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ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 1 / 19
Capıtulo 6
Espacos vectoriaiscom produto interno
Definic ao e propriedades
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 2 / 19
Definic ao e propriedades
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 2 / 19
Seja V um espaco vectorial real (complexo). Chama-se produto interno(ou produto escalar) em V a uma aplicacao
〈·, ·〉 : V × V → R (C)(u, v) 7→ 〈u, v〉
que verifica as seguintes propriedades:
(1) ∀ u, v ∈ V, 〈u, v〉 = 〈v, u〉; (〈u, v〉 = 〈v, u〉)
(2) ∀ u, v, w ∈ V, 〈u + v, w〉 = 〈u,w〉 + 〈v, w〉;
(3) ∀ u, v ∈ V, ∀ α ∈ R (C), 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉;
(4) ∀ u ∈ V , 〈u, u〉 ≥ 0 e 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = 0V .
Definic ao e propriedades
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 2 / 19
Seja V um espaco vectorial real (complexo). Chama-se produto interno(ou produto escalar) em V a uma aplicacao
〈·, ·〉 : V × V → R (C)(u, v) 7→ 〈u, v〉
que verifica as seguintes propriedades:
(1) ∀ u, v ∈ V, 〈u, v〉 = 〈v, u〉; (〈u, v〉 = 〈v, u〉)
(2) ∀ u, v, w ∈ V, 〈u + v, w〉 = 〈u,w〉 + 〈v, w〉;
(3) ∀ u, v ∈ V, ∀ α ∈ R (C), 〈αu, v〉 = α 〈u, v〉;
(4) ∀ u ∈ V , 〈u, u〉 ≥ 0 e 〈u, u〉 = 0 ⇔ u = 0V .
Diz-se entao que V e um espaco Euclidiano real (complexo).
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Exemplos
1) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn,
〈x, y〉 =n
∑
k=1
xkyk
define um produto interno em Rn.
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Exemplos
1) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn,
〈x, y〉 =n
∑
k=1
xkyk
define um produto interno em Rn.
(Rn, 〈 . , . 〉) e um espaco Euclidiano real.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 3 / 19
Exemplos
1) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn,
〈x, y〉 =n
∑
k=1
xkyk
define um produto interno em Rn.
(Rn, 〈 . , . 〉) e um espaco Euclidiano real.
2) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Cn,
〈x, y〉 =n
∑
k=1
xkyk
define um produto interno em Cn.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 3 / 19
Exemplos
1) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn,
〈x, y〉 =n
∑
k=1
xkyk
define um produto interno em Rn.
(Rn, 〈 . , . 〉) e um espaco Euclidiano real.
2) Para x = (x1, · · · , xn), y = (y1, · · · , yn) ∈ Cn,
〈x, y〉 =n
∑
k=1
xkyk
define um produto interno em Cn.
(Cn, 〈 . , . 〉) e um espaco Euclidiano complexo.
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3) Seja C[a, b] o conjunto das aplicacoes f : [a, b] → R que saocontınuas. C[a, b] e um espaco vectorial real para a adicao usualde funcoes e multiplicacao de uma funcao por um escalar. Paraf, g ∈ C[a, b],
〈f, g〉 =
∫
b
a
f(x) g(x) dx
define um produto interno em C[a, b].
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3) Seja C[a, b] o conjunto das aplicacoes f : [a, b] → R que saocontınuas. C[a, b] e um espaco vectorial real para a adicao usualde funcoes e multiplicacao de uma funcao por um escalar. Paraf, g ∈ C[a, b],
〈f, g〉 =
∫
b
a
f(x) g(x) dx
define um produto interno em C[a, b].
(C[a, b], 〈 . , . 〉) e um espaco Euclidiano real.
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Proposicao
Seja V um espaco Euclidiano real.
(i) ∀ u ∈ V, 〈0V , u〉 = 0;
(ii) Se 〈u, v〉 = 0 para todo v ∈ V , entao u = 0V ;
(iii) Se 〈u, v〉 = 〈u′, v〉 para todo v ∈ V , entao u = u′.
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Definicoes
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Definicoes
Seja V um Euclidiano real e sejam u, v ∈ V .
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Definicoes
Seja V um Euclidiano real e sejam u, v ∈ V .
• A norma de u e o escalar nao negativo ‖u‖ =√
〈u, u〉.
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Definicoes
Seja V um Euclidiano real e sejam u, v ∈ V .
• A norma de u e o escalar nao negativo ‖u‖ =√
〈u, u〉.
• A distancia de u a v e ‖u − v‖.
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Definicoes
Seja V um Euclidiano real e sejam u, v ∈ V .
• A norma de u e o escalar nao negativo ‖u‖ =√
〈u, u〉.
• A distancia de u a v e ‖u − v‖.
• Os vectores u e v dizem-se ortogonais se 〈u, v〉 = 0.
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Definicoes
Seja V um Euclidiano real e sejam u, v ∈ V .
• A norma de u e o escalar nao negativo ‖u‖ =√
〈u, u〉.
• A distancia de u a v e ‖u − v‖.
• Os vectores u e v dizem-se ortogonais se 〈u, v〉 = 0.
• A projeccao ortogonal de u sobre v 6= 0V e o vector
projvu =〈u, v〉
‖v‖2v.
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Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Para u e v vectores de um espaco Euclidiano real, tem-se
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖
sendo a igualdade verificada se e so se u e v sao linearmentedependentes.
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Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Para u e v vectores de um espaco Euclidiano real, tem-se
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖
sendo a igualdade verificada se e so se u e v sao linearmentedependentes.
O angulo entre os vectores de u e v e
arccos
(
〈u, v〉
‖u‖ ‖v‖
)
∈ [0, π].
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Proposicao (Propriedades da norma)
Seja V um espaco Euclidiano real.
(i) ‖u‖ ≥ 0, ∀ u ∈ V e ‖u‖ = 0 ⇔ u = 0V
(ii) ‖αu‖ = |α|‖u‖, ∀ u ∈ V , ∀ α ∈ R
(iii) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖, ∀ u, v ∈ V [Desigualdade triangular]
Ortogonalizac ao de Gram-Schmidt
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Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectoresdistintos sao ortogonais;
Ortogonalizac ao de Gram-Schmidt
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Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectoresdistintos sao ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, oconjunto diz-se normado;
Ortogonalizac ao de Gram-Schmidt
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 9 / 19
Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectoresdistintos sao ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, oconjunto diz-se normado; se for ortogonal e normado, diz-seortonormado.
Ortogonalizac ao de Gram-Schmidt
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 9 / 19
Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectoresdistintos sao ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, oconjunto diz-se normado; se for ortogonal e normado, diz-seortonormado.
Teorema
Um conjunto ortogonal de vectores nao nulos e linearmenteindependente.
Ortogonalizac ao de Gram-Schmidt
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 9 / 19
Um conjunto de vectores diz-se ortogonal se quaisquer dois vectoresdistintos sao ortogonais; se todos os vectores tiverem norma 1, oconjunto diz-se normado; se for ortogonal e normado, diz-seortonormado.
Teorema
Um conjunto ortogonal de vectores nao nulos e linearmenteindependente.
• O RECIPROCO E FALSO!
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Teorema
Se {u1, . . . , un} e uma base ortogonal de um espaco Euclidiano real V ,entao, para qualquer vector u ∈ V ,
u =〈u, u1〉
‖u1‖2u1 + · · · +
〈u, un〉
‖un‖2un.
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Teorema
Se {u1, . . . , un} e uma base ortogonal de um espaco Euclidiano real V ,entao, para qualquer vector u ∈ V ,
u =〈u, u1〉
‖u1‖2u1 + · · · +
〈u, un〉
‖un‖2un.
Teorema
Se {u1, . . . , un} e uma base ortonormada de um espaco Euclidiano realV , entao, para qualquer vector u ∈ V ,
u = 〈u, u1〉u1 + · · · + 〈u, un〉un.
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Teorema (Ortogonalizacao de Gram-Schmidt)
Seja V um espaco Euclidiano real e v1, . . . , vm ∈ V vectoreslinearmente independentes. Entao, os vectores u1, . . . , um ∈ Vdefinidos por
u1 = v1
uℓ = vℓ −〈vℓ, u1〉
‖u1‖2u1 − · · · −
〈vℓ, uℓ−1〉
‖uℓ−1‖2uℓ−1, para ℓ = 2, . . . ,m,
constituem um base ortogonal de L ({v1, . . . , vm}).
Observacao:Este teorema descreve um algoritmo para obter uma base ortogonal deV a partir de uma base de V .
Projecc ao ortogonal de um vector sobre umsubespaco
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Teorema
Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V .Entao, existe um e um so vector p ∈ S tal que v − p e ortogonala todos os vectores de S, ou seja, tal que
〈v − p, u〉 = 0 para todo u ∈ S.
Projecc ao ortogonal de um vector sobre umsubespaco
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Teorema
Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V .Entao, existe um e um so vector p ∈ S tal que v − p e ortogonala todos os vectores de S, ou seja, tal que
〈v − p, u〉 = 0 para todo u ∈ S.
O vector p designa-se por projeccao ortogonal de v sobre S erepresenta-se por projSv.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 13 / 19
Teorema
Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V . Entao
(i) ‖v − projSv‖ = minu∈S
‖v − u‖;
(ii) Para u ∈ S, ‖v − projSv‖ = ‖v − u‖ ⇔ u = projSv;
(iii) v ∈ S ⇔ v = projSv.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 13 / 19
Teorema
Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V . Entao
(i) ‖v − projSv‖ = minu∈S
‖v − u‖;
(ii) Para u ∈ S, ‖v − projSv‖ = ‖v − u‖ ⇔ u = projSv;
(iii) v ∈ S ⇔ v = projSv.
Teorema
Seja S um subespaco vectorial de V e seja v ∈ V .Se {v1, . . . , vm} e uma base ortogonal de S, entao
p =m
∑
k=1
projvkv =
m∑
k=1
〈v, vk〉
‖vk‖2vk.
Metodo dos mınimos quadrados
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Sejam A uma matriz real m× n e b ∈ Rm. Suponhamos que o sistemalinear Ax = b e impossıvel
Metodo dos mınimos quadrados
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Sejam A uma matriz real m× n e b ∈ Rm. Suponhamos que o sistemalinear Ax = b e impossıvel (⇔ b /∈ C (A)).
Metodo dos mınimos quadrados
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 14 / 19
Sejam A uma matriz real m× n e b ∈ Rm. Suponhamos que o sistemalinear Ax = b e impossıvel (⇔ b /∈ C (A)).
∀x ∈ Rn, Ax 6= b ⇔ ‖Ax − b‖ > 0
Metodo dos mınimos quadrados
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 14 / 19
Sejam A uma matriz real m× n e b ∈ Rm. Suponhamos que o sistemalinear Ax = b e impossıvel (⇔ b /∈ C (A)).
∀x ∈ Rn, Ax 6= b ⇔ ‖Ax − b‖ > 0
A ideia de aproximacao dos mınimos quadrados e encontrar a “melhorsolucao” do sistema linear Ax = b quando, de facto, nao existemsolucoes. A “melhor” significa o vector x ∈ R
n que minimiza ‖Ax − b‖,i.e.,
‖Ax − b‖ = minx∈Rn
‖Ax − b‖.
Metodo dos mınimos quadrados
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 14 / 19
Sejam A uma matriz real m× n e b ∈ Rm. Suponhamos que o sistemalinear Ax = b e impossıvel (⇔ b /∈ C (A)).
∀x ∈ Rn, Ax 6= b ⇔ ‖Ax − b‖ > 0
A ideia de aproximacao dos mınimos quadrados e encontrar a “melhorsolucao” do sistema linear Ax = b quando, de facto, nao existemsolucoes. A “melhor” significa o vector x ∈ R
n que minimiza ‖Ax − b‖,i.e.,
‖Ax − b‖ = minx∈Rn
‖Ax − b‖.
Diremos que x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimosquadrados.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 15 / 19
Teorema
Sejam A uma matriz real m × n e b ∈ Rm com b /∈ C (A).Entao, x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimos quadradosse e so se
Ax = projC (A)b.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 15 / 19
Teorema
Sejam A uma matriz real m × n e b ∈ Rm com b /∈ C (A).Entao, x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimos quadradosse e so se
Ax = projC (A)b.
Algoritmo
1. Determinar uma base para C (A) usando a eliminacao de Gauss.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 15 / 19
Teorema
Sejam A uma matriz real m × n e b ∈ Rm com b /∈ C (A).Entao, x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimos quadradosse e so se
Ax = projC (A)b.
Algoritmo
1. Determinar uma base para C (A) usando a eliminacao de Gauss.
2. Obter uma base ortogonal a partir da base anterior.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 15 / 19
Teorema
Sejam A uma matriz real m × n e b ∈ Rm com b /∈ C (A).Entao, x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimos quadradosse e so se
Ax = projC (A)b.
Algoritmo
1. Determinar uma base para C (A) usando a eliminacao de Gauss.
2. Obter uma base ortogonal a partir da base anterior.
3. Calcular projC (A)b.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 15 / 19
Teorema
Sejam A uma matriz real m × n e b ∈ Rm com b /∈ C (A).Entao, x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimos quadradosse e so se
Ax = projC (A)b.
Algoritmo
1. Determinar uma base para C (A) usando a eliminacao de Gauss.
2. Obter uma base ortogonal a partir da base anterior.
3. Calcular projC (A)b.
4. Resolver Ax = projC (A)b.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 16 / 19
Teorema
Sejam A uma matriz real m × n e b ∈ Rm. Entao,
(i) x e solucao de Ax = b no sentido dos mınimos quadrados se e so seAT Ax = AT b.
(ii) Existe uma unica solucao de Ax = b no sentido dos mınimosquadrados se e so se car A = n. Neste caso a solucao ex = (AT A)−1AT b.
Diagonalizac ao de Matrizes Sim etricas
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Diagonalizac ao de Matrizes Sim etricas
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Teorema
Se uma matriz quadrada A real de ordem n for simetrica, entao osvalores proprios de A sao reais.
Diagonalizac ao de Matrizes Sim etricas
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 17 / 19
Teorema
Se uma matriz quadrada A real de ordem n for simetrica, entao osvalores proprios de A sao reais.
Teorema
Se uma matriz quadrada A real de ordem n for simetrica, e diagonali-zavel com uma matriz diagonalizante ortogonal, ou seja, existe umamatriz Q ortogonal tal que QTAQ e diagonal (real).
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Teorema
Vectores proprios de uma matriz simetrica real A associados a valoresproprios distintos sao ortogonais dois a dois, isto e, se λ1, λ2 . . . , λr
sao valores proprios de A distintos dois a dois e v1, v2 . . . , vr saovectores proprios de A associados a λ1, λ2 . . . , λr, respectivamente,entao v1, v2 . . . , vr sao ortogonais dois a dois.
ALGA 2008/2009 – Mest. Int. Eng. Electrotecnica e de Computadores Espacos vectoriais com produto interno – 18 / 19
Teorema
Vectores proprios de uma matriz simetrica real A associados a valoresproprios distintos sao ortogonais dois a dois, isto e, se λ1, λ2 . . . , λr
sao valores proprios de A distintos dois a dois e v1, v2 . . . , vr saovectores proprios de A associados a λ1, λ2 . . . , λr, respectivamente,entao v1, v2 . . . , vr sao ortogonais dois a dois.
ObservacaoSe a matriz quadrada A real de ordem n e simetrica e λ1, λ2 . . . , λr
sao todos os seus valores proprios considerados sem repeticoes, umprocesso de obter uma base ortonormada de Rn constituıda porvectores proprios de A (isto e, as colunas de uma matriz ortogonaldiagonalizante de A), consiste em construir bases ortonormadas dossubespacos E(λ1), E(λ2), . . . , E(λr) e depois reunir todas essasbases.
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E proposta a resolucao dos seguintes exercıcios a discutir na aula ou nohorario de atendimento:
167, 174, 175, 180, 181, 183, 184, 185, 186, 187, 189, 192 e 193 dasFolhas 11 e 12.
Para o estudo deste capıtulo e recomendado o livro
A. P. Santana e J. F. Queiro, ”Introducao a Algebra Linear”,Departamento de Matematica, FCTUC, 2008, p. 100 a p. 123 e p. 146 ap. 149.