固体力学特論 -...
TRANSCRIPT
![Page 1: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/1.jpg)
固体力学特論
春AB 火曜日 3,4限
3B302
![Page 2: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/2.jpg)
概要
講師松田 昭博(居室:F312)
火曜日3,4限
期末試験,演習,出席
関連科目:固体力学,材料力学Ⅰ、Ⅱ(3年次)
参考図書:
Phillip L. Gould, Introduction
to linear elasticity
![Page 3: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/3.jpg)
講義の目的
固体の中に生じる力(応力)・変形(ひずみ)がテンソル量として理解できる
連続体の概念の基礎の理解
弾性体・弾塑性体の力学表記が理解できる
FEM解析など離散化解析への入り口
構造力学(はりや柱の強度評価)などの基本
荷重(ベクトル),応力(テンソル),ひずみ(テンソル),変位(ベクトル)の理解
![Page 4: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/4.jpg)
構成
ベクトル・テンソル
応力
ひずみ
場の方程式の誘導
構成式(弾性・弾塑性)
![Page 5: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/5.jpg)
固体力学の基本(テンソルの記述)添字表記(Index notation)
テンソルを添え字をつかって表すと便利である
添字は座標軸の数だけ変化するi,j=1,2,3(三次元)
変位 位置 行列
3z
2y
1x
iZYx
uu
uu
uu
uu,u,u
3
2
1
i
xz
xy
xx
xz,y,x
jiij baA
![Page 6: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/6.jpg)
総和規約(Summation Convention)
AiBiのようにひとつの式の中に同じ添字が2回表れるときには和をとることにする.
一度表れる添え字を
Free index
2度表れる添え字をDummy indexとよぶ
332211
3
1i
iiii
BABABA
BABA
332211
3
1i
iiii
AAA
AA
ijjiij
iijjjjii
babaA
CBCBa
![Page 7: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/7.jpg)
偏微分をあらわすカンマ‘,’
カンマ規約(Comma
convention)
,jは座標での偏微分をあらわす.
Ex)
j
ij,i
x
AA
Adiv
x
A
x
A
x
AA
3
3
2
2
1
1i,i
![Page 8: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/8.jpg)
便利な記号
クロネッカーのデルタ
Permutation symbol
Ex)
)ji(0
)ji(1
ij
ij
) k,j,i(-1
) k,j,i(
)k,j,i(0
ijk
ijk
ijk
の時が
の時が1
で同じ組があるとき
1
23
1
23
-1,1,0 213231221
![Page 9: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/9.jpg)
総和規約中のクロネッカーのデルタ
デルタ記号の積
Ex)
ijj33ij22ij11ikjik
ikik
3i3i2i2i1i1i
klilik
lkilik
ljlj
kiki
BA
BABABA
BA
eeBAbac
eBb
eAa
![Page 10: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/10.jpg)
直交直線座標と基底ベクトル(直交デカルト座標,Cartesian coordinate system)
332211
332211
ii
ebebeb
ebebeb
ebb
原点O
X2
e1
X1X3
e2
e3
ベクトルb
直線で伸びる座標が相互に直交する座標.座標に沿って長さ1のベクトルを直交基底ベクトルという
位置ベクトルbは座標によらないー>
テンソルといえる
・René Descartes
デカルトの:Cartesian
![Page 11: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/11.jpg)
テンソル・ベクトル・スカラー
テンソル:異なる座標系においてもその本質的な量が不変な量
スカラー:方向を持たない量(0次のテンソル)
a(飾りなどは無し)
ベクトル:幾何学的空間における、大きさと向きを持った量(1次のテンソル)
位置や速度は座標の取り方によらない
変位・速度・加速度
矢印をつける(ゴチックや太字)
ii ebb
iib eb
![Page 12: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/12.jpg)
2次のテンソル
2次のテンソル
応力・ひずみ
太字で書く
x,y,z軸とすると簡単になる
ベクトルに作用して,大きさと方向を変える
ji
333231
232221
131211
jiij
ee
AAA
AAA
AAA
eeA
A
ijkikjkji
ijij
kjikij
kkjiij
eeeeeee
ebA
eeebA
ebeeAb
A
![Page 13: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/13.jpg)
ベクトルの内積
ベクトルの内積(スカラープロダクト)
直交基底ベクトルの内積
直交しない単位ベクトルの内積はベクトルの余弦を与える
ij
jiji )cos(eeee
a
iiba
)cos(abba
b
θ
)cos(ee
![Page 14: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/14.jpg)
ベクトルの座標変換
カルテシアン座標における座標変換
)e,ecos(
x
eexeexeex
exx
jiij
jij
i33i22i11
ii
原点O
X2
e1
X3
e2
e3
ベクトルb(x1,x2,x3)
X’3
X’2
X1
X’1
ベクトルb (x’1,x’2,x’3)
位置ベクトルbはテンソル量
X座標からX’座標へ変更すると,その成分は以下のとおり
αijを成分とするする行列を回転行列という(Rotation tensor)
![Page 15: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/15.jpg)
テンソルの座標変換
応力やひずみの座標変換(2階のテンソル)
座標に関する情報を2つ持っているテンソル
3階のテンソル
座標変換が可能であるため,本質的な量は変化していない.ゆえにテンソルであるといえる.
kljlikij AA
lmnknjmilijk CC
![Page 16: 固体力学特論 - 筑波大学poly.kz.tsukuba.ac.jp/lecture/solidNo1.pdf固体力学の基本(テンソルの記述) 添字表記(Index notation) テンソルを添え字をつかって表すと便利である](https://reader030.vdocuments.net/reader030/viewer/2022041100/5ed829070fa3e705ec0df294/html5/thumbnails/16.jpg)
例題
1.次の量を求めよ.
2.異なる座標系において, であれば,bがテンソルであるという定義を用いて,
におけるベクトルvとベクトルuがテンソルである場合に,Cも2階のテンソルであることを示せ.(ヒント e’i・ e’j=δij)
3.応力の座標変換が と書けることを確認する
ijkijkijij ,
jiji bb
jiji uCv
TRσRσ
kljlikij σσ