FACILITADOR

PARTCIPANTES

GABRIEL MATOS MANTENIMIENTO 06

VIOCARLYS LEON CARABALLO OSLIANY BOLIVAR SARA RIVAS IRIAN ARANGUREN XENIA YANEZ EMILI ACOSTA MANUEL

CIUDAD BOLIVAR; DICIEMBRE DE 2.009

FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES

El centroide es un punto que define el centro geomtrico de un objeto. Su localizacin puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actan sobre una figura irregular, o figuras geomtricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudara a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente. El centro de gravedad es el punto de aplicacin de un cuerpo rgido donde al ubicar la resultante de las fuerzas los efectos sobre el cuerpo no varan. En el caso de superficies homogneas, el centro de gravedad se sustituye por el centroide del rea, el cual considera las reas de los elementos en vez de los pesos y las expresiones para determinar las coordenadas centroidales son:

A = dA; xA = xdA; yA = ydA

Centroide del rea A y coordenadas de una parte del rea A

CENTROIDE DE AREAS COMPUESTASEn gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectngulo, triangulo, circunferencia etc.). Esta forma de anlisis es til y permite determinar el centroide de cualquier superficie segn:A=Ai ; x= xiAiAi ; y yiAiAi

Los centroides y el rea comn se obtienen de la aplicacin de frmulas para reas comunes como los indicados en la tabla.

Subdivisin de un rea

TEOREMA DE PAPPUS-GULDINUSUna superficie de revolucin es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por ejemplo una esfera se puede generar al girar un arco semicircular. De manera similar tenemos los cuerpos de revolucin que son obtenidos al girar un rea con respecto de un eje fijo.

TEOREMA I El rea de una superficie de revolucin es igual a la longitud de la curva generadora por la distancia recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie. TEOREMA II El volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generadora por la distancia recorrida por el centroide del rea al generar el cuerpo.

FUERZAS DISTRIBUIDAS: MOMENTOS DE INERCIA

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Ms concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribucin de masas de un cuerpo o un sistema de partculas en rotacin, respecto al eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un slido rgido.

PRODUCTO DE INERCIA DE UN CUERPOPara los productos de inercia, es posible derivar un teorema de ejes paralelos para momentos de inercia. Considere un area A y un sistema coordenadas rectagulares x y y:

A travs del centroide C del area, cuyas coordenas son xy y, se dibujan dos ejes centroidales xy y que son paralelos, respectivamente, a los ejes x y y. representando con x y y las coordenadas de un elemento de un area dA con respectos a los ejes originales y con xy ylas coordenadas del mismo elemento con respecto a los ejes centroidales, se escribe x = x+ x y y = y + y.

EJERCICIOS.

1. PARA EL AREA PLANA MOSTRADA EN LA FIGURA, DETERMINE:

a) LOS PRIMEROS MOMENTOS CON RESPECTO A LOS EJES x Y y, Y b) LA UBICACIN DE SU CENTROIDE.

SOLUCION.

componente

A, mm

x,

y, mm

xA,mm

yA, mm

mm Rectngulo Triangulo (120)(80)=9.6x10312(120)

60 40

40 -20

576x103 144x103

384x103 -72x103

(60)=3.6x103 Semicrculo12(60)2=5.655x10

60

105.46

339.3x103

596.4x103

3

Circulo

- (40)2=-5.027x103 A=13.828x103

60

80

-301.6x103 xA=757.7x10 3

402.2x103

yA=506.2x10 3

a) Primeros momentos del rea

b) Ubicacin del centroide

2) LA FIGURA MOSTRADA ESTA HECHA A PARTIR DE UN PEDAZO DE ALAMBRE DELGADO Y HOMOGENEO. DETERMINE LA UBICACIN DE SU CENTRO DE GRAVEDAD.

SOLUCION.

SEGMENTO AB BC CA

L, in. 24 26 10L=60

X, in. 12 12 0

Y, in. 0 5 5

xl, in. 288 312 0x= 600

yL, in. 0 130 50yL= 180

3) DETERMINE LA UBICACIN DEL CENTROIDE DEL ARCO MOSTRADO.

SOLUCION.

4) DETERMINE EL AREA DE LA SUPERFICIE DE REVOLUCION MOSTRADA EN LA FIGURA, LA CUAL SE OBTIENE ROTANDO UN CUARTO DE ARCO CIRCULAR CON RESPECTO A UN EJE VERTICAL.

SOLUCION.

6) CON LOS TEOREMAS PAPPUS-GULDINUS, DETERMINE: a) EL CENTROIDE DE UN AREA SEMICIRCULAR Y b) EL CENTROIDE DE UN ARCO SEMICIRCULAR. SE DEBE RECORDAR QUE EL VOLUMEN Y EL

AREA SUPERFICIAL DE UNA ESFERA SON, RESPECTIVAMENTE,

Y SOLUCION.

7) DETERMINE EL MOMENTO D EINERCIA DE UN TRIANGULO CON RESPECTO A SU BASE. SOLUCION.

8) a) DETERMINE EL MOMENTO POLAR CENTROIDAL DE INERCIA DE UN AREA CIRCULAR POR INTEGRACION DIRECTA; b) UTILICE EL RESULTADO DEL INCISO; a) Y DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA DE UN AREA CIRCULAR CON RESPECTO A UNO DE SUS DIAMETROS. SOLUCION.

a) MOMENTO POLAR DE INERCIA:

b) MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO A UN DIAMETRO:

9) DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO A CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS CORRESPONDIENTES AL AREA SOMBREADA QUE SE MUSTRA EN LA FIGURA, UTILICE LOS RESULTADOS INCISOS Y DETERMINE EL RADIO DE GIRO DEL AREA SOMBREADA CON RESPECTO DE CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS.

SOLUCION.

MOMENTO DE INERCIA Ix

MOMENTO DE INERCIA Iy

RADIOS DE GIRO kx Y ky.

10) DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA DEL AREA SOMBREADA CON RESPECTO AL EJE X.

SOLUCION.

MOMENTO DE INERCIA DEL RECTANGULO.

MOMENTO DE INERCIA DEL SEMICIRCULO.

MOMENTO DE INERCIA DEL AREA DADA

11) DETERMINE EL PRODUCTO DE INERCIA DEL TRIANGULO RECTANGULO MOSTRADO EN LA FIGURA, a) CON RESPECTO A LOS EJES x Y y, Y b) EN RELACION CON LOS EJES CENTROIDALES QUE SON PARALELOS A LOS EJES x Y y.

SOLUCION

a)

PRODUCTO DE INERCIA Ixy

b)

PRODUCTO DE INERCIA Ixy

12) DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA BARRA DELGADA DE LONGITUD L Y MASA m CON RESPECTO A UN EJE QUE ES PERPENDICULAR A LA BARRA Y QUE PASA A TRAVES DE UNO DE SUS EXTREMOS.

SOLUCION

13) DETERMINE POR INTEGRACION DIRECTA LA LOCALIZACION DEL CENTROIDE DE UNA ENJUNTA PARABOLICA.

SOLUCION.

DETERMINACION DE LA CONSTANTE k

ELEMENTO DIFERENCIAL VERTICAL

ELEMENTO DIFERENCIAL HORIZONTAL.

14) REEMPLACE LA CARGA POR UN MOMENTO PAR Y FUERZA RESULTANTE QUE ACTUE EN EL PUNTO O. 50Lb/ft

6fT

9Ft

50Lb/ft Fconcentrada = 50Lb/ft * (pft) = 225Lb 2 +TR = F +MRO = MO

F R= 0 MRO = 225 lB/ft * 6 Ft = 1350 Lb.ft 1.35 Kp.ft