群論入門 3lionfan/group3.pdf群論入門 3 -ラグランジュの定理・...
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群論入門 3群論入門 3
-ラグランジュの定理・バーンサイドの定理・フェルマーの小定理-
(p449-p457)
いくぞー
ふぁーい
ラグランジュの定理の直感的な証明
有限群Gの部分群をHとするとき、Gの位数 は Hの位数 で割り切れる
いよいよラグランジュの定理!まず 群マシン で、
直感的な証明をするわよ。
ゆえに
0
987
65
4 3 21
1011 8
52
117
41
10
0
9
6
3
= ++
#G #(H★2)・・・#(H★1)#(H★0) + + =
12 444 + +=
=
=
#H×r
3 × 4
r個
ある群Gから 部分群Hをつくったら 位数が等しい、r 個の異なる剰余類に分けられる。
ラグランジュの定理
1.Hの異なる元をh1,, h2,…, hn とする。
2.H★aの元は h1★a, h2★a , … , hn★a だが、これらはみな異なる。
3.ゆえに #H = # (H★a1) = # (H★a2) = … = # (H★ar)
4.群Gは部分群Hによって
G=H★a1 + H★a2 + … + H★ar
と分割されるので、
#G = #(H★a1 )+ #(H★a2)+ … +#(H★ar)
= #H × r
ゆえに #G / #H = r となって、#G は #H で割り切れる。
r個
ラグランジュの定理の正式な証明
有限群Gの部分群をHとするとき、#G は #H で割り切れる
もしhj★a,= hk★a なら、両辺に右側からa-1を
かけるとhj= hk になるが、これは「h1とh2は異なる」
という仮定に矛盾。よってhj★a,= hk★a
群Aの部分群Bの 指数 は(A:B) って書くってこと、まだ覚えてる?
Gの位数は (G:{e})Hの位数は (H:{e})
だから、ラグランジュの定理 は
(G:{e}) = (G:H) (H:{e})
って書けるの。覚えやすいでしょ?
ラグランジュの定理のおまけ その1
有限群Gの部分群をHとするとき、#G は #H で割り切れる
この r を 指数 (index)という。
群Gを部分群Hで割ったときの、剰余類の数が 指数 だから、
G / H とでも書きたいところだが、ま、 (G:H) と書いてほしい。
2章の24ページ目「指数」を参照のこと
異なる剰余類の数
(分割後の円盤数)
ラグランジュの定理のおまけ その2
#Gが素数なら、群Gは巡回群である。
1.有限群Gの単位元でない元をaとする。2.元aを生成元として、巡回群Hをつくる。
3.巡回群Hは群Gの部分群となる。
4.HはGの部分群なので、#Hはpの約数である。
5.ところがpは素数なので、約数は1かpしかない。6.a≠eなので、#H≠1。よって#H=p。7.#G=#Hなので、G=H。8.すなわち群Gはaを生成元とする巡回群である。
an★am = an+m と閉じているが、部分集合Hが有限なら、
閉じていれば部分群なので(2章6ページ目を参照のこと)
ラグランジュの定理
この定理が簡単に証明できます。
位数が素数なら巡回群だから、
群マシン1台でOKってことさ!
群マシンって本当にお得だね!
…しつこい?
バーンサイドの定理の前に「同値」について再確認
(1)反射律(a~a)(2)対象律 (a~bならb~a)(3)推移律 (a~bかつ b~cならa~c)
左の3つを満たす関係を同値関係といいます。
3つを満たす/満たさない関係は23の8通りあります。
列挙してみましょう。(少しあやしいですが…)
反射律 対称律 推移律
けっこう苦労しました... 反射律…reflex law
対称律…symmetric law
推移律…transitive law
同値関係は表にするとブロックになる
同値関係を表にすると、どうなるでしょう?
(「離散数学…」p148のおさらい)
(1)反射律(a~a)(2)対象律 (a~bならb~a)(3)推移律 (a~bかつ b~cならa~c)
(3)推移律により、「凹み」が許されません。
(2)対称律により、対角線に対称です。
(1)反射律により、対角は必ず埋まります。
A B C D E FA ∨ ∨ ∨B ∨ ∨ ∨C ∨ ∨ ∨D ∨E ∨ ∨F ∨ ∨
よって、同値関係の図はブロック状になります。
ブロックの数を「同値類の個数」
といいます。
この場合、同値類は3個です。 同値である…equivalent
同値関係 …equivalence relation
群カードで同値関係の具体例を知る
群カードの4枚、
(1)(12)(34)(12)(34)
を用意してください。
(1) (12)(34)(34)(12)
この4枚は群になってるの。有限集合で、しかも閉じてるでしょ。
(2章5ページ「部分群の判定法」参照のこと)
つまり、どの2枚の組み合わせも、どれかの1枚と同じなのね。
この群を群Cと呼ぶことにします。Card の略よ。
群カードでいえば、点xから点yに「行ける」かどうかってことだね。
「行ける」関係を定義する
(1) (12)(34)(34)(12)
群Cの場合、点1と点2、点3と点4が「行ける」関係よ。
1 2 3 41 ∨ ∨2 ∨ ∨3 ∨ ∨4 ∨ ∨
置換群Gに、「要素aを要素bに移す置換がある」場合、
元aと元bは「行ける」(関係が存在する)、と呼ぶことにします。
「行ける」関係の表よ。
点xから点xへは、もちろん「行ける」。カード(1)があるからね。だから反射律はOK!
「行ける」関係は同値関係である
(1) (12)(34)(34)(12)
(1)反射律(a~a)(2)対象律 (a~bならb~a)(3)推移律 (a~bかつ b~cならa~c)
わかったかい?「行ける」関係は
同値関係
なんだ。
点xから点yへ「行ける」なら、群Cにはかならず逆元があるから、
点yから点xへも「行ける」の。だから対称律もOK!
点xから点yへカードpで「行け」て、点yから点zへカードqで「行ける」なら、
カードpにqをくっつければ点xから点zに「行ける」でしょ?
だから推移律もOK!
群C
グループはいくつか?
この場合、「行ける」関係による同値類は2個だ。
つまり点1~点4は2つのグループに分けられる。1 2 3 4
1 ∨ ∨2 ∨ ∨3 ∨ ∨4 ∨ ∨
実はこれ、私たち4人がお互いの家に「行ける」かどうかの関係表だったの。
私たち4人は、2つのカップルなのね。
バーンサイドの定理の直感的な意味
この場合は簡単だったけど、一般に、n人が「行ける」関係で
何グループに分けられるかを調べるうまい方法がある。
各カードの横線の平均本数 が グループ数 なの。
…びっくりした? これこそバーンサイドの定理 よ!
(1) (12)(34)(34)(12)
4 2 2 0 =+++ 8
ゆえに平均は 8本/4枚 = 2(グループ数)
Burnside’s theorem
それじゃバーンサイドの定理 を出していい?
遠慮せず来たまえ
ふっ、退屈ねぇ
いらして…
かかってこーい!
バーンサイドの定理
集合S={a,b,・・・}の置換群(G,○)によって誘導される
同値関係によるSの同値類の個数は、次の式によって与えられる。
ここでψ(π)とは、置換πのもとで不変な、Sの要素の個数である。
1
GΣπ∈G
ψ(π)
…何か見た? ののの! 気のせいよ♪ そうだな
バーンサイドの定理集合S={a,b,・・・}の置換群(G,○)によって誘導される
同値関係によるSの同値類の個数は、次の式によって与えられる。
ここでψ(π)とは、置換πのもとで不変な、Sの要素の個数である。
1
GΣπ∈G
ψ(π)
バーンサイドの定理!集合S={a,b,・・・}の置換群(G,○)によって誘導される
同値関係によるSの同値類の個数は、次の式によって与えられる。
ここでψ(π)とは、置換πのもとで不変な、Sの要素の個数である。
1
GΣπ∈G
ψ(π)
うわー
怒ってる怒ってる!ちっ と゚ うしましょう? 仕方ない、
解読するか…
バーンサイドの定理 の前半
集合S={a,b,・・・}の置換群 (G,○)
によって誘導される同値関係による
Sの同値類の個数は、
集合Sとは点1~点4のこと。
置換群 (G,○)とは群C(カード4枚)のことだね。
「行ける」関係のことね。
「お互いに行けるグループ」の数。
次の式によって与えられる。
ここでψ(π)とは、置換πのもとで不変な、Sの要素の個数である。
群Cのすべての元、
つまり
すべての群カードについて
置換πで不変な点の数
つまり
真横の線の本数を 足して
1
GΣπ∈G
ψ(π)
Gの位数
つまり
カード枚数で割れ
バーンサイドの定理 の後半
解読終わり!
いよいよ証明しよう!
ある1点だけに注目したときの、横線になっているカードの枚数のことね。
バーンサイドの定理の証明 その1
Sの任意の要素sに対して、sを不変にする置換の個数をη(s)とする。
(1) (12)(34)(34)(12)
2枚
(1) (12)(34)(34)(12)
4 2 2 0 =+++ 8
2+2+2+2
=
横線はカードごとに数えても、点ごとに数えても、
結果は同じ…ってことさ。
このとき、次の等式が成り立つ。
Σπ∈G
ψ(π) Σs∈S
η(s)=
点ごとカードごと
点1から点2に行くカードが少なくとも1枚は存在するはずなの。
でないと同じグループじゃないでしょ?
バーンサイドの定理の証明 その2
Sの要素 a,b は同じ同値類とする。
このとき、aをbにうつす置換がある。
(1) (12) (34) (12)(34)
(12)
πx
そのカードの1枚をπx とする。
(34)
π1
(1)
π2
η(a) 枚
また、aを不変にする置換の集合Aを
π1 , π2 , π3, … とする。
ここで集合Aの数をη(a)とする。
バーンサイドの定理の証明 その3
このとき、集合(A○πx)の η(a) 個の置換は、すべてaをbにうつす置換である。
なぜなら、もしπx ○ π1 = πx ○ π2なら、両辺の左からπx
-1をかけるとπ1 =π2 となるが、
これはπ1 ≠π2 に矛盾するから。
これらの置換はすべて異なっている。(12)
πx
(34)
π1
(1)
π2
(12)
πx
=
=
(12)(34)
(12)
A πx
集合(A○πx)≠
η(a) = 「点1を変えないカードの枚数」
集合A = 「点1を変えないカード」
πx = 「点1から点2へのカードの1枚」
a,b は同じ同値類
バーンサイドの定理の証明 その4
また、集合(A ○ πx)以外に、aをbにうつす置換はない。
なぜなら、もし集合(A○πx )以外に、aをbにうつす置換 πy があると、πx
-1 は b をa にうつすから、πx
-1 ○ πy は aをbに移したのちに(πy の効果)、bをaにうつす(πx-1 の効果)。
つまり置換 πx-1 ○ πy は、aをaに移す。
これはπx-1 ○ πy は集合Aということである。
ゆえにπx ○(πx-1 ○ πy )=πy は、集合(A○ πx)の元になるが、
これは置換πy が(A○ πx)ではないという仮定に矛盾する。
(12)
π x
(34)
π 1
(1)
π 2
(12)
π x
=
=
(12)(34)
(12)
ゆえにaをbにうつす置換は、集合(A○ πx)だけである。
集合A = 「点1を変えないカード」
πx = 「点1から点2へのカードの1枚」
A○ πxA πx
a,b は同じ同値類
バーンサイドの定理の証明 その5
aをbにうつす置換は、集合(A○ πx)の
η(a)個の置換だけである。
Gのすべての置換は、
aをaにうつすもの
aをbにうつすもの
…
aをhにうつすもの
に分かれる。
Sのある1つの同値類に含まれる
すべての要素をa, b,…, hとする。
(12)(34) (12)
集合(A○πx)
点1と点2ね。
(1) (34) (12) (12)(34)
1を1にうつすもの 1を2にうつすもの
(1) (12) (34) (12)(34)
群G
η(a) = 「点1を変えないカードの枚数」
集合A = 「点1を変えないカード」
πx = 「点1から点2へのカードの1枚」
つまり、aをbにうつす置換はつねにη(a)個a,b は同じ同値類
バーンサイドの定理の証明 その6
ここらへんが最難関! 頑張って!
すでに、aをaにうつすもの、aをbにうつすもの…
の各クラスには、それぞれ
η(a)個の置換がある
ことがわかっているので、
η(a) = 「点1を変えないカードの枚数」
(1) (34) (12) (12)(34)
1を1にうつすもの 1を2にうつすもの
(1) (12) (34) (12)(34)
群G
η(a)個 η(a)個
|G| = aと同じグループの要素数 × η(a)
(1) (34)
{1,2}だから要素数は2
1を1にうつす
カードの枚数
(1) (12) (34) (12)(34)
群Gの枚数
= ×
これらの矢印を
逆に見るという発想
バーンサイドの定理の証明 その7
あと一息だ!
同様な論法で次がなりたつ。
η(b) = η(c) = … = η(h) =aと同じグループの要素数
|G|
η(b) = 「点2を変えないカードの枚数」
a, b,・・・h は同じグループ
(1) (12)(34)(34)(12)
2
2
2
2
同じグループに属するなら、
横線の数は同じで、
|G|
同じグループのメンバー数
ということだね!
バーンサイドの定理の証明 その8
(1) (12)(34)(34)(12)
2
2
2
2
ここの合計は
|G|になる。Σ同値類に含まれるすべてのs
η(s) = |G|
Σs∈S
η(s) = |G|
(1) (12)(34)(34)(12)
2
2
2
2
ここの合計は|G|
ここの合計も|G|
+
=
グループの数×|G|
Sの同値類
の個数×
(1) (34) (12) (12)(34)
1を1にうつすもの 1を2にうつすもの
(1) (12) (34) (12)(34)
群G
このとき、次の等式が成り立つ。
ゆえに
=Sの同値類
の個数Σ
s∈S
η(s)|G|
1=
点ごとの横線 カードごとの横線
Σπ∈G
ψ(π)
|G|
1
バーンサイドの定理の証明 その9
「その1」の等式を利用してるの!
そんなもの、とっくに忘れてるわよねぇ…。
Sの同値類
の個数
…ふぅ…やっと終わった…
Sの同値類
の個数
Sの同値類
の個数= Σ
π∈G
ψ(π)|G|
1おめでとう…疲れたね。
したがって次の等式が成り立つ。
ゆえに
バーンサイドの定理の余韻にひたる
Sの同値類
の個数
S の同値類
の個数=
Sの同値類
の個数
S の同値類
の個数=
Sの同値類
の個数
S の同値類
の個数=
暗記のために書いてみよう!3回書けば、定理は一生、君のものさ!
腕輪問題
バーンサイドの定理は、証明は大変だが、使うのはそれほど難しくない。利用してみよう!
5個の宝石を正五角形の頂点にちりばめた腕輪をつくる。宝石はダイヤ・サファイヤ・エメラルドを使える。(重複OK)
このとき、腕輪は何種類つくれるか?
回転させると同じなら「同じ」腕輪とみなす。ただ簡単のために、腕輪は裏返せないものとする。
ダ サ
エ
サ ダ
ダ
サ
エサ
ダ
=
腕輪問題を解く その1
いろんな腕輪の「状態」を集合Sにしよう。この場合、Sは35=243通りある。
置換群は、時計と逆まわりの (360/5)度回転をp とすると、
({e, p1, p2, p3, p4}, ○ ) となる。
静止eでは、どんな状態の腕輪も元どおり。よって243本の横線があるはず。あとの4枚はどうなのかしら?
群カードは5枚ってことね。1枚のカードには、点が243個あるの。
e
・・・・・・
p1
・・・・・・?
?
p2
・・・・・・?
?
p3
・・・・・・?
?
p4
・・・・・・?
?
243
腕輪問題を解く その2
p1で考えよう。頂点を1~5と名づければ、回転p1で1が2、2が3、3が4、4が5、5が1に行くから、
もし回転前と回転後が同じなら、宝石は 1=2,2=3,3=4,4=5,5=1。
つまり1=2=3=4=5…すべての頂点は同じでなくてはいけない。(これはp2~p4でも同じことだ)
つまり残りの4枚には、横線は3本あるんだ。
すべての頂点が同じとき、つまり、5つとも、ダイヤか
エメラルドかサファイヤのときだけ、回転後も変わらないのね。
e
・・・・・・
p1
・・・・・・?
?
p2
・・・・・・?
?
p3
・・・・・・?
?
p4
・・・・・・?
?
243 3 3 3 3
腕輪問題を解く その3
あとは簡単。カード1枚あたりの横線の平均本数が
同値類の数だから…。
どんな回転にも不変な、給料15ヶ月分の腕輪!
Sの同値類
の個数
Sの同値類
の個数= Σ
π∈G
ψ(π)|G|
1
e
・・・・・・
p1
・・・・・・?
?
p2
・・・・・・?
?
p3
・・・・・・?
?
p4
・・・・・・?
?
243 3 3 3 3
まーかせて。(243+3+3+3+3)÷5=51
つまり51種類の腕輪があるのね!
この51種類の腕輪のうち、いちばん君が欲しいのは?
つまり腕輪の種類は(ap+a+a+…+a)÷p
ap+(p-1)ap
p角形の腕輪に、a種類の宝石 その1
p角形の腕輪に、a種類の宝石をちりばめよう。
pが素数なら、静止以外の回転をすると、1つでも異なる宝石があるときに、回転前と違った腕輪になる。
=e
・・・・・・
p1
・・・・・・?
?
p2
・・・・・・?
?
pp
・・・・・・?
?
…
(p - 1)枚
aaaap
+
ap + (p-1)aそれがどうかしたの?
これをカード枚数pで割る
p角形の腕輪に、a種類の宝石 その2
p は ap+(p-1)a 、つまり ap - ap -a を割り切るの。この式中の ap はpで割り切れるに決まってるでしょ?
だから消去すると、a(ap-1-1) 。これをpは割り切るの。
だから、aか、(ap-1-1)のどっちかはpで割り切れるわけ。もしaがpで割り切れないなら、
(ap-1-1) が pで割り切れるしかないでしょ。
それが…どうかしたの?
腕輪の種類はn種類(nは自然数)のはずだ。だから、
ap+(p-1)ap
は、割り切れるはずだ。
ap-1をpで割ると1余るってことは、
ap-1 ≡ 1(mod p) ってことでしょ。だから…。
フェルマーの小定理
たとえば 123の456乗を7 で割った余りは?
!
これをフェルマーの小定理(Fermat’s little theorem)という。
123 は 7 で割り切れないから、1236 ≡1(mod 7)。
両辺を2乗して12312≡1(mod 7)。
両辺を3乗して12318≡1(mod 7)。
・・・つまり1236 も12312 も12318 も…
1236n はすべて7で割ると1余るの。
だから123456≡12336≡1230≡1 (mod 7)
pが素数であり、aがpで割り切れないならap-1 ≡ 1(mod p)
456 から、ロクシチ42の10倍を引いたの
九去法 その1
3章も終わり。付き合ってくれてありがとう。
最後にみんなにプレゼント!
計算ミスを見抜くすごいテクニック、
九去法 (くきょほう)を伝授するよ!
136249245312513027+
9761963
計算、計算…。ええっと…
これでよし。その計算、違ってるわ!
あ…ホントに違ってたわ。なぜわかったの?
九去法 その2
9で割った余りに注目すればいい!
計算が正しければ、
上の3行を足した数字と下の数字は同じだから、
9で割った余りも同じはずだ。
136249245312513027+
9761963
9で割った余りは簡単に求まるの。たとえば
1465=1+4+6+5=17だから、8が余るわけ。
1ケタの足し算だけでも大変じゃない?
九去法 その3
まず無条件で9を消す。次に足すと9になるペアを消す。
上は1+2+3+0=6ね。下は7+6+1=14
これを9で割ると…。 9を引いてもいいけど、14から 1 + 4 = 5 のほうがスマート。とにかく、上は6余るのに、下は5。
だから絶対、計算まちがいってわかるの。
136249245312513027+
9761963
136249245312513027+
9761963
6
5
3章の終わり
九去法は掛け算でも、割り算でも、もちろん適用が可能だ。
詳しくは中村義作「速算100のテクニック」講談社、を読んでくれ。
・・・それでは3章も終わり。お疲れさま!
まだまだ続くわよ
なごり惜しいけど…。
ひとまず、あばよっ!