carlos andré vaz junior cavazjunior@gmail eq.ufrj.br/links/h2cin/carlosandre

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Bás

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Carlos André Vaz Junior

[email protected]

http://www.eq.ufrj.br/links/h2cin/carlosandre

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Mais de 1 milhão de resultados

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?

http://newsreader.mathworks.com

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Agora a = 2, faço tudo de novo?!

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Char ArrayMatriz

Tipos Básicos

Case Sensitive!

Estrutura

CaSe SeNsItIvE!

MA

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Criando uma matriz:

MA

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Criando um “char array”:

MA

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Estrutura:

turma.alunos.nomes=strvcat( 'carla',’joao','bruno', ... 'luis', 'marcela‘ );turma.professor.nome=(‘Marcelo‘)turma.horario=1300turma.sala=221

Banco de Dados da “Turma”: Alunos: Carla, João, Bruno, Luis, Marcela Professor: Marcelo Horário: 13h Sala: 221

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Comando “who” e “whos”

MA

TL

AB

Bás

ico

Use A=0:0.5:10 para gerar matrizes com dados em seqüência.

Use “;” para evitar que o resultado apareça na tela.

Dicas!

Use “clear A” para apagar a variável A.

Use “size(A) ” para identificar as dimensões da matriz. A maior dimensão é dada pelo comando “length(A) ”

Use “clear all” para apagar todas as variáveis armazenadas.

MA

TL

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Bás

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i) Soma e subtração: soma (ou subtrai) elemento por elemento da matriz. A+B A-B ii) Multiplicação e Divisão de matrizes: atenção às regras da álgebra, pois as dimensões das matrizes têm que ser coerentes! A * B A / B iii) Multiplicação e divisão elemento por elemento:A .* BA ./ B

MA

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iv) Matriz Transposta:A’ v) Cria Matriz Identidade:eye(número de linhas, número de colunas) vi) Cria Matriz Zeros:zeros(número de linhas, número de colunas)

vii) Cria Matriz Uns:ones(número de linhas, número de colunas) viii) Cria Matriz Randômica (composta de números aleatórios):rand(número de linhas, número de colunas)

MA

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Bás

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ix) Determinante:det(matriz) x) Inversa:inv(matriz) xi) Dimensões da matriz:size(matriz)lenght(matriz)numel(matriz)

Veja também: flipud e fliplr

MA

TL

AB

Bás

ico

1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 15

4 8 12 16

Elemento = Matriz(2,3) ou Matriz(10)

MA

TL

AB

Bás

ico

MA

TL

AB

Bás

ico

A=1B=2global CC=100

Função Alfa

E=15F=55C=23

Função Beta

Programa Principal / Workspace

global CC=100D=22

MA

TL

AB

Bás

ico

x=[1 2 3 4 5 6; 2 1 3 3 2 1];

%Forma linear: xmin=min(x); xmin=min(xmin); [i,j]=find(x==xmin);

Achando a posição do menor valor de uma matriz:

%Forma condensada: [i,j]=find(x==(min(min(x))));

MA

TL

AB

Bás

ico

X = fzero('sin',2)

Achando o menor valor de uma função:

função estimativa inicial

Veja também: fsolve e fmin

MA

TL

AB

Bás

ico

if:

MA

TL

AB

Bás

ico

AND OR

MA

TL

AB

Bás

ico

Falso Verdadeiro

AND

a b resultado

1 1 1

0 1 0

1 0 0

0 0 0

OR

a b resultado

1 1 1

0 1 1

1 0 1

0 0 0

MA

TL

AB

Bás

ico

Case: switch I case 1, disp('I vale 1') case 2, disp('I vale 2') otherwise disp('I nao eh nem 1 nem 2') end

MA

TL

AB

Bás

ico

While: while I < 10, disp(‘oi’); I=I+1; end

Manipule o ponteiro I na rotina executadapelo “while”

MA

TL

AB

Bás

ico

For: for J = 1:100, A(1,J) = 1/(I+J-1); end

Incremento automático do ponteiro J a cada loop

MA

TL

AB

Bás

ico

>> figure(1)

>> t=0:0.01:10;>> y=sin(t);>> plot(t,y)

>> figure(2)

>> z=cos(t);>> plot(t,z)

MA

TL

AB

Bás

ico

Use “close all” para fechar todas as figuras

Dica!

Use “clf” para apagar a figura atual

Use “[x,y]=ginput(2)” para capturar dois pontos no gráfico

MA

TL

AB

Bás

ico

>> figure(3)

>> subplot(1,2,1)

>> plot(t,y)

>> subplot(1,2,2)>> plot(t,z)

MA

TL

AB

Bás

ico

>> t=0:0.25:10;>> y=sin(t);>> plot(t,y,'r+')>> xlabel('tempo')>> ylabel('seno')>> title('Seno vs. Tempo')>> Axis([0 10 -2 2])

MA

TL

AB

Bás

ico

>> t=0:0.01:10;>> y=sin(t);>> z=cos(t);>> plot(t,y,'g-',t,z,'r-')>> legend('seno','cosseno')

Ou...

>> t=0:0.01:10;>> y=sin(t);>> z=cos(t);>> plot(t,y,'g-‘)>> hold on>> plot(t,z,'r-')>> legend('seno','cosseno')

MA

TL

AB

Bás

ico

MA

TL

AB

Bás

ico

xx=0:0.01:1;yy=0:0.01:1;[X,Y]=meshgrid(xx,yy);

Z=exp(-0.5*(X.^2+Y.^2));

colormap jetfigure(1);surf(X,Y,Z); rotate3d on; shading interp;

MA

TL

AB

Bás

ico

MA

TL

AB

Bás

ico

%Malha triangular da base %malha da base xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); Z=1-X-Y; %aplica a restrição para usar só a base do triangulo %onde existe consistência física (o que nao tem vira "Not a Number") iz=find(Z<0);Z(iz)=nan;

MA

TL

AB

Bás

ico

%Malha triangular da base %malha da base xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); Z=1-X-Y; %aplica a restrição para usar só a base do triangulo %onde existe consistência física (o que não tem vira "Not a Number") iz=find(Z<0);Z(iz)=nan;

Composição(3 componentes)

MA

TL

AB

Bás

ico

%Malha triangular da base %malha da base xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); Z=1-X-Y; %aplica a restrição para usar só a base do triangulo %onde existe consistência física (o que não tem vira "Not a Number") iz=find(Z<0);Z(iz)=nan;

Alguns Z sãonegativos! Não pode!

MA

TL

AB

Bás

ico

vv1=(X.*log(X))+(Y.*log(Y))+(Z.*log(Z));

%gráfico da superfíciecolormap jetfigure(1);surf(X,Y,vv1); rotate3d on; shading interp;xlabel('X1');ylabel('X2');zlabel('DeltaGi/RT');

MA

TL

AB

Bás

ico

MA

TL

AB

Bás

ico

Exemplos

MA

TL

AB

Bás

ico

Exemplo1

MA

TL

AB

Bás

ico

M o d e l a g e m & D i n â m i c a d e P r o c e s s o s

E x e m p l o 1 :M o d e l o s s i m p l e s - o t a n q u e d e n í v e l

1

h

F E

F

A

h

F E

F

A

h

F E

F

A

C o n s i d e r a n d o c o n s t a n t e s a v a z ã o d e a l i m e n t a ç ã o F E , a

d e n s i d a d e e a t e m p e r a t u r a T , e q u e o s i s t e m a e s t á s u j e i t o à

c o n d i ç ã o i n i c i a l :

00 hth ( 1 )

MA

TL

AB

Bás

ico


M o d e l o s s i m p l e s - o t a n q u e d e n í v e l

p o d e - s e e s c r e v e r o b a l a n ç o d e m a s s a d o s i s t e m a

1

FFdt

tdmE

dt

tdhA

dttdm

FFAdt

tdhE

1

A i n d a ,

e , p o r t a n t o ,

( 2 )

( 3 )

( 4 )

MA

TL

AB

Bás

ico



F r e q ü e n t e m e n t e , c o n s i d e r a - s e a v a z ã o d e s a í d a d o t a n q u e

p r o p o r c i o n a l à a l t u r a d a c o l u n a d e l í q u i d o é i n v e r s a m e n t e

p r o p o r c i o n a l a u m a r e s i s t ê n c i a a o e s c o a m e n t o ( R ) :

1

Rh

F

Rh

FAdt

tdhE

1

L o g o ,

( 5 )

( 6 )

MA

TL

AB

Bás

ico



E s t e m o d e l o s i m p l e s d e u m t a n q u e d e n í v e l , s e m b a l a n ç o d e

e n e r g i a , p o s s u i u m a s o l u ç ã o a n a l í t i c a :

1

RA

t

E eRFth 1

P a r a s i m u l a r e s t e m o d e l o , b a s t a e s c o l h e r o s v a l o r e s d a s

c o n s t a n t e s R , A e F E , d a s c o n d i ç õ e s i n i c i a i s h 0 e t 0 .

A s i m u l a ç ã o d a s o l u ç ã o a n a l í t i c a d o m o d e l o d o t a n q u e d e

n í v e l é m o s t r a d a a s e g u i r .

( 7 )

MA

TL

AB

Bás

ico

% Definição das constantes do modelo

R = 1; % h/m2

A = 2; % m2

Fe = 10; % m3/h

% Tempo de simulação

t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h

% Simulação da altura de líquido

h = R*Fe*(1 - exp(-t/(R*A))); % m

% Visualização da simulação

plot(t,h);

title('Simulação do tanque de nível');

xlabel('Tempo (h)');

ylabel('Altura (m)');

MA

TL

AB

Bás

ico

Verifique a consistência do calculo: a matriz “h” gerada também deve ser 1x1000, já que cada instante “t” gerou um valor “h”.

É sempre útil conferir a dimensão das variáveis, principalmente a medida que as

rotinas forem tornando-se complexas.

Dica!

MA

TL

AB

Bás

ico

Exemplo2

MA

TL

AB

Bás

ico

Muitas vezes é muito trabalhoso, ou mesmo impossível, encontrar a solução analítica para o conjunto de equações diferenciais. Nesse caso

temos que simular usando solução numérica das equações diferenciais. Vamos assumir que o

modelo do exemplo 1 não tivesse solução analítica, e então usar o Matlab para estudar o

comportamento da altura do nível com o tempo. A equação diferencial será:



F r e q ü e n t e m e n t e , c o n s i d e r a - s e a v a z ã o d e s a í d a d o t a n q u e

p r o p o r c i o n a l à a l t u r a d a c o l u n a d e l í q u i d o é i n v e r s a m e n t e

p r o p o r c i o n a l a u m a r e s i s t ê n c i a a o e s c o a m e n t o ( R ) :

1

Rh

F

Rh

FAdt

tdhE

1

L o g o ,

( 5 )

( 6 )

MA

TL

AB

Bás

ico

% Definição das constantes do modeloR = 1; % h/m2A = 2; % m2Fe = 10; % m3/h% Tempo de simulaçãot = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h% Simulação da altura de líquido[t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]);% Visualização da simulaçãoplot(t,h);title('Simulação do tanque de nível');xlabel('Tempo (h)');ylabel('Altura (m)');

function dh = dhdt(t,h,flag,par)R = par(1);A = par(2);Fe = par(3);dh = (Fe-(h/R))/A;

MA

TL

AB

Bás

ico

Nesse caso temos uma equação diferencial, então deveremos usar uma função Matlab específica para a

resolução de eq. diferenciais. No caso temos a ODE45. A função ODE45 implementa um esquema de solução de

sistemas de EDO’s por método de Runge-Kutta de ordem média (consulte o help sobre ODE45 para

maiores detalhes).

[t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]);

MA

TL

AB

Bás

ico

Os parâmetros enviados entre parênteses são aqueles que devemos passar para a ODE45:

-1º argumento de ode45 é uma string contendo o nome do

arquivo .m com as equações diferenciais. Neste caso, o arquivo chama-se dhdt.m.

-2º argumento é um vetor que pode conter (i) dois elementos:

os tempos inicial e final da integração, ou (ii) todos os valores de tempo para os quais deseja-se conhecer o valor da variável

integrada.

-3º argumento é o vetor contendo as condições iniciais das variáveis dependentes das EDO’s. Os valores dos elementos do vetor de condições iniciais precisam estar na mesma ordem em

que as variáveis correspondentes são calculadas na função passada como 1º argumento para ode45 (neste caso, dhdt.m). Nesse caso em particular só temos uma variável dependente,

assim temos uma única condição inicial.

MA

TL

AB

Bás

ico

-4º argumento é o vetor de opções de ode45. Há várias opções do método que podem ser ajustadas. Entretanto, não deseja-se alterar os valores-padrão. Neste caso, é passado um vetor vazio, apenas para marcar o lugar das opções.

-5º argumento é um vetor contendo parâmetros de entrada para a função dhdt.m. Observe que a função .m deve ler

esses parâmetros na ordem correta (recebe como variável local “par”).

Os resultados da simulação são obtidos nos dois parâmetros entre colchetes (t , h).

MA

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AB

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ico

A codificação do arquivo .m segue o mesmo formato já explicado para funções porém com algumas particularidades.

No caso específico de um arquivo .m que deve ser chamado por uma função de solução EDO’s (todas as ODExx), a declaração

deste arquivo deve seguir a sintaxe:

function dy = nomefun(t, y, flag, arg1, ..., argN)

onde •dy é o valor da(s) derivada(s) retornadas•t e y são as variáveis independente e dependente, respectivamente.•Opcional: caso deseje-se receber outros parâmetros, a função deve receber um argumento marcador de lugar chamado flag. Após este, ela recebe quaisquer outros parâmetros.

MA

TL

AB

Bás

ico

Exemplo3

MA

TL

AB

Bás

ico


E x e m p l o 3 T a n q u e d e a q u e c i m e n t o

1

h

F E , T E

F , T

A

T h

T h

h

F E , T E

F , T

A

T h

T h

C o n s i d e r a n d o c o n s t a n t e s a v a z ã o d e a l i m e n t a ç ã o F E , a

t e m p e r a t u r a T h , o c o e fi c i e n t e g l o b a l d e t r a n s f e r ê n c i a d e c a l o r U e

a s p r o p r i e d a d e s d o fl u i d o e C p e q u e o s i s t e m a e s t á s u j e i t o à s

c o n d i ç õ e s i n i c i a i s :

00 hth 00 TtT

MA

TL

AB

Bás

ico


M o d e l o s s i m p l e s - t a n q u e d e a q u e c i m e n t o

C o m o n o c a s o a n t e r i o r , o b a l a n ç o d e m a s s a p o d e s e r e s c r i t o

c o m o :

1

Rh

FAdt

tdhE

1( 6 )

O b a l a n ç o d e e n e r g i a é e s c r i t o c o m o :

QFHHFdtVTd

C EEp ( 8 )


M o d e l o s s i m p l e s - t a n q u e d e a q u e c i m e n t o

1

dtdh

Tdt

dThA

dtdV

Tdt

dTV

dtVTd

( 9 )

QFHHFRh

FA

Tdt

dThAC EEEp

( 1 0 )

p

E

p

hEE

CU

AF

TC

UTA

TFhdt

dT

1( 1 1 )

MA

TL

AB

Bás

ico

Matlab Real

dy(1) dh/dt

y(1) h

dy(2) dT/dt

y(2) T

Traduzindo as equações diferenciais para o Matlab:

MA

TL

AB

Bás

ico

% Definição das constantes do modeloR = 1; % h/m2A = 2; % m2Fe = 10; % m3/hCp = 0.75; % kJ/(kg . K)Ro = 1000; % kg/m3U = 150; % kJ/(m2 . s . K)Te = 530; % K Th = 540; % K % Tempo de simulaçãot = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação do modelo[t,y]=ode45('dydt',t,[(5/A) Th],[],[U A Ro Cp Fe R Te Th]);

MA

TL

AB

Bás

ico

% Visualização da simulaçãofigure(1);plot(t,y(:,1)); title('Tanque de aquecimento');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)');figure(2);plot(t,y(:,2)); title('Tanque de aquecimento');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Temperatura (K)');

MA

TL

AB

Bás

ico

A única modificação em relação ao exemplo anterior é que estamos passando duas condições iniciais (pois

existem duas variáveis dependentes):

[t,y]=ode45('dydt',t,[(5/A) Th],[],[U A Ro Cp Fe R Te Th]);

MA

TL

AB

Bás

ico

A função .m tem o código apresentado a seguir:

function dy = dydt(t,y,flag,par);U = par(1);A = par(2);Ro = par(3);Cp = par(4);Fe = par(5);R = par(6);Te = par(7);Th = par(8);dy(1) = (Fe-(y(1)/R))/A;dy(2) = (1/y(1))* ( ((Fe*Te/A)+(U*Th/(Ro*Cp)))... - ( y(2)*((Fe/A)+(U/(Ro*Cp)))) );dy = dy(:);

MA

TL

AB

Bás

ico

O vetor dy é criado como vetor linha (dy(1)) e (dy(2)). Porém temos que retornar como vetor coluna.

Use o comando:matriz coluna = matriz linha (:)

Dica!

MA

TL

AB

Bás

ico

figure(1);plot(t,y(:,1));title('Tanque de aquecimento');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)');

Quando for fazer os gráficos no programa principal lembre-se que a primeira coluna de “dy”

refere-se a “h” e a segunda a “T”. Então para graficar h vs. tempo faça:

Dica!

MA

TL

AB

Bás

ico

Exemplo4

MA

TL

AB

Bás

ico

Na compra de uma calculadora gráfica, a loja ofereceu duas propostas de financiamento – proposta A e B. A proposta A é composta por 7 parcelas mensais iguais de 114 reais cada. Já a proposta B prevê 10 parcelas mensais iguais de 98 reais cada. Qual é a melhor opção de compra considerando a taxa de juros oferecida em investimentos denominados “renda fixa”?

A princípio poderia resolver o problema simplesmente multiplicado 114 x 7 e 10 x 98, achando o valor final pago. Os valores encontrados seriam 798 e 980. Logo, a Proposta A parece mais favorável para o comprador.

É importante lembrar, porém, que essa forma de resolução não considera que o dinheiro desvaloriza-se ao longo dos meses. Ou seja, o poder de compra de 100 reais hoje, é superior ao poder de compra de 100 reais daqui a 10 meses. Outra forma de pensar é considerar o “custo de oportunidade” – a taxa de retorno livre de que conseguiria para o meu dinheiro caso, ao invés de pagar agora, investisse. De uma forma ou de outra o que precisamos é do VALOR PRESENTE (VP) de cada série de pagamentos, sendo os pagamentos descontados a dada taxa de juros. Para trazer VALOR FUTURO (VF) para valor presente usa-se a fórmula:

VP = VF / ( 1 + i )n

Onde “i” é a taxa de juros mensal e “n” o número de meses entre o VF e o VP.

MA

TL

AB

Bás

ico

MA

TL

AB

Bás

ico

clcclose allclear all ivetor=0:0.01:0.50; VPvetor114=[];VPvetor98=[]; prompt{1}='Número de meses do pagamento da serie A:';prompt{2}='Número de meses do pagamento da serie B:';prompt{3}='Valor de cada parcela da serie A:';prompt{4}='Valor de cada parcela da serie B:';resposta=inputdlg(prompt,'Calculo da taxa de equilibrio');nummeses114=str2num(char(resposta(1)));nummeses98=str2num(char(resposta(2)));v114=str2num(char(resposta(3)));v98=str2num(char(resposta(4)));

MA

TL

AB

Bás

ico

for J = 1:length(ivetor), i=ivetor(J); VP=[]; for K = 1:nummeses114, VP(K)=v114/(1+i)^K; end VPfinal=sum(VP); VPvetor114=[VPvetor114, VPfinal]; VP=[]; for K = 1:nummeses98, VP(K)=v98/(1+i)^K; end VPfinal=sum(VP); VPvetor98=[VPvetor98, VPfinal];end

MA

TL

AB

Bás

ico

plot(ivetor*100,VPvetor114,'-b') hold on plot(ivetor*100,VPvetor98,'-r') title('Valor presente das parcelas a serem pagas') legend( [ num2str(nummeses114), ' parc de ', num2str(v114) ,' reais cada'] , ... [ num2str(nummeses98), ' parc de ', num2str(v98) ,' reais cada' ] ) xlabel('Taxa de juros mensal') ylabel('Valor presente em Reais') if (VPvetor114(1)<VPvetor98(1)), posicoes=VPvetor114<VPvetor98; achaZero=find(posicoes==0); achaPrimeiroZero=min(achaZero); plot(100*ivetor(achaPrimeiroZero),VPvetor114(achaPrimeiroZero),'ok') else posicoes=VPvetor98<VPvetor114; achaZero=find(posicoes==0); achaPrimeiroZero=min(achaZero); plot(100*ivetor(achaPrimeiroZero),VPvetor114(achaPrimeiroZero),'ok') end text(100*ivetor(achaPrimeiroZero),50+VPvetor114(achaPrimeiroZero), ... ['Juros de equilibrio (a.m.) = ',num2str(100*ivetor(achaPrimeiroZero)),' %'] )

MA

TL

AB

Bás

ico

Exemplo5

MA

TL

AB

Bás

ico

Determinado processo possui função custo definida pela equação:

Y=((x-3)2)-6

É necessário encontrar x que minimize o valor de Y. Não é

difícil de visualizar que a solução do problema é fazer x=3, de modo a levar Y um mínimo (-6). Mesmo sabendo previamente a solução, vamos resolver através do MATLAB. Utilizamos então a função “fminsearch”.

MA

TL

AB

Bás

ico

%Calculo do valor de x que minimiza a funcao custoxmin = fminsearch('((x-3).^2)-6', 4) %Gráfico da funcao custox=0:0.01:5;y=((x-3).^2)-6;plot(x,y);hold on %Marca o ponto de minimo:ymin=((xmin-3).^2)-6;plot(xmin, ymin,'or')

MA

TL

AB

Bás

ico

Ou...

MA

TL

AB

Bás

ico

%Calculo do valor de x que minimiza a funcao custo %Gráfico da funcao custox=0:0.01:5;y=((x-3).^2)-6;plot(x,y);hold ondrawnow xmin = fminsearch('custo', 4) %Marca o ponto de minimo:ymin=((xmin-3).^2)-6;plot(xmin, ymin,'or')

function [y] = custo(x) y=((x-3).^2)-6; plot(x, y,'ob')hold onpause(0.1)

MA

TL

AB

Bás

ico

Exemplo6

MA

TL

AB

Bás

ico

Quando ajustamos uma curva a um conjunto de pontos experimentais, estamos minimizando a distância entre a curva e os dados. Definindo essa distância como “erro”, estamos manipulando os parâmetros que definem a curva de modo a minimizar o erro. Nesse caso “erro” é a minha “função objetivo” a ser minimizada. É através dessa ótica que se torna possível usar “fminsearch” para encontrar o valor ótimo dos parâmetros de ajuste de uma curva aos dados experimentais.

global yexp xexp %pontos experimentaisyexp=[1.1 2.12 2.85 4.4 5.0 6.5];xexp=[1 2 3 4 5 6]; Parametros = fminsearch('custo',[1,2]);

MA

TL

AB

Bás

ico

function [saida] = custo(x)global yexp xexp a=x(1);b=x(2); yteo=a.*xexp + b; %calcula o valor teorico %para cada pto experimental yerro=abs(yexp-yteo); %calculo do errosaida=sum(yerro); plot(xexp,yexp,'r*',xexp,yteo,'b-')drawnowpause(0.3)

MA

TL

AB

Bás

ico

Exemplo7

MA

TL

AB

Bás

ico

MA

TL

AB

Bás

ico

As equações diferenciais que descrevem o processo são:

O modelo matemático do nosso reator CSTR tende ao estado estacionário. Ou seja, seus parâmetros tendem a ficar constantes no tempo infinito. Seria interessante introduzir perturbações em

algumas variáveis e observar como o reator se comporta.

MA

TL

AB

Bás

ico

Uma perturbação degrau em uma entrada u do sistema é tal que:

u = u0 , t < tdegrauu = u0 + du, t > tdegrau

Ou seja: antes do degrau a entrada u vale u0. Após o tempo determinado para que o degrau ocorra (tdegrau) temos que u

passa a valer u0 + du.

MA

TL

AB

Bás

ico

% Definição das constantes do modeloU =50; % BTU/(h.ft2.R)A = 120; % ft2DH = -30000; % BTU/lbmRo = 50; % lb/ft3Cp = 0.75; % BTU/(lbm.R)E = 30000; % BTU/lbm R = 1.99; % BTU/(lbm.R)k0 = 7.08e10; % 1/h V =48; % ft3Te = 580; %R Th = 550; %RFe = 18; % ft3/h Cre = 0.48; % lbm/ft3 % Tempo de simulaçãot = 0.0 : 0.01 : 10.0; %h % Perturbação na vazão de entradatd = 5.0; %Tempo onde ocorre o degraufd = 2*Fe; %Valor assumido após o degrau

Programa principal:

continua...

MA

TL

AB

Bás

ico

% Condições iniciaisCr0 = 0.16; % lbm/ft3T0 = 603; %R % Simulação do modelo[t,y] = ode45('dcstrdeg',t,[Cr0 T0],[],[U A DH Ro Cp E R k0 V Te Th … Fe Cre],[td fd]);% Visualização da simulaçãofigure(1);plot(t,y(:,1)); title('CSTR com Reação Exotérmica');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Concentração de Reagente (lbm/ft3)');figure(2);plot(t,y(:,2)); title('CSTR com Reação Exotérmica');xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Temperatura (R)');

Programa principal (continuação):

MA

TL

AB

Bás

ico

function dy = dcstrdeg(t,y,flag,par,deg); U = par(1); A = par(2);DH = par(3); Ro = par(4);Cp = par(5); E = par(6);R = par(7); k0 = par(8);V = par(9); Te = par(10);Th = par(11);

Função “dcstrdeg”:

continua...

MA

TL

AB

Bás

ico

%Verifica a ocorrência de degrau:

if t >= deg(1)

Fe = deg(2);

else

Fe = par(12);

end;

Cre = par(13);

dy(1) = (Fe/V)*(Cre-y(1)) - k0*exp(-E/(R*y(2)))*y(1);

dy(2) = (Fe/V)*(Te-y(2)) + ((DH*k0*exp(-E/(R*y(2)))*y(1))/(Ro*Cp)) - ...

(U*A*(y(2)-Th)/(V*Ro*Cp));

dy = dy(:);

Função “dcstrdeg” (continuação):

MA

TL

AB

Bás

ico

Exemplo8

MA

TL

AB

Bás

ico

Uma das grandes vantagens no uso de ferramentas computacionais é reduzir o nosso esforço repetitivo, tarefa para a qual o computador é muito eficiente. Supomos que

temos um processo no qual gostaríamos de testar uma série de condições iniciais. Para cada nova condição inicial

teríamos de refazer todas as contas. Um esforço enorme! As linguagens de programação, e o Matlab em particular,

resolvem esse problema facilmente usando o já apresentado comando “for”.

Usaremos o mesmo reator CSTR do exemplo anterior.

MA

TL

AB

Bás

ico

% Definição das constantes do modeloU =50; % BTU/(h.ft2.R)A = 120; % ft2DH = -30000; % BTU/lbmRo = 50; % lb/ft3Cp = 0.75; % BTU/(lbm.R)E = 30000; % BTU/lbm R = 1.99; % BTU/(lbm.R)k0 = 7.08e10; % 1/h V =48; % ft3Te = 580; %R Th = 550; %RFe = 18; % ft3/h Cre = 0.48; % lbm/ft3 % Tempo de simulaçãot = 0.0 : 0.01 : 10.0; %h % Condições iniciaisCr0 = [0.16 0.32 0.48 0.64]; % lbm/ft3T0 = 603; %R

Programa principal:

continua...

MA

TL

AB

Bás

ico

% Simulação e visualização do modelo em bateladacor = 'brmk';leg = ['Cr0=0.16'; 'Cr0=0.32'; 'Cr0=0.48'; 'Cr0=0.64'];

for aux = 1 : length(Cr0) [t,y] = ode45('dcstr',t,[Cr0(aux) T0],[], [U A DH Ro Cp E R k0 V… Te Th Fe Cre]); % Visualização da simulação figure(1); hold on; plot(t,y(:,1),cor(aux)); title('CSTR com Reação Exotérmica'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Concentração de Reagente (lbm/ft3)'); figure(2); hold on; plot(t,y(:,2),cor(aux)); title('CSTR com Reação Exotérmica'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Temperatura (R)');end;


continua...

MA

TL

AB

Bás

ico

figure(1); legend(leg);figure(2); legend(leg);hold off;


A seqüência de cores usadas é dada pelo vetor “cor”, “letra a letra” através da flag. Consulte o comando “plot” para detalhes.

Dica!

MA

TL

AB

Bás

ico

Carlos André Vaz Junior

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http://www.eq.ufrj.br/links/h2cin/carlosandre

carlos andré vaz junior cavazjunior@gmail eq.ufrj.br/links/h2cin/carlosandre

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