cd u2 ea_canf

Límites y continuidad. Una Límites y continuidad. Una introducción teórico-gráficaintroducción teórico-gráfica

Carlos Alberto Navarro FuentesCarlos Alberto Navarro Fuentes

AL11503788AL11503788

CD_U2_EA_CANFCD_U2_EA_CANF

Cálculo Diferencial.Unidad 2Cálculo Diferencial.Unidad 2

Prof. Óscar René Cavazos RamosProf. Óscar René Cavazos Ramos

ESAD. Licenciatura en MatemáticasESAD. Licenciatura en Matemáticas

Presentación de la UnidadPresentación de la Unidad

El concepto de límite y continuidad son la base para iniciar el El concepto de límite y continuidad son la base para iniciar el estudio de la derivada, que de hecho, es un límite.estudio de la derivada, que de hecho, es un límite.

Iniciaremos con la definición intuitiva de límite, apoyándonos Iniciaremos con la definición intuitiva de límite, apoyándonos en la gráfica para mostrar lo que sucede con el límite de una en la gráfica para mostrar lo que sucede con el límite de una función.función.

A través del concepto de límite, podremos comprender mejor el A través del concepto de límite, podremos comprender mejor el concepto de continuidad, permitiéndonos identificar qué concepto de continuidad, permitiéndonos identificar qué situaciones de la vida cotidiana se pueden representar por medio situaciones de la vida cotidiana se pueden representar por medio de una función continua.de una función continua.

Objetivos de la unidadObjetivos de la unidad

a)a) Identificarás el concepto de límite, de Identificarás el concepto de límite, de forma gráfica y numérica.forma gráfica y numérica.

b)b) Aplicarás las propiedades de los límites Aplicarás las propiedades de los límites para calcular los límites de las funciones para calcular los límites de las funciones dadas.dadas.

c)c) Aplicarás el concepto de continuidad en Aplicarás el concepto de continuidad en situaciones de la vida cotidiana.situaciones de la vida cotidiana.

Competencia específicaCompetencia específica

Aplicarás el procedimiento de límite y Aplicarás el procedimiento de límite y continuidad para determinarlos en una continuidad para determinarlos en una función por medio de la expresión general función por medio de la expresión general de la misma o de su representación gráfica.de la misma o de su representación gráfica.

Definición intuitiva de límiteDefinición intuitiva de límite

Si deseas calcular el límite de una función Si deseas calcular el límite de una función

ƒƒ(x)= x(x)= x22, tienes que analizar los puntos que hay a su , tienes que analizar los puntos que hay a su alrededor, tanto del lado izquierdo como del lado alrededor, tanto del lado izquierdo como del lado derecho del eje de las x´s. Por cada punto que tomes en derecho del eje de las x´s. Por cada punto que tomes en el eje de las el eje de las xx´s, tienes que analizar lo que sucede con la ´s, tienes que analizar lo que sucede con la gráfica, conforme te acercas al punto gráfica, conforme te acercas al punto xx11, por el lado , por el lado

izquierdo, debes analizar hacia donde se aproxima la izquierdo, debes analizar hacia donde se aproxima la gráfica, lo mismo debes hacer por el lado derecho. gráfica, lo mismo debes hacer por el lado derecho.

Ejemplo gráfico-numéricoEjemplo gráfico-numérico

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x = 2f(x)-f(x)+

x = 2 2 2 2 2 2

f(x)- 1.5 1.75 1.98 1.99999 1.9999999

f(x)+ 2.85 2.05 2.02 2.000001 2

Podemos observar, como en la medida en que los valores menores a 2 y mayores a 2, conforme se aproximan a éste por la derecha y por la izquierda respectivamente, van ciñéndose hasta casi tocarse entre sí, lo cual gráficamente parece suceder por las escalas del gráfico.

Definición intuitiva de límiteDefinición intuitiva de límite Cuando se desea determinar un límite, no Cuando se desea determinar un límite, no interesa encontrar cuánto vale la función en ese interesa encontrar cuánto vale la función en ese punjto, sino lo que sucede en su entrono. punjto, sino lo que sucede en su entrono. Para acercarte tanto del lado izquierdo como Para acercarte tanto del lado izquierdo como del lado derecho del punto evaluado, asignas del lado derecho del punto evaluado, asignas valores a x, de tal manera que te aproximes al valores a x, de tal manera que te aproximes al punto punto xx11=2, y observes el comportamiento que =2, y observes el comportamiento que

tiene las tiene las yy, a medida que te aproximes al punto , a medida que te aproximes al punto para el que para el que ƒ(x)ƒ(x), en este caso 2, no está definido., en este caso 2, no está definido.

Ejemplo gráfico-numéricoEjemplo gráfico-numéricoy

x2

1xx 11 1.991.99 1.99991.9999 1.9999991.999999

ƒƒ(x)(x) 00 0.990.99 0.99990.9999 0.9999990.999999

xx 33 2.252.25 2.00012.0001 2.00000012.0000001

ƒƒ(x)(x) 22 1.251.25 1.00011.0001 1.00000011.0000001

Definición de límite Definición de límite LímLímxxaa ƒ(x)= Lƒ(x)= L

Se dice que la función Se dice que la función ƒ tiende hacia el límite L en ƒ tiende hacia el límite L en aa, si para todo , si para todo 0 existe algún 0 existe algún 0 tal que, para 0 tal que, para todo x, con xtodo x, con xa, si |x-a|a, si |x-a|, entonces |ƒ(x)-1|, entonces |ƒ(x)-1|; o, ; o, 0 0 0 tal que, si 00 tal que, si 0 |x-a| |x-a|, entonces |ƒ(x)-L|, entonces |ƒ(x)-L|..

El concepto de límite entraña la idea de un acercamiento El concepto de límite entraña la idea de un acercamiento cada vez mayor, “ilimitado”, entre 2 magnitudes. Como cada vez mayor, “ilimitado”, entre 2 magnitudes. Como ejemplo, una fábula.ejemplo, una fábula.

El límite como noción. Fábula.El límite como noción. Fábula.

Supongamos una pequeña rana que quiere llegar a un Supongamos una pequeña rana que quiere llegar a un punto que está a una distancia de un metro de donde ella punto que está a una distancia de un metro de donde ella se encuentra. En el primer salto recorre medio metro, en se encuentra. En el primer salto recorre medio metro, en el segundo, un cuarto de metro, y así sucesivamente, en el segundo, un cuarto de metro, y así sucesivamente, en cada salto recorre la cada salto recorre la mitad de la distancia que le falta mitad de la distancia que le falta para llegar a la metapara llegar a la meta. .

0.5m 0.125m 0.25m

El límite como noción. Fábula.El límite como noción. Fábula.

¿Llegará nuestra rana a la meta?¿Llegará nuestra rana a la meta?

Evidentemente no, porque nunca saltará lo Evidentemente no, porque nunca saltará lo suficiente para llegar. Sólo saltará la mitad de lo suficiente para llegar. Sólo saltará la mitad de lo le falta, y simepre le faltará un pedacito. Los le falta, y simepre le faltará un pedacito. Los saltos de la rana y la distancia recorrida son: saltos de la rana y la distancia recorrida son: 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 7.8125*0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 7.8125*10-310-3 ... ...

Definición de límiteDefinición de límite

Esto significa que “cualquiera que sea Esto significa que “cualquiera que sea mayor mayor que cero, existe un que cero, existe un mayor que cero, tal que si mayor que cero, tal que si la distancia entre la distancia entre xx y y aa es menor que es menor que , entonces , entonces la distancia entre la distancia entre (x)(x) y L es menor que y L es menor que ”.”.

Antes de probar que el límite de una función Antes de probar que el límite de una función existe, debes sutituir todos los términos en esta existe, debes sutituir todos los términos en esta definición. Veamos un ejemplo.definición. Veamos un ejemplo.

Ejemplo en la DefiniciónEjemplo en la Definición

LímLímxx22 ƒ(x)= xƒ(x)= x22 –4 –4

-------- = 4-------- = 4

x – 2x – 2

Se lee: la función Se lee: la función xx22 –4/ x – 2 = 4 tiende hacia 4 en 2, si –4/ x – 2 = 4 tiende hacia 4 en 2, si para todo para todo 0 existe algún 0 existe algún 0 tal que, para todo x, 0 tal que, para todo x, con xcon x2, si |x-2|2, si |x-2|, entonces |(, entonces |(xx22 –4/x – 2) - 4 –4/x – 2) - 4||

Pasos para definir y demostrar un límitePasos para definir y demostrar un límite

A partir del ejemplo anterior.A partir del ejemplo anterior.

Paso 1. Factorizar el numerador.Paso 1. Factorizar el numerador.

((x-2) (x-2)x-2) (x-2)

---------------- – 4 ---------------- – 4 x-2x-2

Pasos para definir y demostrar un Pasos para definir y demostrar un límitelímite

Paso 2. Reduce términos.Paso 2. Reduce términos.

((x+2) – 4 x+2) – 4


Paso 3.Paso 3.

Tienes que Tienes que ||x – 2x – 2|| , esto indica que , esto indica que == porque porque en la definición se tiene que |en la definición se tiene que |x – 2x – 2|| y para que y para que esto suceda esto suceda ==. .


Entonces, para cada Entonces, para cada 0, puedo tomar 0, puedo tomar ==, por lo , por lo tanto, la función tanto, la función xx22 –4/x – 2 tiende hacia 4 en 2, –4/x – 2 tiende hacia 4 en 2, cumpliendo así con todas las condiciones de la cumpliendo así con todas las condiciones de la definición.definición.

Es importante recordar que nos interesa, no lo que sucede Es importante recordar que nos interesa, no lo que sucede exactamente en x=2, sino en su entorno, es decir, cuando exactamente en x=2, sino en su entorno, es decir, cuando te acercas a 2, por la izquierda y por la derecha, por esta te acercas a 2, por la izquierda y por la derecha, por esta razón en la definición de límite se tiene: si |x – 2|razón en la definición de límite se tiene: si |x – 2| y y esto se traduce en lo siguiente:esto se traduce en lo siguiente:


Se sabe que: Se sabe que: aa=a si a=a si a>0 y >0 y aa=-a si a=-a si a<0<0

Entonces Entonces |x – 2||x – 2| tiene dos opciones: que sea mayor tiene dos opciones: que sea mayor o menor que cero. Si es mayor que cero, se tiene que x-o menor que cero. Si es mayor que cero, se tiene que x-2< 2< ; pero si es menor que cero, sería –(x-2)< ; pero si es menor que cero, sería –(x-2)< ; al ; al multiplicar por –1 la desigualdad se invierte, x-2> multiplicar por –1 la desigualdad se invierte, x-2> , por , por lo tanto - lo tanto - <x-2< <x-2< . .

Demostración gráfica de la existencia del Demostración gráfica de la existencia del límitelímite

-2 -1

2

4

5

4 -

4 +

1 2 3 2 - 2 +

(2, 4)

Se observa el papel que juega y si te das cuenta.

Ejemplo de la Demostración de un límiteEjemplo de la Demostración de un límiteDemuestra que LímDemuestra que Límxx33 xx22= 9= 9

Solución. Sea Solución. Sea un número cualquiera, pero ya predefinido. un número cualquiera, pero ya predefinido. Debemos encontrar un número Debemos encontrar un número 0 tal que0 tal que

|(x|(x22 –9) | –9) | , siempre que 0 < |x-3| < , siempre que 0 < |x-3| < , entonces se tiene que , entonces se tiene que cumplir quecumplir que

|x + 3 | o |x - 3 | |x + 3 | o |x - 3 | , siempre que 0 < |x-3| < , siempre que 0 < |x-3| <

De manera que |(xDe manera que |(x22 –9) |= |x + 3 | * |x - 3 | –9) |= |x + 3 | * |x - 3 | C * C * /7 = /7 = . Así queda . Así queda demostrado que demostrado que LímLímxx33 xx22= 9= 9

(C= una constante con valor de 7)(C= una constante con valor de 7)

Límites lateralesLímites laterales

EscribimosEscribimos

(Lím (Lím xxa-a- ƒ(x)= L) ƒ(x)= L) aaxxa) a) xxLL ,,

donde donde 0 y 0 y 00 Luego decimos que el límite izquierdo de Luego decimos que el límite izquierdo de (x), cuando x tiende a (x), cuando x tiende a aa, es igual a L, si es posible aproximar los valores de , es igual a L, si es posible aproximar los valores de (x) a L (x) a L tanto como queramos, escogiendo tanto como queramos, escogiendo xx lo bastante cerca de lo bastante cerca de aa, pero , pero menor que menor que aa. De manera análoga, si hacemos que . De manera análoga, si hacemos que x x sea mayor sea mayor que que a a obtendremos el límite por la derecha de obtendremos el límite por la derecha de (x) y cuando (x) y cuando x x tiende a tiende a a a es igual a L, entonces:es igual a L, entonces:

(Lím (Lím xxa+a+ ƒ(x)= L) ƒ(x)= L) a<xa<xa+a+) ) xxLL ,,

donde donde 0 y 0 y 00

Teorema de la existencia del límiteTeorema de la existencia del límite

Los límites laterales se utilizan frecuentemente para Los límites laterales se utilizan frecuentemente para demostrar si el límite de una función existe o no. demostrar si el límite de una función existe o no.

Sea Sea ƒ una función y sean a y L números reales.ƒ una función y sean a y L números reales.

El lEl límímxxaa ƒ(x) existe y es igual a L sí y sólo sí el lƒ(x) existe y es igual a L sí y sólo sí el límímxxa+a+

ƒ(x) y lƒ(x) y límímxxa-a- ƒ(x) existen y son iguales a L.ƒ(x) existen y son iguales a L.

Veamos algunos ejemplos.Veamos algunos ejemplos.

Teorema y ejemploTeorema y ejemploLímLímxxaa ƒ(x)= L ƒ(x)= L Lím Lím xxa+a+ ƒ(x)= L) y ƒ(x)= L) y Lím Lím xxa-a- ƒ(x)= L) ƒ(x)= L)

Determine los siguientes límites:Determine los siguientes límites:

Sea ƒ(x)= Sea ƒ(x)=

x – 1 si x <0

1 si 0 x 1

x2 si x< x <2

3 si x 2

Teorema y ejemplo gráficoTeorema y ejemplo gráficoy

x

4

2

2 4-4 -2

-2

-4

Solución al ejemploSolución al ejemplo

1)1) LímLímxx0-0- ƒ(x)= -1ƒ(x)= -1

2)2) LímLímxx0+0+ ƒ(x)= 1ƒ(x)= 1

3)3) ComoComo LímLímxx0-0- ƒ(x) ƒ(x) LímLímxx0+0+ ƒ(x), entonces se ƒ(x), entonces se

puede determinar que puede determinar que LímLímxx00 ƒ(x) no existe.ƒ(x) no existe.

4)4) LímLímxx2-2- ƒ(x)= 4ƒ(x)= 4

5)5) LímLímxx1+1+ ƒ(x)= 1ƒ(x)= 1

Reglas para el cálculo de límitesReglas para el cálculo de límitesa)a) LímLímxxaa k k= k ; b) = k ; b) LímLímxxaa x x= a= a

c) Límc) Límxxaa k kƒ(x)= k lƒ(x)= k límímxxaa ƒ(x)ƒ(x)

d) Límd) Límxxaa [ [ƒ(x) +/- ƒ(x) +/- gg(x)] = l(x)] = límímxxaa ƒ(x) +/- lƒ(x) +/- límímxxaa gg(x)(x)

e) Líme) Límxxaa ƒ(x) * ƒ(x) * gg(x) = l(x) = límímxxaa ƒ(x) * lƒ(x) * límímxxaa gg(x)(x)

f) Límf) Límxxaa ƒ(x)/ ƒ(x)/ gg(x) = l(x) = límímxxaa ƒ(x)/lƒ(x)/límímxxaa gg(x), (x), si lsi límímxxaa gg(x) (x) 0 0

g) Límg) Límxxaa [ [ƒ(x)]ƒ(x)]n n == límlímxxaa [ [ƒ(x)]ƒ(x)]n n

h) Límh) Límxxaa nnƒ(x)ƒ(x) == nnlímlímxxaa ƒ(x)ƒ(x)

Estrategias para calcular límitesEstrategias para calcular límites

LímLímxxaa xxk k == aak k ; además, para k; además, para k>0 l>0 límímxx00 xxk k == 0, mientras que 0, mientras que

llímímxx00 1/ 1/xxk k == ; ;

LímLímxx00 sgn ( sgn (x) no existe; lx) no existe; límímxx-- e ex x == 0, mientras que0, mientras que

llímímxx + + eex x == 0;0;

LímLímxxaa In In xx == In a, (a >0); lIn a, (a >0); límímxx0+0+ In In x =x = -- mientras que mientras que

llímímxx + + In In x =x = ++;;

LímLímxxaa sen sen x = sen a; límx = sen a; límxxaa cos cos x = cos a; lx = cos a; límímxx-/-/ tan x = tan x =

++; l; límímxx-/-/ tan x = -tan x = -

Ejemplos de cálculo de límitesEjemplos de cálculo de límites

Calcule los siguientes límites:Calcule los siguientes límites:

a)a) LímLímxx44 2x/(3x 2x/(3x33 – 16) = 2(4)/(3(4) – 16) = 2(4)/(3(4)33-16) = 1/22-16) = 1/22

b)b) LímLímxx-2-2 (3x (3x44 – 8)/(x – 8)/(x33 + 24) = (3(-2) + 24) = (3(-2)44-8)/((-2)-8)/((-2)33+24) =5/2+24) =5/2

c)c) LímLímxx22 (x (x33 – 2x – x + 2)/(x – 2x – x + 2)/(x22 + x - 6) ; [factorizamos] + x - 6) ; [factorizamos]

límlímxx2 2 (x – 2) (x(x – 2) (x22 – 1))/(x – 2) (x + 3); – 1))/(x – 2) (x + 3);

límlímxx2 2 (x(x22 – 1)/(x + 3) = 3/5 – 1)/(x + 3) = 3/5

DefiniciónDefinición

Sea Sea una función definida a ambos lados de una función definida a ambos lados de aa, excepto tal , excepto tal vez en el mismo vez en el mismo aa. Entonces,. Entonces,

LímLímxxaa ƒ(x)= +ƒ(x)= +

Sea Sea una función definida a ambos lados de una función definida a ambos lados de aa, excepto tal , excepto tal vez en el mismo vez en el mismo aa. Entonces,. Entonces,

LímLímxxaa ƒ(x)= -ƒ(x)= -

DefiniciónDefiniciónEn el primer caso, significa que los valores de En el primer caso, significa que los valores de (x) pueden (x) pueden hacerse grandes (tan grandes como se quiera) tomando hacerse grandes (tan grandes como se quiera) tomando xx suficientemente cerca de suficientemente cerca de aa, pero distinto de , pero distinto de aa. Para cada . Para cada número positivo número positivo M M hay un número correspondiente hay un número correspondiente , tal , tal que que (x) (x) >M siempre que >M siempre que aa. .

En el segundo caso, significa que los valores de En el segundo caso, significa que los valores de (x) pueden (x) pueden hacerse grandes en valor negativo, tomando hacerse grandes en valor negativo, tomando xx suficientemente cerca de suficientemente cerca de aa, pero distinto de , pero distinto de aa. Para cada . Para cada número negativo de número negativo de N N hay un número correspondiente hay un número correspondiente , tal , tal que que (x) (x) <N, siempre que <N, siempre que aa..

Límites de las funciones trigonométricasLímites de las funciones trigonométricas

Si c es un número real en el dominio de la función Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumple:trigonométrica indicada, se cumple:

1.1. LímLímxxcc sen x = sen c 4. Lím sen x = sen c 4. Límxxcc cot x = cot c cot x = cot c

2.2. LímLímxxcc cos x = cos c 5. Lím cos x = cos c 5. Límxxcc sec x = sec c sec x = sec c

3.3. LímLímxxcc tan x = tan c 6. Lím tan x = tan c 6. Límxxcc csc x = csc c csc x = csc c

Identidades trigonométricas básicas Identidades trigonométricas básicas para el cálculo de límitespara el cálculo de límites

1.1. sensen22x + cosx + cos22x = 1x = 12.2. tan x = sen x/cos x tan x = sen x/cos x 3.3. sec x = 1/cos xsec x = 1/cos x4.4. cot x = 1/tan x = cos x/sen x cot x = 1/tan x = cos x/sen x 5.5. csc x = 1/sen x csc x = 1/sen x 6.6. sen (sen ( sen sen cos cos + cos + cos sen sen 7.7. sen (sen (-- sen sen cos cos - cos - cos sen sen 8.8. tan (tan ( (tan (tan tan tan /(1- tan /(1- tan tan tan 9.9. tan (tan (-- (tan (tan - tan - tan /(1+ tan /(1+ tan tan tan 10.10. sen 2 sen 2 2 sen 2 sen cos cos 11.11. tan 2 tan 2 2 tan 2 tan / 1 – tan/ 1 – tan22 12.12. cos 2 cos 2 = cos = cos2 2 - sen - sen2 2 = 2 cos = 2 cos2 2 - 1= 1 – 2 sen - 1= 1 – 2 sen2 2

Límites especiales y ejemplosLímites especiales y ejemplos

a) Líma) Límxx00 sen sen // = 1 b) Lím = 1 b) Lím 0 0 1 – cos 1 – cos // = 0 = 0

a)a) Lím Lím 0 0 sen 4sen 4//, multiplicamos numerador y , multiplicamos numerador y

denominador por 4:denominador por 4:

Lím Lím 0 0 (sen 4(sen 4 * 4)/( * 4)/( * 4) = Lím * 4) = Lím 0 0 sen 4sen 4 / 4 / 4 = 4*1=4 = 4*1=4

b) Límb) Límxx00 1 – cos 3x/x, multiplicamos numerador y 1 – cos 3x/x, multiplicamos numerador y

denominador por 3:denominador por 3:

Lím Lím x x 0 0 (1 – cos 3x*3)/x * 3)= Lím (1 – cos 3x*3)/x * 3)= Lím x x 0 0 3 * Lím3 * Límxx00 1 – cos 1 – cos

3x/3x = 3*0=03x/3x = 3*0=0

DefiniciónDefiniciónLa recta x=a es llamada asíntota vertical de la curva La recta x=a es llamada asíntota vertical de la curva y=y=ƒ(x) si por lo menos una de las siguientes afirmaciones ƒ(x) si por lo menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera : es verdadera :

LímLímxxaa ƒ(x)= +ƒ(x)= + LímLímxxa-a- ƒ(x)= +ƒ(x)= + LímLímxxa+a+ ƒ(x)= +ƒ(x)= +

LímLímxxaa ƒ(x)= -ƒ(x)= - LímLímxxa-a- ƒ(x)= -ƒ(x)= - LímLímxxa+a+ ƒ(x)= -ƒ(x)= -

Definición intuitiva de ContinuidadDefinición intuitiva de Continuidad

Continuidad, intuitivamente podemos definirla como unaContinuidad, intuitivamente podemos definirla como una función que se considera continua si se puede trazar su función que se considera continua si se puede trazar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo, no gráfica sin levantar el lápiz del papel. Sin embargo, no siempre sabemos cómo trazar la gráfica de una función siempre sabemos cómo trazar la gráfica de una función dada a través de una expresión analítica. Es por eso que dada a través de una expresión analítica. Es por eso que necesitamos una definición que nos permita estudiar si necesitamos una definición que nos permita estudiar si una función es continua o no a partir de la expresión que una función es continua o no a partir de la expresión que la define. la define.

Definición de ContinuidadDefinición de ContinuidadSea y= una función definida en una vecindad de x=a. Se Sea y= una función definida en una vecindad de x=a. Se

dice que esa función es continua en x=a si se cumple dice que esa función es continua en x=a si se cumple que:que:

a.a. Está definida Está definida ƒ(x)ƒ(x) b.b. Existe lím Existe lím xxaa ƒ(x)ƒ(x)

c. c. LímLímxxaa ƒ(x)ƒ(x) = = ƒ(ƒ(aa))

Si falla alguna de las tres condiciones se dice que y= Si falla alguna de las tres condiciones se dice que y= ƒ(x)ƒ(x)

no es continua en x=a.no es continua en x=a.

Definición de ContinuidadDefinición de ContinuidadSea y=ƒ(x) una función definida en el intervalo (a.b). Se Sea y=ƒ(x) una función definida en el intervalo (a.b). Se

dice que esa función es continua en el intervalo (a,b) si dice que esa función es continua en el intervalo (a,b) si es continua en cada punto de ese intervalo. es continua en cada punto de ese intervalo.

Se dice que Se dice que ƒƒ es continua en x=a por la derecha (por la es continua en x=a por la derecha (por la izquierda) si: izquierda) si:

a)a) ƒ(ƒ(aa)) e está definidastá definidab)b) Existe lím Existe lím xxa+a+ ƒ(x) = ƒ(x) = ƒ(ƒ(aa)), (lím, (límxxa-a- ƒ(x) = ƒ(x) = ƒ(ƒ(aa))))

Se considera que f es continua en el intervalo cerrado [c,d] Se considera que f es continua en el intervalo cerrado [c,d] si lo es en el intervalo abierto (c,d), así como por la si lo es en el intervalo abierto (c,d), así como por la derecha en x=c y por la izquierda en x=d. derecha en x=c y por la izquierda en x=d.

Propiedades de las funciones continuasPropiedades de las funciones continuas

Si las funciones f y g son continuas en x=a, entonces las Si las funciones f y g son continuas en x=a, entonces las funcionesfunciones ff +/- +/- gg, , ff * * gg, , ff//gg (si (si gg (a) (a) 0) y k 0) y kff (k (k ) también lo son ) también lo son en x=a. Si g es continua en x=a y en x=a. Si g es continua en x=a y ff lo es en x=c=g(a), lo es en x=c=g(a), entonces entonces f f gg lo es en x=a. lo es en x=a. Si Si ff es continua en el intervalo cerrado [c,d] y b es es continua en el intervalo cerrado [c,d] y b es cualquier número entre cualquier número entre ff (c) y (c) y ff (d), entonces existe un (d), entonces existe un valor Xvalor X

00 que pertenece al intervalo [c,d], tal que que pertenece al intervalo [c,d], tal que

ff(x(x11) =b.) =b.

Ejemplos De Funciones Continuas Ejemplos De Funciones Continuas y Discontinuasy Discontinuas

Encuentra el lím Encuentra el lím xx x) de la función:x) de la función:

x) = x) =

Dado que la función está formada por dos partes, se Dado que la función está formada por dos partes, se calcularán los límites laterales en 1. calcularán los límites laterales en 1.

4 – x2 si x

2 + x2 si x>2

Ejemplos de Funciones Ejemplos de Funciones Continuas y DiscontinuasContinuas y Discontinuas

lím lím xx x) = x) = lím lím xx (2 + x(2 + x22))

= 2+1= 2+1

= 3= 3

lím lím xx- - x) = x) = lím lím xx- - (4 - x(4 - x22))

= 4-1= 4-1

= 3= 3

Dado que el lím Dado que el lím xx x) = x) = lím lím xx- - x), esto hace que se x), esto hace que se

cumplan las condiciones del teorema del límite, se tiene que cumplan las condiciones del teorema del límite, se tiene que

lím lím xx x) = 3x) = 3


Encuentra el lím Encuentra el lím xx3- 3- x) de la función:x) de la función:

x) = x) =

Para resolver este ejemplo primero hay que encontrar los Para resolver este ejemplo primero hay que encontrar los límites de la función en x= -3.límites de la función en x= -3.

x + 5

x2


lím lím xx-3-3

x) = x) = lím lím xx-3-3 9 - x9 - x22

= = 9 –(-3) 9 –(-3)22

= 0= 0

lím lím xx-3-3-- x) = x) = lím lím xx -3 -3

-- x + 5x + 5

= -3+5= -3+5

= 2= 2

Dado que el lím Dado que el lím xx -3 -3

x) x) lím lím xx -3 -3-- x), entonces x), entonces

lím lím xx-3 -3 x): No existe.x): No existe.

Ejemplo de límites que tienden al Ejemplo de límites que tienden al infinitoinfinito

Sea Sea ƒ(x)=1/(x–2), determine:ƒ(x)=1/(x–2), determine:

a)a) LímLímxx2+2+ ƒ(x)= ƒ(x)= LímLímxx2+2+ 1/(x–2)=1/(x–2)= ++

b)b) LímLímxx2-2- ƒ(x)= ƒ(x)= LímLímxx2-2- 1/(x–2)=1/(x–2)= - -

Por lo tanto diríamos que esta función tiene una Por lo tanto diríamos que esta función tiene una asíntota vertical en x=2.asíntota vertical en x=2.

Ejemplo gráfico de límites que Ejemplo gráfico de límites que tienden al infinitotienden al infinito

Una vez que se conocen los límites, con ayuda de la gráfica Una vez que se conocen los límites, con ayuda de la gráfica de la función es posible inferir en qué momento tiene un de la función es posible inferir en qué momento tiene un límite infinito: Ejemplo:límite infinito: Ejemplo:

ƒ(x)=1/x²ƒ(x)=1/x²

x

y

La función tiende hacia el infinito cuando x se acerca al 0 tanto La función tiende hacia el infinito cuando x se acerca al 0 tanto por la derecha como por la izquierda.por la derecha como por la izquierda.

Ejemplo numérico y gráfico de Ejemplo numérico y gráfico de límites que tienden al infinitolímites que tienden al infinito

Si Si ƒ(x) tiende a infinito positivo o negativo cuando ƒ(x) tiende a infinito positivo o negativo cuando x tiende a x tiende a c c por la derecha o por la izquierda, se por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x=c es una asíntota vertical de la dice que la recta x=c es una asíntota vertical de la gráficagráfica de de ƒ. Para entender claramente lo que son ƒ. Para entender claramente lo que son las asíntotas verticales, se analizará la gráfica de la las asíntotas verticales, se analizará la gráfica de la siguiente función: siguiente función:

Sea ƒ(x) = 1/x , encontrar su asíntota vertical.Sea ƒ(x) = 1/x , encontrar su asíntota vertical.

Ejemplo numérico y gráfico de Ejemplo numérico y gráfico de límites que tienden al infinitolímites que tienden al infinito

Observa la gráfica de Observa la gráfica de ƒ(x):ƒ(x):

x

y

0

A medida que te acercas al 0 por la derechaƒ(x) tiende al infinito positivo, esto quiere ƒ(x) tiende al infinito positivo, esto quiere decir que ƒ(x) seguirá creciendo mientras x decir que ƒ(x) seguirá creciendo mientras x se siga acercando al 0.se siga acercando al 0.

Siempre sucede que xSiempre sucede que x es decir, que es decir, que ƒ(x) ƒ(x) Nunca tocará la línea x=0. Por tanto, la Nunca tocará la línea x=0. Por tanto, la recta x=0 es una síntota vertical de la recta x=0 es una síntota vertical de la función ƒ(x).función ƒ(x).

Ejemplo numérico de límites que Ejemplo numérico de límites que tienden al infinitotienden al infinito

En el caso de que los límites tiendan hacia direcciones En el caso de que los límites tiendan hacia direcciones diferentes, al obtener diferentes, al obtener en el primer límite ya no sería en el primer límite ya no sería necesario calcular el segundo debido a que directamente se necesario calcular el segundo debido a que directamente se podría decir que el límite no existe.podría decir que el límite no existe.

Calcula lím Calcula lím xx x) en la siguiente función: x) en la siguiente función:

x)= x)=

x²-4 si x

1000/(x – 2) si x <2

Ejemplo numérico de límites que Ejemplo numérico de límites que tienden al infinitotienden al infinito

Si quieres calcular el límite de Si quieres calcular el límite de ƒ en x=2,ƒ en x=2, debes desarrollar el límite por debes desarrollar el límite por partes, entonces el límite por la derecha es: partes, entonces el límite por la derecha es:

lím lím xx22 x) = x) = lím lím xx22 xx2 2 –4 = –4 = 222 2 –4 = 0, y el límite por la izquierda es:–4 = 0, y el límite por la izquierda es:

lím lím xx2- 2- x) = x) = lím lím xx2- 2- 1000/(x - 2), el segundo miembro de la 1000/(x - 2), el segundo miembro de la

desigualdad anterior decrece infinitamente a medida que x se acerca a 2. desigualdad anterior decrece infinitamente a medida que x se acerca a 2.

Por lo cual, se puede decir que: Por lo cual, se puede decir que:

lím lím xx2- 2- 1000/(x - 2) = -1000/(x - 2) = -

Dado que los límites laterales son distintos y uno de ellos es igual a -Dado que los límites laterales son distintos y uno de ellos es igual a -

se puede concluir que el lím se puede concluir que el lím xx2 2 x). No existe. x). No existe.

Ejemplo numérico y gráfico de asíntotasEjemplo numérico y gráfico de asíntotas

Por lo general, las asíntotas se presentan en funciones cuya Por lo general, las asíntotas se presentan en funciones cuya variable independiente se encuentra en el denominador, y variable independiente se encuentra en el denominador, y serán el valor que haga cero a dicho denominador. Ejemplo: serán el valor que haga cero a dicho denominador. Ejemplo:

Sea Sea ƒ(x)=x²/(x-3) encuentra sus asíntotas.ƒ(x)=x²/(x-3) encuentra sus asíntotas.

Lo que debo hacer es encontrar la gráfica de ƒ, que en este Lo que debo hacer es encontrar la gráfica de ƒ, que en este caso es:caso es:

Ejemplo numérico y gráfico de Ejemplo numérico y gráfico de asíntotasasíntotas

En la gráfica se observa que si x se acerca a 3 por la derecha ƒ(x) se dispara al infinito y si x se acreca a 3 por la izquierda, (x) se dispara al infinito negativo, entonces, la recta x=3 es una asintota vertical de ƒ(x). Esta función posee un denominador, el cual es x-3, el cual se hace 0 cuando x-3 = 0, por lo tanto, x=3. Así entonces, la recta x=3 es asíntota de ƒ(x), tal y como se dijo en la explicación de la función.

x

y

x=3


Analice la continuidad de la siguiente función para Analice la continuidad de la siguiente función para x=1.x=1.

ƒ(x) =ƒ(x) =

-(x+1)2 + 5 si x

(x-1)3 + 2 si x >2

1) La función está definida para 1) La función está definida para x=1:x=1:ƒ(x) = -(1+1)ƒ(x) = -(1+1)2 + 5 = 1

2) Calculemos el lím2) Calculemos el límxx x):x):límlímxx-- [-(x+1) [-(x+1)2 + 5] = 1 límlímxx++ [(x-1) [(x-1)3 + 2] = 2

límlímxx-- x) x) límlímxx++ x) x)


Así que no existeAsí que no existe límlímxx x), falla la segunda x), falla la segunda

condición y la función no es continua en x= 1.condición y la función no es continua en x= 1.y

x1-3

2

4

3

BibliografíaBibliografía

Apuntes del curso de Cálculo Diferencial. ESAD, Diciembre 2011.

López Saura, Irma y Wisniewski, Piotr Marian (2006), Thomson, México, 395p.

Wisniewski, Piotr Marian y Gutíerrez Banegas, Ana Laura (2003), McGraw Hill, México, 696p.

cd u2 ea_canf

Education