cc/ec/ufes 2010/2 teoria dos grafos (inf 5037) conectividade e separabilidade

CC/EC/UFES2010/2 Teoria dos Grafos(INF 5037)

Conectividade e Separabilidade


Conectividade de arestas

• Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G))

• K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade.

• K´(T) = ????, onde T é uma árvore.


Corte de vértices

• Subconjunto minimal de vértices V´ V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo, n > 1.

• G – V´: desconexo ou nulo e subconjunto próprio V” V´, G – V” é conexo e não nulo.


Conectividade de vértices

• O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G))

• K(T) = ????, onde T é uma árvore.

• Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos.


Conectividade de vértices

• K´(G) = K(G) = 0, G desconexo

• K(G) n – 2, G Kn


Grafo separável

• Um grafo G é dito separável quando

K(G) = 1.

• Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum.


Articulação

• Vértice cuja remoção desconecta o grafo.


Teorema

Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então:

a) Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y v, tais que todo caminho entre x e y passa por v;

b) Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G.


Exemplo

Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas,

e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua

destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais?

Maior conectividade de vértices e arestas


Teorema

A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o

menor grau de G


Prova

• Seja w o vértice de grau mínimo de G ()

• É possível desconectar G, removendo-se as arestas incidentes a w.

• ≥ K´(G)


Teorema

A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de

arestas de G


Questão

Sejam G = (V,E) um grafo e

E´ um corte de arestas de G.

É sempre possível encontrar

um corte de vértices V´

tal que |V´| |E´|?


G, K(G) K´(G)


Corolário

Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém

pelo menos duas arestas


Grafo k-conexo

• Seja k um inteiro positivo. Diz-se que um grafo G é k-conexo em vértices quando não existe corte de vértices de tamanho menor que k

• Analogamente, diz-se que G é k-conexo em arestas


Grafo biconexo

• Um grafo é biconexo ou 2-conexo em vértices (arestas) sss não possuir articulações (pontes).

• Componentes biconexos ou blocos: subgrafos maximais de G que sejam biconexos em vértices ou isomorfos a K2.

• G é biconexo em vértices: possui um único bloco que é o próprio G.


Teorema

Seja G = (V, E) um grafo. Então:

a) Cada aresta de E pertence exatamente a um bloco do grafo;

b) Um vértice v de V é articulação sss v pertencer a mais de um bloco do grafo.


Teorema

Um grafo G = (V,E), |V| > 2 é biconexo

sss

cada par de vértices de G está contido em algum ciclo


Teorema

Seja G um grafo k-conexo. Então existe

algum ciclo de G passando por cada subconjunto de k vértices


Teorema

O valor máximo de K(G) de um grafo

G = (V,E), com n vértices e m arestas

(m ≥ n-1) é 2m/n

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