catatan fismat

202
Catatan Kuliah Matematika untuk Fisika Ahmad Mukhlis Anshori

Upload: dheera-al-ansar-gheztro

Post on 09-Apr-2016

46 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

cacatan fisika matematika

TRANSCRIPT

Page 1: Catatan Fismat

Catatan Kuliah Matematika untuk

Fisika

Ahmad Mukhlis Anshori

Page 2: Catatan Fismat

1

el-Madani

Karya sederhana ini kudedikasikan bagi

Purwaning Handayani

Azwa Safrina el Madani

Page 3: Catatan Fismat

2

el-Madani

ALJABAR VEKTOR

Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah, serta memiliki perilaku

terhadap transformasi. Vektor sangat bergantung pada besar dan arahnya. Vektor

dikatan tetap jika besar dan arahnya tetap. Jika salah satu vektor memiliki besar tetap

tetapi arahnya berubah, maka vektor tersebut dikatakan berubah. Contoh besaran

vektor adalah gaya (penyebab perubahan gerak). Sifat-sifat besaran vektor antara

lain adalah

1. � + �� = �� + � ...........(komutatif)

2. �� + �� � + � = � + ��� + ��...............(asosiatif)

3. � + 0� = 0� + � = �

Vektor nol �0� � adalah vektor yang jika dijumlahkan dengan vektor yang lain

maka hasilnya adalah vektor yang lain, atau dengan kata lain vektor nol

adalah yang tidak memberikan efek apapun pada penjumlahan.

4. ∀�,∃− � sedemikian rupa sehingga � + �−�� = 0�

−� adalah vektor negatif dari �. Vektor negatif adalah vektor yang besarnya

sama dengan vektor positifnya tetapi arah berlawanan. Gambar di bawah

merupakan ilustrasi dari vektor positif dan negatifnya. Arah panah

� + �� ��

�� + � ��

� + ��� + ��

��

�� + �

�� + �� � + �

��

� + ��

Page 4: Catatan Fismat

3

el-Madani

berlawanan menyatakan arah vektor yang berlawanan, sedangkan panjang

panah sama menyatakan besar kedua vektor sama ���� = �−���.

Jika diketahui dua vektor yaitu � dan �� maka dapat ditemukan vektor � = � +

�� . Untuk menemukan selisih antara � dan �� �� − �� �, maka harus ditentukan

dulu vektor −�� kemudian dijumlahkan dengan vektor �.

� + �−�� � = � − ��

Untuk � ∈ ℝ , � adalah vektor, maka perkalian � dan � akan diperoleh vektor

lain.

�� → a. besarnya = |�|���

b. arahnya paralel dengan arah � (bisa searah atau berlawanan)

Jika � < 0 maka �� berlawanan arah dengan �

Jika � > 0 maka �� searah dengan �

5. (� + �)� = �� + ��

6. ��� + �� � = �� + ���

7. (��)� = ����� = �����

8. 1� maka :

i. Karena 1 positif maka arahnya sama dengan arah �

ii. �1�� = |1|��� = ���

iii. Karena besarnya 1� sama dengan besarnya � dan arahnya sama

dengan arah � maka dapat disimpulkan bahwa 1� = �

Vektor Satuan

Jika � adalah vektor, maka ��� adalah vektor satuan dari � yang memenuhi syarat

sebagai berikut.

1) ��� searah dengan vektor �

−� � + �� ��

� −��

� − ��

Page 5: Catatan Fismat

4

el-Madani

2) Besarnya ��� adalah satu satuan

Buktikan bahwa ��� =�

���� !

Jawab :

���� searah dengan � karena

���> 0 dan skalar, sehingga arahnya akan mengikuti

arah dari vektor �

����� =1

������ =

���

���= 1 satuan

Sehingga

��� =1

����

������ = �

Contoh : Hukum Hubble

Dalam hukum Hubble disebutkan bahwa kecepatan galaksi menjauhi galaksi kita

memenuhi persamaan �� = ���� dimana

�� adalah kecepatan galaksi terhadap galaksi bimasaki

�� adalah konstanta Hubble

�� adalah posisi galaksi terhadap bimasakti

Tentukan kecepatan galaksi G’ jika pengamat berada di galaksi G

���� = ��� − ��

���� = ����� − ����

���� = ��(��� − ��)

���� = ��(����)

��

���

����

��

����

���

Bima Sakti

G

G’

Page 6: Catatan Fismat

5

el-Madani

HASIL KALI SKALAR

� ∙�� memenuhi sifat berikut

1. � ∙�� = �� ∙�

2. � ∙��� + �� = � ∙�� + � ∙�

3. � ∙���� � = ��� ∙�� �

4. � ∙� ≥ 0

5. � ∙� = 0 ↔ � = 0�

Buktikan ���� ∙�� = �(� ∙�� )!

Jaw ab:

���� ∙�� = �� ∙����

���� ∙�� = ���� ∙��

���� ∙�� = ��� ∙�� �

Salah satu contoh hasil kali skalar adalah � ∙�� = ������ � cos�

� ∙� = ������ cos�

� ∙� = ������ cos�

� ∙� = ����1

� � ∙� = ���

Buktikan 0� = 0� !

� = � = 1�

� = (1+ 0)�

� = � + 0�

� − � = � − � + 0�

0� = 0� + 0�

0� = 0�

Tentukan nilai dari �0� � !

0� ∙0� = (0�)∙(0�)

0� ∙0� = 0(� ∙�)���������

0� ∙0� = 0

θ

��

Page 7: Catatan Fismat

6

el-Madani

Maka

�0� � = �0� ∙0�

�0� � = √0 = 0

Andaikan ��� = 0 tetapi � ≠ 0� maka

� ∙� = ������ cos∠��,��

� ∙� = ���0cos∠��,��

� ∙� = 0

Dan

� ∙� = ������ cos0

� ∙� = 0

Karena ��� = 0 tetapi � ≠ 0� maka

� + � ≠ �

Kedua ruas diproduk skalarkan dengan � + � sehingga diperoleh

�� + �� ∙�� + �� ≠ � ∙�� + ��

� ∙� + � ∙� + � ∙� + � ∙� ≠ � ∙� + � ∙�

������ cos0+ 0+ 0+ 0 ≠ ������ cos0+ 0

����≠ ���

Dengan mengandaikan ��� = 0 tetapi � ≠ 0� ternyata menimbulkan kontradiksi,

sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak mungkin ada vektor yang besarnya nol

tetapi vektor tersebut bukan vektor nol. Atau dengan kata lain bahwa vektor nol �0� �

adalah satu-satunya vektor yang besarnya nol.

Andaikan � = ���+ ���+ ���� dan �� = ���+ ���+ ���� maka

� ∙�� = ����+ ���+ ����� ∙����+ ���+ �����

� ∙�� = ������∙�+ �����∙�+ �����∙��� + ������∙�+ �����∙�+ �����∙���

+ �������∙�+ ������∙�+ ������∙���

� ∙�� = (����1+ ����0+ ����0)+ (����0+ ����1+ ����0)

+ (����0+ ����0+ ����1)

� ∙�� = ���� + ���� + ����

Page 8: Catatan Fismat

7

el-Madani

Untuk mencari sudut yang dibentuk oleh vektor � dengan �� dapat ditentukan dengan

cara berikut

� ∙�� = ������ � cos�

cos� =� ∙��

������ �

cos� =���� + ���� + ����

���� + ��� + ������� + ��� + ���

� = cos�� ����� + ���� + ����

���� + ��� + ������� + ��� + ����

HASIL KALI SILANG

� × �� → besaran yang memiliki besar dan arah

� × �� akan memenuhi

1. Besarnya = ������ � sin(< � ,�� )

2. Arahnya tegak lurus � dan �� sesuai dengan sekrup putar kanan

Sifat Hasil kali silang

1. � × �� = −��� × ��

2. � × ��� + �� = � × �� + � × �

3. � × ���� � = ��� × �� �

4. �� × �� � × � ≠ � × ��� × ��

5. �� × �� � × � + ��� × �� × � + �� × �� × �� = 0 →Identitas Jacobi

Buktikan �0� = 0� dan �� = 0� ↔ � = 0� !

Jawab :

�0� = �(0�)

�0� = (�0)�

�0� = 0�

�0� = 0�

��

� × �� �

��

�� × �

Page 9: Catatan Fismat

8

el-Madani

�� = 0�

�� �1

�� = 0� �

1

��

� = 0�

Buktikan � × � = 0� !

Jawab :

� × �� = −��� × ��

� × �� + �� × � = 0�

Kasus khusus jika �� = � maka

� × � + � × � = 0�

� × �� + �� = 0�

� × 2� = 0�

2�� × �� = 0�

� × � = 0�

Makna geometris dari �� × �� � adalah luas jajargenjang yang dibentuk oleh vektor �

dan ��

HASIL KALI TRIPLE

�� × �� � ∙� = � ∙��� × ��

Makna geometrisnya adalah volume paralelogram yang dibentuk oleh vektor �, ��

dan �

��� � sin� ��

�� × �� �

��

� � × ��

� ��� cos�

Page 10: Catatan Fismat

9

el-Madani

�� × �� � × � = �� ∙���� − ��� ∙���

Vektor dapat diuraikan menjadi vektor-vektor

yang saling bebas linear, salah satu contohnya

adalah vektor yang saling tegak lurus.

� = �� + ��

� = ���+ ���

{�,�} adalah basis dimana

� searah dengan membesarnya x

� searah dengan membesarnya y

� = �� + �� + ��

� = ���+ ���+ ����

�∙� = �∙����+ ���+ �����

�∙� = �∙(���)+ �∙(���)+ �∙������

�∙� = ��(�∙�)+ ��(�∙�)+ ����∙���

�∙� = ��

�∙� = �∙����+ ���+ �����

�∙� = �∙(���)+ �∙(���)+ �

∙������

�∙� = ��(�∙�)+ ��(�∙�)+ ����∙���

�∙� = ��

��∙� = ��∙����+ ���+ �����

��∙� = ��∙(���)+ ��∙(���)+ ��∙������

��∙� = �����∙�� + �����∙�� + �����∙���

��∙� = ��

Sehingga

� = ��∙���+ ��∙���+ ���∙����

Andaikan � = ���+ ���+ ����= 0� ↔ �� = 0,�� = 0,�� = 0

x

y

��

��

�� ���

���

y

x

z

�� �

�� �

�� �

�� ��

Page 11: Catatan Fismat

10

el-Madani

Bukti

�� = �∙�

�� = �∙0�

�� = �∙(0�)

�� = 0(�∙�)

�� = 0

�� = �∙�

�� = �∙0�

�� = �∙(0�)

�� = 0(�∙�)

�� = 0

�� = ��∙�

�� = ��∙0�

�� = ��∙(0�)

�� = 0���∙��

�� = 0

� = �� ↔�� = ��

�� = ��

�� = ��

Bukti

� = ��

� − �� = 0

(�� − ��)�+ (�� − ��)�+ (�� − ��)��= 0

�� − �� = 0

�� = ��

�� − �� = 0

�� = ��

�� − �� = 0

�� = ��

NOTASI SIGMA

Notasi sigma adalah cara penulisan penjumlahan maupun suatu bentuk kombinasi

linear, dengan menggunakan notasi sigma (∑). Tujuan penulisan dengan notasi

sigma adalah untuk menyederhanakan penulisan. Berikut ini adalah contoh penulisan

dengan notasi sigma.

���

��

���

= �� + �� + ⋯ + ���

�����

��

���

= ���� + ���� + ⋯ + ������

� ����

��

�,���

= ���� + ���� + ⋯ + ������ = ����

��

���

� ����

��

���

� ����

��

�,����� �

= ���� + ���� + ⋯ + ����� + ���� + ⋯ + ����� + ⋯ + �����

Page 12: Catatan Fismat

11

el-Madani

�� → �� ,�= ��� → �� ,�= ��� → �� ,��= ��

� � = ���� + ���� + ���� = �����

���

�� = �����

���

� ∙�� = ������

���

� ∙������

���

� ∙�� = ������� ∙������

�,���

� ∙�� = � ������� ∙���

�,���

�� ∙�� �

�= 1,�= 1 → �� ∙�� = �∙�= 1�= 2,�= 2 → �� ∙�� = �∙�= 1

�= 3,�= 3 → �� ∙�� = ��∙�� = 1

�� ∙�� �

1 ���� �= �

0 ���� �≠ �� ���

Notasi ��� disebut sebagai delta kronecker.

� ∙�� = � �������

�,���

Dengan menerapkan sifat delta kronecker yaitu bernilai 1 jika indeksnya sama maka

penulisan di atas menjadi

� ∙�� = ��������

���

Karena �= � maka indeks � pada sigma hilang dan indeks � pada suku-sukunya

diganti dengan �.

� ∙�� = �����1

���

� ∙�� = ������

���

� ∙�� = ���� + ���� + ����

Page 13: Catatan Fismat

12

el-Madani

� ∙�� = ������

���

Untuk vektor � yang dinyatakan sebagai berikut

� = �����

���

untuk mendapatkan komponen ke-�, maka dilakukan produk skalar antara vektor

satuan ke-� dengan � seperti berikut ini.

�� ∙� = �� ∙�����

���

�� ∙� = ��� ∙������

���

�� ∙� = ������ ∙���

���

�� ∙� = ������

���

= ��

�� ∙� = ��

Andaikan

3

1

ˆi

iieAA

dan

3

1

ˆj

jjeBB

maka hasil kali silang kedua vektor tersebut

jika dituliskan dalam notasi sigma adalah sebagai berikut.

� × �� = ������

���

� × ������

���

� × �� = � ������ × ��

�,���

��× �= ��

�× �� = �

��× �= �

�× �= −��

��× �= −�

�× �� = −�

�× �= 0�× �= 0

��× �� = 0

� ���� �1−10

���� = 123,231,312 ����= 213,132,321 ���� ���� ����

�� × �� = ����� ��

���

= ������ + ������ + ������

Page 14: Catatan Fismat

13

el-Madani

� × �� = � �����

�,���

����� ��

���

� × �� = � �������� ��

�,�,���

Bentuk pada ruas kanan adalah determinan matriks, sehingga hasil dari hasil kali

silang tersebut dapat dituliskan dalam bentuk determinan matriks berikut.

� × �� = ��� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

= (���� − ����)�� + (���� − ����)��

+ (���� − ����)��

Jika komponen-komponen baris pertama dipindah ke baris kedua maka muncul tanda

negatif di depan determinan matriks sehingga persamaannya akan menjadi berikut.

� × �� = − ��� �� ��

�� �� ��

�� �� ��

�= −��� × ��

Dari persamaan tersebut tampak bahwa hasil kali silang tidak komutatif. Jika ditukar

lagi suku-suku baris pertama dengan ketiga maka akan kembali positif dan diperoleh

persamaan berikut.

� × �� = ��� �� ���� �� ��

�� �� ���

���� (tensor Levi-Civita)

������� ���

= ���� � = ��� ��� − ������

� × �� = ��������� ��

�,�,�

� × �� = ���������� ��

�,��

� × �� = ��� × �� ����

�� × �� � ∙� = ��� × �� ����

Page 15: Catatan Fismat

14

el-Madani

�� × �� � ∙� = ������������

�,��

�� × �� � ∙� = �����������

�,�,�

�� × �� � ∙� = ��� �� ��

�� �� ��

�� �� ���

�� × �� � ∙� = ��� �� ��

�� �� ��

�� �� ���

�� × �� � ∙� = �� × �� ∙��

�� × �� � × � = ������� × �� ������

�,�,�

�� × �� � × � = ������,�,�

���� �����

��

����

�� × �� � × � = � ��������� ��

�,�,�,�

���� ����

�� × �� � × � = � ��������� ��

�,�,�,�

���� ����

�� × �� � × � = � ������� − ��� ����

�,�,�,�

���� ����

�� × �� � × � = � ������ ���� ����

�,�,�,�

− � ��� ������� ����

�,�,�,�

�� × �� � × � = ��������

�,�

���� �� ��

�,�

− ���� �� ��

�,�

��������

�,�

�� × �� � × � = �����

��� ���

− �����

������

�� × �� � × � = �� ∙���� − ��� ∙���

Page 16: Catatan Fismat

15

el-Madani

Vektor � = ���+ ���+ ���� dapat diwakili oleh matriks ���

��

���

Vektor � = ��+ �� dapat diwakili oleh matriks ����

Jika sumbu x-y diputar sebesar � maka vektor � tetap, akan tetapi komponennya

berubah.

menurut sumbu x’ dan y’ maka

� = ����+ ����

� = ���

���

Dimana

�� = ��(�,�)

��= ��(�,�)

�� = ��∙�

�� = ��∙(��+ ��)

�� = ���∙�+ ���∙�

��= � 1∙1cos� + � 1∙1cos(90− �)

�� = � cos� + �sin�

��= ��∙�

��= ��∙(��+ ��)

��= ���∙�+ ���∙�

��= � 1∙1cos(90+ �)+ � 1∙1cos�

��= −� sin� + �cos�

y

x �

� �

y

x

x’

y’

�� ��

Page 17: Catatan Fismat

16

el-Madani

���

���= �

� cos� + �sin�−� sin� + �cos�

���

���= �

cos� sin�−sin� cos�

��� ��

Jika � = ��+ ��+ ��� maka wakilan matriksnya adalah �����. Apabila sumbu diputar

maka � = ����+ ����+ �����dengan wakilan matriks ���

��

���. Jika vektor � menurut

sistem koordinat lama dituliskan sebagai

� = �����

���

maka untuk menentukan komponen � pada sumbu yang baru dapat dilakukan denga

melakukan produk skalar antara vektor satuan baru dengan vektor �.

��� = ���∙�

��� = ���∙�����

���

��� = ������∙��

���

��� = ��� cos���

���

cos��� dapat dinyatakan sebagai ���. Dimana ��� adalah suatu matriks rotasi,

sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut

��� = ������

���

��� = ������

���

��� = �� cos��� + �� cos��� + �� cos��� = ����� + ����� + �����

��� = �� cos��� + �� cos��� + �� cos��� = ����� + ����� + �����

��� = �� cos��� + �� cos��� + �� cos��� = ����� + ����� + �����

Page 18: Catatan Fismat

17

el-Madani

���

��

���= �

cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���

����

��

���

���

��

���= �

��� ��� ������ ��� ������ ��� ���

����

��

���

Ketika vektor � diamati dengan menggunakan sistem koordinat yang baru, ternyata

vektor � tersebut tidak mengalami perubahan panjang dan terjaga produk skalarnya.

Vektor � hanya mengalami perubahan pada komponen dan vektor satuannya ketika

dinyatakan dalam sistem koordinat yang baru.

Bukti

Andaikan � adalah vektor yang dinyatakan dalam sistem koordinat lama dengan

wakilan matriksnya � ⟺ ���

��

���. Sedangkan � adalah vektor yang dinyatakan dalam

sistem koordinat baru dengan wakilan matriks �� ⟺ ���

��

���. � adalah matriks rotasi.

Hubungan antara � dengan �� adalah sebagai berikut.

�� = ��

Atau dengan kata lain adalah �� dapat diperoleh dengan melakukan rotasi pada

sistem koordinat dimana � didefiniskan. Dengan memanfaatkan sifat tersebut dapat

diperoleh persamaan berikut.

� ∙� = ������

���

� ∙� = ���� + ���� + ����

Jika dinyatakan dalam wakilan matriks maka

� ∙� = [�� �� ��]���

��

���

� ∙� = ���

Andaikan suatu vektor posisi � memiliki wakilan matriks �. Jika sistem koordinatnya

dirotasi maka menurut sistem koordinat yang baru vektor posisi tersebut menjadi �

dengan wakilan matriks ��. Hubungan antara � dengan �� adalah sebagai berikut

��= ��

Dengan menggunakan sifat produk skalar di atas maka

Page 19: Catatan Fismat

18

el-Madani

��∙��= �����

��∙��= (��)���

��∙��= ������

��∙��= �� �� �������

�,�,���

��

��∙��= �� �� ������

�,�,���

��

Dimana ��� = ��� ∙�� maka

��∙��= �� �� (��� ∙��)�����������

���� ∙���

�,�,���

��

��∙��= �� �� �[(��� ∙��)���]∙��

���

�,���

��

��∙��= �� �� ��[(��� ∙��)���]

���

� ∙��

�,���

��

Ingat bahwa

� = ������

���

� = ����� ∙�����

���

Jika � diganti dengan �� maka

�� = �(��� ∙��)���

���

Sehingga

��∙��= �� �� �� ∙��

�,���

��

��∙��= �� �� ���

�,���

��

Page 20: Catatan Fismat

19

el-Madani

��∙��= �� �

��� ��� ������ ��� ������ ��� ���

��

Dimana ��� akan bernilai 1 jika indeks sama, dan bernilai 0 jika indeksnya berbeda,

sehingga

��∙��= �� �1 0 00 1 00 0 1

��

��∙��= ����

��∙��= ���

��∙��= �∙�

Jadi tampak bahwa rotasi tersebut melestarikan produk skalar. Sifat dari matriks

rotasi yang diperoleh dari penjelasan di atas adalah

��� = ��� = �

Berikut ini adalah bukti bahwa rotasi melestraikan panjang vektor.

|�|� = ������

= �������

|�|� = ��������

� �������

|�|� = ����������

� ����

��

|�|� = ������� ���

� ����

��

|�|� = �(���)������

��

|�|� = ��������

��

|�|� = �(��)�

Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa suatu besaran yang

terdiri dari tiga komponen dikatakan sebagai vektor jika memiliki perilaku seperti

vektor posisi jika mengalami rotasi. Perilaku tersebut adalah sebagai berikut.

��� = ������

Page 21: Catatan Fismat

20

el-Madani

Determinan matriks rotasi � dapat ditentukan dengan cara berikut.

det(���)= det�

det(��)det(�)= 1

det(�)det(�)= 1

[det(�)]� = 1

det(�)= ±1

Karena det(�)= ±1 maka konsep rotasi dapat diperluas menjadi dua konsep.

Pertama rotasi adalah transformasi yang melestarikan panjang vektor dan produk

skalar karena det(�)= 1. Rotasi tersebut adalah rotasi wajar yaitu rotasi dengan

adanya sumbu rotasi dan sudut rotasi. Rotasi yang kedua adalah rotasi yang tidak

wajar, yaitu rotasi yang matriksnya memiliki det(�)= −1.

Andaikan �(3) adalah himpunan semua matriks rotasi baik wajar maupun tidak

wajar, maka �(3) dapat dinotasikan sebagai berikut.

�(3)= {� ∈ � �(3,ℝ)|��� = ��� = �}

“�(3) adalah himpunan semua matriks � anggota dari matriks persegi 3 × 3 riil

sedemikian rupa sehingga ��� = ��� = �”. Himpunan matriks rotasi ��(3)�

membentuk suatu grup.

Bukti

Sifat tertutup

Andaikan ��,�� ∈ �(3) maka ���� ∈ �(3). Bukti bahwa ���� ∈ �(3) adalah

sebagai berikut.

(����)�(����)= ��

��������

(����)�(����)= ��

����

(����)�(����)= ��

���

(����)�(����)= �

Sifat Asosiatif

Andaikan ��,��,�� ∈ �(3) maka

(����)�� = ��(����)

Memiliki identitas

Andaikan � adalah matriks identitas maka

���= ���

���= ��

Transpose dari matriks identitas adalah matriks identitas itu sendiri

Page 22: Catatan Fismat

21

el-Madani

���= �

Karena berlaku sifat

���= ��� = �

Maka dapat disimpulkan bahwa �∈ �(3).

Memiliki invers

Anggota �(3) pasti memiliki invers karena det� = ±1. Invers matriks adalah

matriks yang apabila dikalikan dengan matriks lain maka hasilnya adalah matriks

identitas. Apakah invers tersebut merupakan anggota �(3)? Berikut adalah

pembuktiannnya

��� = �

Jika kedua ruas dikalikan dengan invers dari matriks � dari kanan maka akan

diperoleh.

������ = ����

���= ���

�� = ���

Oleh karena itu

��� = ���

�= (��)���

�= (���)����

Jadi terbukti bahwa ��� ∈ �(3).Karena keempat sifat grup terpenuhi, maka �(3)

adalah sebuah grup matriks rotasi.

Matriks-matriks rotasi dengan det� = 1 membentuk suatu grup yang baru yaitu

grup ��(3) yaitu himpunan matriks rotasi dengan det� = 1 atau jika dinyatakan

dalam notasi matematisnya adalah sebagai berikut.

��(3)= {� ∈ �(3)|det� = 1}

Berikut adalah bukti bahwa ��(3) merupakan sebuah grup.

Sifat tertutup

Andaikan ��,�� ∈ ��(3) maka det�� = 1 dan det�� = 1 sehingga untuk matriks

���� juga merupakan anggota dari ��(3)

Bukti

det(����)= det�� det��

det(����)= 1∙1

det(����)= 1

Page 23: Catatan Fismat

22

el-Madani

Karena det(����)= 1 maka ���� ∈ ��(3)

Sifat asosiatif

Dalam operasi matriks bersifat asosiatif sehingga andaikan ��,��,�� ∈ ��(3) maka

(����)�� = ��(����)

Mempunyai identitas

Karena ��(3)⊂ �(3) dan determinan dari anggota ��(3) adalah 1 maka sudah

pasti bahwa matriks identitas ada di dalam ��(3) karena det�= 1 maka �∈ ��(3).

Mempunyai invers

Karena matriks anggota ��(3) memiliki determinan 1 maka pasti memiliki invers.

Dan karena ��(3)⊂ �(3) maka

��� = �

������ = ����

���= ���

�� = ���

Andaikan � ∈ ��(3) maka

det��� = det��

det��� = det�

Karena � ∈ ��(3) maka det� = 1 sehingga

det��� = 1

Karena det��� = 1 maka invers dari matriks � merupakan anggota dari ��(3).

Keempat sifat grup telah dipenuhi sehingga ��(3) adalah sebuah grup.

Rotasi wajar dapat dibedakan menjadi dua yaitu rotasi pasif dan rotasi aktif. Rotasi

pasif berarti yang dirotasi adalah sumbu-sumbu pada sistem koordinatnya. Rotasi

aktif adalah rotasi dimana yang dirotasi adalah vektornya.

Page 24: Catatan Fismat

23

el-Madani

Gambar di sebelah kiri adalah rotasi pasif, dimana sistem koordinat dengan sumbu-

sumbu �,� diputar sebesar � berlawanan arah jarum jam sehingga menghasilkan

sistem koordinat baru dengan sumbu-sumbu koordinatnya �,��. Komponen vektor �

di sumbu yang baru adalah

��= (��� ∙�)���

��= |���||�|cos(� − �)���

��= |�|cos(� − �)���

|��|= |�|cos(� − �)

dan

��� = (��� ∙�)���

��� = |���||�|sin(� − �)���

��� = |�|sin(� − �)���

����� = |�|sin(� − �)

Gambar di sebelah kanan adalah rotasi aktif, dimana sistem koordinat dengan

sumbu-sumbu �,� dibiar tetap sedangkan yang diputar adalah � sebesar � searah

arah jarum jam sehingga menghasilkanvektor baru ��. Komponen vektor �� setelah

dirotasi adalah

��� = (�� ∙�

�)��

��� = |��||�

�|cos(� − �)��

Dimana |��|= |�| sehingga

��� = |�|cos(� − �)��

|���|= |�|cos(� − �)

dan

��� = (�� ∙�

�)��

��� = |��||�

�|cos(� − �)��

Dimana |��|= |�| sehingga

��� = |�|cos(� − �)��

����� = |�|cos(� − �)

Berdasarkan penjabaran di atas tampak bahwa besarnya masing-masing komponen �

setelah dirotasi adalah sama, sehingga dapat disimpulkan bahwa rotasi pasif akan

sama dengan rotasi aktif dengan sudut rotasi sama tetapi arah rotasi berlawanan.

Page 25: Catatan Fismat

24

el-Madani

Contoh

Perhatikan sistem tiga benda

pada gambar. Benda 1 bergerak

berotasi dengan poros di garis

vertikal yang dilalui benda 2

dengan kecepatan sudut � , selian

itu benda 1 juga bergerak vertikal

sehingga lintasannya berbentuk

helix. Benda 2 bergerak vertikal.

Benda 1 dan 2 terpisah sejauh �.

Benda 3 berjarak � dari titik tengah garis yang menghubungkan benda 1 dan 2.

Benda 3 berotasi mengitari garis penghubung benda 1 dan benda 2 dengan kecepatan

sudut ��. Selama bergerak jarak ketiga benda selalu tetap. Tentukan persamaan gerak

dari masing-masing benda pada sistem tersebut.

Jawab :

Sistem benda tersebut mengalami gerak tegar yaitu gerak dimana jarak satu benda

dengan yang selalu tetap. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut maka perlu

beberapa langkah. Langkah pertama membuat suatu sistem koordinat agar dalam

sistem koordinat tersebut sistem benda dalam keadaan diam. Misalkan sistem

koordinat tersebut memiliki sumbu-sumbu �,��,�.

Vektor posisi masing-masing benda menurut

sistem koordinat tersebut jika dinyatakan dalam

bentuk matriks adalah sebagai berikut.

��������

�= ��00�, �

�������

�= �000�, �

�������

�= �

0�

Berikutnya sistem koordinat tersebut

diputar dengan poros di sumbu � dengan

arah searah putaran jarum jam dengan

kecepatan �� sehingga terbentuk sistem

koordinat baru dengan sumbu-sumbunya

���,���,���. Matriks rotasinya adalah

Page 26: Catatan Fismat

25

el-Madani

sebagai berikut.

����

���

����= �

cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���

�������

����

���

����=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡cos0 cos

2cos

2

cos�

2cos��� cos�

2− ����

cos�

2cos�

2+ ���� cos��� ⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

������

����

���

����= �

1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���

�������

Sehingga posisi masing-masing benda menurut koordinat ini adalah sebagai berikut.

Benda 1

����

����

�����= �

1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���

���������

����

����

�����= �

1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���

���00�

����

����

�����= �

�00�

Benda 2

����

����

�����= �

1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���

���������

����

����

�����= �

1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���

��000�

����

����

�����= �

000�

Benda 3

����

����

�����= �

1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���

���������

Page 27: Catatan Fismat

26

el-Madani

����

����

�����= �

1 0 00 cos��� sin���0 − sin��� cos���

��

20�

����

����

�����= �

2� sin���� cos���

Setelah menemukan koordinat masing-masing benda pada sistem koordinat

���,���,��� dilanjutkan dengan membentuk sistem koordinat yang baru lagi. Sumbu

pada sistem koordinat ���,���,��� diputar terhadap poros ��� dengan arah putaran

berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan putaran � sehingga terbentuk sistem

koordinat baru dengan sumbu-sumbu ��,��,��.

langkah berikutnya adalah menentukan

matriks rotasi yang mengubah sistem

koordinat ���,���,��� menjadi sistem

koordinat ��,��,��. Berikut ini adalah

matriks rotasi tersebut.

���

��

���= �

cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���cos��� cos��� cos���

�����

���

����

���

��

���=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡ cos�� cos�

2+ ��� cos

2

cos��

2− ��� cos�� cos

2

cos�

2cos

2cos0⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

����

���

����

���

��

���= �

cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1

�����

���

����

Matriks posisi masing-masing benda menurut sistem koordinat ��,��,�� adalah

sebagai berikut.

Benda 1

���

���

����= �

cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1

��

����

����

�����

Page 28: Catatan Fismat

27

el-Madani

���

���

����= �

cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1

���00�

���

���

����= �

�cos���sin��

0�

Benda 2

���

���

����= �

cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1

��

����

����

�����

���

���

����= �

cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1

��000�

���

���

����= �

000�

Benda 3

���

���

����= �

cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1

��

����

����

�����

���

���

����= �

cos�� −sin�� 0sin�� cos�� 00 0 1

��

2� sin���� cos���

���

���

����=

⎣⎢⎢⎢⎡�

2cos��− � sin��sin���

2sin��+ � cos��sin���

� cos��� ⎦⎥⎥⎥⎤

Berikutnya digeser ke arah vertikal dengan kecepatan � dan terbentuk sistem

koordinat baru dengan sumbu-sumbu �,�,� sehingga berlaku hubungan

�����= �

00���+ �

��

��

���

Page 29: Catatan Fismat

28

el-Madani

Sehingga posisi masing-masing benda adalah sebagai berikut.

Benda 1

�������= �

00���+ �

���

���

����

�������= �

00���+ �

�cos���sin��

0�

�������= �

�cos���sin����

Jadi persamaan gerak untuk benda 1 adalah �� = � cos�� �+ � sin�� �+ ����

Benda 2

�������= �

00���+ �

���

���

����

�������= �

00���+ �

000�

�������= �

00���

Jadi persamaan gerak benda 2 adalah �� = ����

Benda 3

�������= �

00���+ �

���

���

����

�������= �

00���+

⎣⎢⎢⎢⎡�

2cos��− � sin��sin���

2sin��+ � cos��sin���

�cos��� ⎦⎥⎥⎥⎤

�������=

⎣⎢⎢⎢⎡�

2cos��− � sin��sin���

2sin��+ �cos��sin���

� cos���+ �� ⎦⎥⎥⎥⎤

Jadi persamaan gerak benda 3 adalah

Page 30: Catatan Fismat

29

el-Madani

�� = ��

2cos��− �sin��sin�����+ �

2sin��+ � cos��sin�����

+ (�cos���+ ��)��

Penjelasan di atas menunjukkan bahwa vektor sejati akan memiliki perilaku seperti

vektor posisi jika vektor tersebut dirotasi. Vektor semu jika dirotasi tidak berlaku

sifat seperti vektor posisi

��� ≠ ������

Tetapi

��� = det(�)������

Contoh :

�(�)→ ∇� =

⎣⎢⎢⎢⎡��

����

��

��

��⎦⎥⎥⎥⎤

jika dirotasi akan menjadi ∇� =

⎣⎢⎢⎢⎡��

���

��

���

��

���⎦⎥⎥⎥⎤

Jika medan vektor maka

��

����= ����

��

����

Jika

��� = ������

������ = ��������

�������

= ����������

��

�������

= ������

�������

= ��

Sehingga

�� = �������

Dengan demikian maka untuk

Page 31: Catatan Fismat

30

el-Madani

��

����= �

��

������

�����

��

����= �

��

����

�����

��

��

����= �

��

����

�����

�������

��

����= �

��

����

��������

�����

��

����= �

��

����

��������

��

����= �

��

����

���

��

����= ����

��

����

Contoh :

Tunjukkan apakah momentum itu vektor atau bukan!

� = � � =�(� �)

��

�� ��

� ��

� ���→ �

� ���

� ���

� ����

Dimana

��� =����

��

��� =�

��������

��� = ��

�������

��

��� = �������

���

��� = ������

�� = � ���

Page 32: Catatan Fismat

31

el-Madani

�� = � ������

�� = ����� ��

�� = ������

Jadi momentum adalah vektor.

Andaikan terdapat dua vektor � dan �� dimana

� → ���

��

���→ �� = �����

�� → ���

��

���→ �� = �����

Maka jika terdapat vektor � dimana � = � × �� maka

� = � × ��

� = ������

� = ������������

���

Dari persamaan tersebut tampak bahwa

�� = ���������

��

Sehingga

��� = �����������

��

��� = �����������

���� ��

���

��� = � ���������� ����

����

Kedua ruas dikalikan dengan ��� sehingga diperoleh

�������

= � ���������� �������

���� �

Page 33: Catatan Fismat

32

el-Madani

�������

= ������������� ������

� ����

��

�������

= ���� � det(�)����

��

�������

= det(�)���� �����

��

�������

= det(�)��

Kedua ruas dikalikan dengan �� � sehingga diperoleh

������� � ���

��

= det(�)��� ���

�������� ��

��� = det(�)��� ���

�����

��� = det(�)��� ���

Untuk k = m maka

��� = det(�)��� ���

Karena dalam persamaan tersebut terdapat det(�) maka dapat disimpulkan bahwa

� × �� bukan vektor tetapi PSEUDOVEKTOR.

Sifat pseudovektor pada pencerminan adalah sebagai berikut.

� = �1 0 00 −1 00 0 1

�→ det(�)= −1

Matriks R merupakan representasi dari pencerminan terhadap bidang x-z. Sehingga

jika terdapat vektor � = ��+ ��+ ���

akan berlaku sifat berikut

�����→ �

��

��

���

���

��

���= �

1 0 00 −1 00 0 1

������= �−

����

y

x

z

� ��

� −�

Page 34: Catatan Fismat

33

el-Madani

Pada gambar tampak bahwa � dan �� berbeda panjangnya, padahal sebenarnya

adalah sama. Hal tersebut disebabkan masalah sudut pandang gambar. Jika arah

pandang kita searah dengan sumbu x (sumbu x tegak lurus bidang gambar) maka

akan tampak sama panjang seperti pada gambar berikut.

Jika yang dicerminkan adalah pseudovektor maka

���

��

���→ �

���

���

����

��� = det(�)��� ���

����

���

����= det(�)�

1 0 00 −1 00 0 1

����

��

���

����

���

����= (−1)�

1 0 00 −1 00 0 1

����

��

���

����

���

����= �

−��

��

−���

Berikut adalah gambar

hasil pencerminan

pseudovektor terhadap

bidang x-z.

Pada gambar tersebut

panjang � dan �� adalah

sama.

�� �

� −� y

z

��

��

��

��

−��

−��

y

x

z

Page 35: Catatan Fismat

34

el-Madani

Contoh

Besaran skalar adalah besaran dengan nilai yang tidak berubah terhadap alihragam

rotasi. Jadi sebuah besaran disebut skalar jika invarian terhadap rotasi.

a. Tunjukkan bahwa usaha oleh gaya nondisipatif merupakan sebuah skalar.

b. Jika � = ���,��,��� adalah sebuah vektor dan �� = ���,��,��� sebuah

vektor semu. Tunjukkan bahwa � ∙�� = ���� + ���� + ���� adalah sebuah

skalar semu

c. Apakah energi kinetik merupakan skalar? Buktikan

Jawab

a. Usaha

� = � � ∙��

�� = � ∙��

�� �� = ������

�� �� = �������

�������

��

�� �� = �������

�������

��

b. Bukti � ∙�� skalar semu

� = ���,��,���

���= �����

�� = ���,��,���

���= det������

� ∙�� = �����

�� ∙�� ���

= ������

�� ∙�� ���

= �������

det�������

��

Page 36: Catatan Fismat

35

el-Madani

�� ∙�� ���

= det��������

������

��

�� ∙�� ���

= det�������

c. Energi kinetik

�� =1

2� � ∙�

�� =1

2� �����

�� =1

2� �����

����=1

2� ����

���

����=1

2� �������

Karena tidak ada determinan maka energi kinetik adalah skalar.

TENSOR

Tensor berdimensi � dan berderajat � memiliki komponen sebanyak ��. Tensor di

ruang tiga dimensi dan berderajat dua memiliki jumlah komponensebanyak 3� = 9.

��� disebut tensor jika memiliki sifat berikut.

��� → ����= ��������

��

��

Jika diketahui � ⟺ ���

��

��� dan �� ⟺ �

��

��

��� maka

� ⊗ �� = ��� = ����� ���� ����

���� ���� ����

���� ���� �����

Bukti bahwa � ⊗ �� sebagai tensor adalah sebagai berikut.

���� ���= ����

���� ����

= �����

���� ����

= ������

������

Page 37: Catatan Fismat

36

el-Madani

���� ����

= �����������

��

���� ����

= ����������� ���

��

Jadi � ⊗ �� memenuhi sifat sebagai tensor. ���� disebut sebagai tensor jika

memenuhi sifat

�����

= � ������ ������ �

�,� ,���

Trace atau lacak dari suatu tensor adalah jumlah dari komponen diagonalnya yang

dapat dinyatakan sebagai berikut.

���� ⊗ �� � = ������

���

���� ⊗ �� � = � ∙��

Jadi trace dari suatu tensor adalah tensor berderajat nol atau skalar yang nilainya

sama dengan produk skalar dari dua vektor penyusun tensor.

Contoh

Komponen tensor stress Maxwell dinyatakan dengan persamaan

��� = �� ����� −1

2����

��+1

������� −

1

2����

��

Jika medan listrik di suatu tempat adalah �� = ��+ 2�� dan medan magnetnya

�� = ��� maka tentukanlah matriks tensor stress Maxwell!

Jawab

��� = �� ����� −1

2������

� + ��� + ��

���

+1

������� −

1

2������

� + ��� + ��

���

��� = �� ��.� −1

2(�� + (2�)� + 0)� +

1

���0−

1

2(0+ 0+ ��)�

��� = −3

2���� −

��

2��= −

��

2�3���� + 1

���

Page 38: Catatan Fismat

37

el-Madani

��� = ��� = �� ����� −1

2������

� + ��� + ��

���

+1

������� −

1

2������

� + ��� + ��

���

��� = ��� = ��(�.2�)

��� = ��� = 2����

��� = ��� = �� ����� −1

2������

� + ��� + ��

���

+1

������� −

1

2������

� + ��� + ��

���

��� = ��� = 0

��� = �� ����� −1

2������

� + ��� + ��

���

+1

������� −

1

2������

� + ��� + ��

���

��� = �� �2�.2� −1

2(�� + (2�)� + 0)� +

1

���0−

1

2(0+ 0+ ��)�

��� =3

2���� −

��

2��=��

2�3���� − 1

���

��� = �� ����� −1

2������

� + ��� + ��

���

+1

������� −

1

2������

� + ��� + ��

���

��� = 0 = ���

��� = �� ����� −1

2������

� + ��� + ��

���

+1

������� −

1

2������

� + ��� + ��

���

��� = �� �0−1

2(�� + (2�)� + 0)� +

1

����� −

1

2(0+ 0+ ��)�

��� = −5

2���� +

��

2��=��

2�1− 5����

���

Matriks tensor Maxwellnya adalah

Page 39: Catatan Fismat

38

el-Madani

� =

⎜⎜⎜⎛−��

2�3���� + 1

��� 2���� 0

2������

2�3���� − 1

��� 0

0 0��

2�1− 5����

���⎠

⎟⎟⎟⎞

PERSMAAN GARIS

Andaikan diketahui dua

titik �� = (��,��,��) dan

�� = (��,��,��) dengan

vektor posisi masing-

masing titik terhadap pusat

koordinat adalah �� =

���+ ���+ ���� dan

�� = ���+ ���+ ����.

Kedua titik tersebut dilalui oleh sebuah garis yang belum diketahui persamaan

garinya. Dengan mengetahui dua titik yang dilaui garis tersebut, maka persamaan

garis dapat ditentukan. Langkah pertama menentukan sembarang titik �(�,�,�) pada

garis. Vektor posisi titik � terhadap pusat koordinat adalah � = ��+ ��+ ���.

Langkah berikutnya adalah menentukan vektor yang menghubungkan antara titik ��

dan �� yaitu vektor �� − ��. Selanjutnya membuat vektor yang menghubungkan titik

�� dan � yaitu vektor � − ��.

Karena vektor �� − �� dan � − �� berada pada satu garis yang sama maka kedua

vektor tersebut memenuhi persamaan berikut.

� − �� = �(�� − ��)

Jika �� − �� < � − �� maka � > 1, tetapi jika �� − �� > � − �� maka � < 1

(� − ��,� − ��,�− ��)= �(�� − ��,�� − ��,�� − ��)

� − �� = �(�� − ��)

� − ��

�� − ��= �

� − �� = �(�� − ��)

� − ��

�� − ��= �

�− �� = �(�� − ��)

y

x

z

��

��

��

��

�(�,�,�)

�� − ��

� − ��

Page 40: Catatan Fismat

39

el-Madani

�− ��

�� − ��= �

Sehingga

� − ��

�� − ��=

� − ��

�� − ��=�− ��

�� − ��

Untuk mendapatkan persamaan garis di ruang tiga dimensi, maka diperlukan dua

persamaan yaitu

� − ��

�� − ��=

� − ��

�� − ��

� − �� =�� − ��

�� − ��� −

�� − ��

�� − ����

Dan

� − ��

�� − ��=

�− ��

�� − ��

� − �� =�� − ��

�� − ���−

�� − ��

�� − ����

Kasus berikut ini jika diketahui sebuah vektor � = ���+ ���+ ���� yang paralel

dengan garis dan titik ��(��,��,��) pada garis yang belum diketahui persamaanya.

Titik �� memiliki vektor posisi terhadap pusat koordinat �� = ���+ ���+ ����.

Persamaan garis tersebut dapat ditentukan dengan beberapa langkah berikut.

Langkah pertama adalah menentukan sembarang titik �(�,�,�) dengan vektor posisi

� = ��+ ��+ ��� . Kemudian menentukan vektor yang menghubungkan antara titik

� dengan �� yaitu vektor � − ��. Sebelumnya telah diketahui bahwa vektor � =

���+ ���+ ���� paralel dengan garis yang akan ditentukan persamaannya,

sedangkan vektor

� − �� berada pada

garis tersebut, hal

ini berarti bahwa

vektor � juga

paralel dengan

vektor � − ��.

y

x

z

��

� ��

�(�,�,�)

� − ��

� = (��,��,��)

Page 41: Catatan Fismat

40

el-Madani

Karena vektor � paralel dengan � − �� maka berlaku hubungan berikut.

� − �� = ��

Dimana � skalar yang bernilai positif jika vektor � paralel dan searah dengan � − ��,

� skalar yang bernilai negatif jika vektor � paralel dan berlawanan arah dengan

� − ��.

(� − ��,� − ��,�− ��)= �(��,��,��)

� − �� = ���

� − ��

��= �

� − �� = ���

� − ��

��= �

�− �� = ���

�− ��

��= �

Sehingga

� − ��

��=� − ��

��=�− ��

��

Untuk mendapakan persamaan garis di ruang tiga dimensi maka perlu dua buah

persamaan. Kedua persamaan tersebut adalah sebagai berikut.

� − ��

��=� − ��

��

� − �� =��

��� −

��

����

Dan

� − ��

��=�− ��

��

� − �� =��

���−

��

����

Contoh :

Tentukan persamaan dari sebuah garis jika diketahui terdapat sebuah vektor � =

2�+ 3�+ 4�� paralel dengan garis tersebut serta sebuah titik pada garis yaitu titik

�(1,1,1)!

Jawab :

Page 42: Catatan Fismat

41

el-Madani

� − ��

��=� − ��

��=�− ��

��

� − 1

2=� − 1

3=�− 1

4

Maka

� − 1

2=� − 1

3

3� − 3 = 2� − 2

3� − 2� − 1 = 0

Atau

� − 1

3=�− 1

4

4� − 4 = 3�− 3

4� − 3�− 1 = 0

KOMBINASI CEMBUNG (KONVEKSI)

Andaikan diketahui dua buah titik

yaitu ��(��,��,��) dan

��(��,��,��). Sembarang titik

�(�,�,�) adalah sebuah titik

yang berada di antara titik �� dan

��. Jika �� adalah vektor posisi

titik �� terhadap pusat koordinat,

�� adalah vektor posisi titik ��

terhadap pusat koordinat, � adalah

vektor posisi titik � terhadap pusat koordinat dan (�� − ��) adalah vektor posisi ��

terhadap ��, maka syarat agar � berada di antara �� dan �� adalah

�(�� − ��)= (� − ��)

dimana � − �� adalah vektor posisi titik � terhadap titik �� dan 0 < � < 1 sehingga

vektor posisi � dapat diperoleh sebagai berikut

��� − ��� = � − ��

� = ��� − ��� + ��

� = ��� + (1− �)��

� = ��� + ����

��

��

� − ��

y

x

z

�� �

��

�� − ��

Page 43: Catatan Fismat

42

el-Madani

� = �����+ ���+ ����� + ������+ ���+ �����

� = ����+ ����+ �����+ �����+ �����+ ������

� = (��� + ����)�+ (��� + ����)�+ (��� + ����)��

dengan �+ �� = 1

Contoh

Andaikan �� = (��,��,��) dan �� = (��,��,��) berturut-turut adalah merupakan

vektor vektor posisi titik � dan � dalam ruang. Sebuah titik � dalam ruang tiga

dimensi dikatakan kombnasi cembung titik � dan � apabila titik � terletak pada

garis lurus yang menghubungkan titik � dan �.

a. Tuliskan ungkapan vektor yang harus dipenuhi oleh vektor posisi titik �

untuk disebut sebagai kombinasi cembung titik � dan �

b. Himpunan � yang beranggotakan titik-titik dalam ruang disebut himpunan

cembung apabila semua kombinasi cembung sembarang dua titik pada

himpunan itu merupakan anggota himpunan itu, artinya jika titik � dan �

sembarang dua titik anggota himpunan �, maka semua titik yang meupakan

kombinasi cembung titik � dan � juga berada di �. Manakah dari wilayah-

wilayah dalam ruang berikut yang merupakan himpunan cembung dalam

ruang?

i. Permukaan bola berpusat di �(0,0,0) dengan jari-jari 2 satuan

ii. Sebuah bidang yang memuat titik (2,2,4) dan tegak lurus

terhadap vektor � = 2�+ 4�+ ��

iii. Ruang tiga dimensi tanpa titik-titik pada sumbu-x

Jawab

a. Vektor posisi � sebagai kombinasi cembung titik � dan �

��

��

�� − ��

y

x

z

� �

��

�� − ��

Page 44: Catatan Fismat

��

b. Yang termasuk himpunan cembung

i. Kulit bola

pada garis lurus yang menghubungkan titik

kulit bola.

ii. Bidang yang memuat titik

� = 2

tersebut

garis lurus yang menghubungkan titik

bidang tersebut.

iii. Ruang tiga dimensi tanpa titik

cembung

kemudian titik

koordinat

menghubungkan titik

sumbu

JARAK TITIK TERHADAP GARIS

Andaikan diketahui persamaan sembarang garis

�(�,�,�) dengan vektor posisinya

terhadap pusat koordinat adalah

�� = ��+ ��+ ���. Misalkan

adalah jarak titik �

maka � dapat ditentukan dengan

beberapa langkah berikut ini.

Langkah pertama adalah menentukan

dua buah titik yang dilalui garis

Andaikan kedua titik tersebut adalah

��(��,��,��) dan

dengan vektor posisi masing

�� − �� = �(�� − ��)

�� = �(�� − ��)+ ��

�� = ��� + (1− �)��

= �����+ ���+ ����� + (1− �)����+ ���

Yang termasuk himpunan cembung

Kulit bola bukan himpunan cembung karena titik

pada garis lurus yang menghubungkan titik � dan

kulit bola.

Bidang yang memuat titik (2,2,4) dan tegak lurus terhadap vektor

2�+ 4�+ �� merupakan himpunan cembung

tersebut meruakan bidang datar sehingga setiap titik yang berada pada

garis lurus yang menghubungkan titik � dan �

bidang tersebut.

Ruang tiga dimensi tanpa titik-titik pada sumbu-x

cembung karena misal diambil titik � dan � berada di bidang

kemudian titik � memiliki koordinat � positif sedangkan titik

koordinat � negatif maka akan ada satu titik pada garis lurus yang

menghubungkan titik � dan � berada di sumbu-x padahal titik

sumbu-x titik termasuk dalam anggota ruang tiga dimensi tersebut.

JARAK TITIK TERHADAP GARIS

Andaikan diketahui persamaan sembarang garis � dan sebuah titik sembarang

dengan vektor posisinya

terhadap pusat koordinat adalah

. Misalkan �

terhadap garis �

dapat ditentukan dengan

beberapa langkah berikut ini.

Langkah pertama adalah menentukan

dua buah titik yang dilalui garis �.

Andaikan kedua titik tersebut adalah

dan ��(��,��,��)

dengan vektor posisi masing-masing

43

el-Madani

�+ �����

himpunan cembung karena titik-titik yang berada

dan � tidak berada di

dan tegak lurus terhadap vektor

merupakan himpunan cembung karena bidang

meruakan bidang datar sehingga setiap titik yang berada pada

selalu berada pada

x bukan himpunan

rada di bidang � = 0

positif sedangkan titik �

negatif maka akan ada satu titik pada garis lurus yang

x padahal titik-titik di

nggota ruang tiga dimensi tersebut.

dan sebuah titik sembarang

Page 45: Catatan Fismat

44

el-Madani

adalah �� = ���+ ���+ ���� dan �� = ���+ ���+ ����. Langkah selanjutnya adalah

menentukan vektor yang menghubungkan titik �� dan �� serta vektor yang

menghubungkan titik �� dan � yaitu vektor �� − �� dan �� − ��. Vektor �� − ��

adalah vektor yang paralel dengan garis �.

Andaikan sudut yang dibentuk vektor �� − �� dan �� − �� adalah �, maka � dapat

ditentukan dengan melakukan hasil kali skalar antara �� − �� dengan �� − ��.

(�� − ��)∙(�� − ��)= |�� − ��||�� − ��|cos�

cos� =(�� − ��)∙(�� − ��)

|�� − ��||�� − ��|

Dengan identitas trigonometri

sin� � + cos� � = 1

sin� � = 1− cos� �

sin� = �1− cos� �

sin� = � 1− �(�� − ��)∙(�� − ��)

|�� − ��||�� − ��|�

|�� − ��|= � 1− �

(�� − ��)∙(�� − ��)

|�� − ��||�� − ��|�

� = |�� − ��|� 1− �(�� − ��)∙(�� − ��)

|�� − ��||�� − ��|�

� = � |�� − ��|� �1−[(�� − ��)∙(�� − ��)]

|�� − ��|�|�� − ��|

��

� = � |�� − ��|� −[(�� − ��)∙(�� − ��)]�

|�� − ��|�

� = �|�� − ��|�|�� − ��|� − [(�� − ��)∙(�� − ��)]�

|�� − ��|�

JARAK TITIK TERHADAP BIDANG

Andaikan diketahui persamaan dari sebuah bidang yaitu �� + �� + ��+ � = 0

dengan titik ��(��,��,��) berada pada bidang tersebut. Sembarang titik �(�,�,�)

berada di luar bidang. Jarak titik � terhadap bidang dapat ditentukan dengan terlebih

dahulu menentukan vektor normal dari bidang. Dari persamaan bidang �� + �� +

Page 46: Catatan Fismat

��+ � = 0 maka vektor yang

bidang adalah � =

vektor normal yang tegak lurus bidang

adalah

��=���

|��� |

��=��+

√�� +

Selanjutnya menentukan vektor yang

menghubungkan titik

���+ ���� adalah vektor posisi titik

��+ ��+ ��� adalah vektor posisi titik

terhadap bidang dapat ditentukan dengan

yang tegak lurus bidang

� = ���

� = �(��

PERSAMAAN BIDANG/ PERMUKAAN

Jika diketahui tiga titik pada bidang yaitu

��(��,��,��) serta sebuah vektor normal

persamaan dari bidang tersebut dapat ditentukan dengan cara terlebih dahulu

menentukan sembarang titi

menghubungkan titik

��� dan � − �� seperti tampak pada gambar.

maka vektor yang tegak lurus

= ��+ ��+ ��� dan

vektor normal yang tegak lurus bidang

�+ ��+ ���

+ �� + ��

Selanjutnya menentukan vektor yang

menghubungkan titik �� dengan titik � yaitu vektor �� − �� , dimana

adalah vektor posisi titik �� terhadap pusat koordinat, sedangkan

adalah vektor posisi titik � terhadap pusat koordinat. Jarak titik

terhadap bidang dapat ditentukan dengan menentukan panjang proyeksi

bidang.

� = |(�� − ��)∙(−��)|

� = |(�� − ��)∙��|

��+ ���+ ����− ���+ ��+ �����∙��+ ��+

√�� + ��

( � − �)�+ (�� − �)�+ (�� − �)���∙��+ ��

√�� + ��

� =(�� − �)� + (�� − �)� + (�� − �)�

√�� + �� + ��

PERSAMAAN BIDANG/ PERMUKAAN

Jika diketahui tiga titik pada bidang yaitu ��(��,��,��) ,

serta sebuah vektor normal �� yang tegak lurus bidang, maka

persamaan dari bidang tersebut dapat ditentukan dengan cara terlebih dahulu

menentukan sembarang titik � pada bidang. Selanjutnya menentukan vektor yang

menghubungkan titik �� dengan ��,�� dan �. Vektor-vektor tersebut adalah

seperti tampak pada gambar.

45

el-Madani

, dimana �� = ���+

terhadap pusat koordinat, sedangkan �� =

terhadap pusat koordinat. Jarak titik �

menentukan panjang proyeksi �� − ��

+ ���

� + ��

+ ���

� + ��

, ��(��,��,��) dan

yang tegak lurus bidang, maka

persamaan dari bidang tersebut dapat ditentukan dengan cara terlebih dahulu

pada bidang. Selanjutnya menentukan vektor yang

vektor tersebut adalah ���,

Page 47: Catatan Fismat

46

el-Madani

Vektor �� tegak lurus terhadap bidang sehingga �� juga tegak lurus terhadap � − ��

maka berlaku persamaan berikut.

�� ∙(� − �� )= 0

����+ ���+ ����� ∙�(� − ��)�+ (� − ��)�+ (�− ��)�� � = 0

��(� − ��)+ ��(� − ��)+ ��(�− ��) = 0

Dimana

�� = ��� × ���

�� = �

� � ��

�� − �� �� − �� �� − ��

�� − �� �� − �� �� − ���

�� = [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)]�

+ [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)]�

+ [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)]��

Sehingga

��(� − ��)+ ��(� − ��)+ ��(�− ��) = 0

[(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)](� − ��)

+ [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)](� − ��)

+ [(�� − ��)(�� − ��)− (�� − ��)(�� − ��)](�− ��) = 0

Jika diketahui satu titik ��(��,��,��) dan vektor normal �� = ���+ ���+ ���� maka

persamaan bidang dapat ditentukan dengan cara berikut. Langkah pertama

menentukan sembarang titik pada bidang misal titik �(�,�,�). Kemudian membuat

vektor yang dimulai dari titik � ke titik �� yaitu vektor � − ��. Vektor �� tegak lurus

y

x

z

��

��

��

���

��� �� ��� ��

�� � �� �

�� �

��

�� − �� �

Page 48: Catatan Fismat

47

el-Madani

bidang sehingga �� juga tegak lurus vektor � − �� sehingga berlaku persamaan

berikut.

�� ∙(� − ��)= 0

�� ∙� − �� ∙�� = 0

Dimana �� ∙�� adalah suatu skalar/tetapan, maka

�� ∙� = �� ∙��

����+ ���+ ����� ∙���+ ��+ ���� = ����+ ���+ ����� ∙����+ ���+ �����

��� + ��� + ��� = ���� + ���� + ����

Andaikan diketahui sebuah titik ��(��,��,��) dan vektor posisinya terhadap pusat

koordinat adalah �� = ���+ ���+ ����. Jika �(�,�,�) sembarang titik yang berjarak

� dari titik �� dan vektor posisinya terhadap pusat koordinat adalah � = ��+ ��+

���, maka berlaku hubungan berikut.

|� − ��|= tetapan= �

�(� − ��)∙(� − ��)= �

� ���+ ��+ ���− ����+ ���+ ������ ∙���+ ��+ ���− ����+ ���+ ������ = �

� �(� − ��)�+ (� − ��)�+ (�− ��)���∙�(� − ��)�+ (� − ��)�+ (�− ��)��� = �

�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)� = �

(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)� = ��

y

x

z

�� �

���

�� � ��

�� − �� �

Page 49: Catatan Fismat

48

el-Madani

Persamaan tersebut adalah

persamaan permukaan bola

dengan jari-jari a berpusat di titik

(��,��,��). Jadi kumpulan

sembarang titik yang berjarak �

dari (��,��,��) akan membentuk

permukaan bola dengan jari-jari �

berpusat di titik (��,��,��).

Menentukan persamaan umum untuk silinder dengan jari-jari a.

Andaikan diketahui garis � adalah sembarang garis yang melalui pusat koordinat

dengan vektor satuan ��. Diambil sembarang titik � dengan vektor posisinya terhadap

pusat koordinat adalah � = ��+ ��+ ���. Jarak titik � terhadap garis sembarang

tersebut dapat ditentukan dengan terlebih dahulu menentukan sebuah vektor yang

tegak lurus garis � menuju ke titik �. Misalkan vektor tegak lurus garis � tersebut

adalah �. Hubungan vektor �

dengan � dapat diperoleh dengan

jalan menentukan sebuah vektor

yang setitik tangkap dengan

vektor � menuju ke pangkal

vektor � misalkan nama vektor

tersebut adalah �� . Besarnya

vektor �� sama dengan proyeksi �

ke garis � dengan vektor satuan

��. Proyeksi � dapat diperoleh

dengan melakukan produk skalar

antara vektor satuan �� dengan

vektor �. Hubungan tersebut

dapat dituliskan sebagai berikut.

��

� − ��

(��,��,��)

x

y

� = � − (��∙�)��

(��∙�)��

��

x

y

z

Page 50: Catatan Fismat

49

el-Madani

��� � = (��∙�)

Karena vektor �� searah dengan �� maka vektor �� dapat dinyatakan sebagai �� =

(��∙�)��. Hubungan antara vektor �, �� dan � adalah sebagai berikut.

� − �� = �

� − (��∙�)��= �

Besarnya � yang merupakan jarak titik � terhadap garis � adalah

|� − (��∙�)��|= |�|

|� − (��∙�)��|= �

Jika semua titik yang berjarak � dari garis � di sepanjang garis � tersebut

dikumpulkan maka akan terbentuk kulit silinder berjari-jari � dengan sumbu di garis

�.

Andaikan garis � adalah sembarang garis yang melalui titik ��(��,��,��) dan

��(��,��,��). Vektor �� adalah vektor yang menghubungkan titik �� dengan ��

sehingga dapat dituliskan �� = (�� − ��)�+ (�� − ��)�+ (�� − ��)��. Vektor

satuan pada garis � dinyatakan sebagai

�� =��

|�� |

�� =(�� − ��)�+ (�� − ��)�+ (�� − ��)��

�(�� − ��)� + (�� − ��)� + (�� − ��)�

Andaikan � adalah sembarang titik dengan koordinat (�,�,�) dan vektor posisinya

terhadap pusat koordinat adalah � = ��+ ��+ ���. Vektor yang menghubungkan

antara titik �� dan � dinyatakan sebagai

� = � − ��

� = (� − ��)�+ (� − ��)�+ (�− ��)��

Proyeksi vektor � pada garis � dapat diperoleh dengan melakukan produk skalar

antara � dengan ��. Andaikan hasil produk skalar tersebut adalah �, dimana � adalah

tetapan, maka secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.

� ∙�� = �

Kedua ruas dibagi dengan |�| sehingga

|�|∙�� =

|�|

Page 51: Catatan Fismat

50

el-Madani

� ∙�� =�

|�|

|�||��|cos� =�

�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)�

Dimana � adalah sudut yang dibentuk oleh � dengan �� maka

1∙1cos� =�

�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)�

cos� =�

�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)�

�(� − ��)� + (� − ��)� + (�− ��)� =�

cos�

Semua titik yang vektor posisinya terhadap titik �� membetuk sudut � terhadap garis

� akan membentuk sebuah kerucut dengan puncak di titik ��.

Kasus khusus jika titik �� adalah titik pusat koordinat (0,0,0) maka � = � = ��+

��+ ��� dan �� = ���+ ���+ ���� sehingga persamaan kerucutnya menjadi

� ∙�� = �

|�|∙�� =

|�|

� ∙�� =�

|�|

|�|∙|��|cos� =�

|�|

x

y

z �

��

��

��

��

x

y

z

��

��

� ��

Page 52: Catatan Fismat

51

el-Madani

1∙1cos� =�

��� + �� + ��

cos� =�

��� + �� + ��

Elips

Elips adalah himpunan titik yang jumlahan jarak titik-titik itu dari dua titik yang

tetap (fokus) adalah sama. Andaikan ��(��,��) dan ��(�

�,��) adalah fokus dari

elips, dengan vektor posisi masing-masing adalah �� = ���+ ��� dan �� = ���+

���. Sedangkan titik �(�,�) adalah sembarang titik pada elips dengan vektor posisi

terhadap pusat koordinat adalah � = ��+ ��. Berdasarkan definisi elips, maka

semua titik � pada elips berlaku bahwa jumlah jarak � terhadap �� dan jarak �

terhadap �� selalu sama yaitu sebesar dua kali setengah sumbu panjangnya.

Pernyataan tersebut jika dinyatakan dalam persamaan vektor adalah sebagai berikut.

|� − ��|+ |� − ��|= 2�

Dimana � adalah setengah sumbu panjang elips.

|��+ ��− (���+ ���)|+ |��+ ��− (���+ ���)|= 2�

|��− ���+ ��− ���|+ |��− ���+ ��− ���|= 2�

�(� − ��)� + (� − ��)� + �(� − ��)� + (� − ��)� = 2�

Pada gambar sebelah kiri tampak bahwa � memiliki jarak yang sama terhadap titik

fokus �� dan �� yaitu sebesar �. Dimana � adalah setengah sumbu panjang elips, �

x

y

z

��(��,��)

2� �(�,�)

��(��,��)

�� ��

� − �� � − ��

��(��,��)

�(�,�)

��(��,��)

2�

x y

z

Page 53: Catatan Fismat

52

el-Madani

adalah setengah sumbu pendek elips sedangkan 2� adalah jarak kedua fokus.

Hubungan antara �, � dan � adalah sebagai berikut.

�� = �� + ��

Perbandingan antara setengah jarak fokus dan setengah sumbu panjang disebut

sebagai eksentrisitas.

�= �

Jika � = 0 yang berarti �� dan �� di titik yang sama, maka

�= �

0 = �

Akibatnya

�� = �� + ��

�� = ��

� = �

Hal tersebut berarti bahwa ketika elips memiliki eksentrisitas 0, maka akan

membentuk lingkaran. Berikut adalah buktinya.

|� − ��|+ |� − ��|= 2�

Karena �� = �� maka

|� − ��|+ |� − ��|= 2�

|��+ ��− (���+ ���)|+ |��+ ��− (���+ ���)|= 2�

|��− ���+ ��− ���|+ |��− ���+ ��− ���|= 2�

�(� − ��)� + (� − ��)� + �(� − ��)� + (� − ��)� = 2�

2�(� − ��)� + (� − ��)� = 2�

�(� − ��)� + (� − ��)� = �

(� − ��)� + (� − ��)� = ��

Persamaan tersebut adalah persaman lingkaran dengan pusat di titik (��,��) dan

berjari-jari �

Jika � = � maka

�� = �� + ��

�� − �� = ��

0 = ��

0 = �

Page 54: Catatan Fismat

Jika � = 0 berarti tidak ada sumbu pendek, sehingga

garis lurus. Eksentrsitasnya

Contoh :

Sebuah asteroid dengan orbit berbentuk elips tiba

benda asing sehingga pada saat jaraknya terhadap matahari

berhenti mengorbit. Dengan keadaan maka asteroid akan jatuh ke matahari dalam

waktu tertentu. Tentukan waktu yang diperlukan asteroid untuk jatuh ke matahari.

Jawab :

Karena asteroid berhenti mengorbit maka orbit asteroid menjadi beru

dengan jarak � dari matahari. Untuk menentukan waktu jatuhnya asteroid dapat

dilakukan dengan menggunakan hukum Kepler III

Periode bumi adalah 1 tahun, sedangkan jarak

bumi matahari adalah

tersebut dapat diselesaikan menjadi.

1

1=

1 =

���������

Satu periode asteroid dengan lintasan lurus

adalah waktu yang diperlukan asteroid menuju matahari kemudian kembali ke posisi

semula. Jadi waktu untuk sampai di matahari

berarti tidak ada sumbu pendek, sehingga bentuk lintasannya berbentuk

. Eksentrsitasnya adalah 1.

� =�

� = 1

Sebuah asteroid dengan orbit berbentuk elips tiba-tiba mengalami benturan dengan

benda asing sehingga pada saat jaraknya terhadap matahari � SA asteroid tersebut

berhenti mengorbit. Dengan keadaan maka asteroid akan jatuh ke matahari dalam

waktu tertentu. Tentukan waktu yang diperlukan asteroid untuk jatuh ke matahari.

Karena asteroid berhenti mengorbit maka orbit asteroid menjadi beru

dari matahari. Untuk menentukan waktu jatuhnya asteroid dapat

dilakukan dengan menggunakan hukum Kepler III

���� ��

���� �� =

����������

��

Periode bumi adalah 1 tahun, sedangkan jarak

bumi matahari adalah 1 SA maka persamaan

tersebut dapat diselesaikan menjadi.

����������

��

����������

��

�������� = ���

asteroid dengan lintasan lurus

adalah waktu yang diperlukan asteroid menuju matahari kemudian kembali ke posisi

la. Jadi waktu untuk sampai di matahari (�) adalah setengah dari periodenya.

�=1

2���������

�=1

2���

53

el-Madani

bentuk lintasannya berbentuk

tiba mengalami benturan dengan

SA asteroid tersebut

berhenti mengorbit. Dengan keadaan maka asteroid akan jatuh ke matahari dalam

waktu tertentu. Tentukan waktu yang diperlukan asteroid untuk jatuh ke matahari.

Karena asteroid berhenti mengorbit maka orbit asteroid menjadi berupa garis lurus

dari matahari. Untuk menentukan waktu jatuhnya asteroid dapat

adalah waktu yang diperlukan asteroid menuju matahari kemudian kembali ke posisi

adalah setengah dari periodenya.

Page 55: Catatan Fismat

54

el-Madani

KALKULUS VEKTOR

Seekor kupu-kupu terbang dengan persamaan posisi �(�)= �(�)�+ �(�)�+ �(�)��.

Pada saat �= �� posisi kupu-kupu berada di titik �(��) sedangkan pada saat �= ��

posisi kupu-kupu berada di

�(��). Selama selang waktu

antara �� dan ��, kupu-kupu

mengalami perpindahan

�(��)− �(��). Kecepatan

kupu-kupu selang waktu

antara �� dan �� dapat

ditentukan dengan persamaan

berikut.

⟨�⟩��→ �� =�(��)− �(��)

�� − ��

⟨�⟩��→ �� =[�(��)− �(��)]�+ [�(��)− �(��)]�+ [�(��)− �(��)]��.

�� − ��

⟨�⟩��→ �� = ⟨��⟩��→ �� �+ ⟨��⟩��→ �� �+ ⟨��⟩��→ ����

Kecepatan sesaat adalah kecepatan saat �� dekat ��. Andaikan �� = � dan �� = �+

∆� sehingga

⟨�⟩�→ �� ∆� =[�(�+ ∆�)− �(�)]�+ [�(�+ ∆�)− �(�)]�+ [�(�+ ∆�)− �(�)]��

�+ ∆�− �

⟨�⟩�→ �� ∆� =�(�+ ∆�)− �(�)

∆��+

�(�+ ∆�)− �(�)

∆��+

�(�+ ∆�)− �(�)

∆���

Untuk ∆� mendekati nol (∆�→ 0) maka ∆�= ��. Sehingga

�(�)= lim∆�→ �

⟨�⟩�→ �� ∆�

�(�)= �lim∆�→ �

�(�+ ∆�)− �(�)

∆���+ �lim

∆�→ �

�(�+ ∆�)− �(�)

∆���

+ �lim∆�→ �

�(�+ ∆�)− �(�)

∆����

�(�)= �(�)�+ �(�)�+ �(�)��

��

��=��

���+

��

���+

��

����

x y

z

�(��) �(��)

�(��)− �(��)

Page 56: Catatan Fismat

55

el-Madani

Andaikan diketahui

�(�)= ���(�)���

Maka berlaku aturan-aturan berikut.

��

��= �

���

����

����(�)∙�� (�)� =

�������(�)��

� ∙����(�)���

��

����(�)∙�� (�)� =

������(�)��(�)�� ∙��

�,�

����(�)∙�� (�)� =

������(�)��(�)���

�,�

����(�)∙�� (�)� =

������(�)��(�)

����(�)∙�� (�)� = �

�����(�)��(�)�

����(�)∙�� (�)� = �

���(�)

�����(�)�

+ ���(�)���(�)

���

����(�)∙�� (�)� =

��(�)

��∙�� (�)+ �(�)∙

��� (�)

��

Contoh :

Perubahan usaha sama dengan perubahan energi kinetik sehingga dapat dinyatakan

sebagai �� = ��. Perubahan energi kinetik terhadap waktu dituliskan sebagai

��

��=�

���1

2� � ∙��

��

��=1

2��

��(� ∙�)

��

��=1

2� �

��

��∙� + � ∙

��

���

��

��=1

2� �2� ∙

��

���

Page 57: Catatan Fismat

56

el-Madani

��

��= � � ∙

��

��

��

��= �

��

��∙��

��

��

��= �

��

��∙��

��

��

��= �� ∙

��

��

�� = �� ∙��

�� = �� ∙��

����(�)× �� (�)�=

���������

�(�)��(�)���,�,�

����(�)× �� (�)� = �����

�����(�)��(�)���

�,�,�

����(�)× �� (�)� = ����� �

� ���(�)�

�����(�)�+ ���(�)�

� ���(�)�

�����

�,�,�

����(�)× �� (�)� = ����� �

���(�)

����(�)� ��

�,�,�

+ ����� ���(�)

���(�)

��� ��

�,�,�

����(�)× �� (�)� =

��

��× �� + � ×

���

��

Contoh :

Momentum sudut adalah produk silang dari posisi terhadap pusat dengan mpmentum

linear benda yang dapt dituliskan sebagai �= � × �. Torka adalah turunan

momentum sudut terhadp waktu sehingga dapat dinyatakan sebagai

� =��

��

� =�(� × �)

��

� =��

��× � + � ×

��

��

� = � × � � + � × ��

Page 58: Catatan Fismat

57

el-Madani

� = � � × � + � × ��

� = � × ��

Jadi torka juga dapat diperoleh dari produk silang antara posisi dan resultan gaya

yang bekerja pada benda.

Andaikan �(�),�� (�) adalah vektor dan � = �(�)⊗ �� (�) adalah subuah tensor,

maka turunan tensor � terhadap � adalah sebagai berikut.

�����

��=

����(�)⊗ �� (�)�

���

�����

��=

����(�)�

�⊗ �� (�)�

��

�����

��=

��������(�)

⊗ �����(�)�

�����

��= �������

�,�

��(�(�)� ⊗ �(�)�)

�����

��= �������

�,�

��(�)�

��⊗ �(�)� + �������

�,�

�(�)� ⊗��(�)�

��

�����

��=��(�)�

��⊗ �� (�)�

�+ �(�)�

�⊗��� (�)�

��

��

��=��(�)

��⊗ �� (�)+ �(�)⊗

��� (�)

��

� ��(�)⊗ �� (�)�

��=��(�)

��⊗ �� (�)+ �(�)⊗

��� (�)

��

Contoh

Posisi pusat massa dari suatu sistem dinyatakan sebagai

N

jjj

N

jjjN

ii

trmM

trm

m

tR11

1

)(1

)(1

)(

Maka tentukanlah persamaan kecepatan, momentum dan gaya pusat massa tersebut!

Jawab

Page 59: Catatan Fismat

58

el-Madani

Kecepatan pusat massa

�(�)=��� (�)

��

�(�)=�

���1

��� ���(�)

���

�(�)=1

��� �

� ���(�)�

��

���

�(�)=1

��� ���(�)

���

�(�)=1

����(�)

���

Jadi kecepatan pusat massa sama dengan jumlahan momentum masing-masing

partikel dibagi dengan massa total sistem.

Momentum pusat massa

������� = � �(�)

������� = �1

����(�)

���

������� = ���(�)

���

Jadi momentum pusat massa sama dengan jumlahan momentum masing-masing

partikel.

������ =����������

������ =�

������(�)

���

������ = �� ���(�)�

��

���

������ = ���(�)

���

Page 60: Catatan Fismat

59

el-Madani

Contoh :

Jika �(�)= �cos(��)�+ � sin(��)�+ ��� maka tentukan besarnya |�| dan |�|

serta sketsa gerakannya.

Jawab :

�(�)=��

��=�

���� cos(��)�+ � sin(��)�+ ����

�(�)=�

��[�cos(��)]�+

��[�sin(��)]�+

��

����

�(�)= −�� sin(��)�+ �� cos(��)�

|�|= � � ∙�

|�|= �(−�� sin(��)�+ �� cos(��)�)∙(−�� sin(��)�+ �� cos(��)�)

|�|= ����� sin�(��)+ ���� cos�(��)

|�|= �����[sin�(��)+ cos�(��)]

|�|= ��

�(�)=��

��=�

��(−�� sin(��)�+ �� cos(��)�)

�(�)=�

��[−�� sin(��)]�+

��[�� cos(��)]�

�(�)= −��� cos(��)�− ��� sin(��)�

|�|= � � ∙�

|�|= �(−��� cos(��)�− ��� sin(��)�)∙(−��� cos(��)�− ��� sin(��)�)

|�|= ����� cos�(��)+ ���� sin�(��)

|�|= �����[cos�(��)+ sin�(��)]

|�|= ���

|�|= � = ���

� =����

� =��

Jadi |�|= �� dan |�|= ���.

Page 61: Catatan Fismat

60

el-Madani

Gerakan yan digambarkan oleh persamaan

pada bidang � = �. Berikut adalah sketsa gerakannya.

GAYA SEBAGAI FUNGSI POSISI

��

��

� = � ����(�)� ∙��(�)��

�� ∆�

TATA KOORDINAT KARTESIAN

1. GRADIENSI

Fungsi gradiensi adalah

mengubah skalar menjadi vektor.

Berdasarkan gambar, maka dapat

diperoleh hubungan

∆� = �(� + ∆�)− �

Dengan menggunakan deret taylor maka

berikut.

x

Gerakan yan digambarkan oleh persamaan-persamaan di atas adalah gerak melingkar

. Berikut adalah sketsa gerakannya.

GAYA SEBAGAI FUNGSI POSISI ��(�)�

�� = � ∙��

� ��

��

= � ���(�)� ∙��

��,�� ∆�

��,�

= � ���(�)� ∙�[�(�)]

����

�� ∆�

� = � ���(�)� ∙�(�)��

�� ∆�

( )��+ � ����(�)� ∙��(�)��

�� ∆�

+ � ����(�)�

�� ∆�

TATA KOORDINAT KARTESIAN

Fungsi gradiensi adalah

mengubah skalar menjadi vektor.

Berdasarkan gambar, maka dapat

) �(�)

Dengan menggunakan deret taylor maka �(� + ∆�) dapat diuraikan sebagai

x

z

y

� − ��� (0,0,�)

samaan di atas adalah gerak melingkar

( )� ∙��(�)��

dapat diuraikan sebagai

Page 62: Catatan Fismat

61

el-Madani

�(� + ∆�)= �(�)+��

��∆� +

��

��∆� +

��

��∆�+

1

2!

���

���∆�� +

1

2!

���

���∆��

+1

2!

���

���∆�� +

1

2!

���

����∆�∆� +

1

2!

���

����∆�∆�+

1

2!

���

����∆�∆�

+ ⋯

Untuk ∆�,∆�,∆� sangat kecil maka ∆� = ��,∆� = ��,∆� = �� kemudian suku

keempat dan seterusnya dapat diabaikan sehingga menjadi

�(� + ��)= �(�)+��

���� +

��

���� +

��

����

�(� + ��)− �(�)=��

���� +

��

���� +

��

����

�(��)=��

���� 1+

��

���� 1+

��

���� 1

�(��)=��

�����∙�+

��

�����∙�+

��

������∙��

�(��)= ���

���+

��

���+

��

�����∙����+ ���+ �����

�(��)= ��

���+

���+

�����

�������������∇

� ∙����+ ���+ �����

�(��)= ∇� ∙����+ ���+ �����

Jadi operator gradiensi adalah

∇=�

���+

���+

����

Andaikan diketahui �(�)= �(�,�,�) adalah suatu medan skalar stasioner

(bukan fungsi waktu (t) secara eksplisit) jika dikenai gradiensi maka akan

diperoleh vektor berikut.

��

��=��

��

��

��+��

��

��

��+��

��

��

��

∇� = ���� � =��

���+

��

���+

��

����

∇� = ���

�����

Page 63: Catatan Fismat

62

el-Madani

∇� = �������

∇� = �����

Andaikan � = ��+ ��+ ��� maka

|�|= � = ��� + �� + ��

� = �������

��

∇1

�= ��� ������

���

���

∇1

�= ��−

1

2�������

��� �

���������

� ���

∇1

�= ��−

1

2��������

���

������

����

���

∇1

�= ��−

1

2��1

���

�2�����

�����

∇1

�= −�

1

���

���������

∇1

�= −�

1

������

∇1

�= −

1

��������

∇1

�= −

��

Soal

� = −��

� = −∇�

� = ∇��

� = �� ∇1

M �

U

Page 64: Catatan Fismat

63

el-Madani

� = ���

��

∇(��)= ��(��)

�����

∇(��)= ����

���� + �

��

������

∇(��)= ����

�����

�� + � ����

�����

∇(��)= (∇�)� + �(∇�)

∇(��)= �(∇�)+ �(∇�)

∇��� ∙���� � = ��

������ ∙���� ���

∇��� ∙���� � = ��

�������� �

� ���

∇��� ∙���� � = ����� �

�����

��

MAKNA GRADIEN

Vektor kontravrian adalah vektor

yang merupakan garis singgung

suatu kurva.

Vektor kovarian adalah vektor yang

merupakan gradien dari suatu

medan skalar.

Iso/eki skalar adalah permukaan

yang nilai skalarnya sama.

Contoh :

� (�)= −��

� = −��

� = −��

x

z

y

��

��

∆�

� + ∆�

�(��)

�(��)

�(�)

Page 65: Catatan Fismat

64

el-Madani

� harus negatif agar diperoleh r positif. Bentuk ekipotensial dari � (�) adalah

permukaan bola.

Perhatikan gambar di samping. Semua nilai � yang terletak pada permukaan

ekipotensial adalah sama, sehingga

�(� + ∆�)− �(�)= 0

∆� = 0

Untuk ∆� → 0 maka �� = 0.

Karena � = �(�,�,�) maka

�� =��

���� +

��

���� +

��

����

�� = ∇���� + ∇���� + ∇����

�� = �∇���+ ∇���+ ∇����� ∙����+ ���+ �����

�� = ∇� ∙��

0 = ∇� ∙��

Karena �� ∙�� = 0 hal ini berarti bahwa �� dan �� saling tegak lurus dan berarti

�� tegak lurus permukaan ekipotensial.

Andaikan � = ��+ ��+ ��� maka ��

��= �, jadi

dapat disimpulkan bahwa � adalah vektor

kontravarian.

Andaikan ��(�,�,�)= � maka

∇�� =�����

�+���

���+

�����

��

∇�� =��

���+

�0

���+

�0

����

∇�� =��

���+ 0+ 0

∇�� = �

Dengan demikian � adalah vektor kovarian. Jadi �,�,�� adalah vektor kovarian dan

kontravarian.

Contoh :

PARABOLA

grafrik parabola dapat dinyatakan dengan persamaan berikut.

x

y

z

�(�)

Page 66: Catatan Fismat

65

el-Madani

� = �� ��� − � = 0

� − �� = 0�

Tentukan persamaan vektor yang tegak lurus pada titik (2,4)!

Jawab :

Kurva isoskalar

�(�,�)= �� − � = 0

∇� =��

���+

��

���

∇� =�(�� − �)

���+

�(�� − �)

���

∇� = 2��− �

Pada titik (2,4) maka ∇�(2,4)= 4�− �

sehingga arah ∇� mengikuti arah bertambahnya x.

�(�,�)= � − �� = 0

∇� =��

���+

��

���

∇� =�(� − ��)

���+

�(� − ��)

���

∇� = −2��+ �

Pada titik (2,4) maka ∇�(2,4)= −4�+ � sehingga arah ∇� mengikuti arah

bertambahnya y.

PARABOLOID

Persamaan untuk paraboloid adalah

�� + �� = �

�� + �� − � = 0

Tuliskan vektor yang tegak lurus

paraboloid pada titik (2,2,8) !

Jawab :

�(�,�,�)= �� + �� − � = 0

∇�(�,�,�)=��

���+

��

���+

��

����

∇�(�,�,�)=�(�� + �� − �)

���+

�(�� + �� − �)

���+

�(�� + �� − �)

����

∇�(�,�,�)= 2��+ 2��− ��

∇�(2,2,8)= 4�+ 4�− ��

x 2

4 � = �� − �

� = � − �� y

� = ��

x

y

z

2

2

8

∇� = 4�+ 4�− ��

Page 67: Catatan Fismat

66

el-Madani

HIPERBOLOIDA

Andaikan diketahui persamaan

��

��+��

��−��

��= 1

Persamaan tersebut adalah persamaan untuk hiperboloida.

Andaikan titik (��,��,��) berada pada permukaan hiperboloida maka vektor yang

tegak lurus titik tersebut adalah.

�(�,�,�)=��

��+��

��−��

��− 1 = 0

∇�(�,�,�)=��

���+

��

���+

��

����

∇�(�,�,�)=� ���

��+��

��−��

��− 1�

���+

����

��+��

��−��

��− 1�

���

+� ���

��+��

��−��

��− 1�

����

∇�(�,�,�)=2�

���+

2�

���−

2�

����

�∇�(�,�,�)|��,��,�� =2��

���+

2��

���−

2��

����

SELIMUT SILINDER

Andaikan diketahui persamaan selimut silinder �� + �� = ��, maka vektor yang

tegak lurus terhadap titik �(�,0,�) dan � ��

�√2�,

�√2�,�� dapat ditentukan dengan

jalan berikut. Andaikan diketahui medan skalar �(�,�,�)= �� + �� − �� = 0 maka

∇� =��

���+

��

���+

��

����

Page 68: Catatan Fismat

67

el-Madani

∇� =�(�� + �� − ��)

���+

�(�� + �� − ��)

���+

�(�� + �� − ��)

����

∇� = 2��+ 2��

Vektor yang tegak lurus selimut silinder di titik �(�,0,�) adalah

�∇�|�,�,� = 2��

Vektor yang tegak lurus selimut silinder di titik � ��

�√2�,

�√2�,�� adalah

�∇�|��√��,��√��,�

= √2� �+ √2� �

LAJU PERUBAHAN φ

Lintasan S berada pada

permukaan ekiskalar, sedangkan

S’ menembus permukaan

ekiskalar. Laju perubahan φ pada

lintasan S adalah 0 karena φ pada

S terletak pada permukaan

ekiskalar yang sama, sehingga

tidak ada perubahan φ di

sepanjang S.

���

���= 0

Laju perubahan φ pada S’ tidak sama dengan nol, karena S’ tidak berada pada

permukaan ekiskalar sehingga ada perubahan φ.

���

����≠ 0

x

z

y

�� ��

��

Page 69: Catatan Fismat

68

el-Madani

���

����= �

∇� ∙��

����

���

����= �∇� ∙

��

����

Nilai �� �

���� maksimum jika ∇� sejajar/paralel dengan ��

���

����= |∇�|�

��

����

Dimana |∇�| adalah laju perubahan maksimum dari �.

Jika �� paralel dengan ∇� maka laju perubahannya maksimum.

Jika �� searah dengan ∇� maka laju perubahannya maksimum.

Jika �� berlawanan arah dengan ∇� maka laju pengurangannya maksimum.

Jadi arah ∇� searah dengan laju perubahan maksimum.

Contoh :

Jika diketahui � = ���sin(��)= ��� maka

��

��=�(���)

��

��

��+�(���)

��

��

��+�(���)

��

��

��+�(���)

��

��

��

��

��= ���� + 0+ 0+ ��

��

��= ���� + ��

Jika diketahui � = ��sin(��)= �� maka

��

��=�(��)

��

��

��+�(��)

��

��

��+�(��)

��

��

��+�(��)

��

��

��

��

��= ��� + 0+ 0+ 0

��

��= ���

2. DIVERGENSI

Fungsi divergensi adalah untuk mengubah vektor menjadi skalar.

∇ ∙�� (�)=���

��+���

��+���

��

∇ ∙�� (�)= ���� + ���

� + ����

∇ ∙�� (�)= ����

����

Page 70: Catatan Fismat

69

el-Madani

∇ ∙�� (�)= �����

Jika dinyatakan dalam matriks maka dapat dituliskan sebagai berikut.

∇↔ �

������

� sedangkan �� ↔ ���

��

���

∇�� = ∇ ⊗ �� = �

���� ���

� ����

���� ���

� ����

���� ���

� ����

Trace�∇�� � = ∇ ∙��

Trace�∇�� � = ���� + ���

� + ����

∇ ∙∇� = ∇��

∇ ∙∇� = ∆�

∇ ∙∇� = ����

����

∇ ∙� = ����

����

∇ ∙� =��

��+��

��+��

��

∇ ∙� = 1+ 1+ 1 = 3

∇ ∙���� � = �������

����

∇ ∙���� � = ����

����� + �

���

����

∇ ∙���� � = ����

������

+ ������

����

∇ ∙���� � = ����

������

+ ������

����

∇ ∙���� � = ∇φ ∙�� + �∇ ∙��

3. ROTASI

Operator Rotasi didefinisikan sebagai berikut.

Page 71: Catatan Fismat

70

el-Madani

∇ × �� = ∇ ∧ �� = ��� �� = ���� ��

∇ × �� = �� � ��

�� �� ���� �� ��

∇ × �� = ����� − ���

���+ (���� − ���

�)�+ ����� − ���

�� �

∇ × �� = �����������

���

Contoh :

∇ × � = �����������

���

∇ × � = ��������

�����

���

∇ × � = �������������

∇ × � = ������������

∇ × � = �0.1.����

= 0

∇ × � = 0

Atau

∇ × �� =

⎣⎢⎢⎡� � ��

��

��

��� � � ⎦

⎥⎥⎤� ��

��

��� �

∇ × �� = ���

��−��

����+ �

��

��−��

����+ �

��

��−��

�����

∇ × �� = 0�+ 0�+ 0��= 0

Andaikan �� = ∇� maka curl dari �� adalah sebagai berikut

∇ × ∇� = ∇ × ��������

Page 72: Catatan Fismat

71

el-Madani

∇ × �� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡� � ��

��

��

����

��

��

��

��

��⎦⎥⎥⎥⎥⎤� ��

��

����

��

��

��

∇ × �� = ��

��

��

��−�

��

��

����+ �

��

��

��−�

��

��

����+ �

��

��

��−�

��

��

�����

∇ × �� = ��

��

��

��−�

��

��

����+ �

��

��

��−�

��

��

����+ �

��

��

��−�

��

��

�����

∇ × �� = 0�+ 0�+ 0��= 0

Atau

∇ × ∇� = ������������

���

Karena ���� bersifat asimetri sedangkan ���� adalah simetri, maka untuk semua

kombinasi ijk akan ada yang saling meniadakan contohnya adalah kombinasi berikut

�������� − �������� = 0

∇ × ∇� = 0

∇ × �� = 0 maka �� = ∇� jika ruangannya simple connected.

Andaikan � = �� maka curl dari � adalah

∇ × � = ∇ × ����

∇ × � = ������������

�,�,�

e��

∇ × � = ����� �(���)�� + ��������e���,�,�

∇ × � = �����(���)��e���,�,�

+ ������������e���,�,�

∇ × � = ∇� × � + �∇ × �

∇ × ���� = ∇� × � + �∇ × �

Andaikan �� = ∇ × � dan �� = � + ∇� maka

�� � = ∇ × ��

�� �= ∇ × �� + ∇� �

�� � = ∇ × � + ∇ × ∇�

�� �= ∇ × � + 0

Page 73: Catatan Fismat

72

el-Madani

�� �= ��

∇ ∙∇ × �� = ��

����

�∇ × �� ��

∇ ∙∇ × �� = ��

��������

�����

���

∇ ∙∇ × �� = ������

����

�����

���

∇ ∙�∇ × �� � = 0

∇�� ∙�� � = ����� ∙�� ����

∇�� ∙�� � = ��� �������

� ���

∇�� ∙�� � = ���������� + �������������

∇�� ∙�� � = ������� − ���� + ������� + ������� − ���� + ����������

∇�� ∙�� � = ������� − ���� + ��������� + ������� − ���� + ��������

��

∇�� ∙�� � = ������� − ��������� + ���������� + ������� − ���������

+ �����������

∇�� ∙�� � = ������� − ����������

��

+ ��������� − ��������

��

+ �������������

+ �����������

��

∇�� ∙�� � = ���∇ × ��������

��

+ �����∇ × �� �����

��

+ ��� ���������

+ ��� ���������

Page 74: Catatan Fismat

73

el-Madani

∇�� ∙�� � = ������∇ × ����������

+ ��������∇ × �� �������

+ ��� ���������

+ ��� ���������

∇�� ∙�� � = ��������∇ × ��������

+ ��������∇ × �� �������

+ ������

+ �������

∇�� ∙�� � = �� × �∇ × �� + � × �∇ × �� � + ��� ∙∇�� + �� ∙∇���

Contoh :

Andaikan sebuah sistem bergerak dengan persamaan posisi sebagai berikut.

�(�)= (1− ����)�� cos(��)�+ (1− ����)

�� sin(��)�+ ����

Tentukan sketsa gerak sistem!

|�(�)|= � �(�)∙�(�)

|�(�)|= �(1− ����)cos�(��)+ (1− ����)sin�(��)+ ����

|�(�)|= �(1− ����)[cos�(��)+ sin�(��)]+ ����

|�(�)|= �(1− ����)+ ����

|�(�)|= √1 = 1

Berdasarkan penyelesaian |�(�)| di atas, maka dapat disimpulkan bahwa benda

bergerak pada jarak 1 satuan dari pusat koordinat, dan daerah yang mungkin untuk

dilewati benda adalah permukaan bola. Gambar di bawah ini adalah sketsa lintasan

benda yang berupa permukaan bola.

x

y

z

Sketsa lintasan benda berbentuk permukaan bola

Page 75: Catatan Fismat

74

el-Madani

Gambar di bawah adalah sistem mekanik dimana bermassa m memiliki lintasan

berupa permukaan bola dengan jari-jari 1 satuan.

INTEGRAL LINTASAN DAN INTEGRAL PERMUKAAN

�(�) adalah gaya yang

bergantung pada posisi,

jadi di setiap titik

berubah besar dan

arahnya. Usaha yang dilakukan oleh �(�) pada masing-masing segmen adalah

∆� = �(�)∙∆�

Usaha seluruh panjang lintasan

� = �∆�

� = �(�)∙∆�

� = lim� ��|∆�|→ �

�(�)∙∆�

� = � �(�)∙��

Dimana

�(�)∙�� = ��(�,�,�)�� + ��(�,�,�)�� + ��(�,�,�)��

Maka

� �(�)∙��

= � ��(�,�,�)��

��

��

+ � ��(�,�,�)��

��

��

+ � ��(�,�,�)��

��

��

m 1 satuan

Sistem mekanik yang sesuai

�(��,��,��)

�(��,��,�� )

�(�)

��

Page 76: Catatan Fismat

75

el-Madani

Untuk arah yang berlawanan maka

� �(�)∙��

��

= − � �(�)∙��

Jika �� =� �

���� maka

� �(�)∙��

= � �(�)∙��

����

� �(�)∙��

= � �����

��+ ��

��

��+ ��

��

�����

Jika terdapat dua lintasan yang saling sambung menyambung maka akan memenuhi

persamaan berikut.

� = �� ⊕ ��

� �(�)∙��

��⊕ ��

= � �(�)∙��

��

+ � �(�)∙��

��

INTEGRAL LINTASAN TERTUTUP

C adalah lintasan tertutup, dimulai dari titik A

kembali lagi ke titik A. Oleh karena itu maka

persamaan integralnya menjadi berikut.

� = � �(�)∙��

Jika ∮ �(�)∙���

= 0,∀� lintasan tertutup maka � adalah medan vektor lestari

(konservatif).

��

�� � �

C A

Page 77: Catatan Fismat

76

el-Madani

Integral lintasan medan skalar

Integral lintasan bagi medan skalar dimulai dari jumlahan segmen-segmen garis

sebanyak � segmen.

��(��)∆��

���

Jika segmen tersebut semakin diperkecil sehingga menuju nol atau dengan kata lain

� → ∞ maka akan diperoleh integral garis bagi medan skalar.

� �(�)��

�� �

= lim� → �

���(��)∆��

���

Jika � = �(�,�,�) maka

� �(�)��

�� �

= � �(�)��

��

��

+ � �(�)��

��

��

+ � �(�)��

��

��

INTEGRAL PERMUKAAN

Perhatikan gambar di samping.

Berdasarkan gambar di samping

maka dapat dituliskan

∆� = ∆���

Dengan �� adalah vektor normal.

Vektor normal �� selalu berubah

arahnya dari titik ke titik dan ��

tegak lurus permukaan ∆�.

Sehingga x

z

y

��

�(�)

∆�

��

��

Page 78: Catatan Fismat

77

el-Madani

�(��)∙∆�� = �(��)∙��∆��

Untuk � elemen luas maka

�(�)∙∆� = ��(��)∙��∆��

���

Jika elemen luasan ∆�� → 0 maka dapat dituliskan sebagai ��. Sehingga

lim∆��→ �

���(��)∙��∆��

���

� = � �(�)∙��

Untuk permukaan tertutup maka berlaku

� �(�)∙��

Untuk medan skalar maka integral permukaan untuk permukaan terbuka adalah

� �(�)��

Sedangkan untuk permukaan tertutup adalah

� �(�)∙��

Contoh

Berapakah banyaknya fluida yang mengalir tiap satuan waktu melalui permukaan

terbuka � jika kecepatan fluida hanya merupakan fungsi posisi �(�).

Jawab

�� = ����

�� = ����|��|��

�� = �(�)��

Page 79: Catatan Fismat

78

el-Madani

�� = �(�)����|��|��

��

��= �(�)����|��|

��

��= �(�)���� cos� |��|

��

��= �(�)� ∙��

Untuk seluruh permukaan maka

�= � �(�)� ∙��

Contoh

Berapakah banyaknya fluida yang mengalir tiap satuan waktu melalui permukaan

tertutup � jika kecepatan fluida hanya merupkan fungsi posisi �(�).

Jawab

Fluida yang keluar dari permukaan

��

��= � �� ∙��

Massa keseluruhan di dalam permukaan tertutup

�� = �(�)��

Page 80: Catatan Fismat

79

el-Madani

� �� = � �(�)��

� = � �(�)��

Massa yang mengalir tiap satuan waktu

��

��=�

��� �(�)���������

����� ������ ������

��

��= �

��(�)

����

������������������ � ���������� �����

���� ����� ��������

Banyaknya fluida yang keluar dari permukaan tertutup tiap satuan waktu adalah

negatif dari perubahan massa fluida tiap satuan waktu di dalam permukaan tertutup.

� �� ∙��

= − ���(�)

����

� ∇ ∙(��)��

= − ���(�)

����

� �∇ ∙(��)+��(�)

�����

= 0

∇ ∙(��)+��(�)

��= 0

��������������������� ��� �����������

∇ ∙(��)+��(�)

��= 0

∇� ∙� + �∇ ∙� +��(�)

��= 0

Page 81: Catatan Fismat

80

el-Madani

���(�)

���+

��(�)

���+

��(�)

����� ∙����+ ���+ ����� +

��(�)

��

��

��+ �∇ ∙� = 0

���(�)

���+

��(�)

���+

��(�)

����� ∙�

��

���+

��

���+

��

�����+

��(�)

��

��

��+ �∇ ∙� = 0

��(�)

��

��

��+��(�)

��

��

��+��(�)

��

��

��+��(�)

��

��

��+ �∇ ∙� = 0

��(�)

��+ �∇ ∙� = 0

Untuk fluida yang incompressible maka ��(�)

��= 0 sehingga

��(�)

��+ �∇ ∙� = 0

�∇ ∙� = 0

Karena �(�)≠ 0 maka

∇ ∙� = 0

sehingga

� � ∙��

= � ∇ ∙���

− � �� ∙�����

������������������ ������

���� �� � ������ ����

������ ���

+ � �� ∙�����

��

+ � �� ∙�����

��

= � 0��

− � �� ∙�����

��

+ � 0� ∙�����

��

+ � �� ∙�����

��

= 0

−���� + ���� = 0

���� = ����

Page 82: Catatan Fismat

81

el-Madani

Contoh

Hukum gauss pada listrik statis berlaku persamaan

∮ �� ∙�� =�

�� dengan � adalah muatan yang dilunkupi

oleh permukaan tertutup �. Andaikan terdapat bola

pejal bermuatan berjari-jari � , dengan rapat muatan

konstan �, maka tentukan �� untuk

a. � < �

� �� ∙�� =�

��

� � ��� sin� ����

��

� ��

���

= ����

���

���(− cos�)�� ��|�

�� =�

��� � � �� sin� ������

��

� ��

���

���

����−(cos� − cos0)�(2� − 0)=�

��

1

3���|���

� (− cos�)�� ��|�

��

�4��� =�

��

4

3���

� =�

3���

b. � > �

� �� ∙�� =�

��

� � ��� sin� ����

��

� ��

���

= ����

���

���(− cos�)�� ��|�

��

=�

��� � � �� sin� ������

��

� ��

���

���

Page 83: Catatan Fismat

82

el-Madani

����−(cos� − cos0)�(2� − 0)=�

��

1

3���|���

� (− cos�)�� ��|�

��

�4��� =�

��

4

3���

� =���

3����

TEOREMA GAUSS

Andaikan A adalah permukaan yang

membatasi ruang dengan volum V, maka

berlaku persamaan

� � ∙��

= � ∇ ∙���

Untuk kasus ∇ ∙� = 0 maka

� � ∙�� = 0

Perhatikan gambar di bawah. Pada gambar sebelah kiri terdapat suatu permukaan

dengan luas A akan tetapi bagian alasnya terbuka. Gambar sebelah kanan adalah

gambar suatu permukaan dengan luas A dimana bagian alasnya tertutup dengan luas

alas B. Jika bagian B diikutkan, maka integral yang dilingkupi oleh permukaan

tertutup A’ adalah sebagai berikut.

V

A

�(�)

x

z

y

Alas berlubang

A

x

z

y

B

A

A’

Page 84: Catatan Fismat

83

el-Madani

� � ∙��

− � � ∙��

= 0

� � ∙��

= � � ∙��

Perhatikan gambar di samping. Kontur C

bergerak dari A menuju ke B dengan lintasan

atas. Kontur C’ bergerak dari B menuju A

padalintasan horisontal, sedangkan kontur �

bergerak dari A menuju B berlawanan arah

dengan C’. Integral lintasan tertutup pada

kontur di samping dapat dilkukan dengan

menelusuri kontur C dan di lanjutkan dengan

kontur C’. Sehingga persamaan integral lintasan

tertutupnya adalah sebagai berikut.

� � ∙��

�⊕ ��

= � � ∙��

+ � � ∙��

��

Hasil dari integral lintasan tertutup adalah nol sehingga persamaan di atas menjadi

berikut.

0 = � � ∙��

+ � � ∙��

��

Kontur C’ memiliki nilai yang sama dengan � tetapi arah berlawanan dan memenuhi

persamaan berikut ini.

� � ∙��

��

= − � � ∙��

Jika persamaan tersebut disubstitusikan ke persamaan sebelumnya maka akan

diperoleh persamaan berikut.

0 = � � ∙��

− � � ∙��

y

z

C

C’ B A

Page 85: Catatan Fismat

84

el-Madani

� � ∙��

= � � ∙��

Dengan demikian dapat disimpulakan bahwa hasil integral dari kontur C dapat

diperoleh dengan hasil yang sama melalui integral kontur � , dimana kontur �

merupakan proyeksi kontur C pada sumbu-x.

TEOREMA STOKES

Gambar di bawah ini menunjukkan suatu luasan A yang dibatasi oleh kontur C.

∮ � ∙���

= ∫ �∇ × �� ∙���

Contoh :

� �� ∙�� =�

��

� ∇ ∙�� �� =∭ � ��

��

� �∇ ∙�� � �� = � ��

�����

Sehingga

∇ ∙�� =�

��

Untuk Q adalah muatan titik di pusat koordinat maka

� = � �(�,�,�)��

�(�,�,�)= �= 0 ����� (�,�,�)≠ (0,0,0)

= � �����(�,�,�)= (0,0,0) �

Dengan demikian maka �� → 0 sehingga � harus infinite karena � =�

��→ ∞ . Oleh

karena itu maka

�(�,�,�,�)= ��(�,�,�)

��

Page 86: Catatan Fismat

85

el-Madani

�(�)= �0,� ≠ 0

→ ∞ ,� = 0 ⇒ � �(�)�� = 1�

�(�,�,�,�)= ��(�)

� �(�,�,�,�)�� = � ��(�)��

� �(�,�,�,�)�� = � � �(�)��

� �(�,�,�,�)�� = �.1 = �

Untuk

∇ ∙�� =�

��

∇ ∙�

4������ =

��(�)

��

∇ ∙1

4���

��� = �(�)

∇ ∙�−∇1

�� = 4��(�)

−∇ ∙∇1

�= 4��(�)

∇�1

�= −4��(�)

Contoh :

Tentukan nilai dari ∇� ��

�� !

∇� ��

�� = ∇ ∙∇ �

��

∇� ��

�� = ∇ ∙�

∇�

�+ �∇

1

��

∇� ��

�� = ∇ ∙�

∇�

��+ ∇ ∙��∇

1

��

∇� ��

�� = ∇ ∙�

∇�

��+ ∇� ∙∇

1

�+ �∇ ∙∇

1

∇� ��

�� = ∇ ∙�

∇�

��+ ∇� ∙∇

1

�+ ��−4πδ(�)�

Page 87: Catatan Fismat

86

el-Madani

Jika pada suatu sistem terdapat n

muatan seperti pada gambar di

samping, maka

�(�)= ��(� − ��)

Untuk n muatan maka

�(�)= ����(� − ��)

���

TEOREMA GAUSS UNTUK MEDAN SKALAR

�(�)= �(�)�

Dimana � adalah vektor tetap (tidak bergantung posisi)

� �(�)∙�� = � ∇ ∙�(�)��

� �(�)� ∙�� = � ∇ ∙(�(�)�)��

� �(�)� ∙�� = � ��∇ ∙�(�)�� + �(�)(∇ ∙�)���

� �(�)� ∙�� = � ��∇�(�)� ∙� + �(�).0���

� �(�)� ∙�� = � �∇�(�)� ∙���

� ∙� �(�)�� = � ∙� �∇�(�)���

� �(�)�� = � �∇�(�)���

TEOREMA STOKES UNTUK MEDAN SKALAR

�(�)= �(�)�

Dimana � adalah vektor tetap (tidak bergantung posisi)

� �(�)∙��

= � ∇ × �(�)∙��

��

��

��

�� y

x

z

�� ��

��

��

Page 88: Catatan Fismat

87

el-Madani

� �(�)� ∙��

= � ∇ × (�(�)�)∙��

� �(�)� ∙��

= � [�(�)(∇ × �)+ ∇�(�)× �]∙��

� �(�)� ∙��

= � [�(�)(0)+ ∇�(�)× �]∙��

� �(�)� ∙��

= � (∇�(�)× �)∙��

Dengan mengacu sifat �� × �� � ∙� = �� × �� ∙�� maka

� �(�)� ∙��

= � ��� × ∇�(�)�∙�

� ∙� �(�)��

= � ∙� ��� × ∇�(�)�

� �(�)��

= � −�∇�(�)× ���

� �(�)��

= − � ∇�(�)× ��

Contoh :

Hitunglah ∮ �� !

Jawab :

� �� = � ∇1��

� �� = � 0��

� �� = 0

Secara geometris soal

tersebut menunjukkan

y

x

z ��

��

Page 89: Catatan Fismat

88

el-Madani

proyeksi dua elemen luas �� yang sama tapi arah berlawanan sehingga saling

meniadakan dan hasil proyeksinya menjadi nol.

Atau

� �� = � ����

� �� = � ����� + � ����� + � ������

� �� = �� cos�� �� + �� cos�� �� + ��� cos�� ��

�� adalah sudut yang dibentuk antara

��� dengan sumbu-x.

Andaikan terdapat suatu bangun seperti

gambar di samping maka integral

tertutup dari keseluruhan luas � adalah

nol. Dimana luas total dari bangun

tersebut adalah luas bagian atas kontur

C yang memiliki luas S dan bagian

corong bawah. Kontur C adalah pada

bidang yang datar, sehingga

persamaannya sebagai berikut.

� �� = 0

� ��

+ � ��

��

= 0

� ��

= − � ��

��

Luas daerah yang diarsir pada corong tersebut adalah �

��� × �� �

�� =1

2���× ��

Sehingga persamaan di atas menjadi sebagai berikut

� ��

= − �1

2���× ��

��

y

x

z

��

� �

��

��

� × ��

Page 90: Catatan Fismat

89

el-Madani

� ��

= �� × ��

2��

Untuk seluruh corong, maka lintasannya tertutup sehingga persamaannya akan

menjadi

� ��

= �� × ��

2�

Jika bangun dengan luas S tanpa corong seperti pada gambar di bawah, maka dapat

diperoleh persamaan yang dapat diperoleh adalah sebagai berikut.

� ��

= �� × ��

2�

Dengan � = ��+ �� dan ��= �� = ���+ ��� maka

� ��

= �(��+ �� )× (���+ ��� )

2�

� ��

= �(��� − ��� )

2��

Suatu benda yang bervolum V sebenarnya tersusun atas volum-volum kecil ∆� yang

saling berdekatan sehingga sisi-sisi yang berhimpitan memiliki arah normal yang

berlawanan sehingga saling meniadakan kecuali permukaan yang paling tepi

sehingga tidak ada yang saling berhimpit dan tidak saling meniadakan.

(��,��,�)

(� − ��)� + (� − ��)

� = �� x

y

z

S

Page 91: Catatan Fismat

90

el-Madani

� � ∙��

∆�

= � ∇ ∙���

∆�

Sehingga secara keseluruhan sama dengan integral seluruh permukaan

� � � ∙��

∆�

= � � ∇ ∙���

∆�∆�

� � ∙��

= � ∇ ∙���

Aplikasi pada sirkulasi

� � ∙�� = � ∇ × � ∙��

� � ∙�� = � 0 ��

� � ∙�� = 0

Berarti tidak ada pusaran.

x

y

z

∆�

∆�

∆�

V

� � ∙�� = − � � ∙��

Bagian yang diarsir saling

meniadakan

� = �(�)

Page 92: Catatan Fismat

91

el-Madani

Jika ∇ × � ≠ 0 → ada pusaran

Jika ∇ × � = 0 ⇒ � = ∇� (gradien dari potensial)

Contoh

Andaikan �� adalah operator hermitean maka akan berlaku sifat

� �∗(�)���(�)��

��

= � ����(�)�∗�(�)��

��

Dengan mengacu sifat tersebut maka buktikan bahwa operator momentum linear

� = −��

��∇ hermitean.

Jawab

� �∗(�)�−�ℎ

2�∇�(�)� ��

��

= −�ℎ

2�� �∗(�)�∇�(�)���

��

� �∗(�)�−�ℎ

2�∇�(�)� ��

��

= −�ℎ

2�� �∇��∗(�)�(�)� − �(�)∇�∗(�)���

��

� �∗(�)�−�ℎ

2�∇�(�)� ��

��

= −�ℎ

2�� �∇��∗(�)�(�)����

� �� ��

+ �ℎ

2�� [∇�∗(�)]�(�)��

��

� �∗(�)�−�ℎ

2�∇�(�)� ��

��

= −�ℎ

2��∇��∗(�)�(�)��

��

�+ � �

2�[∇�∗(�)]�(�)��

��

� �∗(�)�−�ℎ

2�∇�(�)� ��

��

= 0+ � �−�ℎ

2��∗

[∇�∗(�)]�(�)��

��

� �∗(�)�−�ℎ

2�∇�(�)� ��

��

= � �−�ℎ

2�∇�(�)�

�(�)��

�������������������������������������������

����� � �� ��������

∇ � ��� ���� �

Page 93: Catatan Fismat

92

el-Madani

Contoh

Suatu aliran fluida memiliki rapat massa � yang tetap dan seragam. Fluida itu

mengalir dengan kecepatan �� . Aliran fluida itu menembus secara tegak lurus wilayah

yang berbentuk cakram berjari-jari � dan seterusnya melalui setengah bola dengan

jari-jari �.

a. Tentukan banyaknya fluida yang mengalir melalui cakram tiap satu satuan

waktu

b. Tentukan banyaknya fluida yang mengalir melalui permukaan setengah bola

tiap satu satuan waktu

c. Tentukan massa fluida yang melalui wilayah yang dibatasi oleh cakram dan

setengah bola itu tiap satu satuan waktu

Jawab

a. banyaknya fluida yang mengalir melalui cakram tiap satu satuan waktu

��

��= � ��� ∙��

��

��

��= �|�� |���

b. banyaknya fluida yang mengalir melalui permukaan setengah bola tiap satu

satuan waktu

��

��+ ∇ ∙(��� )= 0

��

��+ ∇� ∙�� + �∇ ∙�� = 0

��

��+ �∇ ∙�� = 0

Fluida incompressible maka ��

��= 0 sehingga ∇ ∙�� = 0, maka

� �� ∙��

= � ∇ ∙�� ��

Page 94: Catatan Fismat

93

el-Madani

� �� ∙��

��

− � �� ∙��

��

= � 0��

� �� ∙��

��

= � �� ∙��

��

��

��= � ��� ∙��

��

��

��= � � �� ∙��

��

��

��= � � �� ∙��

��

��

��= �|�� |���

c. massa fluida yang melalui wilayah yang dibatasi oleh cakram dan setengah

bola itu tiap satu satuan waktu

��

��=�

��� ���

��

��= �

��

����

��

��= − � ��� ∙��

��

��= − � � ��� ∙��

��

+ � ��� ∙��

��

��

��= − �2 � ��� ∙��

��

��

��= − �2�|�� |� ��∙(−��)��

��

��

��= −(−2�|�� |���)

Page 95: Catatan Fismat

94

el-Madani

��

��= 2�|�� |���

DELTA DIRAC

Rapat massa dari benda dapat dibagi menjadi tiga yaitu rapat massa linear, rapat

massa planar dan rapat massa volum. Rapat massa linear adalah rapat massa bagi

objek bermassa yang berupa garis. Rapat massa linear biasa disimbulkan sebagai

�(�). Andaikan terdapat objek bermassa berbentuk garis kemudian diambil elemen

massa Δ� dan elemen panjangnya Δ� maka rapat massa linearnya dapat dinyatakan

sebagai

�(�)≅Δ�

Δ�

Jika elemen panjangnya dibuat sekecil mungkin dengan ∆�→ 0 maka rapat massa

linearnya dinyatakan sebagai

�(�)≅ lim∆�→ �

Δ�

Δ�

Rapat massa planar biasa disimbulkan sebagai � . Andaikan terdapat objek bermassa

berbentuk bidang kemudian diambil elemen massa Δ� dan elemen luasnya Δ� maka

rapat massa linearnya dapat dinyatakan sebagai

� ≅Δ�

Δ�

Jika elemen luasnya dibuat sekecil mungkin dengan ∆� → 0 maka rapat massa

linearnya dinyatakan sebagai

� ≅ lim∆�→ �

Δ�

Δ�

Begitu juga untuk rapat massa volum, maka dapat dinyatakan sebagai

� ≅ lim∆�→ �

Δ�

Δ�

Pada ketiga kasus di atas, ketika elemen panjang, elemen luas atau elemen volum

diperkecil maka elemen massa juga akan mengecil. Permasalahan akan muncul

ketika yang menjadi obyek adalah benda titik. Andaiakan terdapat benda titik dengan

Page 96: Catatan Fismat

95

el-Madani

massa � terletak di sumbu-x (misalnya di ��) maka ketika elemen panjang

diperkecil ∆�→ 0 maka massa dari benda titik tersebut tetap � sehingga rapat

massanya akan menuju takhingga.

�(�)= lim∆�→ �

∆�

∆�

�(�)= lim∆�→ �

∆�

�(�)= ∞

Dengan rapat massa tersebut ketika dilakukan integrasi di seluruh ruang maka akan

diperoleh massa total � .

�� = �(�)��

� = � �(�)��

��

Berdasarka fenomena tersebut dapat disimpulkan bahwa rapat massa benda adalah

nol dimana-mana tetapi takhingga di titik �� (titik tempat benda titik diletakkan).

Oleh karena itu diperlukan suatu fungsi yang dapat mewadahi sifat dari rapat massa

tersebut nol di semua titik dan tak hingga di titik tempat benda diletakkan. Untuk

mewadahi sifat tersebut diusulkan suatu fungsi yang disebut sebagai fungsi delta

dirac. Rapat massa benda titik tersebut jika dinyatakan dengan delta dirac dapat

dituliskan sebagai berikut.

�(�)= � �(�� − �)

Dimana

�(�� − �)= �

0 ���� � ≠ ��

∞ ���� � = ��

Jika persamaan tersebut diintegralkan di seluruh ruang maka akan diperoleh

� = � �(�)��

��

� = � � �(�� − �)��

��

Karena � adalah tetapan maka

Page 97: Catatan Fismat

96

el-Madani

� = � � �(�� − �)��

��

1 = � �(�� − �)��

��

Jika terdapat dua benda titik dengan massa � � terletak di titik �� dan massa � �

terletak di titik ��, maka persamaan rapat massanya dapat diturunkan dengan jalan

berikut. Integral di seluruh ruang akan diperoleh massa total � � + � � sehingga

� � + � � = � �(�)��

��

� ��(�)��

��

+ � ��(�)��

��

= � �(�)��

��

� � ��(�� − �)��

��

+ � � ��(�� − �)��

��

= � �(�)��

��

� � ��(�� − �)+ � ��(�� − �)��

��

= � �(�)��

��

� ��(�� − �)+ � ��(�� − �)= �(�)

Secara umum rapat massa untuk � buah titik adalah

�(�)= �� ��(�� − �)

���

Jadi �(�� − �) adalah fungsi delta dirac pada garis. Jika

benda titik tersebut berada di ruang dua dimensi maka

fungsi delta dirac-nya akan berbeda. Andaikan sebuah

benda titik berada di titik (��,��) maka rapat massa benda

tersebut akan nol di semua titik selain (��,��) tetapi akan

tak hingga ketika di titik (��,��). Persamaan rapat massa

benda titik tersebut adalah

�(�)= � �(�� − �)

Persamaan delta dirac pada persamaan rapat massa benda dapat diuraikan sebagai

berikut.

�(�� − �)= �(�� − �)�(�� − �)

Page 98: Catatan Fismat

97

el-Madani

Di ruang tiga dimensi maka persamaan delta dirac untuk benda titik yang terletak di

titik (��,��,��) dapat dinyatakan sebagai berikut

�(�� − �)= �(�� − �)�(�� − �)�(�� − �)

Jika di dalam ruang tiga dimensi terdapat � buah benda titik, maka rapat massa

sistem benda tersebut adalah sebagai berikut.

�(�)= � �(�� − �)+ � �(�� − �)+ ⋯ + � � (�� − �)

�(�)= �� �(�� − �)

���

Fungsi delta dirac dari suatu variabel x

dilambangkan dengan �(�). Fungsi ini

diusulkan karena kebutuhan fungsi yang

nilainya nol dimana saja kecuali pada

suatu titik yang diskontinyu dan

berperilaku sebagai tinggi tak hingga

dengan luas kurvanya satu satuan.

Banyak pendekatan yang dapat dilakukan untuk memahami ini, namun secara

sederhana dapat digambarkan sebagai berikut.

Hal ini merupakan penggambaran

delta dirac yang paling sederhana

yaitu

∆�(�)

Jika diintegralkan maka akan

diperoleh hasil berikut.

� �(�)�(� − ��)��

��

= � �(�)�(� − ��)��

��

+ � �(�)�(� − ��)��

+ � �(�)�(� − ��)��

−1

2�

1

2�

� � ��

Page 99: Catatan Fismat

98

el-Madani

� �(�)�(� − ��)��

��

= 0+ � �(�)�(� − ��)��

+ 0

� �(�)�(� − ��)��

��

= �(��)

Meskipun didekati dengan sembarang interval disekitar �� maka akan diperoleh hasil

yang sama.

� �(�)�(� − ��)��

��

= � �(�)�(� − ��)��

��

+ � �(�)�(� − ��)��

����

+ � �(�)�(� − ��)��

��� �

����

+ � �(�)�(� − ��)��

��� �

+ � �(�)�(� − ��)��

� �(�)�(� − ��)��

��

= 0+ 0+ � �(�)�(� − ��)��

+ 0+ 0

� �(�)�(� − ��)��

��

= �(��)

Jika �(�)= 1 dimana-mana, maka �(��)= 1, sehingga

� �(�)�(� − ��)��

��

= �(��)

� �(� − ��)��

��

= 1

� �(� − ��)��

��� �

����

= 1

Analog dengan konsep sebelumnya, maka:

� � �� �� − � �� + �

Page 100: Catatan Fismat

99

el-Madani

� ∆��(�)��

��� �

����

= 1,� > �

dengan

�(� − ��)= lim�→ �

∆�(� − ��)

Sehingga bentuk di atas dapat dituliskan

lim�→ �

� �(�)∆�(� − ��)��

��� �

����

= � �(�)lim�→ �

∆�(�

��� �

����

− ��)��

Dimana

� �(�)lim�→ �

∆�(� − ��)��

��� �

����

= lim�→ �

�(�)∆�(� − ��)��

� �(�)lim�→ �

∆�(� − ��)��

��� �

����

= lim�→ �

�(�)1

��

� �(�)lim�→ �

∆�(� − ��)��

��� �

����

= �(��)

Hal yang sama juga berlaku jika diaplikasikan pada persamaan berikut :

∆��(�)=

1

2���|�|

��

∆��(�)=

1

�� + ��

∆��(�)=

1

�√�����

���

∆��(�)=

1

sin�(� �⁄ )

��

Fungsi delta dirac pada tiga dimensi (3D) dapat dituliskan sebagai berikut :

�(� − ��)= �(� − ��)�(� − ��)�(�− ��)

Jika

1

2�� ������

�����

��

= �1 ���� � = ��

0 ���� � ≠ ���

�� +1

2� ��

�� −1

2�

Page 101: Catatan Fismat

100

el-Madani

Maka

�(� − ��)=1

2�� ���(����)��

��

�(� − ��)= lim�→ �

1

2�� ���|�|����(����)��

��

�(� − ��)= lim�→ �

∆�(� − ��)

Jadi :

�(� − ��)=1

(2�)�� ���

� (����)����

��

Aplikasi teorema Gauss pada listrik statis

Andaikan terdapat muatan titik � dengan vektor posisi ��maka kuat medan listrik di

titik � yang vektor posisinya � dapat dinyatakan sebagai berikut.

�� (�)=�

4���

(� − ��)

|� − ��|�

Divergensi dari kuat medan listrik �� (�) adalah

∇ ∙�� (�)=�

4���

∇ ∙(� − ��)

|� − ��|�

Dengan menerapkan teorema Gauss maka dapat diperoleh

� �� ∙��

= � ∇ ∙�� ��

��= �

4���

∇ ∙(� − ��)

|� − ��|���

1

��� �(��)��

=�

4����

∇ ∙(� − ��)

|� − ��|���

Page 102: Catatan Fismat

101

el-Madani

� ��(� − ��)��

=�

4�� ∇ ∙�

(� − ��)

|� − ��|�� ��

� �(� − ��)��

=1

4�� ∇ ∙�

(� − ��)

|� − ��|�� ��

� �(� − ��)��

= �1

4�∇ ∙�

(� − ��)

|� − ��|�� ��

�(� − ��)=1

4�∇ ∙�

(� − ��)

|� − ��|��

∇ ∙�(� − ��)

|� − ��|�� = 4��(� − ��)

Medan listrik �� merupakan hasil gradiesi dari potensial skalar �� = −∇�, dimana

� =�

����

|����| , maka

�� = −∇�

4���

(� − ��)

|� − ��|�= −∇ �

4���

1

|� − ��|�

4���

(� − ��)

|� − ��|�= −

4���∇

1

|� − ��|

(� − ��)

|� − ��|�= −∇

1

|� − ��|

∇1

|� − ��|= −

(� − ��)

|� − ��|�

Pada persamaan sebelumnya telah diperoleh

∇ ∙�(� − ��)

|� − ��|�� = 4��(� − ��)

∇ ∙�−∇1

|� − ��|� = 4��(� − ��)

∇� �1

|� − ��|� = −4��(� − ��)

Andaikan �� adalah volum total dari suatu distribusi muatan dengan rapat muatan

�(�) dan � adalah volum dari permukaan Gauss yang luas permukaan Gaussnya �

seperti tampak pada gambar.

Page 103: Catatan Fismat

102

el-Madani

Berdasarkan ambar tersebut maka dapat diperoleh

��� =���

4���

(� − ��)

|� − ��|�

��� =�(��)���

4���

(� − ��)

|� − ��|�

�� (�)= ��(��)

4���

(� − ��)

|� − ��|����

� �

Dengan menerapkan teorema Gauss

� �� ∙��

= � ��(��)

4���

(� − ��)

|� − ��|����

� �

∙��

� �� ∙��

= ��(��)

4������

� �

�(� − ��)

|� − ��|�∙��

� �� ∙��

= ��(��)

4������

� �

� ∇ ∙(� − ��)

|� − ��|���

� �� ∙��

= ��(��)

4������

� �

� 4��(� − ��)��

� �� ∙��

= � ��(��)

4���4��(� − ��)��

���

� �

� �� ∙��

=1

��� � �(��)�(� − ��)��

���

� �

Page 104: Catatan Fismat

103

el-Madani

Dengan adanya delta dirac maka intergral tersebut akan ada nilainya hanya pada

daerah yang merupakan irisan dari volum distribusi muatan �� dengan volum dari

permukaan Gauss �, sehingga persamaan tersebut menjadi

� �� ∙��

=1

��� �(��)���

� �⋂ ����������� ����� ���� ����� ������/

� ����� �� ����� ���� ����� ����� �

� �� ∙��

=� �����

Contoh

Tiga buah muatan masing-masing �,2� dan 3� masing-masing terletak di titik

(1,2,3),(−2,−1,0) dan (6,7,8). Berdasarkan informasi tersebut maka tentukanlah

a. Rapat muatan dari sistem tersebut.

b. Persamaan kulit bola berjari-jari � satuan panjang dengan pusat di titik

tempat � berada

c. Kuat medan di titik-titik yang panjang vektor posisinya terhadap koordinat �

adalah 4√3 satuan panjang

d. Sebuah titik sembarang di kulit bola pada soal c dan tentukan vektor normal

pada titik tersebut

e. Persamaan kulit bola sembarang yang mencakup ketiga muatan tersebut

Jawab

a. Rapat muatan sistem

� = ����(� − ��)�(� − ��)�(�− ��)

���

� = ��(� − 1)�(� − 2)�(�− 3)+ 2��(� + 2)�(� + 1)�(�)

+ 3��(� − 6)�(� − 7)�(�− 8)

b. Persamaan kulit bola berjari-jari � berpusat di (1,2,3)

�� − �� � = �

����+ ��+ ���� − ��+ 2�+ 3���� = �

�(� − 1)�+ (� − 2)�+ (�− 3)��� = �

Page 105: Catatan Fismat

104

el-Madani

(� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)� = ��

c. Kuat medan listrik

����� = (−2 − 1)�+ (−1− 2)�+ (0− 3)��

������ � = �(−3)� + (−3)� + (−3)�

������� = 3√3

Muatan 2� tercakup

����� = (6 − 1)�+ (7 − 2)�+ (8 − 3)��

������ � = �5� + 5� + 5�

������� = 5√3

Muatan 3� tidak tercakup

� �� ∙��

=�

��

�4��� = ��

����

�4��� =1

��� ���(� − 1)�(� − 2)�(�− 3)+ 2��(� + 2)�(� + 1)�(�)

+ 3��(� − 6)�(� − 7)�(�− 8)���

�4��4√3��=� + 2�

��

�4�48 =3�

��

� =�

64���

d. Titik sembarang dan vektor normal

(� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)� = �4√3��

(� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)� = 48

Ambil � = 5,� = 6,� = 7

�� = ∇�

�� = ∇((� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)�)

Page 106: Catatan Fismat

105

el-Madani

�� =�((� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)�)

���

+�((� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)�)

���

+�((� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)�)

����

�� = 2(� − 1)�+ 2(� − 2)�+ 2(�− 3)��

��� |(�,�,�)= 2(5 − 1)�+ 2(6 − 2)�+ 2(7 − 3)��

��� |(�,�,�) = 8�+ 8�+ 8��

���|(�,�,�) =8�+ 8�+ 8��

√8� + 8� + 8�

���|(�,�,�) =8�+ 8�+ 8��

8√3

���|(�,�,�)=1

√3��+ �+ ���

e. Kulit bola sembarang

(� − 1)� + (� − 2)� + (�− 3)� = �6√3��

SISTEM KOORDINAT

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN

Setiap sistem koordinat memiliki lengkung koordinat dan permukaan koordinat.

Lengkung koordinat adalah kurva dimana nilai koordinat yang bersangkutan berubah

tetapi koordinat (sumbu) yang lain tetap.

Contoh :

Lengkung koordinat x adalah kurva dimana nilai x berubah tetapi y dan z tetap.

Lengkung koordinat x pada sistem koordinat kartesian adalah garis sejajar

sumbu x.

Lengkung koordinat y adalah kurva dimana nilai y berubah tetapi x dan z tetap.

Lengkung koordinat y pada sistem koordinat kartesian adalah garis sejajar

sumbu y.

Lengkung koordinat z adalah kurva dimana nilai z berubah tetapi x dan y tetap.

Lengkung koordinat z pada sistem koordinat kartesian adalah garis sejajar

sumbu z.

Page 107: Catatan Fismat

106

el-Madani

Domain pada sistem koordinat kartesian adalah sebagai berikut.

� ∈ (−∞ ,∞ )

� ∈ (−∞ ,∞ )

� ∈ (−∞ ,∞ )

�� = ���� + ��� + ���

�� = ����, �� = ����, �� = ����

�� = ������

Permukaan koordinat adalah kurva dimana koordinat yang bersangkutan nilainya

tetap sedangkan yang lain berubah. Pada sistem koordinat kartesian, permukaan

koordinat semua sama yaitu bidang datar yang saling tegak lurus dengan masing-

masing sumbu, seperti tampak pada gambar di atas ( gambar bagian kiri).

SISTEM KOORDINAT SILINDER

Berikut ini adalah gambar lengkung

koordinat pada sistem koordinat

silinder.

domain bagi sistem koordinat silinder

adalah sebagai berikut.

� ∈ [�0,∞ )�

� ∈ (0,2�)

y

x

z

�� ��

��

(�,�,�)

(��,��,��)

�� − �

�� − �

�� − �

z

x

y

PK-x PK-y

PK-z

x

y

z

(�,�,�)

(�,�,0)

Page 108: Catatan Fismat

107

el-Madani

� ∈ (−∞ ,∞ )

Lengkung koordinat � adalah garis lurus yang memancar dari sumbu z melalui titik

yang dimaksud.

Lengkung koordinat � adalah lingkaran yang berpusat di sumbu z.

Lengkung koordinat z adalah garis lurus sejajar sumbu z.

Permukaan koordinat � adalah silinder dengan sumbu di sumbu z.

Permukaan koordinat � adalah bidang datar vertikal memancar dari sumbu z ke arah

luar.

Permukaan koordinat z adalah bidang datar yang tegak lurus sumbu z.

�� = ���� + ����� + ��

�� = �����,�� = ����,�� = �����

�� = �������

SISTEM KOORDINAT KULIT BOLA

Domain bagi sistem koordinat kulit bola adalah

� ∈ [�0,∞ )�

� ∈ (0,�)

� ∈ (0,2�)

� ��

��� �

��� ��

��

y

x

z

x

y

z

Page 109: Catatan Fismat

108

el-Madani

Lengkung koordinat � adalah garis yang

memancar dari pusat koordinat melalui titik yang

dimaksud dan ke arah luar.

Lengkung koordinat � adalah setengah lingkaran

mulai dari sumbu z positif.

Lengkung koordinat � adalah lingkaran datar

yang dimulai dari sumbu x positif.

Gambar di samping adalah lengkung-lengkung

koordinat pada sistem koordinat kulit bola.

Permukaan koordinat � adalah permukaan bola berpusat di (0,0,0).

Permukaan koordinat � adalah kerucut dengan puncak di (0,0,0).

Permukaan koordinat � adalah bidang datar vertikal dari sumbu z ke arah luar.

Berikut ini adalah gambar permukaan-permukaan koordinat pada sistem koordinat

permukaan bola.

�� = ���� + ����� + �� sin� � ���

�� = �����,�� = � sin� �� ��,�� = �� sin� �� ��

�� = ���.��.� sin� ��

�� = �� sin� �� �� ��

x

y

z

� �

(�,�,�)

x

y

z

y

x

z

��

��

�����

��

���

����� ��

Page 110: Catatan Fismat

109

el-Madani

SISTEM KOORDINAT UMUM

�� � ⊥ �� � ⊥ �� � tetapi nilainya tidak harus 1 satuan. Ketiganya merupakan vektor

singgung.

�� � =��

���

�� � =��

���

�� � =��

���

Dimana

� = �(��,��,��)�+ �(��,��,��)�

+ �(��,��,��)��

�� � =��

���

�� � =�

���������

�� � = ����

�����

Contoh :

Pada koordinat kulit bola maka dapat diperoleh.

�� � = ����

����

���

�� � =��

���+

��

���+

��

����

�� � =�(� sin� cos�)

���+

�(� sin� sin�)

���+

�(� cos�)

����

�� � = sin� cos� �+ sin�sin� �+ cos� ��

��� �� = �sin� � cos� � + sin� � sin� � + cos� �

��� �� = �sin� � (cos� � + sin� �)+ cos� �

��� �� = � sin� � + cos� �

��� �� = 1

��

�� ��

(��,��,��)

�� � �� �

�� �

�(��)

�(��) �(��)

��

x

y

z

Page 111: Catatan Fismat

110

el-Madani

�� � = ����

����

���

�� � =��

���+

��

���+

��

����

�� � =�(� sin�cos�)

���+

�(� sin�sin�)

���+

�(� cos�)

����

�� � = � cos� cos� �+ � cos� sin� �− � sin� ��

��� � � = � �� cos� � cos� � + �� cos� � sin� � + �� sin� �

��� � � = � �� cos� � (cos� � + sin� �)+ �� sin� �

��� � � = � �� cos� � + �� sin� �

��� � � = � ��(cos� � + sin� �)

��� � � = �

�� � = ����

����

���

�� � =��

���+

��

���+

��

����

�� � =�(� sin� cos�)

���+

�(� sin� sin�)

���+

�(� cos�)

����

�� � = −� sin�sin� �+ � sin� cos� �

��� � � = � �� sin� � sin� � + �� sin� � cos� �

��� � � = � �� sin� � (sin� � + cos� �)

��� � � = � �� sin� �

��� � � = � sin�

SISTEM KOORDINAT SILINDER ELIPTIK

Pada sistem koordinat silinder eliptik berlaku

� = � cosh� cos�

� = � sinh� sin�

� = �

Page 112: Catatan Fismat

111

el-Madani

Dimana

0 < � < ∞

0 < � < 2�

−∞ < � < ∞

u = tetapan

Perlu diingat bahwa

cos� =1

2���� + �����

sin� =1

2���� − �����

cosh� =1

2(�� + ���)

sinh� =1

2(�� − ���)

cosh� > sinh�

cosh� � − sinh� � = 1

Sehingga

cos� � =��

�� cosh� �

sin� � =��

�� sinh� �

sin� � + cos� � =��

�� sinh� �+

��

�� cosh� �

1 =��

��+��

��

Persamaan tersebut adalah persamaan silinder eliptik dimana A > B.

Andaikan

�� � adalah vektor basis kontravarian (sebagai garis singgung)

�� � adalah vektor basis kovarian

�� = ��(�,�,�)→ (medan skalar) disebut isoskalar.

�� � = ∇��

�� � =���

���+

���

���+

���

����

Page 113: Catatan Fismat

112

el-Madani

�� � = ����

�����

�� � ∙��� = ����

�����

∙����

�����

�� � ∙��� = ����

��� ���

����� ∙��

�,�

�� � ∙��� = ����

��� ���

������

�,�

�� � ∙��� = ����

��� ���

������

�� � ∙��� = ����

��� ���

����

= ���

��� adalah tensor metrik kovarian.

Besarnya �� � dapat ditentukan sebagai berikut.

��� � � = � �� � ∙�� �

��� � � = ������

�����

��� � � = � ℎ��

��� � � = ℎ� = ����

ℎ� sebagai faktor skala untuk mengubah besaran yang bukan panjang menjadi

besaran panjang.

Basis fisis

�� =�� �

��� � �

�� =�� �ℎ�

Page 114: Catatan Fismat

113

el-Madani

�� � ∙�� � = ����

�����

∙����

�����

�� � ∙�� � = ����

��� ���

����� ∙��

�,�

�� � ∙�� � = ����

��� ���

������

�,�

�� � ∙�� � = ����

��� ���

������

�� � ∙�� � = ����

��� ���

����

�� � ∙�� � = ���

��� adalah tensor metrik kontravarian

�� � ∙��� = ����

�����

∙����

�����

�� � ∙��� = ����

��� ���

����� ∙��

�,�

�� � ∙��� = ����

��� ���

������

�,�

�� � ∙��� = ����

��� ���

������

�� � ∙��� = ����

��� ���

����

�� � ∙��� =���

���

�� � ∙��� = ���

Sehingga

�� � ∙�� � =���

���

�� � ∙�� � = 1

��� � ���� � � = 1

Page 115: Catatan Fismat

114

el-Madani

��� � � =1

��� � �

��� � � =1

ℎ�

Dengan menggunakan persamaan-persamaan di atas maka dapat ditentukan besaran-

besaran dalam suatu sistem koordinat sebagai

berikut.

Elemen jarak

��� = ��� + ��� + ���

��� = �(���)�

��� = �������

��� = �������

����

���� �����

����

�����

��� = �������

����

���

���� �������

��

��� = ����������

��

Untuk � = � = � maka

��� = ���(���)�

��� = ℎ��(���)�

�� = ℎ����

Elemen luas

��� = ������

��� = (ℎ����)(ℎ���

�)

��� = ℎ�ℎ�������

(�,�,�)

(� + ��,� + ��,�+ ��)

��

� ��

��

��� = 0

� ≠ �

��

�� ��

��� = ℎ����

��� = ℎ����

��� = ℎ����

�� = ������

Page 116: Catatan Fismat

115

el-Madani

��� = ������

��� = (ℎ����)(ℎ���

�)

��� = ℎ�ℎ�������

��� = ������

��� = (ℎ����)(ℎ���

�)

��� = ℎ�ℎ�������

Elemen volum

Elemen volum dalam suatu sistem

koordinat umum dapat dirumuskan

sebagai berikut

�� = ���������

�� = ℎ����ℎ���

�ℎ����

�� = ℎ�ℎ�ℎ����������

Contoh :

Sistem koordinat silinder

� = � cos�

� = � sin�

� = �

Untuk menentukan faktor skala dengan menggunakan persamaan berikut ini

ℎ�� = ��

���

����

ℎ�� = ��

���

���

ℎ�� = �

��

����

+ ���

����

+ ���

����

ℎ�� = �

�� cos�

����

+ ��� sin�

����

+ ���

����

ℎ�� = (cos�)� + (sin�)� + 0

ℎ�� = 1

ℎ� = 1

��

��

��

��� = ℎ����

��� = ℎ����

��� = ℎ����

�� = ���������

Page 117: Catatan Fismat

116

el-Madani

ℎ�� = ��

���

���

ℎ�� = �

��

����

+ ���

����

+ ���

����

ℎ�� = �

�� cos�

����

+ ��� sin�

����

+ ���

����

ℎ�� = (−� sin�)� + (� cos�)� + 0

ℎ�� = ��(sin� � + cos� �)

ℎ�� = ��

ℎ� = �

ℎ�� = ��

���

���

ℎ�� = �

��

����

+ ���

����

+ ���

����

ℎ�� = �

�� cos�

����

+ ��� sin�

����

+ ���

����

ℎ�� = 1�

ℎ� = 1

Sehingga dapat diperoleh

��� = ℎ���

��� = ��

��� = ℎ� ��

��� = ���

��� = ℎ���

��� = ��

�� = ℎ�ℎ� ℎ�������

�� = �������

Koordinat kulit bola

� = � sin� cos�

� = � sin� sin�

� = � cos�

Fakot-faktor skala pada koordinat kulit bola

Page 118: Catatan Fismat

117

el-Madani

ℎ�� = ��

���

���

ℎ�� = �

��

����

+ ���

����

+ ���

����

ℎ�� = �

�� sin� cos�

����

+ ��� sin� sin�

����

+ ��� cos�

����

ℎ�� = (sin� cos�)� + (sin� sin�)� + (cos�)�

ℎ�� = sin� � (cos� � + sin� �)+ cos� �

ℎ�� = sin� � + cos� �

ℎ�� = 1

ℎ� = 1

ℎ�� = ��

���

���

ℎ�� = �

��

����

+ ���

����

+ ���

����

ℎ�� = �

�� sin� cos�

����

+ ��� sin� sin�

����

+ ��� cos�

����

ℎ�� = (� cos� cos�)� + (� cos� sin�)� + (−� sin�)�

ℎ�� = �� cos� � (cos� � + sin� �)+ �� sin� �

ℎ�� = �� cos� � + �� sin� �

ℎ�� = ��(cos� � + sin� �)

ℎ�� = ��

ℎ� = �

ℎ�� = ��

���

���

ℎ�� = �

��

����

+ ���

����

+ ���

����

ℎ�� = �

�� sin� cos�

����

+ ��� sin� sin�

����

+ ��� cos�

����

ℎ�� = (−� sin� sin�)� + (� sin� cos�)� + 0

ℎ�� = �� sin� � (cos� � + sin� �)

ℎ�� = �� sin� �

Page 119: Catatan Fismat

118

el-Madani

ℎ� = � sin�

�� = ℎ�ℎ�ℎ� ������

�� = 1.�.� sin� ������

�� = �� sin�������

��������

= �����

������

����

����

������

�����

��������

= ����

�����

���

������

����

��

���

���

��������

= ����

�����

���

������

����

��

���

���

��������

= ����

������

������

��

��������

= ����

������

������

��������

= ����

������

����

��������

=���

���

��������

= ���

Wakilan matriksnya adalah sebagai berikut

��� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� �����

��� ��� ������ ��� ������ ��� ���

�= �1 0 00 1 00 0 1

Pada sistem koordinat bola maka

��� = �1 0 00 �� 00 0 �� sin� �

��� =

⎣⎢⎢⎢⎡1 0 0

01

��0

0 01

�� sin� �⎦⎥⎥⎥⎤

Berdasarkan persamaan-persamaan sebelumnya telah diketahui bahwa

Page 120: Catatan Fismat

119

el-Madani

��� � � =1

��� � �

��� � � =1

��� � �

Maka

�� � =�� �

��� � �

Persamaan umum gradiensi

��

���=

��

ℎ����

��

���=

��

ℎ����

��

���=

��

ℎ����

∇� =��

����� � +

��

����� � +

��

����� �

∇� =1

ℎ�

��

����� � +

1

ℎ�

��

����� � +

1

ℎ�

��

����� �

∇� = �1

ℎ�

��

����� �

Pada sistem koordinat silinder

∇� =1

ℎ�

��

����+

1

ℎ�

��

����+

1

ℎ�

��

���

∇� =��

����+

1

��

����+

��

���

Pada sistem koordinat kulit bola

∇� =1

ℎ�

��

��� +

1

ℎ�

��

����+

1

ℎ�

��

����

∇� =��

��� +

1

��

����+

1

� sin�

��

����

∇�� = �1

ℎ�

���

����� �

�(��,��,��)

��(��,�� + ���,��)

��

��

Page 121: Catatan Fismat

120

el-Madani

∇�� = �1

ℎ��� ���

∇�� =1

ℎ��� �

Persamaan umum divergensi

∇ ∙�� = ∇ ∙����� ��

Jika �� � tidak konstan maka

∇ ∙�� = �∇ ∙(���� �)

∇ ∙�� = �(∇�� ∙�� � + ��∇ ∙�� �)

∇ × �1

ℎ��� �� = ∇ �

1

ℎ��× �� � +

1

ℎ�∇ × �� �

∇ × ∇�� = −�� � × ∇ �1

ℎ��+

1

ℎ�∇ × �� �

0 = −�� � × ∇ �1

ℎ��+

1

ℎ�∇ × �� �

1

ℎ�∇ × �� � = �� � × ∇ �

1

ℎ��

∇ × �� � = ℎ��� � × ∇ �1

ℎ��

∇ × �� � = ℎ��� � × ��1

ℎ�

∂�1ℎ��

∂���� �

∇ × �� � = ℎ��� � × ��1

ℎ��−

1

ℎ���∂ℎ�

∂���� �

∇ × �� � = ℎ��� � × �−�1

ℎ�

1

ℎ��

∂ℎ�

∂���� �

∇ × �� � = −��� � × �� �

ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂���

∇ × �� � = −���� � × �� � �1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂���

Page 122: Catatan Fismat

121

el-Madani

∇ × �� � = −�������|�� �|��� � ��� ��

�1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂���

∇ × �� � = −�������� ��

1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂���

∇ × �� � = − �������� ��

1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂���

Jika

∇ ∙�������� ��

� = �����∇ ∙�� ��

Maka

∇ ∙��� � × �� �� = �� � ∙(∇ × �� �)− �� � ∙�∇ × �� ��

∇ ∙��� � × �� �� = − �������

�� � ∙�� �

ℎ�ℎ�

∂ℎ�∂��

+ �������

�� � ∙�� �ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂��

∇ ∙��� � × �� �� = − �������

���

ℎ�ℎ�

∂ℎ�∂��

+ �������

���ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂��

Ingat ��� = �1 ���� � = �0 ���� � ≠ �

� maka

∇ ∙��� � × �� �� = − ������

���

ℎ�ℎ�

∂ℎ�∂��

+ ������

���ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂��

∇ ∙��� � × �� �� = − ������

1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�∂��

+ ������

1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂��

Ingat ���� = −���� sehingga

∇ ∙��� � × �� �� = ������

1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�∂��

+ ������

1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂��

∇ ∙��� � × �� �� = ����� �1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�∂��

+1

ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂���

∇ ∙��� � × �� �� = ����� �ℎ�

ℎ�ℎ�ℎ�

∂ℎ�∂��

+ℎ�

ℎ�ℎ�ℎ�

∂ℎ�

∂���

∇ ∙��� � × �� �� = �����1

ℎ�ℎ�ℎ��ℎ�

∂ℎ�∂��

+ ℎ�∂ℎ�

∂���

Page 123: Catatan Fismat

122

el-Madani

∇ ∙��� � × �� � � = �����1

ℎ�ℎ�ℎ�

∂���ℎ�ℎ��

Contoh :

� = 1,� = 2 → ∇ ∙�� � = ����1

ℎ�ℎ�ℎ�

∂��(ℎ�ℎ�)

� = 2,� = 3 → ∇ ∙�� � = ����1

ℎ�ℎ�ℎ�

∂��(ℎ�ℎ�)

� = 3,� = 1 → ∇ ∙�� � = ����1

ℎ�ℎ�ℎ�

∂��(ℎ�ℎ�)

Pada persamaan sebelumnya telah diketahui bahwa

∇ ∙�� = �(∇�� ∙�� � + ��∇ ∙�� �)

∇ ∙�� = �∇�� ∙�� ��

+ ���∇ ∙�� ��

∇ ∙�� = ���1

ℎ�

���

����

�� �� ∙�� ��

+ ���1

ℎ�ℎ�ℎ�

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

∇ ∙�� = ����� � ∙�� �

ℎ�

���

����

+1

ℎ�ℎ�ℎ����

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

∇ ∙�� = ������

ℎ�

���

����

+1

ℎ�ℎ�ℎ����

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

∇ ∙�� = �1

ℎ�

���

����

+1

ℎ�ℎ�ℎ����

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

∇ ∙�� = �1

ℎ�ℎ�ℎ�

ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

���

����

+1

ℎ�ℎ�ℎ����

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

∇ ∙�� =1

ℎ�ℎ�ℎ���

ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

���

���+ ��

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

��

∇ ∙�� =1

ℎ�ℎ�ℎ��

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

���

Jika �� = ∇� maka

∇ ∙�� =1

ℎ�ℎ�ℎ��

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

���

Page 124: Catatan Fismat

123

el-Madani

∇ ∙∇� =1

ℎ�ℎ�ℎ��

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ�

1

ℎ�

∂�

∂���

∇�� =1

ℎ�ℎ�ℎ��

∂���ℎ�ℎ�ℎ�ℎ��

∂�

∂���

Untuk koordinat kulit bola maka

∇�� =1

�� sin��∂

∂���� sin�

1

∂�

∂�� +

∂���� sin�

��∂�

∂�� +

∂���� sin�

�� sin� �

∂�

∂���

∇�� =1

�� sin��∂

∂���� sin�

∂�

∂��+

∂��sin�

∂�

∂��+

∂��1

sin�

∂�

∂���

∇ × �� = ∇ × ����

�� ��

∇ × �� = ��∇�� × �� ��

� + ����∇ × �� ��

∇ × �� = ���1

ℎ�

∂��

∂���� �

× �� ��

� − ����

������� �1

ℎ�ℎ�

�ℎ�

�����

∇ × �� = �������1

ℎ�

∂��

∂���� �

���

� − ����

������� �1

ℎ�ℎ�

�ℎ�

�����

∇ × �� = �������� �1

ℎ�

ℎ�ℎ�

∂��

∂�����

� − �− ������� �1

ℎ�ℎ���

�ℎ�

������

∇ × �� = �������� �ℎ�ℎ�

�ℎ�∂��

∂��+ ��

�ℎ�

����

���

∇ × �� = �������� �ℎ�ℎ�

ℎ�ℎ�

∂(��ℎ�)

∂�����

∇ × �� =1

ℎ�ℎ�ℎ�������� �ℎ�

∂(ℎ���)

∂�����

∇ × �� =1

ℎ�ℎ�ℎ�������� �ℎ�

∂(ℎ���)

∂�����

Page 125: Catatan Fismat

124

el-Madani

∇ × �� =1

ℎ�ℎ�ℎ�⎣⎢⎢⎢⎡ℎ��� � ℎ��� � ℎ��� �∂

∂��∂

∂��∂

∂��

ℎ��� ℎ��

� ℎ���⎦⎥⎥⎥⎤

RUANG VEKTOR DAN ALJABAR LINEAR

Definisi

Ruang vektor adalah suatu himpunan yang di dalamnya terdapat penjumlahan,

perkalian dengan skalar dan memenuhi sepuluh sifat dari ruang vektor. Sepuluh sifat

ruang vektor adalah

i. ∀�,�� ∈ � maka � + ��∈ �

ii. ∀�,��,��� ∈ � maka (� + ��)+ ��� = � + (��+ ���)

iii. ∀�,�� ∈ � maka � + ��= ��+ �

iv. ∃� ∈ � sedemikian rupa sehingga � + � = � + � = �,∀� ∈ �

v. ∀� ∈ �,∃− � ∈ � sedemikian rupa sehingga � + (−�)= −� + � = �

vi. ∀� ∈ �,∀� ∈ � maka �� ∈ �

vii. ∀�,� ∈ �,∀� ∈ � maka (� + �)� = �� + ��

viii. ∀�,� ∈ �,∀� ∈ � maka (��)� = �(��)= �(��)

ix. ∀� ∈ �,∀�,�� ∈ � maka �(� + ��)= �� + ���

x. ∀� ∈ � maka 1� = �

Atau ℱ(ℝ,ℝ)= {�:ℝ → ℝ}

i. (� + �)(�)= �(�)+ �(�) ∀� ∈ ℝ

ii. ∀� ∈ ℝ,∀� ∈ ℝ → (��)(�)= ��(�)

iii. [(� + �)+ ℎ](�)= (� + �)(�)+ ℎ(�)

[(� + �)+ ℎ](�)= [�(�)+ �(�)]+ ℎ(�)

[(� + �)+ ℎ](�)= �(�)+ [�(�)+ ℎ(�)]

[(� + �)+ ℎ](�)= �(�)+ (� + ℎ)(�)

[(� + �)+ ℎ](�)= [� + (� + ℎ)](�)

∀� ∈ ℝ

iv. (� + �)(�)= �(�)+ �(�)

(� + �)(�)= �(�)

∀� ∈ ℝ , �(�)= 0

v. ∀� ∈ ℱ,∀� ∈ ℝ → �(�)= −�(�)

Page 126: Catatan Fismat

125

el-Madani

�� + ��(�)= �(�)+ �(�)

�� + ��(�)= −�(�)+ �(�)

�� + ��(�)= 0

vi. (��)�(�)= ����(�)�

(��)�(�)= �(��)(�)

(��)�(�)= ����(�)�

(��)�(�)= �(��)(�)

Andaikan V adalah ruang vektor, dan � ⊂ �, maka W bisa dikatakan sebagai

subruang vektor jika W memenuhi sifat-sifat sebagai ruang vektor sekaligus

mewarisi operasi dari ruang vektor yang lebih besar yaitu V.

Contoh :

P

ada gambar di atas tampak bahwa �� dan �� merupakan vektor posisi yang

menunjukkan titik-titik yang berada pada bidang � = �. Apabila �� dan ��

dijumlahkan maka akan diperoleh hasil berikut.

�� + �� = ���+ ��+ ���� + ��′�+ �′�+ ����

�� + �� = (� + ��)�+ (� + �′)��+ 2���

Ternyata hasil penjumlahan kedua vektor dengan operasi penjumlahan biasa (“+”)

tidak menunjukkan vektor posisi dari titik yang berada di bidang � = �. Dengan

demikian dapat disimilkan bahwa sistem di atas dengan mengaplikasikan operasi

penjumlahan biasa (“+”) maka hasilnya tidak tertutup (tidak menunjukkan titik pada

bidang � = �) sehingga gagal disebut sebagai ruang vektor.

z

y

�� ⊞ ��

��

x

��

�� + ��

(�′,�′,�)

(�,�,�)

(��+ �,��+ �,2�)

(��+ �,��+ �,�)

(0,0,�)

Page 127: Catatan Fismat

126

el-Madani

Agar menjadi ruang vektor maka perlu didefinisikan penjumlahan baru

sehingga hasil penjumlahan tersebut menunjukkan vektor posisi dari titik di bidang

� = �. Misalkan didefinikan operasi penjumlahan berikut “⊞ ”

(�,�,�)⊞ (�′,�′,�)= (� + ��,� + ��,�)

�(�,�,�)= (��,��,�)

Sehingga

�� ⊞ �� = ���+ ��+ ���� ⊞ ��′�+ �′�+ ����

�� ⊞ �� = (� + ��)�+ (� + �′)��+ ���

Jadi sistem di atas dengan mengaplikasikan operasi pejumlahan “⊞ ” telah

memenuhi sebagai ruang vektor. Meskipun demikian sistem tersebut tidak bisa

dikatakan sebagai subruang vektor karena operasinya tidak mewarisi operasi

penjumlahan dan perkalian pada ruang normal.

Jika ditetapkan � = 0 maka sistem ini akan memenuhi sebagai subruang

vektor dengan mengaplikasikan operasi penjumlahan biasa (“+”), karena semua hasil

penjumlahannya akan menunjukkan titik-titik pada bidang � = 0.

Contoh :

ℋ (�,ℂ)= {� ∈ � �(�,ℂ)|(��)∗ = �} dengan ℋ = hermitean, maka

(� + �)�∗= (�� + ��)∗

(� + �)�∗= ��

∗+ ��

(� + �)�∗= (� + �)∈ ℋ

Dengan demikian ℋ memenuhi salah syarat ruang vektor yaitu tertutup terhadap

penjumlahan. Syarat tersebut masih belum cukup untuk menyimpulkan bahwa ℋ

adalah ruang vektor. Oleh karena itu perlu dibuktikan syarat lain yaitu perkalian

terhadap skalar.

Jika � ∈ ℂ, � ∈ ℋ (�,ℂ) maka

(��)�∗= �∗��

(��)�∗= �∗�

Hasil tersebut tidak hermitean yang berarti tidak tertutup terhadap perkalian dengan

skalar, sehingga ℋ bukan ruang vektor. Agar hermitean maka � ∈ ℝ sehingga

(��)�∗= �∗��

(��)�∗= ��

Page 128: Catatan Fismat

127

el-Madani

Jadi ℋ merupakan ruang vektor ketika � ∈ ℝ , dan ℋ harus merupakan ruang

vektor riil walaupun merupakan anggota ℂ. Hal ini well difine mengingat matriks nol

ada di ℋ (�,ℂ).

Andaikan V adalah ruang vektor dan � suatu skalar dengan operasi

penjumlahan biasa maka dapat dituliskan sebagai (�,+,�). Jika terdapat � ⊂ �

maka W merupakan subruang vektor jika dan hanya jika :

1. ∀�,��∈ � → � + �′∈ �

2. ∀� ∈ �,� ∈ � → �� ∈ �

Contoh :

Andaikan �(ℝ,ℝ)= {� ∈ �(ℝ,ℝ)|� kontinyu dim ana− m ana} maka

�(ℝ,ℝ)⊂ �(ℝ,ℝ) adalah subruang vektor.

Bukti

1. �,� ∈ �(ℝ,ℝ)⟶ (� + �)(�)= �(�)+ �(�)

2. ∀� ∈ ℝ ⟶ (��)(�)= ��(�)

Contoh : (ruang vektor tidak harus fungsi)

� = {(��,��,��,… )|�� ∈ ℝ,konvergen}

sehingga

(��)+ (��)= (�� + ��)

(�� + ��)= lim�→ �

(�� + ��)

(�� + ��)= lim�→ �

(��)+ lim�→ �

(��)

(�� + ��)= (�� + ��)∈ �

�(��)= (���)

�(��)= lim�→ �

(���)

�(��)= � lim�→ �

(��)

f

g

f+g

x

y

Page 129: Catatan Fismat

128

el-Madani

�(��)= ��� ∈ �

Karena konvergen maka kembali ke �.

Contoh :

Diketahui ℬ = {(��,��,��,… )|�� ∈ ℝ} adalah himpunan barisan infinit. Andaikan

� = ��,��,��,… ∈ ℬ dan � = ��,��,��,… ∈ ℬ kemudian didefinisikan

� + � = (�� + ��,�� + ��,�� + ��,… )∈ ℬ atau ∀� ∈ ℝ,∀� = (��,��,��,… )∈

ℬ sedemikian rupa sehingga �� = (���,���,���,… )∈ ℬ atau

Sifat-sifat ruang vektor

1. Tertutup terhadap penjumlahan

(��)+ (��)= (�� + ��)∈ ℬ

2. Perkalian dengan skalar

�(��)= (���)∈ ℬ

3. Asosiatif

∀(��),(��),(��)∈ ℬ

4. Komutatif

5. Pilih � = (0,0,0,… )

� + � = (�� + 0)= (��)

� + � = (0+ ��)= (��)

Jadi � adalah vektor netral

6. ∀(��)∈ ℬ maka

(��)+ (��)= �

(��)+ (��)= (0)

(��)= (0)− (��)

(��)= (0− ��)

(��)= (−��)

Jadi vektor lawan bagi (��) adalah �– ���

7. ∀�,�,� ∈ ℝ dimana � = � + � maka

(� + �)(��)= �(��)

(� + �)(��)= (���)

(� + �)(��)= �(� + �)���

(� + �)(��)= (��� + ���)

(� + �)(��)= (���)+ (���)

(� + �)(��)= �(��)+ �(��)

Page 130: Catatan Fismat

129

el-Madani

8.

KOMBINASI LINEAR

Pada ruang vektor (�,+,�) maka

���� ∈ � ,�� ∈ �,�� ∈ �

���� ∈ � ,�� ∈ �,�� ∈ �

���� ∈ � ,�� ∈ �,�� ∈ �

Jika dijumlahkan akan menjadi ∑ �������� ∈ �, dan merupakan kombinasi

linear finit (k.l.f)

Contoh :

� ⊂ �, dengan S tidak harus merupakan subruang vektor. Span (s)himpunan semua

kombinasi linear finit (k.l.f) yang mungkin disusun oleh anggota-anggota di s. Jika

� ∈ span (�), ��,��,… ,�� untuk � < ∞ dan ��,��,… ,�� ∈ � sedemikian rupa

sehingga

� = ���� + ���� + ⋯ + ����

Maka jelas bahwa span (s) adalah himpunan bagian dari V.

Bukti

�,� ∈ span (�) ,� ∈ �

� = ���� + ���� + ⋯ + ����

� = ����� + ����� + ⋯ + �����

� + � = ���� + ���� + ⋯ + ���� + ����� + ����� + ⋯ + ����� ∈ span (�)

�� = ����� + ����� + ⋯ + �����

�� = ���� + ���� + ⋯ + ���� ∈ span (�)

Jadi jelas bahwa span (s) merupakan subruang vektor

Andaikan � = ��,�,��� ⊂ ℝ�, � = ��+ ��+ ���, maka ada dua subruang vektor

yang pasti dimiliki yaitu {�} dan V dimana � adalah fungsi kosong.

Page 131: Catatan Fismat

130

el-Madani

Misal � ⊂ span (�) yaitu salah satu subruang vektor yang memuat s. Dan

didefinisikan �(�) adalah himpunan yang semua subruang vektor yang memuat s,

maka

span (�)∈ �(�)⟹ � ∶= � �

� ∈�(�)

Dimana � adalah subruang vektor terkecil yang memuat s, sehingga dapat dikatakan

� ∈ �. Jika span(�)= � jelas bahwa � ⊂ span (�). Jadi tinggal membuktikan

bahwa span (�)⊂ �. Ingat bahwa jika � ⊂ B dan � ∈ � maka � ∈ � sehingga jika

� ∈ span (�) maka � = ���� + ���� + ⋯ + ���� dimana ��,��,… ,�� ∈ � ⊂ �

dengan � adalah kombinasi linear dari anggota-anggota di � maka � ∈ �. Jadi dapat

disimpulkan bahwa

span (�)⊂ �

Andaikan V adalah ruang vektor yang dituliskan (�,+,�), dan � ⊂ � , maka

W dikatakan sebagai subruang vektor jika memenuhi syarat-syarat sebagai ruang

vektor yatu tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap skalar. Dengan

demikian dapat dituliskan (� ,+,�)

Jika X adalah himpunan, maka kita dapat menentukan power set dari X yaitu

��. Power set adalah himpunan yang anggotanya himpunan bagian-himpunan

bagian dari X, termasuk X dan himpunan kosong { }. Andaikan jumlah anggota X

adalah n, maka jumlah anggota �� dapat ditentukan dengan persamaan 2�.

Contoh :

� = {�,�},|�|= 2⟹ |��|= 2� = 4

�� = �{�},{�},{��},{ }�

Sebelumya telah kita ketahui bahwa span (�) adalah subruang vektor terkecil

dari yang memuat s. Jadi span (�) merupakan subruang vektor yang dibangkitkan

oleh s. Jika ada subruang vektor lain yang memuat s maka pasti subruang vektor

tersebut memuat span (�). Bagaimana s agar span (�)= � ? Jika span (�)= �

maka sifat-sifat V dapat dicari melalui s, dan hanya ada satu cara menuliskan V

sebagai kombinasi linear.

Contoh :

Andaikan � = ��,�,��� maka

� � = ���+ ���+ ����

�� = ����+ ��

� �+ ������

�� = ���

�� = ���

�� = ���

Page 132: Catatan Fismat

131

el-Madani

BEBAS LINEAR DAN GAYUT LINEAR

Andaikan (�,+,�) adalah ruang vektor dan � ⊂ �, s dikatakan bebas linear

jika untuk setiap himpunan finit {��,��,… ,��}⊂ �, persamaan ���� + ���� + ⋯ +

���� = � = 0 mengharuskan �� = �� = ⋯ = �� = 0.

Contoh :

��,�,��� ⊂ ℝ�

Jika diambil

{�}⟹ ��= 0⟹ � = 0

{�,�}⟹ ��+ ��= 0⟹ � = � = 0

Bukti

�∙(��+ ��)= 0

��∙�+ ��∙�= 0

� + 0 = 0

� = 0

�∙(��+ ��)= 0

��∙�+ ��∙�= 0

0+ � = 0

� = 0

s dikatakan gayut linear jika s tidak bebas linear, maka ada subhimpunan

{��,��,… ,��}⊂ � sedemikian rupa sehingga persamaan ���� + ���� + ⋯ +

���� = 0 tidak mengharuskan �� = �� = ⋯ = �� = 0

Contoh :

{��,��}⊂ ℝ� dengan ��� = ��+ ��

�� = 2��+ 2���

Ditentukan

���� + ���� = 0

��(��+ ��)+ ��(2��+ 2��)= 0�+ 0�+ 0��

����+ ����+ 2����+ 2����= 0�+ 0�+ 0��

(��� + 2���)�+ (��� + 2���)�= 0�+ 0�+ 0��

��� + 2��� = 0

��� = −2���

Page 133: Catatan Fismat

132

el-Madani

�� = −2��

��� + 2��� = 0

��� = −2���

�� = −2��

Sehingga � dan � tidak harus nol.

Misal ℬ = {(��,��,⋯ ,��)= ��|�� ∈ ℝ}

(��)+ (��)= (�� + ��)

�(��)= (���)

dimana

−(��)= (−��)

� = (0,0,0,… )

Ambil �� ∈ ℬ dengan �� ≠ 0

� = �(��,��,��,⋯ )�����������

,(0,��,��,��,⋯ )�������������

,(0,0,��,��,��,⋯ )�������������

,(0,0,0,��,��,��,⋯ )���������������

,⋯ �

Jika

���� + ���� + ���� + ⋯ = � = (0,0,0,0,⋯ )

��(��,��,��,⋯ )+ ��(0,��,��,��,⋯ )+ ��(0,0,��,��,��,⋯ )+ ⋯ = �

= (0,0,0,0,⋯ )

(����,����,����,⋯ )+ (��0,����,����,����,⋯ )+ (��0,��0,����,����,����,⋯ )

+ ⋯ = (0,0,0,0,⋯ )

Suku yang seletak dijumlahkan

(���� + 0+ 0+ ⋯ ,���� + ���� + 0+ 0+ ⋯ ,���� + ���� + ���� + 0+ 0+ ⋯ )

= (0,0,0,0,⋯ )

Sehingga diperoleh

���� = 0⟹ �� = 0 karena �� ≠ 0

���� + ���� = 0⟹ �� = 0 karena �� = 0 , �� ≠ 0

���� + ���� + ���� = 0⟹ �� = 0 karena �� = �� = 0 , �� ≠ 0

���� + ������ + ������ + ⋯ + ���� = 0

���� = 0⟹ �� = 0

Jadi S adalah bebas linear.

Page 134: Catatan Fismat

133

el-Madani

Sifat-sifat

1. Jika � ∈ � maka s gayut linear.

2. Jika � ⊂ � dan s bebas linear maka T bebas linear

3. Jika � ⊂ � dan s gayut linear maka T gayut linear

Bukti

1. � = {�}→ �� = 0, maka � tidak harus 0

2. s memenuhi syarat bebas linear, sedangkan � ⊂ � maka semua subhimpunan

T juga merupakan subhimpunan s dimana subhimpunan tersebut juga

memenuhi syarat bebas linear, maka T juga bebas linear.

PROPOSISI

Andaikan (�,+,�) ruang vektor, � ⊂ � bebas linear dan jumlah anggota s adalah k,

maka setiap kumpulan k-1 buah vektor k.l.f dari s, gayut linear.

Untuk k+2, k+3, dst juga gayut linear

Untuk k buah vektor tidak ada ketentuan gayut linear atau bebas linear.

Bukti

�� = ������

���

�� = ������

���

�� = ������

���

��� � = ���� ����

���

���� + ���� + ⋯ + ��� ���� � = �

�����

�� �

���

= �

���������

���

�� �

���

= �

Page 135: Catatan Fismat

134

el-Madani

��������

�� �

���

���

�� = �

�����

���

= �

Maka �� = 0 sehingga

�� = �������

�� �

���

� = 0

[�� �� ⋯ ��]�

��� ��� … ���

��� ��� ⋯ ���

⋮��� � �

⋮��� � �

⋱ ⋮ ⋯ ��� � �

�= [0 0 ⋯ 0]

Kedua ruas ditranspos

��� ��� … ��� � ���� ��� ⋯ ��� � �⋮���

⋮���

⋱ ⋮ ⋯ ��� � �

��

����⋮��

�= �

00⋮0

Ada k+1 variabel dengan k persamaan, jadi harus ada � yang bernilai nol.

DEFINISI

Andaikan (�,+,�)ruang vektor, � ⊂ � dengan |�|< ∞ , s disebut basis finit bagi V

jika :

a. span (�)= � → � ∈ � ⟺ � ∈ span (�), sehingga v dapat dituliskan sebagai

kombinasi linear dari s. Jika misalkan |�|= � maka

� = �����

���

b. s bebas linear (cara menuliskannya tunggal)

� ∈ �

⎩⎪⎨

⎪⎧� = �����

���

� = �����

���

Maka

� − � = �����

���

− �����

���

Page 136: Catatan Fismat

135

el-Madani

0 = �(�� − ��)��

���

(�� − ��)= 0

�� = ��

c. Masing-masing � ∈ � dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari basis-

basisnya.

Andaikan {��,��,… ,��} adalah basis bagi � dan {��,��,… ,��} adalah

himpunan yang bebas linear maka

�� = ����

���

��

Karena �� bebas linear maka dapat dituliskan sebagai

�����

���

= �

Dimana �� harus 0.

�������

���

��

���

= �

��������

���

���

�� = �

������

���

= 0

Karena �� bebas linear maka �� harus nol semua jika determinan matriks ���

tidak boleh nol, karena jika

[�� �� … ��]= [�� �� … ��]�

��� … ���⋮ ⋱ ⋮��� … ���

Untuk menuliskan �� sebagai kombinasi linear dari �� maka ��� harus

dikalikan dengan inversnya. ��� akan memiliki invers jika det����� ≠ 0,

sehingga dapat dituliskan menjadi

��������

���

= ������������

���

���

Page 137: Catatan Fismat

136

el-Madani

��������

���

= �����������

���

���

��

��������

���

= ����

���

��

��������

���

= ��

Jadi ∀� ∈ � dapat dituliskan sebagai

� = �����

���

� = �����������

���

���

� = ����������

���

� ��

���

� = �����

���

Jadi setiap � dapat dituliskan sebagai kobinasi linear dari ��. Untuk

membentuk basis baru maka dapat melalui cara berikut.

[�� �� … ��]= [�� �� … ��]���� … ���⋮ ⋱ ⋮��� … ���

Dengan det(�)≠ 0.

Contoh

Di ℝ� diketahui basis ��,�,��� maka buatlah salah satu contoh basis baru di ℝ�!

[�� �� ��]= [� � ��]�cos� sin� 0− sin� cos� 00 0 1

[�� �� ��]= [cos� �− sin� � sin� �+ cos� � ��]

Jadi basis barunya adalah �cos� �− sin� �,sin� �+ cos� �,���.

Proposisi

Page 138: Catatan Fismat

137

el-Madani

Jumlah anggota semua basis finit bagi suatu ruang vektor berdimensi finit adalah

sama.

Bukti

Jika V ruang vektor , s dan s’ adalah basis finit bagi V maka |�|= |��|.

Berdasarkan definisi di atas span (�)= �, span (��)= �, maka

1. s basis, |�|= �, s’ bebas linear dan �� ⊂ � dimana � = span (�) sehingga

�� ⊂ span (�) yang berarti |��|≤ |�|

2. s’ basis, |��|= �, s bebas linear dan � ⊂ � dimana � = span (��) sehingga

� ⊂ span (��) yang berarti |�|≤ |��|

Karena |��|≤ |�| dan |�|≤ |��| maka |�|= |��|.

Jadi dimensi dari ruang vektor finit adalah sama dengan jumlah anggota

basisnya.

Andaikan V ruang vektor berdimensi n, maka setiap n buah vektor yang bebas

linear membentuk basis finit bagi ruang vektor itu.

Contoh :

��(2,ℝ)= ������ ������ ���

����� ∈ ℝ�

Berlaku sifat

�����+ �����= ���� + ����

������= ������

���� ������ ���

�= ���� 00 0

�+ �0 ���0 0

�+ �0 0��� 0

�+ �0 00 ���

���� ������ ���

�= ��� �1 00 0

������

+ ��� �0 10 0

������

+ ��� �0 01 0

������

+ ��� �0 00 1

������

���� ������ ���

�= ����� + ����� + ����� + �����

Sehingga � = {��,��,��,��}

���� + ���� + ���� + ���� = �0 00 0

�� �1 00 0

�+ �� �0 10 0

�+ �� �0 01 0

�+ �� �0 00 1

�= �0 00 0

��� 00 0

�+ �0 ��0 0

�+ �0 0�� 0

�+ �0 00 ��

�= �0 00 0

��� ���� ��

�= �0 00 0

Page 139: Catatan Fismat

138

el-Madani

�� = �� = �� = �� = 0

Jadi ��,��,��,�� bebas linear, dimensi ruang vektor � �(2,ℝ) adalah |�|= 4

Contoh :

Andaikan � = ��0 00 0

�,�1 00 1

�,�0 11 0

�,�1 10 1

�� apakah s bebas linear?

Jawab :

S tidak bebas linear karena terdapat �0 00 0

�= 0� .

Bukti

�� �0 00 0

�+ �� �1 00 1

�+ �� �0 11 0

�+ �� �1 10 1

�= �0 00 0

�0 00 0

�+ ��� 00 ��

�+ �0 ���� 0

�+ ��� ��0 ��

�= �0 00 0

��� + �� �� + ���� �� + ��

�= �0 00 0

�� = 0

�� + �� = 0

0+ �� = 0

�� = 0

�� + �� = 0

�� + 0 = 0

�� = 0

Jadi �� = �� = �� = 0 akan tetapi �� belum tentu nol, sehingga s gayut linear.

Contoh :

Andaikan � = ��0 01 0

�,�0 11 0

�,�1 00 1

�,�1 10 1

�� apakah bebas linear atau gayut

linear?

Jawab :

�� �0 01 0

�+ �� �0 11 0

�+ �� �1 00 1

�+ �� �1 10 1

�= �0 00 0

�0 0�� 0

�+ �0 ���� 0

�+ ��� 00 ��

�+ ��� ��0 ��

�= �0 00 0

��� + �� �� + ���� + �� �� + ��

�= �0 00 0

��� + �� = 0 → �� = −���� + �� = 0 → �� = −���� + �� = 0 → �� = −��

� gayut linear

Page 140: Catatan Fismat

139

el-Madani

Contoh :

Andaikan � = ��0 01 0

�,�0 11 0

�,�1 00 1

�,�1 00 0

�� apakah bebas linear atau gayut

linear?

Jawab :

�� �0 01 0

�+ �� �0 11 0

�+ �� �1 00 1

�+ �� �1 00 0

�= �0 00 0

�0 0�� 0

�+ �0 ���� 0

�+ ��� 00 ��

�+ ��� 00 0

�= �0 00 0

��� + �� ���� + �� ��

�= �0 00 0

�� = �� = 0

�� + �� = 0

0+ �� = 0

�� = 0

�� + �� = 0

�� + 0 = 0

�� = 0

Jadi s adalah bebas linear.

Contoh :

Andaikan diketahui sebuah matriks ���� ������ ���

� tentukan ��,��,��,�� agar bebas

linear !

Jawab :

���� ������ ���

�= ���� + ���� + ���� + ����

Misal kita ambil ��,��,��,�� = �0 01 0

�,�0 11 0

�,�1 00 1

�,�1 00 0

���� ������ ���

�= �� �0 01 0

�+ �� �0 11 0

�+ �� �1 00 1

�+ �� �1 00 0

���� ������ ���

�= �0 0�� 0

�+ �0 ���� 0

�+ ��� 00 ��

�+ ��� 00 0

���� ������ ���

�= ��� + �� ���� + �� ��

��� = ��

��� = ��

Page 141: Catatan Fismat

140

el-Madani

��� = �� + ��

��� = ��� + ��

�� = ��� − ���

�� + �� = ���

�� + ��� = ���

�� = ��� − ���

���� ������ ���

�= (��� − ���)�� + ����� + ����� + (��� − ���)��

Contoh :

Andaikan ℋ = ���0 � �0 0 �0 0 0

���,�,� ∈ ℝ� ⊂ � �(3,ℝ) , apakah termasuk ruang

vektor?

Jawab :

Untuk �,�,�,��,��,��∈ ℝ maka

�0 � �0 0 �0 0 0

�+ �0 �� ��

0 0 ��

0 0 0

�= �0 � + �� � + ��

0 0 � + ��

0 0 0

Karena � + ��∈ ℝ , � + ��∈ ℝ , � + ��∈ ℝ maka

�0 � + �� � + ��

0 0 � + ��

0 0 0

�∈ ℋ

Jadi ℋ tertutup terhadap penjumlahan.

Untuk � ∈ ℝ maka

� �0 � �0 0 �0 0 0

�= �0 �� ��0 0 ��0 0 0

Karena �� ∈ ℝ , �� ∈ ℝ , �� ∈ ℝ maka

�0 �� ��0 0 ��0 0 0

�∈ ℋ

Jadi ℋ tertutup terhadap perkalian dengan skalar. Karena dua syarat telah dipenuhi

maka ℋ adalah ruang vektor.

Contoh :

Jika diketahui ��(2,ℝ)= {�� ∈ � �(2,ℝ)|det� = 1}, maka apakah ��(2,ℝ)

termasuk ruang vektor?

Jawab :

Page 142: Catatan Fismat

141

el-Madani

Misalkan � = ���� ������ ���

� maka det� = ������ − ������ = 1.

Dari persamaan determinan tersebut maka tampak bahwa matriks anggota ��(2,ℝ)

tidak melalui (0,0,0) sehingga dapat disimpulkan bahwa ��(2,ℝ) bukan ruang

vektor.

Jika kita tidak bisa menemukan basis finit dari suatu ruang vektor, maka ruang

vektor tersebut berdimensi infinit.

Contoh :

Andaikan

ℬ = {�(��)|�� ∈ ℝ}

ℬ = {��,��,��,⋯ }

Dimana

�� = {��,��,��,⋯ } , �� = {0,��,��,��,⋯ } , �� = {0,0,��,��,��,⋯ }

(��)= ���� + ���� + ���� + ⋯

(��,��,��,⋯ )= ��(��,��,��,⋯ )+ ��(0,��,��,��,⋯ )+ ��(0,0,��,��,��,⋯ )+ ⋯

+ �� �0,0,⋯ ,0⏟���

,��,��,��,⋯ � + ⋯

(��,��,��,⋯ )= (����,����,����,⋯ )+ (0,����,����,����,⋯ )

+ (0,0,����,����,����,⋯ )+ ⋯

+ �0,0,⋯ ,0⏟���

,����,����,����,⋯ � + ⋯

(��,��,��,⋯ )= (���� + 0+ ⋯ ),(���� + ���� + 0+ ⋯ ),(���� + ���� + ����

+ 0+ ⋯ ),⋯ ,(���� + ������ + ⋯ + ����),⋯

�� = ���� → �� =����

�� = ���� + ���� → �� =�� − ����

��=�� −

������

��

�� = ���� + ������ + ⋯ + ����

PEMETAAN LINEAR

Andaikan (�,+,� ) dan (� ,+,�) masing-masing adalah ruang vektor. Suatu

pemetaan � yang didefinisikan sebagai

Page 143: Catatan Fismat

142

el-Madani

�:� ⟶ �

�:� ⟼ �(�)

maka pemetaan � disebut sebagai pemetaan linear jika memenuhi syarat berikut

1. �� = ��

2. Domain � adalah subruang vektor di �

3. ∀�,��∈ � maka �(� + ��)= �(�)+ �(��)

4. ∀� ∈ �,� ∈ � � ��� �(��)= ��(�)

Contoh :

Andaikan di ℝ�,� = �

������� dan didefinisikan suatu pemetaan

��:ℝ� ⟶ ℝ�

��:����� ⟶ �� ��

����� = �

����+ �

�������= �

� + ��� + ���+ ��

�∈ ℝ�

Apakah pemetaan tersebut merupakan pemetaan linear?

Jawab :

Pemetaan di atas sudah memenuhi syarat ke-1.

�� ������+ �

��

��

���� = �� ��

� + ��

� + ��

�+ ���� = �

� + ��+ ��� + ��+ ���+ ��+ ��

�� ������� + �� ��

��

��

���� = �

� + ��� + ���+ ��

�+ �

��+ ����+ ����+ ��

�= �

� + ��+ 2��� + ��+ 2���+ ��+ 2��

Karena �� ������+ �

��

��

���� ≠ �� ��

����� + �� ��

��

��

���� maka pemetaan �� tersebut bukan

pemetaan linear.

Contoh:

Andaikan diketahui �°(ℝ) adalah himpunan fungsi-fungsi kontinyu (fungsi yang

dapat dideferensialkan) maka jika didefinisikan suatu pemetaan berikut

��∶ �°(ℝ)⟶ �°(ℝ)

Page 144: Catatan Fismat

143

el-Madani

��∶ � ⟶

��

��

apakah pemetaan terebut merupakan pemetaan linear?

Jawab :

Andaikan � ∈ ℝ ; �,� ∈ �°(ℝ) maka

��(� + �)=

��

��+��

���

��(��)= �

��

��

� m em enuhi syarat 2 dan 3

Andaikan ��(ℝ)⊂ �°(ℝ) dimana ��(ℝ)= ��� ∈ �°(ℝ)���

��∈ �°(ℝ)� yaitu

himpunan fungsi-fungsi kontinu yang turunannya juga kontinyu.

Jika ��,�� ∈ ��(ℝ) maka

��(�� + ��)=

�����

+�����

Karena ��,�� ∈ ��(ℝ) maka

���

��∈ ��(ℝ) ,

���

�� ∈ ��(ℝ) sehingga �

��(�� + ��)�∈

��(ℝ) yang berarti bahwa �� + �� ∈ ��(ℝ) sehingga memenuhi syarat ke-1 dan ke-2

��(���)= �

�����

Karena � ∈ ℝ; ��,∈ ��(ℝ) maka

���

��∈ ��(ℝ) ,α

���

�� ∈ ��(ℝ) sehingga �

��(���)�∈

��(ℝ) yang berarti bahwa ��� ∈ ��(ℝ) sehingga memenuhi syarat ke-1 dan ke-3.

Jadi ��(ℝ) adalah subruang vektor di �°(ℝ) dan pemetaannya adalah pemetaan

linear.

Contoh :

Jika matriks � ∈ ��(� × �,�), pemetaan �� didefinisikan ��:�� ⟶ �� dengan ��

anggotanya adalah matriks kolom � × 1, sedangkan �� anggotanya adalah matriks

kolom � × 1

� = �

��⋮���→ �� ��

��⋮���� = �

��� … ���⋮ ⋱ ⋮

�� � ⋯ �� �

��

��⋮���= �

����� + ⋯ + �����⋮

�� ��� + ⋯ + �� ���

�∈ ��

Apakah pemetaan tersebut merupakan pemetaan linear?

Jawab :

Berdasarkan definisi pemetaan di atas maka dapat dituliskan sebagai berikut.

��:�� ⟶ ��

��:� ⟼ ��(�)= ��

Page 145: Catatan Fismat

144

el-Madani

dengan � ∈ ��,��(�)= �� ∈ �� sehingga telah terpenuhi syarat pertama.

��(� + �)= �(� + �)

Ingat bahwa pada operasi matriks berikut

�(� + �)= �� + ��

agar matriks B dan C dapat dijumlahkan, maka matriks B dan C harus memiliki

ukuran yang sama, sehingga dapat diterapkan pada �(� + �) dimana kedua matriks

� memiliki ukuran yang sama yaitu matrik kolom � × 1 dengan demikian dapat

diperoleh hasil berikut.

��(� + �)= �� + ��

��(� + �)= ��� + ���

Dengan demikian terpenuhi syarat ke-2.

Jika � ∈ ℝ,� ∈ �� maka

��(��)= �(��)

��(��)= ���

��(��)= �(���)

Terpenuhi syarat ke-3

Jadi pemetaan �� adalah pemetaan linear.

ISOMORFISME adalah pemetaan linear yang bijektif (satu-satu dan

menyeluruh). Dua ruang vektor yang berdimensi finit dan sama, dalam lapangan (�)

yang sama maka kedua ruang vektor tersebut isomorfis. Andaikan V dan W isomorfis

(� ≅ � ) maka himpunan yang beranggotakan SEMUA isomorfisme dari V menuju

ke W (� → � ) lazim dituliskan ��(�,� ). Jika V = W maka dituliskan ��(�). Jika

� = � = �� maka ditulis ��(��)= ��(�,�).

Jika f adalah pemetaan linear �:� → � maka range � = im (�) dan

merupakan subruang vektor di W. Jika ��,�� ∈ im (�) maka �� + �� ∈ im (�),

jika � ∈ � ⟹ ��� ∈ im (�) . Karena �� ∈ im (�) maka ada �� dengan sifat

�(��)= �� dan karena �� ∈ im (�) maka ada �� dengan sifat �(��)= ��

sehingga

�� + �� = �(��)+ �(��)

�� + �� = �(�� + ��)

Dengan demikian berarti �� + �� ∈ dom ain � dan �(�� + ��)= �� + �� ∈ im (�)

Jika � ∈ � maka

Page 146: Catatan Fismat

145

el-Madani

��� = ��(��)

��� = �(���)⟹ ��� ∈ im (�)

Gambar di samping adalah ilustrasi dari

penjelasan di atas.

Untuk ruang vektor V dengan

dim (�)= ∞ dan � ⊂ �, maka dim (� )

bisa infinit atau finit. Dimensi dari Range (�)

dari pemetaan linear disebut sebagai

Rank (�). Jadi

Rank (�)= dim �Range (�)�

Jika Rank (�)= 0 , maka f dikatakan singular. Subruang vektor ,dalam suatu

ruang vektor, terkecil adalah sub ruang vektor yang berisi vektor nol (�). Jika f

singular maka

Rank (�)= {��}

sehingga

∀� ∈ � ⟹ �(�)= ��

Pemetaan singular tidak harus diwakili oleh matriks nol.

Soal :

Andaikan (�,+,�) adalah ruang vektor, {��,��,… ,��} adalah basis bagi V, berikan

basis baru bagi V yang dikonstruksi dari {��,��,… ,��}.

Jawab :

Ambil � ∈ ��(�,�)

�� = ����� + ����� + ⋯ + �����

�� = ����� + ����� + ⋯ + �����

�� = ����� + ����� + ⋯ + ����� = ������

���

�� = ����� + ����� + ⋯ + �����

Misalkan {��,��,… ,��} adalah basis baru, maka agar menjadi basis harus bebas

linear.

x

y

x

f (x) = y

Page 147: Catatan Fismat

146

el-Madani

�����

���

= ��

���������

���

���

= ��

��������

���

� ��

���

= ��

�����

���

= ��

Maka �� = 0 yang berarti

������

���

= 0

[�]�

��⋮���= 0

[���][�]�

��⋮���= [���]�

0⋮0�

[�]�

��⋮���= �

0⋮0�

��⋮���= �

0⋮0�

Karena �

��⋮���= �

0⋮0� hal ini berarti bahwa ���� adalah bebas linear sehingga ��

adalah basis baru bagi V.

Andaikan f adalah pemetaan linear yang didefinisikan �:� → � dengan

{��,��,… ,��} adalah basis bagi V dan {��,��,… ,��} adalah basis bagi W. Jika

� ∈ � ⟹ � = �����

���

�(�)= � ������

���

Page 148: Catatan Fismat

147

el-Madani

�(�)= ����(��)

���

Dimana �(��)∈ � , jika

� ∈ � ⟹ � = �����

���

Sehingga

�(��)= ������

���

Dengan demikian maka

�(�)= ����(��)

���

�(�)= ���������

���

���

�����

���

= ��������

���

� ��

���

�����

���

− ��������

���

� ��

���

= ��

���� − ������

���

� ��

���

= ��

karena �� adalah basis maka �� ≠ 0 sehingga

�� − ������

���

= 0

�� = ������

���

��⋮���

��(�)

= �

��� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮

�� � ⋯ �� ��

������������

��⋮���

��

Page 149: Catatan Fismat

148

el-Madani

Jadi pemetaan linear dapat dinyatakan dalam matriks.

Berikut adalah bagan pemetaan linear

Andaikan ���� = {�� + ��� + ���� + ���

�|��,��,��,�� ∈ ℝ}, maka ���� adalah

ruang vektor.

Bukti :

(�� + ��� + ���� + ���

�)+ (�� + ��� + ���� + ���

�)

= (�� + ��)+ (�� + ��)� + (�� + ��)�� + (�� + ��)�

Jika � = 0+ 0� + 0�� + 0�� dan misalkan

��(�)= 1

��(�)= �

��(�)= ��

��(�)= ��

Maka

�� + ��� + ���� + ���

� = ����(�)+ ����(�)+ ����(�)+ ����(�)

Jadi {��,��,��,��} adalah basis bagi vektor dimensi 4

Andaikan � adalah pemetaan yang didefinisikan

�:���� ⟶ ����

�:� ⟼ ��(�)=��

��

�:�� + ��� + ���� + ���

� ⟼ ��(�)= �� + 2��� + 3���� ⟷ �

��2��3��0

� ∈ � � ∋ � = �(�) f

��� �� ������ � (�,� )

��⋮��� ∈ �� �� ∋ �

��⋮��

�= �

��� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮

�� � ⋯ �� ���

��⋮��� � ∈ � �(� × �,�)

Page 150: Catatan Fismat

149

el-Madani

�:�

��������

�⟼ �

��2��3��0

Jika pemetaan tersebut dinyatakan dalam matriks menjadi

0 10 0

0 02 0

0 00 0

0 30 0

�����������

��������

�= �

��2��3��0

�(ℝ,ℝ,ℝ) adalah himpunan semua fungsi dari ℝ ke ℝ yang dapat dituliskan

sebagai deret Taylor dengan radius konvergensi ℛ. Apakah �(ℝ,ℝ,ℝ) termasuk

ruang vektor atau bukan? Jika ruang vektor berapakah dimensinya?

Andaikan didefinisikan

�:ℝ ⟶ ℝ

Sedangkan

�(�)= �(��)+��(��)

1!(� − ��)+

���(��)

2!(� − ��)

� + ⋯

�(�)= ��(�)(��)

�!(� − ��)

���

Untuk �� = 0

�(�)+ �(�)= ��(�)(0)

�!��

���

+ ��(�)(0)

�!��

���

�(�)+ �(�)= �1

�!��(�)(0)+ �(�)(0)���

���

�(�)+ �(�)= �1

�!(� + �)(�)(0)��

���

Untuk � ∈ ℝ maka

��(�)= ���(�)(0)

�!��

���

��(�)= �1

�!�(�)(�)(0)��

���

��(�)= �1

�!(��)(�)(0)��

���

Page 151: Catatan Fismat

150

el-Madani

Jika ��(�)= �� ⟹ {��,��,��,… } jumlahnya ∞

� ⊂ �(ℝ,ℝ,ℝ)⟹ �(�)= ��(�)(0)

�!��

���

= ��(�)(0)

�!��(�)

���

� ⟷

⎣⎢⎢⎢⎢⎡�(0)

��(0)

���(0)

2!⋮∞ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

Jadi �(ℝ,ℝ,ℝ) adalah ruang vektor dengan dimensi infinit (∞ ).

Jika didefinisikan pemetaan

��:�(ℝ,ℝ,ℝ)⟶ �(ℝ,ℝ,ℝ)

��:�(�)⟼ ��(�)=��

��

��:�(�)= ��(�)(0)

�!��

���

⟼ ��(�)= ��(�)(0)

�!�����

���

Sehingga

��(�)= ��(�)(0)

�!�����

���

��(�)= 0+ ��(�)(0)

�(� − 1)!�����(�)

���

��(�)= ��(�)(0)

(� − 1)!����(�)

���

��(�)= �(�)(0)��(�)+�(�)(0)

1!��(�)+

�(�)(0)

2!��(�)+ ⋯

Jika dinyatakan dalam matriks adalah sebagai berikut.

Page 152: Catatan Fismat

151

el-Madani

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡�(�)(0)

�(�)(0)

�(�)(0)

2!�(�)(0)

3!�(�)(0)

4!⋮ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎡0 1 00 0 20 0 0

0 0 ⋯0 0 ⋯3 0 ⋯

0 0 00 0 0⋮ ⋮ ⋮

0 4 ⋯0 0 ⋯⋮ ⋮ ⋱⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡�(0)

�(�)(0)

�(�)(0)

2!�(�)(0)

3!�(�)(0)

4!⋮ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

Andaikan f adalah suatu pemetaan dari ruang vektor V menuju lapangan � atau

dapat dinotasikan sebagai berikut

�:� ⟶ �

maka f disebut sebagai FUNGSIONAL LINEAR atau FORMA LINEAR.

Contoh :

� ��

��

:��(ℝ,ℝ)⟶ ℝ

� ��

��

:� ⟼ � �(�)��

��

Domain dari pemetaan ini bukan semua anggota vektor ��(ℝ,ℝ), akan tetapi

domainnya adalah fungsi-fungsi yang memenuhi syarat perlu berikut.

� �(�)��

��

< ∞ ⟹ lim�→ ±�

�(�)= 0

Jadi domainnya adalah fungsi-fungsi yang integralnya finit. Fungsi konstan tidak

termasuk dalam domain bagi pemetaan ini. Sifat-sifat pemetaan tersebut adalah

sebagai berikut.

� (� + �)(�)��

��

= � �(�)��

��

+ � �(�)��

��

� ��(�)��

��

= � � �(�)��

��

Himpunan dari semua fungsional linear disebut sebagai RUANG DUAL atau

RUANG JODOH yang dinotasikan V*. Ruang dual V* adalah ruang vektor.

Andaikan �,� ∈ �∗ dan didefinisikan

�:� ⟶ �

Page 153: Catatan Fismat

152

el-Madani

�:� ⟶ �

maka

(� + �)(�)= �(�)+ �(�), ∀� ∈ �

(��)(�)= ��(�), ∀� ∈ �

Fungsi nol dari fungsi linear adalah fungsional nol yaitu fungsi yang memetakan V

ke 0.

OPERATOR

Andaikan Ω adalah pemetaan linear Ω:� ⟶ � maka Ω disebut sebagai

operator pada V. Apabila pemetaan Ω adalah bijektif maka pemetaan ini akan

memiliki invers, dan Ω tergolong permutasi.

Andaikan V dan W adalah ruang vektor, pemetaan f didefinisikan �:� ⟶ �

sehingga f adalah pemetaan linear, maka

kernel (�)= ker(�)= {� ∈ �|�(�)= ��}

Jika f adalah pemetaan yang bijektif, maka ker(�)= �� .

Bukti

�(��)= �(� − �)

�(��)= �(�)− �(�)

�(��)= �� − ��

�(��)= ��

Atau

�(��)= �(0�)

�(��)= 0�(�)

�(��)= 0��

�(��)= ��

Contoh :

��:�(ℝ,ℝ,ℝ)⟶ �(ℝ,ℝ,ℝ)

��:� ⟼ ��� =��

��

Kernelnya adalah

000⋮

�= �

0 1 00 0 2

0 0 ⋯0 0 ⋯

0 0 0⋮ ⋮ ⋮

3 0 ⋯⋮ ⋮ ⋱

��

�00⋮

Jadi kernelnya adalah fungsi konstan �(�)= �

Page 154: Catatan Fismat

153

el-Madani

�(�)= �(��)+��(��)

1!(� − ��)+

���(��)

2!(� − ��)

� + ⋯

�(�)= � + 0+ 0+ ⋯

�(�)= �

Contoh :

Pada pemetaan ∫ ���

��:��(ℝ,ℝ)⟶ ℝ maka kernelnya adalah fungsi gasal, atau

fungsi lain yang nilai integralnya adalah nol.

Gambar di samping adalah gambar

fungsi yang hasil integralnya nol.

Sifat-sifat kernel dari pemetaan

�:� ⟶ �

1. �,��∈ ker(�)

�(� + ��)= �(�)+ �(��)

�(� + ��)= �� + ��

�(� + ��)= ��

Jadi (� + ��)∈ ker(�)

2. � ∈ ker(�),� ∈ �

�(��)= ��(�)

�(��)= ���

�(��)= ��

Jadi �� ∈ ker(�)

Berdasarkan sifat di atas maka ker(�) merupakan ruang vektor, sehingga dapat

dikatakan sebagai subruang vektor di domain.

TEOREMA

Andaikan �:� ⟶ � adalah pemetaan linear, maka f injektif jika dan hanya jika

ker(�)= {��}.

Bukti

Andaikan ker(�)= {��}, � ≠ �� tetapi �(� − ��)= ��. Karena ker(�)= {��},

maka menuntut � − ��= �� sehingga

� = �� + ��

� = ��

x

y

Page 155: Catatan Fismat

154

el-Madani

Hal ini berkebalikan dengan pernyataan bahwa � ≠ �� sehingga dapat disimpulkan

bahwa f adalah injektif.

SOAL :

Andaikan � = ��+ �, � ∈ ker(�), apakah pemetaan f ini bersifat injektif ?

Jawab :

�(�)= �(��+ �)

�(�)= �(��)+ �(�)

�(�)= �(��)+ ��

�(�)= �(��)

Jadi �(�)= �(��) menunjukkan image dari �(�) sama

dengan image dari �(��), padahal � ≠ ��. Karena � dan �� adalah anggota yang

berbeda dari V tetapi memiliki image yang sama maka pemetaan f tidak bersifat

injektif.

Range ( f ) adalah subruang vektor di W jika pemetaan f memenuhi

� ∶ � ⟶ �

�:� ⟼ �(�)

DEFINISI

Andaikan �,� adalah ruang vektor di atas lapangan � dan � ∶ � ⟶ � adalah

pemetaan linear serta � ∈ � diketahui, maka � dikatakan membangkitkan sistem

persamaan linear di � ∈ � dan sistem persamaan itu dapat dituliskan sebagai

berikut

�(�)= �

Apabila � = �� maka �(�)= �� disebut sebagai sistem persamaan homogen.

Jika di � dipilih basis {��,��,��,⋯ ,��} maka � ∈ � dapat diwakili oleh

matriks

����⋮��

Jika di � dipilih basis {��,��,��,⋯ ,�� } maka � ∈ � dapat diwakili oleh

matriks

f

f

v

v’

w

V W

Page 156: Catatan Fismat

155

el-Madani

����⋮��

Untuk

� ∶ � ⟶ �

�:� ⟼ �(�)= �

Maka � dapat diwakili oleh matriks berikut

��� ������ ���

⋯ ���⋯ ���

⋮ ⋮�� � �� �

⋱ ⋮⋯ �� �

Sehingga pemetaan �(�)= � dapat diwakili oleh matriks

��� ������ ���

⋯ ���⋯ ���

⋮ ⋮�� � �� �

⋱ ⋮⋯ �� �

����������������

����⋮��

��

= �

����⋮��

��

Atau dapat dituliskan

����� + ����� + ⋯ + ����� = ��

�� ��� + �� ��� + ⋯ + �� ��� = ��

Apabila � injektif dan � = �� maka ��,��,… ,�� = 0 karena pada pemetaan

injektif �(�)= �� sehingga dapat dikatakan � adalah ker(�). Sebagaimana teorema

sebelumnya untuk pemetaan injektif ker(�)= {��} sehingga � = �� .

Jika � = � , hal ini berarti bahwa dim� = dim� = � maka � bisa diwakili

��(� ≅ ��) begitu juga dengan � bisa diwakili ��(� ≅ ��) maka pemetaan

� ∶ � ⟶ �

� ∶ �� ⟶ ��

Sehingga

� ⟷ �

����⋮��

�⟶ �

��� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

��

����⋮��

�= �

����⋮��

Andaikan � adalah pemetaan bijektif (satu-satu dan menyeluruh), maka

domain � adalah seluruh anggota � dan range � adalah seluruh anggota � . Karena

pemetaan bijektif maka untuk setiap � ∈ � ada invers image di �. Hal ini menuntut

Page 157: Catatan Fismat

156

el-Madani

� adalah invertibel sehingga wakilan matriks dari � adalah matriks yang

determinannya ≠ 0, sehingga ada matriks inversnya.

� ∙� = �

� ∙� ∙��� = �∙���

� ∙�= ���

� = ���

Jika �(�)= �� maka wakilan matriksnya adalah

��� ������ ���

⋯ ���⋯ ���

⋮ ⋮��� ���

⋱ ⋮⋯ ���

��

����⋮��

�= � �

����⋮��

��� ������ ���

⋯ ���⋯ ���

⋮ ⋮��� ���

⋱ ⋮⋯ ���

��

����⋮��

�− � �

����⋮��

�= 0

��

��� ������ ���

⋯ ���⋯ ���

⋮ ⋮��� ���

⋱ ⋮⋯ ���

�− ���

����⋮��

�= 0

��

��� ������ ���

⋯ ���⋯ ���

⋮ ⋮��� ���

⋱ ⋮⋯ ���

�− �

�� 00 ��

⋯ 0⋯ 0

⋮ ⋮0 0

⋱ ⋮⋯ ��

�� = 0

��� − �� ������ ��� − ��

⋯ ���⋯ ���

⋮ ⋮��� ���

⋱ ⋮⋯ ��� − ��

�= 0

��,��,��,… ,�� adalah swanilai atau eigenvalue

Jika � dan � ∈ � diketahui

���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

��

����⋮��

�= �

����⋮��

���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

����� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

��1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 1

��������

����⋮��

�= ���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

��

����⋮��

Page 158: Catatan Fismat

157

el-Madani

���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

����� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

����� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

��

���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

��

����⋮��

= ���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

��

����⋮��

⎣⎢⎢⎢⎡���� ���

� ����

0 ���� ���

���� ⋯ ���

���� ⋯ ���

0 0 ����

⋮ ⋮ ⋮0 0 ⋯

���� ⋯ ���

⋮ ⋱ ⋮⋯ 0 ���

� ⎦⎥⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎢⎡���

���

���

⋮���⎦⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎡���

���

���

⋮���⎦⎥⎥⎥⎤

Dari matriks di atas tampak bahwa �� dapat diperoleh ��� dimana keduanya

memenuhi persamaan berikut

��� = ������

���

⟷ �� = ��������

���

Sehingga

� = �����

���

� = ���������

���

��

���

� = ��������

���

��� ���

���

� = ���������

��

���

���

���

� = ������

���

Jika

�����

���

= �

�����������

���

���

= �

Page 159: Catatan Fismat

158

el-Madani

����������

���

� ��

���

= �

Karena �� basis maka �� ≠ 0 sehingga

��������

���

= 0

���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

��

����⋮��

�= �

00⋮0

Maka �� = 0 (bebas linear)

Jika � memiliki basis {��,��,��,… ,��} dan {���,��

�,���,… ,��

�} maka ∃� ∈ ��(�,�)

sedemikian rupa sehingga berlaku

[���,��

�,���,… ,��

�]= [��,��,��,… ,��][�]

Atau

��� = ������

���

Jika � memiliki basis {��,��,��,… ,��} dan {���,��

�,���,… ,��

�} maka ∃� ∈

��(�,�) sedemikian rupa sehingga berlaku

[���,��

�,���,… ,��

�]= [��,��,��,… ,��][�]

Atau

��� = ������

���

Jika diketahui �(�)= � sedemikian rupa sehingga

���� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���

��

����⋮��

�= �

����⋮��

�⟷������

���

= ��

Dimana

��� = ������

���

Sehingga

� = �����

���

Page 160: Catatan Fismat

159

el-Madani

� = ������

���

� = ����������

���

���

� = ���������

���

� ��

���

� = �����

���

Maka

������

���

= ��

���� ��������

���

���

= ����

���

���

���������

���

���

��� = ����

���

���

�(��)��

���

��� = ����

���

���

[�][�]����

⋮����= [�]�

���

⋮����

[�]��[�][�]�����������

����

⋮����= �

���

⋮����

Dari uraian di atas tampak bahwa perubahan basis akan diikuti dengan perubahan

wakilan-wakilan matriksnya.

KONSEP PANJANG

Di dalam ruang vektor ℝ�, sebuah vektor � ⟷ �

��⋮��� dapat ditentukan panjang

vektor �(‖�‖) dengan mengacu pada konsep panjang yang berlaku. Dalam ruang

vektor (�,+,�) maka konsep panjang adalah suatu pemetaan yang didefinisikan

sebagai berikut.

Page 161: Catatan Fismat

160

el-Madani

‖ ‖:� ⟶ ℝ

‖ ‖:� ⟼ ‖�‖

Sifat-sifat yang dimiliki oleh konsep panjang tersebut adalah

1. ‖�‖ ≥ 0,‖�‖ = 0 ⟺ � = 0

2. ‖��‖ = |�|‖�‖

3. ‖� + ��‖ ≤ ‖�‖ + ‖��‖

Contoh :

Pada bidang X-Y untuk � = (�,�) dan konsep |�|= ��� + �� apakah memenuhi

sifat sebagai konsep panjang ?

Jawab :

Jika ��� + �� = 0 maka �� + �� = 0 dimana �� ≥ 0,�� ≥ 0 sehingga �� + �� =

0 ⟺ � = 0,� = 0 yang berarti � = (0,0)

|��|= �(��)� + (��)�

|��|= ���(�� + ��)

|��|= |�|��� + ��

|��|= |�||�|

Untuk � = (�,�),�� = (��,��) sehingga � + �� = (� + ��,� + ��) maka

|� + ��|= �(� + ��)� + (� + ��)�

dan

|�|+ |��|= ��� + �� + � ��� + ���

maka

|� + ��|≤ |�|+ |��|

Jadi konsep |�|= ��� + �� memenuhi sifat sebagai

konsep panjang.

Contoh :

Andaikan konsep panjang didefinisikan ‖�‖ = m ax(|�|,|�|), apakah memenuhi sifat

sebagai konsep panjang?

Jawab :

��

� + ��

��

� + ��

Page 162: Catatan Fismat

161

el-Madani

Sifat ke-1

Konsep tersebut selalu bernilai positif karena �,� dimutlakkan sehingga hasilnya

akan selalu positif sehingga memenuhi sifat ‖�‖ ≥ 0. Jika ‖�‖ = 0 maka

m ax(|�|,|�|)= 0, sehingga jika nilai maksimum dari mutlak salah satu komponen

adalah 0 maka komponen yang lain tidak mungkin bernilai lebih dari 0, dengan

demikian dapat disimpulkan

‖�‖ = 0 ⟺ � = 0,� = 0

Jadi sifat ke-1 terpenuhi.

Sifat ke-2

‖��‖ = max (|��|,|��|)

‖��‖ = m ax(|�||�|,|�||�|)

‖��‖ = |�|m ax(|�|,|�|)

‖��‖ = |�|‖�‖

Jadi sifat ke-2 dipenuhi

Sifat ke-3

‖� + ��‖ = m ax(|� + ��|,|� + ��|)≤ m ax(|�|+ |��|,|�|+ |��|)

max (|� + ��|,|� + ��|)≤ max (|�|,|�|)+ max (|��|,|��|)

‖� + ��‖ ≤ ‖�‖ + ‖��‖

Jadi sifat ke-3 terpenuhi.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ‖�‖ = m ax(|�|,|�|) memenuhi sifat

konsep panjang.

Ruang vektor dengan disertai konsep panjang disebut sebagai ruang bernorma

(�,‖∙‖).

Contoh :

Pada ruang vektor ��([�,�],ℝ) dengan � ∈ ��([�,�],ℝ), terdapat beberapa konsep

panjang diantaranya adalah

1. ‖�‖� = ∫ |�(�)|���

2. ‖�‖� = �∫ |�(�)|����

��� �⁄

3. ‖�‖� = �∫ |�(�)|����

��� �⁄

Berikut ini adalah bukti bahwa ‖�‖� memenuhi sifat-sifat sebagai konsep panjang.

Page 163: Catatan Fismat

162

el-Madani

Sifat ke-1

‖�‖� = � |�(�)|��

Karena �(�) dimutlakkan maka pasti positif, sehingga memenuhi sifat ke-1

‖�‖� = � |�(�)|��

≥ 0

‖�‖� = � |�(�)|��

= 0 ⟺ |�(�)|= 0

Sehingga �(�) harus merupakan fungsi nol (�(�)= �) ∀� ∈ [�,�].

Jika �(�)= � maka

‖�‖� = � |�|��

‖�‖� = � |0|��

‖�‖� = 0

Jadi ‖�‖� = 0 ⟺ � = �

Sifat ke-2

‖��‖� = � |��(�)|��

‖��‖� = � |�||�(�)|��

‖��‖� = |�|� |�(�)|��

‖��‖� = |�|‖�‖�

Jadi sifat ke-2 terpenuhi.

Sifat ke-3

‖� + �‖� = � |�(�)+ �(�)|��

≤ � (|�(�)|+ |�(�)|)��

Page 164: Catatan Fismat

163

el-Madani

� |�(�)+ �(�)|��

≤ � |�(�)|��

+ � |�(�)|��

‖� + �‖� ≤ ‖�‖� + ‖�‖�

Jadi terpenuhi sifat ke-3 sehingga ‖�‖� = ∫ |�(�)|���

� memenuhi konsep

panjang.

KONSEP JARAK

Perhatikan gambar di samping. Posisi titik

� terhadap pusat koordinat dinyatakan dengan

vektor �� sedangkan posisi titik � dinyatakan

dengan vektor �� . Vektor ������� menyatakan

vektor posisi � terhadap titik �. Jarak antara �

dan � didefinisikan sebagai berikut.

�(�,�)= �������� �

�(�,�)= ‖�� − ��‖

�(�,�)= �(�� − ��)� + (�� − ��)� + (�� − ��)�

Pada ruang vektor (�,‖∙‖) didefinisikan suatu konsep jarak �(�,��)=

‖��− �‖, sedemikian rupa sehingga memenuhi sifat

1. �(�,��)≥ 0 ,�(�,��)= 0 ⟺ � = ��

2. �(�,��)= �(��,�) karena ‖��− �‖ = ‖� − ��‖

3. �(�,��)≤ �(�,���)+ �(���,��)

Pada suatu ruang vektor (�,∙,�) bisa ditemukan konsep jarak sedemikian rupa

sehingga memenuhi definisi

�:� × � ⟶ ℝ

�:(�,��)⟼ �(�,��)

Contoh :

Pada ruang vektor ��([�,�],ℝ) didefinisikan ��(�,�)= ‖� − �‖� = ∫ |�(�)−�

�(�)|��, apakah konsep tersebut memenuhi syarat konsep panjang?

Jawab :

Sifat ke-1

x

y

z �

�������

��

��

Page 165: Catatan Fismat

164

el-Madani

��(�,�)= ‖� − �‖�

��(�,�)= � |�(�)− �(�)|��

Dimana nilai dari ∫ |�(�)− �(�)|���

� pastinya positif sehingga ∫ |�(�)−

�(�)|�� ≥ 0

��(�,�)= 0

� |�(�)− �(�)|��

= 0

|�(�)− �(�)|= 0

�(�)− �(�)= 0

�(�)= �(�)

Atau

Jika �(�)= �(�) maka

��(�,�)= � |�(�)− �(�)|��

��(�,�)= � |0|��

��(�,�)= 0

Jadi ��(�,�)= 0 ⟺ �(�)= �(�) sehingga sifat ke-1 terpenuhi.

Sifat ke-2

��(�,�)= ‖� − �‖�

��(�,�)= � |�(�)− �(�)|��

Karena �(�)− �(�) dalam tanda mutlak maka jika diubah menjadi �(�)− �(�)

akan memberikan hasil yang sama

��(�,�)= � |�(�)− �(�)|��

��(�,�)= ‖� − �‖�

��(�,�)= ��(�,�)

Jadi sifat ke-2 terpenuhi

Page 166: Catatan Fismat

165

el-Madani

Sifat ke-3

� |�(�)− �(�)|��

≤ � |�(�)− ℎ(�)|��

+ � |ℎ(�)− �(�)|��

��(�,�)≤ ��(�,ℎ)+ ��(ℎ,�)

Jadi sifat ke-3 terpenuhi.

Karena semua syarat konsep jarak terpenuhi maka konsep ��(�,�)= ‖� − �‖� =

∫ |�(�)− �(�)|���

� merupakan konsep jarak.

Beberapa contoh konsep jarak di atas

adalah konsep jarak yang diimbas oleh

norma. Berikut adalah contoh konsep jarak

yang tidak diimbas oleh norma.

Andaikan didefinisikan konsep jarak

berikut

��(�,�)= �

|��|+ |�� | jika � dan � tidak segaris

|�� − �� | jika � dan � segaris radial

Bukti bahwa ��(�,�) memenuhi syarat sebagai konsep jarak adalah sebagai berikut.

Sifat ke-1

��(�,�)≥ 0 untuk � dan � segaris maupun tidak segaris, sudah pasti tidak pernah

negatif karena tedapat tanda mutlak.

��(�,�)= 0

|�� − �� |= 0

�� − �� = 0

�� = ��

Karena �� = �� maka � = �, sehingga sifat ke-1 terpenuhi

Sifat ke-2

��(�,�)= |��|+ |�� |

��(�,�)= |�� |+ |��|

��(�,�)= ��(�,�)

atau

y

x

��

��

��

��

��

Page 167: Catatan Fismat

166

el-Madani

��(�,�)= |�� − �� |

��(�,�)= |�� − ��|

��(�,�)= ��(�,�)

Jadi sifat ke-2 terpenuhi.

Sifat ke-3

|��|+ |��|≤ (|��|+ |�� |)+ (|�� |+ |��|)

��(�,�)≤ ��(�,�)+ ��(�,�)

Jadi sifat ke-3 terpenuhi.

Contoh :

Di ruang vektor (�,‖∙‖�,‖∙‖�) dan didefinisikan ‖�‖ = ‖�‖� + ‖�‖�. Apakah ‖�‖

memenuhi konsep panjang ?

Jawab :

Sifat ke-1

‖�‖ = ‖�‖� + ‖�‖� ≥ 0

Jika ‖�‖ = ‖�‖� + ‖�‖� = 0 maka ‖�‖� = 0, ‖�‖� = 0 sehingga dapat

disimpulkan bahwa � = 0. Jadi ‖�‖ = 0 ⟺ � = 0. Jadi sifat ke-1 terpenuhi.

Sifat ke-2

‖��‖ = ‖��‖� + ‖��‖�

‖��‖ = |�|‖�‖� + |�|‖�‖�

‖��‖ = |�|(‖�‖� + ‖�‖�)

‖��‖ = |�|‖�‖

Jadi sifat ke-2 terpenuhi.

Sifat ke-3

‖� + ��‖ = ‖� + ��‖� + ‖� + ��‖� ≤ ‖�‖� + ‖��‖� + ‖�‖� + ‖��‖�

‖� + ��‖� + ‖� + ��‖� ≤ ‖�‖� + ‖�‖� + ‖��‖� + ‖��‖�

‖� + ��‖ ≤ ‖�‖ + ‖��‖

Jadi sifat ke-3 terpenuhi.

Karena tiga syarat/sifat konsep panjang terpenuhi maka ‖�‖ = ‖�‖� + ‖�‖�

merupakan konsep panjang.

Contoh :

Jika didefinisikan suatu konsep ‖�‖� �� = m ax(‖�‖�,‖�‖�), apakah konsep

tersebut memenuhi syarat konsep panjang ?

Page 168: Catatan Fismat

167

el-Madani

Jawab :

Sifat ke-1

‖�‖� �� = max (‖�‖�,‖�‖�)≥ 0

Jika

‖�‖� �� = 0

m ax(‖�‖�,‖�‖�)= 0

Mestinya jika nilai maksimal salah satu nol, maka yang lain tidak mungkin lebih dari

nol dan tidak mungkin negatif sehingga ‖�‖� = ‖�‖� = 0. Jadi sifat ke-1 terpenuhi.

Sifat ke-2

‖��‖� �� = max (‖��‖�,‖��‖�)

‖��‖� �� = max �|�|(‖�‖�,‖�‖�)�

‖��‖� �� = |�|m ax(‖�‖�,‖�‖�)

‖��‖� �� = |�|‖�‖� ��

Jadi sifat ke-2 terpenuhi

Sifat ke-3

‖� + ��‖� �� = max (‖� + ��‖�,‖� + ��‖�)≤ max (‖�‖� + ‖��‖�,‖�‖� + ‖��‖�)

m ax(‖� + ��‖�,‖� + ��‖�)≤ m ax(‖�‖� + ‖��‖�,‖�‖� + ‖��‖�)

‖� + ��‖� �� ≤ m ax(‖�‖� + ‖�‖�)+ m ax(‖��‖� + ‖��‖�)

‖� + ��‖� �� ≤ ‖�‖� �� + ‖��‖� ��

Jadi sifat ke-3 terpenuhi.

Andaikan suatu fungsi �, dimana � adalah pemetaan �:ℝ ⟶ ℝ dan �� ∈ ℝ

maka � dikatakan kontinyu di �� jika

1. 000

limlim xfxfxfxxxx

2. ∀� > 0 ada � > 0 sedemikian rupa sehingga |�(�)− �(��)|< � jika

�(�,��)< �

Dengan mengetahui konsep jarak di ℝ maka � dikatakan kontinyu di �� jika

∀� > 0, ∃� > 0 sedemikian rupa sehingga ���(�)− �(��)� < � jika �(�,��)< �.

Andaikan �:� → � dan �� adalah konsep jarak di � dan �� adalah konsep jarak di

Page 169: Catatan Fismat

168

el-Madani

� maka � dikatakan kontinyu di �� jika ∀� > 0, ∃� > 0 sedemikian rupa sehingga

����(�)− �(��)� < � jika ��(�,��)< �.

Andaikan (��)= ��,��,��,… ∈ ℝ adalah barisan konvergen, dimana ��

konvergen menuju � jika

lim�→ �

�� = �

Atau ∀� > 0,∃� > 0 sedemikian rupa sehingga |� − ��|< � jika � > � . Pada

ruang vektor (�,�) terdapat (��)= ��,��,��,… dimana �� konvergen menuju �

jika ∀� > 0,∃� > 0 sedemikian rupa sehingga �(�,��)< � jika � > � .

BARISAN FUNDAMENTAL

Barisan ��,��,��,…disebut sebagai barisan fundamental (Cauchy) jika

∀� > 0,∃� > 0 sedemikian rupa sehingga �(��,�� )< �, ∀�,� > � . Jika (��)

konvergen maka (��) fundamental, jika (��) tidak fundamental maka (��) tidak

konvergen.

Contoh :

�� =1

�!

maka

|�� − �� |= �1

�!−1

� !�

|�� − �� |= �� !− �!

�!� !�

Barisan di atas merupakan barisan fundamental karena semakin besar � dan �

maka selisih antara keduanya semakin kecil, dan barisan di atas adalah

konvergen.

Jika (��) konvergen maka ∀� > 0,∃� dengan �(�,��)< � untuk � > � . Jika

ditemukan �

�> 0,∃� � sedemikian rupa sehingga �(�,��)<

� jika � > � �.

�(�� ,��)≤ �(�,�� )+ �(�,��)<�

2+�

2

�(�� ,��)< �

dimana � ,� > � �, sehingga dapat disimpulkan (��) fundamental. Suatu ruang

dikatakan lengkap jika barisan-barisan fundamentalnya konvergen.

Contoh

�� = 1

Page 170: Catatan Fismat

169

el-Madani

�� = 1+ 1

�� = 1+ 1+1

2!

�� = 1+ 1+1

2!+1

3!

�� = �1

�!

���

���

Setiap elemen/anggota dari barisan ini adalah bilangan rasional (ℚ). exnn

lim

dimana � adalah bilangan irasional, maka barisan ini dikatakan tidak konvergen

karena elemennya bilangan rasional sedangkan nilai limitnya irasional. Akan tetapi

barisan tersebut adalah fundamental.

Contoh :

Pada ��([0,1],ℝ) didefinisikan 1

01

dxxff dan �(�,�)= ‖� − �‖

x

y

1

1 0,5 0 x

y

1

1 �

� 0 �

���

��

���

��

��

x

y

1

1 0

��

� = 1

x

y

1

1 �

� 0 �

��

� = 2

x

y

1

1 �

� 0 �

��

� = 3

x

y

1

1 0

��

��

Page 171: Catatan Fismat

170

el-Madani

Barisan �� tidak konvergen tetapi fundamental.

��(�)=

⎩⎪⎨

⎪⎧0,0≤ � ≤

1

2−1

2�

1,1

2+1

2�≤ � ≤ 1

Semakin besar � dan � maka daerah yang diarsir akan semakin kecil yang berarti

deret fungsi ini fundamental.

PRODUK SKALAR

Sifat-sifat produk skalar

1. � ∙� ≥ 0,� ∙� = 0 ⟺ � = 0

2. �� ∙��� � = ��� ∙�� �

3. � ∙��� + �� = � ∙�� + � ∙�

4. �� ∙�� � = ��� ∙��∗

Jadi produk skalar adalah suatu skalar yang diperoleh dari dot product � dan �� yang

memenuhi sifat-sifat produk skalar dan � ∙�� tidak harus sama dengan ������ � cos�.

Pada ruang vektor (�,+,�) maka produk skalar adalah suatu pemetaan yang

didefinisikan sebagai berikut.

∙ = ⟨|⟩∶ (� × �)⟶ �

⟨|⟩∶ (�,��)⟼ � ∙��= ⟨�|��⟩ = ⟨�,��⟩

Sifat-sifat

1. ⟨�|�⟩ ≥ 0,⟨�|�⟩ = 0 ⟺ � = �

2. ⟨�|��⟩ = ⟨��|�⟩∗

3. ⟨�|���⟩ = �⟨�|��⟩

4. ⟨�|��+ ���⟩ = ⟨�|��⟩ + ⟨�|���⟩

Contoh :

Page 172: Catatan Fismat

171

el-Madani

Pada ��([�,�],ℝ)= �� ∈ ��([�,�],ℝ)|∫ |�(�)|����

�< ∞ � didefinisikan ⟨�|�⟩ =

∫ �∗(�)�(�)���

� apakah memenuhi sifat-sifat produk skalar?

Jawab :

Sifat ke-1

⟨�|�⟩ = � �∗(�)�(�)��

⟨�|�⟩ = � |�(�)|���

≥ 0

⟨�|�⟩ = 0

� |�(�)|���

= 0

|�(�)|� = 0

�(�)= 0

Jadi ⟨�|�⟩ = 0 ⟺ �(�)= 0

Sifat ke-2

⟨�|�⟩ = � �∗(�)�(�)��

⟨�|�⟩ = � ��(�)�∗(�)�∗��

⟨�|�⟩ = �� �∗(�)�(�)��

⟨�|�⟩ = ⟨�|�⟩∗

Sifat ke-3

⟨�|��⟩ = � �∗(�)��(�)��

⟨�|��⟩ = � � �∗(�)�(�)��

⟨�|��⟩ = �⟨�|�⟩

Page 173: Catatan Fismat

172

el-Madani

Sifat ke-4

⟨�|� + ℎ⟩ = � �∗(�)��(�)+ ℎ(�)���

⟨�|� + ℎ⟩ = � ��∗(�)�(�)+ �∗(�)ℎ(�)���

⟨�|� + ℎ⟩ = � �∗(�)�(�)��

+ � �∗(�)ℎ(�)��

⟨�|� + ℎ⟩ = ⟨�|�⟩ + ⟨�|ℎ⟩

Ruang vektor yang disertai dengan produk skalar yang dipilih disebut ruang vektor

berproduk skalar. Konsep panjang dari produk skalar adalah ‖�‖ = � ⟨�|�⟩.

Andaikan ruang vektor (�,+,�) disertai produk skalar sehingga untuk

�,�� ∈ � maka

⟨�|��⟩ = � ∙�� ∈ �

Pemetaan

�:� × � ⟶ �

�:(�,��)⟼ �(�,��)

Dikatakan sebagai pemetaan bilinear jika memenuhi sifat berikut.

1. �(��,��)= ��(�,��)

2. �(�,���)= ��(�,��)

3. �(��,���)= ���(�,��)

4. �(�,��+ ���)= �(�,��)+ �(�,���)

5. �(� + ��,���)= �(�,���)+ �(��,���)

Apakah produk skalar ⟨|⟩ memenuhi pemetaan bilinear?

Bukti :

⟨��|��⟩ = ⟨��|��⟩∗

⟨��|��⟩ = (�⟨��|�⟩)∗

⟨��|��⟩ = �∗⟨��|�⟩∗

⟨��|��⟩ = �∗⟨�|��⟩

Dari sifat ini tampak bahwa ⟨ | ⟩ tidak memenuhi bilinear, kecuali jika � adalah

bilangan riil.

ORTHOGONAL (KETEGAKLURUSAN)

Page 174: Catatan Fismat

173

el-Madani

Dua vektor yang saling tegak lurus maka nilai dari produk skalarnya adalah nol.

� ∙�� = ������ � cos90

� ∙�� = ������ �0

� ∙�� = 0

Untuk �,�� ∈ � dikatakan saling tegak lurus/orthogonal jika

⟨�|��⟩ = 0.

Sifat-sifat norma dari produk skalar

1. ‖�‖ = � ⟨�|�⟩ = 0 ⟺ ⟨�|�⟩ = 0 ⟺ � = �

2. ‖��‖ = � ⟨��|��⟩

‖��‖ = � ⟨��|��⟩

‖��‖ = ��⟨��|�⟩

‖��‖ = ��(⟨�|��⟩)∗

‖��‖ = ��(�⟨�|�⟩)∗

‖��‖ = ���∗⟨�|�⟩∗

‖��‖ = �|�|�⟨�|�⟩

‖��‖ = �|�|�� ⟨�|�⟩

‖��‖ = |�|‖�‖

3. ‖� + ��‖� = ⟨� + ��|� + ��⟩

‖� + ��‖� = ⟨�|�⟩ + ⟨�|��⟩ + ⟨��|�⟩ + ⟨��|��⟩

‖� + ��‖� = ‖�‖� + ⟨�|��⟩ + ⟨�|��⟩∗ + ‖��‖�

‖� + ��‖� = ‖�‖� + ‖��‖� + 2 Re (⟨�|��⟩)

Karena Re(⟨�|��⟩)≤ |⟨�|��⟩|≤ ‖�‖‖��‖ atau 2 Re(⟨�|��⟩)≤ 2‖�‖‖��‖

Sehingga

‖� + ��‖� ≤ ‖�‖� + ‖��‖� + 2‖�‖‖��‖

‖� + ��‖� ≤ (‖�‖ + ‖��‖)�

Jika ‖�‖ = 1 maka � disebut vektor normal. Jika ‖�‖ ≠ 1, maka agar menjadi

normal

�� =�

‖�‖

Bukti bahwa �� normal adalah sebagai berikut

��

Page 175: Catatan Fismat

174

el-Madani

‖��‖ = ��

‖�‖�

‖��‖ =‖�‖

‖�‖= 1

Contoh :

Dari gambar di samping susunlah dua buah vektor yang saling

tegak lurus !

Jawab :

�� =��

��� �

Yang pertama dibuat vektor proyeksi � pada arah �� yaitu

vektor yang panjangnya � cos�

� cos�= ������� cos�

� cos� = ��∙�

Sedangkan vektornya adalah

���∙���� = �

Jadi vektor � adalah vektor proyeksi � yang arahnya

sama dengan arah vektor �� . Langkah berikutnya adalah

membuat vektor ��� yang tegak lurus dengan vektor

���∙���� = �. Berdasarkan gambar maka diperoleh

hubungan berikut.

��� = � − �

��� = � − ���∙����

Bukti bahwa � dan ��� tegak lurus

������ � = ����∙�����∙�� − ���∙�����

������ � = ���∙����∙� − ���∙����∙���∙����

������ � = ���∙�����∙�� − ���∙�����∙����∙��

������ � = ���∙�����∙�� − ���∙�����∙��1

������ � = 0

�� ��

�� ��

���∙���� = �

�� ��

���∙���� = �

���

Page 176: Catatan Fismat

175

el-Madani

Andaikan pada ruang vektor (�,+,�,⟨|⟩) terdapat himpunan {��,��,… ,��}

yang bebas linear dengan � ≤ dim �. Himpunan yang bebas linear tersebut dapat

dijadikan saling tegak lurus dan besarnya satu satuan dengan melakukan

orthonormalisasi GRAMM-SCHMITZ sebagai berikut.

�� ⟶ ��� =��‖��‖

�� ⟶ �� = �� − ⟨���|��⟩���

�� ⟶ ��� =��‖��‖

�� ⟶ �� = �� − ⟨���|��⟩��� − ⟨���|��⟩���

�� ⟶ ��� =��‖��‖

�� ⟶ �� = �� − �⟨���|��⟩���

���

���

�� ⟶ ��� =��‖��‖

Andaikan terdapat himpunan {��,��,��,… ,��}⊂ � dikatakan orthogonal jika ��

tegak lurus ��,∀�≠ � dan ⟨��|��⟩ = 0,∀�≠ �. Andaikan terdapat himpunan

{��,��,��,… ,��}⊂ � dikatakan orthonormal jika {��,��,��,… ,��} orthogonal dan

‖��‖ = 1∀�. Himpunan {��,��,��,… }⊂ � disebut orthonormal jika setiap sub

himpunan {���,���,���,… ,���}⊂ {��,��,��,… } orthonormal (dari bagian infinit

diambil bagian finit untuk diuji orthonormalnya, jika bagian finit orthonormal maka

bagian infinit juga orthonormal).

Contoh :

Andaikan ℂ� = {� = (��,��,��,… ,��)|�� ∈ ℂ}, maka produk skalarnya adalah

⟨�|��⟩ = ���∗��

���

Bukti bahwa produk skalar tersebut memenuhi syarat-syarat sebagai produk skalar

Sifat ke-1

⟨�|�⟩ = ���∗��

���

⟨�|�⟩ = �|��|�

���

≥ 0

Page 177: Catatan Fismat

176

el-Madani

⟨�|�⟩ = ���∗��

���

= 0 ⟺ � = 0

Sifat ke-2

⟨�|��⟩ = ���∗��

���

⟨�|��⟩ = �������∗

���

⟨�|��⟩ = �����∗��

���

⟨�|��⟩ = ⟨��|�⟩∗

Sifat ke-3

⟨�|���⟩ = ���∗���

���

⟨�|���⟩ = ����∗��

���

⟨�|���⟩ = �⟨�|��⟩

Sifat ke-4

⟨�|��+ ���⟩ = ���∗(��

�+ ����)

���

⟨�|��+ ���⟩ = ���∗��

���

+ ���∗��

��

���

⟨�|��+ ���⟩ = ⟨�|��⟩ + ⟨�|���⟩

Jika terdapat himpunan {(1,0,0,… ,0),(0,1,0,… ,0),… ,(0,0,0,… ,1)} maka

vektor ini adalah orthogonal (Besar masing-masing vektor 1, dan produk skalar satu

dengan lainnya nol). Jika {��,��,… ,��} orthonormal maka berlaku ������� = ���.

Himpunan vektor-vektor yang orthonormal adalah bebas linear.

Bukti

Jika {��,��,… ,��} orthonormal maka

�����

���

= �

Page 178: Catatan Fismat

177

el-Madani

Kedua ruas diproduk skalar dengan ��

���������

���

� = ������

���

���

������� = ����0���

���

���

��� = 0�������

����� = 0

�� = 0

TEOREMA PHYTAGORAS

Andaikan (�,+,�,⟨|⟩) adalah ruang berproduk skalar dan {��,��,… ,��}

himpunan orthonormal, maka untuk sembarang � ∈ � berlaku

‖�‖� = �|⟨��|�⟩|�

���

+ �� − �⟨��|�⟩��

���

Bukti

� = � − �⟨��|�⟩��

���������������

+ �⟨��|�⟩��

�����������

� = � + �

Jika � tegak lurus � maka

‖�‖� = ⟨�|�⟩

‖�‖� = ⟨� + �|� + �⟩

‖�‖� = ⟨� + �|� + �⟩

‖�‖� = ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩

‖�‖� = ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩ + ⟨�|�⟩∗

‖�‖� = ‖�‖� + ‖�‖� + 2 Re ⟨�|�⟩

Karena � tegak lurus � maka

⟨�|�⟩ = �� − �⟨��|�⟩��

���

��⟨��|�⟩��

���

Page 179: Catatan Fismat

178

el-Madani

⟨�|�⟩ = �����⟨��|�⟩

����������������

��� − ��⟨��|�⟩���������

��

���

���������

����������������

���

⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩

���

⟨�|��⟩ − ��������

���

���

�⟨��|�⟩���������

������

⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩

���

⟨�|��⟩ − ��������

���

���

����⟨��|�⟩���������

���

⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩

���

⟨�|��⟩ − ��������

���

���

�⟨��|�⟩��������∗

⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩

���

⟨�|��⟩ − ��������

���

���

⟨��|�⟩∗�������

⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩

���

⟨�|��⟩ − ��������

���

���

⟨�|��⟩�������

⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩

���

⟨�|��⟩ − ��������

���

���

⟨�|��⟩���

⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩

���

⟨�|��⟩ − �⟨��|�⟩⟨�|��⟩

���

���

⟨�|�⟩ = �⟨��|�⟩

���

⟨�|��⟩ − �⟨��|�⟩⟨�|��⟩

���

⟨�|�⟩ = 0

Sehingga

‖�‖� = ‖�‖� + ‖�‖�

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ ��⟨��|�⟩��

���

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ ��⟨��|�⟩

����������������

�����������

����������������

���

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ ��������

���

���

�⟨��|�⟩���������

������

Page 180: Catatan Fismat

179

el-Madani

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ ��������

���

���

����⟨��|�⟩���������

���

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ ��������

���

���

�⟨��|�⟩��������∗

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ ��������

���

���

⟨��|�⟩∗�������

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ ��⟨��|�⟩∗������

���

���

�������

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ ��⟨��|�⟩∗������

���

���

���

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ �⟨��|�⟩∗⟨��|�⟩

���

���

‖�‖� = �� − �⟨��|�⟩��

���

+ �|⟨��|�⟩|�

���

Atau

‖�‖� = �|⟨��|�⟩|�

���

+ �� − �⟨��|�⟩��

���

Berdasarkan persamaan tersebut berart bahwa

‖�‖� ≥ �|⟨��|�⟩|�

���

⟶ KETAKSAMAAN BESSEL

KETAKSAMAAN SCHWARTZ

Jika dari suatu himpunan orthogonal {�} diperoleh himpunan orthonormal

��

‖� ‖� maka dari ketaksamaan Bessel diperoleh

‖�‖� ≥ ���

‖�‖����

‖�‖� ≥ �����

‖�‖�∗

��

Page 181: Catatan Fismat

180

el-Madani

‖�‖� ≥ ��1

‖�‖⟨�|�⟩�

‖�‖� ≥ �1

‖�‖(⟨�|�⟩)∗�

‖�‖� ≥1

‖�‖�|⟨�|�⟩|�

‖�‖�‖�‖� ≥ |⟨�|�⟩|�

‖�‖‖�‖ ≥ |⟨�|�⟩|

Kasus

Andaikan � dan �� adalah vektor setitik tangkap dengan sudut apit � maka :

Pada saat � = 0

�� ∙�� � = ������ � cos0

�� ∙�� � = ������ �

Atau secara umum

�� ∙�� � = ������ � cos�

�� ∙�� � ≤ ������ �

Himpunan orthonormal dikatakan maksimum jika himpunan tersebut tidak

dimuat oleh himpunan orthonormal yang lain. Himpunan orthonormal maksimal

adalah basis. Untuk dimensi yang finit, maka setiap penambahan satu vektor pada

basis maka tidak akan didapatkan vektor yang orthonormal, sehingga perlu

orthonormalisasi agar didapat himpunan maksimal yang orthonormal.

Jika dimensi ruang vektor infinit, maka � = ∑ �������� + � dan {��,��,… }

orthogonal maksimum, maka � = 0.

Bukti

� = �����

���

+ � = �⟨��|�⟩��

���

+ �

� − � = �⟨��|�⟩��

���

Kedua ruas diproduk skalar dengan �� dimana �� ≠ 0

����� − �� = �����⟨��|�⟩���������

���

���

Page 182: Catatan Fismat

181

el-Madani

������ − ������ = �⟨��|�⟩�������

���

������ − ������ = �⟨��|�⟩���

���

������ − ������ = ���������

������ − ������ = ������

������ = 0

� = 0

Jika {��,��,… } orthonormal maksimal di ruang vektor (�,+,�,⟨|⟩) maka

∀� ∈ � berlaku

� = �⟨��|�⟩���

⟶ ����� �������

‖�‖� = �|⟨��|�⟩|�

⟶ ��������� ��������

Andaikan ⟨∙|∙⟩:� × � → � maka akan muncul konsep panjang yang diinduksi

dari produk skalar. ∀� ∈ � maka ‖�‖ = � ⟨�|�⟩ kemudian muncul konsep jarak

�(�,�)= ‖� − �‖ = � ⟨� − �|� − �⟩. Jadi dari ruang vektor berproduk skalar

(�,⟨|⟩) menghasilkan ruang vektor bernorma (�,‖∙‖) dan muncul pula ruang vektor

bermetriks (�,�).

KONVERGENSI

1. (��)⊂ � konvergen menuju � ∈ � jika �(��,�) menuju nol untuk � menuju

2. (��)⊂ � disebut barisan fundamental/Cauchy jika �(��,�� ) menuju nol

untuk � ,� menuju ∞

Suatu ruang disebut sebagai ruang lengkap jika setiap barisan yang fundamental

dalam ruang tersebut konvergen.

Contoh : ℝ dengan �(�,�)= |� − �|

RUANG HILBERT

Ruang Hilbert adalah ruang berproduk skalar sedemikian rupa sehingga ruang

itu lengkap relatif terhadap metriks �(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩

Page 183: Catatan Fismat

182

el-Madani

Contoh :

Di ℝ maka

⟨�|�⟩ = � ∙�

‖�‖ = ��� = |�|

�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩

�(�,�)= �(� − �)�

�(�,�)= |� − �|

Di ℝ� maka

⟨(�,�)|(��,��)⟩ = ���+ ���

‖(�,�)‖ = � �� + ��

��(�,�),(��,��)� = �(� − ��)� + (� − ��)�

Di ℝ� maka

� = (��,��,… ,��)

⟨�|��⟩ = ������

���

‖�‖ = � ⟨�|�⟩

‖�‖ = ������

���

‖�‖ = ������

���

Di ruang kompleks

ℂ = ℝ + �ℝ ≡ ℝ� karena ℝ� lengkap maka ℂ juga lengkap. Di ruang kompleks

maka berlaku

⟨�|��⟩ = ⟨(�,�)|(��,��)⟩

⟨�|��⟩ = �∗��+ �∗��

‖�‖ = � �� + ��

Di ℂ� maka

� = (��,��,… ,��)

Page 184: Catatan Fismat

183

el-Madani

⟨�|��⟩ = ���∗��

���

‖�‖ = � ⟨�|�⟩

‖�‖ = ����∗��

���

‖�‖ = ��|��|�

���

Matriks � �(� × �,ℝ) dapat dipandang sebagai ℝ� ×� sehingga dapat diperoleh

produk skalar berikut

⟨�|�⟩ = ��������

���

���

‖�‖ = � ⟨�|�⟩

‖�‖ = ���������

���

���

‖�‖ = ���(���)��

���

���

�(�,�)= ‖� − �‖

�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩

�(�,�)= ���(� − �)��(� − �)��

���

���

�(�,�)= ���[(� − �)��]��

���

���

Untuk � �(� × �,ℂ) maka

⟨�|�⟩ = �����∗ ���

���

���

Page 185: Catatan Fismat

184

el-Madani

‖�‖ = � ⟨�|�⟩

‖�‖ = ������∗ ���

���

���

‖�‖ = ���|���|��

���

���

�(�,�)= ‖� − �‖

�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩

�(�,�)= ���(� − �)��∗ (� − �)��

���

���

�(�,�)= ���|(� − �)��|�

���

���

Untuk � �(�,ℂ) maka

⟨�|�⟩ = � ���∗ ���

�,���

‖�‖ = � ⟨�|�⟩

‖�‖ = �� ���∗ ���

�,���

‖�‖ = ��������

�,���

�(�,�)= ‖� − �‖

�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩

�(�,�)= ��(� − �)��∗ (� − �)��

�,���

Page 186: Catatan Fismat

185

el-Madani

�(�,�)= ���(� − �)����

�,���

Eksponensial matriks

�� = ���

�!

���

→ ���� ����� ��� �� � ������

ln� = ���(�)

���

→ ����� ����� �������

Jika �(�,�)< 1 maka nilai ln� ada.

Contoh :

�([�,�],ℝ) adalah himpunan semua fungsi yang kontinyu dengan domain [�,�].

Untuk �,� ∈ �([�,�],ℝ ) maka

⟨�|�⟩ = � �∗(�)�(�)��

�(�,�)= � ⟨� − �|� − �⟩

�(�,�)= �� (� − �)∗(�)(� − �)(�)��

�(�,�)= �� |(� − �)(�)|���

�(�,�)= �� |�(�)− �(�)|���

Jika ditemukan ruang (�,⟨|⟩) tidak lengkap maka ada ���,⟨|⟩���� yang lebih besar

sehingga �� lengkap dan � mendominasi di ��. Jika �([�,�],ℝ ) tidak lengkap maka

ada ruang yang lebih besar dan lengkap yaitu ��([�,�],ℝ ) (Lebesgue square

integrable).

TEOREMA

Andaikan {��}���� adalah sebuah himpunan orthonormal dalam ruang Hilbert

(ℋ ,⟨|⟩) maka :

Page 187: Catatan Fismat

186

el-Madani

1. Deret

1kkke konvergen jika dan hanya jika

1

2

kk konvergen

2. Jika deret

1k

kkev konvergen maka koefisien �� merupakan koefisien

Fourier ⟨��|�⟩, jadi

1k

kk evev

3. ∀� ∈ ℋ maka deret

1k

kk evev konvergen

Contoh :

�(�)= �� + �(�� sin�� + �� cos��)

���

Dimana

��(�)�1,����� � = 0

cos�� ,����� � = 1,2,3,…

��(�)= sin�� ,����� � = 1,2,3,…

��(�)⟹ ��(�)=��

‖��‖

Karena ruang yang dipelajari adalah ��([0,2�],ℝ) maka

⟨�|�⟩ = � �(�)�(�)��

��

‖��‖� = ⟨��|��⟩

Untuk � = 0 maka

‖��‖� = ⟨��|��⟩

‖��‖� = � ������

��

‖��‖� = � 1��

��

‖��‖� = ��|�

��

‖��‖� = 2�

‖��‖ = √2�

Sehingga

�� =��‖��‖

Page 188: Catatan Fismat

187

el-Madani

�� =1

√2�

Untuk � ≠ 0 maka

‖��‖� = ⟨��|��⟩

‖��‖� = � ������

��

‖��‖� = � cos�� cos�� ��

��

‖��‖� = � cos� �� ��

��

‖��‖� =

1

2� (1+ cos2��)��

��

‖��‖� =

1

2�� +

1

2�sin2���

��

‖��‖� =

1

2�2� +

1

2�sin4�������

− 0− 0�

‖��‖� =

1

2(2�)

‖��‖� = �

‖��‖ = √�

Sehingga

�� =��‖��‖

�� =cos��

√�→ � = 1,2,3,…

‖��‖� = ⟨��|��⟩

‖��‖� = � ������

��

‖��‖� = � sin�� sin�� ��

��

Page 189: Catatan Fismat

188

el-Madani

‖��‖� = � sin� �� ��

��

‖��‖� =

1

2� (1− cos2��)��

��

‖��‖� =

1

2�� −

1

2�sin2���

��

‖��‖� =

1

2�2� −

1

2�sin4�������

− 0− 0�

‖��‖� =

1

2(2�)

‖��‖� = �

‖��‖ = √�

��� =��‖��‖

��� =sin��

√�→ � = 1,2,3,…

Jika

⟨��|���⟩ =

1

�� cos(��)cos(���)

��

�� = ����

⟨���|����⟩ =

1

�� sin(��)sin(���)

��

�� = ����

Sehingga

� = ���� + �����

���

+ ������

���

maka

⟨��|�⟩ = �������� + �����

���

+ ������

���

⟨��|�⟩ = ⟨��|����⟩ + ���������

���

� + ����������

���

⟨��|�⟩ = ��⟨��|��⟩ + ���

���

⟨��|��⟩ + ���

���

⟨��|���⟩

⟨��|�⟩ = ��

Page 190: Catatan Fismat

189

el-Madani

Berdasarkan definisi sebelumnya bahwa

⟨��|�⟩ = � ���(�)��

��

�� = �1

√2��(�)��

��

�� =1

√2�� �(�)��

��

⟨��|�⟩ = �������� + �����

���

+ ������

���

⟨��|�⟩ = ⟨��|����⟩ + ���������

���

� + ����������

���

⟨��|�⟩ = ��⟨��|��⟩ + ���

���

⟨��|��⟩ + ���

���

⟨��|���⟩

⟨��|�⟩ = ��

Atau

⟨��|�⟩ = � ���(�)��

��

�� = �1

√�cos(��)�(�)��

��

�� =1

√�� �(�)cos(��)��

��

⟨���|�⟩ = ��������� + �����

���

+ ������

���

⟨���|�⟩ = ⟨���|����⟩ + ����������

���

� + �����������

���

⟨���|�⟩ = ��⟨���|��⟩ + ���

���

⟨���|��⟩ + ���

���

⟨���|���⟩

⟨���|�⟩ = ��

Page 191: Catatan Fismat

190

el-Madani

Atau

⟨���|�⟩ = � ����(�)��

��

�� = �1

√�sin(��)�(�)��

��

�� =1

√�� �(�)sin(��)��

��

Maka dari itu persamaan

� = ���� + �����

���

+ ������

���

Dapat diruliskan menjadi persamaan berikut

� = ⟨��|�⟩�� + �⟨��|�⟩��(�)

���

+ �⟨���|�⟩���(�)

���

Jadi ��([0,2�],ℝ) himpunan orthonormalnya adalah

����,��,���|��(�)=�

��,��(�)=

√�cos(��),���(�)=

√�sin(��),� = 1,2,3,… �

Contoh :

Di ℝ� himpunan orthonormalnya ��,�,��� maka � ∈ ℝ� dapat dituliskan dalam deret

Fourier

� = ��∙���+ ��∙���+ ���∙����

� = ������+ ������+ ��������

Di ruang ��([−1,1],ℝ) maka untuk �,� ∈ ��([−1,1],ℝ) maka

‖�‖� = ⟨�|�⟩

‖�‖� = � �(�)�(�)��

��

‖�‖� = � |�(�)|���

��

< ∞

Page 192: Catatan Fismat

191

el-Madani

‖�‖� = � |�(�)|���

[��,�]

< ∞ → ��������� ���� ��������

Jika ��(�)= 1,��(�)= �,��(�)= ��,… ,��(�)= ��,… membentuk himpunan

yang bebas linear dimana {��,��,��,… }⊂ ��([−1,1],ℝ), maka

‖��‖� = � (��)���

��

‖��‖� = � �����

��

‖��‖� =

1

2� + 1����� �|��

‖��‖� =

1

2� + 1(1��� � − (−1)��� �)

‖��‖� =

2

2� + 1< ∞

Karena {��,��,��,… } bebas linear maka bisa dilakukan orthonormalisasi Gramm-

Schmidt sebagai berikut.

��(�)=��(�)

‖��(�)‖

��(�)=��

� 22� + 1

Untuk � = 0 maka

��(�)=��

� 22 ∙0+ 1

��(�)=1

√2

��(�)= ��(�)− ⟨��|��⟩��(�)

��(�)= � − �1

√2���

��

∙1

√2

��(�)= � −1

√2∙1

√2� ���

��

��(�)= � −1

2�1

2���

��

Page 193: Catatan Fismat

192

el-Madani

��(�)= � −1

4(1� − (−1)�)

��(�)= �

��(�)=��(�)

‖��(�)‖

��(�)=�

� 22 ∙1+ 1

��(�)=�

� 23

��(�)= �3

2�

��(�)= ��(�)− ⟨��|��⟩��(�)− ⟨��|��⟩��(�)

��(�)= �� − �1

√2����

��

∙1

√2− � �

3

2�����

��

∙�3

2�

��(�)= �� −1

√2∙1

√2�1

3���

��

− �3

2∙�3

2�1

4���

��

��(�)= �� −1

2

1

3(1� − (−1)�)−

3

2

1

4(1� − (−1)�)�

��(�)= �� −1

62 −

3

80�

��(�)= �� −1

3

��(�)=��(�)

‖��(�)‖

��(�)=�� −

13

� 22 ∙2 + 1

��(�)=�� −

13

� 25

Page 194: Catatan Fismat

193

el-Madani

��(�)= �5

2��� −

1

3�

��(�)= ��(�)− �⟨��|��⟩��(�)

���

���

��(�)=��(�)

‖��(�)‖

��(�)= �2� + 1

2���(�)− �⟨��|��⟩��(�)

���

���

POLINOM LEGENDRE

��(�)= �2� + 1

2��(�)→ � = 1,2,3,…

��(�)=1

2��!

��

���[(�� − 1)�]→ ������� ��������

Untuk � ∈ ��([−1,1],ℝ) maka � dapat dituliskan sebagai berikut

⟨��|�⟩ = � ���(�)��

��

⟨��|�⟩ = � �2� + 1

2��(�)�(�)��

��

POLINOM HERMITE

Di ruang ��([−∞ ,∞ ],ℝ) dimana

⟨�|�⟩ = � �(�)�(�)��

��

⟨�|�⟩ = � |�(�)|���

��

< ∞

Himpunan bebas linearnya adalah {��(�),��(�),��(�),… } dimana masing-masing

memenuhi

��(�)= ����

� ��(�)

��(�)= ����

� ��

Page 195: Catatan Fismat

194

el-Madani

‖��(�)‖� = ⟨��|��⟩

‖��(�)‖� = � �

���

� �� ∙����

� ����

��

‖��(�)‖� = � ���

������

��

‖��(�)‖� = 2� ���

������

‖��(�)‖� = 2�

Γ �2� + 12 �

2 ∙1��� ��

‖��(�)‖� = Γ�

2� + 1

2�

‖��(�)‖ = � Γ �2� + 1

2�

Dengan melakukan orthonormalisasi Gramm-Schmidt akan diperoleh himpunan

orthonormal {��(�),��(�),��(�),… } dimana

��(�)=1

�2��!√����

����

� ��(�)

Dengan

��(�)= (−1)���� ��

�������

�� → � = 1,2,3,…

Sehingga untuk � ∈ ��([−∞ ,∞ ],ℝ) dapat dituliskan sebagai berikut

� = �⟨��|�⟩��(�)

���

PERSMAAN DIFERENSIAL

Klasifikasi persamaan diferensial adalah sebagai berikut

Berdasarkan operator diferensialnya dibagi menjadi dua yaitu

1. Persamaan diferensial biasa

Page 196: Catatan Fismat

195

el-Madani

Disebut persamaan diferensial biasa karena menggunakan operator

diferensial biasa ��

�∎�

Contoh

���

���+ � �� = �(�)

2. Persamaan diferensial parsial

Disebut persamaan diferensial biasa karena menggunakan operator

diferensial parsial ��

�∎�

Contoh

∇��(�,�,�)= 0

���

���+���

���+���

���= 0

Berdasarkan variabel bebasnya (pangkat) dapat dibagi menjadi dua yaitu

1. Persamaan diferensial linear

Contoh :

���

���+ � �� = 0

Di semua suku yang mengandung �, �-nya berpangkat satu

2. Persamaan diferensial non-linear

Contoh

a. ���

���+

�cos� = 0

b. ���

��+ � ∙∇� = −

�∇� −

��

Berdasarkan kesamaan variabel bebas di suku-sukunya dapat dibagi menjadi dua

1. Persamaan diferensial homogen

Contoh

���(�,�)

��= −

1

2�∇��(�,�)+ �(�)�(�,�)

Di semua suku mengandung �(�,�)

2. Persamaan diferensial tak homogen

Contoh

a. ∇��(�)= �(�) diruas kanan tidak mengandung variabel yang dicari

(�(�))

Page 197: Catatan Fismat

196

el-Madani

b. ���

���+ � �� = �(�) diruas kanan tidak mengandung variabel yang dicari

(�)

Derajat suatu persamaan diferensial berdasarkan turunan tertinggi pada persamaan

diferensial tersebut.

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR BERDERAJAT DUA

Persamaan diferensial linear berderajat dua secara umum dituliskan sebagai

berikut

�� = �

Contoh

∇��(�)= �(�)⟶ � = ∇�

���(�,�)

��= −

1

2�∇��(�,�)+ �(�)�(�,�)

−1

2�∇��(�,�)+ �(�)�(�,�)− �

��(�,�)

��= 0

�−1

2�∇� + �(�)− �

����(�,�)= 0

Maka

� = −1

2�∇� + �(�)− �

��

Secara umum � dapat dituliskan dengan persamaan berikut

� = � �����

������

�,���

+ ����

���

���

+ �

Dimana ���,��,� adalah fungsi yang bergantung pada (��,��,��,… ,��) dan ���

simetri sehingga ��� = ��� .

Contoh

∇��(�)= �(�) ���� ����� 3 ��� ���� � ����

� = 3(�,�,�)

��� = ���

�� = 0 � = 0

Sehingga

� = � �����

������

�,���

+ ����

���

���

+ �

Page 198: Catatan Fismat

197

el-Madani

� = � �����

������

�,���

+ 0+ 0

� =��

���� +

��

���� +

��

����

� =��

���+

��

���+��

���

Pada persamaan berikut

�−1

2�∇� + �(�)− �

����(�,�)= 0

Maka

� = 4(�,�,�,�)

�� = �

�� = 0 → �= 1,2,3 (�,�,�)

�� = −�→ �= 4 (�)

��� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

m

m

m

m

2

1000

02

100

002

10

0002

1

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

� = �

Persamaan diferensial ini adalah di wilayah ℛ ⊂ ℝ� terbuka. Wilayah ℛ harus

tersambung karena perlu syarat batas. Solusi persamaan diferensial akan berkaitan

dengan tetapan yang jumlahnya bergantung derajat dan � (misal derajat 2 maka

jumlahnya 2 × �)

Sebelumnya telah diketahui bahwa

� = � �����

������

�,���

+ ����

���

���

+ �

Jika dikerjakan pada fungsi � maka

�� = � ������

������

�,���

+ �����

���

���

+ ��

Dimana

��������

��

���� = ����

���

������+��

���

�������

���

Page 199: Catatan Fismat

198

el-Madani

�������

������=

��������

��

���� −

��

���

�������

���

Dan

���(����)=

�(���)

���� + ���

��

���

�����

���=

���(����)−

�(���)

����

Sehingga persamaan

��� = � �������

������

�,���

+ ������

���

���

+ ���

menjadi

��� = � ��

��������

��

���� −

��

���

�������

����

�,���

+ ���

���(����)−

�(���)

�����

���

+ ���

��� = � ��

��������

��

�����

�,���

− � ���

���

�������

����

�,���

+ ���

���(����)�

���

− ���(���)

�����

���

+ ���

Ambil

�����

�������

���� =

��

���

�������

���+ �

��������

������

��

���

�������

���=

�����

�������

���� − �

��������

������

Sehingga persamaan

��� = � ��

��������

��

�����

�,���

− � ���

���

�������

����

�,���

+ ���

���(����)�

���

− ���(���)

�����

���

+ ���

Menjadi

Page 200: Catatan Fismat

199

el-Madani

��� = � ��

��������

��

�����

�,���

− � ��

�����

�������

���� − �

��������

�������

�,���

+ ���

���(����)�

���

− ���(���)

�����

���

+ ���

��� = � ��

��������

��

�����

�,���

− � ��

�����

�������

�����

�,���

+ � ����������

�������

�,���

+ ���

���(����)�

���

− ���(���)

�����

���

+ ���

Suku kedua

� ��

�����

�������

�����

�,���

= � ��

�����

�������

�����

�,���

⟶ ������ ��� �������

sehingga

��� = � ��

��������

��

�����

�,���

− � ��

�����

�������

�����

�,���

+ � ����������

�������

�,���

+ ���

���(����)�

���

− ���(���)

�����

���

+ ���

��� = �����������

�������

���

− ����(���)

����

���

+ ���

+ ��

����������

��

����

���

− ����������

����

���

+ (����)�

���

��� = � ���������

������

���

− ���(��)

����

���

+ ��� + ∇�� ∙�

��� = ���� + ∇�� ∙�

��� − ���� = ∇�� ∙�

Dimana

��������

������

���

− ���(��)

����

���

+ � = ��

� dikatakan “self adjoint” jika � = ��. Syarat self adjoint adalah

Page 201: Catatan Fismat

200

el-Madani

∫ … ∫����

(��� − ����)��� = ∫ … ∫����

∇�� ∙���� = A

Adp

∫ … ∫����

(��� − ����)��� = 0

Andaikan � dan � adalah operator pada persamaan diferensial parsial, maka �

dikatakan sama dengan � jika

�� = ��, ∀�

Jika

� = � �����

������

�,���

+ ����

���

���

+ �

� = � �����

������

�,���

+ �����

���

���

+ �

Maka

� ������

������

�,���

+ �����

���

���

+ �� = � ������

������

�,���

+ ������

���

���

+ ��

Dari persamaan tersebut tampak bahwa semuanya akan sama jika dan hanya jika

��� = ���

�� = ���

� = �

Jadi � = � ⟺ �� = �� ⟺ �

��� = ���

�� = ���� = �

� dikatakan self adjoint jika dan hanya jika � dapat dituliskan sebagai

� = ��

�������

����

�,���

+ �

Kemudian diperoleh kaitan

�� + �� = 0

� self adjoint, jika � sedemikian rupa sehingga � diskrit sehingga bisa dituliskan

� = ��. Begitu juga dengan � dapat dituliskan � = ��. Jika � self adjoint maka ��

adalah bilangan riil dan �� orthonormal lengkap yang berarti {��|� ∈ ℝ} adalah

basis orthonormal sehingga fungsi dapat dituliskan sebagai

� = �⟨��|�⟩���

Page 202: Catatan Fismat

201

el-Madani

Solusi persamaan diferensial parsial dapat dicari dengan menggunakan pendekatan

berikut.

�� = �

��⟨��|�⟩���

= �⟨��|�⟩���

�⟨��|�⟩����

= �⟨��|�⟩���

Dari persamaan sebelumnya

��� + ���� = 0

��� = −����

Maka

−�⟨��|�⟩�����

= �⟨��|�⟩���

�(−⟨��|�⟩�� − ⟨��|�⟩)���

= 0

Dimana �� ≠ 0 maka

−⟨��|�⟩�� − ⟨��|�⟩ = 0

⟨��|�⟩ = −⟨��|�⟩

��

�(��,… ,��)= �−⟨��|�⟩

���