第 29 頁，共 114 頁

第三章、超額賠款再保險費率釐定的方式

保險與再保險的商品都是無形的，而且交易前賣方並無法確認其成

本，這是保險和再保險經營上的特色，也是其定價或所謂費率釐定時如何

公平、合理困難之所在，所以我們只能用統計的機率方法，包括利用古典

機率發生均等基本假設的理論、客觀實驗觀察的大數法則及主觀信心程度

的推測估計所形成的一些定理等(註 11)，瞭解該商品其一般性的費率，依照

不同業務過去損失記錄考慮相關因素後以定價資料推測、估計未來的狀

況，如果可能的話加上事後部分 Retroactive（追溯）(註 12)的調整空間，這

是目前實務上的作法。在傳統比例再保險方式中通常是依原保險費率收取

再保險費，因此並沒有費率釐定的問題，但超額賠款再保險則是採取再保

費率另行釐定的方式，再保費率就是一個業務其要再保險部分危險暴露的

價格，可以是保險人避險必要的花費，也可以是為了轉嫁所要的成本，因

此費率釐定是超額賠款再保險的特色，其釐定的方式可以說是超額賠款再

保險的精華所在。相對於保險人的原始費率定價而言，再保險人對超額賠

款再保險的費率釐定有其優弱勢，弱勢是原保險人所提供資料常常不夠

多、不夠完整，優勢是再保人擁有整個市場的資訊以及國際的經驗，而且

再保險人可以專心於本業找到一些優秀的專業員工。

第一節、超額賠款再保險的費率結構及再保費收取的型態

超額賠款再保費率和一般原保險的費率

結構的基本因子是類似的，分成純保險費

（net premium）和附加保費（loading）兩大

部分，純保險費是一種長期的平均期望損失

(註 11) 林惠玲著「應用統計學」，第 122~125 頁 (註 12) 「保險英漢辭典」，第 1112 頁

費用

不確定性的附加

危險保費

第 30 頁，共 114 頁

結果（expected long-term average loss burden），所以是由過去

損失經驗(loss experience)、危險暴露(risk exposure)等因素形成；

而相對的，附加保費則包括不確定性的附加（uncertainty loading 即

因為保費估算之變異、巨災波動過大的不確定性或 margin of error

而加收）和其他費用的附加（Expense Loading 包括管理費、稅

金、經紀人佣金、利潤等）。比較特別的是不確定性的附加部分

（名稱或許有不同但意義是相似的），這對再保險人費率釐定而言

是重要的，因為再保人通常所承接的業務，其承擔風險之觀察期間

的假設必須是長期、大數的結果，不像原保險人業務般本身即有大

數的穩定結構，所以再保人必然要考量單一鉅額、異常損失及巨災

損失可能發生的問題。

從另一個角度觀之，我們剛剛也提及費率釐定的方法包括一些

基本的假設譬如機率發生均等的理論，同時以客觀實驗觀察的大數

法則及主觀信心程度的推測檢定所形成的一些定理等，所以費率釐

定的基本理念應該是長期、大數、發生機率均等的並以過去歷史紀

錄的資料去主觀的推測估計，因此結論是費率本身的水準高、低、

多、寡理論上應該是數年內可以回收的（Pay Back）(註 13)預期結果

外加一些應有的利潤。

超額賠款再保費率其危險暴露、個別損失經驗的情形通常和所

被再保險業務保費量大小有相當程度的相關，原保費收入可以說就

是被再保險期間再保人保障之業務相對應的保費量，所以最後大都

是以保險人當年度的實收保費量作為再保費的計算基礎。而依再保

費收取的型態，主要可以分成固定費率制（Fixed Rate 或 Flated

Rate System）和變動的費率制（Variable rate 或 Swing rate

System）兩種(註 14)。前者「固定費率制」費率通常在年初合約訂定

後即不變動，年底時費率乘上當年度的淨毛保費收入總額 GNPI

(註 13) 依財務管理理論還包括內部報酬率法、淨現值法、平均會計報酬法等，pay back 只是最初淺的方式 (註 14) 鄭鎮樑著「超額賠款再保險費率釐定方法」，第 24~38 頁

第 31 頁，共 114 頁

（gross net written premium income）就是當年度的必須繳付再保

費；而「變動費率制」則合約通常事先訂定暫訂費率（provisional

rate）、最高費率（maximum rate）和最低費率，即最低保費

（minimum rate and/or premium）等不同損失結果的對應費率，在

再保險契約期間（可以是 1-5 年）如果再保人未曾賠款時，每年按

最低費率乘 GNPI 與「最低保費」孰高收取再保費，但如果其間有

出險則依照事先約定之計價方式收取再保費，且以「最高費率」乘

GNPI 為限。這兩種方法本國的產險公司皆有採用，一般以固定為

主，變動的較麻煩計算。

第二節、超額賠款再保險費率釐定的方法

當我們知悉再保費收取的型態以後，接下來我們便是要探討超額

賠款再保險的核心問題---費率的釐定方法。首先，再次提及費率釐

定的基本理念可以

說是長期之下、大

數的、發生機率均

等的以過去歷史紀

錄的資料去主觀的

推測預估，因此費

率本身的水準高低應該是預期數年內可以回收（Pay Back）外加一些

利潤的理念。超額賠款再保險的費率釐定方法基本上有賠款成本法

（Burning cost method）、危險分析法（Exposure rating method）及

柏拉圖法（Pareto rating method）等三種（如右圖 3-1）。

其中「賠款成本法」顧名思義就是以過去（最好 5 年以上）同

一個業務的賠款經驗為基礎，當然會有一些已經變動或即將改變的

因素需要去修正，並加以考量及模擬未來實際可能的狀況當成保費

成本，這就是「賠款成本法」。不過並不是每一個業務本身過去的

多年回收

＋利潤

賠款成本法

危險暴露法 柏拉圖法

圖 3-1 超額賠款再保險費率釐定法之分類

第 32 頁，共 114 頁

經驗和資訊都相當完整，尤其是合約天災、巨災的風險，所以我們

必須參考其他相似但損失經驗較完整的業務或整個市場大數法則下

的經驗，以這一些較完整經驗所研擬出來風險暴露（Exposure）的

模型圖、表來補助目前資料的不足及當做參考資料，這就是危險分

析法（Exposure rating method）。至於柏拉圖法 ( 註 15)（Pareto

rating method）事實上也是以該業務過去已發生損失經驗利用既有

的公式定理來推論估計未來合理費率的一種方式，我們所知原始資

料常常是未經整理的、損失經驗不足的，所以必須利用統計學已經

被認定的機率分配模型來推估。接下來我們便來詳述並以實際的例

子來解說上述三種方法的內容。

1. 賠款成本法（Burning cost method）

我們先以一個實際例子的演算來說明，這樣子比較可以掌握方法

的內涵。一般我們在談「賠款成本法」時，首先

a. 需要一些損失的資料，包括：過去 5-10 年的損失資料、損失

的日期、損失的原因、損失的金額、保額、風險的型態，並將

各年度的最終賠款損失 UNL(Ultimate Net Loss)(註 16)轉換、回

歸成我們希望求得的那年度標準和生存環境同一水平的資料並

做成損失紀錄分析表（Loss Profile）。

b. 將過去 5 - 10 年的淨毛保費收入總額 GNPI（gross net written

premium income）、每一年的自留額度（Retention level）做

轉換、回歸的動作，並做成承保業務分析表(Risk Profile)，然

後把我們所要求得那一層(Layer)過去的損失的合計（已轉換過

的）除以那一層過去的保費的合計，就得到我們要的賠款成本

Burning Cost。

(註 15) Vilfredo Pareto 是義大利的一個社會經濟學家，對人口經濟統計推估有自己一套研究，他所研究分

析的方法「柏拉圖」在近 3 - 40 年來恰好成為非比例再保險一個很好的公式，所以亦稱柏拉圖法。 (註 16) 保險事業發展中心「保險英漢辭典」，第 1313 頁

第 33 頁，共 114 頁

當然處理過程中有些問題是我們要注意的，包括：損失和保費的

觀察期間是否一致、過去的那段期間和未來之間於核保政策和承

保條件或價格是否有一些較大的改變、損失的資料中是否有考慮

異常件的處理方式、損失的趨勢如何等資料。他的優點是資料的

轉換容易計算、調整而且是針對同一個業務的個別資料，缺點是

無法涵蓋所有承保範圍之危險可能的大損失案件，而且觀察期間

取不相同年份和期間，其結果常常迥然不同，又如果未來要評估

年份的業務結構已經改變甚大時，賠款成本法難以有效推斷，要

不然賠款成本法是比較通俗易懂的。

假設有一個保險公司過去的最終損失資料、保額 (SI)、保費

(GNPI)、物價指數比及調整後之金額如下（因為是案例，所以只

取部份資料）：

第 34 頁，共 114 頁

表 3-1 賠款成本法計算說明 (1)

賠款成本法（Burning Cost Method） Experience Rating

單位：千元

（1000） L 各年度物價水準 Loss × (120／L) SI × (120／L) 年度

Y 損失額 LOSS

保額 SI 2004 年初物價水

準為 120 LOSS 調整為 2004 年

的水準 SI 調整為 2004 年的

水準

1999 15000 19000 100 18000 22800

1999 600 3000 100 720 3600

2000 7000 7500 100 8400 9000

2000 6000 7000 100 7200 8400

2000 1800 3000 100 2160 3600

2000 1500 1500 100 1800 1800

2001 1200 5800 132 1091 5272

2001 800 5400 132 727 4909

2001 1600 1900 132 1454 1727

2001 900 1900 132 818 1727

2002 700 1000 120 700 1000

2002 700 4500 120 700 4500

2002 700 800 120 700 800

2003 700 18000 125 672 17280

2003 900 1300 125 864 1248

2003 1400 2000 125 1344 1920

2003 800 1200 125 768 1152

我們在上一表格當中從已知的過去損失、保額和物價水準的情形

當中去轉換成 2004 年同一個水平，接下來我們假設 2004 年毛

自留額 Gross Retention 是 5000（千元），且非比例 XL-Cover

再保限額及自留額是 4000 XL 1000（千元），那麼我們就必須

去計算出屬於這一塊部分的損失額和保費。我們從毛自留 5000

（千元）占調整後 SI 的比重當中就可以得到相對屬於該部分的

損失和保費（Gross Retention 5000,000 in S.I.%），損失需另

再扣 1000（千元）的自負額。

第 35 頁，共 114 頁

表 3-2 賠款成本法計算說明 (2)

賠款成本法(Burning Cost Method) Experience Rating

單位：千元

（1000） 毛自留金額 Gross Retention : 5 000 非比例再保限額及自留額 XL-Cover : 4 000 xs 1 000 非比例承保的方式 Type of Cover : WXL per Risk 承保的危險 : 火險和附加險

損失額 LOSS

保險金額 SI

LOSS 調

整為 2004年的水準

SI 調整為

2004 年的

水準 S

Gross Retention

in S % 5000／S

UNL 最後淨損失 Loss × G %

XL-LOSS

UNL-1000

1999 15000 19’000 18000 22800 22% 3960 2960

1999 600 3000 720 3600 100% 720 0

2000 7000 7500 8400 9000 56% 4704 3704

2000 6000 7000 7200 8400 60% 4320 3320

2000 1800 3000 2160 3600 100% 2160 1160

2000 1500 1500 1800 1800 100% 1800 800

2001 1200 5’800 1091 5272 86% 938 0

2001 800 5’400 727 4909 93% 676 0

2001 1’600 1’900 1454 1727 100% 1454 454

2001 900 1900 818 1727 100% 818 0

2002 700 1’000 700 1000 100% 700 0

2002 700 4’500 700 4500 100% 700 0

2002 700 800 700 800 100% 700 0

2003 700 18’000 672 17280 100% 672 0

2003 900 1’300 864 1248 100% 864 0

2003 1’400 2’000 1344 1920 100% 1344 344

2003 800 1’200 768 1152 100% 768 0 合計：XL 損失 12,742（000）

第 36 頁，共 114 頁

我們得到了 XL 的損失後，接著便要知道屬於這個部分的淨簽單

總保費 GNPI (Gross Net Written Premium)有多少？

表 3-3 賠款成本法計算說明 (3) 單位：千元（1000）

Year GNPI

original GNPI index 2004 GNPI × (120 ÷ L )

Index L

1999 3014 3616 100

2000 3800 4560 100

2001 4788 4334 132

2002 5327 5327 120

2003 6233 5983 125 合計：23,820(000)

)()(

)ifasindex(GNPI)ifasindex(lossesXL

0002382000012742=

−− =53.49%

所以可調整費率（Adjustable Rate）是 53.49%，即費率於 2004

年終依照不同的毛淨自留保費 GNPI 的調整而乘上該費率。

我們可以用另一個案例簡要的表達，AAA 公司不同的年份、淨毛

自留保費（GNPI）、損失及物價指數資料如下圖所示，那麼我

們要知道 2003 年的價格為何？

Year GNPI Losses Index 1997 350 12, 35, 33 100 1998 400 23, 26 105 1999 420 10 110 2000 480 35, 32, 45 115 2001 550 43 120 2002 570 45, 41 125 2003 650 130

現在保險人要再保人針對上述資料報一個再保層 Layer 30 xs 20

的價格為多少（假設保險人淨自留的業務結構幾年來未大幅改變

，未來 2003 年也是）

第 37 頁，共 114 頁

Year GNPI Losses Index GNPI Losses 1997 350 12, 35, 33 100 455 16,46, 43 1998 400 23, 26 105 495 28, 32 1999 420 10 110 496 12 2000 480 35, 32, 36 115 543 40, 36, 41 2001 550 43 120 596 47 2002 570 45, 41 125 593 47, 43 2003 650 130 650

我們得到以下的結果：

indexed Burning Cost Burning Cost

Year GNPI loss amount xs 20 Ratio 1997 455 16, 46, 43 26, 23 10.8% 1998 495 28, 32 20 4% 1999 496 12 0 0% 2000 543 40, 36, 41 57 10.5% 2001 596 47 27 4.5% 2002 593 47, 43 50 8.4% 2003 650

可調整費率 （Adjustable Rate）= 所有的損失負擔/ 所有的毛淨

自留保費 GNPI = 203 / 3178 = 6.39%

650X6.39%=41.535

我們還是得強調使用賠款成本法時應注意的事項包括：觀察期間

是否具代表性？業務品質是否改變？原來的費率結構改變否？賠

款成本是什麼事故造成的？是否有全損或不尋常事故損失發生過

？損失的趨勢是什麼？像本案例我們可以發現其損失趨勢是上揚

的。賠款成本法的缺點如一開始所述包括：無法涵蓋承保範圍之

危險所有可能的大損失案件、而且觀察期間取不相同的年份和期

間，其結果常常迥然不同，又如果未來要評估的年份其業務結構

已經改變甚大時，賠款成本法則難以有效推斷，無無法法更更細細膩膩的的評評

估估各各區區間間的的成成本本，，否否則則賠款成本法是比較廣為人知且容易理解

的。

第 38 頁，共 114 頁

2. 危險分析法（Exposure rating method）

a. 危險分析法之基本概念

賠款成本法有其優點，但其計算過程中對資料的收集、已發生

賠款損失的經驗、各各區區間間成成本本更更細細膩膩的的評評估估、、觀察期間要長等

因素常需求甚多，而超額賠款再保險實際的作業，常常是過去

的統計資料有限、或不足採、或屬新合約過去損失資料不足，

尤其一些自負額較高或較高層（Layer）業務的報價更是無法

用賠款成本法處理的，所以就必須用一些其他較完整的資料分

析所已建置的圖、表、損失分配資訊等，這就是危險分析法。

那麼在談危險分析法之前，我們得先講一點我們熟悉的擲骰子

統計機率的事情，其實保險或再保險尤其是非比例再保險的費

率釐定，幾乎和統計脫不了關係。

我們說擲骰子的機率，在正

常期待下，我們會認為同一

顆公正的骰子只要擲的次數

夠多，其所出現的點數，從

1 到 6 的機率應該都是一樣

的，也就是 1/6（如右圖所

示）。如果我們將上述擲骰子的結果換算成期望值（expected

value）來計算，則期望值或平均數或加權平均數（即一般所

謂的頻率 1/6 或機率 1/6 乘以幅度或額度 1、2、3 的結果）

E(X)＝E(P[X ( 6]) 因為 擲骰子的期望值

E(X)＝E(P[X ( 6])＝(1×1/6)＋(2×1/6)＋…＋(6×1/6)＝21/6＝3.5，P 為損失

機率

654321

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

第 39 頁，共 114 頁

框框裏每欄是六格，每格代表 1/6，所以每欄是六格等於 6/6＝1；直軸的

1-6 謹代表骰子的所有點數情形無其他意涵。

骰子第一點乘以 1/6 為第一格，

第 二 點 乘 以 1/6 ＝ 2/6 為 第 2,3

格，如此類推共有 21 個圖色格

（如右圖所示），除以每欄六格

的 話 ，總 共是 3.5 欄 ，也 代 表

3.5。也就是說如果骰子的每一點代表一元的話，其平均數或加權平均數

或期望值是 3.5 元。也可以說一個骰子丟 10000 次，把所有的結果加起來

除以 10000 理論上應該會等於 3.5，或至少接近 3.5。

用保險的損失經驗來講，如果出現每一點數代表某業務的六個

賠案，其損失幅度分別是 1,000,000 元、2,000,000 元…….，

而 1/6 代表各損失發生的機率，那麼期望值（或加權平均數）

3,500,000 元便是這個業務的預期損失值（賠款）（Expected

Loss Burden）或可當作危險保費

（Risk Premium）。

如果將上圖的座標軸翻轉，我們就可

以得到一個右邊的圖形，接著，我們

再將機率（請注意不包括幅度）依照

累積 1/6、2/6…的方式去排列，就

可以得到一個累積的機率分配圖

形。如果將分配圖視為二維座標的

函數圖形，其横軸 x 可代表同一顆

公正的骰子所擲出來的點數，而縱

軸 F(x)則可代表所有可能出現骰子的點數 X 小於或等於橫軸點

21 15 20 10 14 19 6 9 13 18 3 5 8 12 17

654321 1 2 4 7 11 16 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

1/6 1/61/61/61/61/6

1 2 3 4 5 6

6/65/64/63/62/61/6

1 2 3 4 5 6

第 40 頁，共 114 頁

數 x 所出現的累積機率（請注意不包括幅度），即 P[X ≤ x]。

所以 F(3)＝P[X ≤ 3]＝3/6。

也就是說，橫軸的點數譬如為 3，那麼出現小於或等於 3 的累

積機率是 3/6（1/6+ 1/6+1/6= 3/6）。用保險的損失經驗來

講，如果出現的每一個點數分別代表某業務的六個賠案，其損

失幅度分別是 1,000,000 元、2,000,000 元，而 1/6 代表各損

失發生的機率，那麼 F(3,000,000)（含）即是代表 1,000,000

、2,000,000、3,000,000 三個案子各 1/6 機率的累計＝3/6。

當然，一般也把 1/6 至 6/6 用百分比%來表達，也就是 1%--

100%。

我們剛剛所談的都是頻率或機率或件數的問題，如果我們談頻

率乘以幅度後的期望值（或加權平均）又將如何？假設 E[P(X

≤ x)]為所有小於、等於 x 之期望值所佔總期望值的累積比重。

那麼 P[X ≤ 3]，它的期望值 E(P[X ≤ 3]應為：

1＋5/6＋4/6＝15/6＝2.5

（右圖中圖色的部分）。如果與

總期望值(也就是 E(P[X ≤ 6]))相比

較，則其所佔的比重應為：

E(P[X ≤ 3]) / E(P[X ≤ 6]) ＝2.5 / 3.5＝71.4%

（而不是一般所想像的 50%，這一點很重要）。如果從剛剛某

保險業務有 1,000,000、2,000,000….六個不同幅度的賠案來

討論，而設定其自負額是 3,000,000，那麼所有出險的六個賠

款裡，3,000,000 以下的自留賠款合計約占預期損失賠款

（expected loss burden）的 71.4%。而其實這個不同損失期

6 11 15 5 10 14 4 9 13 3 8 12 2 7

6/65/64/63/62/61/6 1 1 2 3 4 5 6

第 41 頁，共 114 頁

望值佔總期望值的比重是可以畫成曲線的，這就是危險暴露曲

線（exposure curve），我們接下來就是要畫這個曲線圖，有

了上述一些統計的機率分析後，我們就可以深入的來探討危險

分析法（Exposure Rating）。

假設有一個火災財產保險業務的賠款資料如下圖 3-2 所示，其

呈現的方式為：

圖 3-2 危險分析法圖例說明 (1)

100

80

60

40

20

0 0 20 40 60 80 100

X軸之件數

累積的機率分配

F(X)

=P(X≦

x)

不同損失程度佔保額 SI 的比重

其中橫軸 X 各點比例代表損失金額占保險金額 SI 的程度（並

以%呈現），縱軸 Y 各點比例代表橫軸 X 所對應損失件數的累

積機率分配函數 F(X)=P(X≦x)（並以%呈現）。主要就是讓所

有的損失金額和件數在其自相對應的保額下有一個相對%的比

較呈現，而我們可以稱有顏色的部分就是這個業務的預期損失

值或期望損失值（expected loss burden）。不過要當成報價

的工具這樣是不夠的，我們必須把這些預期損失值或期望損失

值（expected loss burden）如同剛剛各不同點數骰子期望值

佔總期望值比例般的列出，同時轉換成圖、表，那麼我們便能

L

第 42 頁，共 114 頁

夠更清楚去瞭解該預期損失值或期望損失值（expected loss

burden）相對的分配情形如圖 3-3。

圖 3-3 危險分析法圖例說明 (2)

100

80

60

40

20

0 0 20 40 60 80 100

X軸之預期

損失期望值值佔總預期損失期望

值的比重（或自負額可減省

期望損失值）

損失或自負額佔保額 SI 的比重

如同骰子點數 3 一般，損失（或以自負額表示亦可）為保險金

額 50%以下的預期損失值占整體的預期損失總值達 75%以

上。（這個曲線圖恰略似剛剛我們談骰子點數最後有關預期損

失值分配佔總預期損失值的比重畫出來所得到的結果，這就是

所謂的危險暴露曲線 Exposure Curve）這個也就是說如果自

負額是保險金額（SI）的 50%，那麼在這樣損失分配 Loss

Distribution 的業務裏，其已佔損失期望值的 75%，所以只要

支付 25%的再保危險保費即可。當然不同的損失分配會有不同

的危險暴露曲線，我們可以舉幾個案例參考。如下圖 3-4(註 17)

左右所示，如果一個業務永遠只可能發生全損，那麼危險暴露

曲線會是一個平坦向右邊的對角直線圖，當然這種情形比較少

見。

(註 17)Daniel Guggisberg, RP，Exposure rating，Swiss Re，第 8 頁

L

第 43 頁，共 114 頁

圖 3-4 危險暴露曲線 Exposure Curve 說明 (1) X軸

之件數

累積

的機率

分配

X軸之預期

損失期望值值佔總預期

損失期望值的比重

不同損失程度佔保額 SI 的比重 損失或自負額佔保額 SI 的比重

當然，我們應該再找兩個一般性但不同趨勢的損失分配，這樣

就可以更瞭解危險暴露曲線的意義了。

圖 3-5 危險暴露曲線 Exposure Curve 說明 (2)

X軸

之件

數累

積的

機率

分配

X軸之

預期

損失期望值值佔總預期

損失期望值的比重

不同損失程度佔保額 SI 的比重 損失或自負額佔保額 SI 的比重

如同上圖 3-5(註 18)，25%的損失占 30%，50%的損失占 40%，

80%的損失占 20%，全損的損失占 10%（如圖左），其危險

曲線圖（Exposure Curve）如圖右，請注意曲線圖是按照預期

損失值（或期望損失值）佔總期望損失值的比重所畫出來的

(註 18) 同上註

第 44 頁，共 114 頁

圖，所以 25%的預期損失或自負額的比重約佔 46.7%（我們私

下加、減、乘除一番即可得＝25÷53.5＝46.7）。下圖 3-6(註 19)

的損失分配則偏向於小損失，20%的損失比例佔了 70%，所以

他的曲線圖是比較彎曲、比較不平坦的（可利用自負額減省再

保費比例偏高現象）。

圖 3-6 危險暴露曲線 Exposure Curve 說明 (3)

X軸

之件

數累

積的

機率

分配

X軸之預期

損失期望值值佔總預

期損失期望值的比重

不同損失程度佔保額 SI 的比重 損失或自負額佔保額 SI 的比重

我們其實可以從更多的損失分配所得的危險暴露曲線圖當中得

到一些結論：

i. 重大程度損失的比例或機率越高，危險暴露曲線越平坦，

相反的，如果是小案件比例高，則越彎曲。

ii. 同一業務，沒做好風險管理保護的客戶是比有做好風險管

理的客戶平坦，因為風險管理做的好可以減少大事故的發

生，而化為一些小的事故。

iii. 越平坦曲線代表自負額可以減省的再保費支出比例越低，

越彎曲則表示比例越高

(註 19) 同上註，第 9 頁

第 45 頁，共 114 頁

iv. 不同的承保危險、不同的風險其曲線是不同的彎曲程度，

譬如，化學工廠、紙工廠、木器工廠全損的機率就比玻璃

工廠、辦公大樓高，當然就越平坦。

v. 越小保額、單一建物的業務其全損的機率或 PML 越大，而

越大保額的業務通常會有幾棟未連結的建物或在不同地

區，所以全損機率或 PML 低。當然，可用最大可能損失

PML（possible maximum loss）來衡量，越大的業務，通

常其最大可能損失 PML 相對於保額 SI 的比例越低。

為了對 Exposure curve 的長相有一個更深入的瞭解，在此比

較瑞士再保險公司（Swiss Re）所常用的一些曲線圖和他們的

再保費減省對照表，同時也把目前我國火險費率規章裏面實損

實賠 First Loss 的對照表及國外某家公司常用的對照表也畫成

曲線圖一起做個比較，相信可以清楚的解釋，當然最後我們會

有兩個案例來說明危險分析法（Exposure rating method）的

實際運用結果。瑞士再保險公司的專家 Peter Gasser 在 1967

年就運用統計理論建立了 Y1-Y4 的四個曲線圖來針對一般不同

性質、大小的業務做一個模型供其內部使用，至今歷久不衰。

其中 Y1 是適用於個人保險的業務，Y2 是屬於小型的商業保險

業務，Y3 是適用於大型的商業保險業務，Y4 則是適用於工業

保險的業務。另外，跟其他公司一樣， 瑞士再保險公司也有一

個源自於倫敦 Lloyds 市場的曲線圖，通常是適用於很大型的

業務，他們把他命名為 Y5。除了這五條曲線以外，還有

Captive 的業務曲線一般稱為 Y6，這些公司通常只會去買巨災

的再保險，所以不會有小型的案件紀錄，當然是一條比較平坦

的曲線，其中依照只買火險或包含營業中斷險而有所不同。最

後比較特殊的是 Oil and Petrochemical（石化業）有其個別的

圖形，我們可以想像的，他們發生全損的機會委實不低。如果

第 46 頁，共 114 頁

將其排列為十一條曲線比較將如下圖 3-7(註 20)所示。最彎曲的

是 Y5Llyods 曲線，最平坦的是石化業的營業中斷險 BI，亦即

石化業的 BI 很易全損。

圖 3-7 SWISS RE 常用的 Exposure Curve

Y5-Lloyd’s

Y4 工業

Y6Captive-PD

Y6 PD+BI

Y6 BI

Y3 大型商業

Y2 小型商業

OPC PD

OPC PD+BI

Y1 個人業務

OPC BI

目前國內有的相關資料只有火險費率規章有關附加竊盜險時常

用的實損實賠 First Loss 對照表，而我也收集另一國外再保公

司的一個對照表做將其和 Y1-Y4 的圖表做一比較如下。

(註 20) 同上註，第 24 頁

自負額佔保額 SI 的比例

X

軸之預期損失期望值值佔總預期損失期望值的比重

第 47 頁，共 114 頁

表 3-4 危險暴露曲線實例說明

危險分析法 Exposure rating 自負額減省再保險費比例 x = deductible as a % of total sum insured y 或 F= deductible credit as a % net risk premium y1 = 個人保險業務 y2 = 小型商業險業務 y3 = 大型商業險業務 y4 = 工業保險業務 F5 = 實損實賠 first Loss 規章費率對照表 F6 = 國外某再保公司

X Y1 Y2 Y3 Y4 F5 F6 X Y1 Y2 Y3 Y4 F5 F6 X Y1 Y2 Y3 Y4 F5 F61 3 4 9 15 68 65 36 52 55 67 79 19 9 71 81 83 90 94 11 2 2 7 8 16 24 63 61 37 52 56 68 80 19 8 72 82 84 90 94 11 2 3 9 11 21 33 60 58 38 53 57 69 81 18 8 73 83 85 91 95 10 1 4 12 14 25 37 55 53 39 54 58 69 81 18 7 74 83 85 91 95 10 1 5 14 16 28 42 50 46 40 55 59 70 82 18 7 75 84 86 91 95 10 1 6 16 19 30 46 48 43 41 56 60 71 83 17 7 76 85 87 92 95 10 1 7 18 21 32 49 46 41 42 57 61 72 83 17 6 77 85 87 92 96 9 1 8 20 22 34 51 44 38 43 58 62 72 84 17 6 78 86 88 92 96 9 1 9 22 24 36 53 42 35 44 59 63 73 84 17 6 79 86 88 93 96 8 1 10 24 26 37 55 40 33 45 60 64 74 85 16 5 80 87 89 93 96 8 1 11 25 28 39 57 39 32 46 61 65 74 86 16 5 81 88 90 93 97 8 1 12 27 29 40 59 38 31 47 62 66 75 86 16 5 82 88 90 94 97 7 1 13 28 30 42 60 37 29 48 63 67 76 87 16 4 83 89 91 94 97 7 1 14 29 32 43 61 36 28 49 63 68 77 87 15 4 84 90 92 94 98 6 1 15 30 33 44 63 35 26 50 64 69 77 88 15 4 85 90 92 95 98 6 1 16 32 34 45 64 34 25 51 65 69 78 88 15 4 86 91 93 95 98 6 1 17 33 35 47 65 33 23 52 66 70 78 89 15 4 87 91 93 96 98 5 0 18 34 37 48 66 32 22 53 67 71 79 89 14 4 88 92 94 96 99 5 0 19 35 38 49 67 31 20 54 68 72 79 90 14 3 89 92 94 96 99 4 0 20 36 39 50 67 30 19 55 69 73 80 90 14 3 90 93 95 97 99 4 0 21 37 40 51 68 29 19 56 70 74 81 90 14 3 91 94 96 97 99 4 0 22 38 41 53 69 28 18 57 71 75 82 91 14 3 92 94 96 97 99 3 0 23 39 42 54 70 27 17 58 72 76 82 91 13 3 93 95 96 98 99 3 0 24 40 43 55 70 26 16 59 72 76 83 91 13 3 94 96 97 98 99 2 0 25 41 44 56 71 25 15 60 73 77 83 92 13 3 95 96 97 98 100 2 0 26 42 45 57 72 24 15 61 74 78 84 92 13 3 96 97 98 99 100 2 0 27 43 46 58 73 24 14 62 75 78 85 92 13 2 97 98 98 99 100 1 0 28 44 47 59 73 23 13 63 76 79 85 92 12 2 98 98 99 100 100 1 0 29 45 48 60 74 23 12 64 77 80 86 93 12 2 99 99 99 100 100 0 0 30 46 49 61 75 22 12 65 77 80 87 93 12 2 100 100 100 100 100 0 0 31 47 50 62 76 21 11 66 78 81 87 93 12 2 32 48 51 63 76 21 11 67 79 81 88 93 12 2 33 49 52 64 77 20 10 68 80 82 88 94 11 2 34 50 53 65 78 20 10 69 80 82 89 94 11 2 35 51 54 66 79 19 9 70 81 83 89 94 11 2

第 48 頁，共 114 頁

依照我所知道，是有一些國內保險公司的再保險經辦運用實損

實賠的對照表在臨分的一些案例，所以特別把他拿出來比較一

番。那麼如果把他們做成比較將如下所示（圖 3-8）：

圖 3-8 危險暴露曲線圖例

Exposure Curve

0

20

40

60

80

100

120

3 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81 87 93 99

Deductible as a %

Red

uctio

n in

exp

.cla

im b

urde

n %

Y1 Y2 Y3 Y4 Firest Loss X Ins.Comp.

當然，也有些再保公司的圖形是依照自負額、應收再保險費方

式呈現的，這將如下圖 3-9 所示，在此亦將其做一呈現。

第 49 頁，共 114 頁

圖 3-9 依再保公司觀點所繪之危險暴露曲線

Exposure Curve

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.03

0.09

0.15

0.21

0.27

0.33

0.39

0.45

0.51

0.57

0.63

0.69

0.75

0.81

0.87

0.93

0.99

Reduction in exp claim burden %

Pre

miu

m a

s a

%

Y1 Y2 Y3 Y4 Firest Loss X Ins.Comp.

那麼這些已知的圖表有何用呢？一般一個合約裡通常包含了不

同大小、風險的業務，所以我們便可以用過去統計經驗所研發

出來類似的圖表去找出可以參考的費率模型。當我們要用這些

圖表時通常需要本身業務分析資料 Risk Profile，其內容應包含

：資料依照保額 SI 分成不同的段落區間 Band、各區間業務的

保單數量(number of risk or policy)、保費總額…等，資料最好

能依照個人住宅、商業、工業分別製作；另外，如果能有損失

分析表，尤其是整個市場的損失資料將會是另一種更完整的參

考依據。我們必須注意的是，當用這些曲線圖、表時，如何適

當的來選擇運用是很重要的，另一方面，這樣的選擇終究只是

另一種參考的依據，因為資訊永遠是不能完全滿足我們所期待

的。底下用兩個例子來解說：

第 50 頁，共 114 頁

b. 危險分析法實例說明

第一個例子我們假設有一個 2002 年火險合約的 Risk Profile

（如下表內之 S、A、B 的資料），我們希望用它來模擬 2004

年的非比例再保險（我們希望架構一個 3000 XS 2000 的 WXL

Per Risk 合約），我們也知道 2004 年和 2002 年的物價指數

相比是成長了 10%，我們的步驟如下：

首先將 2004 年每單 5000 比例性毛自留額轉換為 2002 年指數

水準的 4500，另外將 2004 年所購買 XL-Cover 3000 xs 2000

轉換為 2002 年的 2700 xs 1800，並計算每個區塊 band 的淨

保額（如 C 欄所示之平均保額與比例性毛自留額 4500 孰低的

數字）、淨保費（如 D 欄所示，即 C 欄毛自留額 4500 內每個

區塊實際的淨保費，合計即為對應於 2004 年條件的毛淨保費

GNPI）。

接著便是去找自負額 Priority1800 佔 C 欄毛自留額 4500 所示

之淨保額之比重，以便計算出 2004 年所購買 XL-Cover 2700

xs 1800 其中起賠點 Priority1800 的比例 E 欄。這時候便是危

險分析法 Exposure rating methods 的一個重點，我們得決定

如何選擇一個適當的危險暴露曲線 Exposure curve F 欄（如

Y4,65,=93%，Y3,80,=93%），因為這會決定我們所買的超額

上限 Excess Limit 2700 到底佔 XL-cover 裡多少比重的淨保費

D。如同之前所述的，Y4 的再保費支出比例 G 欄（即超額上

限 Excess Limit 2700 到底佔到 XL-cover 裡多少比重的淨保費

D 欄，亦即 100%扣除 E 欄，Priority1800 的比例 = G 欄），

一定比 Y3 低，因為 Y3 業務的全損機率大於 Y4。我們假設這

是一個火險商業性質的業務，所以我們選擇 Y2、Y3、Y4 適用

不同的區間 Band。於是計算出來我們所購買 XL Limit 2700 的

再保費絕對值 XL Premium absolute H 欄的 1746（當然所有

第 51 頁，共 114 頁

單位都是千元 USD1,000），這表示我們還要去乘上損失率才

能等於我們的淨再保費支出。

這個案例我們假設已知道 2002 年的合計損失率是 75%（損失

率其實應該是依各個區間 Band 計算，而且必須是多年的經驗

累積，下個案例我們再另說明），所以再保費支出是 1310，

再除以對應於 2004 年相關條件的毛淨自留保費 GNPI（Gross

Net Premium Income）76896(000)得到我們 2004 年的費率

Adjustable Risk Premium rate 1.70%，以及 XL Limit 2700 的

Rate on line 1310/2700=48.51%。所以，如果 2004 年預估的

GNPI 是 90000(000)，那麼 2004 年所購買 XL-Cover 3000

xs 2000 預 估 的 再 保 費 是 ＝ 90000 （ 000 ） *1.70% ＝

1530(000)。

第 52 頁，共 114 頁

危險分析法 EXPOSURE RATING：案例一

每單比例性毛自留額：2004 年為 5000 轉換為 2002 年指數後是 4500

2004 年買 XL-Cover 3000 xs 2000 轉換為 2003 年是 2700 xs 1800

Type of Cover WXL per Risk Perils covered Fire and allied Perils

(單位：千元 USD1’000) S A B C D E F G H

保險金額級距

排序

平均

保額

Avg.SI

總保費

Gross

premium

淨保額 Net

Premium

自負額佔淨

保額% Exp.

Curve 的比例

XL

Premium

in %

XL

Premium

absolute

0-150 75 33434 75 33434 100% 100% 0 0

150-250 200 14568 200 14568 100% 100% 0 0

250-400 325 6324 325 6324 100% 100% 0 0

400-600 500 4584 500 4584 100% 100% 0 0

600-800 700 3341 700 3341 100% 100% 0 0

800-1000 900 1405 900 1405 100% 100% 0 0

1000-1200 1125 1169 1125 1169 100% 100% 0 0

1200-1500 1375 683 1375 683 100% 100% 0 0

1500-1700 1625 613 1625 613 100% 100% 0 0

1700-2000 1875 554 1875 554 100% 100% 0% 0

2000-2500 2250 700 2250 700 80% 93% 7% 49

2500-3000 2750 552 2750 552 65.45% 93% 7% 39

3000-4000 3500 1194 3500 1194 51.43% 78% 22% 262

4000-6000 4750 1490 4500 1411 40.00% 82% 18% 254

6000-9000 7250 4177 4500 2592 40.00% 82% 18% 466

9000-13000 10750 3527 4500 1476 40.00% 82% 18% 265

13000-18000 15250 3249 4500 958 40.00% 82% 18% 172

18000-25000 21000 2712 4500 581 40.00% 82% 18% 104

25000-35000 30000 2588 4500 388 40.00% 82% 18% 70

35000-50000 42000 1988 4500 214 40.00% 82% 18% 38

50000-70000 60000 657 4500 49 40.00% 82% 18% 8

70000-90000 81000 1918 4500 106 40.00% 82% 18% 19

91427 76896 1746

BACD ×=

CE 1800

= F%100G −= GDH ×=

1746 的 average loss ratio75% → 1310 %70.1

768961310 =⇒ 　　

Y 2

Y4

Y3

第 53 頁，共 114 頁

案例二，我們假設有一家 A 保險公司在 2001 年 911 事件後想安排一個超

額賠款 XL 再保險，Cover 是 900,000,000 XL 100,000,000，於是該公司

提供 1997-2001 年的 Risk profile 和 Loss profile 如下二圖所示（為便於分

析，只列物價指數調整後合計的加權平均保費）。我們可以發現：

Date :

Range (T.S.I.) 1997 1998 1999 2000 2001 1997保費

比重1998

保費

比重1999

保費

比重2000

保費

比重2001

保費

比重

number ofpolicy

Mean ofclaim 保費比重

0 ~ 5,000,000 126,146 596,527 552,960 558,277 578,232 223,098,425 9.88% 658,570,677 24.82% 620,107,535 25.02% 665,297,859 19.04% 641,970,149 15.14% 578,232 600,000,000 20.44%

5,000,001 ~ 10,000,000 8,366 19,694 30,920 50,919 60,909 160,802,045 7.12% 176,403,447 6.65% 179,570,550 7.24% 190,666,537 5.46% 200,252,029 4.72% 60,909 180,000,000 6.00%

10,000,001 ~ 20,000,000 3,768 6,619 6,673 6,782 6,981 180,569,825 8.00% 184,367,295 6.95% 168,994,753 6.82% 163,630,588 4.68% 165,628,758 3.91% 6,981 170,000,000 5.80%

20,000,001 ~ 40,000,000 1,893 2,942 3,076 3,227 3,368 175,552,723 7.77% 185,570,557 6.99% 160,459,289 6.47% 157,509,536 4.51% 162,760,922 3.84% 3,368 160,000,000 5.45%

40,000,001 ~ 60,000,000 642 901 882 1,006 1,029 96,365,088 4.27% 80,750,413 3.04% 75,311,411 3.04% 74,488,072 2.13% 79,287,921 1.87% 1,029 180,000,000 6.00%

60,000,001 ~ 80,000,000 284 420 458 577 612 56,483,452 2.50% 48,678,605 1.83% 51,234,201 2.07% 58,896,617 1.69% 73,560,052 1.73% 612 150,000,000 5.10%

80,000,001 ~ 100,000,000 214 285 292 334 378 55,156,272 2.44% 44,224,054 1.67% 39,044,513 1.58% 41,502,196 1.19% 47,088,163 1.11% 378 145,000,000 4.94%

100,000,001 ~ 200,000,000 435 612 699 833 878 159,560,783 7.07% 129,477,166 4.88% 137,296,407 5.54% 152,974,259 4.38% 199,965,645 4.72% 878 150,000,000 5.10%

200,000,001 ~ 300,000,000 172 229 266 317 367 103,749,421 4.59% 81,865,487 3.08% 89,913,500 3.63% 97,958,169 2.80% 134,309,591 3.17% 367 100,000,000 3.40%

300,000,001 ~ 400,000,000 87 121 138 179 209 82,018,591 3.63% 56,925,573 2.15% 54,164,951 2.19% 80,813,589 2.31% 117,142,049 2.76% 209 70,000,000 2.39%

400,000,001 ~ 500,000,000 59 84 95 105 145 62,273,695 2.76% 59,434,879 2.24% 51,056,609 2.06% 47,890,383 1.37% 100,774,516 2.38% 145 60,000,000 3.40%

500,000,001 ~ 600,000,000 46 43 79 87 93 50,698,734 2.25% 34,338,018 1.29% 48,950,612 1.97% 65,235,752 1.87% 76,590,290 1.81% 93 50,000,000 1.70%

600,000,001 ~ 700,000,000 26 44 53 60 61 34,012,334 1.51% 30,753,828 1.16% 41,946,167 1.69% 48,254,573 1.38% 77,320,634 1.82% 61 45,000,000 1.36%

700,000,001 ~ 800,000,000 26 37 41 57 64 46,044,203 2.04% 39,270,793 1.48% 35,270,772 1.42% 56,469,384 1.62% 98,551,784 2.32% 64 50,000,000 1.70%

800,000,001 ~ 900,000,000 11 18 27 37 44 20,982,741 0.93% 19,886,685 0.75% 22,719,915 0.92% 33,120,551 0.95% 60,756,925 1.43% 34 30,000,000 1.02%

900,000,001 ~ 1,000,000,000 123 181 213 269 31 750,690,506 33.24% 823,232,493 31.02% 702,730,305 28.35% 1,559,909,813 44.64% 35,714,963 0.84% 1,503 800,000,000 27.25%

Total 142,298 628,757 596,872 623,066 653,625 2,258,058,838 100.00% 2,653,749,970 100.00% 2,478,771,490 100.00% 3,494,617,878 100.00% 4,239,883,900 100.00% 654,863 2,935,000,000 100.00%

1997 ~ 2001 Riskprofile and Lossprofile

Case (Risk) Premium

13-Jul-04

Date :

Range (T.S.I.) 1997 1998 1999 2000 2001 1997 損失

率1998 損失

率1999 損失

率2000 損失

率2001 損失

率Mean 損失率

0 ~ 5,000,000 310 324 463 449 867 81,207,539 36.40% 116,826,968 17.74% 106,025,239 17.10% 111,243,087 16.72% 264,366,851 41.18% 111,243,087 16.72%

5,000,001 ~ 10,000,000 72 62 80 86 111 80,934,782 50.33% 62,981,525 35.70% 78,167,703 43.53% 82,556,533 43.30% 124,638,469 62.24% 82,556,533 43.30%

10,000,001 ~ 20,000,000 65 72 80 75 110 117,735,368 65.20% 156,199,483 84.72% 150,846,680 89.26% 99,814,051 61.00% 177,212,352 ###### 99,814,051 61.00%

20,000,001 ~ 40,000,000 41 45 72 99 113 32,213,688 18.35% 80,481,832 43.37% 146,758,893 91.46% 188,678,381 ###### 211,265,612 ###### 188,678,381 119.79%

40,000,001 ~ 60,000,000 15 18 30 62 56 26,245,194 27.24% 139,386,510 ###### 124,916,652 ###### 38,990,274 52.34% 112,131,820 ###### 38,990,274 52.34%

60,000,001 ~ 80,000,000 15 14 16 19 27 83,292,495 ###### 34,062,522 69.97% 51,517,485 ###### 14,926,302 25.34% 177,507,560 ###### 14,926,302 25.34%

80,000,001 ~ 100,000,000 5 13 19 12 15 58,846,755 ###### 12,692,931 28.70% 52,985,341 ###### 2,891,686 6.97% 127,469,651 ###### 2,891,686 6.97%

100,000,001 ~ 200,000,000 29 38 35 46 100 177,091,487 ###### 105,271,570 81.31% 100,102,584 72.91% 60,918,815 39.82% 350,510,040 ###### 60,918,815 39.82%

200,000,001 ~ 300,000,000 11 16 34 27 49 398,165,884 ###### 9,956,719 12.16% 92,930,816 ###### 68,544,306 69.97% 199,956,991 ###### 68,544,306 69.97%

300,000,001 ~ 400,000,000 16 10 25 39 31 202,875,958 ###### 2,244,100 3.94% 25,010,901 46.18% 171,244,857 ###### 36,809,567 31.42% 171,244,857 211.90%

400,000,001 ~ 500,000,000 6 15 16 10 26 87,313,488 ###### 17,340,261 29.18% 304,008,956 ###### 1,112,014 2.32% 328,312,214 ###### 1,112,014 2.32%

500,000,001 ~ 600,000,000 4 7 11 13 17 997,338 1.97% 201,176,287 ###### 7,086,459 14.48% 440,082,147 ###### 34,751,760 45.37% 440,082,147 674.60%

600,000,001 ~ 700,000,000 6 5 12 18 23 6,275,001 18.45% 1,056,471 3.44% 18,584,582 44.31% 17,853,906 37.00% 242,240,159 ###### 17,853,906 37.00%

700,000,001 ~ 800,000,000 5 5 10 13 55 18,666,829 40.54% 123,376,420 ###### 25,676,660 72.80% 4,745,968 8.40% 102,357,635 ###### 4,745,968 8.40%

800,000,001 ~ 900,000,000 8 3 6 17 33 5,823,061 27.75% 833,918 4.19% 5,859,431 25.79% 4,868,085 14.70% 60,335,145 99.31% 4,868,085 14.70%

900,000,001 ~ 1,000,000,000 39 68 134 95 12 ########## ###### 340,316,668 41.34% ########## ###### 365,579,865 23.44% 84,211,626 ###### 365,579,865 23.44%

Total 647 715 1,043 1,080 1,738 ########## ###### ########## 52.91% ########## ###### ########## 47.90% ########## 76.79% 1,674,050,277 47.90%

Cases (Loss) Loss Amount

19-May-041997 ~ 2001 Riskprofile and Lossprofile

第 54 頁，共 114 頁

a. 該公司的 5 年調整後平均保費合計 2,935,000,000，9 億以上

至 10 億的保費佔相當大的比重約 27.25%，為免報表的過於複

雜、龐大，我們已經將 10 億以上的保費全部轉換過來這個

band 了，這個部分的作業方式我們在上個例子已經介紹過

了，不再重複。

b. 合計損失率為 47.9% 各區塊 band 都有個別四年的損率，其中

20,000,000-40,000,000，300,000,000-400,000,000，

500,000,000-600,000,000 的損率較差。

c. 我們想利用 Y2、Y3 兩條曲線來看看模擬後會有什麼差別。

（這是一個模擬，我們只為了要瞭解過程和 Y2、Y3 之間結果

上的差異）

如同前一個例子，過程中我們首先瞭解業務結構各區塊 band 的

平均點 Midpoint（也可以是平均保額）即第 2 欄，然後計算自留

額或起賠點（Retention or Priority）1 億是為平均點第 2 欄的多

少%（如同第 4 欄），和 XL 的承保容量 Cover capacity10 億是

為平均點第 2 欄的多少%（如同第 6 欄所示）；這樣我們就可以

得知相對於各區間 band 的總保費 Gross Net Written Premium

（如第 3 欄），我們向再保險人所購買的 XL cover 900,000,000

xs 100,000,000 必須提列多少絕對的淨保費 Absolute Net

Premium（如第 8 欄所示）做再保險危險保費 Risk Premium 的

基礎。最後再乘上各區間 band 的損失率（如第 9 欄所示）就是

我們所欲得到再保險危險保費 Risk Premium 或預期損失負擔額

Expected claim burden 的數字（如第 10 欄）。這其中還是有一

件重要的事情，我們要選擇用什麼樣的危險暴露曲線 Exposure

curve 來做保費分配的基礎，必然的不同的曲線和分配將有不同

的結果，如本案例中 Y2 所得到的再保危險保費是 481,489,800

和 Y3 的 391,298,000 相差約 19%，各位可以想像其中的大不相

第 55 頁，共 114 頁

同。所以除以相同的總淨保費 GNPI 後 Y2 的再保淨費率是

16.405%，而 Y3 的再保淨費率是 13.332%。其中損失率的第 9

欄，如果統計經驗不是很足夠，可以做一些個別的調整。

Property Per Risk Exposure Rating

Ceding Company : A Ins. Comp. Retention : 100,000,000 Excess Layer : 900,000,000Period Rating ：Mean 1997~2001 Five year Average Exposure Curve : Y2Midpoint Weights : 50% 50% Coinsurance : 100%

2 3 4 5 6 7 8 9 10Direct Excess Excess

Policy Limits Premium Retention Rate Maximum Rate Percent of Loss ReinsuranceLower Higher Midpoint in Layer to Midpoint Factor to Midpoint Factor Premium Ratio Premium

0 5,000,000 2,500,000 600,000,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 16.7% 0

5,000,001 10,000,000 7,500,001 180,000,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 43.3% 0

10,000,001 20,000,000 15,000,001 170,000,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 61.0% 0

20,000,001 40,000,000 30,000,001 160,000,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 119.8% 0

40,000,001 60,000,000 50,000,001 180,000,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 52.3% 0

60,000,001 80,000,000 70,000,001 150,000,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 25.3% 0

80,000,001 100,000,000 90,000,001 145,000,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 7.0% 0

100,000,001 200,000,000 150,000,001 150,000,000 67.0% 19.0% 100.0% 0.0% 19.0% 39.8% 11,348,700

200,000,001 300,000,000 250,000,001 100,000,000 40.0% 41.0% 100.0% 0.0% 41.0% 70.0% 28,687,700

300,000,001 400,000,000 350,000,001 70,000,000 29.0% 52.0% 100.0% 0.0% 52.0% 211.9% 77,131,600

400,000,001 500,000,000 450,000,001 60,000,000 22.0% 59.0% 100.0% 0.0% 59.0% 2.3% 821,280

500,000,001 600,000,000 550,000,001 50,000,000 18.0% 63.0% 100.0% 0.0% 63.0% 674.6% 212,499,000

600,000,001 700,000,000 650,000,001 40,000,000 15.0% 67.0% 100.0% 0.0% 67.0% 37.0% 9,916,000

700,000,001 800,000,000 750,000,001 50,000,000 13.0% 70.0% 100.0% 0.0% 70.0% 8.4% 2,940,000

800,000,001 900,000,000 850,000,001 30,000,000 12.0% 71.0% 100.0% 0.0% 71.0% 14.7% 3,131,100

900,000,001 1,000,000,000 950,000,001 800,000,000 11.0% 72.0% 100.0% 0.0% 72.0% 23.4% 135,014,400

TOTAL 2,935,000,000 481,489,780

Estimate Rate AdjustmentsNet Rate : 16.405% Primary Company Expected Loss & ALAE Ratio : 47.90%

Rate Adequacy Adjustment : 100.0%Brokerage : 10.0%Other Expenses & Profit : 15.0%

TOTAL Expense & Profit Loading: 25.0%

1

Property Per Risk Exposure Rating

Ceding Company : A Ins. Comp. Retention : 100,000,000 Excess Layer : 900,000,000Period Rating ：Mean 1997~2001 Five year Average Exposure Curve : Y3Midpoint Weights : 50% 50% Coinsurance : 100%

2 3 4 5 6 7 8 9 10Direct Excess Excess

Policy Limits Premium Retention Rate Maximum Rate Percent of Loss ReinsuranceLower Higher Midpoint in Layer to Midpoint Factor to Midpoint Factor Premium Ratio Premium

0 5,000,000 2,500,000 6,000,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 16.7% 0

5,000,001 10,000,000 7,500,001 1,800,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 43.3% 0

10,000,001 20,000,000 15,000,001 1,700,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 61.0% 0

20,000,001 40,000,000 30,000,001 1,600,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 119.8% 0

40,000,001 60,000,000 50,000,001 1,800,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 52.3% 0

60,000,001 80,000,000 70,000,001 1,500,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 25.3% 0

80,000,001 100,000,000 90,000,001 1,450,000 100.0% 0.0% 100.0% 0.0% 0.0% 7.0% 0

100,000,001 200,000,000 150,000,001 1,500,000 67.0% 12.0% 100.0% 0.0% 12.0% 39.8% 71,676

200,000,001 300,000,000 250,000,001 1,000,000 40.0% 30.0% 100.0% 0.0% 30.0% 70.0% 209,910

300,000,001 400,000,000 350,000,001 700,000 29.0% 40.0% 100.0% 0.0% 40.0% 211.9% 593,320

400,000,001 500,000,000 450,000,001 600,000 22.0% 47.0% 100.0% 0.0% 47.0% 2.3% 6,542

500,000,001 600,000,000 550,000,001 500,000 18.0% 52.0% 100.0% 0.0% 52.0% 674.6% 1,753,960

600,000,001 700,000,000 650,000,001 400,000 15.0% 56.0% 100.0% 0.0% 56.0% 37.0% 82,880

700,000,001 800,000,000 750,000,001 500,000 13.0% 58.0% 100.0% 0.0% 58.0% 8.4% 24,360

800,000,001 900,000,000 850,000,001 300,000 12.0% 60.0% 100.0% 0.0% 60.0% 14.7% 26,460

900,000,001 1,000,000,000 950,000,001 8,000,000 11.0% 61.0% 100.0% 0.0% 61.0% 23.4% 1,143,872

TOTAL 29,350,000 3,912,980

Estimate Rate AdjustmentsGross Rate : 13.332% Primary Company Expected Loss & ALAE Ratio : 47.90%

Rate Adequacy Adjustment : 100.0%Brokerage : 10.0%Other Expenses & Profit : 15.0%

TOTAL Expense & Profit Loading: 25.0%

1

第 56 頁，共 114 頁

上述即為所謂的危險分析法 Exposure rating method。

危險分析法基本上是以市場上所有相類似的業務資料為一評估

的整體，然後去找到適合大家的自負額對應保費減免的曲線分

配，並以其分配為基準去找不同層（Layer）的保費比例，所

以風險暴露的評估不是以個別的過去損失經驗而是以業務的品

質和風險的業務、損失分配去衡量；優點是前瞻的，並不需太

多個別的損失資料就可以估算出各個層（Layer）的保費，缺

點是不同的損失暴露曲線會有不同的結果，而且一定要有毛保

費的承保業務分析表才能作估算，更因為不是個別的經驗所以

不適用於個別特殊的業務評估。

3. 柏拉圖法（Pareto Method）

a. 何謂柏拉圖（Pareto）(註 21)

譬如：有一家保險公司他 1999-2003 年火險的損失資料如下圖

左邊所示，他的相對次數頻率如圖下右邊所示，那麼我們一方

面想瞭解個別的相對次數比重直方圖另一方面亦想瞭解整個累

加頻率曲線圖，尤其我們更希望直方圖能依照其相對次數頻率

的高低來排序以瞭解哪一些依序是最重要、最主要的（我們可

以想像如果將案例中的損失級距改為損失原因的頻率排序），

(註 21)一般對柏拉圖這個名字比較認知的是古希臘的哲學家，不過他的名字是 Plato，而我們本

文所談的是 Pareto，此柏非比柏。學過統計學或管理會計的人都依稀記得有一種統計圖表或管

理圖形是叫柏拉圖（Pareto），為了有系統、有條理的方法表現出我們所蒐集或得知資料的主

要內容及特性，同時顯現出其分佈型態及其趨勢，一般都會用不同的統計圖形來呈現及說明，

以讓我們能簡明完整的掌握。圖形包括線型圖（Line chart）、煙囪圖（Bar chart）、餅狀圖

（Pie chart）、直方圖（Histogram）、多邊或次數曲線圖（Polygon）、累加頻率曲線圖或肩

形圖（Ogive）及柏拉圖（Pareto）..等。柏拉圖則是一種將相對次數直方圖和累加頻率曲線圖

相結合成為一個同時將各組資料以相對次數百分比及累加頻率百分比來呈現的圖形。

第 57 頁，共 114 頁

那麼我們便用 Pareto 圖形來呈現。如下圖 3-10(註 22)：

圖 3-10 柏拉圖 Pareto 統計模型圖

柏拉圖 Pareto Diagram

A 保險公司 1999—2003火險業務損失統計表

損失級距 Rang 次數 相對次數

累加相對

次數 1 百萬-1 千萬 96 0.3491 0.3491 1-3 千萬 54 0.1964 0.5455 3-6 千萬 35 0.1273 0.6727 6-8 千萬 28 0.1018 0.7745 6 千萬-1 億 23 0.0836 0.8582 1-3 億 18 0.0655 0.9236 3-5 億 10 0.0364 0.9600 5-10 億 10 0.0364 0.9964 10 億以上 1 0.0036 1.0000

柏拉圖（Pareto）是個人名，全名是 Vilfredo Pareto（1848-

1923），他是生在革命當時巴黎的一位義大利籍新古典經濟和

社會學家，據說這樣的圖形原本是用在人口和國民所得統計上

的工具，經過他的統計資料分析社會經濟結構，他發現國民所

(註 22)Amir ACZEL，Complete Business Statistics

原柏拉圖 Pareto 統計模型圖

損失金額級距 X

各損失金額件數比重%

各損失金額件數累積機率%

第 58 頁，共 114 頁

得的大部分集中在少數人，亦即 80%的財富集中在 20%的人

口這種不平衡關係，這就是出名的 80%-20%定律，也是所謂

的柏拉圖法則，只是沒想到分析的工具日後竟成為企管的品管

工具之一以及再保險業所用。那麼在談比較深入的柏拉圖費率

計算法 Pareto Rating method 之前，我們可以先用幾個比較基

本的統計觀念來做解釋，再用實際的例子說明，相信能比較清

楚瞭解什麼是 Pareto 法。

b. 柏拉圖的基本概念

假設有 50 個損失的經驗數據（Empirical data），其損失的金

額及分佈情形如下之 X 所示，如果把他們用統計的分配圖畫出

來，那麼每一個損失的機率是 = 1÷50 = 0.02 = 2%，為了能更

清楚的掌握整個損失分配狀況以及找出一些統計的分配模型，

我們將其以損失金額大小排列由大而小、同時以橫軸 X 為損失

金額、縱軸 Y 為機率，那麼我們可以輕易得知損失金額在

2000 以下的件數其累積機率是 40%（下圖：累積機率分配函

數）(註 23)，也就是說損失金額在 2000 以下的件數總共佔所有

損失件數的 40%，算一下確實差不多有 20 件損失是低於 2000

的。

(註 23)Hans Schmitter, Peter Butikofer，Estimating property excess of loss risk premiums by means of

the Pareto model，Swiss Re，第 10 頁

第 59 頁，共 114 頁

實際損失情形分佈圖、表 X1=1976 X2=2076 X3=1681 X4=2570 X5=2305 X6=1803 X7=2347 X8=1615 X9=2216 X10=1401 X11=2984 X12=1809 X13=2438 X14=2442 X15=2267 X16=2153 X17=1970 X18=2151 X19=2233 X20=1955 X21=2017 X22=2387 X23=2413 X24=2014 X25=3023

X26=1414 X27=1113 X28=2058 X29=2843 X30=1897 X31=1553 X32=2453 X33=1782 X34=2513 X35=1351 X36=3048 X37=1831 X38=2385 X39=2242 X40=2122 X41=1879 X42=2172 X43=1496 X44=1728 X45=2457 X46=1728 X47=2129 X48=2515 X49=1719 X50=1793

0 1000 2000 3000

1

7

13

19

25

31

37

43

49

LOSSES

累積的機率分配函數

0 1000 2000 3000 4000 5000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Pro

bab

ilit

y

Loss amount

Losses

我們如果有和剛剛相同但各出險件數比例乘上 10 萬的一個業

務，那麼整個分配圖將會更平滑，如下圖 3-11 陰影部分所

示。

第 60 頁，共 114 頁

圖 3-11 累積的機率分配函數（Cumulative Probability Distribution

Function）

F(X)= ∫f(x)dxX

0F(X)= ∫f(x)dx

X

0

0.0

0.2

0. 4

0. 6

1. 00

1000 2000 3000 4000 50000

0. 8

Loss amount

F(x)

= P

[X<=

x]

0.0

0.2

0. 4

0. 6

1. 00

1000 2000 3000 4000 50000

0. 8

0.0

0.2

0. 4

0. 6

1. 00

1000 2000 3000 4000 50000

0. 8

Loss amount

F(x)

= P

[X<=

x]

上面的圖裡對每一個損失金額 xi 而言，其所對應的是縱軸的

yi，而 yi=P[X＜＝xi]。我們可以假設剛剛的例子如果因為數量

很大了，已經成為一個連續的機率分配，所以其連續的累積機

率分配函數定義是 F(X)=P [X＜＝xi]，而依照連續的累積機率

分配函數定義，整個損失分配中其損失件數的累積機率 F

（X）＝ %dx)x(f 1000

=∫∞

，即在另外一個計算件數機率的圖形

裡，F(X)為 f(x)從 0 到∞的定積分，其機率等於 1，如果 x＝

2000，意思就是 f(x)從 0 到 2000 的定積分，他所對應到的 Y

軸的 yi是為 F（x＝2000）＝P（X＜＝2000），而對應累積機

率分配是 40%，即如同剛剛所述，損失在 2000 以下的件數其

累積的機率是全部的 40%，其表達方式如下：（請注意這裡只

是談件數，並非藍色部分的面積或所謂的期望值，而底下的∫

f(x) dx 積分的公式我們可以把他當成求面積，在另外一個計算

件數機率的圖形裡，f（x）＝y 是高度，dx 是長度也是組距，

因為連續的機率密度函數機率的表示要用面積的概念即∫f(x)

dx 呈現，所以也就是說在那個計算件數機率的圖形裡，我們得

到不同的 x 和他的機率∫f(x) dx，x 可能是 2000 則其機率∫f(x)

第 61 頁，共 114 頁

dx 是 40%，將其轉換到目前這個圖形的曲線及 Y 軸的 F（x）

點，而得到的結果是如同本 F（X）各點的數字所示。）

我們剛剛提到依照連續的累積機率分配函數定義，整個損失分

配中其損失件數的累積機率 F（X）＝ %dx)x(f 1000

=∫∞

，即在另

外一個計算件數機率的圖形裡，F(X)為 f(x)從 0 到∞的定積分

，其機率等於 1，如果 x＝2000，意思就是 f(x)從 0 到 2000 的

定積分，他所對應到的 Y 軸的 yi是為 F（x＝2000）＝P（X＜

＝2000）。那麼如下圖所示，就一般 X 軸上的各 xi 點，譬如

a 點小於 b 點而言，a、b 之間的累積機率＝P[a < X ≤ b]，也

就是等於 b 的累積機率 F(b)減去 a 的累積機率 F(a)，也就是說

若損失金額為 2000 至 2500 件數的機率是 F(2500)的累積機率

90%，減 F（2000）的累積機率 40%＝P[a ≤ X ≤ b]＝50%；

接著，我們說大於 a 點的累積機率＝P[X ≧ a]為 1 減去 a 的累

積機率 F(a)，可以說大於損失金額 2000 的機率 P[X ≧ 2000]

是 1- F(a)＝1-40%＝60%；所以， P[a＜x≦b]=F(b)-F(a)，如

下圖，而 P[x ≧ a]=1- F(a)，當然無限大∞的累積機率 F(∞)等

於 1。

0 1 00 0 20 00 300 0 4 00 0 50 00

0 .0 0%

2 0..0 0%

4 0..00%

6 0..0 0%

8 0..0 0%

1 00 ..00 %

0 1 00 0 20 00 300 0 4 00 0 50 00

0 .0 0%

2 0..0 0%

4 0..00%

6 0..0 0%

8 0..0 0%

1 00 ..00 %

當計算件數的累積機率後，我們還是得如剛剛 Exposure rating

method 有關期望損失負擔所說明的，到底他的期望損失負擔

（expected loss burden）是多少？如果是一般的離散件

F(b)

F(a)

ab

第 62 頁，共 114 頁

（Discrete case），那麼期望損失負擔就如同一般期望值般

的，E(x)=Σ Xi × pi，其中 pi是 xi 損失的機率，也可以稱為損失

頻率（乘上件數即是）； Xi 是損失金額也是損失幅度，損失

幅度乘上損失頻率就是預期損失負擔（ expected loss

burden）或危險保費（risk premium）。 如果是連續的機率分

配將如何呢？如下圖解期望值（expected loss burden）所

示： ∫ −=x

dx))x(F()x(E0

1 ，亦即這個業務的預期損失負擔是由積

分(1-F(x))類似機率的意義和 dx 類似損失幅度的意義所形成的

陰影面積所組成，當然機率還得乘上件數，如果損失金額 X 是

1000，因為機率 F(1000)＝0，所以 1-F(x)=1，而期望值

E(1000)＝1-F(x)從 0 到 1000 的定積分，那一整塊劃白線的面

積所形成，因為 X=0 到 1000 的機率都為 100%，所以頻率是

50 件乘上 100%，而損失幅度或損失金額是 0 到 1000，所以

損 失 金 額 1000 的 預 期 損 失 負 擔 是 1000*100%*50 -

0*100%*50 ＝50000，這也可以是當自負額 1000 時候的預期

損失負擔。

第 63 頁，共 114 頁

所以我們如果想知道 1500 Xs 2000 的預期損失負擔就是如同

上圖 XL Layer（expected loss burden）所示 C Xs D 黑色的

部分，他的預期損失負擔是 EE[[XXLLaayyeerr]] ==∫∫((11--FF(x))dx 從 D 到

C+D 的定積分區域，或是說從下限 X＝2000 積分到上限 X＝

3500 之之處處，，11--FF（（22000000））的的機機率率是是白白色色箭箭頭頭的的部部分分也也就就是是 11--

4400%%＝＝6600%%，，頻頻率率是是 5500 件件乘乘上上 6600%%＝＝3300 件件，，整整個個預預期期損損失失負負

擔擔就就是是黑黑色色的的部部分分，，這這就就是是 XXLL 超超額額賠賠款款再再保保險險當當碰碰到到不不同同層層

LLaayyeerrss 時時候候的的基基本本統統計計概概念念。。我我想想我我們們用用手手算算可可以以得得知知這這部部分分

的的預預期期損損失失負負擔擔 eexxppeecctteedd lloossss bbuurrddeenn 是是 1100997733，，問問題題是是這這一一

塊塊黑黑色色的的部部分分是是不不是是可可以以用用簡簡單單的的方方式式算算出出來來？？這這不不像像剛剛剛剛損損

失失 00--11000000 般般四四四四方方方方的的單單純純，，他他有有彎彎彎彎的的曲曲線線，，似似乎乎必必須須要要

借借用用數數學學或或用用統統計計的的公公式式或或模模型型來來得得知知，，事事實實上上也也是是如如此此的的，，

這這也也是是接接下下來來要要探探討討的的。。

c. Pareto 的統計機率分配

從從上上述述圖圖示示之之曲曲線線以以及及解解釋釋 EExxppoossuurree rraattiinngg 時時所所展展示示的的幾幾個個

圖圖形形可可以以發發現現不不同同的的損損失失分分配配其其彎彎彎彎曲曲曲曲的的圖圖形形是是不不一一樣樣的的，，

那那個個曲曲線線是是可可以以代代表表不不同同的的損損失失分分配配和和結結構構，，也也就就是是說說不不同同的的

第 64 頁，共 114 頁

曲曲線線如如果果以以αα稱稱之之，，然然後後找找到到他他的的參參數數，，我我們們其其實實是是有有機機會會利利

用用這這樣樣的的資資料料來來找找到到我我們們所所要要的的答答案案的的。。（（如如圖圖 33--1122））

圖 3-12 柏拉圖 Pareto 曲線參數值α

α = 2

α = 1.5

α = 1

損失金額損失金額XX

XX

損失金額之件數的累積機率

損失金額之件數的累積機率

％％

YY

觀測點觀測點OPOP

Exit pointExit point

高自負額高自負額

低自負額x

α = 2

α = 1.5

α = 1

損失金額損失金額XX

XX

損失金額之件數的累積機率

損失金額之件數的累積機率

％％

YY

觀測點觀測點OPOP

Exit pointExit point

高自負額高自負額

低自負額x

由於不同的損失分配狀況會有不同的曲線α參數值，越平坦的

α其參數值（類似斜率值大小）越小，出現大損失的比例越

高；相反的，越陡峭的曲線其參數值α越大，出現小損失的比

例越高。這和 Exposure rating 的分析很像，而其實這個圖形

是藉由我們剛剛談原柏拉圖模型時的那個累積機率分配曲線而

來的，只是我們將原柏拉圖統計圖形裡 X 軸的直方圖以損失金

額相對於觀測點 OP（Observation Point）的倍數（亦即觀測

點 OP 之金額為 1）來取代並將其直方圖橫擺罷了，這樣子我

們便可以使用在非比例再保險 Non-proportional 的計價模式

裡。如下圖柏拉圖分配函數所示，這時經由統計的分配函數所

畫的圖、表，不同的參數值會有不同的分配機率，譬如，當α

參數值等於 1 時，如果：低自負額 D/ 觀測點 OP= 2，亦即

低自負額 D 是觀測點的 2 倍，那麼低自負額至 OP 損失之件

第 65 頁，共 114 頁

數的累積機率佔 OP 以上件數的 50%；5 倍的話佔 80%，如下

圖 3-13(註 24)黑線所示。

圖 3-13 柏拉圖分配函數 Pareto Distribution Function

我們如果把上面的圖製成表那就會如下表所示，一般而言天災

保險的α參數值約 0.8，我們可以想像大部分的天災損失都是

大的損失，所以他的曲線是非常平坦的，而台灣大部分的業務

約為 1.6--2.2 之間。不過要再次的強調，這個圖表所表示的機

率%是指損失之件數的累積機率%，譬如上述例子 5 倍的起賠

額，X＝5，α參數值＝1 時為 80%，代表低自負額到觀測點

OP 是觀測點以上出險件數的 80%，這和損失幅度無關的，同

時只是百分比、機率而已，還要乘上自負額或起賠額以上的損

(註 24) Hans Schmitter, Peter Butikofer，Estimating property excess of loss risk premiums by means of

the Pareto model，Swiss Re，第 47 頁

X

之損失件數的累積機率

%Y低自負額 D/觀測點 OP＝ X

第 66 頁，共 114 頁

失件數才是真正的頻率。所以我們會想瞭解α參數值怎麼算出

來，或他的分配公式長相是什麼模樣？如何簡單的導出來？

x1.000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

1.500 0.215947 0.277019 0.333333 0.385261 0.477298 0.518013

2.000 0.340246 0.425651 0.500000 0.564725 0.670123 0.712825

2.500 0.422920 0.519550 0.600000 0.666979 0.769168 0.807820

3.000 0.482718 0.584756 0.666667 0.732419 0.827573 0.861585

3.500 0.528416 0.632933 0.714286 0.777608 0.865262 0.895124

4.000 0.564725 0.670123 0.750000 0.810535 0.891181 0.917531

4.500 0.594424 0.699787 0.777778 0.835508 0.909872 0.933286

5.000 0.619269 0.724054 0.800000 0.855044 0.923854 0.944811

5.500 0.640431 0.744312 0.818182 0.870710 0.934624 0.953511

6.000 0.658721 0.761505 0.833333 0.883529 0.943120 0.960251

1.0 =α 1.2 =α 1.6 =α 1.8 =α0.8 =α0.6 =α

如下圖 3-14 所示：F(X)=P(X=<x) ＝1-(op÷x) α，就是損失金

額的件數累積分配函數，問題是如何簡單導出的？尤其α是怎

麼算出來的？或α是什麼形狀？

圖 3-14 柏拉圖 Pareto 曲線損失分配

F(X)=P(X=<x) = 1 - ( --)op α

x

Exit Point 高自負額

損失金額損失金額XX觀測點觀測點opop

XX

損失金額之件數的累積機率

損失金額之件數的累積機率％％

YY

低自負額x

F(X)=P(X=<x) = 1 - ( --)op α

x

Exit Point 高自負額

損失金額損失金額XX觀測點觀測點opop

XX

損失金額之件數的累積機率

損失金額之件數的累積機率％％

YY

低自負額x

第 67 頁，共 114 頁

在目前收集到 Swiss Re 發行的資料裡得知的 Pareto 的機率密

度函數是 f(x)＝( ( OP( ( x (-1，其中(為 Pareto 參數，OP 為觀察點。

Pareto 分配的基本公式如下所示：

Pareto 的機率密度函數（Probability Density Function）係由 Pareto 分配的

發現者－Vilfredo Pareto 所提出

f(x)＝( ( OP( ( x (-1，其中(為 Pareto 參數，OP 為觀察點，那麼如果把 f(x)

從觀察點 OP 積分到無限大(，則結果應會等於 1，亦即可以證明累積機率

總和為 1。此積分運算過程如下：

∞−

∞−−

∞−−

−

•=•=•• ∫∫OPOPOP

xOPdxxOPdxxOP αααααα

αααα 111

首先列出積分式如左邊，接著對有關 x 的部分積分，得到前式

的部分，將 OP 至∞帶入即可得以下式

−−

−•=

−−

−∞•=

−−−

ααα

ααα

αα

ααα OPOPOPOP 0

因為∞ -( ＝0，所以再將－(到過來變成下列的結果。

� EMBED Equation.3 ���

Pareto 的分配函數 F(x)

已知 Pareto 的機率密度函數為 f(x)＝( ( OPα • x -α-1，為了運算上的方

便，我們將函數改為 f(y)＝α • OPα • y -α-1。如果把 f(y)從觀察

點 OP 積分到我們所希望的終點 x，則結果會求得 Pareto 的分

配函數 F(x)等於 1－OPα • x -α=1-(op÷x) (，此積分運算過程如

下：

EMBED Equation.3 � ���

第 68 頁，共 114 頁

EMBED Equation.3 � ���

EMBED � Equation.3

�α

αα

ααα

ααααααα

α−−−− ••−••=

−•= xOPOPOPxOPOP

ααα )xOP(xOP ÷−=•−= − 11

若此時令(＝1，則 F(X)=P(X=<x) =＝1-(op÷x) (，所以 x＝2 時，F(X)= 1-

(1÷2)1＝50%，x＝5 時，F(X)=1-(1÷5)1＝80%，其餘依此類推我們就可以

得知表的內容如何算出來，這就是 Pareto 的機率密度函數（Probability

Density Function ）

f(x)＝( ( OP( ( x (-1，而經過積分演算我們亦可得知 Pareto 的機率分配函

數 （ Probability Distribution Function ）

F(x)＝1-(op÷x) (。但我們再次強調這只是損失金額 x 之件數的累積機率分

配 函 數 而 已 ， 並 非 預 期 損 失 負 擔 E （ X ）（ Expected loss

burden），預期損失負擔己如前所述應為

E（X）=∫(1-F(x)) dx，

即損失件數，乘以 F(x)以上的機率＝1- F(x)，乘以損失幅度而

得的。所以我們還得知道損失幅度的機率分配，我們是可以利

用統計的計算方式找到損失幅度 E [X-OP] ÷(EP-OP)的機率分

配函數含圖、表（如圖 3-15(註 25)、表 3-5）所示（OP 是觀測

點，亦可視為 Deductible 或 Priority）：

圖 3-15 柏拉圖分配 Pareto Distribution 預期損失負擔

(註 25) 同上註，第 48 頁

預期損失Expected lo

第 69 頁，共 114 頁

所以當α＝1 時，(Dec+Cover)÷Dec=3.5 時，y 是 0.5 倍，也就是說

損失幅度是承保限額的 0.5 倍，一般亦稱其 Cover value = 0.5。

表 3-5 損失幅度的機率分配函數 (Ded+Cover)/

Ded11.000 0.402375 0.307697 0.239790 0.190478 0.127129 0.1066439.889 0.422068 0.327012 0.257784 0.206793 0.140085 0.1181379.000 0.440070 0.344904 0.274653 0.222254 0.152587 0.1293088.273 0.456641 0.361565 0.290533 0.236950 0.164666 0.1401737.154 0.486252 0.391791 0.319743 0.264330 0.187661 0.1610406.000 0.523836 0.430969 0.358352 0.301173 0.219574 0.1903765.000 0.564784 0.474662 0.402360 0.344025 0.258029 0.2262674.077 0.612964 0.527385 0.456736 0.398163 0.308572 0.2742643.500 0.650544 0.569470 0.501105 0.443259 0.352277 0.3164663.000 0.689807 0.614327 0.549306 0.493146 0.402265 0.3654732.509 0.736824 0.669223 0.609538 0.556744 0.468413 0.4314502.000 0.798770 0.743492 0.693147 0.647247 0.567077 0.5320641.100 0.971503 0.962244 0.953102 0.944075 0.926362 0.9176721.044 0.986974 0.982682 0.978415 0.974173 0.965761 0.9615921.029 0.991557 0.988764 0.985981 0.983208 0.977695 0.9749531.021 0.993754 0.991684 0.989619 0.987560 0.983460 0.9814181.017 0.995044 0.993399 0.991758 0.990121 0.986856 0.9852301.014 0.995892 0.994528 0.993166 0.991807 0.989096 0.9877441.012 0.996493 0.995327 0.994163 0.993002 0.990683 0.9895271.010 0.996940 0.995923 0.994907 0.993892 0.991867 0.9908571.009 0.997286 0.996383 0.995482 0.994582 0.992784 0.991887

1.0 =α 1.2 =α 1.6 =α 1.8 =α0.8 =α0.6 =α

我們舉剛剛 50 個賠案的例子，如果我們假設 OP 是 1000，我

們希望算 1500 XS 2000 的預期損失負擔，我們假設如果參數

自負額加承保限額 Deductible+Cover÷自負額 Deductible

第 70 頁，共 114頁

值α＝1，那麼高自負額 2000 是 1000 的兩倍，所以高自負額

2000 的累積機率 F(X)是低自負額或觀測點 1000 以上出損失件

數的 50%，但因為我們是要知道 2000 以上的部分，所以是 1-

F(X)＝1-50%＝50%，損失件數是 50 件，機率是 50%，所以

損失頻率是 50 件×50%＝25 件（我們必須理解任何超過損失

2000 的機率和件數都必須考量進來，因為這是超額保險，所

以從頻率的角度而言，任何高於低自負額的損失件數都得考

量，請在想想前面的幾個說明圖）；損失幅度是(Dec+Cover)÷

Dec=1.75，所以其 cover value 是 0.75，亦即損失幅度是

Cover limit 1500 的 0.75 倍，故為 1500×0.75＝1125，所以

1500XS2000 的預期損失負擔（Expected loss burden）＝25×

1125＝28125，這和我們原本算的 10973 相差一些，所以剛剛

50 個賠案那個例子似乎原本的α參數值是大於 1 的（當然 50

件事實上很難找到正確的參數值）。再舉一例子，我們假設參

數值α＝1.8，我們知道超過 10000 的損失件數是 10 件，我們

想瞭解 60000 XS 30000 的危險保費是多少？首先瞭解 30000

以內的損失機率是多少？高自負額除以低自負額 30000÷

10000=3 對照α＝1.8 的機率是 0.861585，所以超過 30000

的機率是 0.138415，頻率是 1.358415 次；損失幅度的比例

(Dec+ Cover)÷Dec 是（60000+30000）÷30000＝3，對照α

＝1.8 損失幅度的機率是 0.365473，所以損失幅度是 60000×

0.365473=21928，再乘以頻率 1.358415=29787 就是危險保

費。當我們瞭解了危險保費的計算方式後，我們會問α參數值

如何得知？

我們再用統計的計算式來討論一下之前 E[X Layer]的預期損失負

擔或危險保費（Risk premium）問題，然後從中瞭解α參數

值。首先瞭解危險保費的公式推導---從累積分配函數來推導。

根據之前圖表，假設未來一年中，所有承保的案件皆如圖上之

第 71 頁，共 114頁

損失件數出險，且損失金額皆超過觀察點 OP。在此一前提成

立下，我們可以利用積分的方式，把 1－F(x)從 D 積分到

C+D，所得到結果，即為 E[X Layer]的面積，也就是 C xs D 在

一年中，若所有承保的案件皆出險，且損失金額皆超過觀察點

OP 的危險保費。此積分運算過程如下：

[ ] [ ]∫ ∫+ +

−•−−=−=DC

D

DC

DLayer dx))xOP((dx))X(F(XE αα111

1-1＝0 且後段變成正數，將後段積分即可的結果

[ ] [ ]∫+ −−+−−

−−+=

−=•=

DC

D

DCD

D)DC(OPxOPdxxOPαα

αααα

ααα

11

111

若令 D 為起賠額（Deductible）DE，C 為承保限額（Cover

limit）CO，C＋D 為該層上限 EP（Exit Point，即 EP＝CO＋

DE），RL(Relative length)為該層的相對長度（大除以小，即

RL＝(CO＋DE)/DE＝EP/DE）(註 26)，則

E[X Layer] ＝OPα [(CO＋DE)1-α－DE1-α] / (1－α) （變換符號）

＝OPα [EP1-α－DE1-α] / (1－α) （CO＋DE＝EP）

＝OPα • DE1-α [(EP/DE)1-α－1] / (1－α) （提出 DE1-α）

＝OPα • DE1-α [RL1-α－1] / (1－α) （RL＝EP/DE）

＝(OP / DE)α • [DE / (1－α)] • (RL1-α－1) （併項整理）

此時唯一限制為α必不等於 1。如果α＝1，則造成上式分母為

0。為解決此問題，另考慮α＝1 之情形。若α＝1，則 F(x)＝1

－(OPα • x -α)＝1－OP / x，同樣來做積分運算：

[ ] [ ] [ ]∫∫++

−−=−=DECO

DE

DECO

DELaver dx)x/OP(dx)x(FXE 111

(註 26) Markus Schmutz, Richard R. Doerr，The Pareto model in property reinsurance Formulas and

applications，Swiss Re，第 12~18 頁

第 72 頁，共 114頁

[ ]∫ ∫+ ++

===DECO

DE

DECODE

DECO

DE

xInOPdxx/OPdxx/OP 1

ln x 的微分是 1/x dx，所以相反的 1/x dx 的積分是 ln x

＝OP • [ln(CO＋DE)－ln(DE)]＝OP • [ln(EP)－ln(DE)]＝OP • ln (RL)

上述結果係以在一年中，所有的承保的案件皆出險為前提，但

事實上並非如此。合理的做法應考慮 OP 以上的發生頻率

FQ(OP)，也就是說，在 FQ(OP)成立的前提下來推算該層的危

險保費 RP（Risk Premium）。因此，危險保費應為(註 27)：

若α≠1，則 RP＝FQ(OP)•(OP/DE)α•[DE/(1－α)]•(RL1-α－1)

若α＝1，則 RP＝FQ(OP) • OP • ln (RL)

α＝1 時似乎讓我們更清楚瞭解整個公式的意義。

接著，我們來求α。我們如何找到α？我們可以在商業統計或高

等統計學中找到以下有關估計量方法裡的最大概似法

（Maximum Likelihood Method）的資料，將其部分精華提供

參考依據。一般估計量的方法有最大概似法（Maximum

Likelihood Method ） 、 最 小 平 方 法 （ Least Square

Method）、最小變異數法（Least Variance Method）、最小

χ2法（Least χ2 Method）等等，這些方法的目的是要求最具有

代表性的優良估計量，其中最常用的是最大概似法。概似函數

（Likelihood Function） ( 註 28)的定義：n 個隨機變數 X1，

X2，…，Xn的概似函數即為該 n 個隨機變數的聯合機率函數，

又若 X1，X2，…，Xn 是由機率函數 f(x；a)中抽出，則其概似

函數 L(a)為：

(註 27) Hans Schmitter, Peter Butikofer，Estimating property excess of loss risk premiums by means of

the Pareto model，Swiss Re，第 30~31 頁 (註 28) 顏月珠著「商用統計學」，第 253~257 頁

第 73 頁，共 114頁

L(a)＝g(x1，x2，…，xn；a)＝f(x1；a) f(x2；a)……f(xn；a)

g 為母數 a 的函數。現時因 a 未知，且樣本尚未抽出，故

g(x1，x2，…，xn；a)為樣本內各變量的聯合機率函數的大概

形式，這是此函數稱為概似函數的原因。設隨機變數 X1，

X2，…，Xn 的概似函數為 L(a)＝g(x1，x2，…，xn；a)，又設

估計量 â＝h(x1，x2，…，xn)，若 a 為 â 時，可使 L(a)為極

大，則稱 â 為 a 的最大概似估計量（Maximum Likelihood

Estimator），簡稱 MLE。一般應用最大概似法求最大概似估

計量 MLE 的方法為：

n 1由母體的機率函數 f(x；a)作成概似函數，即 L(a)＝∏ f(xi；a) i=1

d 2對 a 求微分 L(a)，令其為 0，即L(a)＝0，解 a

da 即得 a 的最大概似估計量 â

d2 3查看L(a)是否小於 0。

da2

我們舉例來說明：抽查汽車駕駛十人，問其是否投保 A 保險公

司，其中有 4 人的答案是肯定的，試用最大概似法求 A 保險公

司在市場上占有率的估計值。

解：

10 概似函數 L(a)＝ a4(1－a)6 4

由下表及圖例皆可發現，當 a＝0.4 時，L(a)為 0.2508 最大，

故母體比例（市場佔有率）a 的估計值為 â＝0.4。意即我們已

經知道實際的抽查結果，那麼我們便可以從分配函數當中去發

現機率最大的那個數即為我們所原先期待預估的數。

a L(a)

0.1 0.0112 0.2 0.0881

第 74 頁，共 114頁

0.3 0.2001 0.4 0.2508 0.5 0.2051 0.6 0.1115 0.7 0.0368 0.8 0.0055 0.9 0.0001

那麼如何估計α？α的最適估計法----最適估計法（Maximum

Likelihood Estimation，MLE）。對於機率密度函數 f(x；α)，

若α為未知，則由 n 次獨立的試驗來估算α。我們重複做 n 次獨

立的試驗，觀察樣本 X1，X2，…，Xn，且由樣本觀測值 x1，

x2,…，xn 來估計α，則稱 u(X1，X2，…，Xn)為α的估計量。我

們的目的在使得估計值 u(x1，x2,…，xn)盡可能地接近真正的α

值。設 X1，2，…，Xn的觀測值分別為 x1，x2,…，xn的機率是

n P[X1＝x1，X2＝x2，…，Xn＝xn]＝∏ f(xi；α)

i=1

此即為 X1，X2，…，Xn 的聯合機率密度函數。合理估計參數(的方法

之一是將此機率（或聯合機率密度函數）看成是(的函數，然後找得一個

(值使此函數的值為最大。亦即，找使此組樣本觀測值 x1，x2,…，xn 產

生的可能性為最大的( 值。此聯合機率密度函數看成是(的函數時，時常

被稱為可能性函數，記做 L((；x1，x2,…，xn)。要求使 L((；x1，x2,…，

xn)＝L(()為最大的(值，同樣亦可以由 L(()的自然對數求最大值的方法求

得，此法亦較容易。當求得 ln L(()後，再取一階導數使其等於 0，即可求

第 75 頁，共 114頁

得(的最適估計值。以最適估計法（MLE）求 Pareto 參數(，已知 Pareto 的

機率密度函數

f(x)為 f(x)＝( ( OP( ( x -(-1

其可能性函數（likelihood function）L(()為所有 f(xi)的連乘積

n n L(α)＝ ∏ f(xi；α)＝αn • OPnα • ∏ xi -α-1，兩邊同取自然對數已簡

i=1 i=1

n 化，l n L(α)＝n ln α＋α ln OPn＋(－α－1) ∑ ln xi i=1

為求得上式的最大值，故考慮一階導數為 0 的情形：

0=α

αd

)(LInd，可求得α的最適估計量，

先處理左式使其等於 0，再使其等於右式，另外因為 ln x 的微

分是 1/x dx，所以相反的 1/x dx 的積分是 ln x

⇒ ∑ ∑ ∑= = =

=−+=−+n

i

n

i

n

iii

n xInOPnxInOPInn1 1 1

0αα

將∑的 ln 函數都移到右式

⇒ ∑ ∑∑= ==

=−=n

i

n

i

in

ii )

OPx(InOPInxInn

1 11α

將左右兩式取倒數，再同時乘 n，可得α的最適估計量

⇒∑=

= n

i

i )OPx(In

n

1

α

這就是α的最適估計量和計算式(註 29)，我們現在來以一個例子

說明。

d. Pareto 案例說明：

(註 29) Markus Schmutz, Richard R. Doerr，The Pareto model in property reinsurance Formulas and

applications，Swiss Re，第 11 頁

第 76 頁，共 114頁

假設有一家大企業，他有好幾個廠區，每一年火災、颱風或地

震來都會有好幾個損失，以下是這個企業 1999--2003 過去五

年來依照報案時間約 100 個賠案的損失，2003 年續保到期，

他要求保險公司以不同的自負額報價，我們希望從過去損失經

驗中來得到他的α參數值以及預期損失負擔（Expected loss

burden）。

i. 首先，將所有資料做成 loss profile，並依照自負額的不同

統計其實際預期損失負擔，以便瞭解不同計價方式及不同

層（layer）的賠款成本 Burning cost。

ii. 計算∑=

n

i

i )OPx(In

1以求α參數值。

iii. 依照α參數值去推論不同 layer、不同 cover 的預期損失成

本多少，當然包括之前所述的損失頻率、損失幅度的計

算。

iv. 其實如果有自行的 Exposure curve 檔案，應該再以不同的

Curve 來瞭解這之間可能的不同結果，以便做一些修正。

所以首先我們將資料作一承保及損失狀況分析表（如表 3-6）

之 1-6 欄，其中第 4、5、6 欄表示不同的觀測值（OP

Observation Point）或自負額下的損失金額和其件數，7、8、

9 欄則代表不同的觀測值下的∑=

n

i

i )OPx(In

1。為方便我們求參數值

α，我們得解釋一下觀測值和自負額之間的關係。自負額

20、60、100 萬是我們設定的，我們可以當其為自負額，但是

我們也可以當其為 OP。觀察值 OP 的意思是在指 OP 以上的

損失金額案件我們才要列為統計的資料，以下的部分因為損失

金額小且頻率過高，故不列入統計的對象，當然 OP 也可以同

時是我們要得到該層的自負額，也可以不是，但最低自負額一

第 77 頁，共 114頁

定得大於 OP。同一 OP 代表同樣的α參數值，因為觀察到的

損失案件都一致，所以從損失頻率的角度觀之，相同的α應該

是同一個 OP；但同一個 OP 雖然其損失件數的統計是一樣，

不過損失頻率是否一樣，必須是同一 OP 同時是同樣的低自負

額時，其低自負額以上的損失頻率、件數才會是一樣的，因為

這時候所談的損失件數、頻率才是同一件事，指超過低自負額

以上所有損失件數的損失都得計算進去，所以只要 OP、低自

負額都相同，不管承保限額是多少，損失頻率、件數都是一樣

的，如同剛剛所談的，承保限額內或上的損失都得將所有低自

負額以上的件數計算進去。當然，如果 OP 不同或低自負額不

同，那麼承保限額內的損失內容是不同的。

第 78 頁，共 114頁

表 3-6 承保及損失狀況分析表

損失原因 損失金額 損失組距 Deb= 200,000 Deb= 600,000 Deb= 1,000,000 De d20萬: ln(x/op) Ded 60萬: ln(x/op)

Ded 100萬:ln(x/op)

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 160,000 10萬-20萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 130,000 10萬-20萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 670,000 60萬-100萬 3.36 1.12 0.00 1.21 0.11 0.00

火、天災 180,000 10萬-20萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 250,000 20萬-60萬 1.25 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00

火、天災 250,000 20萬-60萬 1.26 0.00 0.00 0.23 0.00 0.00

火、天災 60,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 3,010,000 100萬-500萬 15.06 5.02 3.01 2.71 1.61 1.10

火、天災 2,710,000 100萬-500萬 13.56 4.52 2.71 2.61 1.51 1.00

火、天災 160,000 10萬-20萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 140,000 10萬-20萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 580,000 20萬-60萬 2.92 0.00 0.00 1.07 0.00 0.00

火、天災 500,000 20萬-60萬 2.48 0.00 0.00 0.91 0.00 0.00

火、天災 20,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 1,570,000 100萬-500萬 7.84 2.61 1.57 2.06 0.96 0.45

火、天災 20,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 20,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 300,000 20萬-60萬 1.50 0.00 0.00 0.41 0.00 0.00

火、天災 340,000 20萬-60萬 1.70 0.00 0.00 0.53 0.00 0.00

火、天災 600,000 20萬-60萬 3.00 0.00 0.00 1.10 0.00 0.00

火、天災 1,010,000 100萬-500萬 5.03 1.68 1.01 1.62 0.52 0.01

火、天災 1,050,000 100萬-500萬 5.25 1.75 1.05 1.66 0.56 0.05

火、天災 3,300,000 100萬-500萬 16.48 5.49 3.30 2.80 1.70 1.19

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 50,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 100,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

AAA 公司 1999—2003 年天災損失分析 Loss Profile 表

1 2 3 4 5 6 7 8 9

第 79 頁，共 114頁

火、天災 270,000 20萬-60萬 1.33 0.00 0.00 0.28 0.00 0.00

火、天災 440,000 20萬-60萬 2.21 0.00 0.00 0.79 0.00 0.00

火、天災 610,000 60萬-100萬 3.07 1.02 0.00 1.12 0.02 0.00

火、天災 860,000 60萬-100萬 4.32 1.44 0.00 1.46 0.36 0.00

火、天災 1,100,000 100萬-500萬 5.50 1.83 1.10 1.70 0.61 0.10

火、天災 2,620,000 100萬-500萬 13.09 4.36 2.62 2.57 1.47 0.96

火、天災 2,810,000 100萬-500萬 14.03 4.68 2.81 2.64 1.54 1.03

火、天災 300,000 20萬-60萬 1.51 0.00 0.00 0.41 0.00 0.00

火、天災 440,000 20萬-60萬 2.22 0.00 0.00 0.80 0.00 0.00

火、天災 20,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 600,000 20萬-60萬 3.00 0.00 0.00 1.10 0.00 0.00

火、天災 730,000 60萬-100萬 3.67 1.22 0.00 1.30 0.20 0.00

火、天災 20,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 20,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 210,000 20萬-60萬 1.04 0.00 0.00 0.04 0.00 0.00

火、天災 240,000 20萬-60萬 1.21 0.00 0.00 0.19 0.00 0.00

火、天災 300,000 20萬-60萬 1.51 0.00 0.00 0.41 0.00 0.00

火、天災 300,000 20萬-60萬 1.52 0.00 0.00 0.42 0.00 0.00

火、天災 320,000 20萬-60萬 1.61 0.00 0.00 0.47 0.00 0.00

火、天災 400,000 20萬-60萬 1.98 0.00 0.00 0.68 0.00 0.00

火、天災 630,000 60萬-100萬 3.17 1.06 0.00 1.15 0.06 0.00

火、天災 840,000 60萬-100萬 4.21 1.40 0.00 1.44 0.34 0.00

火、天災 1,000,000 100萬-500萬 5.00 1.67 1.00 1.61 0.51 0.00

火、天災 1,300,000 100萬-500萬 6.50 2.17 1.30 1.87 0.77 0.26

火、天災 1,530,000 100萬-500萬 7.66 2.55 1.53 2.04 0.94 0.43

火、天災 1,700,000 100萬-500萬 8.50 2.83 1.70 2.14 1.04 0.53

火、天災 2,220,000 100萬-500萬 11.09 3.70 2.22 2.41 1.31 0.80

火、天災 10,960,000 1000萬-1200萬 54.78 18.26 10.96 4.00 2.90 2.39

火、天災 1,740,000 100萬-500萬 8.69 2.90 1.74 2.16 1.06 0.55

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 20,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 20,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 800,000 60萬-100萬 4.00 1.33 0.00 1.39 0.29 0.00

火、天災 940,000 60萬-100萬 4.72 1.57 0.00 1.55 0.45 0.00

火、天災 1,520,000 100萬-500萬 7.59 2.53 1.52 2.03 0.93 0.42

火、天災 2,200,000 100萬-500萬 11.00 3.67 2.20 2.40 1.30 0.79

火、天災 5,270,000 500萬-750萬 26.36 8.79 5.27 3.27 2.17 1.66

火、天災 7,200,000 500萬-750萬 36.00 12.00 7.20 3.58 2.48 1.97

火、天災 40,680,000 2000萬以上 203.39 67.80 40.68 5.32 4.22 3.71

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 390,000 20萬-60萬 1.96 0.00 0.00 0.67 0.00 0.00

火、天災 600,000 20萬-60萬 2.99 0.00 0.00 1.10 0.00 0.00

火、天災 1,000,000 60萬-100萬 5.00 1.67 0.00 1.61 0.51 0.00

火、天災 99,900,000 2000萬以上 499.50 166.50 99.90 6.21 5.11 4.60

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

第 80 頁，共 114頁

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 150,000 10萬-20萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 240,000 20萬-60萬 1.19 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00

火、天災 1,160,000 100萬-500萬 5.81 1.94 1.16 1.76 0.66 0.15

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 740,000 60萬-100萬 3.71 1.24 0.00 1.31 0.21 0.00

火、天災 1,790,000 100萬-500萬 8.96 2.99 1.79 2.19 1.09 0.58

火、天災 390,000 20萬-60萬 1.95 0.00 0.00 0.67 0.00 0.00

火、天災 590,000 20萬-60萬 2.94 0.00 0.00 1.08 0.00 0.00

火、天災 20,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 7,300,000 500萬-750萬 36.50 12.17 7.30 3.60 2.50 1.99

火、天災 10,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 60,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 120,000 10萬-20萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 250,000 20萬-60萬 1.25 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00

火、天災 860,000 60萬-100萬 4.29 1.43 0.00 1.46 0.36 0.00

火、天災 3,850,000 100萬-500萬 19.25 6.42 3.85 2.96 1.86 1.35

火、天災 10,200,000 1000萬-1200萬 51.00 17.00 10.20 3.93 2.83 2.32

火、天災 15,250,000 1500萬-2000萬 76.27 25.42 15.25 4.33 3.24 2.72

火、天災 20,630,000 2000萬以上 103.15 34.38 20.63 4.64 3.54 3.03

火、天災 31,480,000 2000萬以上 157.41 52.47 31.48 5.06 3.96 3.45

火、天災 35,050,000 2000萬以上 175.26 58.42 35.05 5.17 4.07 3.56

火、天災 44,650,000 2000萬以上 223.25 74.42 44.65 5.41 4.31 3.80

火、天災 30,000 0-10萬 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

火、天災 1,510,000 100萬-500萬 7.55 2.52 1.51 2.02 0.92 0.41

損失原因 損失金額 損失組距 Deb=200,000 Deb=600,000 Deb=1,000,000 Ded200000 :ln(x/op) Ded600000 :ln(x/op) Ded1000000:ln(x/op)

Value 68.00 44.00 33.00 129.46 67.14 47.36

0.53 0.66 0.70

損失原因 損失金額 損失組距 Deb= 200,000 Deb= 600,000 Deb= 1,000,000 De d20萬: ln(x/op) Ded 60萬: ln(x/op)Ded 100萬

:ln(x/op)

α

1 2 3 4 5 6 7 8 9

第 81 頁，共 114頁

相同的α則其損失頻率是一樣的，如下表 3-7 的 1、2、8

、9 欄所對應的數字，而且同一個業務如果索取的自負額越

高，其α曲線越彎曲所以參數越大。當然低自負額如果不

同，即使α及 OP 是一致的，但損失頻率會是指低自負額

以上的所有損失件數，所以是不同的；另從損失幅度的角

度觀之，OP 或α相不相同只是代表不同的分配模式，我們

要的是承保價值 Cover Value 為何？所以，不同的自負額

以及不同的承保限額代表不同的 Cover Value 及其損失幅

度（損失幅度＝cover limit × cover value）。同一自負額情

況下，Cover Limit 越大其 Cover Value 越小， 因為曲線是

向左上角內彎曲的，所以承保限額越大時其彎曲部分的角

度向左上內彎曲越大，所以 Cover Value 越小。最後，如

果我們將所得到之損失幅度再乘上之前所得到的損失頻率

的件數便會等於危險保費（Risk Premium）如第 10 欄。

表 3-7 保險報價費率釐算表（火災、天災部份）

Data: X 公司保險報價費率釐算表（火災、天災部分）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 O PDeductible Cover Limit

(Deductible+Cover)

/DeductibleCover Value 預期損失幅度 損失件數.

預期損失頻率Ri sk premium

2 200,000 200,000 0.53 200,000 2.00 0.8208 164,151.0 68.00 1 11,162,268

3 200,000 200,000 0.53 600,000 4.00 0.65 392,241.0 68.00 1 26,672,388

4 200,000 200,000 0.53 1,000,000 6.00 0.56 564,890.0 68.00 1 38,412,520

5 1,000,000 1,000,000 0.70 1,000,000 2.00 0.75 765,592.0 33.00 1 25,264,536

6 1,000,000 1,000,000 0.70 5,000,000 6.00 0.47 2,331,874.0 33.00 1 76,951,842

7 1,000,000 1,000,000 0.70 10,000,000 11.00 0.34 3,428,004.0 33.00 1 113,124,132

8 200,000 1,000,000 0.53 1,000,000 2.00 0.82 820754.00 29.2 68*(1-0.571) 23,966,016

9 200,000 1,000,000 0.53 5,000,000 6.00 0.56 2824448.00 29.2 68*(1-0.571) 8,247,388

10 200,000 1,000,000 0.53 10,000,000 11.00 0.45 4468159.00 29.2 68*(1-0.571) 130,470,242

α

我們用一既有的軟體如下圖(註 30)來驗證，我們設定 OP 是

20 萬，自負額是 100 萬，承保限額是 1000 萬，也就是說

我們要找 OP20 萬以上的損失資料，我們得到的α是

(註 30) SITC 資料

第 82 頁，共 114頁

0.525，我們想瞭解如果自負額 100 萬，那麼承保限額

1000 萬（1000 Xs 100 萬）的危險保費是多少？我們發現

損失件數是 29.19 件，損失幅度是 4,468,159，所以危險保

費是 130,432,137，這和我們上表第 10 列及第 8、10 欄的

結果是一致的，與實際的經驗值是危險保費為 125,630,000

甚為接近，略有差別主要是因為α的小數點關係，否則是

一致的。從柏拉圖公式算出來和實際經驗值的危險保費

125,630,000 的差異值為 3.8%，至於軟體本身所找到的一

個最適合趨勢模型（Best Fit）的保費是 125,630,000，比

較接近實際結果，我們則可以另外做任何可能調整的選擇

（Your Choice），如圖最右欄所示。

Showed Graphic Range Experience ML-Estimate Best-Fit in layer Your Choice from: 1,000,000 OP: 200,000 200,000 1,000,000 200,000 to: 10,000,000 alpha: 0.525 0.662 0.710

EL (in layer) 3,695,000 4,468,159 3,695,000 3,463,758 Current Layer: Freq. (layer): 34.00 29.19 34.00 21.69 Cover: 10,000,000 Risk-Premiu 125,630,000 130,432,137 125,630,000 75,125,573 Deduct 1,000,000 Exit: 11,000,000

Loss-Statistic (as if!) OP: 200,000 Period: 1

Nr. Loss-Amount1 10,0002 160,0003 130,0004 670,0005 180,0006 250,0007 250,0008 60,0009 3,010,000

10 2,710,00011 160,00012 140,00013 580,00014 500,00015 20,00016 1,570,00017 20,00018 10,00019 10,00020 20,00021 300,000

ML-Estimate for alpha

0%

25%

50%

75%

100%

1000000 3000000 5000000 7000000 9000000Loss amount

Refresh Graphics

1000000 3000000 5000000 7000000 9000000147101316192225283134374043464952555861646770737679828588919497100

Num

ber o

f los

ses

Loss amount experience

"Best-Fit-alpha" for current layer

0%

25%

50%

75%

100%

1000000 3000000 5000000 7000000 9000000Loss amount

Your Choice

0%

25%

50%

75%

100%

1000000 3000000 5000000 7000000 9000000

Loss amount

第 83 頁，共 114頁

相信這樣子的解說柏拉圖法應該夠清楚了，柏拉圖法的優

點是只要一些參數值並不需要太多的特別資訊就可以很容

易算出及查到不同層（Layer）的危險保費，尤其是既有的

軟體。但其缺點是不同參數和 OP 的選擇會有相當不一樣

的結果，所以還是會有一些理論上的陷阱，譬如剛剛的案

例，實際和公式算出的結果兩者相差 3.8%，頻率和幅度皆

有一些落差，孰是孰非？我們需要更多不同方式的估計、

推論。

第四節、結論

有關費率的釐定方法在這一章我們做了很多的報告，我們也提

及費率釐定的方法包括一些基本的假設：譬如機率發生均等的理

論，同時以客觀實驗觀察的大數法則及主觀信心程度的推測檢定所

形成的一些定理等，所以費率釐定的基本理念應該是長期、大數、

發生機率均等並以過去歷史紀錄的資料去主觀的推測估計，因此結

論是費率本身的水準高、低、多、寡理論上應該是數年內可以回收

的（Pay Back）結果，外加一些應有的預期利潤，這是再保人的期

待，也是保險公司對再保費率應有的基本理念。那麼在這樣的理念

下，如何有效、合理的去運用不同的費率釐定方法是我們所追求的

最終目的，各種方法都有他的優、缺點，一般而言，比較底層的部

分因為過去的損失記錄較為完整，而且量大合乎大數法則，所以通

常用賠款成本法，至於超額賠款再保險上層的費率，因為個別的資

料有時較為欠缺但有有其獨特性，所以一般再保險人皆同時利用柏

拉圖法及危險分析法，然後再從中做一個自行的判斷和選擇（Your

Choice），這就是費率釐定的辦法。當然，有時候還是得靠再保、

核保人的經驗和常識，方法究竟只是一個工具罷了，如果再加上市

場的競爭，就像保險的核保人和他們部分的主管般，會失去理性和

第 84 頁，共 114頁

專業，反正不一定會出險，統計歸統計；不過經過 911 事件的衝

擊，加上現在企業追求的是有效能的附加價值和公司市場的實際價

值，相信能讓一些專業的再保人和保險人比較理性、比較專業的去

經營這麼特殊的領域。