cartilla de matemáticas(1)

7/25/2019 Cartilla de Matemticas(1)

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CARTILLA DE MATEMTICAS

CONJUNTOS NUMRICOS:

- N. Naturales: Todos los nmeros enteros positivos desde 1 hasta infinito.

= 1, 2,3 , - N. Enteros: Todos los nmeros diferentes de cero y sin parte decimal.

= ,3,2,1} U { 1, 2,3 , - N. Racionales: Todo nmero que se pueda expresar como cociente de dos nmerosenteros.

Q = 0,

3

4,

4

3, 2 ,

2 , 34.65 , etc.

N. decimales: Todo nmero racional cuyo denominador es una potencia de 10.

D = 310

,324

100 , 0.2 , 0.001 , 34.65 , etc.

- N. Irracionales: Todo nmero que NOse pueda expresar como cociente de dos nmerosenteros.

I = , , ln2,2,3 , etc.- N. Reales: Es la unin de nmeros racionales e irracionales.

R = IUQ ; R = 0, 34

,4

3, , , ln2,2 ,3 , etc.

REGLA DE TRESPermite encontrar un trmino desconocido en una proporcin de dos variables.

SIMPLE:Cuando las variables sondirectamente proporcionales.

=

COMPUESTA:Cuando las variables soninversamente proporcionales.

=


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TIPOS DE NGULOS

AGUDO

Un ngulo agudo es aquel que mide menosde 90

OBTUSO

Un ngulo obtuso es aquel que mide ms de90

RECTO

Un ngulo recto es aquel de mide 90

LLANO

Un ngulo llano es aquel que mide 180

COMPLEMENTARIO

Dos ngulos complementarios son aquelloscuya suma es 90

SUPLEMENTARIO

Dos ngulos suplementarios son aquelloscuya suma es 180

CUESTIONARIO:

- D un ejemplo de dos variables inversamente proporcionales y otro de dos variablesdirectamente proporcionales.

-

Qu ngulo es complementario a s mismo?

- Puede un ngulo obtuso tener ngulo complementario y suplementario?

- Puede un ngulo llano tener ngulo complementario y suplementario?

-

Qu tipo de ngulo es el suplementario de un ngulo agudo?


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TIPOS DE TRINGULOS

Equiltero:

Todos sus lados son iguales, por lo tanto sus ngulos internostambin.

Issceles:Tiene dos ngulos iguales, por lo tanto la longitud de dos de suscatetos son iguales.

Escaleno:Todos sus ngulos internos son distintos, por ende, la medida desus catetos tambin lo es.

Rectngulo:Uno de sus ngulos es recto (mide 90), la longitud de suscatetos se relaciona mediante el teorema de Pitgoras.

- CUESTIONARIO:

- Cuntos grados deben sumar los ngulos internos de un tringulo?

-

Un tringulo puede ser rectngulo y escaleno a la vez?

- Qu tipos de ngulos son y en un tringulo rectngulo?

- Uno de los ngulos de un tringulo rectngulo mide 60. Cunto miden los otrosdos ngulos?


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TEOREMA DE PITGORAS Y RELACIONES TRIGONOMTRICAS

Este teorema relaciona los catetos y la hipotenusa de un tringulo rectngulo.

= 2 + 2 = 2 2 = 2 2

Para las relaciones trigonomtricas podemos utilizar el acrstico SOHCAHTOA

EJERCICIO:

- Encuentre los valores del ngulo y de la hipotenusa para elsiguiente tringulo.

= SOH

= CAH

= TOA

4 cm

5 cm


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PERMETROS REAS Y VOLMENES

=

=

=

= = + = =

= = +

=

=

(

+

)

=

=

(

+

)

= = = =

- CUESTIONARIO:

- Qu es el dimetro de una circunferencia, cul es su relacin con el radio?

- Cmo se hallara el rea de un crculo y el permetro de una circunferencia entrminos del dimetro y no del radio?


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EJERCICIO CON SOLUCIN:

Para construir espejos en vidrio, una empresa disea piezas tipo A de forma de hexgonoregular, obtenidas del mayor tamao posible a partir de lminas circulares de vidrio de 1metro de radio. Cortando por la mitad las piezas tipo A, se obtienen piezas tipo B.

El rea que cubren 4 piezas tipo B, dispuestas como lo indica la figura, es


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SOLUCIN PROPUESTA:

Al dividir los Hexgonos por la mitad, se forman trapecios y su rea se define por:

=

+2

Siendo: B=Base mayor b= Base menor h = Altura

El crculo del cual se tomaron los espejos hexagonales, tiene un radio de 1m y un dimetrode 2m. Por lo tanto, el trapecio tendr las siguientes dimensiones:

En este caso, no se conoce la altura del trapecio, para hallarla, se realiza el siguiente trazo:

Obteniendo as un tringulo rectngulo del cual se conoce su base y su hipotenusa,

mediante el teorema de Pitgoras se puede encontrar la altura del tringulo:

= 12 122

= 34

2

Reemplazando en la ecuacin dada para hallar el rea del trapecio y multiplicando por elnmero de trapecios que tiene la figura, se obtiene:

rea de = 4 2+1342

= 4 3 3 42

= 33


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FRACCIONES, PORCENTAJES Y DECIMALES

Resulta til establecer la relacin que existe entre fracciones, decimales y porcentajes, enalgunas ocasiones, las tres son distintas maneras de escribir el mismo valor. De estamanera, es posible anotar que 24% representa 24 de cada 100 y 140% representa 140 de

cada 100. Por ejemplo:

66

100%

1.0

12

50%

0.5

34 75%

0.75

14 25%

0.25

32

150%

1.5

54

125%

1,25

VARIACIONES, PERMUTACIONES, COMBINACIONES Y PROBABILIDAD

COMBINACIN:

Agrupacin de elementos donde el orden no interesa.

ARREGLOS DE RBOL:

Permiten contar los casos que puedan presentarse en una situacin determinada.

Ejemplo:

La heladera Frutillar ofrece helados de cuatro sabores: Chocolate, vainilla, fresa yarequipe. Cuntos distintos conos de dos sabores se pueden preparar?

Como deben ser conos de distintos sabores y un cono no puede repetir sabor, se realiza elsiguiente rbol:


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Al contar los posibles arreglos se obtienen 6 conos distintos con distintos sabores.

PERMUTACIN:

Agrupacin de elementos donde el orden interesa.

VARIACIONES:

En cada casilla se coloca el nmero de alternativas que se tenga. Permite conocer el nmerototal de arreglos que se pueden realizar bajo diferentes condiciones, estas pueden ser con osin repeticin.

Ejemplos:

- Con repeticin

- Cuntos arreglos de nmeros de cinco cifras se pueden formar?

Como son cinco cifras, se colocan cinco casillas y en cada casilla, las opcionesexistentes. Como se admiten repeticiones, en cada casilla pueden ir 10 dgitos.

10 10 10 10 10 = 10 10 10 10 10 = 105-

Sin repeticin.

Cuntos arreglos nmeros de cinco cifras se pueden formar sin que se repita ningn

dgito?Como son cinco cifras, se colocan cinco casillas y en cada casilla, las opcionesexistentes. Como no se admiten repeticiones, en la primera casilla pueden ir 10dgitos, en la segunda casilla pueden ir 9 dgitos y as sucesivamente.

10 9 8 7 6 = 10 9 8 7 6 = 30240


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PROBABILIDAD

Mide la posibilidad de que ocurra un determinado evento. Este valor se encuentra entre 0 y1 y se define como:

=

De acuerdo a lo anterior, se puede decir que:

- La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es: = 1/2; puessolamente hay un caso favorable (cara) y dos casos posibles (cara y sello).

- La probabilidad de obtener el nmero 3 al lanzar un dado es: = 1/6; puessolamente hay un caso favorable (3) y seis casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6)

FUNCIONES

Una funcin presenta la relacin entre dos variables. Dicha funcin puede presentarsemediante un mtodo grfico. Para tratar este tema, pensemos en una colmena que cuenta elda de hoy con 400 abejas. Por lo tanto, el tiempo 0 ser hoy y la poblacin del tiempo 0ser 400.

Funcin constante:

= La colmena hace 10 aos, hoy y dentro de

10 aos, tiene una poblacin constante. Estafuncin no vara con el tiempo.

() = 400Funcin lineal con pendiente positiva:

= + La poblacin de abejas crece de manera

constante (Pendiente positiva), hace 10aos la colmena tena 0 abejas y dentro de10 aos, habrn aproximadamente 800abejas.

() = 40 + 400


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Funcin lineal con pendiente negativa:

= + La poblacin de la colmena decrece de

manera constante (Pendiente negativa), hace10 aos, la poblacin de abejas eraaproximadamente 800 y dentro de 10 aos,ser 0.

() = 40 + 400Funcin exponencial creciente:

=

1

La poblacin de abejas crece de maneraexponencial (Pendiente positiva), y hace 10aos el nmero de abejas era 0 y dentro de10 aos, ser mayor a 400

() = 400 (1.9) Funcin exponencial decreciente:

= < 1En este caso, es posible observar que lapoblacin decrece de manera exponencial(Pendiente negativa), hace 10 aos, elnmero de abejas era mayor a 400 y dentrode 10 aos el numero de abejasprcticamente se diezmar.

(

) = 400

(0.9)

- CUESTIONARIO:

- Cul es la relacin entre la funcin exponencial y el valor de a dado en lasecuaciones?


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ESTRATEGIAS DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS

1.

No intente construir ecuaciones, procure comprender su comportamiento y remplacevalores.

2.

Siempre, antes de reemplazar valores, entienda el comportamiento de las funciones,evala si segn el enunciado y el contexto, la funcin crece o decrece.

3. Cuando utilice una regla de tres, cercirese del tipo de relacin entre las variables(inversamente o directamente proporcional).

4. Verifique siempre que las unidades de la respuesta que est evaluando seancongruentes con la unidad requerida.

5. No es necesario que memorice cmo se calculan todas las reas, los permetros y losvolmenes. Sin embargo, debe entender cmo calcularlos y qu significa cada uno.

6. Antes de resolver un problema, intente si es posible, realizar una estimacin mentalaproximada del resultado, despus de resolver el problema, contraste esta solucincon su estimacin previa.

7. Analice si la solucin propuesta es razonable en el contexto del problema.

8. Recuerde que en la mayora de las ocasiones, toda la informacin que usted requierepara solucionar el problema, se encuentra en el contexto de la pregunta.

9. En general, las preguntas de matemticas no requieren de largos procesosalgebraicos sino de rpidos y sencillos procesos mentales.

10.Recuerde que el ICFES pregunta por la respuesta correcta y no por las opcionesverdaderas, por lo tanto, antes de elegir una respuesta, evale todas las opciones.


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PREGUNTAS

Se realizaron unas pruebas con esferas de un metal experimental. Se descubri que si sedeja caer a una determinada altura una esfera de volumen V se divide en dos esferas de

volumen V/2 y luego estas esferas, al caer desde la misma altura, se dividen en cuatroesferas de volumen V/4 y as sucesivamente. A continuacin se muestra un dibujo querepresenta la prueba planteada:

1. Se encontr una regularidad frente al aumento de esferas por escaln, la expresin quemuestra el nmero de esferas en un escaln a partir del nmero del escaln esA.2n+1, porque si n es el nmero del escaln se logra 1,2,4,8,16... esferas, empezando desdeel escaln ceroB.2 n, debido a que se logra el nmero de esferas esperadas en los escalones 1 y 2 si nrepresenta el nmero del escalnC. 2n-1, ya que representa el nmero de esferas de un escaln, siendo n el nmero delescaln siguiente al deseadoD.22, porque representa el nmero de esferas en el escaln dos

RESPONDA LAS PREGUNTAS 2 Y 3DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN

Camilo gan $1.600.000 en una rifa y no ha decidido si gastar ese dinero o invertirlo en unaentidad financiera que paga 10% de inters anual sobre el dinero que tenga invertido.

2.Si Camilo decide guardar el dinero en su casa y gastar cada semana la mitad de lo que lequeda. La expresin que representa el dinero que le queda al finalizar la sptima semana es

A. (1.600.000)

B. (1.600.000) x 7

C. )(1.600.0002

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D. )(1.600.0002

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3. Si Camilo decide invertir todo el dinero que gano en la entidad financiera y no haceretiros, transcurridos n aos la cantidad de dinero que Camilo tiene en el banco esta

representada por la expresin

A.n

10

11.600.000

B.n

10

111.600.000

C.101.600.000 n

D.10

1.600.0001.600.000 n

RESPONDA LAS PREGUNTAS 4 Y 5DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIN

El siguiente plano representa la avenida central y sus dos zonas verdes, las cuales ocupanigual rea, adems muestra el trfico a cierta hora del da

4.Un taxi que parte del centro hacia la iglesia San Mateo, a velocidad constante, no puedecontinuar por la avenida central y debe desviar por una de las vas alternas. Para gastarmenos gasolina, el taxista debe

A.desviar por la avenida L, porque el ngulo es mayor que el ngulo a


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B.elegir cualquiera de los desvos, porque las zonas verdes son de igual reaC.desviar por la avenida S, porque recorrer una distancia menorD.desviar por la avenida L, porque la zona verde L es de menor rea que la zona verde S

5.Se tienen 450 metros de malla para encerrar las dos zonas verdes y evitar que las motos

daen los jardines. El ingeniero encargado afirma de la cantidad de malla disponible, queA. no se puede calcular cuanta malla se necesita para las dos zonasB. sobran ms de 40 metros de malla para encerrar los dos parquesC. dado que el rea de las dos zonas es el doble de su permetro, la cantidad de malla no essuficienteD.slo alcanza para la zona ms grande y la mitad de la otra

ENTRENAMIENTO DE ATLETISMO

La grfica muestra la distancia recorrida por Pedro, Pablo y Juan durante un entrenamientode atletismo.

6.De la grfica anterior se puede afirmar que:

A.los tres atletas recorrieron la misma distancia.B.los tres atletas estuvieron corriendo durante el mismo tiempo.

C.Pablo recorri ms distancia que Pedro y ms que Juan.D.Pedro corri durante menos tiempo que Juan y que Pablo.

7.Durante el entrenamiento, la mayor velocidad que alcanz Pablo la obtuvo

A.en los primeros 20 minutos.B.entre el minuto 20 y el minuto 30.


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C.entre el minuto 30 y el minuto 60.D. en los ltimos 40 minutos.

8.La relacin entre la distancia d recorrida por Juan y el tiempo t empleado para recorrerlaest representada por la ecuacin

A.

d=15t+100B. d=100t+15

C. d= 1510

1t

D. d=10t+100

9. El siguiente dibujo representa el diseo de una piscina para nios que se quiere construiren un centro vacacional.

Para cubrir todas las paredes de la piscina con baldosas rectangulares del mismo tamao yevitar desperdicios de material, debera usarse la baldosa representada en


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Para construir espejos en vidrio, una empresa disea piezas tipo A de forma de hexgonoregular, obtenidas del mayor tamao posible a partir de lminas circulares de vidrio de 1metro de radio. Cortando por la mitad las piezas tipo A, se obtienen piezas tipo B.

10. Las piezas tipo Ay B se venden a $17.000 y $10.000 respectivamente. La empresavende 5 piezas y recibe un pago por un valor total de $63.900. Si se sabe que sobre estacompra se hizo un descuento del 10% sobre el precio total de las piezas, cuntas piezas sevendieron de cada tipo?

A. 2 del tipo A y 3 del tipo B.

B. 3 del tipo A y 2 del tipo B.C. 4 del tipo A y 1 del tipo B.D.1 del tipo A y 4 del tipo B.

NUMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

Si usted no es matemtico y no tiene ninguna relacin con la matemtica, las definicioneseje nmero racional y nmero irracional no le impresionarn demasiado. Nmero racionales aqul que se puede expresar como cociente de dos nmeros enteros, mientras que

nmero irracional es aquel que no admite una expresin de este tipo. Los nmerosracionales e irracionales, constituyen lo que se conoce como nmeros reales y se puedenexpresar en forma decimal y ordenar sobre una lnea que se denomina la recta real.

Cuando escribimos 2 o cualquier otro nmero irracional en forma decimal,

encontramos que su desarrollo infinito no consiste en un grupo de cifras que se repiteperidicamente. Por el contrario, los nmeros racionales 'tienen sucesiones de dgitos que


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se repiten. Los nmeros 5.3, 0.875, 03846 son todos nmeros racionales, sus cifras

decimales se repiten. Las expresiones decimales de 2, , e, no presentan dicha

repeticin. En el conjunto de todas las expresiones decimales (es decir, en el conjunto detodos los nmeros reales) es mucho mas raro que haya una pauta y una repeticin que la

ausencia de las mismas. La armona es siempre mucho ms rara que la cacofona.11. El nmero real

0, 5= ...10000

5

1000

5

100

5

10

5 ; es un nmero:

A. racional menor que 5/8.B. irracional menor que 5/10.000.C. irracional, porque su expresin decimal es infinita.D. racional porque su expresin decimal es infinita no peridica.

12.En la recta numrica que se muestra, se han localizado dos nmeros reales 2 y (

2 + 1).

La afirmacin "Entre los puntos P y Q es posible ubicar otro nmero irracional" es

A. falsa, porque ( 2 + 1) es el siguiente de 2.

B. verdadera, porque un irracional que est entre P y Q es 3.

C.

falsa, porque solo se pueden ubicar racionales entre P y Q.

D.

verdadera, porque un irracional que est entre P y Q es2

2-1)+2(.

DISEO DE PLACAS

El Ministerio de Transporte es la institucin en Colombia encargada de disear y establecerlas caractersticas de la placa nica nacional para los vehculos automotores. A partir de1990 las placas tienen tres letras y tres dgitos, debajo llevan el nombre del municipiodonde se encuentra matriculado el vehculo. Para la fabricacin de las placas se utilizan 27letras y 10 dgitos. La empresa que fabrica las placas ha comprobado que de unaproduccin de 100 placas fabricadas aproximadamente 5 tienen algn defecto.


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13.El nmero total de placas distintas que se pueden fabricar cuya parte inicial sea como semuestra en la ilustracin es

A. 20 B.90 C.100 D.270

14.La primera letra de la placa de los carros particulares matriculados en Bogot es A o B.El nmero total de placas que pueden fabricarse para identificar carros particularesmatriculados en Bogot es

A.

27

2

x10

3

B. 273x102C. 2x272x102D. 2x272x103

15.Antes de 1990 las placas que se fabricaban tenan dos letras y cuatro dgitos. La raznentre el nmero total de placas que pueden fabricarse en la actualidad y el nmero total deplacas que podan fabricarse antes de 1990 es

A. 8/9

B.

9/8C. 10/27D. 27/10

16.Si se escoge al azar una placa de una muestra de 100, la probabilidad de que la placaescogida sea defectuosa es

A. 1/5B. 1/20C. 1/95D. 1/100

17. Para obtener 190 placas no defectuosas el nmero mnimo de placas que se debenfabricar es

A.

195B. 200C. 209


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20

D. 290

DEFORESTACION

En la ltima dcada se ha observado que debido a la deforestacin, la extensin de unbosque se ha venido reduciendo aproximadamente en un 10% anual. Actualmente el bosquetiene una extensin de 200 km2.

18.El bosque tendr una extensin menor de 130 km2cuando hayan transcurrido

A. 2 aos.B. 3 aos.C. 4 aos.

D. 5 aos.

19.La grfica que representa la relacin entre la extensin E del bosque y el tiempo t es

20.La expresin que representa la extensin E del bosque en funcin del tiempo t es

A. E = 200(0,9)t

B. E = 200(0,1)t

C. E = 200-0,2tD. E = 200-0,8t

RECIPIENTES

Se tienen los siguientes recipientes, uno de forma semiesfrica, uno cilndrico y otro deforma cnica de radio R y altura h como se muestra en la ilustracin


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21.Respecto a la capacidad de estos recipientes NO es correcto afirmar que

A. La capacidad del 2 es el triple del 1.B.La capacidad del 3 es el doble del 1.C. La capacidad del 3 es la mitad del 1.D. La capacidad del 1 es la tercera parte del 2.

22. Si R = 3 dm, las capacidades de los recipientes 1, 2 y 3 expresadas en litros, sonrespectivamente

A. 6 , 18 y 12 .B. 0,6 , 1,8 y 1,2 .C. 18 , 54 y 36 .D. 0,18 , 0,54 y 0,36 .

23. Si el recipiente 2 tiene forma de cilindro circular recto y el material utilizado paraconstruirlo, sin tapa, es 1071 se puede determinar el radio de este recipiente resolviendo la

ecuacinA. R22 = 0B. R210 = 0C. 2R25 = 0D. 3R25 = 0

RESPONDA LAS PREGUNTAS 24 Y 25 DE ACUERDO A LA SIGUIENTEINFORMACIN

La panadera La suprema produce 100 tortas diarias. Todas tienen cubierta de chocolate.

Sin embargo, cada torta puede tener relleno de dos sabores distintos. Los saboresdisponibles son mora, fresa, lulo, maracuy y vainilla. El siguiente es un modelo de lastortas:


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24.Una de las tortas es dividida en cuatro porciones iguales. La ecuacin que describe elvolumen ocupado por una de las porciones en trminos del radio y la altura es:

A.

V = 0,4 (2)B.

V = 0,25 (2)C.

V =1

42

D.

V =( 22)

4

25.Cuntos tipos de torta distintos se pueden preparar?

A.

10B. 20C. 15D. 25


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RESPUESTAS Y BIBLIOGRAFA

MATEMTICASPregunta Opcin propuesta

1 C2 D3 B4 C5 B6 D7 A8 C9 C

10 B11 A12 B13 C14 D15 D16 B17 B18 D19 D20 A21 C22 C23 A24 B25 A

Bibliografa empleada para realizar la cartilla:

ICFES. (2004 - 2007). www.icfes.gov.co. Recuperado el 17 de Marzo de 2013, de ICFES, Pruebas

aplicadas .


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