capÍtulos 9, 10 y 11 distribuciÓn de tensiones...
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-
CAPTULOS 9, 10 Y 11
DISTRIBUCIN DE TENSIONESORIGINADAS POR LOS
DIFERENTES ESFUERZOS
-
y
y
Q
NM
z
=
=
=
Areaz
Areazy
Areaz
dAy
dA
dA
M
Q
N
z
xdA
z
zy
y
Qu pretendemos en esta leccin?
Esfuerzos:
Tensiones originadas:
Equivalencia mecnica de lossistemas de esfuerzos, por un lado,y de las tensiones generadas, porotro:
-
ESFUERZO AXIL: TRACCIN O COMPRESIN PURA
B
x
y
z
N
G
B
x
y
z
N
G
-
Consideremos una barra prismtica de seccin arbitraria sometida a un esfuerzo axil N cuya recta de accin pasa por el centro de gravedad de la seccin de la barra.Las tensiones normales, , producidas por el esfuerzo axil son constantes en cualquier punto de la seccin.
NN
x
y
zG
-
N pasa por GxG
dA
x
y
y EQUIVALENCIA ENTRE N Y LA DISTRIBUCIN DE TENSIONES:
Momentos en G:
==
==
xdAM
ydAM
y
x
0
0
Igualdad de resultantes:
ANAdAdAN ====
0E yzxzxyzxyz
z ======
ESTADO DE DEFORMACIONES EN LA PIEZA PRISMTICA:
-
TRACCIN PURA
COMPRESIN PURA
En ambos casos, el esfuerzo axil pasa por el c.d.g de la seccin
-
FLEXINFLEXIN PURA, FLEXIN COMPUESTA Y
FLEXIN SIMPLE
B
x
y
z
Mx
My
G
B
x
y
z
Mx
My
G
B
x
y
z
NG
rP
B
x
y
z
NG
rP
B
x
y (EJE DE SIMETRA)
z
Mx
Qy
G
-
z
xy
P-P
Q
P P
Zona de flexin pura
M P.aZona de flexin simple
dz
Q=0
a a
-
FLEXIN PURA
B
x
y
z
Mx
My
G
B
x
y
z
Mx
My
G
00 ===== zyzxzxyyx
( )yxzz , =CByAxz ++=
00 == Cdz
EQUIVALENCIA ENTRE Mx y My Y LA DISTRIBUCIN DE TENSIONES:
Igualdad de resultantes:
-
Igualdad de momentos en G:
+= jMiMdr yxzrrrr
ByAxz += 2
2
xyyx
xyyyx
xyyx
xyxyx
PII
PMIMB
PII
IMPMA
+=
+=
+
=
22xyyx
xxyy
xyyx
xyyxz PII
xIyPM
PII
xPyIM
B
x
y
z
Mx
My
G
B
x
y
z
Mx
My
G
-
Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia de la seccin, Pxy=0, por lo que la expresin anterior se reducira a:
+
=
22xyyx
xxyy
xyyx
xyyxz PII
xIyPM
PII
xPyIM
y
y
x
xz I
xMIyM=
y si , se obtendra:0=yM
x
xz I
yM=
yy
x
G
x
G
Seccin rectangular
x
y
G
h 2
h 1
1=x h1x
2=x h2x
Mx
SECCION ALZADO LATERAL
Cantox
y
G
h 2
h 1
1=x h1x
2=x h2x
Mxx
y
G x
y
G
h 2
h 1
1=x h1x
1=x h1x
2=x h2x
2=x h2x
Mx
SECCION ALZADO LATERAL
Canto
-
ALA
ALA
ALMA
NOMENCLATURA EN PERFILES LAMINADOS:
-
q=20kN/mP=50kN
RARB2.5m 3.5m
h=0.7m
b=0.22m
EJEMPLO: CALCULO DE LAS MXIMAS TENSIONES NORMALES EN LA VIGA DE LA FIGURA
h = cantob = ancho
-
Q=89,2kN
39,2kN
-10,8kN-80,8kNM=160,4kNm
Q
M
q=20kN/mP=50kN
-
Mdulo resistentede la seccin
32
2
.
3
018,06
7,022,06.
2
121
mxhbW
WM
I
hM
hbI
x
x
x
mx
x
===
=
=
=
MPamkNm
WM
C 9,8018,04,160
3max ===
MPaT 9,8+=
TENSIONES NORMALES MXIMAS:0h
b
x
y
G
-
TENSIONES Y DEFORMACIONES EN FLEXIN PURA
Deformaciones z
Curva tensin-deformacin
Las deformaciones z tambin varan linealmente
y
Tensiones z
directriz
-
FLEXIN PURA:
Las caras que eran planas.
MM
siguen siendoplanas
-
FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIN PURA
Se denomina fibra o eje neutro al lugar geomtrico de los puntos de la seccin en los que z es nula
022
=
+
=
xyyx
xxyy
xyyx
xyyxz PII
xIyPM
PII
xPyIM
xyyyx
xyxyx
PMIMIMPM
xy
+
+=
Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia:
yx
xy
IMIM
xy=
que corresponde a una recta que pasa por el c.d.g de la seccin. Si, adems, My=0, la fibra neutra coincide con el eje x: yy
x
G
x
GFibra neutra
-
FLEXIN COMPUESTA
B
x
y
z
NG
rP
B
x
y
z
NG
rP
esfuerzo axil N en un punto P de coordenadas (a,b)
Reduciendo N al c.d.g.:
jMiMjaNibNN
bakji
NrM yxrrrr
rvv
vvr +====00
0
B
x
y
zM
G N
B
x
y
zM
G N
+=
22xyyx
xxy
xyyx
xyyz PII
xIyPNa
PII
xPyINbN
Aplicando el Principio de superposicin:
-
FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIN COMPUESTA
( ) ( ) 02
=++
= xyyxyxxyyx
z aPbIybPaIxPII
En el caso de flexin compuesta, la fibra neutra no pasa por el c.d.g de la seccin.
NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCION TRABAJANDO A FLEXIN COMPUESTA
Regin de la seccin en la que puede actuar un esfuerzo axil de compresin N sin que se produzcan tensiones de traccin en ningn punto de la seccin. El centro de gravedad de la seccin G debe pertenecer al ncleo central pues, si en l se aplicara un esfuerzo axil de compresin toda la seccin se encontrara trabajando a compresin.
-
x
y
A
B
C
(a)
(b)
(c)x
y
A
B
C
(a)
(b)
(c)
Si el esfuerzo axil de compresin actuase en el punto A de la seccin, la recta (a)sera la correspondiente fibra neutra. Supongamos ahora que el esfuerzo axil actuase en el punto B y que (b) es la correspondiente fibra neutra. Si C es el punto de corte de las rectas (a) y (b), se puede demostrar que si el esfuerzo axil actuase en C la correspondiente fibra neutra (c) pasara por los puntos A y B.
-
EJEMPLO: NCLEO CENTRAL DE UNA SECCIN RECTANGULAR
x
y
P
G
eh
c
A B
CD
x
y
P
G
eh
c
A B
CD Supongamos actuando un esfuerzo axil N de compresinen el punto P de la seccin, que se encuentra situado sobre el eje y a una distancia e del eje x.Reduciendo el esfuerzo N al centro de gravedad G,obtendramos un esfuerzo axil del mismo valor y un momento flector de eje x de valor N.e
Si aplicsemos N en G (e=0), toda la seccin estara sometida a compresin uniforme. Si va creciendo e, las tensiones de compresin van creciendo en el lado DC y disminuyendo en el AB. Cabra preguntarse: Para qu valor de la distancia e la fibra neutra coincidira con al lado AB?
e=h/6
x
y
h3
c3
A
R
S
x
y
h3
c3
A
R
S
Ncleo Central
-
FLEXIN SIMPLE
B
x
y (EJE DE SIMETRA)
z
Mx
Qy
G
x
y
Qy MxG x
y
Qy MxG
(Eje de simetra)
Las tensiones normales producidas por el momento flector ya han sido estudiadas con anterioridad, pero: cules sern las tensiones tangenciales (contenidas en el plano de la seccin) a que da lugar el esfuerzo cortante que estamos aplicando?
Supondremos que dichas tensiones tangenciales slo dependen de la ordenada y:
( )y =
-
REBANADA DE UNA PIEZA PRISMTICA
directriz
rebanada
ds
A C
B D
directriz
rebanada
ds
A C
B D
A
B
Qy
Mx
A
B
Qy
Mx
Qy
Mx
C
D
Mx+d Mx
Qy+d QyC
D
Mx+d Mx
Qy+d Qy
Mx+d Mx
Qy+d QyQy+d Qy
C
ds
A
B D
Mx+d Mx
Qy+d QyQy
MxC
ds
A
B D
ds
A
B D
Mx+d Mx
Qy+d Qy
Mx+d Mx
Qy+d QyQy+d QyQy
Mx
c
-
C
ds
A
B D
Mx+d Mx
Qy+d QyQy
MxC
ds
A
B D
ds
A
B D
Mx+d Mx
Qy+d Qy
Mx+d Mx
Qy+d QyQy+d QyQy
Mx
C
0)( =+=+++ dsQdMdsdQdsQdMMM yxyyxxx
EQUILIBRIO DE LA REBANADA
dsdM
Q xy =
-
TENSIONES TANGENCIALES INDUCIDAS POR EL ESFUERZO CORTANTE
Q
-
x
y
G
a(y)
a0
ycy
ds
+d
yh
x
y
G
a(y)
a0
ycy
ds
+d
x
y
G
a(y)
a0
ycy
x
y
G
a(y)
a0
ycy
ds
+d
ds
+d
yh x
xz I
yM=
x
x
IydM
d =
)()).(( 0adsdyyadh
c
yy
yy=
=
= ==
h
c
h
c
y
yx
xy
yx
x adsadyyIdMadyy
IdM
0)()(
00 aIMQ
aIM
dsdM
x
ey
x
ex ==
EQUILIBRIO HORIZONTAL:
+d
-
EjemploEjemplo: : DistribuciDistribucinn de de tensionestensiones cortantescortantes sobresobreunauna secciseccinn rectangular rectangular sometidasometida a a QQyy
0aIMQ
x
ey=0
b
x
y
Gh
y
(y)
0 x
y
G
(h/2-y)/2
+
= yyhbyhMe 22
12
3
121 hbIx = ba =0
-
b
h fibraneutra
y
x
Tensiones deflexin
z
y
Tensionescortantes
( )
mediamax
2
maxe
5,123
842M
=
=
=
=
bhQ
bhhbh
y
max
ymedia
max