de x en la primera ecuación

4𝑥𝑥 + 22 = −8𝑥𝑥 + 34 12𝑥𝑥 = 12 𝑥𝑥 = 1

𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 + 22 𝑦𝑦 = 4(1) + 22 = 26 punto (1,26)

Sustituir en la fórmula

𝑚𝑚1 = 3 entonces 𝑚𝑚2 = −13

𝑦𝑦 − 26 = −13

(𝑥𝑥 − 1) ⇒ 𝑦𝑦 = −13𝑥𝑥 +

13

+ 26

La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,26) y es perpendicular a 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 18.

3𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 − 79 = 0

Distancia de un punto a una recta

La distancia más corta de un punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) a una recta es la distancia perpendicular que se puede trazar de este punto a la recta. Para encontrar esta distancia se deben realizar los siguientes pasos:

• Encontrar la recta perpendicular que pasa por la recta y el punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦).

• Determinar el punto de intersección entre las dos rectas 𝑄𝑄(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0)

• Calcular la distancia entre el punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) y el punto 𝑄𝑄(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0), de acuerdo con la formula 𝒅𝒅 = �(𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟏𝟏)𝟐𝟐 + (𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟏𝟏)𝟐𝟐

Ejemplo. Determinar la distancia más corta entre la recta 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 7 y el punto 𝑃𝑃(−2,−5)

• La recta perpendicular a la recta 𝑦𝑦, que pasa el punto (−2,−5) con pendiente 1 es; 𝑦𝑦 + 5 = 1(𝑥𝑥 + 2). Simplificando tenemos 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 3

• El punto de intersección es, −𝑥𝑥 + 7 = 𝑥𝑥 − 3 despejamos y nos queda 𝑥𝑥0 = 5 y 𝑦𝑦0 = 2. El punto de intersección es 𝑄𝑄(5,2)

• La distancia entre 𝑃𝑃(−2,−5) y 𝑄𝑄(5, 2) 𝒅𝒅 = �(𝟓𝟓 + 𝟐𝟐)𝟐𝟐 + (𝟐𝟐 + 𝟓𝟓)𝟐𝟐 = 𝟗𝟗.𝟗𝟗

70

Ejercicios

1. Obtenga la ecuación de la recta y la pendiente que pasa por los puntos dados

1.1. (4,15), (13,2) 1.6 (2,1), (17,5) 1.2. (3,7), (15,10) 1.7 (6,−2), (12,8) 1.3. (2 − ,1), (6,7) 1.8 (4,3), (−3,3) 1.4. (8,−2), (−3, 8) 1.9 �1

2,−3� , (−3

4, 8)

1.5. (10,2), (10,8) 1.10 ��14

, 7� ,�−5, �53�

2. Obtener la ecuación de la recta y su grafica

3.1. Pasa por el punto (3, 5) y es perpendicular a la recta 3𝑥𝑥 − 13𝑦𝑦 + 12 = 0 3.2. Pasa por el origen y es paralela a la recta 6𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 = 24 3.3. Pasa por el punto (−5, 12) y es perpendicular a la recta 30𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 = 50

3.4. Pasa por el punto �34

, 183� y es paralela a la recta 𝑦𝑦 = 3

4𝑥𝑥 + 10

3

3.5. Encuentra la ecuación de la recta paralela a la recta 3𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 + 53

= 0 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 10𝑦𝑦 − 9𝑥𝑥 = 46 y 9𝑦𝑦 + 10𝑥𝑥 = 90

3. Demuestre que los siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares:

3.1. 10𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 25 y 50𝑥𝑥 + 25𝑦𝑦 + 100 = 0 3.2. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3 y 10𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 = 120

3.3. −33𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 36 = 0 y − 111𝑥𝑥 + 33 = 𝑦𝑦

3.4. 6𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 8 y 𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 1 = 0 4. Obtener un valor de 𝑟𝑟 tal que las rectas:

4.1. 9𝑥𝑥 + 18𝑟𝑟𝑦𝑦 = 21 y 27𝑟𝑟𝑥𝑥 + 24𝑦𝑦 = 45 sean paralelas. 4.2. 3𝑟𝑟𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 2 = 0 y 2 − 3𝑥𝑥 − 𝑟𝑟

4𝑦𝑦 = 0 sean paralelas

4.3. 6𝑟𝑟𝑥𝑥 + 16𝑦𝑦 = 10 y −8𝑟𝑟𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 = 4 sean perpendiculares. 4.4. 𝑥𝑥 + 𝑟𝑟𝑦𝑦 − 2 = 0 y 𝑦𝑦 − 𝑟𝑟𝑥𝑥 + 4 = 0 sean perpendiculares

5. Determinar la distancia más corta

5.1. Entre la recta 𝑦𝑦 = 32𝑥𝑥 + 3 y el punto 𝑃𝑃 �2

3, 12�

5.2. Entre la recta que pasa por los puntos (5,1) y (15,11) y el punto (12,3) 5.3. Entre la recta que pasa por el punto (-2,4) y tiene como pendiente 𝑚𝑚 = 4

9 y el punto (5,3)

6. Una recta 𝐿𝐿 pasa por (6,4) y es perpendicular a otra recta 𝑀𝑀 que pasa por (5,-3) y (2,3). Hallar las ecuaciones de 𝐿𝐿 y 𝑀𝑀, así como su punto de intersección 𝑃𝑃. Encontrar la distancia perpendicular del punto (6,4) a la recta 𝑀𝑀. Representar gráficamente.

71

2.3.5 Aplicaciones a la Economía

Los modelos lineales tienen muchas aplicaciones económicas y el concepto de función es muy importante por sus aplicaciones diversas. No queremos decir que todas las relaciones económicas son necesariamente lineales. Por ejemplo, si pensamos en modelo lineal de costos, la proporción de la producción que hace que aumente o disminuya como consecuencia del costo, se puede modelar con una función lineal.

Consideremos una empresa que elabora un pan artesanal, suponemos un modelo lineal para explicar la relación entre el precio 𝑝𝑝 del pan artesanal y 𝑞𝑞 la demanda. El área de mercadotecnia de la empresa considera que cuando la producción es de 1200 panes el precio unitario es de $32 pesos y cuando la producción es de 2100 pueden vender a un precio de $38 pesos. Con esta información la empresa desea conocer la producción que requieren cuando el precio unitario es de $35 pesos. El modelo de línea recta que podemos ajustar es el que pasa por los puntos 𝐴𝐴(38,1200) y 𝐵𝐵(32,2100),

𝑦𝑦 − 1200 =2100 − 1200

32 − 38(𝑥𝑥 − 38)

𝑦𝑦 − 1200 =900−6

(𝑥𝑥 − 38) → 𝑦𝑦 = −150(𝑥𝑥 − 38) + 1200

𝑦𝑦 = −150𝑥𝑥 + 6900

De acuerdo con este modelo lineal, la producción necesaria a un precio de $35 pesos es, 𝑦𝑦 = −150(35) + 6900 = 1650 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠

Funciones de oferta y demanda lineales.

Aun cuando estas funciones pueden ser no lineales, en algunos casos las ecuaciones lineales, suelen proporcionar representaciones razonablemente precisas de la oferta y la demanda en un intervalo limitado. Entonces, sólo los segmentos de las ecuaciones que estén en el primer cuadrante son útiles para el análisis económico. No tendría sentido considerar que la oferta, el precio y la cantidad pudieran tomar valores negativos; aún así,

• Una oferta negativa, implica que los bienes no se pueden obtener en el mercado, sea porque no se producen o porque se retienen hasta que se ofrezca un precio satisfactorio

• Un precio negativo, implica que se paga a los compradores para que se lleven los males del mercado

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• Una cantidad demandada negativa, implica que los precios son tan altos como para impedir la actividad del mercado hasta que se ofrezcan cantidades a precios satisfactorios

Si bien los casos anteriores pueden ocurrir, son poco frecuentes y sólo se consideran en un análisis económico muy especial. En general la pendiente de una función de demanda es negativa, a medida que el precio aumenta la cantidad demandada decrece y viceversa. Ésta pendiente puede ser cero cuando el precio es constante sin considerar la demanda. Para la función de oferta, la pendiente es positiva si al aumentar el precio también crece la demanda y viceversa. Al igual que en el análisis de las curvas de demanda, 𝑝𝑝 representa el precio y 𝑞𝑞 la cantidad demandada. Además, sólo interesan valores positivos de 𝑝𝑝 y 𝑞𝑞. E.g. Supongamos que la curva de demanda para un artículo se explica por una recta de la forma, 𝑞𝑞 = 𝑚𝑚𝑝𝑝 + 𝑏𝑏, donde la variable independiente 𝑝𝑝 es el precio y 𝑞𝑞 es la cantidad, variable dependiente. Se nos pide encontrar la ecuación de demanda de acuerdo con el siguiente enunciado. Un Productor agrícola sabe, por estudios anteriores, que la demanda de tomate es de 1200 kg si el precio es de $12 pesos por kilo y baja a 840 sí el precio aumenta a $18 pesos. Del texto del problema observamos dos puntos de la recta de demanda, (18,840) y (12,1200). Con estos datos obtenemos la pendiente y la ordenada al origen.

(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) = (18,840)

(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) = (12,1200)

𝑚𝑚 =𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1

=1200 − 840

12 − 18=

360−6

= −60

Así, la ecuación de la demanda queda 𝑞𝑞 = −60𝑝𝑝 + 𝑏𝑏. Para completar la ecuación sustituimos uno de los puntos en la ecuación anterior y despejamos la ordenada origen.

840 = −60(18) + 𝑏𝑏 ⇒ 840 + 1080 = 𝑏𝑏 ∴ 𝑏𝑏 = 1920

Por consiguiente, si 𝑚𝑚 = −60 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = 1920, la ecuación de la demanda es,

𝑞𝑞 = −60𝑝𝑝 + 1920

A partir de este resultado, podremos evaluar ahora, ¿cuál será la cantidad demandada a un precio dado? Por ejemplo, si el precio del tomate es de $15 por kilo.

𝑞𝑞 = −60(15) + 1920

73

𝑞𝑞 = −900 + 1920 𝑞𝑞 = 1020

Para obtener el precio que se tendría que fijar a una cantidad demandada de tomate de 970 kilos sería,

970 = −60𝑝𝑝 + 1920 60𝑝𝑝 = 1920 − 970

𝑝𝑝 = 95060

= 15.83

Equilibrio del mercado Se dice que existe equilibrio del mercado en el punto (precio) en que la cantidad demandada de un artículo es igual a la cantidad en oferta, de no ser así se presenta un exceso de oferta o de demanda. Así si se usan las mismas unidades para 𝑞𝑞 y 𝑝𝑝 en ambas funciones (de oferta y demanda): La cantidad y el precio de equilibrio corresponden a las coordenadas del punto de intersección de las curvas de oferta y de demanda. Algebraicamente, la cantidad y el precio de equilibrio se hallan resolviendo simultáneamente las ecuaciones de oferta y de demanda, siempre que se usen las mismas unidades en ambos casos. En general, para que un equilibrio tenga sentido, los valores de 𝑞𝑞 y de 𝑝𝑝 han de ser positivos o cero, es decir que las curvas de oferta y demanda se han de interceptar en el primer cuadrante. Ejemplo, la cantidad y el precio de equilibrio de un artículo está determinado, por las siguientes funciones de oferta y demanda.

𝑞𝑞𝑠𝑠 = 25𝑝𝑝 − 65 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠ó𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑞𝑞𝑑𝑑 = −5𝑝𝑝 + 625 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠ó𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝

Así, igualamos las ecuaciones para encontrar el punto de equilibrio.

25𝑝𝑝 − 65 = −5𝑝𝑝 + 625 25𝑝𝑝 + 5𝑝𝑝 = 625 + 65

30𝑝𝑝 = 690 𝑝𝑝∗ = 23 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑞𝑞𝑓𝑓𝑠𝑠𝑙𝑙𝑠𝑠𝑏𝑏𝑟𝑟𝑠𝑠𝑝𝑝

Y la cantidad de equilibrio es,

𝑞𝑞∗ = 25(23) − 65 = 510

74

Función de costos Un tema central en el análisis de costos es la relación funcional que existe entre los costos y la producción por período de tiempo. Si tenemos los precios de las materias primas, se calculan los costos para un nivel de producción dado. Estos a corto plazo son: costo fijo, costos variables y el costo total. Los costos fijos son la suma de todos los costos que no cambian cuando las cantidades producidas aumentan o disminuyen, como, por ejemplo; alquiler de edificios, amortización de maquinaria, gastos administrativos, etc. Este costo es necesario y no dependen de la cantidad de bienes producidos. Al menos en un período de tiempo. Los costos variables son los que dependen del nivel de producción, como la mano de obra y las materias primas. Los costos totales será la suma de los costos variables y los fijos, es decir:

𝐶𝐶𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠 = 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠𝑝𝑝𝑏𝑏𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠 + 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠

𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 𝑟𝑟𝑝𝑝(𝑥𝑥) + 𝑟𝑟𝑑𝑑

A partir de la función costo total no se puede definir si una función es creciente o decreciente, ya que la misma está relacionada con la administración o con las condiciones de las empresas. Función de ingresos Los ingresos totales son el efectivo que el fabricante o el productor recibe por la venta de su producción. Relaciona a las cantidades vendidas por el precio de cada una de ellas, es decir:

𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙 = (𝑝𝑝𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑) ∗ (𝑝𝑝ú𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝𝑠𝑠)

𝐼𝐼(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 ∗ 𝑞𝑞

El precio se obtiene generalmente de acuerdo con el comportamiento del mercado; entonces, estará determinado por la función de demanda.

𝐼𝐼𝑝𝑝𝑛𝑛𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙 = (𝑑𝑑𝑓𝑓𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠ó𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑚𝑚𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝) ∗ (𝑝𝑝ú𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑝𝑝𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑑𝑑𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝𝑠𝑠)

𝐼𝐼(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥).𝑞𝑞

El comportamiento del ingreso puede crecer o caer, de acuerdo con el movimiento del mercado.

75

Ejercicios 1. Las ecuaciones de oferta y demanda del mercado de un determinado bien son 𝑞𝑞𝑠𝑠 y 𝑞𝑞𝑑𝑑

respectivamente y el precio 𝑝𝑝 son las siguientes: 1.1. 𝑞𝑞𝑠𝑠 = 35𝑝𝑝 − 32 y 𝑞𝑞𝑑𝑑 = −10𝑝𝑝 + 82. Determine el precio de equilibrio y calcule su

oferta, ¿Qué pasaría si el productor fija el precio en $3? 1.2. 𝑞𝑞𝑠𝑠 = 0.2𝑝𝑝 − 298.6 y 𝑞𝑞𝑑𝑑 = −10𝑝𝑝 + 1000. Encontrar el precio y la cantidad de

equilibrio 1.3. 𝑞𝑞𝑠𝑠 = 3500 + 75𝑝𝑝 y 𝑞𝑞𝑑𝑑 = −115𝑝𝑝 + 23500. Calcule la cantidad y el precio de

equilibrio. Determine el exceso de oferta o demanda para un precio de 6 pesos.

2. Dada la ecuación de costos, 𝑦𝑦 = 50𝑥𝑥 + 25 donde 𝑦𝑦 es el costo total y 𝑥𝑥 son las unidades de un producto. Si se elaboran 30 unidades, encontrar lo siguiente

a. Costo variable para 30 unidades b. Costo total c. El costo marginal d. El costo variable por unidad e. Grafique la ecuación

3. Una organización de productores sabe que, cuando el precio de la vainilla es de $1100

pesos el número de kilos de vainas que puede ofrecer al mercado es de 200 kilos, si el precio aumenta a $1400 pesos, le conviene ofrecer al mercado 350 kilos. ¿Cuál es la ecuación de la oferta?

4. Una empresa de transporte ha visto que si el precio de una de sus rutas es de $15 pesos, se ocupan 40 lugares y si el precio aumenta a $20 pesos solo se ocupan 25 lugares. Obtener la ecuación de la demanda y su gráfica.

5. Un promotor de eventos musicales sabe que la demanda de boletos para un concierto

es de 2300 si el precio de entrada al evento es de $250 pesos y de 1900 si aumenta el precio a $275. El promotor está interesado en construir un modelo de demanda que le permita evaluar la demanda cuando el precio de los boletos es de $145, $290 y $300 pesos.

6. El mercado de cítricos se describe por las siguientes funciones de oferta 𝑝𝑝 = 10 + 0.03𝑞𝑞

y de demanda 𝑝𝑝 = 70 − 0.01𝑞𝑞 donde 𝑝𝑝 es el precio unitario y 𝑞𝑞 las ventas por semana en toneladas.

a. Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. b. Si el estado fija un precio de $50 pesos, ¿cuál será el comportamiento del

mercado?, aumenta o disminuye. ¿Cuál será la diferencia entre la demanda y la oferta?

76

2.4 Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado, o ecuación cuadrática, es aquella que puede reducirse a la forma, 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 en la que el coeficiente 𝒂𝒂 debe ser diferente de cero. Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y variables. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Si por ejemplo tenemos una ecuación lineal de primer grado como 4 − 2𝑥𝑥 = 0. El valor de 𝑥𝑥 que hace que esta ecuación se cumpla es 2 ya que 4 − 2(2) = 0; por la tanto, 2 es la solución de la ecuación o el valor de la variable que hace cierta la igualdad. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). La forma de esta ecuación cuadrática 𝑝𝑝𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 = 0, depende del valor de sus constantes reales 𝒂𝒂,𝒃𝒃, y 𝒄𝒄. Como en los siguientes ejemplos.

a) 9𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 10 = 0 𝒂𝒂 = 9, 𝒃𝒃 = 6, 𝒄𝒄 = 10 b) 3𝑥𝑥2 − 9𝑥𝑥 + 0 = 0 𝒂𝒂 = 3, 𝒃𝒃 = −9, 𝒄𝒄 = 0 c) −6𝑥𝑥2 + 0𝑥𝑥 + 10 = 0 𝒂𝒂 = −6, 𝒃𝒃 = 0, 𝒄𝒄 = 10

Así, para resolver una ecuación cuadrática de la forma 𝑝𝑝𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 = 0, debemos encontrar los valores de las 𝑥𝑥´𝑠𝑠 que satisfacen esta ecuación. Para encontrar la solución puede usarse alguno de los siguientes métodos:

2.4.1 Método de completar el cuadrado.

Se llama método de completar el cuadrado porque se puede completar un cuadrado geométricamente. En la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)2 = 𝑝𝑝

En la cual el primer miembro de la ecuación (𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑏𝑏)2, es el cuadrado de la suma de un binomio. Antes de explicar el método, recordemos la ecuación del binomio cuadrado de newton, el cual nos será de utilidad.

(𝑥𝑥 + 𝑝𝑝)2 = 𝑥𝑥2 + 2𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑝2

77

Entonces, si tenemos una ecuación del tipo 𝑝𝑝𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 = 0 vamos a tratar de reescribirla en forma de un binomio cuadrado y después podremos obtener los valores de 𝑥𝑥 que satisfacen la ecuación. Por ejemplo, la ecuación; 𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 = 20 que también puede escribirse 𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 − 20 =0 Al primer miembro de la ecuación 𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 le falta un término para completar el binomio cuadrado de newton. Tenemos que completar cada término del binomio. Por ejemplo, así;

• Vamos a completar al cuadrado, comenzando con el primer miembro de la ecuación 𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥. Es decir, encontramos el término que nos hace falta a partir de la formula general del binomio cuadrado de Newton (𝑥𝑥 + 𝑝𝑝)2 = 𝑥𝑥2 + 2𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑝2. Este término es (8

2)2 = 42. Este se obtiene de dividir entre dos el coeficiente de la variable 𝑥𝑥 y el

resultado elevarlo al cuadrado. • Sumamos 42 ambos miembros de la ecuación y tenemos 𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 42 = 20 + 42 • Al factorizar nos queda (𝑥𝑥 + 4)2 = 36, • Despejamos la variable 𝑥𝑥 y resolvemos la ecuación, �(𝑥𝑥 + 4)2 = ±√36

El signo de ± se debe a que (6)2 = 36, lo mismo que (−6)2 = 36 • Finalmente tenemos dos ecuaciones

𝒙𝒙 + 𝟒𝟒 = 𝟔𝟔 𝒚𝒚 𝒙𝒙 + 𝟒𝟒 = −𝟔𝟔 Que al despejar la variable 𝑥𝑥 tenemos 2 valores. En la primera ecuación obtenemos 𝑥𝑥 = 6 − 4 ⟹ 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 y en la segunda 𝑥𝑥 = −6 − 4 ⟹ 𝒙𝒙 = −𝟏𝟏𝟎𝟎 que son las raíces, o las soluciones de la ecuación. Se dice que se completó el cuadrado porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión 𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥, que es el cuadrado perfecto del binomio.

Ejemplos:

a) Obtener las raíces de la ecuación, 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 De acuerdo con el procedimiento anterior: • A partir del primer miembro de la ecuación; es decir, 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙 vamos a

completar al cuadrado. El término que falta es (62)2 = 32.

• Sumar en ambos lados de la ecuación el término que falta 32. 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 9 = 16 + 9

• Factorizamos y entonces tendremos; 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 9 = 25

(𝑥𝑥 + 3)2 = 25 Completa al cuadrado • El siguiente paso es resolver la ecuación, despejar 𝑥𝑥. �(𝑥𝑥 + 3)2 = ±√25 • Finalmente, al anular las raíces tenemos dos ecuaciones que son:

78

𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 = −𝟓𝟓

• (2,−8) son las raíces de la ecuación o los valores que hacen cero la ecuación original

• Finalmente, con estos valores podemos Factorizar la ecuación y reescribirla así (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 8) = 0

b) Resolver la ecuación 𝒙𝒙𝟐𝟐–𝟔𝟔𝒙𝒙 + 𝟖𝟖 = 𝟎𝟎

• A partir de 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙 vamos a completar al cuadrado. El término que falta es (−62

)2 = 32. • Sumar 9 a ambos lados de la igualdad. 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 = −8 + 9 Factorizamos y entonces tendremos; (𝑥𝑥 − 3)2 = 1 que completa el cuadrado.

• El siguiente paso es resolver la ecuación, despejar 𝑥𝑥. �(𝑥𝑥 − 3)2 = ±√1 • Finalmente, al anular las raíces tenemos dos ecuaciones que son:

𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 = −𝟏𝟏

• (4, 2) son las raíces de la ecuación o los valores que hacen cero la ecuación

original • Finalmente, con estos valores podemos Factorizar la ecuación y reescribirla así

(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 − 2) = 0

2.4.2 Fórmula general de solución

Podemos deducir una formula general a partir de la ecuación de segundo grado

𝑝𝑝𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 = 0

Empecemos por reescribir la ecuación general de la forma 𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

𝑎𝑎= 0

Aplicamos el procedimiento anterior

• Para completar al cuadrado. El término que falta es �𝑏𝑏𝑎𝑎2�2

= 𝑏𝑏2

4𝑎𝑎2.

• Sumar a ambos lados de la igualdad. 𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2

4𝑎𝑎2= − 𝑐𝑐

𝑎𝑎+ 𝑏𝑏2

4𝑎𝑎2

• Factorizamos y entonces tendremos; �𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑎𝑎�2

= −4𝑎𝑎𝑐𝑐+𝑏𝑏2

4𝑎𝑎2 que completa el

cuadrado.

Al despejar la variable, tenemos 2 valores. En la primera ecuación obtenemos

𝑥𝑥 = 5 − 3 entonces 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 y en la segunda 𝑥𝑥 = −5 − 3 La segunda raíz es 𝒙𝒙 = −𝟖𝟖

Que al despejar la variable x tenemos 2 valores. En la primera ecuación 𝑥𝑥 = 1 + 3 entones 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 y en la segunda 𝑥𝑥 = −1 + 3. La segunda raíz es 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐

79

• Ahora despejamos 𝑥𝑥. ��𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2𝑎𝑎�2

= ±�−4𝑎𝑎𝑐𝑐+𝑏𝑏2

4𝑎𝑎2

�𝑥𝑥 +𝑏𝑏

2𝑝𝑝� = ±�

−4𝑝𝑝𝑟𝑟 + 𝑏𝑏2

4𝑝𝑝2 ⟹ 𝑥𝑥 = −

𝑏𝑏2𝑝𝑝

± �𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟

4𝑝𝑝2⇒ 𝑥𝑥 = −

𝑏𝑏2𝑝𝑝

±√𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟

2𝑝𝑝

𝒙𝒙𝟏𝟏,𝟐𝟐 =−𝒃𝒃 ± √𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄

𝟐𝟐𝒂𝒂

Que es la fórmula general que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado. Al igual que antes, esta fórmula genera dos respuestas: Una para el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. A partir de la forma de la ecuación, si contamos con todos los valores; a, b, c; tendremos una ecuación completa. Si falta alguno de ellos entonces esta será incompleta. Así, una ecuación de segundo grado completa es

𝑝𝑝𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 = 0 Una ecuación de segundo grado es incompleta si ambos o alguno de los coeficientes 𝑏𝑏, 𝑟𝑟 son cero. En caso de que el coeficiente 𝑝𝑝 sea cero tendríamos la ecuación 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 = 0, que no es una ecuación de segundo grado. Ejemplo: Resolver la ecuación 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 Los valores de los coeficientes son 𝑝𝑝 = 2, 𝑏𝑏 = 1 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = −3. Los sustituimos en la formula general:

𝑥𝑥1,2 =−1 ± �12 − 4(2)(−3)

2(2) =−1 ± √25

4=−1 ± 5

4

Las dos soluciones, positiva y negativa son,

𝑥𝑥1 =−1 + 5

4= 1 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 =

−1 − 54

= −32

Las soluciones a la ecuación 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 3 = 0 son (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) = �1,−32�. O también

podemos factorizar la ecuación; (𝑥𝑥 − 1) �𝑥𝑥 + 32� = 0

También podemos resolver por métodos gráficos de la siguiente forma, para el ejercicio anterior;

80

1. Reescribimos la ecuación 2𝑥𝑥2 = 3 − 𝑥𝑥 2. Dividimos la ecuación en dos partes, 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥2 y la parte derecha 𝑦𝑦 = 3 − 𝑥𝑥 3. Graficamos estas funciones.

Las soluciones son los valores de las abscisas en los puntos de intersección de la parábola y la recta. Para nuestro ejercicio son los valores de 𝑥𝑥 = 1 y 𝑥𝑥 = −3

2

2.4.3 El Discriminante La expresión √𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟 en la formula general debe ser mayor que cero, para obtener soluciones reales. El radicando 𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟, es llamado discriminante y usualmente se simboliza por △. El signo de este discriminante determina el tipo de soluciones que tiene la ecuación, y que se recomienda obtener antes de intentar la solución general. Así, si vemos el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el tipo de soluciones que posee:

• 𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟 > 0, Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones diferentes (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2). • 𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟 < 0, Δ es negativo, la ecuación no tiene solución real, en ℝ • 𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟 = 0, Δ es cero, la ecuación tiene una solución, 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2

Ejemplos

1) Resolver: 5𝑥𝑥2 = 13𝑥𝑥 + 6 En primer lugar, se pasa la ecuación a la forma conocida.

−5𝑥𝑥2 + 13𝑥𝑥 + 6 = 0

Los valores de los coeficientes son; 𝑝𝑝 = −5, 𝑏𝑏 = 13 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = 6, El valor del discriminante es,

𝛥𝛥 = 𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟 = 132 − 4(−5)(6) = 289

a ecuación tiene dos soluciones Sustituimos los coeficientes en la formula general y tenemos,

𝑥𝑥1,2 =−13 ± √289

2(−5) =−13 ± 17−10

81

Tenemos dos raíces 𝑥𝑥1 = −13+17−10

= −25 y 𝑥𝑥2 = −13−17

−10= 3

Estos valores satisfacen la ecuación −𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝟔𝟔 = 𝟎𝟎; (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) = � −25

, 3�. Y

si Factorizamos tendríamos la ecuación equivalente; (𝑥𝑥 − 3) �𝑥𝑥 + 25� = 0

2) 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 2 = 0 Los valores de los coeficientes son; 𝑝𝑝 = 2, 𝑏𝑏 = 4 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = 2. 𝛥𝛥 = 𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟 = 42 − 4(2)(2) = 0 La ecuación tiene una solución.

𝑥𝑥1,2 =−4

2(2) = −1

La solución es (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) = ( −1,−1) y la ecuación equivalente (𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 + 1) = 0

3) 5𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 4 = 0 Los valores de los coeficientes son; 𝑝𝑝 = 5, 𝑏𝑏 = 1 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = 4. 𝛥𝛥 = 𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟 = 12 − 4(5)(4) = −79 La ecuación no tiene solución en los números reales.

4) Una empresa electrónica tiene dos máquinas A y B que juntas producen un lote de memorias para computadoras en 10 minutos. La máquina B tarda 4 minutos más que la máquina A en completar el lote de piezas. ¿Cuánto tiempo tarda cada una en producir un lote de piezas? Tiempo que tarda A es 𝑥𝑥, y el tiempo que tarda B es 𝑥𝑥 + 4

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 1 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙10 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑠𝑠

𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐴𝐴 = 1 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝛥𝛥

𝑦𝑦 𝐵𝐵 = 1𝛥𝛥+4

Sustituimos en la suma y tendremos la ecuación

1𝑥𝑥

+1

𝑥𝑥 + 4=

110

Modificamos esta ecuación a una forma conocida;

𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) +

𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) =

110

⟹ 2𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) =

110

⟹ 10(2𝑥𝑥 + 4) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4)

20𝑥𝑥 + 40 = 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 40 = 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 20𝑥𝑥

Finalmente, la ecuación nos queda 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝒙 − 𝟒𝟒𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 Los valores de los coeficientes son; 𝑝𝑝 = 1, 𝑏𝑏 = −16 𝑦𝑦 𝑟𝑟 = −40

𝛥𝛥 = 𝑏𝑏2 − 4𝑝𝑝𝑟𝑟 = (−16)2 − 4(1)(−40) = 416 La ecuación tiene dos soluciones.

𝑥𝑥1,2 =16 ± √416

2(1) =16 ± 4√26

2

82

𝑥𝑥1 =16 + 4√26

2= 8 + 2√26 𝑦𝑦 𝑥𝑥2 =

16 − 4√262

= 8 − 2√26

La solución es (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) = � 8 + 2√26 , 8 − 2√26 �

Como hemos visto ante, la ecuación de segundo grado 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, tiene dos soluciones;

𝒙𝒙𝟏𝟏,𝟐𝟐 =−𝒃𝒃 ± √𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄

𝟐𝟐𝒂𝒂

• Suma. 𝑠𝑠 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −𝒃𝒃+�𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄2𝑎𝑎

+ −𝒃𝒃−�𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄2𝑎𝑎

= − 2𝑏𝑏2𝑎𝑎

= − 𝑏𝑏𝑎𝑎

• Producto 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥1 ∗ 𝑥𝑥2 = �−𝒃𝒃+�𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄2𝑎𝑎

� �−𝒃𝒃−�𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄2𝑎𝑎

� =

= −(−𝑏𝑏)(−𝑏𝑏)+𝑏𝑏�𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄−𝒃𝒃�𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄+�𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄��𝒃𝒃𝟐𝟐−𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄�

4𝑎𝑎2=

=𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒃𝒃√𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄 − 𝒃𝒃√𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄 − 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝒂𝒂𝒄𝒄

4𝑝𝑝2=

4𝑝𝑝𝑟𝑟4𝑝𝑝2

=𝑟𝑟𝑝𝑝

• Complemento. Si la ecuación 𝒂𝒂𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 dividimos la ecuación de segundo grado entre 𝑝𝑝.

𝒙𝒙𝟐𝟐 +𝒃𝒃𝒂𝒂𝒙𝒙 +

𝒄𝒄𝒂𝒂

= 𝟎𝟎

Sustituyendo los valores de la suma y el producto tenemos.

𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒔𝒔𝒙𝒙 + 𝒑𝒑 = 𝟎𝟎

Que es la forma canónica de la ecuación de segundo grado.

Ejercicios. 1. Obtener los valores de solución de las siguientes ecuaciones

1.1. 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 3 = 0, 1.7 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 = 0 1.2. 2𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 5 = 0, 1.8 (3𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 3) = 0 1.3. 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 + 3 = 0, 1.9 3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 3 = 0 1.4. 5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 = 0, 1.10 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 6 = 0 1.5. 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 4 = 0, 1.11 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 21 = 0 1.6. 2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥(4 + 𝑥𝑥) − 8 = 0, 1.12 𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥 + 36 = 0

2. Obtener el discriminante y observar que tipo de solución arrojará la ecuación sin resolver la misma. 2.1. 3𝑒𝑒2 + 3𝑒𝑒 + 16 = 0

2.2. 𝑦𝑦2 + 36𝑦𝑦 = −23

83

2.3. 8𝑟𝑟2 − 12𝑦𝑦 = −32

2.4. 𝑘𝑘2 − 36𝑦𝑦 = +123

2.5. 𝑦𝑦2 − 36𝑦𝑦 = −23

3. Obtener las raíces reales de las siguientes ecuaciones:

3.1. 64𝑙𝑙2 − 81 = 0

3.2. (𝑝𝑝 − 12)(𝑝𝑝 + 6) = 21

3.3. 𝑟𝑟+12𝑟𝑟

− 9𝑟𝑟3𝑟𝑟+6

= 0

3.4. 𝑠𝑠 + √4𝑠𝑠 + 10 = 10

3.5. �9𝑛𝑛 + 21 + �3𝑛𝑛 + 18 = 9

4. Determine la ecuación de la función cuadrática que pasa por los puntos,

4.1. 𝐴𝐴(3, 9 2⁄ ), 𝐵𝐵(−2.2) 𝑦𝑦 𝐶𝐶(−3, 15 2⁄ )

4.2. 𝐴𝐴(−5,0), 𝐵𝐵(−4,10) 𝑦𝑦 𝐶𝐶(5,−10)

4.3. 𝐴𝐴(3,−13), 𝐵𝐵(4,−28) 𝑦𝑦 𝐶𝐶(1,11)

2.4.4 Ecuaciones bicuadráticas Un caso especial en el cual podremos emplear la ecuación general de segundo grado para la resolución de ecuaciones es cuando no encontramos con una ecuación del siguiente tipo:

ax4 + bx2 + c = 0 Este tipo de ecuaciones se pueden resolver mediante la ecuación general de segundo grado, sólo es necesario hacer un cambio de variable, veamos de manera general su resolución:

Primero hacemos el cambio de variable: sea x2 = s; ∴ s2 = x4 Sustituimos en la ecuación original,

as2 + bs + c = 0 De acuerdo con la formula general de segundo grado:

s =−b ± √b2 − 4ac

2a

Recordando que x2 = s, aplicamos raíz cuadrada a los dos resultados que arroja el paso anterior, de lo cual se obtienen los valores de x.

84

En general diremos que este método se puede emplear para ecuaciones del tipo

𝑝𝑝𝑥𝑥2𝑚𝑚 + 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑚𝑚 + 𝑟𝑟 = 0 e.g. a) 𝑥𝑥4 − 20𝑥𝑥2 + 64 = 0

Ecuación Operaciones Resultado 𝑥𝑥4 − 20𝑥𝑥2 + 64 = 0 1.- Cambio de variable, 𝑥𝑥2 = 𝑟𝑟 𝑟𝑟2 − 20𝑟𝑟 + 64 = 0

𝑟𝑟2 − 20𝑟𝑟 + 64 = 0

2.-Aplicamos la ecuación general de segundo grado

𝑟𝑟 =20 ± �400− 4(1 ∗ 64)

2

𝑟𝑟 =20 ± 12

2

𝑟𝑟1 = 16 𝑟𝑟2 = 4

𝑟𝑟1 = 16 𝑟𝑟2 = 4

3. Regresamos la variable a su valor original. 𝑥𝑥12 = 16 𝑥𝑥22 = 4

𝑥𝑥12 = 16 𝑥𝑥22 = 4

𝑥𝑥12 = 16 𝑥𝑥22 = 4

4.-Raíz cuadrada para obtener los valores de 𝒙𝒙

�𝑥𝑥12 = √16 𝑦𝑦 �𝑥𝑥22 = √4

𝑥𝑥1,2 = 4−+ 𝑥𝑥3,4 = 2−+

b) 8𝑥𝑥6 − 19𝑥𝑥3 − 27 = 0

Ecuación Operaciones resultado

8𝑥𝑥6 − 19𝑥𝑥3 − 27 = 0 1. Hacer el cambio de variable, 𝑥𝑥3 = 𝑠𝑠

8𝑠𝑠2 − 19𝑠𝑠 − 27 = 0

2. Aplicar la fórmula de la ecuación general de segundo grado

8𝑠𝑠2 − 19𝑠𝑠 − 27 = 0 𝑠𝑠 =

19 ± �361 − 4(8 − 27)16

𝑠𝑠1 =5416

; 𝑠𝑠2 = −1

3. Regresar variable a su valor original

𝑠𝑠1 =5416

; 𝑠𝑠2 = −1 𝑥𝑥13 =5416

; 𝑥𝑥23 = −1 𝑥𝑥13 =5416

; 𝑥𝑥23 = −1

4. Emplear raíz cubica para obtener los valores de 𝑥𝑥

𝑥𝑥13 =5416

𝑥𝑥23 = −1

�𝑥𝑥133

= �5416�

3 ;

�𝑥𝑥233

= √−13

𝑥𝑥1 = 3 2⁄ 𝑥𝑥2 = −1,

𝐿𝐿𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑝𝑝í𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑙𝑙𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠

85

Ejercicios

Encontrar las raíces reales de las siguientes ecuaciones

1. 𝑥𝑥4 − 7𝑥𝑥2 + 12 = 0𝑑𝑑) 𝑥𝑥4 + 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 6 = 0 2. 36𝑥𝑥4 − 13𝑥𝑥2 = −1𝑛𝑛) 𝑥𝑥4 − 40𝑥𝑥2 + 144 = 0 3. (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥)2 = 3(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥) − 2ℎ) (3𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥)2 − 10(3𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥) = 24 4. 𝑥𝑥4 − 10𝑥𝑥2 + 9 = 0𝑠𝑠) 27𝑥𝑥6 − 35𝑥𝑥3 = −8 5. 𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥3 − 4𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3 = 0𝑒𝑒) 𝑥𝑥6 − 7𝑥𝑥4 + 8𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 3 = 0 2.4.5 Ecuaciones de grado superior Hasta ahora sólo hemos trabajado con ecuaciones lineales (grado 1), cuadráticas (grado 2) y bicuadráticas, que pueden expresarse mediante un cambio de variable. En Economía pueden presentarse ecuaciones de grados superior; por ejemplo, en la obtención de los puntos críticos de un máximo o un mínimo.

La forma de encontrar estos puntos críticos, o ceros de una función, es igualar a cero el polinomio y encontrar los valores numéricos de la variable que hacen cero el resultado del polinomio. El método que utilizaremos es el de división sintética, también conocido como regla de Ruffini4. Una ecuación del tipo:

𝑝𝑝0𝑥𝑥𝑚𝑚 + 𝑝𝑝1𝑥𝑥𝑚𝑚−1 + 𝑝𝑝2𝑥𝑥𝑚𝑚−2 + ⋯+ 𝑝𝑝𝑚𝑚−1𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑚𝑚 = 0,

donde 𝑝𝑝0 ≠ 0,𝑝𝑝 > 2, es una ecuación de grado superior y para obtener las raíces5, valores de "x", factorizaremos por división sintética. El objetivo es degradar la ecuación hasta que se convierta en una ecuación lineal.

Veamos el método mediante un ejemplo:

𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥 + 15 = 0

1. Obtenemos los divisores del término independiente en este caso es 15 y sus factores son: ( 1−+ , 3−+ , 5−+ , 15)−

+ 2. Acomodamos de manera descendente el polinomio y procedemos a escribir la

división sintética, emplearemos solo los coeficientes del polinomio. Si tenemos una ecuación incompleta, alguno de los coeficientes no existe, i.e. una ecuación de grado 3 que no tiene el término en 𝑥𝑥2, se coloca un cero en lugar correspondiente y comenzamos a probar los factores del término independiente.

4 En realidad, la división sintética es un caso especial de la regla de Ruffini, facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma (𝒙𝒙 − 𝒓𝒓) 5Una ecuación tiene tantas raíces como su grado, si es grado 2 tendrá dos raíces, si es grado 3 tendrá 3 raíces, etc.

86

3. Bajamos el coeficiente de la variable de mayor grado y lo multiplicamos por el divisor

del término independiente en este caso empezaremos por el -1, el resultado se lo restamos o sumamos según sea el caso al coeficiente de la derecha, así hasta llegar al termino independiente, si tras efectuar las operaciones nos queda un residuo distinto de cero, el divisor no es raíz y hay que probar con otro.

𝑥𝑥3 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 T. independiente 1 −3 −13 15 x = −1 −1 4 9

1 −4 −9 24 El valor x = −1 no es raíz, ya que el residuo 6, es diferente de cero. Probamos

con otro valor de la lista.

𝑥𝑥3 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 T. independiente 1 −3 −13 15 x = 1 1 −2 −15

1 −2 −15 0

Así, para x1 = 1, es una solución de la ecuación 4. Expresamos la ecuación de la siguiente forma.

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 15)

Cómo podemos notar, hemos encontrado una ecuación equivalente con dos términos, esta es una factorización de la ecuación original donde una de las ecuaciones es de grado uno y la segunda es de grado inferior a la original en una unidad. De la misma manera, procedemos a buscar las demás raíces que resuelven la ecuación.

Para nuestro ejemplo como la ecuación es de grado dos, podemos resolver con división sintética o con la formula general de segundo grado y nos da como resultado final

a) División sintética.

𝑥𝑥2 x T. independiente 1 −2 −15 x = −3 −3 15

1 −5 0 La segunda raíz, o solución, de la ecuación es x2 = −3. Entonces la última línea nos lleva a la ecuación x − 5 = 0, o bien x3 = 5

b) Ecuación de segundo grado x2 − 2x − 15 = 0

87

𝑥𝑥2,3 =2 ± �4 − 4(1)(−15)

2=

2 ± √642

=2 ± 8

2= −3, 5

Así, las raíces de la ecuación son;

𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥2 = −3, 𝑥𝑥3 = 5

O bien, la ecuación equivalente

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 5) = 0

Ejercicios.

Encontrar las raíces de los siguientes polinomios

1. 𝑥𝑥2 − �73� 𝑥𝑥 − 2 = 0

2. 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 + 6 = 0 3. 𝑥𝑥3 − 9𝑥𝑥2 + 23𝑥𝑥 − 15 = 0 4. 𝑥𝑥4 − 7𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥2 + 31𝑥𝑥 − 30 = 0 5. 𝑥𝑥5 − 11𝑥𝑥4 + 33𝑥𝑥3 + 11𝑥𝑥2 − 154𝑥𝑥 + 120 = 0 6. 𝑥𝑥6 − 6𝑥𝑥5 − 8𝑥𝑥4 + 78𝑥𝑥3 − 29𝑥𝑥2 − 216𝑥𝑥 + 180 = 0 7. −4𝑥𝑥5 + 12𝑥𝑥4 + 68𝑥𝑥3 − 107𝑥𝑥2 − 210𝑥𝑥 + 240 = 0 8. 𝑥𝑥6 − 4𝑥𝑥5 − 6𝑥𝑥4 + 32𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 60𝑥𝑥 + 36 = 0 9. 𝑥𝑥7 − 8𝑥𝑥6 − 10𝑥𝑥5 + 220𝑥𝑥4 − 451𝑥𝑥3 − 452𝑥𝑥2 + 1900𝑥𝑥 − 1200 = 0 10. 𝑥𝑥6 − 𝑥𝑥5 − 12𝑥𝑥4 + 14𝑥𝑥3 + 25𝑥𝑥2 − 45𝑥𝑥 + 18 = 0

2.5 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

Resolver un sistema de ecuaciones de dos incógnitas es encontrar las soluciones comunes a las dos ecuaciones. Es decir, se busca obtener los valores de las variables que satisfagan a las dos ecuaciones.

Un sistema formado por dos ecuaciones con dos incógnitas será así: �𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 0𝑛𝑛(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 0

Por ejemplo, 𝑞𝑞1 + 0.5 𝑞𝑞2 = 3 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3

𝑞𝑞1 + 3 𝑞𝑞2 = 5 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 6

En el primer caso se trata de encontrar los valores de 𝑞𝑞1 y de 𝑞𝑞2 que satisfacen ambas ecuaciones o bien los valores para 𝑥𝑥,𝑦𝑦 para el segundo par de ecuaciones.

88

Expresado en notación de conjuntos, se busca encontrar el conjunto solución 𝑆𝑆 donde:

𝑆𝑆 = {(𝑥𝑥,𝑦𝑦) ǀ 4𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 3 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 6}

Método gráfico.

Se basa en la representación gráfica en el plano de los conjuntos de soluciones de cada una de las ecuaciones que componen el sistema, los conjuntos de soluciones 𝑆𝑆1 y 𝑆𝑆2, para después buscar los puntos comunes a ellos.

Ejemplo. Resolver gráficamente el sistema � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 1 = 02𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2 = 0

En primer lugar, se representa los conjuntos soluciones de cada una de las ecuaciones. En este caso, como el sistema es lineal estos conjuntos 𝑆𝑆1 y 𝑆𝑆2 son rectas del plano.

Para dibujar la recta 𝑆𝑆1 basta conocer dos puntos por los que pasa:

• Si tomamos 𝑥𝑥 = 0 y sustituimos en la primera ecuación obtenemos 𝑦𝑦 = −1. • Si tomamos 𝑥𝑥 = 1 y sustituimos en la primera ecuación obtenemos 𝑦𝑦 = 0.

Luego la recta solución de la primera ecuación es la que une los puntos (0,−1) y (1,0).

De la misma manera procedemos para encontrar los puntos por los que pasa la recta 𝑆𝑆2:

• Si hacemos 𝑥𝑥 = 0 y sustituimos en la segunda ecuación obtenemos 𝑦𝑦 = 2. • Si tomamos 𝑥𝑥 = 1 y sustituimos en la segunda ecuación obtenemos 𝑦𝑦 = 0.

Dibujando ambas rectas se observa que el único punto en el que se cortan es el (1, 0), que es la solución del sistema

89

El inconveniente de este método es que en algunos casos no se ve claramente cuáles son las coordenadas del punto o puntos de intersección. Por ello recurriremos a otros métodos más analíticos.

Método de igualación Consiste en despejar de las dos ecuaciones del sistema la misma incógnita e igualar las expresiones obtenidas. Como resultado de ello se obtiene una ecuación con una incógnita que se ha de resolver. Las soluciones de esta ecuación se sustituyen en cualquiera de las ecuaciones iniciales para obtener los valores de las otras incógnitas.

Ejemplo: Resolver el sistema �2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1

6𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −5

Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones y nos queda, �2𝑥𝑥 − 1 = 𝑦𝑦−6𝑥𝑥 − 5 = 𝑦𝑦.

Igualamos las dos ecuaciones, 2𝑥𝑥 − 1 = −6𝑥𝑥 − 5, despejamos la variable, 𝑥𝑥`𝑠𝑠 y agrupamos términos, 2𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 = −5 + 1. La solución es, 8𝑥𝑥 = −4 por lo tanto 𝑥𝑥 = −1

2 , sustituimos

este valos en una de las ecuaciones para obtener 𝑦𝑦 = 2 �− 12� − 1, asi 𝑦𝑦 = −2. Se verifica

al sustituir en las dos ecuaciones originales.

Método de sustitución

Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra. De esta forma se obtiene una ecuación con una incógnita que una vez resuelta nos proporciona los valores de dicha incógnita. Sustituyendo estos valores en la expresión obtenida al despejar la otra incógnita, permite encontrar la solución buscada.

Ejemplo: Resolver el sistema �2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 3 = 0𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 − 1 = 0

Para buscar su solución por el método de sustitución se elige una incógnita para despejarla, en este caso lo más sencillo es despejar 𝑥𝑥 de la segunda ecuación; entonces 𝑥𝑥 = 1 − 5𝑦𝑦.

Al sustituir esta expresión en la primera ecuación se obtiene,

2(1 − 5𝑦𝑦) − 6𝑦𝑦 + 3 = 0, es decir, −16𝑦𝑦 + 5 = 0, por lo tanto 𝑦𝑦 = 516

Al sustituir este valor en 𝑥𝑥 = 1 − 5𝑦𝑦 tendremos 𝑥𝑥 = 1 − 5 � 516� = − 9

16

Luego la solución del sistema es 𝑥𝑥 = − 9

16,𝑦𝑦 = 5

16

90

Método de eliminación

Consiste en sustituir una de las ecuaciones por la ecuación 𝑝𝑝 ∗ 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) + 𝑠𝑠 ∗ 𝑛𝑛(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 0 con 𝑝𝑝, 𝑠𝑠 números reales no nulos. El nuevo sistema obtenido es equivalente a la inicial y por ello con igual solución.

Teniendo en cuenta lo anterior, el método de reducción se basa en elegir 𝑝𝑝 𝑦𝑦 𝑠𝑠 de forma que la ecuación 𝑝𝑝 ∗ 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦) + 𝑠𝑠 ∗ 𝑛𝑛(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 0 permita o bien calcular los valores de una de las incógnitas, o bien obtener una relación sencilla entre las dos incógnitas.

Ejemplo Resolver el sistema �2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦— 1 = 03𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 8 = 0

Para obtener una ecuación sin la incógnita 𝑥𝑥 se multiplica la primera ecuación por 3, la segunda por −2 y se suman,

�2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 − −1 = 0 (3)3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 8 = 0 (−2) → �

6𝑥𝑥 − 15𝑦𝑦 − 3 = 0−6𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 16 = 0

−19𝑦𝑦 – 19 = 0

La nueva ecuación es −19𝑦𝑦– 19 = 0. Si sustituimos la segunda ecuación por esta última obtenemos un sistema equivalente al original y por lo tanto tienen la misma solución.

�2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 − 1 = 0−19𝑦𝑦 − 19 = 0

Despejando 𝑦𝑦 de la segunda ecuación obtenemos 𝑦𝑦 = −1 y sustituyendo en la primera ecuación queda 2𝑥𝑥 + 5 − 1 = 0 y por lo tanto 𝑥𝑥 = −2. Luego la solución del sistema es (−2,−1).

Ejemplo. Resolver el sistema �−8𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 + 𝑥𝑥3 = 08𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 + 𝑦𝑦3 = 0

Para obtener una relación más sencilla entre las incógnitas sumamos las dos ecuaciones

𝑦𝑦3 + 𝑥𝑥3 = 0

El sistema es equivalente, para resolverlo despejamos la variable 𝑦𝑦 nos queda 𝑦𝑦3 = −𝑥𝑥3; por lo tanto, la solución es 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥

Al sustituir este resultado en la primera ecuación se obtiene

−16𝑥𝑥 + 𝑥𝑥3 = 0; es decir 𝑥𝑥(−16 + 𝑥𝑥2) = 0.

Los valores de 𝑥𝑥`𝑠𝑠 que hacen cero las ecuaciones son: 𝑥𝑥 = 0 y 𝑥𝑥 = ±√16 = ±4. Si 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 los correspondientes valores de 𝑦𝑦 las soluciones del sistema son (0,0), (4,−4) 𝑦𝑦 (−4,4).

91

No todos los sistemas de ecuaciones tienen solución. Por ejemplo, el siguiente sistema

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4

No tiene solución porque las dos ecuaciones se anulan, si multiplicamos una de ellas por −1, obtenemos una indeterminación.

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10 (−1)𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4 → −𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 10

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4

Cuando un sistema no tiene solución se dice que es inconsistente, por el contrario, si tiene al menos una solución será consistente.

Supongamos un sistema de orden 2𝑥𝑥2, la representación gráfica de las 2 rectas serían las siguientes;

Las rectas son paralelas, no se interceptan; por lo tanto, el sistema no tiene solución.

Las rectas se interceptan en un solo punto; en este caso el sistema tiene solución única.

Las dos rectas coinciden. En este caso hay muchos puntos de intersección; por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones.

92

Ejercicios

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones para (𝑥𝑥,𝑦𝑦), utilice el método gráfico.

a) 5𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 9 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −5 c)

5𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 7 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5

b) 3𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 116𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = −5 d)

2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 167𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 9

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, por algunos de los métodos matemáticos; igualación, sustitución o eliminación.

a) 𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 11 c)

2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −11

b) 9𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 64𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 22 d)

5𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 8 7𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −13

3. Determine la naturaleza de la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones; única, infinita o sin solución.

a) 3𝑥𝑥 − 9𝑦𝑦 = 11 7𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 28 c)

−7𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 16 −21𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 13

b) −4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 12−8𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 11 d)

−3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 15−7𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 21

2.6 Cónicas Probablemente las curvas más estudiadas en la antigua Grecia fue la familia de las cónicas (parábola, elipse, circulo e hipérbola), dichas curvas son construidas a partir de un cono doble, y se representan algebraicamente como una función de segundo grado, pero ver una cónica como una función cuadrática, es un salto de más de dos mil años, los griegos las estudiaron por el puro gusto, y siempre partían de términos geométricos, Kepler fue de los primeros en encontrarle aplicación al observar que las orbitas de los planetas describían una elipse, Descartes como comentamos antes integro la geometría y el álgebra las cuales se creían in asociables. En economía constantemente interactuamos con funciones cuadráticas ya sea en funciones de costos, ingresos, etc., así que consideramos conveniente un repaso elemental del tema6

6 Omitimos el estudio de la hipérbola ya que esta fuera de los objetivos de este curso.

93

2.6.1 La Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Características geométricas.

a) Vértice. Es el punto donde la parábola corta a su eje focal. b) Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se

encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz. c) Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos

puntos de la parábola. d) La directriz es una línea paralela al lado recto, a una distancia al vértice igual a la que

hay del foco al vértice. e) Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz. f) Parámetro p. Distancia del foco al vértice

Parábola con vértice en el origen.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝑥𝑥2 donde el parámetro 𝑝𝑝 especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola abre “hacia arriba” y cuando es negativo abre “hacia abajo”. Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio. Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,𝑝𝑝). La directriz es, por tanto, la recta vertical que pasa por (0,−𝑝𝑝). A la distancia entre el vértice y el foco se

94

le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a 𝑝𝑝. Con esta configuración se tiene:

En resumen, si la parábola abre hacia el foco por lo que si el foco tiene coordenadas negativas; o bien, abre abajo o a la izquierda, sin embargo, si el foco es positivo puede abrir hacia arriba o hacia la derecha. Para deducir la ecuación de la parábola con vértice en el origen y su eje coincide con el de las ordenadas, tiene la ecuación.

A partir de la definición, los puntos equidistan del foco y de la directriz, es decir; la distancia del foco a un punto 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es igual a la distancia de punto a la directriz. 𝑑𝑑 = �𝑥𝑥2 + (𝑝𝑝 − 𝑦𝑦)2 y la distancia del punto a la directriz es (𝑦𝑦 + 𝑝𝑝), asi

𝑥𝑥2 + (𝑝𝑝 − 𝑦𝑦)2 = (𝑦𝑦 + 𝑝𝑝)2 𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝2 − 2𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦2 + 2𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑝𝑝2

Finalmente

𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝒑𝒑𝒚𝒚 De manera similar se de deducen las otras ecuaciones de la parábola.

Ecuación Foco Directriz Abre hacia arriba 𝑥𝑥2 = 4𝑝𝑝y 𝐹𝐹 (0,𝑝𝑝) 𝑦𝑦 = −p

Abre hacia abajo 𝑥𝑥2 = −4𝑝𝑝𝑦𝑦 𝐹𝐹 (0,−𝑝𝑝) 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝

Abre a la derecha 𝑦𝑦2 = 4𝑝𝑝𝑥𝑥 𝐹𝐹 (𝑝𝑝, 0) 𝑥𝑥 = −𝑝𝑝

Abre a la izquierda 𝑦𝑦2 = −4𝑝𝑝𝑥𝑥 𝐹𝐹 (−𝑝𝑝, 0) 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝

95

Ejemplo. a) Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y

contiene al punto 𝐵𝐵(3,4), además su eje focal es paralelo al eje 𝑋𝑋. Solución,

𝑦𝑦2 = 4𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑓𝑓𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑓𝑓𝑠𝑠𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑑𝑑𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝐵𝐵

16 = 4𝑝𝑝(3) 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑝𝑝 =1612

=43

𝑦𝑦2 =163𝑥𝑥

Foco: 𝐹𝐹 �43

, 0� Directriz: 𝑥𝑥 = −43 ; 𝐿𝐿𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 = 4𝑝𝑝 = 4 �4

3� = 16

3

b) Calcular el parámetro, el vértice, el foco y la directriz de la parábola 𝑥𝑥2 = −12𝑦𝑦. Solución. Corresponde a la ecuación general 𝑥𝑥2 = −4𝑝𝑝𝑦𝑦

El parámetro 𝑝𝑝 = 3; el vértice 𝑉𝑉 = (0, ,0); El Foco es 𝐹𝐹(0,−3) ;

Finalmente, la directriz es 𝑦𝑦 = 3

c) Para la parábola 3𝑦𝑦2 = −8𝑥𝑥, encontrar vértice, foco y directriz. Solución. Corresponde a la ecuación general 𝑦𝑦2 = −4𝑝𝑝𝑥𝑥

El parámetro −4𝑝𝑝 = −83 de esta manera 𝑝𝑝 = 8

12= 2

3 ; el vértice 𝑉𝑉 = (0,0)

El foco es 𝐹𝐹 �− 23

, 0� y la directriz es 𝑥𝑥 = 23

Parábola con traslado del eje Una Parábola con Vértice 𝑉𝑉(ℎ,𝑘𝑘) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas 𝑦𝑦, con un foco a una distancia 𝑝𝑝 del vértice, como la siguiente gráfica, Se eleva al cuadrado ambos miembros:

(𝑥𝑥 − ℎ)2 + [𝑦𝑦 − (𝑘𝑘 + 𝑝𝑝)]2 = [𝑦𝑦 + (𝑝𝑝 − 𝑘𝑘)]2 Al factorizar,

(𝑥𝑥 − ℎ)2 + 𝑦𝑦2 − 2(𝑘𝑘 + 𝑝𝑝)𝑦𝑦 + (𝑘𝑘 + 𝑝𝑝)2 = 𝑦𝑦2 + 2(𝑝𝑝 − 𝑘𝑘)𝑦𝑦 + (𝑝𝑝 − 𝑘𝑘)2

Así, (𝑥𝑥 − ℎ)2 − 2𝑘𝑘𝑦𝑦 − 2𝑝𝑝𝑦𝑦 + 𝑘𝑘2 + 2𝑘𝑘𝑝𝑝 + 𝑝𝑝2 = 2𝑝𝑝𝑦𝑦 − 2𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑝𝑝2 − 2𝑘𝑘𝑝𝑝 + 𝑘𝑘2

(𝑥𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝𝑝𝑦𝑦 − 4𝑘𝑘𝑝𝑝

(𝒙𝒙 − 𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝒑𝒑(𝒚𝒚 − 𝒌𝒌)

96

Esta última es la ecuación general de una parábola de vértice 𝑉𝑉(ℎ,𝑘𝑘), que abre hacia arriba, con un foco a una distancia 𝑝𝑝 del vértice Se podría demostrar que, si la pendiente es negativa, la gráfica abre hacia abajo y la ecuación general sería,

(𝒙𝒙 − 𝒉𝒉)𝟐𝟐 = −𝟒𝟒𝒑𝒑(𝒚𝒚 − 𝒌𝒌)

De manera similar podríamos encontrar las ecuaciones de la parábola que abren a la derecha o a la izquierda del eje que tienen la siguiente ecuación

(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 4𝑝𝑝(𝑥𝑥 − ℎ) 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟ℎ𝑝𝑝

(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = −4𝑝𝑝(𝑥𝑥 − ℎ) 𝑝𝑝𝑏𝑏𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑞𝑞𝑓𝑓𝑠𝑠𝑒𝑒𝑟𝑟𝑑𝑑𝑝𝑝

Regresamos a la ecuación (𝑥𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝𝑝(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘), desarrollamos el binomio, y al simplificar nos queda,

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥ℎ + ℎ2 = 4𝑝𝑝𝑦𝑦 − 4𝑘𝑘𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑏𝑏𝑠𝑠𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥ℎ + ℎ2 − 4𝑝𝑝𝑦𝑦 + 4𝑘𝑘𝑝𝑝 = 0 Finalmente, si sustituimos por

𝐷𝐷 = −2ℎ, 𝐸𝐸 = −4𝑝𝑝 y 𝐹𝐹 = 4𝑘𝑘𝑝𝑝 + ℎ2

obtenemos;

𝑥𝑥2 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝐹𝐹 = 0 De acuerdo con el parámetro de la parábola tenemos,

Forma de la parábola Ecuación Foco Vértice Directriz

Abre hacia

arriba (𝑥𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝𝑝(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘) 𝐹𝐹 (ℎ,𝑘𝑘 + 𝑝𝑝) 𝑉𝑉 (ℎ,𝑘𝑘) 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝 − 𝑘𝑘

Abre hacia

abajo (𝑥𝑥 − ℎ)2 = −4𝑝𝑝(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘) 𝐹𝐹 (ℎ,𝑘𝑘 − 𝑝𝑝) 𝑉𝑉 (ℎ,𝑘𝑘) 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝 + 𝑘𝑘

Abre a la

derecha (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 4𝑝𝑝(𝑥𝑥 − ℎ) 𝐹𝐹 (ℎ + 𝑝𝑝,𝑘𝑘) 𝑉𝑉 (ℎ,𝑘𝑘) 𝑥𝑥 = ℎ − 𝑝𝑝

Abre a la

izquierda (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = −4𝑝𝑝(𝑥𝑥 − ℎ) 𝐹𝐹 (ℎ − 𝑝𝑝,𝑘𝑘) 𝑉𝑉 (ℎ,𝑘𝑘) 𝑥𝑥 = ℎ + 𝑝𝑝

97

Ejercicios: 1) Hallar las coordenadas del foco (eje de simetría), las coordenadas del vértice, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y la gráfica de las parábolas cuyas ecuaciones son:

a) 𝑥𝑥2 = 20𝑦𝑦 f) 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 10 = 0 b) 𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 − 8𝑥𝑥 − 23 = 0 g) 8𝑥𝑥2 = 7𝑦𝑦 c) 𝑥𝑥2 = −8𝑦𝑦 h) 9𝑥𝑥2 + 24𝑥𝑥 + 72𝑦𝑦 + 16 = 0 d) 𝑦𝑦2 − 6𝑦𝑦 − 12𝑥𝑥 − 15 = 0 i) 5𝑥𝑥2 + 10𝑦𝑦 = 0 e) 𝑦𝑦2 = 6𝑥𝑥 j) 𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 + 24 = 0

2) Hallar la ecuación de las parábolas siguientes:

a) Foco (8,0) y directriz (𝑥𝑥 + 8 = 0) b) Foco (0,7) y directriz (𝑦𝑦 + 7 = 0) c) Foco (2,0) y directriz (𝑥𝑥 − 2 = 0) d) Foco (6,−4) y directriz (𝑥𝑥 − 10 = 0) e) Foco (−2,3) y directriz (𝑦𝑦 − 5 = 0) f) Foco (2,−1) y vértice (−2,1) g) Foco (3,5) y vértice (3,1) h) Foco (6,−4) y vértice (−2,−4) i) De 𝑉𝑉(0,0) y que pasa por el punto 𝑃𝑃(3,2), eje focal (𝑥𝑥) j) De vértice que pasa por el origen y por el punto 𝑃𝑃(5,8), eje focal (𝑦𝑦) k) De vértice 𝑉𝑉(5,4) y que pase por el punto 𝑃𝑃(2,3) eje focal paralelo al eje de las 𝑥𝑥′𝑠𝑠

2.6.2 Circunferencia

Es común ver como sinónimos al círculo y la circunferencia. La diferencia está en que el circulo es el lugar geométrico de los puntos que se encuentran dentro de una circunferencia que a su vez es el perímetro de un círculo. Si 𝑃𝑃(𝑝𝑝, 𝑏𝑏) es un punto en el plano, se llama circunferencia de radio 𝑟𝑟 con centro en (𝑝𝑝, 𝑏𝑏) al lugar geométrico de los puntos (𝑥𝑥,𝑦𝑦) del plano cuya distancia al centro es 𝑟𝑟.

98

Su ecuación es de la forma

𝑟𝑟 = �(𝑥𝑥 − 𝑝𝑝)2 + (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2 O bien,

𝑟𝑟2 = (𝑥𝑥 − 𝑝𝑝)2 + (𝑦𝑦 − 𝑏𝑏)2

Si desarrollamos los binomios tendremos

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 2𝑝𝑝𝑥𝑥 − 2𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑝𝑝2 + 𝑏𝑏2 − 𝑟𝑟2 = 0

y con las siguientes sustituciones

𝐴𝐴 = −2𝑝𝑝; 𝐵𝐵 = −2𝑏𝑏; 𝑦𝑦 𝐶𝐶 = 𝑝𝑝2 + 𝑏𝑏2 − 𝑟𝑟2

Se puede reescribir la ecuación como,

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0

Donde el centro es: 𝐶𝐶 �− 𝐴𝐴2

,−𝐴𝐴2� y el radio cumple con la relación, 𝑟𝑟2 = �𝐴𝐴

𝐴𝐴�2�𝐴𝐴2�2− 𝐶𝐶

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟐𝟐 Ejemplo. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.

(𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 4)2 = 4 → 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 9 + 𝑦𝑦2 − 8𝑦𝑦 + 16 = 4

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 6𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 + 21 = 0

Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

−2 = −2𝑝𝑝 → 𝑝𝑝 = 1𝐶𝐶(1,−2 )

4 = −2𝑏𝑏 → 𝑏𝑏 = −2−4 = 1 + 4 − 𝑟𝑟2 → 𝑟𝑟 = 3

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 𝐴𝐴(2,0),𝐵𝐵(2,3),𝐶𝐶(1, 3).

Si sustituimos x e y en la ecuación 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

4 + 0 + 2𝐴𝐴 + 0 + 𝐶𝐶 = 04 + 9 + 2𝐴𝐴 + 3𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 01 + 9 + 𝐴𝐴 + 3𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0

→ 𝐶𝐶 = −4 − 2𝐴𝐴

3𝐵𝐵 = −910 + 𝐴𝐴 − 9 − 4 − 2𝐴𝐴 = 0

𝐶𝐶 = 2𝐵𝐵 = −3𝐴𝐴 = −3

La ecuación de la circunferencia es entonces 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 3𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 2 = 0

99

De esta manera, para que una expresión del tipo: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 sea una circunferencia debe cumplir que:

1. Los coeficientes de 𝑥𝑥2 e 𝑦𝑦2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2. No tenga término en 𝑥𝑥𝑦𝑦.

3. �𝐴𝐴2�2

+ �𝐴𝐴2�2− 𝐶𝐶 > 0

Ejemplo, Indicar si la ecuación: 4𝑥𝑥2 + 4𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 − 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

1. Como los coeficientes de 𝑥𝑥2 e 𝑦𝑦2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 −114

= 0

2. Cumple, no tiene termino en 𝑥𝑥𝑦𝑦

3. �−12�2

+ �−22�2

— 113

> 0

Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

El centro y el foco son, −1 = 2𝑝𝑝 → 𝑝𝑝 = 1

2� de esta manera el centro es 𝐶𝐶 �12

, 1 � por otro lado, para encontrar el radio,

−2 = −2𝑏𝑏 → 𝑏𝑏 = 1 𝑝𝑝𝑠𝑠í −112

=14

+ 1 + 𝑟𝑟2 → 𝑟𝑟 = 2

Ejemplo. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (5, 3) y que es tangente7 a la recta 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 2

A partir de la definición de tangencia, la solución a este problema obliga a encontrar la distancia perpendicular que hay del centro de la circunferencia a la recta, esta medida será entonces el radio de la circunferencia. En un gráfico sería lo siguiente,

En primer lugar, obtenemos la recta que pasa por el punto (5,3) y es perpendicular a la recta 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 2

7 La recta tangente a una circunferencia que pasa por el centro y un punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦), es la recta que pasa por el punto y por el centro de la circunferencia,

100

La pendiente 𝑚𝑚1 = 2 ∴ 𝑚𝑚2 = −12�

La ecuación perpendicular que pasa por (5,3) es,

𝑦𝑦 − 3 =−12

(𝑥𝑥 − 5)

𝑦𝑦 = −12� 𝑥𝑥 + 11

2�

El punto de intersección,

2𝑥𝑥 + 2 = −12� 𝑥𝑥 + 11

2� 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒 2𝑥𝑥 + 12� 𝑥𝑥 = 11

2� − 2

𝑥𝑥 =75

; 𝑦𝑦 = 2 �75� + 2 = 24

5�

El punto de tangencia es �7

5, 245�. El radio de la circunferencia es entonces,

𝑟𝑟 = ��75− 5�

2+ �

245− 3�

2= �81

25+

32425

= 4.025

Finalmente, la ecuación de la circunferencia es, de acuerdo con la formula,

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 10𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 17.8 = 0 Para los valores de 𝑝𝑝 = 5, 𝑏𝑏 = 3, 𝐶𝐶 = 52 + 32 − 4.0252 ≅ 17.8 Ejercicios

1) Cuáles de las siguientes ecuaciones son circunferencias. En su caso encontrar el centro y su radio.

a) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 6𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 − 3 = 0 b) 2𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 3𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 − 12 = 0 c) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 6𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 31

2) Hallar la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas: a) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (−2,3)𝑦𝑦 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑑𝑑𝑠𝑠𝑝𝑝 = 1 b) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (−10,−11)𝑦𝑦 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑑𝑑𝑠𝑠𝑝𝑝 = 9

4� c) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (−5,−4) 𝑦𝑦 𝑞𝑞𝑓𝑓𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑃𝑃(6,−8) d) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (0,7) 𝑦𝑦 𝑞𝑞𝑓𝑓𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑃𝑃(8,2) e) 𝐷𝐷𝑠𝑠á𝑚𝑚𝑒𝑒𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑛𝑛𝑚𝑚𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐴𝐴(−7,9)𝐵𝐵(10,3) f) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑝𝑝 𝐶𝐶(−4,2) 𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥′𝑠𝑠 g) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑝𝑝 𝐶𝐶(6,10) 𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑦𝑦′𝑠𝑠 h) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑝𝑝 𝐶𝐶(10,−1) 𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 2 = 0 i) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠𝑛𝑛𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 10 j) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑠𝑠𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟ó𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 8, 5𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 6 𝑞𝑞𝑓𝑓𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑝𝑝𝑓𝑓𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑃𝑃(−2,11)

101

2) Hallar el centro y el radio de las circunferencias determinando si cada una de ellas es real, imaginándose que se reduce a un punto.

a) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 6𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 15 = 0 b) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 8𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 4 = 0 c) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 8𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 − 24 = 0 d) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 16𝑥𝑥 − 16𝑦𝑦 + 64 = 0 e) 3𝑥𝑥2 + 3𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 6 = 0 f) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 8𝑥𝑥 − 7𝑦𝑦 = 0 g) 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 0 h) 2𝑥𝑥2 + 2𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0 i) 6𝑥𝑥2 + 6𝑦𝑦2 − 5𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 − 60 = 0

3) Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta que se indica.

a) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (8,6) 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 8𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 27 b) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (3,7) 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 − 4𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 = 2 c) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (5,6) 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 = 22 d) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (2,12) 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 54 e) 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (5,6) 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 6

4) En cada caso encontrar la ecuación de la circunferencia que pase por los tres puntos dados:

a) (4,5) (3,-2) (1,-4) b) (3,-2) (6,-2) (3,-7) c) (1,1) (1,3) (9,2) d) (-4,-3) (-1,-7) (0,0) e) (1,2) (3,1) (-3,-1)

2.6.3 Elipse

Se denomina elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano en los que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante. Tiene la forma de un círculo achatado con dos ejes perpendiculares achatados. Las elipses geométricamente se caracterizan por qué la suma de las distancias de cada punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦) hasta dos puntos denominados focos (𝐹𝐹 𝑦𝑦 𝐹𝐹′) es siempre la misma.

102

Si observamos la figura anterior podemos distinguir los siguientes elementos dentro de una elipse.

• Focos. Puntos (𝐹𝐹 𝑦𝑦 𝐹𝐹′) cuya suma de sus distancias a cada uno de los puntos 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦) de la elipse es siempre la misma.

• Distancia Focal. Se trata de la distancia entre los dos focos, o lo que es lo mismo la longitud del segmento 𝐹𝐹𝐹𝐹′.

• Eje focal. Recta que pasa por los dos focos 𝐹𝐹 y 𝐹𝐹′ de la elipse. • Vértices. Puntos de corte de la elipse con el eje focal 𝑉𝑉 y 𝑉𝑉’. • Eje mayor. Segmento que une 𝑉𝑉 y V' y cuya longitud es 2𝑝𝑝. Se denomina semieje

mayor a los segmentos OV o OV' cuya longitud es 𝑝𝑝. • Eje menor. Segmento que une B y B' y cuya longitud es 2𝑏𝑏. Se denomina semieje

menor a los segmentos OB o OB' cuya longitud es 𝑏𝑏.

La ecuación de la elipse se puede representar de cuatro formas distintas;

• Si se encuentra centrada en el origen del sistema de coordenadas, también conocida como ecuación reducida, o si se haya centrada en otro punto distinto.

• Y si su semieje mayor está en las abscisas o en las ordenadas.

A continuación, vamos a determinar cada una de ellas.

Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en las abscisas Con el fin de determinar la ecuación de la elipse, es posible considerar un sistema de referencia en el que el eje de abscisas sea el eje focal y el eje de ordenadas sea el eje secundario. A la ecuación de este tipo de elipses centradas en el origen de coordenadas se les denomina ecuación reducida de la elipse.

103

La figura muestra una elipse centrada en el origen con semieje mayor horizontal en la que se representa el valor de sus puntos principales expresados en función de la semidistancia focal ´c’ y la longitud de los semiejes mayor y menor (a y b). Comprueba como en este tipo de elipses el eje focal se sitúa sobre el eje de las 𝑥𝑥´𝑠𝑠 y el secundario sobre el eje de la 𝑦𝑦´𝑠𝑠.

Así, a partir de la definición de elipse, la longitud de las distancias a un punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦) es igual, 2𝑝𝑝.

�(𝑥𝑥 + 𝑟𝑟)2 + 𝑦𝑦2 + �(𝑟𝑟 − 𝑥𝑥)2 + 𝑦𝑦2 = 2𝑝𝑝

(𝑥𝑥 + 𝑟𝑟)2 + 𝑦𝑦2 = �2𝑝𝑝 − �(𝑟𝑟 − 𝑥𝑥)2 + 𝑦𝑦2�2

(𝑥𝑥 + 𝑟𝑟)2 + 𝑦𝑦2 = 4𝑝𝑝2 − 4𝑝𝑝�(𝑟𝑟 − 𝑥𝑥)2 + 𝑦𝑦2 + (𝑟𝑟 − 𝑥𝑥)2 + 𝑦𝑦2

𝑥𝑥2 + 2𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑟𝑟2 = 4𝑝𝑝2 − 4𝑝𝑝�(𝑟𝑟 − 𝑥𝑥)2 + 𝑦𝑦2 + 𝑟𝑟2 − 2𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

4𝑟𝑟𝑥𝑥 − 4𝑝𝑝2 = −4𝑝𝑝�(𝑟𝑟 − 𝑥𝑥)2 + 𝑦𝑦2 → −4𝑟𝑟𝑥𝑥 + 4𝑝𝑝2 = 4𝑝𝑝�(𝑟𝑟 − 𝑥𝑥)2 + 𝑦𝑦2

𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑝𝑝

= �(𝑟𝑟 − 𝑥𝑥)2 + 𝑦𝑦2 → �𝑝𝑝 −𝑟𝑟𝑝𝑝𝑥𝑥�

2= (𝑟𝑟 − 𝑥𝑥)2 + 𝑦𝑦2

𝑝𝑝2 − 2𝑝𝑝(𝑟𝑟 𝑝𝑝⁄ )𝑥𝑥 + 𝑟𝑟2𝑝𝑝2� 𝑥𝑥2 = 𝑟𝑟2 − 2𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2

𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟2 = 𝑥𝑥2 − 𝑟𝑟2𝑝𝑝2� 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 → 𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟2 =

𝑝𝑝2𝑥𝑥2 − 𝑟𝑟2𝑥𝑥2

𝑝𝑝2+ 𝑦𝑦2

𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟2 =𝑥𝑥2(𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟2)

𝑝𝑝2+ 𝑦𝑦2 → 1 =

𝑥𝑥2(𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟2)𝑝𝑝2(𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟2) +

𝑦𝑦2

𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟2

1 =𝑥𝑥2

𝑝𝑝2+

𝑦𝑦2

𝑝𝑝2 − 𝑟𝑟2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝𝑝2 = 𝑏𝑏2 + 𝑟𝑟2

(𝒙𝒙 + 𝒄𝒄)𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙 + 𝒄𝒄)𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐

La ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en las abscisas tiene la forma:

𝑥𝑥2

𝑝𝑝2+𝑦𝑦2

𝑏𝑏2= 1

Donde:

• a es la longitud de su semieje mayor. • b es la longitud de su semieje menor.

104

Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en las ordenadas La figura muestra una elipse centrada en el origen con semieje mayor vertical en la que se representa el valor de sus puntos principales expresados en función de la semidistancia focal (c) y la longitud de los semiejes mayor y menor (a y b). Observa que en este caso el eje focal se sitúa sobre el eje OY y el secundario sobre el eje OX La ecuación reducida de una elipse cuyo semieje mayor se encuentra situado de forma vertical tiene la forma:

𝑥𝑥2

𝑏𝑏2+𝑦𝑦2

𝑝𝑝2= 1

Donde: • 𝑝𝑝 es la longitud de su semieje mayor. • 𝑏𝑏 es la longitud de su semieje menor.

Ecuación de la elipse no centrada en el origen con semieje mayor horizontal La figura muestra una elipse no centrada en el origen con el valor de sus puntos principales expresados en función de la semidistancia focal (c) y la longitud de los semiejes mayor y menor (a y b).

(𝑥𝑥 − ℎ)2

𝑝𝑝2+

(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2

𝑏𝑏2= 1

En que:

• a es la longitud de su semieje mayor. • b es la longitud de su semieje menor. • (ℎ,𝑘𝑘) son las coordenadas del centro

de la elipse. Los vértices son 𝑉𝑉(ℎ − 𝑝𝑝,𝑘𝑘) y 𝑉𝑉(ℎ + 𝑝𝑝,𝑘𝑘) los focos 𝐹𝐹(ℎ − 𝑟𝑟,𝑘𝑘) y 𝐹𝐹(ℎ + 𝑟𝑟,𝑘𝑘) Cuando la elipse no centrada en el origen con eje mayor paralelo a las ordenadas tiene la forma, y su ecuación es,

(𝑥𝑥 − ℎ)2

𝑏𝑏2+

(𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2

𝑝𝑝2= 1

En el que:

105

• a es la longitud de su semieje mayor. • b es la longitud de su semieje menor. • (𝑥𝑥0,𝑦𝑦0) son las coordenadas del centro de la

elipse.

Los vértices son 𝑉𝑉(ℎ,𝑘𝑘 + 𝑝𝑝) y 𝑉𝑉(ℎ,𝑘𝑘 − 𝑝𝑝) los focos 𝐹𝐹(ℎ,𝑘𝑘 − 𝑟𝑟) y 𝐹𝐹(ℎ,𝑘𝑘 + 𝑟𝑟) Excentricidad

Existe una relación entre la semidistancia focal y el semieje mayor de cualquier elipse que nos permite determinar como de "achatada" es. Dicha relación recibe el nombre de excentricidad de una elipse.

La excentricidad de una elipse se define como el cociente entre la distancia focal ′2𝑟𝑟′ y la longitud del eje mayor de dicha elipse ′2𝑝𝑝′.

𝑒𝑒 = 2𝑐𝑐2𝑎𝑎

= 𝑐𝑐𝑎𝑎

En cualquier elipse la excentricidad es un valor que oscila entre 0 y 1; 0 ≤ 𝑒𝑒 ≤ 1. De hecho, si 𝑒𝑒 = 0, la elipse en realidad se trataría de una circunferencia. A medida que tomamos valores de e más cercanos a 1 mayor será el grado de "achatamiento" o "aplastamiento" que experimentará la elipse, hasta el punto de que si 𝑒𝑒 = 1 la elipse se trata en realidad de una recta.

Recta tangente en un punto 𝑷𝑷(𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎) La ecuación de la recta tangente en un punto cualquiera de la circunferencia de la elipse está dada por la formula

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑚𝑚(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0) y de la propia ecuación de la elipse 𝛥𝛥2

𝑏𝑏2+ 𝛥𝛥2

𝑎𝑎2= 1

Por derivación implícita se obtiene la pendiente 𝑚𝑚 = −𝑏𝑏2𝛥𝛥0𝑎𝑎2𝛥𝛥0

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0)

106

Finalmente, la ecuación de la pendiente en el punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥0, 𝑦𝑦0) es,

𝑥𝑥𝑥𝑥0𝑏𝑏2

+𝑦𝑦𝑦𝑦0𝑝𝑝2

= 1

Ejemplo. Hallar la ecuación de la tangente a la elipse 2𝑥𝑥2 + 3𝑦𝑦2 = 18 en el punto 𝑃𝑃�√3, 2�

Sustituimos en la formula y tenemos

𝑥𝑥2

12

+𝑦𝑦2

13

= 18 →𝑥𝑥2

9+𝑦𝑦2

6= 1 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝𝑝 = 3 𝑦𝑦 𝑏𝑏 = √6

La recta pendiente es √3𝑥𝑥32

+2𝑦𝑦

√62 = 1 y al despejar nos queda √3x + 3y = 9

Ejercicios

1. En cada de las siguientes elipses hallar; las coordenadas de los focos, de los vértices, de los polos, longitud de los ejes mayor y menor, los semi ejes mayor y menor, la longitud del lado recto y ancho focal, la excentricidad y su gráfica. 1.1. 𝛥𝛥2

25+ 𝛥𝛥2

16= 1 1.6 16𝑥𝑥2 + 25𝑦𝑦2 − 32𝑥𝑥 + 100𝑦𝑦 − 284 = 0

1.2. 𝛥𝛥2441

+ 𝛥𝛥2841

= 1 1.7 225𝑥𝑥2 + 289𝑦𝑦2 = 65025

1.3. 𝛥𝛥2841

+ 𝛥𝛥2400

= 1 1.8 9𝑥𝑥2 + 16𝑦𝑦2 − 36𝑥𝑥 + 96𝑦𝑦 + 36 = 0

1.4. 𝛥𝛥264

+ 𝛥𝛥236

= 1 1.9 25𝑥𝑥2 + 9𝑦𝑦2 − 200𝑥𝑥 + 18𝑦𝑦 + 184 = 0

1.5. 𝛥𝛥29

+ 𝛥𝛥225

= 1 1.10 16𝑥𝑥2 + 25𝑦𝑦2 + 160𝑥𝑥 − 150𝑦𝑦 − 975 = 0

2. Hallar las ecuaciones de las elipses que satisfagan las siguientes condiciones: 2.1. 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠 (±4,0),𝑉𝑉é𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 (±5,0) 2.2. 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠 (0, ±8),𝑉𝑉é𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 (0, ±17) 2.3. 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠 (±20,0),𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 (±29,0) 2.4. 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠 (0, ±5), 𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 (0,13) 2.5. 𝐿𝐿𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝 = 5, 𝑦𝑦 𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠 (±10,0) 2.6. 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠 (0, ±6), 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑚𝑚𝑠𝑠 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟 = 8

2.7. 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠 (±5,0), 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑 = 59

2.8. 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (3,1),𝑓𝑓𝑝𝑝 𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒 (3,−2) 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑟𝑟𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑 = 13

2.9. 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (2,−1), 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (6,−1) 𝑦𝑦 𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒 (6,−1) 2.10. 𝐶𝐶𝑒𝑒𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 (6,4),𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑝𝑝 (6,9) 𝑦𝑦 𝑝𝑝é𝑟𝑟𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟𝑒𝑒(−7,4)

107

'' Aquellas cantidades que dependen de otras, es decir, aquellas cantidades que experimentan un cambio cuando otras cambian, se llaman funciones de estas cantidades; esta definición se aplica ampliamente e incluye todas las maneras en las que una cantidad puede estar determinada por otras. Si, por lo tanto, 𝑥𝑥 denota a una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependan de 𝑥𝑥 de cualquier manera o estén determinadas por ella son llamadas funciones de ella.”8

2.7 Funciones

Para muchos matemáticos, el concepto de función es el más importante de todas las matemáticas. Hasta antes del siglo 17 no fue definido con rigor y el conocimiento no era muy claro. El término fue introducido por el matemático alemán Gottfried Leibnitz en 16949, cuando asocia un valor a una curva donde esta alcanza su máximo y su mínimo y estableció un método general para determinar las rectas tangentes en esos puntos. Posteriormente Jean Bernoulli, en 1718 escribió; “se llama función de una variable a una cantidad compuesta de manera que sea, por esa variable y por constantes” y propone la notación 𝜙𝜙𝑥𝑥 para precisar una función. Posteriormente Euler cambia la palabra “cantidad” por “expresión analítica”.10

En las ciencias Económicas las funciones son de mucho valor para resolver problemas donde haya que relacionar variables; como, por ejemplo, la producción, la oferta, la demanda, etc. Son modelos matemáticos que explican relaciones entre variables. Por ejemplo, la ley de oferta y demanda son dos de las relaciones básicas de la formación de los precios de mercado. La ley de demanda es una relación, negativa, entre las variables; precio y la magnitud de la demanda. Al moverse el precio hacia arriba disminuye la cantidad demandada. Por el contrario, al bajar el precio aumenta la demanda. Por ejemplo, si la relación de demanda de una empresa que produce un cierto producto es,

𝑄𝑄 = − 8.5𝑝𝑝 + 6409

8 Martínez-Adame, C. El concepto de función en la obra de Euler: Un recorrido a través de la constitución del Análisis Matemático Moderno. Miscelánea Matemática, 46, p. 73-91, 2008. 9 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), nace en Leipzig Alemania y fallece en Hannover, El nombre de función lo utilizó Leibnitz por primera vez en su obra "Methodus Tangentium Inversa Sen de fontionibus" el cual fue utilizado para designar las cantidades cuyas variaciones están ligadas por una ley. 10 Leonhard Euler (1707-1783). Nace en Basilea, Suiza y fallece en San Petersburgo. Uno de los más grandes matemáticos. Leer más: http://www.monografias.com/trabajos88/evolucion-del-concepto-funcion-inicios-del-siglo-xx/evolucion-del-concepto-funcion-inicios-del-siglo-xx.shtml#ixzz2eX1R43MH

108

Las funciones de demanda son negativas. En la ecuación anterior, si aumenta el precio 𝑝𝑝 en una unidad monetaria, la demanda disminuye en 8.5 unidades de producción.

No se necesita una fórmula matemática para poner de relieve que una variable es relación o función de otra variable. Una función puede ser especificada por medio de:

a) Una tabla.

México, consumo aparente de maíz. 1999-2009 (Millones de toneladas)

Periodo 1999 2001 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Consumo 22 23 26 24 26 27 25 29 31 33 27

Fuente: Las cifras se calcularon con base en los datos obtenidos de: Para granos básicos y productos pecuarios: Presidencia de la República. Poder Ejecutivo Federal. Cuarto Informe de Gobierno, Anexo Estadístico. 2 de septiembre de 2010. Para frutas y productos pecuarios: SAGARPA. SIAP. www.siap.gob.mx

b) Una fórmula matemática. Como la función de demanda anterior.

𝑄𝑄 = − 8.5𝑝𝑝 + 6409

c) Una gráfica. Esta curva de Laffer nos dice que, si aumenta la tasa de impuestos de un país, la recaudación fiscal disminuye. Hay una relación entre las variables impuesto y la recaudación.

Una función es una relación entre un conjunto de valores de la variable real 𝑥𝑥, llamado dominio, con otra variable real 𝑦𝑦, llamada codominio, con la condición de que a cada valor de la variable 𝑥𝑥′𝑠𝑠 le corresponde uno y solo un valor de la variable 𝑦𝑦. Es decir, una función 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) es una regla que asigna para cada valor del dominio un único elemento del codominio 𝑑𝑑(𝑥𝑥). El dominio son los valores que toman las abscisas 𝑥𝑥´𝑠𝑠, y el codominio el conjunto de valores que toma la función. El rango es un subconjunto del codominio, son todos los valores posibles de las ordenadas 𝑦𝑦´𝑠𝑠. Más adelante formalizamos estos conceptos. Normalmente, la notación que se usa para representar una función es 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥), donde ′𝑥𝑥′ es la variable independiente, ′𝑦𝑦′ la variable dependiente y 𝑑𝑑(𝑥𝑥) la aplicación que indica cómo se obtiene el valor de 𝑦𝑦 conocido el valor de 𝑥𝑥.

109

Figura 7.2.2 Definición de función

Como se aprecia en la figura 7.2.2, la imagen a la izquierda es una función puesto que a cada valor del eje de la x′s le corresponde un solo valor en el eje de las y′s. No es el caso de la imagen a la derecha en donde; por ejemplo, para x = 1, le corresponden dos valores de y, uno positivo y otro negativo. 2.7.1 Gráfica de una función. Una función tal como la definimos antes, tiene un dominio y un rango. La representación gráfica de una función 𝑑𝑑 es el conjunto de puntos de coordenadas �𝑥𝑥, 𝑑𝑑(𝑥𝑥)�, que están en los números reales, que constituyen la función. Cuando se grafica la función, los valores del dominio usualmente se asocian con el eje horizontal del sistema cartesiano y el rango con el eje vertical. Así, la función,

𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) Si ′𝑥𝑥′ es la variable independiente, el eje de las abscisas y ′𝑦𝑦′ la variable dependiente, eje de las ordenadas. Al punto en el que una función intercepta el eje de las abscisas le llamamos intersección con el eje de las 𝑥𝑥`𝑠𝑠 o un cero de la función. También este valor es una solución o raíz de la función. El punto o valor de las ordenadas donde la función intercepta el eje de las 𝑦𝑦`𝑠𝑠 o también raíz o cero de la función 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 0. La gráfica de una función nos sirve para observar su comportamiento. Si construimos una tabla de valores a partir de la función, por ejemplo,

𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 4

La tabla de pares ordenados que satisfacen esta ecuación.

𝑥𝑥 −4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ………. 𝑦𝑦 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 ……….

110

Ubicamos estos pares ordenados en un plano cartesiano y trazamos la gráfica uniendo estos puntos.

Figura 2.7.3 Como era de suponer, la gráfica que resulta es una parábola, notemos que el lado derecho del eje de las 𝑦𝑦´𝑠𝑠 es igual al lado izquierdo, esta función se dice simétrica con respecto al eje de las 𝑦𝑦´𝑠𝑠.

Este concepto de simetría puede ser de gran importancia cuando graficamos funciones. De manera general podemos decir, a) Una función es simétrica con respecto al eje de las ordenadas, o función par; cuando

para todos los valores 𝑥𝑥 en el dominio se verifica que,

𝑑𝑑(−𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑥𝑥 ∈ ℝ

b) Por definición de función no pueden existir funciones simétricas con respecto al eje de las ordenadas ya que, para un valor del dominio, no se debe tener dos valores.

c) Una función es simétrica respecto al origen, o función impar; cuando para todo valor del dominio se verifica que,

𝑑𝑑(−𝑥𝑥) = −𝑑𝑑(𝑥𝑥)

Ejemplos, Definir si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna e indique el tipo de simetría. Dibuje la gráfica a) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 + 3

Vamos a probar si es una función par,

𝑑𝑑(𝑝𝑝) = 𝑑𝑑(−𝑝𝑝)

𝑑𝑑(𝑝𝑝) = 4𝑝𝑝 + 3 𝑦𝑦 𝑑𝑑(−𝑝𝑝) = 4(−𝑝𝑝) + 3 = −4𝑝𝑝 + 3

4𝑝𝑝 + 3 = −4𝑝𝑝 + 3 No es una función par

Probamos si es una función impar 𝑑𝑑(−𝑝𝑝) = −𝑑𝑑(𝑝𝑝) 𝑑𝑑(−𝑝𝑝) = 4(−𝑝𝑝) + 3 = −4𝑝𝑝 + 3 𝑦𝑦

−𝑑𝑑(𝑝𝑝) = −(4𝑝𝑝 + 3) = −4𝑝𝑝 − 3

−4𝑝𝑝 + 3 ≠ −4𝑝𝑝 − 3 No es una función impar

Es una función que no tiene simetría par o impar.

𝑥𝑥 -1 -2 -3 0 1 2 3 𝑦𝑦 -1 -5 -9 3 7 11 15

Figura 2.7.3 Gráfico y tabla ejercicio a)

111

b) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 Prueba de función par 𝑑𝑑(𝑝𝑝) = 𝑑𝑑(−𝑝𝑝)

𝑑𝑑(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝3 𝑦𝑦 𝑑𝑑(−𝑝𝑝) = (−𝑝𝑝)3 𝒂𝒂𝟏𝟏 ≠ (−𝒂𝒂)𝟏𝟏 No es una función par

Prueba de función impar 𝑑𝑑(−𝑝𝑝) = −𝑑𝑑(𝑝𝑝)

𝑑𝑑(−𝑝𝑝) = (−𝑝𝑝)3 = −𝑝𝑝3 𝑦𝑦 −𝑑𝑑(𝑝𝑝) = −𝑝𝑝3 −𝒂𝒂𝟏𝟏 = −𝒂𝒂𝟏𝟏 Es una función impar

Función simétrica con respecto al origen

c) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥2 + 3 Evaluamos la simetría par 𝑑𝑑(𝑝𝑝) = 𝑑𝑑(−𝑝𝑝) 𝑑𝑑(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝4 − 2𝑝𝑝2 + 3 𝑦𝑦 𝑑𝑑(−𝑝𝑝) = (−𝑝𝑝)4 − 2(−𝑝𝑝)2 + 3 = 𝑝𝑝4 − 2𝑝𝑝2 + 3 𝑝𝑝4 − 2𝑝𝑝2 + 3 = 𝑝𝑝4 − 2𝑝𝑝2 + 3

Es una función par.

Función simétrica con respecto al eje de las ordenadas

2.7.2 Funciones elementales

a) Una función 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝0 se llama función constante. Cualquiera que sea el valor de 𝑥𝑥, 𝑒𝑒𝑙𝑙 valor de la variable dependiente 𝑦𝑦 será siempre a0. Son rectas paralelas al eje de las 𝑥𝑥′𝑠𝑠.

b) Las funciones lineales son de la forma 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑏𝑏, este tipo de funciones ya se

vieron antes; por ejemplo, la función de costo 𝑟𝑟(𝑞𝑞) = 0.5𝑞𝑞 + 7800.

c) Las funciones cuadráticas son de la forma 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝2𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝1𝑥𝑥 + 𝑝𝑝0, un ejemplo de estas podría ser la función de demanda 𝑞𝑞(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝2 − 45𝑝𝑝 + 1200. Su gráfica es siempre una parábola con eje focal paralelo a las ordenadas, 𝑦𝑦`𝑠𝑠.

d) La función polinómica de grado 𝑝𝑝 es de la forma 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝𝑚𝑚𝑥𝑥𝑚𝑚 + 𝑝𝑝𝑚𝑚−1𝑥𝑥𝑚𝑚−1 + ⋯+

𝑝𝑝1𝑥𝑥 + 𝑝𝑝0, el dominio de estas funciones es Ʀ.

𝑥𝑥 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 𝑦𝑦 -64 -27 -8 -1 0 1 8 27

𝑥𝑥 -3 -2 -1 0 1 2 3 𝑦𝑦 66 11 2 3 2 11 66

Figura 2.7.4 Gráfico y tabla ejercicio b)

Figura 2.7.5 Gráfico y tabla ejercicio c)

112

e) Las Funciones racionales son de la forma 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝛥𝛥)

𝑄𝑄(𝛥𝛥) donde 𝑃𝑃(𝑥𝑥) y 𝑄𝑄(𝑥𝑥) son

polinomios y 𝑥𝑥 una variable. El dominio de las funciones racionales son todos los valores que no anulen el denominador 𝑄𝑄(𝑥𝑥).

f) Funciones irracionales, son aquellas cuya expresión matemática 𝑑𝑑(𝑥𝑥) es un radical

de la forma 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = �𝑛𝑛(𝑥𝑥)𝑛𝑛 . Donde 𝑛𝑛(𝑥𝑥) es una función polinómica o una función racional. El dominio de este tipo de funciones, son los valores de la variable independiente 𝑥𝑥 para los que la función 𝑛𝑛(𝑥𝑥) es mayor o igual a cero.

Algunos ejemplos de funciones definidas por una regla o una fórmula;

𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 3 El valor de la función cuando 𝑥𝑥 = 0, 3, 𝑝𝑝 + 1 es; 𝑑𝑑(0) = 02 + 0 − 3 = −3 𝑑𝑑(3) = 32 + 3 − 3 = 9 𝑑𝑑(𝑝𝑝 + 1) = (𝑝𝑝 + 1)2 + (𝑝𝑝 + 1) − 3 = 𝑝𝑝2 + 2𝑝𝑝 + 1 + 𝑝𝑝 + 1 − 3 = 𝑝𝑝2 + 3𝑝𝑝 − 1

2.7.3 Dominio y rango de una función Se llama dominio de una función 𝑑𝑑 al conjunto de números reales 𝑥𝑥 para los cuales existe 𝑑𝑑(𝑥𝑥). Se denota 𝐷𝐷(𝑑𝑑), o simplemente D. Es decir,𝐷𝐷 = 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅|𝑒𝑒𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑑𝑑(𝑥𝑥). Si se define una función por medio de una fórmula algebraica, el dominio consiste en todos los valores de la variable independiente para los cuales la función tiene sentido (a menos que se mencione explícitamente otro). Se llama rango o imagen de una función 𝑑𝑑 con dominio 𝐷𝐷(𝑑𝑑), al conjunto de todos los valores de la variable dependiente 𝑑𝑑(𝑥𝑥) que toma la función. Ejemplos. Encontrar el dominio de las siguientes funciones. • La función 𝑞𝑞(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝3 − 45𝑝𝑝 + 1200 es polinómica de grado 3. El dominio de la función

son todos los valores de los reales ya que para cualquier valor de la variable 𝑝𝑝 la función toma un valor de los reales que tiene sentido

• La función 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝛥𝛥−1𝛥𝛥2+1

es una función racional. Para este tipo de función, los valores que no tienen sentido son aquellos que hacen cero el denominado. En nuestro ejemplo, el hecho de que la variable este elevada a una potencia par, evita que el denominador sea igual a cero. Así, el dominio de la función serán todos los números reales {Ʀ}, ya que para cualquier valor de 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2 + 1 ≠ 0.

113

• Si tenemos la función, 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 − 1 es por su forma irracional. Los valores que tienen sentido para esta función son aquellos que hacen que el radical no sea negativo. Como el exponente de 𝑥𝑥 es par, su dominio estará dado por la ecuación 𝑥𝑥2 − 1 ≥ 0, si resolvemos esta ecuación 𝑥𝑥 ≥ ±1 entonces su dominio es (−∞,−1]ᴜ[1, +∞).

En algunos casos, el dominio de la función no viene dado a priori, sino que hay que calcularlo mediante la definición de 𝑑𝑑. Además, en los modelos económicos para determinar el dominio no sólo hay que considerar la existencia matemática de 𝑑𝑑(𝑥𝑥), sino también que tenga sentido en el contexto económico considerado tanto 𝑥𝑥 como 𝑑𝑑(𝑥𝑥). Para la función de costos 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 0.65𝑥𝑥 + 25, donde 𝑥𝑥 es la variable independiente que es el número de productos; por lo tanto, el dominio de 𝐶𝐶(𝑥𝑥) es el conjunto de valores de 𝑥𝑥 para los cuales 𝐶𝐶(𝑥𝑥) tiene sentido. Para este modelo económico, no tendría sentido considerar valores negativos de la variable, por lo tanto, no podrían considerarse en el dominio. 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 0.65𝑥𝑥 + 25 𝐶𝐶(0) = 0.65𝑥𝑥 ∗ 25 = 25 𝐶𝐶(2) = 26.3 Una forma no muy ortodoxa para encontrar el dominio y el rango es el tanteo, si es posible trazar la gráfica de la función o por medio de la función inversa, como en los siguientes ejemplos:

a) 𝑑𝑑 (𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥2 − 3 función de variable real cuyo dominio es 𝐷𝐷𝑓𝑓 = [−∞,∞].

El rango lo obtenemos por medio de la inversa.

𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥2 − 3 → �𝑦𝑦 + 3

4= 𝑥𝑥

De esta manera el rango son todos los valores de 𝑦𝑦 que verifican que 𝛥𝛥+3

4≥ 0. Así, al resolver la inecuación

tenemos que 𝑦𝑦 ≥ −3. De esta manera el rango. 𝑅𝑅𝑓𝑓 = {𝑦𝑦 ∈ ℝ,𝑦𝑦 ≥ −3 }

𝑥𝑥 0 2 4 6 8 10 𝐶𝐶(𝑥𝑥) 25 26.3 27.6 28.9 30.2 31.5

Figura 2.7.6 Gráfico y tabla para la función de costos

114

b) 𝑑𝑑 (𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 1 es una función real de variable

real.

Su dominio 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0 → 𝑥𝑥 ≥ 1 𝐷𝐷𝑓𝑓: [1,∞) Para encontrar el rango buscamos la función inversa, es decir despejamos 𝑥𝑥 de la ecuación 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥 − 1 → 𝑦𝑦2 + 1 = 𝑥𝑥, el rango es 𝑅𝑅𝑓𝑓: [0,∞). La gráfica de la ecuación nos ayuda a encontrar, o demostrar, el dominio y el rango es el obtenido algebraicamente.

𝐷𝐷𝑓𝑓 = [1, + ∞ ) y 𝑅𝑅𝑓𝑓: [0,∞)

c) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 4 es una función real de variable real cuyo dominio es 𝐷𝐷 = [4, + ∞ ). Para encontrar el rango buscamos la función inversa, es decir despejamos la variable 𝑥𝑥 y tenemos, 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥 − 4 → 𝑦𝑦2 + 4 = 𝑥𝑥, el rango es 𝑅𝑅𝑓𝑓: [0,∞). La gráfica de la ecuación que nos ayuda a encontrar, o demostrar, el dominio y el rango es;

Como podemos ver en la gráfica los valores que puede tomar la variable 𝑥𝑥, el dominio es; 𝐷𝐷 = [4, + ∞ ), por otro lado la variable solo puede tomar valores positivos a partir de cero.

d) 𝑑𝑑(𝑥𝑥)2 = 𝑥𝑥 no es una función, ya que para cada valor de 𝑥𝑥, corresponden dos valores de 𝑦𝑦.

𝑥𝑥 𝑑𝑑(𝑥𝑥) 1 0 2 1 3 1.41 4 1.73 5 2 6 2.23

𝑥𝑥 𝑑𝑑(𝑥𝑥) 4 0 5 1 6 √2 8 2

Figura 2.7.7 Parábola con eje focal paralelo al eje de las ordenadas.

Figura 2.7.8 Gráfico y tabla ejercicio b)

Figura 2.7.9 Gráfico y tabla ejercicio c)

115

e) 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 12𝛥𝛥+4

es una función con 𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅⁄ 𝑥𝑥 ≠ −2}, el dominio son todos los números reales distintos de −2, ya que para ese valor la división entre cero no está definida. Como notamos en la gráfica la función es discontinua en el valor de −2

Para encontrar el rango buscamos la función inversa, 𝑦𝑦 = 1

2𝛥𝛥+4 → 𝑦𝑦(2𝑥𝑥 + 4) = 1

2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑦𝑦 = 1 → 2𝑥𝑥𝑦𝑦 = 1 − 4𝑦𝑦

Finalmente 𝒙𝒙 = 𝟏𝟏−𝟒𝟒𝒚𝒚𝟐𝟐𝒚𝒚

Y el rango está en 𝑅𝑅𝑓𝑓: Ʀ − {0}, cualquier valor real, excepto 0. f) Hallar Dominio y Rango de: 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 2𝛥𝛥+3

𝛥𝛥−1

El valor de que 𝑥𝑥 no puede ser igual a uno (𝑥𝑥 ≠ 1), porque tendríamos división entre cero. El valor de uno es entonces un punto crítico. Por lo tanto, el dominio 𝐷𝐷𝛥𝛥:Ʀ − {1}. Para encontrar el rango buscamos la función inversa, despejamos 𝑥𝑥, así

𝑦𝑦 =2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 1

→ 𝑦𝑦(𝑥𝑥 − 1) = 2𝑥𝑥 + 3 𝑦𝑦𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = 3 → 𝑦𝑦𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 3

𝑥𝑥(𝑦𝑦 − 2) = 𝑦𝑦 + 3 → 𝒙𝒙 =𝒚𝒚 + 𝟏𝟏𝒚𝒚 − 𝟐𝟐

De donde el rango es 𝑅𝑅𝑓𝑓: Ʀ − {2}, para cualquier valor real excepto 𝑦𝑦 = 2

g) El costo diario de una empresa es 𝑟𝑟(𝑞𝑞) = 17𝑞𝑞 + 325, donde q es la producción diaria. Si la capacidad de producción es de 7500 unidades por día, el dominio de esta función es 𝐷𝐷 = {𝑞𝑞|0 ≤ 𝑞𝑞 ≤ 7500}, el valor de 𝑞𝑞 no podrá tomar valores negativos.

En los problemas económicos, dada la naturaleza de las variables de no negatividad, el rango toma valores mayores o iguales a cero, pero ya que la capacidad productiva es de 7500 unidades por día entonces;

𝑟𝑟(0) = 17(0) + 325 = 325

𝑟𝑟(7500) = 17(7500) + 325 = 127,825

116

Por lo tanto, el rango esta entre 𝑅𝑅𝑓𝑓: [325, 127′825]

h) El costo de producción de 𝑥𝑥 unidades en una empresa es 𝑟𝑟(𝑥𝑥) = 150√𝑥𝑥 + 2500

i. Hallar el costo de producción de 25, 45 𝑦𝑦 100 unidades. ii. Supongamos que se producen q unidades, hallar el incremento en el costo

de producción de una unidad adicional. (costo marginal)

El costo de producción de 25, 45 𝑦𝑦 100 es de;

𝑟𝑟(25) = 150√25 + 2500 = 3250 𝑟𝑟(45) = 150√45 + 2500 = 3506.2 𝑟𝑟(100) = 150√100 + 2500 = 4000

El costo de producir 𝑟𝑟(𝑞𝑞) = 150�𝑞𝑞 + 2500, finalmente el costo de una unidad adicional es 𝑟𝑟(𝑞𝑞 + 1) − 𝑟𝑟(𝑞𝑞);

𝑟𝑟(𝑞𝑞 + 1) − 𝑟𝑟(𝑞𝑞) = 150�𝑞𝑞 + 1 + 2500 − 150�𝑞𝑞 − 2500

= 150��𝑞𝑞 + 1 −�𝑞𝑞� Ejercicios. 1. Dibujar la gráfica de las siguientes funciones.

1.1. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = −5𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 7 1.2. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 1| 1.3. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 + 2√𝑥𝑥 − 3 1.4. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 1)2 − 3𝑥𝑥 1.5. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥−1

𝑥𝑥+1

2. Encontrar el dominio y el rango de las siguientes funciones.

1.1. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 − 3 1.6. 𝑑𝑑(𝑒𝑒) = �9𝑒𝑒 + 64

1.2. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 4 1.7. 𝑑𝑑(𝑖𝑖) = √36−4𝑧𝑧2

3

1.3. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝛥𝛥−12𝛥𝛥+3

1.8. 𝑑𝑑(ℎ) = � ℎ−7ℎ+16

1.4. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 2𝛥𝛥+1√𝛥𝛥−3

1.9 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = |2𝑥𝑥 − 4|

1.5. 𝑑𝑑(𝑛𝑛) = �18 − 2𝑛𝑛2 1.10. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = |3𝑥𝑥+5|2𝑥𝑥

2. Determine los valores de la función para 𝑑𝑑(10),𝑑𝑑(15),𝑑𝑑(25),𝑑𝑑(ℎ) 𝑦𝑦 𝑑𝑑(ℎ + 1)

2.1. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 7

117

2.2. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 1 2.3. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥2 − 2√𝑥𝑥 − 5 2.4. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = (7𝑥𝑥 − 2)2 + 3𝑥𝑥 2.5. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥2 + √𝑥𝑥 + 2

3. Una empresa que se dedica a la impresión de libros tiene maquinaria con valor de $45,000 pesos. Si estos equipos se deprecian 5% de su valor cada año, determine la función que determine el valor del equipo después de t años.

4. Una organización que vende café tiene costos fijos anuales de $98,000 pesos anuales, luz agua y renta de instalaciones, sin importar cuantas toneladas de café produce al año. Si adicionalmente le cuesta $2500 pesos por cada tonelada de producto, encontrar, a) La función de costo anual b) El dominio y rango de la función si la capacidad máxima de producción es de 350

toneladas al año.

5. Una empresa produce un artículo. La función de costos totales para este artículo es: 𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 35 + 3𝑥𝑥; donde 𝑥𝑥 es el número de unidades producidas en un mes determinado. a) Grafique la función de costos 𝐶𝐶(𝑥𝑥) y determine si es continua o discontinua en su

dominio. b) Determine si es una función creciente, decreciente o ninguna de ambas. c) Hallar el costo de producción de 10, 05 y 100 unidades. d) Si se producen “a” unidades, encontrar el costo marginal

6. En el proceso de elaboración de un componente electrónico, el costo inicial es de $25,000 pesos, si los costos adicionales son de $5 pesos por unidad producida encontrar la función de Costo total y el número de componentes producidos si el costo total es de $4,500 pesos.

2.7.4 Operaciones con funciones. Al igual que los números, también se realizan las operaciones básicas entre funciones. Si dos funciones 𝑑𝑑(𝑥𝑥) y 𝑛𝑛(𝑥𝑥) producen ambas un resultado en los reales entonces es posible realizar operaciones numéricas tales como suma, resta, multiplicación y división. Además, si los valores que toma 𝑛𝑛(𝑥𝑥) están en el dominio de 𝑑𝑑. Así, también podemos evaluar 𝑑𝑑 en 𝑛𝑛(𝑥𝑥). El poder encontrar una suma, producto, cociente o composición de funciones es útil porque permite descomponer funciones complicadas en otras más sencillas. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de funciones, 𝑑𝑑 y 𝑛𝑛 están definidas de la siguiente forma. Si 𝑑𝑑 y 𝑛𝑛 son dos funciones con dominios 𝐷𝐷𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝐷𝐷𝑔𝑔 respectivamente.

118

Suma. (𝑑𝑑 + 𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) + 𝑛𝑛(𝑥𝑥) Resta (𝑑𝑑 − 𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) − 𝑛𝑛(𝑥𝑥) Multiplicación (𝑑𝑑 . 𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) . 𝑛𝑛(𝑥𝑥)

División �𝑓𝑓𝑔𝑔� (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝛥𝛥)

𝑔𝑔(𝛥𝛥), 𝑛𝑛(𝑥𝑥) ≠ 0

El dominio de la función resultante en todos los casos es igual a la intersección de 𝑑𝑑 y 𝑛𝑛, excepto para los valores de 𝑥𝑥 donde 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 0, en el caso de la división. Ejemplo, Sea 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = √9 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = √4𝑥𝑥 + 1, encuentre la suma, resta, multiplicación y división de 𝑑𝑑 y 𝑛𝑛

Solución (𝑑𝑑 + 𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) + 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = √9 − 𝑥𝑥2 + √4𝑥𝑥 + 1

(𝑑𝑑 − 𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) − 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = √9 − 𝑥𝑥2 − √4𝑥𝑥 + 1

(𝑑𝑑 . 𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) . 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = √9 − 𝑥𝑥2√4𝑥𝑥 + 1 = �(9 − 𝑥𝑥2)(4𝑥𝑥 + 1)

�𝑓𝑓𝑔𝑔� (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝛥𝛥)

𝑔𝑔(𝛥𝛥)=

�9−𝑥𝑥2

√4𝛥𝛥+1= �9−𝑥𝑥2

4𝛥𝛥+1

Los dominios de 𝑑𝑑 y 𝑛𝑛 son

𝐷𝐷𝑓𝑓: 9 − 𝑥𝑥2 ≥ 0, 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝 [−3, 3]

𝐷𝐷𝑔𝑔: 4𝑥𝑥 + 1 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ −14 ó 𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙𝑝𝑝 �−1

4,𝛼𝛼�

El dominio para las operaciones de suma, resta y multiplicación es

[−3, 3] ∩ �−14,𝛼𝛼� = �−1

4, 3�

El dominio para la función cociente también es,

𝐷𝐷𝑓𝑓 𝑔𝑔⁄ : 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔 , �𝑥𝑥∈ ℝ| − 14 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3�

Ejemplos. Para las funciones 𝑑𝑑 y 𝑛𝑛, encuentre las funciones 𝑑𝑑 + 𝑛𝑛, 𝑑𝑑 − 𝑛𝑛 y 𝑓𝑓𝑔𝑔

. Encuentre

también sus dominios.

a) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 1 Suma 𝑑𝑑 + 𝑛𝑛 = 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 + 1 = 3𝑥𝑥2 + 1 Resta 𝑑𝑑 − 𝑛𝑛 = 2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 − 1 = 𝑥𝑥2 − 1 Multiplicación 𝑑𝑑.𝑛𝑛 = (2𝑥𝑥2)(𝑥𝑥2 + 1) = 2𝑥𝑥4 + 2𝑥𝑥2 El dominio de estas funciones es (−∞,∞)

División 𝑓𝑓𝑔𝑔

= �2𝛥𝛥2�𝛥𝛥2+1

El dominio de la división es también (−∞,∞) b) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 5 − 2√𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 3 − √𝑥𝑥

119

Suma 𝑑𝑑 + 𝑛𝑛 = �5 − 2√𝑥𝑥� + �3 − √𝑥𝑥 � = 8 − 3√𝑥𝑥 Resta 𝑑𝑑 − 𝑛𝑛 = �5 − 2√𝑥𝑥� − �3 − √𝑥𝑥 � = 2 − √𝑥𝑥 Multiplicación 𝑑𝑑.𝑛𝑛 = �5 − 2√𝑥𝑥��3 −√𝑥𝑥 � = 15 − 5√𝑥𝑥 − 6√𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 = 15 − 11√𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 El dominio de estas funciones es [0,∞)

División 𝑓𝑓𝑔𝑔

= 5−2√𝛥𝛥3−√𝛥𝛥

El dominio de la división debe ser 3 − √𝑥𝑥 ≠ 0 o también 𝑥𝑥 ≠ 9, de esta manera el dominio es [0, 9) ∪ (9,∞)

2.7.5 Función compuesta Una función compuesta de dos funciones 𝑑𝑑 y 𝑛𝑛, es una función formada por la composición de funciones de manera que el rango de una función es el dominio de la otra. La notación que utilizamos para denotar la composición es,

(𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑�𝑛𝑛(𝑥𝑥)�

Se lee, función compuesta de 𝑑𝑑 con 𝑛𝑛. Observemos que el dominio de esta nueva función (𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛) es el conjunto de todos los números reales 𝑥𝑥 en el dominio de 𝑛𝑛, donde 𝑛𝑛(𝑥𝑥) está en el dominio de 𝑑𝑑. Es decir, se deben satisfacer las siguientes condiciones,

𝐷𝐷𝑓𝑓∘𝑔𝑔 = �𝑥𝑥 ∈ ℝ| 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑔𝑔 ⋏ 𝑛𝑛(𝑥𝑥) ∈ 𝐷𝐷𝑓𝑓�

Considere por ejemplo la siguiente función, 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥2 − 1 + 4

La podemos descomponer en dos funciones,

𝑑𝑑(𝑓𝑓) = √𝑓𝑓 + 4 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 1

ℎ(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑�𝑛𝑛(𝑥𝑥)� = �𝑥𝑥2 − 1 + 4 La función ℎ es la función compuesta de las funciones 𝑑𝑑 y 𝑛𝑛. El dominio de la función compuesta son todos los valores que están en el dominio de 𝑛𝑛(𝑥𝑥).

𝑥𝑥2 − 1 ≥ 0 𝑥𝑥2 ≥ 1 → 𝑥𝑥 ≥ ±1

Así, el dominio de h son todos los valores de los reales excepto los que se encuentran en el intervalo abierto de (−1, 1). Propiedades de la función compuesta.

a) La composición de funciones es asociativa. Dadas tres funciones cualesquiera 𝑑𝑑(𝑥𝑥),

120

𝑛𝑛(𝑥𝑥) y ℎ(𝑥𝑥) se cumple que, ℎ ∘ (𝑛𝑛 ∘ 𝑑𝑑) = (ℎ ∘ 𝑛𝑛) ∘ 𝑑𝑑

b) NO Conmutativas. La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir, (𝑛𝑛 ∘ 𝑑𝑑) y (𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛) son en general dos funciones distintas.

c) La inversa de la composición de dos funciones es, (𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛)−1 = 𝑛𝑛−1 ∘ 𝑑𝑑−1

d) Simetría. La composición de una función con su inversa nos da la función identidad, (𝑑𝑑 ∘ 𝑑𝑑−1)(𝑥𝑥) = (𝑑𝑑−1 ∘ 𝑑𝑑)(𝑥𝑥) = 𝐼𝐼(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥

Ejemplos, encontrar las funciones compuestas y el dominio de (𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛) y (𝑛𝑛 ∘ 𝑑𝑑).

a) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝛥𝛥𝛥𝛥+4

𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 2 − 𝑥𝑥

La función compuesta ℎ(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑�𝑛𝑛(𝑥𝑥)� = 𝑑𝑑(2 − 𝑥𝑥) por lo tanto

ℎ(𝑥𝑥) =2 − 𝑥𝑥

(2 − 𝑥𝑥) + 4=

2 − 𝑥𝑥6 − 𝑥𝑥

El dominio de ℎ(𝑥𝑥) es 𝐷𝐷ℎ: {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅, 𝑥𝑥 ≠ 6} todos los reales, excepto 𝑥𝑥 = 6

La función compuesta ℎ(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛�𝑑𝑑(𝑥𝑥)� = 𝑛𝑛 � 𝛥𝛥𝛥𝛥+4

� por lo tanto

ℎ(𝑥𝑥) = 2 −𝑥𝑥

𝑥𝑥 + 4=

2(𝑥𝑥 + 4) − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 4

=𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥 + 4

El dominio de ℎ(𝑥𝑥) es 𝐷𝐷ℎ: {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅, 𝑥𝑥 ≠ −4} todos los reales, excepto 𝑥𝑥 = −4

b) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 2 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = √6 − 𝑥𝑥 La función compuesta ℎ(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑�𝑛𝑛(𝑥𝑥)� = 𝑑𝑑�√6 − 𝑥𝑥� por lo tanto

ℎ(𝑥𝑥) = �√6 − 𝑥𝑥�2

+ 2 = 8 − 𝑥𝑥

El dominio de ℎ(𝑥𝑥) es 𝐷𝐷ℎ: {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅}. Todos los reales

La función compuesta ℎ(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛�𝑑𝑑(𝑥𝑥)� = 𝑛𝑛(𝑥𝑥2 + 2) por lo tanto

ℎ(𝑥𝑥) = �6 − (𝑥𝑥2 + 2) = �4 − 𝑥𝑥2

El dominio de ℎ(𝑥𝑥) son los reales que hacen, 4 − 𝑥𝑥2 ≥ 0 → (2 + 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥) ≥ 0

De esta manera 𝐷𝐷ℎ: {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅, 𝑥𝑥 < 2}. Todos los reales menores que 2

Ejercicios.

Encuentre las operaciones de 𝑑𝑑 + 𝑛𝑛; 𝑑𝑑 − 𝑛𝑛; 𝑑𝑑 ∗ 𝑛𝑛; 𝑓𝑓𝑔𝑔

, las funciones compuestas (𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛) 𝑦𝑦 (𝑛𝑛 ∘ 𝑑𝑑) y el dominio de las siguientes funciones,

121

1. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 2 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = √4 − 𝑥𝑥 2. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 1 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 2 3. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 1 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 1

𝛥𝛥−2

4. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥2 − 4 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = √1 − 𝑥𝑥 5. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 2 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = −3𝑥𝑥 + 12

6. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)�12� y 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 𝛥𝛥

𝛥𝛥+6

7. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 16 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 25

8. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = �(𝑥𝑥2 + 3)12�−1𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 10

3𝑥𝑥 + 6

9. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 256𝑥𝑥2 + 12

36𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = √23 − 𝑥𝑥

10. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 1(𝛥𝛥+4)−2 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 1

3𝛥𝛥+13

11. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 1 − 𝑥𝑥2 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 1𝛥𝛥2+1

12. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 5 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = 2𝛥𝛥2+1𝛥𝛥2+1

2.7.6 Función inversa Como hemos visto con anterioridad, muchas relaciones económicas pueden ser expresadas en términos de funciones como por ejemplo una función de demanda.

𝑞𝑞 = −50𝑝𝑝 + 1750 En esta expresión la demanda está en función del precio. Si ahora queremos conocer cuál sería el precio en términos de la demanda, tendríamos que despejar la función original

𝑝𝑝 = 35 −𝑞𝑞

50

Si la demanda de un producto es de 1000 unidades, el precio por unidad será de $15 unidades monetarias. Hemos cambiado la relación de dependencia, en la primera expresión la demanda depende del precio y en la segunda el precio depende de la demanda. De esta manera si invertimos la relación entre dos cantidades nos produce una nueva función. Esta función se conoce como la función inversa de la función original.

122

De esta manera, si 𝑑𝑑(𝑥𝑥) es una función uno a uno11, con dominio y rango en los reales, tiene una función inversa, que llamaremos 𝑑𝑑(𝑥𝑥)−1, al componer estas funciones obtenemos la función identidad 𝑠𝑠(𝑥𝑥). De esta manera,

(𝑑𝑑 ∘ 𝑑𝑑−1)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑑𝑑(𝑥𝑥)−1) = 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑦𝑦 (𝑑𝑑−1 ∘ 𝑑𝑑 )(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑−1�𝑑𝑑(𝑥𝑥)� = 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑝𝑝 𝑟𝑟𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑝𝑝 𝑦𝑦

Si la función de demanda anterior la definimos por pares ordenados,

𝑑𝑑 = {(0,1750), (10,1250), (15,1000), (20,750)}

Esta función es uno a uno, y por tanto tiene inversa.

𝑑𝑑−1 = {(1750, 0), (1250, 10), (1000, 15), (750,20)}

La función inversa 𝑑𝑑−1 es también una función uno a uno y se cumplen las siguientes propiedades,

a) El dominio de 𝑑𝑑 es igual al rango de la función inversa 𝑑𝑑−1

𝐷𝐷𝑝𝑝𝑚𝑚𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑 = {0,10,15,20} = 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑−1

b) El dominio de la función inversa 𝑑𝑑−1 es igual al rango de 𝑑𝑑

𝐷𝐷𝑝𝑝𝑚𝑚𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑−1 = {1750, 1250,1000,750} = 𝑅𝑅𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑

Ejemplo, encontrar la inversa de las siguientes funciones,

a) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 5

Primero encontramos el dominio de la función 𝐷𝐷𝑓𝑓 ={∀ 𝑥𝑥 𝜖𝜖 ℝ }, la gráfica de la función nos muestra que es uno a uno. Encontrar la inversa a partir de (𝑑𝑑 ∘ 𝑑𝑑−1)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑(𝑑𝑑(𝑥𝑥)−1) = 𝑥𝑥 y también

3𝑑𝑑−1(𝑥𝑥) + 5 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑑𝑑−1

𝑑𝑑−1(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 − 5

3 𝑞𝑞𝑓𝑓𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑

En forma alternativa podríamos partir de la ecuación 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) y despejamos 𝑥𝑥,

𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 5 → 𝑦𝑦 − 5

3= 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑚𝑚𝑏𝑏𝑠𝑠𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠𝑝𝑝𝑏𝑏𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠

𝑑𝑑−1(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 − 5

3

11 Una función exige que por cada valor del dominio le corresponda un solo valor en el codominio. Las funciones unos a uno también exigen que cada elemento del codominio corresponda con un solo valor del dominio.

123

El dominio de esta función inversa es {∀ 𝑥𝑥 𝜖𝜖 ℝ } que es el rango de 𝑑𝑑

b) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 − 3

De la misma manera encontramos el dominio de la función �𝑥𝑥 𝜖𝜖 ℝ | 𝑥𝑥 ≥ 3

2�

Despejamos 𝑥𝑥 a partir de 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥)

𝑦𝑦 = √2𝑥𝑥 − 3 → 𝛥𝛥2+32

= 𝑥𝑥

Cambiamos variable y 𝑑𝑑−1(𝑥𝑥) = 𝛥𝛥2+32

El dominio de la inversa 𝑑𝑑−1 es [0,∞) que es el rango de la función 𝑑𝑑

Para encontrar la inversa de una función 𝑑𝑑, podemos seguir los siguientes pasos.

a) Encontrar el dominio de 𝑑𝑑 y verificamos que es uno a uno. Si es verdadero continuamos en otro caso 𝑑𝑑 no tiene función inversa.

b) Hacer 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥), y despejar para 𝑥𝑥 c) Intercambie las variables 𝑥𝑥 y 𝑦𝑦 en la ecuación anterior. Esto expresa la inversa como

una función de 𝑥𝑥. d) Encontrar el dominio de 𝑑𝑑−1. Este dominio debe ser igual al rango de 𝑑𝑑.

Hay una relación importante entre las gráficas de la función y su inversa, si recordamos que un punto (𝑝𝑝, 𝑏𝑏) le corresponde otro punto (𝑏𝑏, 𝑝𝑝) en la inversa, con respecto a una línea recta que pasa por el punto (0,0) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. Como vemos en su gráfica las funciones 𝑑𝑑(𝑥𝑥) y 𝑑𝑑−1(𝑥𝑥) son simétricas.

Ejemplo, dadas las funciones 𝑑𝑑(𝑥𝑥) y 𝑛𝑛(𝑥𝑥), demostrar la propiedad de las funciones compuestas (𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛)−1 = 𝑛𝑛−1 ∘ 𝑑𝑑−1.

𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 + 2 𝑦𝑦 𝑛𝑛(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 + 3

2𝑥𝑥 + 1

Solución. Encontramos la función compuesta

(𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛)(𝑥𝑥) = 𝑑𝑑�𝑛𝑛(𝑥𝑥)� = 3𝑛𝑛(𝑥𝑥) + 2

= 3 �𝑥𝑥 + 3

2𝑥𝑥 + 1� + 2 =

7𝑥𝑥 + 112𝑥𝑥 + 1

Así, su inversa es

𝑦𝑦 =7𝑥𝑥 + 112𝑥𝑥 + 1

→ 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 − 7𝑥𝑥 = 11 → 𝑥𝑥(2𝑦𝑦 − 7) = 11 − 𝑦𝑦

𝑥𝑥 =11 − 𝑦𝑦2𝑦𝑦 − 7

𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑝𝑝𝑚𝑚𝑏𝑏𝑠𝑠𝑝𝑝𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑟𝑟𝑠𝑠𝑝𝑝𝑏𝑏𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠 (𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛)−1 = 11 − 𝑥𝑥2𝑥𝑥 − 7

Ahora buscamos las funciones inversas 𝑛𝑛−1 y 𝑑𝑑−1, hacemos 𝑦𝑦 = 𝑛𝑛(𝑥𝑥) y 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥)

124

𝑦𝑦 =𝑥𝑥 + 3

2𝑥𝑥 + 1 → 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 3 → 𝑥𝑥(2𝑦𝑦 − 1) = 3 − 𝑦𝑦 → 𝑥𝑥 =

3 − 𝑦𝑦2𝑦𝑦 − 1

𝑛𝑛−1 =3 − 𝑥𝑥

2𝑥𝑥 − 1

De la misma manera

𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 2 → 𝑦𝑦 − 2

3= 𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑−1(𝑥𝑥) =

𝑥𝑥 − 23

Finalmente, la función compuesta 𝑛𝑛−1 ∘ 𝑑𝑑−1 es,

(𝑛𝑛−1 ∘ 𝑑𝑑−1)(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛−1(𝑑𝑑−1(𝑥𝑥)) =3 − 𝑑𝑑−1(𝑥𝑥)

2𝑑𝑑−1(𝑥𝑥) − 1=

3 − 𝑥𝑥 − 23

2 �𝑥𝑥 − 23 � − 1

=9 − 𝑥𝑥 + 2

2𝑥𝑥 − 4 − 3

(𝑛𝑛−1 ∘ 𝑑𝑑−1)(𝑥𝑥) =11 − 𝑥𝑥2𝑥𝑥 − 7

= (𝑑𝑑 ∘ 𝑛𝑛)−1

Ejercicios. Encuentre la función inversa de las siguientes funciones, dibujar la gráfica de 𝑑𝑑(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑑𝑑(𝑥𝑥)−1

1) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 + 3 6) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 16(𝛥𝛥+4)3

2) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 3𝛥𝛥+2𝛥𝛥+3

7) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 36(𝛥𝛥+12)−2

3) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 4)3 8) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 14 4) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 16

𝛥𝛥2 9) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 34

12𝑥𝑥 + 3

5) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = �𝛥𝛥3

8�−1

10) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) =109 𝛥𝛥

13𝛥𝛥+2

2.7.7 Funciones continuas y funciones discontinuas. El concepto de continuidad lo usamos para indicar que algo no cambia, si hablamos de un modelo matemático asumimos que el modelo tiene variaciones graduales, no bruscas. Es decir, dada una función 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑(𝑥𝑥) se dice que, a cambios pequeños de la variable independiente ocurren cambios pequeños en la variable dependiente. Si la función no es continua es discontinua.

En la gráfica de la izquierda la función crece suavemente, sin cambios bruscos. En la gráfica de la derecha se puede apreciar un cambio brusco, cuando 𝑥𝑥 = 1 que rompe con la continuidad.

Ejemplo. Determinar para que valores de 𝑥𝑥 las siguientes funciones son continuas.

a) 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝛥𝛥2−3(𝛥𝛥+1)(𝛥𝛥−2)

125

Se trata de una función racional que es continua para todo 𝑥𝑥 excepto para los valores que anulan el denominador, cuando 𝑥𝑥 = −1, ó 𝑥𝑥 = 2. Entonces 𝑥𝑥 es continua para todo 𝑥𝑥 distinto de -1 y 2.

b) 𝑤𝑤(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 + 1)+ 𝛥𝛥+2√𝛥𝛥+1

La función está definida para toda 𝑥𝑥 ≠ −1 y 𝑥𝑥 + 1 > 0. Es decir, para toda 𝑥𝑥 ≻ 1. Así, la función 𝑤𝑤(𝑥𝑥) es continua en el dominio (−1,∞)

Una función 𝑑𝑑(𝑥𝑥) es;

• Función estrictamente creciente para cualquier par de puntos 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ∈ 𝐼𝐼, tales que 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 verifica que 𝑑𝑑(𝑥𝑥1) < 𝑑𝑑(𝑥𝑥2)

• Función creciente para cualquier par de puntos 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ∈ 𝐼𝐼, tales que 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 verifica que 𝑑𝑑(𝑥𝑥1) ≤ 𝑑𝑑(𝑥𝑥2) .

En el intervalo (𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) el valor de la función es 𝑑𝑑(𝑥𝑥1) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥2).

• Función decreciente para cualquier par de puntos 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ∈ 𝐼𝐼, tales que 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 verifica que 𝑑𝑑(𝑥𝑥1) > 𝑑𝑑(𝑥𝑥2)

• Función estrictamente creciente para cualquier par de puntos 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ∈ 𝐼𝐼, tales que 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 verifica que 𝑑𝑑(𝑥𝑥1) ≥ 𝑑𝑑(𝑥𝑥2)

126

Una función se dice que concava (convexa), si dados dos puntos cualesquiera 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ∈ 𝐼𝐼 el segmento que une los puntos (𝑥𝑥1,𝑑𝑑(𝑥𝑥1)) y (𝑥𝑥2,𝑑𝑑(𝑥𝑥2)), nunca se situa por encima (debajo) de la gráfica.

2.7.8 Funciones exponenciales Las funciones exponenciales, estrechamente relacionadas con los logaritmos, tienen muchas aplicaciones en la Economía, como por ejemplo en el cálculo de tasas de interés, para observar el comportamiento de poblaciones en el tiempo o bien para observar el crecimiento o el decrecimiento de variables económicas en el tiempo. Si, por ejemplo, la población en una región se incrementa anualmente en un treintavo y en el año uno había 100,000 habitantes, ¿cuál será la población después de 100 años? O “cierto hombre pidió prestado 400,000 florines a una tasa de interés usurera del cinco por ciento. . .” (Euler, 1748), matemáticamente las expresamos así:

�1 + 130�100

, (1 + 0.05)𝑁𝑁, en general (1 + 𝑤𝑤)𝑁𝑁 , donde w es pequeño y N es grande. Si la población de México para el 2017 es de 129,678,021 y su tasa de crecimiento es de 1.37%, podemos suponer, de mantenerse este crecimiento, que esta población se duplica aproximadamente en el año 2068, que pasaría a ser 261 millones aproximadamente. Es decir, se duplica en 51 años. La ecuación que modela este crecimiento puede ser,

𝑃𝑃2017+𝑙𝑙 = 𝑃𝑃0�2𝑙𝑙 51⁄ �𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑝𝑝 = 𝑝𝑝ñ𝑝𝑝𝑠𝑠 Que es una función exponencial, con esta podemos evaluar la población para el 2020,

𝑃𝑃2020 = 129�23 51⁄ � = 134 𝑚𝑚𝑠𝑠𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠 Una segunda aplicación es para conocer; por ejemplo, el valor futuro de una inversión. Si suponemos que queremos invertir nuestros ahorros $25,000 pesos a una tasa de interés

127

anual del 9%. Si al final del año, se reinvierte nuestra inversión junto con los intereses a la misma tasa de interés ¿Cuál sería nuestro capital después de 5 años de inversión? Para calcular el valor de nuestra inversión 5 años después, aplicamos la fórmula del interés compuesto, que es un modelo de interés compuesto.

𝑉𝑉𝐹𝐹 = 𝑉𝑉𝑃𝑃(1 + 𝑠𝑠)𝑙𝑙 Donde 𝑉𝑉𝐹𝐹 es el valor futuro de nuestra inversión, 𝑉𝑉𝑃𝑃 es la inversión inicial, 𝑠𝑠 la tasa de interés anual y 𝑝𝑝 años de inversión. Para nuestro ejemplo,

𝑉𝑉𝐹𝐹 = 25000(1 + 0.09)5 ≅ $38,465.6 Ya se observaron algunas funciones algebraicas de la forma 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 o bien 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥. Estas funciones se caracterizan por estar definidas por una variable elevada a una potencia positiva o negativa, entera o fraccionaria. Dos ejemplos:

𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 2𝛥𝛥 ; 𝑛𝑛(𝑥𝑥) = �12�𝛥𝛥

Si trazamos las gráficas de estas funciones tendremos,

𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 2𝛥𝛥

Si 𝑥𝑥 es una variable real, 𝑥𝑥 ∈ Ʀ, la función 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏𝛥𝛥 tiene también valores en los reales; es decir, no importa cuál sea el valor de 𝑥𝑥, 𝑏𝑏𝛥𝛥 es también un valor real. El dominio de la función 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏𝛥𝛥 es el conjunto de números reales que están entre (−∞, +∞) y su rango es el conjunto de números reales positivos no nulos que están entre [0, +∞).

𝑑𝑑(𝑥𝑥) = �12�𝛥𝛥

La ecuación 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏𝛥𝛥, 𝑏𝑏 > 0, 𝑏𝑏 ≠ 1, es una función exponencial de base 𝑏𝑏.

X Y -2 0.25 -1 0.5 0 1 2 4 4 16 6 64 8 256

X Y -4 16 -2 4 0 1 2 1 4⁄ 4 1 16⁄ 6 1 64⁄ 8 1 256⁄

128

Es necesario diferenciar entre la función exponencial 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏𝛥𝛥, en la que la variable independiente 𝑥𝑥 aparece en el exponente, de la función polinómica g(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥8 en la que la variable independiente está en la base. Las leyes de los exponentes son válidas para las funciones exponenciales. Las propiedades para las funciones exponenciales son; si 𝑝𝑝 > 0, 𝑏𝑏 > 0, 𝑏𝑏 ≠ 1, 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 son variables reales.

1. 𝑝𝑝𝛥𝛥𝑝𝑝𝛥𝛥 = 𝑝𝑝𝛥𝛥+𝛥𝛥 (𝑝𝑝𝛥𝛥)𝛥𝛥 = 𝑝𝑝𝛥𝛥𝛥𝛥 (𝑝𝑝𝑏𝑏)𝛥𝛥 = 𝑝𝑝𝛥𝛥𝑏𝑏𝛥𝛥 �𝑎𝑎𝑏𝑏�𝛥𝛥

= 𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑏𝑏𝑥𝑥 𝑎𝑎

𝑥𝑥

𝑎𝑎𝑦𝑦= 𝑝𝑝𝛥𝛥−𝛥𝛥

2. 𝑝𝑝𝛥𝛥 = 𝑝𝑝𝛥𝛥 si y solamente si 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 3. 𝑝𝑝𝛥𝛥 = 𝑏𝑏𝛥𝛥 para toda 𝑥𝑥 real si y solamente si 𝑝𝑝 = 𝑏𝑏

Las primeras se utilizan para simplificar las funciones exponenciales mientras que las dos últimas sirven para resolver ecuaciones con exponenciales. Ejemplos. Simplificar las siguientes expresiones

a) 9𝑥𝑥−5

93𝑥𝑥−1= 9(𝛥𝛥−5)−(3𝛥𝛥−1) = 9−(2𝛥𝛥+4)

b) �3𝑥𝑥

6𝑦𝑦�7𝑤𝑤

= 37𝑥𝑥𝑥𝑥

67𝑦𝑦𝑥𝑥

c) �3𝑥𝑥

3𝑦𝑦�7𝑤𝑤

= 37𝛥𝛥𝑤𝑤−7𝛥𝛥𝑤𝑤 = 37𝑤𝑤(𝛥𝛥−𝛥𝛥)

d) (4𝛥𝛥 + 4−𝛥𝛥)(4𝛥𝛥 − 4−𝛥𝛥) = (4𝛥𝛥4𝛥𝛥 − 4𝛥𝛥4−𝛥𝛥 + 4−𝛥𝛥4𝛥𝛥−4−𝛥𝛥4−𝛥𝛥

= 42𝛥𝛥 − 4−2𝛥𝛥 = 42𝛥𝛥 − 142𝑥𝑥

= 44𝑥𝑥−142𝑥𝑥

e) 4√204√5 = 4√4∗5+√5 = 42√5+√5 = 43√5 = �4√5�3

f) �𝜋𝜋√50�√2

= �𝜋𝜋√2∗25�√2

= �𝜋𝜋5√2�√2

= 𝜋𝜋5√2√2 = 𝜋𝜋10

Las funciones exponenciales que tienen como ecuación, 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝛥𝛥 y pueden ser de dos formas, tal como se muestra en la gráfica, cuando 𝑝𝑝 > 0 y si 𝑝𝑝 ≠ 1.

El análisis de la gráfica nos permite afirmar que,

a) La función es creciente si , 𝑝𝑝 > 1 b) Es decreciente si , 0 < 𝑝𝑝 < 1 c) Su dominio es el intervalo , (−∞,∞) d) El rango es (0,∞) e) Son simétricas con respecto al eje de las

ordenadas,

129

Una función exponencial muy conocida es 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝛥𝛥 donde 𝑒𝑒 = 2.71828 es una de las funciones más conocidas y se conoce como función exponencial natural. Este valor fue introducido por el matemático Suizo Euler, que lo califica como un número trascendente12 Ejercicios. 1. Determine el dominio y el rango de las siguientes funciones

1.1. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 1 − 2𝑙𝑙𝑥𝑥

1.2. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 12+4𝑙𝑙𝑥𝑥

2. Grafique las siguientes funciones 2.1. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 5𝛥𝛥

2.2. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = �34�𝛥𝛥

2.3. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = �14�𝛥𝛥

3. Encontrar el valor de 𝑥𝑥, para las siguientes ecuaciones. 3.1. 𝑒𝑒2𝛥𝛥+3 = 25 3.2. 𝑒𝑒𝛥𝛥 − 5

𝑙𝑙𝑥𝑥= 4

3.3. 𝑒𝑒2𝛥𝛥+5 = 𝑒𝑒7 3.4. 𝑒𝑒−2𝛥𝛥 = 40 3.5. 10𝑒𝑒5𝛥𝛥 = 25 3.6. 3𝑒𝑒−0.5𝛥𝛥 = 10 3.7. 𝑒𝑒3𝛥𝛥−2 = 𝑒𝑒3−2𝛥𝛥

12 Un número trascendente es un número irracional que no puede ser raíz de una ecuación algebraica en la que los coeficientes son enteros. Ejemplos de este tipo de números son 𝜋𝜋 𝑦𝑦 𝑒𝑒

130

Tablas de logaritmos base 2, M. Stifel (1544): Arithmetica integra, Nurnberg, 154413

2.7.9 Funciones logarítmicas

Imaginemos que nos encontramos en el siglo XVII y se nos pide multiplicar, 8x64, y no somos muy buenos multiplicando, una opción ya que no existían calculadoras era usar una tabla de logaritmos, y convertir el problema de la multiplicación en una sencilla suma, primero identificamos en la fila inferior donde se encuentra 8, en este caso le corresponde el 3, mismo procedimiento con el 64, le corresponde el 6, entonces sumamos 6+3=9, revisamos la tabla de logaritmos y a 9 le corresponde 512, voilà hemos resuelto una multiplicación aplicando una suma. Jhon Napier, Henry Briggs y Jost Bürgi fueron los primeros en hacer tablas de logaritmos.

. . . -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

. . . 1 8⁄ 1 4⁄ 1 2⁄ 0 2 4 8 16 32 64 128 256 512

El reciproco de la función exponencial es la función logaritmo de base b, que tiene la forma 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑥𝑥 con 𝑏𝑏 > 0 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ≠ 1. El dominio de esta función es (𝑝𝑝,∞) y su rango son todos los reales Ʀ. Es la función reciproca de la función exponencial en base b; es decir,

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 ⟹ 𝑏𝑏𝛥𝛥 = 𝑥𝑥

De esta manera si tenemos 23 = 8, es equivalente a 3 = 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛2 8. En general, esta expresión se lee como, el exponente que tenemos que elevar la base para obtener 𝑥𝑥. Ejemplos. Traducir las siguientes expresiones a su forma exponencial

a) 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛2 16 = 4 el exponente al que hay que elevar a 2 para obtener 16 es 4, entonces 24 = 16

b) 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛10 100 = 2 el exponente al que hay que elevar a 10 para obtener 100 es 2, entonces 102 = 100

c) 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛5 25 = 2 el exponente al que hay que elevar a 5 para obtener 25 es 2, entonces 52 = 25

13 Hairer, E., Warner, G. 2008.

131

d) 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛10 0.01 = −2 el exponente al que hay que elevar a 10 para obtener 0.01 es -2, entonces 10−2 = 0.01

Ejemplos. Traducir las siguientes expresiones a su forma logarítmica.

a) 2512 = 5 podemos reescribir en forma logarítmica como 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛25 5 = 1

2

b) 5−3 = 16 se reescribe en forma logarítmica como 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛5

16

= −3

c) 13

= 5−1 podemos reescribir en forma logarítmica como 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛513

= −1

Encontrar los valores de 𝑏𝑏, 𝑥𝑥 o 𝑦𝑦 según el caso.

a) 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏 1000 = 3, la incógnita es encontrar el valor de 𝑏𝑏, primero pasamos a la forma exponencial. 𝑏𝑏3 = 1000 ⇒ 𝑏𝑏 = √10003 ⇒ 𝑏𝑏 = 10

b) 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛2 16, se trata de encontrar el valor de la variable 𝑦𝑦, nuevamente pasamos primero a forma exponencial.

2𝛥𝛥 = 16 ⇒ 2𝛥𝛥 = 24 ⇔ 𝑦𝑦 = 4

c) 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛5 𝑥𝑥 = −2 para encontrar el valor de 𝑥𝑥, reescribimos en forma exponencial. d)

5−2 = 𝑥𝑥 ⇔ 𝑥𝑥 =1

25

Como se puede comprobar en la gráfica de la función logaritmo, el dominio de la función es (𝑝𝑝,∞), nunca es negativo y rango va de (−∞,∞).

Las relaciones logarítmicas 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛1 𝑎𝑎⁄ 𝑥𝑥, son simétricas con respecto al eje de las 𝑥𝑥`𝑠𝑠, pero no son una función. Sin embargo,

𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛1 𝑎𝑎⁄ 𝑥𝑥 Los logaritmos en base 10 son llamados logaritmos decimales, se escriben 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛 𝑥𝑥. Los logaritmos base 𝑒𝑒 se llaman logaritmos naturales, o neperianos, se escriben 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑝𝑝 y la base 𝑒𝑒 =2.71828. Por sus aplicaciones trigonométricas estos son los más utilizados. En lo que sigue nos ocuparemos solamente de los logaritmos naturales 𝑙𝑙𝑝𝑝 aunque las propiedades y métodos son válidos para cualquier base logarítmica.

132

Propiedades de los logaritmos

1) 𝑙𝑙𝑝𝑝 1 = 0 Porque 𝑒𝑒0 = 1 2) 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑒𝑒 = 1 En notación exponencial 𝑒𝑒1 = 𝑒𝑒 3) 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑒𝑒𝛥𝛥 = 𝑥𝑥 La función exponencial es reciproca de la función

logaritmo, 4) 𝑒𝑒𝑙𝑙𝑚𝑚 𝛥𝛥 = 𝑥𝑥 Igual que lo anterior 5) 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑦𝑦 Si 𝑓𝑓 = 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 ⇔ 𝑒𝑒𝑚𝑚 = 𝑥𝑥, igualmente

𝑝𝑝 = 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑦𝑦 ⇔ 𝑒𝑒𝑣𝑣 = 𝑦𝑦, entonces 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒𝑣𝑣) = 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑚𝑚+𝑣𝑣 = 𝑓𝑓 + 𝑝𝑝 = 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 +𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑦𝑦

6) 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝛥𝛥𝛥𝛥

= 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 − 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑦𝑦

7) 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥

Ejemplos.

1) Resolver utilizando las propiedades de los logaritmos.

a) 𝑙𝑙𝑝𝑝 √253 = 𝑙𝑙𝑝𝑝 25 3⁄ = 53𝑙𝑙𝑝𝑝 2 Regla 7

b) 𝑙𝑙𝑝𝑝 116

= 𝑙𝑙𝑝𝑝 1 − 𝑙𝑙𝑝𝑝 16 = 0 − 𝑙𝑙𝑝𝑝 24 = −4 𝑙𝑙𝑝𝑝 2 Regla 6

c) 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛10[(100)(1000] = 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛10 100 + 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛10 100 = 2 + 3 = 5 Regla 5 d) 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥2 + 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 9 ⇔ 2 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 9 ⇔ 3 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 9⇔ 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 3 Regla 3

e) 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑥𝑥2 + 2) − 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥2 = 2 ⇔ 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝛥𝛥2+2𝛥𝛥2

= 2 ⇔ 𝑒𝑒𝑙𝑙𝑚𝑚�𝑥𝑥2+2𝑥𝑥2

� = 𝑒𝑒2 𝛥𝛥2+2𝛥𝛥2

= 𝑒𝑒2 De tablas 𝑒𝑒2 = 7.3891

f) 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑝𝑝 + 𝑏𝑏)4 = 4 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑝𝑝 + 𝑏𝑏) ¡cuidado¡ 4 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑝𝑝 + 𝑏𝑏) ≠ 4 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 4 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑏𝑏

2) La curva del aprendizaje es un registro gráfico de las mejoras que se producen en los costos a medida que los obreros ganan experiencia y aumenta el total de unidades producidas. Se fundamentan en que se mejoran los procesos a medida que estos se repiten. Si en una empresa la función de aprendizaje para elaborar un cierto producto está dada por la función

𝑝𝑝(𝑝𝑝) = 50 − 15𝑒𝑒−0.3𝑙𝑙

Donde 𝑝𝑝(𝑝𝑝) es el número de piezas que se elaboran por día después de trabajar t días. a) ¿Cuántas unidades puede fabricar un novato? b) ¿Cuántas unidades fabricaría una persona con 30 días de experiencia?

Solución,

a) En este caso 𝑝𝑝 = 0 𝑝𝑝(0) = 50 − 15𝑒𝑒−0.3(0) = 35 piezas por día. b) 𝑝𝑝 = 30 entonces 𝑝𝑝(30) = 50 − 15𝑒𝑒−0.3(30) = 50 piezas por día después de haber

trabajado 30 días.

133

Ejercicios.

1. Grafique las siguientes funciones logarítmicas.

1.1. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = −5 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑥𝑥)

1.2. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛2(𝑥𝑥 − 8)

1.3. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑥𝑥 + 4)

1.4. 𝑑𝑑(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑝𝑝(4 − 𝑥𝑥2)

2. Escriba las siguientes funciones en forma inversa,

2.1. 34 = 81

2.2. 1612 = 4

2.3. 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛8(512) = 3

2.4. 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛525 = 2

3. Encontrar el valor de 𝑥𝑥, para las siguientes ecuaciones.

3.1. 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑥𝑥 + 1)2 − 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑥𝑥2 = 0 3.2. 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥3 − 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 2 3.3. 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑥𝑥 + 1) − 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 4

3.4. 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥2 = 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝛥𝛥3

5

3.5. 𝑙𝑙𝑝𝑝 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) = 𝑙𝑙𝑝𝑝(𝑥𝑥 + 1)2

4. La función de oferta de unos fabricantes de memorias de computadoras está definida por la ecuación. 𝑝𝑝 = 𝑙𝑙𝑝𝑝𝑛𝑛(𝑥𝑥 − 1) + 2; donde p es el precio por unidad y q las unidades vendidas. ¿a qué precio el fabricante venderá si se oferta 5000 memorias?