CASO e CAOS

Dottorato in Storia e Didattica delle Matematiche, della Fisica e della Chimica

Dott. Lucia La Fata

DETERMINISMO

CASO

CAOS

Obiettivi generali della ricerca

Individuare strategie didattiche, percorsi e strumenti per introdurre i fondamenti della teoria del caos deterministico

Progettare e validare sequenze di insegnamento/apprendimento inerenti il caso ed il caos deterministico in fisica

Analizzare i cambiamenti concettuali riguardanti le rappresentazioni mentali dei fenomeni fisici oggetto di studio

Stile di insegnamento/apprendimento

Educational Reconstruction(Duit e Komorek, 1996)

Coinvolge infatti una sostanziale modifica sia nella sequenza di apprendimento che nel ruolo

dell’insegnante che nei metodi di insegnamento

Fasi della ricerca

Scelta ed analisi del contenuto fisico

Costruzione della sequenza di insegnamento/apprendimento e

degli strumenti di indagine

Sperimentazione in classe

Valutazione della sperimentazione

• Il contenuto fisico è stato analizzato sia dal punto di vista scientifico che educativo. Vale a dire, oltre ad una analisi della letteratura, è stata fatta una valutazione della valenza didattica dell’argomento scelto a partire da una riflessione storico -epistemologica.

• Sono stati evidenziati i modelli spontanei degli studenti e attraverso ciò che c’è in letteratura e con uno studio preliminare

• Sono stati evidenziati i cosiddetti nodi concettuali al fine di delineare l’idea centrale del percorso.

• Sono stati costruiti gli strumenti didattici

Argomento: Determinismo, Probabilità e Caos in fisica

Quale idea hanno i nostri alunni della fisica?

• La Fisica si occupa dello studio delle leggi che regolano i fenomeni naturali e le interazioni dei costituenti della materia.

• Generalmente l’approccio di un fisico è quello di rendere il problema il più semplice possibile, cercando di individuare le caratteristiche fondamentali del fenomeno in studio e trascurando il resto.

• Ad esempio: lo studio del moto di un grave o di un pendolo, trascurando l’attrito

• Questo metodo riduzionista ha portato a degli enormi successi, ma si basa sull’idea, non sempre valida, che basta scomporre un oggetto o un fenomeno in quelle che sono le sue parti fondamentali per spiegarne il suo comportamento complessivo

• Non è sempre realistico descrivere con semplici figure geometriche (coni,cerchi,cubi,triangoli, ecc.) gli oggetti che vogliamo studiare

• Le singole componenti di un sistema fisico non interagiscono sempre debolmente, ma sono spesso fortemente accoppiate con termini non lineari. Ad ad esempio a differenza della semplice forza elastica F = −kx che contiene solo un termine lineare, èspesso più realistico considerare dei termini quadratici o di ordine superiore

• Il tutto non è sempre la semplice somma delle singole parti.

• I fenomeni naturali sono in generale più complessi di quanto a prima vista possa spesso sembrare ….

Basta guardarsi intorno.

In realtà …

DETERMINISMO CLASSICO• Scriveva Laplace (1814):

Dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell’universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato futuro. Un’intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze di cui è animata la natura e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se per di più fosse abbastanza profonda per sottomettere questi dati all’analisi, abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo e dell’atomo più leggero: nulla sarebbe incerto per essa e l’avvenire, come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi.

Noto lo stato del sistema a

t=t0

Conosco lo stato del

sistema a ogni tempo t

successivo

Pierre Simon de Laplace(1749-1827)

Tutto ciò si pone in palese contrasto con la realtà che ci circonda.

Perchè• il moto della pallina alla roulette• il moto di una piuma che cade• il tempo che farà fra due settimane• il gocciolamento di un rubinetto• i terremoti

sembrano essere dominati dal caso e sfidano la nostrapossibilità di previsione, nonostante siano tutti fenomenidescrivibili con leggi deterministiche?

Come conciliare l’assunto fondamentale di Laplace con l’apparente irregolarità di

questi e altri fenomeni?

Una maniera potrebbe essere quella di pensare che molti fenomeni sembrano irregolari a causa delle difficoltà di calcolo dovute ad esempio al fatto che l’evoluzione temporale del sistema è data da un numero molto grande di equazioni.

Magari con l’uso di computers abbastanza potenti riusciamo a risolvere il problema

L’irregolarità la possiamo pensare quindi solo come “apparente”

(dovuta a un numero molto grande di cause ognuna delle quali è però semplice)

Il moto browniano:moto di un granello di polline immerso in un liquido a temperatura T

Secondo l’impostazione meccanicistica: scriviamo le equazioni che governano il moto di tutte le molecole e del granello e conosceremo tutto del nostro sistema.

Ma quante equazioni dovremmo scrivere?

Langevin propone di scrivere una sola equazione per il moto del granello che tenga conto della forza media dovuta all’attrito col fluido e degli urti delle molecole.

Passiamo ad un approccio di tipo statistico che ci permette di fare previsioni.

Ad esempio, Einstein determinò il coefficiente di diffusione …

Un nuovo approccio per lo studio di sistemi a molte particelle:

• Con la nascita della meccanica statistica si rinuncia alla descrizione e previsione dei sistemi termodinamici in termini accurati e si passa ad un tipo di previsioni di tipo statistico.

• Si passa a considerare i valori medi delle grandezze fisiche.

• Questo approccio permette di determinare molte proprietà macroscopiche a partire dalla conoscenza delle interazioni microscopiche tra le particelle

Schemi probabilistici diversi:Probabilità di tipo epistemica, vale a dire

dovuta all’ignoranza delle precise condizioni iniziali e di tutte le condizioni

al contorno del processo Rispecchia la posizione del matematico

francese Pierre-Simon de Laplace

Il Caso

Il Caos

Gli ostacoli sferici per il potere defocalizzantedelle superfici curve fanno sì che piccole

differenze iniziali vengano amplificate ….dopo pochi rimbalzi due traiettorie inizialmente simili

hanno una evoluzione completamente diversa

Rispecchia la posizione del matematico Jules-Henri Poincaré

Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancar di vedere, e allora diciamo che l’effetto èdovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell’universo all’istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero piùalcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto, che è governato da leggi. Ma non sempre è così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diventa impossibile e si ha un fenomeno fortuito.

Henri Poincarè(1854 – 1912)

Scriveva Poincarè in “Science etméthode”:

Altro schema:• Nello schema quantomeccanico non è il fatto che, per esempio, il

vettore di stato non sia mai determinabile con precisione assoluta o che la dinamica potrebbe essere del tipo che amplifica esponenzialmente gli errori a imporre che ci si debba accontentare di previsioni probabilistiche circa gli esiti dei processi di misura.

• L’aleatorietà degli esiti è incorporata nella struttura stessa del formalismo che, se assunto come completo, non consente neppure di pensare che, in generale, gli esiti siano, anche se in un modo a noi sconosciuto, predeterminati.

Cosa è il caos deterministico ?• Evoluzione temporale di un sistema deterministico

con dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.

• Non predicibilità dell’evoluzione del sistema a lungo termine

• Piccole differenze sulle condizioni iniziali si amplificano con crescita esponenziale, producendo traiettorie completamente imprevedibili.

Esempi di caos deterministico

Il matematico russoSinai ha provato in

maniera rigorosa chequesto tipo di biliardo

è caotico

Il biliardo di Sinai

Esempi di caos deterministico

Anche una semplicedeformazione dalla forma sferica può indurre una forte sensibilità alle condizioni iniziali.

Esempi di caos deterministicoIl biliardo a forma di stadio

Anche un semplice pendolo può mostrare un comportamento molto complicato ed impredicibile … se consideriamo lo smorzamento dovuto all’attrito ed una forza periodica esterna.

Esempi di caos deterministicoIl pendolo smorzato e forzato

Studio preliminare• Lo scopo di questo studio preliminare è stato quello di

rilevare i modelli spontanei degli alunni riguardo il concetto di probabilità e di densità di probabilità(applicato quest’ultimo a problemi fisici deterministici).

E’ stato somministrato un test in una classe di III liceo scientifico

Test Risultati

Esempio di risposta:Supponi di avere una moneta e di lanciarla 6 volte. Delle

seguenti sequenze di risultati pensi che ce ne siano piùprobabili di altre? Perché?

TTTTCCTCCTCTTCTTTCCTCTCT

8 Non penso che ci siano combinazioni possibili da indovinare, in quanto vi è sempre la possibilità del 50% che esca o testa o croce

9 d poiché c’è il 50% di probabilità che esca testa o croce ma comunque non è definibile

2 b perché la percentuale di testa e croce è uguale1 nulla

Esempio di risposta:Supponi di avere due scatole con delle palline rosse e nere. Nella prima vi sono 4 palline rosse ed una nera, nella seconda 8 rosse e due nere. Da quale scatola preferiresti prendere una pallina per avere maggiore probabilità di prelevare una pallina rossa?

10 non vi è nessuna differenza di probabilitàtra le due scatole poiché il loro rapporto è sempre di 4 a 15 si preferisce prendere la pallina dalla seconda scatola, poiché vi sono più palline rosse5 dalla prima scatola perché c’è una sola pallina nera e quindi c’è maggiore probabilità di prelevare una pallina rossa

Esempio di risposta:Supponiamo di lanciare in alto una pallina e di filmare il suo moto. Dove pensi sia piùprobabile trovare la pallina

• Nella regione A• Nella regione B• Nella regione C• Nelle tre regioni con uguale probabilità

1 c poiché è la regione più in basso1 c la pallina passerà due volte da C qualsiasi sia la forza esercitata. Una sola volta da A qualsiasi sia la forza esercitata . Due volte da b se esercitiamo una forza tale da farla arrivare ad A1 a perché durante il lancio la velocità della pallina diminuisce, quindi quando si troverà nella regione A ci starà più tempo1 a poiché dipende dalla forza impiegata per lanciare la pallina1 a poiché la pallina è stata lanciata e quindi si trova nel punto più alto5 a è più probabile trovare la pallina in A poiché è proprio in A che la sua velocitàper un istante è zero ed è proprio in A che inverte il proprio moto perdendo così piùtempo3 d perché dipende dalla velocità e dai tempi in cui si scattano le foto3 d perché dipende dalla forza applicata alla pallina3 d senza spiegazione1 nulla

Risultati dello studio preliminare1. Il test ha fatto rivelare nei nostri ragazzi alcuni dei misconcetti riportati in letteratura, ad esempio:

• Gambler’s fallacy: Molti degli studenti, ad esempio, pensano che il risultato di un lancio di una moneta èinfluenzato dai risultati precedenti.

• Represenattiveness: se supponiamo di lanciare per 6 volte una moneta e di avere come risultati TCTTTC, ripetiamo l’esperimento ed otteniamo TCCTCT. Di fronte alla domanda quale delle due sequenze è piùprobabile molti ragazzi rispondono la seconda basandosi sul fatto che si aspettano 3 volte testa e tre croce visto che per il singolo evento sappiamo che la probabilità che esca croce o testa è uguale ed è pari al 50%.

• Equiprobability bias: i ragazzi tendono a vedere tutti i possibili risultati di una situazione “puramente random” come egualmente probabile.

2. I ragazzi non avevano mai osservato un sistema fisico con un approccio di tipo statistico

L’idea centrale del percorsoDa un approccio fortemente deterministicoper lo studio del mondo fisico

Probabilità e densità di probabilità

Ad un approccio che includa il ragionamento probabilistico e la mancanza di possibilità di previsioni certe (caos deterministico) nello studio del mondo fisico

Negli OSA di Fisica per il quinto anno dei licei scientifico e tecnologico

Le basi della conoscenza in fisica- Descrivere fenomeni classici interpretabili in termini puramente deterministici, oppure mediante calcoli statistici, oppure soggetti alle leggi del caos e della complessità.

Le basi della conoscenza in fisica- Il problema della misura nella fisica classica: determinismo, descrizione statistica, complessità e caos.

AbilitàConoscenze

Probabilità

• Tale concetto verrà introdotto guardando prima al discreto e facendo leva sulle esperienze di vita quotidiana dei ragazzi (al fine anche di mettere in crisi i modelli spontanei dei ragazzi inerenti a tale concetto)

• Quindi verrà costruita la definizione frequentista di probabilità con semplici esperimenti e simulazioni che hanno per oggetto il lancio di monete o di dadi, l’estrazione di biglie da un’urna o di carte da gioco.

Densità di probabilitàTale concetto è stato introdotto attraverso lo studio statistico di moti periodici deterministici, vale a dire:

)(xvxt ∆

=∆

Consideriamo un corpo che si muove di moto periodico tra 0 e A, con periodo T; ci chiediamo quale è la probabilità di trovare il corpo C tra x e x+Dx. Partiamo con l’idea che la probabilità di trovare il corpo C in una piccola regione Dx è proporzionale a Dt, il tempo che il corpo trascorre in Dx. Quando Dx è piccolo e la velocità dell’oggetto non cambia rapidamente in Dx, Dt può essere approssimato per mezzo

Dato che il moto è periodico ed in un periodo il corpo passa due volte per Dx, il tempo che trasciìorre in Dx va moltiplicato per un fattore due. Dunque la probabilità P(x, Dx) è data da:

v(x) può facilmente essere ricavato utilizzando il principio di conservazione dell’energia, come:

Dove E è l’energia meccanica totale e V(x) è l’energia potenziale.

)(2),(2),(

xvx

TTxxtxxP ∆

=∆∆

=∆

mxVExv ))((2)( −

=

)(2),()( lim

0 xvTxxxPx

t=

∆∆

=→∆

ρ

A questo punto possiamo definire la densità di probabilità come :

Ovviamente con la condizione di normalizzazione:

122)(0

2/

00

==== ∫∫∫ ∫LTT

vdx

TTdt

Tdtdxxρ

Densità di probabilità

In certe posizioni la velocità può diventare zero, facendo cosìandare r(x) a infinito. Ma tipicamente questa singolarità èintegrabile e la probabilità in una piccola regione attorno a quel punto è finita.

Moti studiati:

Moto a velocità costanteMoto con una velocità che cresce linearmente con t

Moto su una guida a forma di semicerchio

Moto su una guida a forma di parabola

Analisi video e confronto con i dati teorici

densità di probabilità

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 10 20 30 40 50

posizione x (cm)

pro

babi

lità

sperteor

densità di probabilità

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 10 20 30 40 50posizione x (cm)

prob

abili

tà

sper

teor

Moto a velocità costante

Moto con una velocità che cresce linearmente con t

Analisi video e confronto con i dati teorici

densità di probabilità

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 5 10 15 20 25posizione x (cm)

prob

abili

tà

sperteor

densità di probabilità

00,05

0,10,15

0,20,25

0,30,35

0 5 10 15 20 25posizione x (cm)

prob

abili

tà

sper

teor

Moto su una guida a forma di semicerchio

Moto su una guida a forma di parabola

Sequenza didatticaTest iniziale sui

modelli spontanei

Costruzione del concetto di probabilità

(caso discreto)

Costruzione del concetto di densità di probabilità (caso

continuo) attraverso lo studio di moti periodici

Osservazione di un moto deterministico e di un

moto caotico (ad esmpioil pendolo di TOD o

l’acrobata)

Esperimento ed analisi video di un moto caotico

Modellizazione con l’ausilio degli strumenti informatici

Test finale sui moti caotici

Obiettivi didattici

• Descrivere il moto di un corpo con un approccio di tipo statistico

• Evidenziare le caratteristiche di un moto deterministico e di un moto caotico

Esperimenti per lo studio di un semplice moto caotico

Esperimento / Video

Analisi video

Ricavare la densità di probabilità

Simulazioni con il foglio elettronico EXCEL

Vai alla simulazione

Vai alla simulazione

Applet per la simulazione del comportamento caotico di un biliardo

Vai all’applet

Simulazione per lo studio del comportamento di un pendolo: da

periodico a caotico

Vai all’applet