数学学習の理論と数学理解のモデル

数学教育の理論と実際より＜中学校・高等学校＞

数学教育学研究会 編 聖文新社

Pierre Van Hiele ＆ Dina Van Hiele Geldofの理論

オランダの高校教師であったVan Hiele夫妻は，1957年

に Utrecht 大学において，幾何における生徒の洞察力を発

達させる助けとなる思考水準に関する構造や，そうした教

授実験を展開させた共同学位論文をまとめた．

Van Hieleの教授・学習モデルは，洞察(Insight)，

思考水準(Thought Levels)，学習段階(Phases of Learning)

の３つの主要な構成要素から成り立っている．

洞察は，人が新しい状況におい

て適切に目的をもって行動する際に存在する

数学のある領域を研究する際の

思考には水準がある 第１水準 視覚的水準 第２水準 説明的水準 第３水準 理論的水準 第４水準 形式的論理の水準 第５水準 論理法則の本性の水準

第１水準 幾何図形が全体として考察され，その形のみに

よって識別される

第２水準 知覚される形の分析が行われ，その結果それら

の諸性質が明らかにされる

第３水準 図形の諸性質や図形そのものの論理的な整理が

なされる

第４水準 局所的な理解から，幾何学の理論全体を構成し

発展させる方法としての演繹法の意義を理解す

るようになる

第５水準 幾何学の理論が抽象的な演繹的体系として構成

される

(Thought Levels)

視覚的水準

説明的水準

理論的水準

形式的論理の水準

論理法則の本性の水準

≪演繹≫

一般的な原理から論理の手続きを踏んで個々の事実・命題を推論する考え方

第１水準 幾何図形が全体として考察され, その形のみによって識別される

それぞれの呼び名を教える場合，何回か繰り返した後では，全体的な形に着目してそれらの図形を誤りなく識別できるようになる． しかし，図形の構成要素に着目したり，ひし形を平行四辺形，正方形を長方形とみなすことはできない．

視覚的水準

Figures presented to the kindergarten children

第２水準 知覚される形の分析が行われ, その結果,それらの諸性質が明らかにされる．

幾何図形がそれぞれの性質をもつものとして現れ，これらの性質によって識別される．

しかし，この水準では，図形の諸性質がまだ論理的にまだ整理されていない，それらは記述されているだけで定義されていないからである．幾何領域でのこの思考水準は，まだ論理的従属関係の構造を含んでいない．

説明的水準

第３水準 図形の諸性質や図形そのものの論理的 な整理がなされる

いくつかの性質が図形を定義するものとして採用され，あとの性質は論理的な方法で確立される． 幾何図形は，定義を用いて確立される一定の論理的な関連において現れる．しかし，この水準の生徒には演繹法そのものの意義は大局的には理解されず，演繹的な体系全体を自分で理解して捉えるまでには至っていない．

理論的水準

第４水準 演繹法の意義が大局的に理解される． 局所的な理解から，幾何学の理論全体を構成し発展させる方法としての演繹法の意義を理解するようになる．

この移行を促進するのは，公理，定義や定理の本質，証明の論理的構造，諸概念や諸命題の論理的な関連などについての説明である． この水準でなされるのは，意味内容のある理論の公理化，すなわち，一定の具体的な解釈に基づいた理論の公理化である．

定義

定理

定理

定理

形式的論理の水準

第５水準 幾何学の論理が抽象的な演繹的体系として構成される．

この水準では．対象の具体的な性質やそれらの間の関係の具体的な意味が捨象され，理論をあらゆる具体的な解釈をぬきにして発展させる． この水準では，幾何学の理論が抽象的な演繹的体系として構成される． このような構成は，数学者だけが可能であって，学校の数学教育では不可能なことである．

論理法則の本性の水準

Euclid幾何

非Euclid幾何

ファン・ヒーレの幾何学習における 『学習水準理論』

第１水準

第２水準

第３水準

第４水準

第５水準

具体物 図形

図形 図形の 性質

図形の 性質 命題

命題 論理

論理 内は学習対象

内は学習方法

は，学習段階を 通しての，方法 の対象化

(Phases of Learning)

第１段階 探求(Inquiry)

教師は，生徒たちに研究対象についての話し合いをさせ，生徒がいかに理解しているかを知り，研究すべき話題の何らかの理解を

生徒に与える．

第２段階 導かれた方向づけ(Directed Orientation )

教師は，生徒たちの探求のための活動を注意深く連 続的に設定

する．

Ｃ；学習しようとする領域に含まれている文脈を知る Ｔ；子どもたちの手元に，文脈を明らかにするような教材(教具)を提供する 例；ある図形があたえられ，それが「ひし形」とよばれる．そして，他の 図形が示され，子どもたちは，それらも「ひし形」であるかどうかと いうことを尋ねられる

Ｃ;形成されるべき関係のネットワーク(構造)の重要な結びつきと触れ合う Ｔ;子どもたちが，思考の領域における重要な結びつきを学習するための 教材を与える 例；「ひし形」をその対称軸で折り曲げる．そして，対角線や軸に関して何か 気づく

(Phases of Learning)

第３段階 明示化(Expliciting)

これまでの経験を積み重ねてきた生徒たちは，教師の最小限の

支援のもとで，研究対象の関係の体系を形成し始める．

第４段階 自由な方向付け(Free Ｏrientation)

生徒たちは，多段階の課題やいろいろな方法で仕上げられた課

題に出くわし，自分自身の 方法を見つけたり課題を解決したり する経験をする．

Ｃ；発見された関係について討議し，その際，専門用語を学ぶ Ｔ；言語の正しい使い方ができるように，クラス討議を指導する 例；子どもたちは，ひとつのひし形の性質についての考えを交換し合う

Ｃ；子どもの自由になる関係のネットワークの結びつきに助けられ，関係の ネットワークにおいて，彼自身の方法を見つけようとする Ｔ；いろいろな利用の可能性のある教材を与えて，いろいろなことをしても よいという指示を与える 例；ひし形のいくつかの頂点や辺が与えられていて，それによってひし形 全体を構成する

第５段階 統合(Integration)

生徒たちは自分自身の方法を振り返り，研究対象と関係が統合され

思考の新しい領域に内面化される．

この第５段階が終わると，生徒たちの思考は次のより

高度な思考水準に達する ≪Ｖan Hieleによると，

ある水準から次の水準への学習 段階は共通している≫

五つの学習段階は，すべての思考水準における学習に共通のもとのして記述されている．それゆえ，各思考水準での学習の対象と方法を明確に捉えて，それに相応しい学習段階に具体化していく必要が

ある．

Ｃ；いろいろな思考の筋道を概観する Ｔ；子どもたちに，彼ら自身の活動を振り返らせたり，規則をまとめて記憶させ たりする 例；ひし形の性質をまとめ，それを記憶する

Dienes:

数学を関係の 構造と捉える

それによって得られた概念を実世界で生じる状況に適用する能力を獲得する

定式化された体系を導入して最後に実世界の状況に到達するような伝統的数学教育における学習の方向に警告を発し，その全く逆の方向として，学習過程の６段階を提唱している．

(Six Stages in the Process of Learning Mathematics)

記号化とともに

構造的な関係を理解

第１段階 特定の数学的構造がそこから引き出されるよう

に特につくった環境の中に子どもを置く．この 環境へ適応する ための初めての活動が，『自由遊び』と呼ばれるものである．

第２段階 構造化されたゲームの段階で，子どもは，環境

の中にいくつかの規則性があることを発見し，自分でゲームを

調べることができるようになる．

第３段階 それまでに行ったいくつかの構造化されたゲー

ムに共通の構造を理解する．

第４段階 共通の構造が，図式的に，またはその他の何ら

かの形で表現される．

第５段階 表現の諸性質，すなわち，得られた抽象物の諸

性質を調べる．

(Six Stages in the Process of Learning Mathematics)

第６段階 一つの記述ですべての性質を述べ尽くすことは

できないので，最小限の記述をとり，そこから他の部分の記述 を導くことのできる方法を考え出す．

公理

証明 定理

力動性の原理（Dynamic Principle）

後にそこから数学的概念がつくり上げられるために必要な経験として適切な時期に，予備的なゲーム，構造化されたゲーム，練習・反省的なゲームを与えなければならない．

(Principles of Mathematics Learning)

構成性の原理（Constructivity Principle）

ゲームを構造化するとき，構成が常に分析に先立って行われなければならない．分析は，１２歳までの子どもたちの学習にはほとんど見られないものである．

数学的多様性の原理（Mathematical Variability Principle）

いくつかの変数を含む概念は，できるだけ多くの変数を含む経験よって学ばなければならない．ここでの変数とは，その概念にとって非本質的な部分のことをいう．

知覚的多様性の原理（Perceptual Variability Principle）

概念形成において多様な個人差に可能な限り応じるために，また，抽象という数学的エッセンスを子どもたちに捉えられるようにするために，同じ概念的構造を，できるだけ多くの知覚的な同値な物で提示しなければならない．

(Principles of Mathematics Learning)

The Psychology of

Learning Mathematics

Penguin 1972

ピアジェ(Piaget.J.,1896～1980)発生的認識論を提唱

知能の働きの基盤となっている精神構造をシェマ(schema)

と呼び，シェマの同化(assimilation)と調節(accommodation)

によって，認識のメカニズムを説明している．

あるものを既に形成しているシェマ

の構造を変えないでその中に取り込む あるものを取り込むためにシェマの構造を変える

スケンプ(Skemp.R.R.,1976)の認知心理学的規定によると，

既有のもの，つまりシェマ(認知構造）と呼ばれるものと

認知的に関係づけることを理解と捉える．

このシェマは，理解する主体の脳神経網を

モデル化したもので，この意味で，理解は

本質的に個人的で心的な活動である

心的な活動として理解を捉えると，その構造や機能を間接的に捉えるための理論的枠組みとしてのモデルが必要になる

スケンプ(Skemp.R.R.,1976)の認知説による理解の説明

≪理解の種類≫

・用具的理解(Instrumental Understanding)

記憶している規則を機械的に(理由は分からない

ままに）応用する

・関係的理解(Relational Understanding)

一般的な数学的関係から特殊な規則や手続きを

(理由が分かった上で)引き出す

Skemp.R.R(1976)は，人間の心的状態を

生み出す要因は知能にあるとして

知能を定式化している。

⊿２ ⊿１

情報

作用 作用

情報

環境

図１ Ｓｋｅｍｐの知能モデル（1983）

Skempは，知能を直観的知能⊿１と反省的知能⊿２から成る二段階のモデルとして捉え，それぞれがディレクターシステムとしての働きをもち，環境から得られた情報を処理し作用するものとしている。

ディレクターシステム

ディレクターシステムについて《ディレクターシステムとは，行動を適切に変化させて，目標状態に到達させるシステムである》としている。 （藤井，1985）

Skempの知能モデルでは，環境から情報を得て処理し，

作用する過程で，それぞれの知能には目標状態に向けて、

到達させようとするディレクターシステムとしての働き

があることを前提にしている。

《直感的知能Δ１とは，その操作対象が環境の中

にある物理的対象物であるディレクターシステ

ムであり，それに対して反省的知能 Δ２は，Δ１

をその操作対象とするディレクターシステムで

ある》

知能モデルの有用性

Skempの知能モデルが構築されたことについて

知能を図１のように捉えることで《これを構成している直感的知能Δ１と反省的知能Δ２の役割と機能に基づいて，学習活動の心的メカニズムを解明することができる》という。(藤井,1985)

Skempは，理解に関する論文(1976)の中で，「道具的理解」

と「関係的理解」を論じたことを契機に，算数・数学教育に

おける「理解」に関する議論が活発になった。

その中でVictor Byers ＆ Nicolas Herscovicsなどの提案を

受けて，「道具的理解」「関係的理解」に加えて，「理論的

理解」さらに，形式的理解について再考して「記号的理解」

を付け加えている。

•ある適切な記憶された規則をそれが どうしてうまくいくか分からずに ある問題の解決に適用する能力

道具的理解 instrumental

understanding

•より一般的な数学的関係から特殊な 規則や手続きを推論する能力

関係的理解 Relational

understanding

•与えられた仮定や数学的知識として確立され受け入れられているもの（公理と定理）から適切に選ばれたものを用いて論理的必然性，すなわち一連の推論に依拠して，主張されていることを導くこと

論理的理解 Logical

understanding

•ある記号体系とある概念構造とを，その概念構造に支えられて，相互に同化すること

記号的理解 Symbolic

understanding

（小山，2010）

理 解 の 種 類

道具的理解 関係的理解 論理的理解 記号的理解

心的活動

様式

直観的知能 Ⅰ１ Ｒ１ Ｌ１ Ｓ１

反省的知能 Ⅰ２ Ｒ２ Ｌ２ Ｓ２

Ｓｋｅｍｐの数学理解の「２×４マトリックスモデル」

ヘイロック(Haylock.D.W.,1982)連合説による理解

「何かを理解するとは(認知的な)つながりをつくる ことである」と捉えている．

したがって，より多くのつながりをつくればつ くるほど，より深く理解されたということにな

る．数学行動のパターンは，つながりをつくる

４つの要素に着目すると全部で１２種類に分け られる.

Ｅ１ 言 語

Ｅ２ 具体的場面

Ｅ３ 絵・図 Ｅ４ 記 号

ピリー(Pirie.S.,1989)とキーレン(Kieren.T.,1989)は，数学理解の「超越的再帰的モデル」(Transcendent Recursive Model)を提唱している．

≪数学的理解は種々の水準からなり，しかも直線的でないものとして特徴づけられる．それは，再帰的である．そして，再帰は，思考が洗練された知識の水準へと移行する際に起こるようである．

実際，理解の各水準は後続の水準に含まれる．

ある水準はその水準内の形式や過程に依存しており，かつその周りの形式や過程に束縛される≫

と述べ，以下の８つの水準からなるモデルを提案

① なすこと(Doing) ② イメージをつくること(Image Making) ③ イメージをもつこと(Image Having) ④ 性質に気付くこと(Property

Noticing)

⑤ 形式化すること(Formalizing) ⑥ 観察すること(Observing)

⑦ 構造化すること(Structuring) ⑧ 創案すること(Inventing)

Doing Image

Making

Image Having

Property Noticing

Formalizing

Observing

Structuring

Inventing ①具体物，図，グラフ，あるいは記号を用いて活動する

②①の活動に結びついたイメージをつくる

③②のイメージを抽象して，活動とは

離れたイメージをもつ

④③で抽象したいくつかのイメージ

間の相違，組合せ，関連にきづく

⑤④で気付いた性質について

意識的に考え，共通な性質

を抽象して，自分の心的活

動の起源を捨て去る．

この水準で数学的定義が行われる

⑥自分で考えた構造を観察し，

それらを矛盾なく組織化する

⑦自分の思考をある公理的構造の中で

整理する

⑧それまでのことに捕らわれないで，まったく自由な角度から考えてみる

理解を再帰的 と捉える根拠

われわれ人間には 自分がしたり考え たりしたことを反省する本性がある

数学理解の過程においては，学習者が自らの無意識的な活動や操作に注意を向け，それらやその結果を意識化して，図や言葉によって，表現するこ とを目的とする反省的思考(reflective thinking)が重要であることが示唆される．

数学の理解にはいくつかの階層的水準があるとすれば，反省的思考はその水準の上昇に関与してい ると考えられる．

学習者は 自己言及的

学習者は 自己言及的である ので認識の重要な 手段は本来的に再 帰的であ る

数学理解を深めるために何をすべきか

数学理解の過程においては，学習者が自らの無意識的な 活動や操作に注意を向け，それらやその結果を意識化して，図や言葉によって表現する反省的思考(reflective thinking)が重要である． 数学の理解にはいくつかの階層的水準があると仮定すれば，反省的思考はその水準の上昇に関与していると考えられる．

数学的活動（Mathematical Activity）という用語を数学教育

に取り入れたのは，オランダのUtrecht大学の数学教育学者

Hans Freudenthal(1905～1990) である。

数学というと，通常は完成した理論体系を意味する。

これに対して Freudenthal は，数学を人間の活動であると

Hans Freudenthal みなす。彼は，主として数学の歴史的発展過程を分析し，

(1905～1990) 活動としての数学の本質的特徴を示している。それによると

From Wikipedia, 数学的活動の本質は「数学化」（Mathematizing）であるという。

さらに， Freudenthal は 「数学化」(Mathematizing) には二つの意味が含まれて

いて,一つは「現実の数学化」 (Mathematizing of Reality) , そしてもう一つは

「数学自身の数学化」 (Mathematizing of Itself) である。

彼の死後， Freudenthal 研究所（1991年）が創設され，そこでの教育的な

原理は 「現実的数学教育」（Realistic Mathematical Education）であった。

ここには，「人間の活動としての数学」という考え方が基本にあり，児童・生徒は

活動を通して算数・数学を経験する必要がある。また，その活動は，現実的な状況

における児童・生徒の実経験から出発すべきとしている。

もし，数学を人間とは独立して先在する絶対的な

知識体系であると捉え，その知識体系を効率よく生

徒に伝達することが大切であるという指導観に立つ

ならば，知識の伝達を中心とした数学の授業になる

かもしれない。

一方，数学は人間が創造したものであるから，授

業では生徒による数学の創造過程を重視すべきであ

るという指導観に立つならば，生徒の活動や多様な

考えを重視した授業になると考えられる

このように, 教師のもつ数学観や数学教育観は

その教師の授業構成や実際の指導に決定的な影響を

及ぼす。-算数教育の理論と実際 –聖文新社（山口 武志他；2011.p59）

どのような力をつけたいのか？

｢学力｣というときに，まず第１に思い浮かぶのは知識や 技能である。 これは，ペーパーテストで測定しやすい ものである。 第２に，客観的ペーパーテストでは測りにくいが重要な 能力として，文章読解力，論述力，討論力，批判的思考力， 問題探求力などがある。 これら２つを「学んだ結果としての学力」とするならば， 第３の学力として「学ぶ力としての学力」と呼ばれるもの がある。それは，自発的な学習意欲とか知的好奇心，学習

を遂行するための計画力・方法・集中力・持続力さらには， 教え合いや話し合いをしながら学んでいくコミュニケー ション力などが含まれる。 －学力低下論争－ 市川 伸一

ちくま書房

参考・引用文献

数学教育研究会編（2006）.『新版 数学教育の理論と実際 <中学校・高校>』.聖文新社.

数学教育研究会編（2010）.『新訂 数学教育の理論と実際 <中学校・高等学校（必修）>』

聖文新社.

数学教育研究会編（2011）.『新訂 算数教育の理論と実際』.聖文新社.

小山 正孝（1985）.「数学教育における学習水準に関する基礎的研究（Ⅰ）」広島大学

大学院教育学研究科博士課程論文集 第１１巻.pp.171-177.

Pessia Tsamir・Dina Tirosh・Esther Levenson（2008）．Intuitive Nonexamples: the case of triangles

Educational Studies in Mathematics, Volume 69, Number 2.

高井 吾朗訳「直観的な負事例：三角形の事例」

塩見 拓博（2007）．「ハンス・フロイデンタールの数学化」．鳥取大学数学教育研究．

市川 伸一（2002）．『学力低下論争』.ちくま書房．