CEF MATEMTICA(TC. BANCRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 1 JUROS SIMPLES Consideremos os seguintes fatos: Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo prazo de6meseserecebi,aofimdessetempo,R$24 000,00 de juros. Opreodeumateleviso,avista,R$4.000,00. Se eu comprar essa mesma televiso em 10 presta-es,voupagar porelaR$4.750,00.Portanto,vou pagar R$750,00 de juros.No1.fato,R$24000,00uma compensaoemdi-nheiroqueserecebeporemprestarumaquantiaporde-terminado tempo. No 2.fato, R$ 750,00 uma compensao em dinhei-roquesepaga quandosecomprauma mercadoriaapra-zo.Assim: Quando depositamos ou emprestamos certa quantia pordeterminadotempo,recebemosumacompen-sao em dinheiro.Quandopedimosemprestadacertaquantiaporde-terminadotempo,pagamosumacompensaoem dinheiro.Quandocompramosumamercadoriaaprazo,pa-gamos uma compensao em dinheiro. Pelasconsideraesfeitasna introduo,podemosdi-zer que : Juro uma compensao em dinheiro que se recebe ou que se paga. Nosproblemasdejurossimples,usaremosaseguinte nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomi-na-se capital. Oporcentualdenomina-setaxaerepresentaojurore-cebido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano.Operododedepsitooudeemprstimodenomina-se tempo.A compensao em dinheiro denomina-se juro.RESOLUO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES Vejamos alguns exemplos: 1.exemplo: Calcular os juros produzidos por um capi-tal de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, duran-te 5 anos. De acordo com os dados do problema, temos: 25% em1ano 125% (25 . 5) em 5 anos 125% = 100125= 1,25 Nessascondies,devemosresolveroseguintepro-blema: Calcular 125% de R$ 720 000,00.Dai: x = 125% de 720 000 =1,25. 720 000 = 900 000. Resposta: Os juros produzidos so de R$ 900.000,00 2. exemplo:ApliqueiumcapitaldeR$lo000,00a umataxade1,8%aoms,durante6meses.Quanto esse capital me render de juros? 1,8%em1ms6.1,8%=10,8%em6meses 10,8% = 1008 , 10 = 0,108 Dai:x = 0,108 . 10 000 = 1080 Resposta: Render juros de R$ 1 080,00. 3. exemplo:Tomeiemprestadacertaquantiadurante 6 meses, a uma taxa de 1,2% ao ms, e devo pagar R$ 3 600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada? De acordo com os dados do problema: 1,2% em 1 ms 6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses7,2% = 1002 , 7 = 0,072 Nessascondies,devemosresolveroseguintepro-blema: 3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x. Dai:3600 = 0,072 . x0,072x = 3 600 x = 072 , 03600 x = 50 000 Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00. 4.exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado du-rante 6 meses, rendeu juros deR$ 4 800,00. Qual foi a taxa (em %) ao ms? De acordo com os dados do problema:CEF MATEMTICA(TC. BANCRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 2 x%em 1ms (6x)% em 6 meses Devemos, ento, resolver o seguinte problema: 4 800 representam quantos % de 80 000? Dai: 4 800 = 6x . 80 000 480 000 x = 4 800 x = 000 480800 4 x = 800 448 x = 0,01 0,01 = 1001 = 1 % Resposta: A taxa foi de 1% ao ms. Resolva os problemas: -Emprestando R$ 50 000,00 taxa de 1,1% ao ms, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros?-Umapessoa aplicacerta quantiadurante2anos, taxade15%aoano,erecebeR$21000,00deju-ros. Qual foi a quantia aplicada? -Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses taxa de 18% ao ano. No final des-se tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acumulado (capital aplicado + juros)? -Um aparelho de televiso custa R$ 4 500,00. Como vou compr-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrar jurossimplesde1,6%aoms.Quantovoupagar por esse aparelho. -AquantiadeR$500000,00,aplicadadurante6 meses,rendeujurosdeR$31000,00.Qualfoia taxa (%) mensal da aplicao -UmageladeiracustaR$1000,00.Comovoucom-pra-la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobra-rajurossimplesde1,5%aoms.Quantopagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestao mensal, se todas elas so iguais. -Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O preo original do aparelho era de R$ 800,00 e os jurossimplescobradospelafirmaforamdeR$ 160,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobra-dos? Respostas R$ 4 400,00R$ 70 000,00R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00 R$ 5 220,00 1,1% R$ 1 075,00 e R$ 215,00 R$ 109 600,00 2,5% JUROS COMPOSTOS 1. IntroduoOdinheiroeotemposodoisfatoresquese encontram estreitamente ligados com a vida das pessoas e dos negcios. Quando so gerados excedentes de fundos, aspessoasouasempresas,aplicam-noafimdeganhar juros que aumentem o capital original disponvel; em outras ocasies, pelo contrrio, tem-se a necessidade de recursos financeirosduranteumperodo detempoedeve-sepagar juros pelo seu uso. Em perodo de curto-prazo utiliza-se, geralmente, como j se viu, os juros simples. J em perodos de longo-prazo, utiliza-se, quase que exclusivamente, os juros compostos. 2. Conceitos Bsicos Noregimedosjurossimples,ocapitalinicialsobreo qualcalculam-seosjuros,permanecesemvariao algumadurantetodootempoqueduraaoperao.No regime dos juros compostos, por sua vez, os juros que vo sendo gerados, vo sendo acrescentados ao capital inicial, emperodosdeterminadose,queporsuavez,irogerar um novo juro adicional para o perodo seguinte. Diz-se, ento, que os juros capitalizam-se e que se est na presena de uma operao de juros compostos. Nestas operaes, o capital no constante atravs do tempo;pois aumentaaofinal decadaperodopelaadio dos juros ganhos de acordo com a taxa acordada. Esta diferena pode ser observada atravs do seguinte exemplo: Exemplo 1: Suponha um capital inicial de R$ 1.000,00 aplicado taxa de 30.0 % a.a. por um perodo de 3 anos a jurossimplesecompostos.Qualserototaldejurosao final dos 3 anos sob cada um dos rearmes de juros? Pelo regime de juros simples: J = c . i . t = R$ 1.000,00 (0,3) (3) = R$ 900,00 Pelo regime de juros compostos: ( )J C ion= +

((1 1 = ( ) | | 00 , 197 . 1 $ 1 3 , 1 00 , 000 . 1 $3R R J = =Demonstrando agora, em detalhes, o que se passou com os clculos, temos: Ano Juros simplesJuros Compostos 1R$ 1.000,00(0,3)=R$ 300,00R$ 1.000,00(0,3)=R$ 300,002R$ 1.000,00(0,3)=R$ 300,00R$ 1.300,00(0,3)=R$ 390,00 CEF MATEMTICA(TC. BANCRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 3 3R$ 1.000,00(0,3)=R$ 300,00 R$ 1.690,00(0,3)=R$ 507,00 R$ 900,00R$1.197,00 Vamos dar outro exemplo de juros compostos: Suponhamos que voc coloque na poupana R$ 100,00 e os juros so de 10% ao ms. Decorridooprimeiro msvocteremsuapoupana: 100,00 + 10,00 = 110,00 No segundo ms voc ter:110,00 + 11,00 =111,00 No terceiro ms voc ter: 111,00 + 11,10 = 111,10 E assim por diante.Parasefazeroclculofcil:bastacalcularosjuros de cada ms e adicionar ao montante do ms anterior. JUROS COMPOSTOS Conceito Juros compostos, acumulados ou capitalizados, so os que, no fim de cada perodo, so somados ao capital cons-titudonoincio,paraproduziremnovosjurosnoperodo seguinte. Seja, por exemplo, um capital de 1.000 unidades mone-trias colocado a 20% a.a. durante 4 anos. No fim do primeiro ano o juro igual a 200, que capi-talizado,isto,somadoaocapital1000para,assim,o novo capital, 1200, produzir juros no segundo ano. Ao final deste, o juro ser de 240, ou seja, 20% de 1200. O capital a produzir juro no terceiro ano de 1.440 (1.200 + 240). O juroser288.Noquartoanoojuroserde20%sobreo capital 1.728 (1.440 + 288), ou seja, 345,60. Dessa forma, omontantenofimdoquartoanoserde2.073,60unida-des de capital. Ogrficoabaixomostraosjuroscalculadosnofimde cada perodo e os respectivos montantes. Comparando os juros compostos com os juros simples, verifica-sequeosprimeiroscrescememprogressogeo-mtrica,enquantoosjurossimplessoconstantesem todososperodos,poissocalculadossempresobreo capital inicial. Noproblemacitado,os jurossimplessoiguaisa200 unidades monetrias em todos os anos. Assim, o montante docapitalde1.000,ajurossimplesde20%a.a.,cresce numaprogressoaritmticaderazo200,enquantoo montante a juros compostos cresce em progresso geom-tricaderazo1,2.Oquadroabaixoapresentaaevoluo dos montantes a juros simples e compostos. Anos01234 Montante a Juros simples 10001200140016001800 Montante a Juros compostos 10001200144017802073,6 Representando graficamente, temos: Pode-se verificar, pelo grfico acima, que, paran 1, os juros compostos e os juros simples so iguais; paran < 1, osjurossimplessomaioresqueosjuroscompostose, paran>1,osjuroscompostossempreexcedemosjuros simples. CLCULO DO MONTANTE (CN) No problema anterior, calculou-se o montante do capital de1.000,em4anos,a20%a.a.,resolvendoquatropro-blemasdejurossimples,ouseja,calculandoosjurosem cadaanoapartirdo montanteconstitudonoanoanterior. Pode-se, entretanto, deduzir uma frmula para o clculo do montante em funo do capital inicial, da taxa do juro e do tempo de aplicao. Osjurosforamcalculados,emcadaano,aplicando-se a frmula j = Ci (n = 1) e os resultados obtidos estio resu-midos no quadro abaixo: CapitalJurosMontante 1ano10002001200 2ano12002401440 3ano14402881728 4ano1780345,62073,6 Representandoliteralmenteosvaloresdoquadroaci-ma, temos: CapitalJurosMontante n =1Cj1C1 n =2C1J2C2 n =3C2j3C3 n =4C3j4C4 Seja CN, o montante do capital C, taxa i, no fim de n CEF MATEMTICA(TC. BANCRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 4 perodos.Resolvendoliteralmenteoproblemaanterior, temos: para n =1 C1 = C+ j1 como j1 = Ci C1 =C + Ci = C(1+i) para n =2 C2 = Ci + j2 C2 = C1 +C1i = C1 (1+i) = C (1+i) (1+i) =C (1 +i)2 para n = 3 C3 = C2+j3 C3 = C2 + C2i = C2 (1+i) = C (1 +i)2 (1+ i) = C(1 +j)3 para n=4 C4 = C3+j4 C4 = C3 +C3 i = C3 (1 +i) = C(1+i)3 (1 +i) = C (1+j)4 Analogamente: C5 =C (1 + i)5 C6 = C (1+i)6 Finalmente, para n qualquer, Cn = C ( 1+i)n Obs.: Nessa frmula, como em todas as demais da ma-temticafinanceira,ataxaunitriaieonmerodepero-dos n devem referir-se d mesma unidade de tempo. Assim, seitaxaanual, ndeverexpressarnmerodeanos;se l taxa semestral. n ser nmero de semestres etc. EXEMPLOS 1.Calcularomontantedocapitalde10.000unidades monetrias, a 10% a.a., em 3 anos. C = C(1+i)N C = 10.000 C = 0,1 (10%a.a.) n = 3(anos) C3 = 10.000(1+0,1)3 C3 = 10.000 x 1,13 C3 = 10.000 x 1,331 C3= 13.310 2.Determinaromontantede3.000unidadesmonetrias, a 2% ao ms, no fim de 2 anos. Cn = C (1 +i)n C = 3.000 i =0,02 (2% ao ms) n = 24 (meses) C24 = 3.000(1 +0,02)24 = 3.000x 1,0224 Ovalor de1,0224fornecido por tbua financeira(T-bua 1) e igual a 1,608437. C24 = 3.000 x 1,608437 C24 = 4.825,31 TBUAS FINANCEIRAS Naaplicaodafrmulado montantedeve-secalcular ovalordapotncia(1+j)n.Porisso,foicolocadanofim deste livro (apndice) a Tbua financeira 1, que fornece os valores da expresso (1 + i)n para vrios valores de i e n. Para localizar, na Tbua 1, determinado valor, procura-senaprimeiralinhaataxacentesimalcorrespondentea/ e,naprimeiracoluna,ovalorden.naintersecoda linha dos perodos com a coluna da taxa que ele se encon-tra.Convmrecordaraquiqueseestivertomandouma taxa anual, n estar representando o nmero de anos; se a taxa for trimestral, n ser o nmero de trimestres etc. EXEMPLOS: 1.Se o problema envolve uma taxa mensal de 2% por um ano e 6 meses, ento: (1 +i)n =(1 + 0,02)18 1,428246 2.Para taxa trimestral de 5%em 2 anos, temos: (1 +i)n =(1 + 0,05)8 1,477455 CAPITALIZAO DOS JUROS Na constituio do montante, os juros podem ser calcu-ladosnofimdecadaano,semestre,trimestreoums. Assim,osjurospodemsercapitalizadosanualmente,se-mestralmente, trimestralmente ou mensalmente. Geralmente,comrefernciaaoperododecapitaliza-o, a taxa de juros anual. EXEMPLOS 1.Juros de 18% .a. capitalizados semestralmente. 2.Juros de 20% a.a. capitalizados trimestralmente. 3.Juros de 12% a.a.capitalizados mensalmente. Nesses casos, ao calcular o valor da expresso (1 + i)n emprega-seataxaproporcional,ouseja:noexemplo1,a taxa semestral proporcional a 18% a.a. de 9%; no exem-plo2ataxaproporcionalde5%aotrimestre;e,noe-xemplo 3, a taxa a ser utilizada de 1% ao ms. Entretan-to,svezes,usa-seataxaequivalente,conformesever mais frente. CEF MATEMTICA(TC. BANCRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 5 EXEMPLOS 1.Qualo montantedocapitalequivalentea500u.m.,no fimde2anos,com jurosde24% a.a.capitalizados tri-mestralmente? Cn = C (1 +i)n i = 0,06 (6% ao trimestre) n = 8 (trimestres) C8 = 500 (1 +0,06)8 (1 + 0,06)8 1,593848 C8 = 500 x 1,593848 C8 = 796.92 u.m.2.Ocapitalde120u.m.foicolocadoajurosde20%a.a capitalizadossemestralmente.Qualomontantenofim de 2 anos e 6 meses? Cn = C (1 +i)n i = 0,1 (10% ao semestre) n = 5 (semestres) C5 = 120 (1 +0,1)5 (1 + 0,1)5 1,610510 C5 = 120 x 1,610510 C5 = 193,26 u.m. Em meses: Cn = C (1 +i)n i = 0,02 (2% ao ms) n = 20 (meses) C20 = 3.000 (1 +0,02)20 (1 + 0,02)20 1,485947 C20 = 3.000 x 1,485947 C20 = 4.457,84 u.m. CLCULO DO VALOR DE (1 + i)n NO TABELADO Quando o valor da expresso (1 +i)n no for fornecido diretamente pela tbua financeira, isto 6, a tbua no tiver a taxa do problema ou n for um nmero que no conste na tbua, pode-se achar o valor dessa expresso com auxlio delogaritmosoufazendointerpolaodosvalorestabela-dos.Obviamente,sesedispuserdeumacalculadoraque faa potenciao, o clculo ser bem simplificado. Clculo de (1 +i)n com emprego de logaritmos Fazendo: x= (1 +i)n Log x = log (1 +i)n Log x= n log(1 +i) x = antilog [n log (1+i)] EXEMPLOS 1.Se a taxa de 5,5% ao trimestre e o prazo de aplicao de 2 anos, entro: (1 +i)n =(1 + 0,055)8 Por hiptese, a tabela no fornece a taxa de 5,5%, po-de-se calcular o valor de (1 + 0,055)8 com auxlio de lo-garitmos. Assim: x = (1 + 0,055)8 log x = log(1 + 0,055)8

log x = 8log 1,055 log x = 8 x 0,0232525 log x = 0,18602 x = antilog 0,18602 x = 1,534687 Portanto, (1 + 0,055)8 = 1,534687 (veja Tbua 1) 2.Admita-sequeumcapitalcolocadopor2anose2 meses a juros de 20% a.a. capitalizados semestralmen-te. Neste problema, a taxa de 10% ao semestre e n igual a 4 2/6 = 4 1/3 (semestres). Ento:

3130,1) ( 1 0,1) ( 1ni) ( 1314+ = + = + 3130,1) ( 1 x + =

3130,1) log( 1 x log + =log1,1313 x log =0,413927313 x log - =CEF MATEMTICA(TC. BANCRIO) 15-2-2012 APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 6 log x = 0,1793683 x = antilog 0,1793683 x = 1,511361 portanto 511361 , 1 = +3140,1) ( 1INTERPOLAO DE VALORES TABELADOS Nos dois exemplos anteriores, os valores da expresso (1 + 1) podem tambm ser calculados fazendo-se interpo-laolineardosvaloresaproximados,fornecidospelat-bua financeira. Para o clculo do valor de (1 + 0,055)8, procuram-se na tbua as taxas mais prximas de 5,5%, que so 5% e 6%. Nalinhacorrespondentea8perodos,osvaloresdafun-o(1+i)n,paraestastaxas,so1,477455e1,593848, respectivamente. Estabelecendo uma regra de trs calcula-se o valor da funo para a taxa de 5,5%. 5%6% 81,4774551,593848 Paraumacrscimoda taxade1%(6%5%),afun-otemumacrscimode0,116393(1,593848 1,477455);ento,umacrscimode0,5%(5,5%5%) corresponde a um acrscimo de x no valor da funo. Por-tanto: 1%0,116393 0,5% x

x0,1163930,51 =x = 0,5 x 0,116393 x = 0,058196 Somando-se esse valor ao da funo correspondente taxa de 5% e 8 perodos, tem-se o valor da expresso (1 + 0,055)8. Dessa forma: (1+0,055)8 = 1,535651(1,477455+0,058196) Entretanto, deve-se observar que os valores de (1 + i)n obtidosporinterpolaolineardataxaserosempreum pouco maiores que os valores reais, pois estes crescem na formaexponenciale,pelainterpolao linearconsidera-se um segmento de reta entre dois pontos da exponencial. Podemos observar melhor a superestimao de (1+ i)n, pelainterpolaolinear,atravsdarepresentaogrfica abaixo. Nesteexemplo,verifica-sequeovalorcalculadopara (1+0,055)8comauxliodelogaritmos,1,534687(valor real),menorque1,535651,calculadoporinterpolao linear. Assim, sempre que o clculo exigir preciso deve-se evitar a interpolao linear. No segundo exemplo, onde 314 = ne a taxa de 10%, interpolando os valores tabelados, temos: Acrscimo no nAcrscimo da funo 1 0,149510(1,610510 1,461000) 31 x x = 31 x 0,149510 x = 0,049836 Portanto: 3140,1) ( 1+= 1,510836 Comparandoestevalorcomaqueleobtidocomauxlio de logaritmos (1,511361) verifica-se que a interpolao linear subestima o valor real de (1 +i)n Isto ocorre pois, como foi visto anteriormente, em 31 de perodo os juros simples(interpolaolinear)somaioresqueosjuros compostos (exponencial). Este tipo de interpolao no ser empregado, pois, nesses casos, o clculo do mon-tante feito atravs do sistema de capitalizao mista. CAPITALIZAO MISTA Como vimos,quandon