caract mouvement

7/25/2019 Caract Mouvement

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Caractristiques du mouvement

A.Hind Univ-KHENCHELA LMD1/SNV

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1/ INTRODUCTION

OM, vitesse v

et lacclration a

est repre dans un

repre ( ; , , )O i j k

O

Z

X

Y

x

y

z

i j

k

M

. . .OM r x i y j z k = = + + (4.1)

IV/CINEMATIQUE

;


2/6



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3/ LES EQUATIONS HORAIRES (ABC;D):Un point matriel est au repos dans un repre choisi si ses coordonnes , ,x y z sont

indpendantes du temps, et il est en mouvementsi ses coordonnes varient en fonction du

temps.

(On a choisi des coordonnes cartsiennes, mais on aurait pu choisir nimporte

quelles autres coordonnes).

Ces coordonnes peuvent tre notes par :

( ), ( ), ( )x t y t z t

( ), ( ), ( )x f t y g t z h t= = = (4.3)

La trajectoire

( ; , )R O i j

2

2t s=

Rponse

t de lquation de x quon remplace dans z :

22

xx t t= =

21.25. 2.z x x= + Cest lquation dune parabole.

2/ Expression du vecteur position :

2( 2)

( 2)

. .

(2 ). ( 5 4 ). 4 12

4 12

t

t

OM x i y j z k

OM t i t t k OM i k

OM i k

=

=

= + +

= + + =

=

2 4x t ; y 0 ; z -5t t= = = +

(4.2)

On appelle ces fonctions, les quations horaires du mouvement. On peut les

exprimer sous la forme :

K;L( )La trajectoire est lensemble des positions occupes par le mobile au cours de son

mouvement pendant des instants successifs. La trajectoire peut tre matrielle ( la route

suivie par une automobile par exemple ) ou imaginaire (trajectoire de la lune par

exemple).

Ltude dun mouvement plan se fait en coordonnes rectangulaires dans le repre

o la position est dfinie par les deux coordonnes : )(),( tytx

La fonction )(xyx sappelle quation cartsienne de la trajectoire

)K;L>NOK;PC;D( .

On obtient lquation de la trajectoire par limination du temps entre les

deux quations horaires.

Exemple 4.1 : Les quations horaires du mouvement dun point matriel tir dans lespace

sont (toutes les units sont dans le systme

international).

1/ Trouver lquation cartsienne de la trajectoire, quelle est sa forme ?

2/ Ecrire lexpression du vecteur position au temps

:

1/ On tire


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53

Exemple 4.2 : Le mouvement dun point matriel est dfini dans un repre cartsien par ses

deux quations horaires :

)cos(

)sin(

+=

+=

tay

tax

Quelle est donc la trajectoire suivie ?

Rponse :

En lve au carr les deux quations, puis on fait la somme membre membre pour

aboutir lquation dun cercle de rayon a :2 2 2

2 2 2

2 2 2

sin ( . )

cos ( . )

x a tx y a

y a t

= +

+ == +

4/ LE VECTEUR VITESSE (

t'M

'

v ; vt t t= =

T

O'MM

t

'v

: Le vecteur vitesse instantane )(tv

est port par la tangente la

trajectoire au point M ; il est toujours orient dans le sens du mouvement(Figure 4.3).

Dans le repre cartsien par exemple, on en dduit lexpression du vecteur vitesse

instantane partir de lexpression du vecteur position en drivant :

. . . . . .OM r x i y j z k v x i y j z k = = + + = + +

'

'moy moy

MMMM

BCD4/0

M

M

(t)v

Vecteur vitesse instantane ) ?LS;DT>Z(Le vecteur vitesse instantane, c'est dire au temps

''

'lim limt t tt t

OM OM OM dOM t t t dt

= = =

t

dOMvdt

=

(4.5)

IMPORTANT

, est la drive )(Y[( duvecteur position par rapport au temps :

)VWXY?LS;DT(Regardons la figure 4.2 : entre linstant , et

linstant 't o le mobile occupe la position

(4.6)

?LS;DT):On considre que la vitesse est la distance parcourue par unit de temps.

Vecteur vitesse moyenne

M, le vecteur vitesse moyenne est dfini comme

tant lexpression 4.4.

o le mobile occupe la position


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v

y , par exemple, par rapport au

temps, pardt

MKS est 1./ = smsm .

Les composantes des vecteurs OM

et v

CONVENTIONS )( Notation de Newton : on note la drive par rapport au temps en mettant un

point sur le symbole de la variable. Si la drive est par rapport une variable

autre que le temps, la notation est de mettre une apostrophe() aprs le symbole

de la variable driver.

Notation de Leibnitz : On note la drive de

; ;dx dy dz x y zdt dt dt

= = =

dy.

Ainsi nous pouvons crire

)(

Module du vecteur vitesse instantane

2 2 (4.7)

Lunit de la vitesse dans le systme international

2v x y z = + +

en coordonnes cartsiennessont donc :

x

y

R z R

x vx

OM y v y v

z z v

=

=

=

5/ LE VECTEUR ACCELERATION ) S;DTYL;SK( :Nous considrons que lacclration est la variation de la vitesse par unit de temps.

Vecteur acclration moyenne ) S;DTSK;LYaWXY(

) S;DTYL;SK( :Nous considrons que lacclration est la variation de la vitesse par unit de temps.

Vecteur acclration moyenne ) S;DTSK;LYaWXY(

';

'moy moy

vv v v a a

t t t t

= = =

(4.8)

M

O

M v

'v

moya

Trajectoire

Fig 4.4

En considrant deux instants diffrents t et 't correspondants aux vecteurs position


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55

OMet 'OM et les vecteurs vitesse instantane v

et 'v

(figure 4.4), le vecteur acclration

moyenne est dfini par lexpression 4.8

Vecteur acclration instantane ) S;DTSK;LYbZ>(Le vecteur acclration instantane dun mouvement est dfini comme tant la

drive du vecteur vitesse instantane par rapport au temps.

v v v dv OM

2

2dv d OM a

dt dt = =

)(ta

2 22a x y z = + +

. . . . . . . . .

x x x

y y y

R z z zR R

x y z x y z

x v x v ax

r y v y v a y v a

z z v z v a

OM r x i y j z k v v i v j v k a a i a j a k

= = =

= = = =

= = =

= = + + = + + = + +

(4.12)

2

' ' 2

' dlim lim

't t t t a

t t t dt dt

= = = =

(4.9)

On peut crire maintenant en rsum les expressions des vecteurs position, vitesse et

acclration en coordonnes cartsiennes, avec les conventions de Newton et Leibnitz :

. . . . . . . . .OM r x i y j z k v x i y j z k a x i y j z k

dx dy dz d x d y d z 2 2

2 2 2. . . . . .

2

v i j k a i j k (4.10)dt dt dt dt dt dt

= = + + = + + = + +

= + + = + +

Important

( )

Ce module est donn par la formule 4.11

: Le vecteur acclration est toujours dirig vers la partie concave de la

trajectoire. (figure4.5)

Module du vecteur acclration instantane

: Dans un repre cartsien les vecteurs position, vitesse et acclration sont :CONCLUSION


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Remarque : Le mouvement est dit acclr si . 0a v

, et dclr ou retard si . 0a v

.

Quant au sens du mouvement il est indiqu par le sens de la vitesse v

.

Exemple 4.3 : Soit le vecteur position

=

=

=

3

2

54

2

tzty

tx

OM . En dduire le vecteur vitesse et le

vecteur acclration instantanes, puis calculer le module de chacun deux.

Rponse

2

4

4 . 4 3 6

16 92 2

v t i j t k a 4i 0j tk

v 16t t , a 16 36t

= + + = + +

= + + = +

:Nous drivons deux fois de suite lexpression du vecteur position pour obtenir les

vecteurs demands et ensuite nous dduisons leurs modules :

caract mouvement

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