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Libro sulle strutture in acciaio e cemento armatoTRANSCRIPT
Corso diCorso diTECNICA DELLE COSTRUZIONITECNICA DELLE COSTRUZIONI
POLITECNICO DI TORINOII Facoltà d’Ingegneria
(Vercelli)
Docente:
Rosario Ceravolo
Dip. Ingegneria strutturale e geotecnica
PARTE 3:PARTE 3:
STRUTTURE IN ACCIAIOSTRUTTURE IN ACCIAIO
COMPOSIZIONE STRUTTURALECOMPOSIZIONE STRUTTURALELa struttura in acciaio deriva dall’assemblaggio di elementi monodimensionali, i
profilati, e/o bidimensionali, le lamiere, prodotti in officina.
S o lu z io n e e c o n o m ic a
C e r n ie r a
S o lu z io n e c o s to s a
I n c a s t r o
Acciaieria Carpenteria Cantiere
La tendenza a semplificare le giunzioni può portare a labilità del complesso:
In tro d u z io n e d i u lte r io ri e le m e n ti
Nonostante il materiale presenti un legame simmetrico sia a trazione, che compressione, i problemi di stabilità locale e di insieme possono rendere non simmetrica la risposta degli elementi strutturali (aste compresse, travi inflesse, pannelli e anima delle travi, zone compresse delle sezioni).
L’asta soggetta a carico assiale presenta risposta non simmetrica: elasto-plastica, a trazione; non lineare ed in funzione di λ e delle imperfezioni, a compressione.
δ
Nf yA
Trazione
Compressione
λ
N
Ncr
Nc
NE
Fc δ
asta induastriale elasto-ploastica
asta industriale indefinitamente elastica
asta teoricaN
N
δ
La necessità di controllare accuratamente la presenza di eventuali labilità e di valutare correttamente le risposte dei differenti elementi strutturali nei riguardi dell’instabilità richiede di concepire la struttura nello spazio a tre dimensioni.
Le strutture in acciaio presentano elevata deformabilità in presenza delle azioni di esercizio a causa degli elevati livelli tensionali raggiungibili e del modesto contributo del peso proprio.
La verifica a deformazione può diventare determinante nel dimensionamento, più che quella di resistenza. Limitazioni di freccia dell’ordine di 1/500 l risultano piùcondizionanti dei limiti tensionali.
Edifici multipianoEdifici multipiano
• Pannelli in C.A. o misti con laterizio gettati in opera (soluzione a, b);
• Pannelli in C.A. o misti con laterizio prefabbricati (soluzione c, d);
• Lamiere grecate riempite con materiale inerte (soluzione e);
• Lamiere grecate riempite con calcestruzzo collaborante (soluzione f).
I carichi verticali vengono raccolti dagli impalcati a struttura mista, trasferiti alle travi principali e da queste alle colonne, fino alla fondazione.
L’impalcato può essere realizzato con:
Le azioni orizzontali vengono riportate dagli elementi di facciata, i tamponamenti, i solai, e da questi alle colonne che li devono trasferire in fondazione. I solai quindi devono operare come lastre oltre che come piastre. Gli elementi verticali in generale sono impegnati a sforzo normale e flessione.
Combinando le diverse membrature si evince che la struttura è un complesso di elementi idonei a sopportare tutte le caratteristiche di sollecitazione (M,N,T). In particolare, ciò vale anche per le giunzioni che dovranno essere in grado di trasmettere tutte le componenti della sollecitazione.
Nelle figure sottostanti sono riportati alcuni tipi di nodi strutturali:• Nodo “a” e ”c” bullonato, e saldato, in grado di
trasferire completamente il momento flettente;• Nodo “b” e “d” in grado di trasferire solo
parzialmente il momento flettente, attraverso la sola anima.
I nodi saldati in opera sono molto onerosi (talora non consentiti), quindi sono preferibili quelli imbullonati.
I nodi sono chiamati a trasmettere solo sforzi normali e tagli (cerniere), le colonne sono solo soggette a forze assiali (bielle).
Le strutture di controventatura possono essere realizzate in calcestruzzo armato, come i vani scala, o in acciaio, come ad esempio i diagonali posti tra travi e colonne.
Esaminando nel complesso spaziale la risposta dell’edificio deve risultare che:• Ogni impalcato deve operare come lastra vincolata ai controventi verticali;• I controventi devono garantire almeno tre condizioni di vincolo ad ogni piano;• L’impalcato deve essere dimensionato anche per le azioni orizzontali provenienti
dal comportamento di insieme dell’edificio.Ogni elemento di controvento verticale fornisce le condizioni di vincolo che
corrispondono al movimento che è in grado di controllare:
• Parete in C.A. vincolo di appoggioo reticolare semplice;
• Incrocio di pareti vincolo diin C.A. o reticolare cerniera;
• Nucleo scale vincolo dio ascensore incastro.
In presenza di q distribuita risulta:
In presenza dei carichi agenti sulla facciata trasversale risulta invece:
02 321 === RqlRR
321321
212 FFFR
LaFaFRR ++=
⋅+⋅=−=
Nel caso successivo si sono usati esclusivamente controventi in acciaio sia in direzione verticale che orizzontale.
Edifici monopianoEdifici monopianoIn genere edificio industriale, a maglia rettangolare, con eventuali vie di corsa per
carri-ponte.
I carichi verticali sono trasferiti alle travi principali tramite la struttura di copertura e gli arcarecci, oppure tramite le travi secondarie e gli arcarecci.
Pertanto gli arcarecci sono inflessi e per lo più si comportano come travi continue su 2/3 della luce. Le travi principali hanno il corrente superiore compresso, cioè i carichi nei nodi, o pressoinflesso, con i carichi tra i nodi, e trasmettono il loro carico direttamente alle colonne oppure ad una trave di bordo.
E’ agevole definire la lunghezza libera di inflessione:
• Nel piano della capriata lc,v è pari alla distanza tra i nodi;• Nel piano orizzontale il corrente superiore può sbandare tra le colonne (l0 = lc,H ),
sia nelle travi principali, che in quelle secondarie;Occorre quindi introdurre dei controventi di falda idonei a stabilizzare i correnti
superiori.• Nella figura a è presente il controvento che stabilizza il corrente superiore delle
travi principali ad appoggio diretto sulle colonne: in tal caso l0 = lc (distanza tra i nodi del controvento);
• Nella figura b è presente anche il controvento longitudinale, necessario a stabilizzare il corrente superiore della trave secondaria e quindi a tener fissa la principale appoggiata in falso.
Le azioni orizzontali della copertura vengono poi trasferite a terra impegnando le colonne in uno schema a telaio con le travi, o facendole operare come mensole, oppure introducendo dei controventi di parete longitudinali e/o trasversali, riducendo le colonne a semplici bielle.
Schematizzazioni di calcoloSchematizzazioni di calcoloLa complessità dei collegamenti costringe spesso all’introduzione di semplificazioni
di calcolo che devono però rappresentare in modo fedele lo schema di calcolo adottato, contando poi sul teorema statico per la sicurezza a collasso.
Se si adotta uno schema pendolare, cioè si immaginano dei collegamenti a cerniera tra travi e colonna, e di conseguenza sia il tipo di connessione che le luci di calcolo reali dovranno adeguarsi a tale ipotesi.
Tenuto conto della dimensione fisica del vincolo esistono diverse possibilità:
Nello schema 1 le colonne sono semplicemente compresse e la trave opera sulla luce L. Il giunto nella sezione X-X deve assorbire oltre al taglio V=R1 anche un momento M=R1*a. Il giunto nella sezione Y-Y deve assorbire oltre al taglio V=R1 anche un momento M=R1(a+e).
Nello schema 2 la colonna B è compressa (N=R1B+R2B) ed inflessa nel nodo da una coppia M=a(R1B-R2B). La colonna A è compressa (N=R1) e caricata nel nodo da un momento M=R1a; la trave opera su una luce L-2a. Il giunto in X-X assorbe solo il taglio V=R1, ed in Y-Y oltre al taglio anche un momento M=R1e.
Nello schema 3 la colonna B oltre ad N=R1B+R2B è soggetta a M=(R1B-R2B)(a-e); la colonna A è compressa e caricata da una coppia M=N(a+e); la trave opera su una luce L-2(a+e). Il giunto in X-X assorbe il taglio V=R1 ed un momento M=R1e. Il giunto in Y-Y assorbe solo il taglio V=R1.
Si può scegliere uno qualunque di questi:• Lo schema 1 minimizza le sollecitazioni
nelle colonne (orientate con la rigidezza minima);
• Lo schema 2 è conveniente se le colonne sono orientate con la rigidezza massima;
• Lo schema 3 non è usualmente conveniente.
Nelle travi reticolari ci deve essere congruenza tra lo schema di collegamento nodale , le cerniere, e la posizione dell’asse del nodo (assi aste concorrenti nel nodo ideale di calcolo).
I momenti nodali possono essere trascurati purché si valutino correttamente le lunghezze libere di inflessione (l0 = distanza tra i nodi ideale).
Se la bullonatura non può essere nel baricentro (L) interviene localmente un momento parassita sui bulloni. Si può anche tracciare sugli assi di truschino a patto di distribuire il momento parassita tra le aste.
Nei controventi si può operare con 2 differenti schemi:
• Immaginare attive sia le aste di parete tese che compresse, ma allora λ<100 (comportamento pressoché uguale a compressione e trazione);
• Immaginare attive solo le aste di parete tese, allora λ<200 (sbandamento in campo elastico e quindi efficienza per inversione di segno dell’azione).
IL MATERIALEIL MATERIALETutti gli elementi provengono da processi di laminazione, e si distinguono in lamiere
e profilati.LAMIERE
PROFILATI
lamierini lamiere sottili lamiere medie lamiere spesse(s < 1 mm) (1 mm < s < 4 mm) (4 mm < s < 50 mm) (50 mm < s)
I (IPN) I e H C, L, T,Z tubolari saldati a I sagomati a freddoali rastremate IPE (da lamiere) (forme varie)
HEAHEBHEM
Imperfezioni strutturali o meccanicheImperfezioni strutturali o meccanicheNei materiali è possibile riscontrare due tipi di imperfezioni strutturali o meccaniche:
• Tensioni residue (autotensioni): stati tensionali elastici autoequilibrati dovuti al processo di produzione (raffreddamento, saldatura, taglio a fiamma, laminazione a freddo, raddrizzamento, ecc…);
• Disomogeneità caratteristiche meccaniche (snervamento): legata strettamente al processo industriale di produzione.
La sicurezza strutturale si valuta in relazione alle aste reali (industriali) e non a quelle ideali.
Le imperfezioni si possono analizzare distinguendole a seconda dei profili:
• Laminati a caldo;• Saldati;• Laminati a freddo.
PROFILI LAMINATI A CALDOLe tensioni residue si formano nel raffreddamento
susseguente alla laminazione, cioè per temperature di circa 600°C.
Da T0 (600°C) a T1 le parti più esposte si raffreddano prima , e quindi vanno in trazione (b).
Da T1 a T2 le parti centrali fluiscono plasticamente e riducono le precedenti punte tensionali (c).
Da T2 a T le parti esposte si raffreddano completamente ed impediscono la contrazione delle altre.
Alla fine si ottiene lo stato tensionale (d) con compressioni nelle zone più esposte.La presenza di tensioni residue di compressione nelle ali è sfavorevole nei riguardi
del rischio di instabilità.Ulteriori tensioni residue si generano nel processo di raddrizzamento (meccanico che
si effettua mediante passaggio attraverso rulliere). In genere questo ha un effetto riducente sullo stato tensionale di natura termica.
La disomogeneità delle caratteristiche meccaniche comporta resistenza e snervamento maggiori, con resilienza e allungamento minori, e viceversa.
PROFILI LAMINATI A FREDDOPer effetto della laminazione si possono avere compressioni sulla superficie e trazioni
nelle zone interne. L’operazione di piegatura, comporta un innalzamento del limite elastico e la conseguente riduzione della resilienza.
PROFILI SALDATI
Forte apporto termico per la presenza di materiale di asporto fuso. A causa dell’impedimento esercitato dalle zone limitrofe, si raggiungono nella zona del giunto tensioni superiori allo snervamento a caldo e conseguenti e conseguenti accorciamenti plastici.
Dopo il raffreddamento nelle zone prossime alla saldatura e nel cordone nascono tensioni residue di trazione e nelle zone più lontane di compressione.
L’entità e la distribuzione delle autotensioni dipendono da: modalità della saldatura, sezione del cordone, spessore dei lembi e geometria degli elementi saldati.
-
-+
-
Una classica distribuzione delle tensioni residue in travi a I composte per saldatura è riportato in figura (nel cordone di saldatura si raggiunge il limite di snervamento del materiale d’apporto).
Resilienza: resistenza alla rottura fragile degli acciai (tenacità); prova col pendolo di Charpy su provetta intagliata (la differenza di quota nella risalita del pendolo èproporzionale all’energia assorbita).
T° = temperatura di transizione;27 J/m2 = valore minimo da garantire a diverse temperature.
Massa battente
T
J/m^2
-10° 0 +10°
ACCIAI DA CARPENTERIA
Resistenza a faticaResistenza a faticaNel caso, infatti, siano presenti cicli di tensione che si ripetono nel tempo il
cedimento del materiale può manifestarsi per carichi inferiori a quelli di rottura, cioè per fatica: in tal caso:
• La rottura si manifesta per σmax < fy;• La rottura è fragile;• Esiste un valore limite della tensione al di sotto del quale la rottura non si
manifesta fino ad un numero N di cicli. Se N = ∞ tale limite di tensione si chiama: resistenza originaria se ha sempre lo stesso segno, oppure resistenza a sforzi alterni se la tensione passa attraverso lo zero (per gli acciai N = 5000000 ≅ ∞);
• Sovrapponendo al ∆σ una tensione statica i limiti di fatica variano.
I diagrammi di Smith riportano in ascissa la tensione media ed in ordinata le tensioni massima e minima del ciclo per cui si ha rottura in N cicli.
Criteri di resistenzaCriteri di resistenzaIn un generico punto di ogni elemento lo stato tensionale è caratterizzato dalle
componenti pij(P) del tensore degli sforzi, occorre controllare la compatibilità con la risposta elastica del materiale. E’ quindi necessario determinare il moltiplicatore di pij(P) che consente di raggiungere lo snervamento in P.
E’ necessario adottare un criterio di resistenza per valutare il cimento tensionale.In tutti i paesi, per le strutture in acciaio, si usa il criteri detto di Huber-Hencky-Von
Mises.L’energia potenziale elastica totale del materiale può essere espressa come somma di
quella dovuta alla variazione di forma (distorsione) ΦD e quella dovuta alla variazione di volume, il criterio di Huber-Hencky-Von Mises fa dipendere la crisi del materiale solo da ΦD. Allora occorre dividere il tensore di tensione espresso in tensioni principali nella somma di 2 tensori:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
σσ
σ
3
2
1
000000
Pij
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
σσ
σ
σσσσ
σσ
m
m
m
m
m
m
ijP00
0000
000000
3
2
1
con deviatore di tensione tensore idrostatico(en. distorcente) (en. per variaz. di vol.)
3321 σσσσ
++=m
L’energia distorcente vale:
in un regime triassiale
in un regime monoassiale
[ ]))) 213
232
221 (((12
1σσσσσσ −+−+−=Φ gD
σ 261gD =Φ
Applicando il criterio di ugual cimento ai due regimi (monodimensionale e tridimensionale) e ponendo σ = σid, si valuta:
[ ] σσσσσσσσσσσσσσσσ 32132123
22
81
213
223
221 )()()(
21
−−−++−+−+− ==id
σσσσσ 2122
21 −+=idPer stati tensionali piani o biassiali (σ3 = 0) si ottiene:
τσσσσσ 222 3 xyyxyxid +−+=Riferendosi alle componenti speciali della tensione:
τσσ 22 3 xyxid +=In presenza di flessione e taglio (σ2 = 0) si ha:
τσ ⋅= 3idE per pura tensione tangenziale (σx = σy = 0):
Metodi di verificaMetodi di verifica- Stati limite classici → allo s.l.u. γm = 1,1 (plasticizzazione completa)- Stato limite elastico → allo s.l.el. γm = 1 (snervamento)
m
kfdfidSjipdFSdF
γσ =≤→→→ )(,)(
- Tensioni ammissibili → alle t.a. σadm ≥ σid
t<40 mm t>40 mmFe360 160 140Fe430 190 170Fe510 240 210
Acciaio σadm (Mpa)
I → permanenti, variabili (no vento, sisma, coazioni)(σid ≤ σadm)
2 condizioni di carico:II → tutte le azioni
(σid ≤ 1,125σadm)
Nello s.l.u. e s.l.el. →
con γg = 1,5 γq = 1,5 ψ0i = 0,9 (devono anche esser verificati gli s.l.e.)
- s.l.el.: calcolo elastico delle sollecitazioni;- s.l.u.: trasformazione della struttura in un meccanismo (cerniere plastiche), con
verifica di duttilità nelle zone plasticizzate (non consentito se le strutture sono soggette a significativi fenomeni di fatica).
- s.l.e.: γg = 1 γq = 1 γm = 1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅++⋅= ∑
=
n
iikikqkgd QQGF
201 ψγγ
Nella pratica progettuale:- Molto diffuso il metodo delle t.a.;- Facilmente applicabile il progetto con s.l.el.;- Complessa l’applicazione del metodo a s.l.u. (Eurocodice 3).
UNIONI SALDATEUNIONI SALDATELe procedure di saldatura autogena per fusione si possono dividere in base alla
tipologia della sorgente di calore e alla modalità di protezione del bagno fuso, e sono le seguenti:
- Ossiacetilenica: (diffusione elevata in passato, oggi muore) la sorgente termica èla fiamma ossiacetilenica (C2H2+O2), la temperatura è di circa 3100°C e provoca la produzione di CO e H2;
- Arco sommerso: (grandi saldature ed elevata produttività) la sorgente termica è un arco elettrico tra elettrodo e materiale base (filo continuo a matassa ad avanzamento automatico). Utilizzo di fluido sul giunto che forma un cumulo protettivo al cui interno scocca l’arco;
- Arco con elettrodi rivestiti: (procedimento molto flessibile) la sorgente termica èun arco elettrico che scocca tra elettrodo e materiale base:
-elettrodo è rivestito con materiale che fondendo protegge il bagno;-elettrodi basici hanno buone caratteristiche meccaniche e metallurgiche;-elettrodi acidi hanno buone caratteristiche meccaniche.
- Saldatura con protezione di gas ed elettrodo fusibile: si usa per acciai dolci e poco legati. La saldatura ad arco a filo continuo con protezione del bagno con gas inerte (argon) o attivo (co2 );
- Saldatura con protezione di gas ed elettrodo infusibile: si utilizza prevalentemente per l’acciaio inox, e per le leghe di alluminio. L’arco è protetto con argon inserito tra il tungsteno e materiale base;
- Saldatura ad elettroscossa: realizzato da un elettrodo a filo continuo, collegato ad un generatore di corrente assieme al materiale base. Entrambi arrivano a fusione per effetto Joule. Pattini in rame raffreddati con acqua costituiscono il crociolo.
Le conseguenze della saldatura sono la solidificazione del materiale fuso nelle passate, e il trattamento termico nella zona del materiale fuso prossimo alla saldatura.
I cicli termici hanno un effetto di tempera che produce zone ad elevata durezza nel materiale base e possono originare criccature a freddo. Per evitare la formazione occorre addolcire il ciclo termico con un preriscaldamento dei pezzi ed uso di elettrodi basici.
Le cricche a caldo si formano per eccesso di impurità nella zona fusa, per effetto di temperature di solidificazione differenziate (effettuare più passate).
CRICCHE A FREDDO CRICCHE A CALDO
I difetti delle saldature sono i seguenti:- Cricche;- Soffiature;- Mancanza di penetrazione e di fessure;- Incollatura.
I mezzi di indagine per scoprire eventuali imperfezioni nelle saldature sono:- Raggi X o raggi γ (macchie scure sulle pellicole);- Ultrasuoni (onde deviate dai difetti);- Esame magnetoscopico (campo magnetico individua cricche superficiali);- Liquidi penetranti.
Classificazione delle unioni saldateClassificazione delle unioni saldateIN ORDINE DI DIFFICOLTA’ CRESCENTE
VARI TIPI DI SEZIONE DEL CORDONE DI SALDATURA
- In piano (1);- In verticale (2);- Frontale (3);- Sopratesta (4).
- Giunti testa a testa (I);- Saldatura ad arco (II);- Saldatura ad angolo (III);- Giunto a L (IV);- Giunto a T (V);- Giunto per sovrapposizione (VI).
VARI TIPI DI GIUNZIONI
- Piena (a);- Convessa (b);- Concava (c);
c
a
bVI
II
V
III
IV
I
4
3
1
2
- Giunti a completa penetrazione;- Giunti a cordone d’angolo.
Esistono due classi di saldatura la prima classe prevede che i giunti devono superare controlli molto restrittivi, mentre per la seconda i controlli sono meno severi. In ogni caso occorre comunque eliminare i difetti prima di effettuare le passate successive o le successive saldature. Le norme UNI 7272 precisano le modalità di controllo.
VARI TIPI DI GIUNTI TESTA A TESTANei giunti testa a testa se si vuole una completa penetrazione occorre smussare i
lembi in modo da creare un vano completamente accessibile.- A V (1);- A U (2);- A X (3);- A Y (4).SECONDO LA DIREZIONE DELL’AZIONE SOLLECITANTE- Laterali (I);- Frontali (II);- Obliqui (III).SECONDO LA VERIFICA DI SICUREZZA
III
4
3
2
1
I
II
Resistenza della giunzione saldataResistenza della giunzione saldata
In un giunto testa a testa privo di difetti lo stato tensionale corrisponde a quello di un mezzo continuo. La sezione resistente è quindi pari allo spessore per la lunghezza del giunto e la resistenza del materiale di apporto fd,cr viene espressa come una frazione di quella del materiale base:
fd,cr = µcr fd con µcr = coefficiente di efficienza.Le tensioni agenti nel cordone sono:
- σ⊥ : tensione normale di trazione o compressione ortogonale alla gola;- τ : tensione tangenziale parallela;- σ// : tensione normale di trazione o compressione parallela alla gola.
Si può calcolare la tensione ideale:
Deve risultare: τσσσσσ 3//
2//
2 +−+= ⊥⊥id
I σid < fd σid < σadm
II σid < 0,85 fd σid < 0,85 σadm
Classe s.l.el. t.a.
GIUNTI TESTA A TESTA
GIUNTI A CORDONE D’ANGOLOSi considera come sezione resistente il prodotto
dell’altezza della gola a per la lunghezza del cordone. Il calcolo convenzionale delle tensioni viene eseguito ribaltando su uno dei lati del cordone la sezione di gola.
In sede di verifica le componenti (valori assoluti) delle tensioni dovranno soddisfare le verifiche allo s.l.el. (per le t.a. si sostituisce fd con σadm) riportate qui a fianco.
In presenza di cordoni inclinati si decompone la sollecitazione agente nelle componenti normale ed ortogonale al cordone.
In combinazione di cordoni d’angolo laterali e frontali non è prudente sommare tutti i contributi resistenti; meglio affidare tutto lo sforzo ad una tipologia di cordone. Se ciò non è possibile, verificare che risulti:
al ⋅≤∑ 60
- Cordoni frontali soggetti a sforzo normale:
alF
⋅⋅=⊥ 2
τ
- Cordoni laterali soggetti a sforzo normale:
alF
⋅⋅=
4//τ
- Cordoni frontali longitudinali soggetti a taglio e momento flettente:
ahF
halF
halF
⋅⋅=
⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅
=⊥ 23
26
//22max τσ
- Cordoni frontali trasversali soggetti a taglio e momento flettente:
atF
thalF
⋅⋅=
⋅⋅⋅
=⊥ 2//τσ
F/2
F/2Fl
FF/2
F/2l
F
h
l
l
h
Ft
ESEMPI
- Combinazione di cordoni trasversali e longitudinali soggetti a taglio e momento (le tensioni normali dovute al flettente si valutano considerando attiva tutta la saldatura):
La verifica si fa nei punti più sollecitati, cioè nel cordone l1/a1 (solo σ⊥)ed agli estremi di quello d’anima (σ⊥ e t//).Un’ulteriore possibilità di progetto consiste nell’attribuire ai cordoni d’ala l’assorbimento del flettente ed a quelli d’anima quello del taglio.
33// 2 al
F⋅⋅
=τ
//τ
11 , la max⊥σ
max'⊥σ33 , la
22 , la
2h1htotWlF ⋅
=⊥maxσ
323222111 3
12 alhalhalWtot ⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=
1
3max h
lW
lF
tot
⋅⋅
=⊥σ
- Cordoni laterali soggetti a torsione, taglio e momento flettente (metodo del momento polare):Si calcola il baricentro G dei cordoni ribaltati sul piano della giunzione ed il loro momento polare rispetto G (I0); si calcola quindi la sollecitazione Smax agente l punto più lontano P ed ortogonale alla congiungente P con Q.
Si decompone Smax nelle direzioni dei cordoni e si valutano τ// e τ⊥.0
maxmax I
rMS T ⋅
=
laS
⋅⋅
=θ
τsinmax
//
laS
⋅⋅
=⊥
θτ
cosmax
l
Gθ rmax
Smax
F
MT
e
hh+a
- Cordoni frontali soggetti a torsione, taglio e momento flettente (metodo delle forze):Si ammette MT bilanciato con una coppia di forze V agenti verticalmente nei cordoni:
Le forze V generano solocomponenti parallele ai cordoni:
Nel caso di presenza di 4 cordoni si può ammettere che:- Il torcente sia equilibrato da 2 coppie di forze (H e V) che se lo ripartiscono in base alle relative resistenze:
- Il taglio sia suddiviso tra i 4 cordoni con analoghe modalità:
zlFV ⋅
=
laV⋅
=//'τla
F⋅⋅
=2
"//τ ////// "' τττ +=
l
e
Fz
VV
maxmax
max
TVTH
THTTH MM
MMM
+=
maxmax
max
TVTH
TVTTH MM
MMM
+=
maxmax
max
VH
HH VV
VVV
+=
maxmax
max
VH
VV VV
VVV
+=
- Per sezioni aperte con saldature continue lungo tutto il perimetro in genere, a favore di sicurezza, nel dimensionamento dei cordoni di saldatura, si trascura il contributo della torsione secondaria.
In alternativa il taglio può esser suddiviso tra i cordoni verticali.
Nel caso di presenza di 3 cordoni (2 orizzontali e 1 verticale) alla coppia che si genera in quelli orizzontali si affida il torcente ed a quello verticale il taglio.
- Nel caso di sezioni a cassone:- Se il perimetro è completamente saldato → Breat- Se mancano tratti di saldatura → metodo delle forze
aAM T
⋅⋅=
2//τ
UNIONI BULLONATEUNIONI BULLONATELa bulloneria è divisa in classi
(materiale); le classi di resistenza associate sono nella tabella a lato.
I bulloni devono essere serrati in modo da applicare nel gambo una trazione pari a:
dove Ares = area resistente.
AfN resNKs ⋅⋅= ,8,0
La coppia di serraglio vale:
dove d è il diametro nominale del bullone.
dNT ss ⋅⋅= 2,0
Nella tabella seguente sono riportati i valori di Ares, d, Ts, e Ns per le diverse classi di bulloni:
4,6 5,6 6,6 8,8 10,9 4,6 5,6 6,6 8,8 10,912 84 39 48 58 90 113 16 20 24 38 4714 115 62 77 93 144 180 22 28 33 52 6416 157 96 121 145 225 261 30 38 45 70 8818 192 133 166 199 309 387 37 46 55 86 10820 245 188 235 282 439 549 47 59 71 110 13722 303 256 320 384 597 747 58 73 87 136 17024 353 325 407 488 759 949 68 85 102 158 19827 459 476 595 714 1110 1388 88 110 132 206 25730 561 646 808 969 1508 1885 108 135 161 251 314
Ns (kN)d (mm)
Ares
(mm2)
Ts (N.m)
TOLLERANZE FORO - BULLONE
In genere: φ-d ≤ 1 mm con d ≤ 20 mmφ-d ≤ 1,5 mm con d > 20 mm
Fori calibrati: φ-d ≤ 0,3 mm con d ≤ 20 mmφ-d ≤ 0,5 mm con d > 20 mm
Nella valutazione della capacità portante delle unioni bullonate si tiene conto delle distribuzioni e delle sollecitazioni sui singoli bulloni in corrispondenza dello s.l.u.. Anche qui le normative impongono dei parametri dimensionali frutto di indagini sperimentali.
INTERASSE E DISTANZA DEI BULLONI DAI BORDI
a p ap
a1p
a1t1
- p nella direzione della forza:Per elementi tesi: 25tmin ≥ p ≥ 3dPer elementi compressi: 15tmin ≥ p ≥ 3d
- a ≥ 2d:Bordo non irrigidito: a ≤ 6tminBordo irrigidito: a ≤ 9tmin
- a ≥ 1,5d:Bordo non irrigidito: a1 ≤ 6tminBordo irrigidito: a1 ≤ 9tmin
Resistenza delle unioni bullonateResistenza delle unioni bullonate
Tipiche della carpenteria, per ripristinare la continuità tra due elementi interrotti.
UNIONI BULLONATE A TAGLIO
Caratterizza l’unione:Carico limite d’esercizio (inizio scorrimento tra A e B) →Vf0
Carico limite ultimo (resistenza dell’unione)
γµ
f
fsf
nNV
⋅⋅=0
con: γf = 1,25 (coefficiente di sicurezza);nf = numero di superfici a contatto;
0,30 per superfici non trattate;µ =
0,45 per superfici trattate;Riguardo µ, per valori superiori di 0,45 occorre fare prove sperimentali di
determinazione diretta.
Lo stato limite ultimo può essere raggiunto per:- Rottura a taglio del bullone;- Rottura per rifollamento della lamiera;- Rottura per taglio della lamiera;- Rottura per trazione nella lamiera.
Nel rifollamento la pressione di contatto viene supposta uniforme:
dove: tmin = spessore complessivo lamiere impiegate in una direzione;d = diametro;a = a/d ≤ 2,5
La resistenza a trazione delle lamiere viene valutata assumendo una distribuzione uniforme delle tensioni, contando cioè su ridistribuzioni plastiche locali.
minmin, tdftdfV drifrifd ⋅⋅⋅=⋅⋅= α
a
bd
In presenza di più bulloni ci si può riferire alla sezione minima (minimo percorso) ottenuta attraverso 1 o piùfori. Se le piastre sono sollecitate solo a trazione si può ottimizzare le dimensioni uguagliando resistenze a trazione e rifollamento:
( ) 1minmin +=⇒⋅=−⇒≅⋅⋅=⋅−⋅ ααφαφdbddbdcontftbf drif
UNIONI BULLONATE A TRAZIONEIl carico agente sul bullone è trasmesso attraverso le lamiere che si deformano
flessionalmente non consentendo il distacco completo degli elementi. In esercizio si assume prudenzialmente una forza di decompressione pari a quella di serraggio Ns.
Allo s.l.u., con γn = 1,25 (tiene conto del percorso di distacco della testa e delle flessioni parassite):
UNIONI BULLONATE A TRAZIONE E TAGLIO
γ n
resNKd
AfN ⋅= ,0
In condizione di esercizio l’interazione V-N è espressa da un dominio lineare; Allo stato limite ultimo il dominio di interazione può essere assunto di forma ellittica.
)1(0 NVVs
ffN
−⋅=
10,0,
22
≤+ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
NN
VV
dd
UNIONI BULLONATE A TAGLIO E TORSIONE
vv
v
v
v
v
FV
vT1
vT6
vT5
vT3
vT2
vT4
v1v2
v6 v3
v5 v4
TNN
FV
VV⋅
=
iiT akV ⋅=,
∑
∑ ∑
=
= =
⋅
⋅=⇒
⋅⋅=⋅⋅=
k
iiV
iiT
k
i
k
iiViiTV
aN
aTV
akNaVNT
1
2,
1 1
2,
con: N = numero bulloni;NV = numero sezioni reagenti per bullone;ai = distanza centro bullone – baricentro bulloni.
UNIONI BULLONATE A FLESSIONE E SFORZO ASSIALE
Momento inerzia sezione reagente rispetto all’asse neutroMomento statico sezione reagente rispetto all’asse neutroS
JyC =
022226 11
23
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⋅+
⋅ ∑∑==
n
iiii
n
iiiC
CC yaeyAyaeAyaebyby
(equazione cubica)
( )∑=
−−⋅
⋅=
n
iCii
C
CNC
yyAby
yF
1
2
2
σ ( )C
CiiCi y
yyAN
−⋅= σ
FN
a/2
a/2
e yi yC
ε σe > 0 per N < 0e < 0 per N > 0
COLLEGAMENTICOLLEGAMENTI- Articolazioni → cinematismi;- Giunti a parziale ripristino trasferiscono parzialmente M, N, e T;- Giunti a totale ripristino trasferiscono globalmente M, N, e T;- Duttilità nel collegamento: condiziona la duttilità di insieme (possibile solo con
saldatura, non con bullonatura).
Giunti tesiGiunti tesi
Saldatura a completa penetrazione
Coprigiunti saldati
Coprigiunti saldati
Coprigiunti bullonati
Distribuire coprigiunti in parti proporzionale a sezione profili
Giunti tesi flangiatiGiunti tesi flangiati
Giunti compressiGiunti compressiNei giunti bullonati le flange devono avere
sezione proporzionale a quella degli elementi da collegare.
saldati a completa penetrazione bullonato
per contatto
Giunti di baseGiunti di base
Il taglio viene assorbito:- Per attrito (µ = 0,1) → V/N ≤ 0,4;- Per contrasto diretto → incassando il profilo nel calcestruzzo.
Giunti inflessi intermediGiunti inflessi intermedi- A completo ripristino:
- di M e V in qualunque sezione;- di M in ogni sezione in cui V < Vpl/3;
- A parziale ripristino di M: devono permettere le rotazioni nello schema statico assunto.
Completo ripristino M, V Parziale ripristino M e completo di V
Completo ripristino se ripartizione forze in unioni è condotta secondo resistenza parti collegate
Completo ripristino o parziale a seconda di resistenze di piastra e bulloni
Completo ripristino del solo taglio
Giunti inflessi di estremitGiunti inflessi di estremitàà
Parziale ripristino flangia inferiore a contatto ; trasmette V parte di M
Completo ripristino di M e V (trave Gerber)
Completo ripristino di M e V Completo ripristino di M e V
Completo ripristino di V e parziale di M
CernieraCerniera
Cerniera
Cerniera
Giunti trave Giunti trave -- colonnacolonna
Completo ripristino Completo o parziale ripristino Completo o parziale ripristino
Completo o parziale ripristino Completo o parziale ripristino
Giunti pendolariGiunti pendolari
Nei giunti con coprigiunto a totale ripristino flessionale il flettente deve essere suddiviso tra ali ed anima; questa deve inoltre assorbire anche V.
Nel caso di parziale ripristino flessionale si attribuisce al coprigiunto delle ali tutto il flettente ed a quelli d’anima il taglio.
Nei giunti flangiati il taglio viene trasmesso da tutti i bulloni, il flettente sui bulloni tesi e la zona compressa della della flangia.
Nei giunti a squadretta (L) occorre tener conto delle eccentricitàdelle reazioni:
Giunti a squadretta ed osservazioniGiunti a squadretta ed osservazioni
- a: faccia sulla trave principale- V = R → V1 = V/2 = R/2- T = V⋅e1 → H = T/d = V⋅e1/d
- b: faccia sulla trave secondaria- V = R/2 → V2 = R/4- T = R ⋅e2/2 → H2 = R ⋅e2/2d
RR/2
d
e1 e2
V2
V2 H2
H2H1
V1
H1 V1
a
b
R/2 R/2R
- a: su 2 sezioni
- b: su una sezione22
222
21
211
HVR
HVR
+=
+=
Giunti di composizione delle sezioniGiunti di composizione delle sezioni
alS
ltSdxtdNdS
m
Wm
W
2// ⋅∆=
∆⋅⋅=⋅⋅==
τ
ττ
N+dN
dx
N
tw
Rotture dei giuntiRotture dei giunti
Rottura zona compressa
altrimenti costoni
Rottura zona tesa Rottura per taglio
d
WW f
ht 235
30≥
yc
yb
ff
ff
k
Akt
=
⋅≥
1
4,0
WfW h
Akt 31 ⋅≥
VERIFICHE DI RESISTENZAVERIFICHE DI RESISTENZA
Aeff è l’area del profilo o di una sua sezione netta (depurata di fori) quando il profilo è collegato in modo simmetrico rispetto al baricentro; penalizzazioni in caso di collegamenti eccentrici (CNR 10011).
TRAZIONE
( )..LSN fA deff
dN ≤=σ
( )..ATNadm
effAN σσ ≤=
COMPRESSIONE
( )..LSN fA d
dN ≤=σ
( )..ATNadm
d
AN σσ ≤=
A è l’area netta del profilo, depurata dei fori.
FLESSIONE( )..max LSf dd ≤σ( )..max AT
admσσ ≤
L
1
ψ
ψMef res ψMe
Μ/Me
χ/χeεr/εe
FLESSIONE RETTA
wMψσ =max
ψ ≥ 1: coeff. adattamento plastico (o di forma).
FLESSIONE DEVIATA
ψσ 1max ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Y
Y
X
X
WM
WM
ψΜe: valore del momento che produce una freccia residua allo scarico fr = L/1000.χ/χe = ε/εe (sezioni simmetriche).
ψ ≅ 1 (cautelativo)
PRESSOFLESSIONE
( )..max LSf ddNd ≤+σσ( )..
maxAT
admN σσσ ≤+( )..
3maxLS
AwV f dd ≤≅τ
( )..3max AT
AwV admστ ≤≅
TAGLIO
TorsioneTorsioneLa teoria di d.s.v. sottovaluta la resistenza a torsione delle travi a sezione aperta in
parete sottile.Risultati più realistici si ottengono con la teoria delle aree settoriali o della torsione
non uniforme. Flusso primario classico (d.s.v.) associato alla torsione pura o uniforme
Flusso secondario associato alle τ legate (equilibrio) alle σ dovute all’ingobbamento disuniforme delle sezioni generato dal flusso primario (torsione d’ingobbamento)
Flusso delle τ dovute al torcente
TORSIONE PURA
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≅
⋅== circolaresezioneperII
IGT
dzd
tt
0' θθ
∫∫
Ω⋅=⋅
⋅Ω⋅=
⋅Ω⋅=
S
tSds
t
IdstG
Tdzd
tT
141
42
2
2
θτ
In sezione aperta a spessore sottile:
t
S
n
iiit
ItTtG
tbdstI
⋅=⋅⋅=
⋅≅= ∫ ∑=
'
31
31
max
1
33
θτ
n = numero di elementi costituenti la sezione
In sezione cava a spessore sottile:
TORSIONE DA INGOBBAMENTO IMPEDITOTrave con appoggi con vincolo torsionale. Nella mezzaria spostamenti w = 0 per
simmetria. Nella mezzaria torsione d’ingobbamento impedito, agli estremi (w = 0) torsione primaria ⇒ torsione mista.
Nelle altre sezioni sono presenti entrambi i comportamenti torsionali.
In una trave a sezione costante soggetta a torsione la componente wd’ingobbamento vale:
con ω = ω(x,y) = area settoriale (funzione della geometria della sezione).
dzdw θω=
w rappresenta il doppio dell’area generale dal raggio C-M per M che descrive la linea media della sezione.
Fissando M0 (punto qualunque della linea media):
Variando w in funzione di z risulta:
La funzione è tabulata per i profili più usuali unificati. Insorgono anche tensioni tangenziali nella sezione trasversale:
Il torcente secondario si ottiene per integrazione dei momenti delle forze di taglio rispetto al centro di taglio:
( ) ( )∫==S
t dsss0
τωω
"" ,,, θωεσθωε ωωω ⋅⋅=⋅=⋅=∂∂
= EEzw
zzz
( ) ∫=⋅⋅
−=A
dAsScont
SEω
θτ ω
ωω
|||
momento statico settoriale
∫=⋅⋅−=A
dAIconIET 2||| ωθ ωωω momento d’inerzia settoriale
TORSIONE MISTA
TT
Tω
Tω
TT
In generale per effetto torcente sono presenti τT, σzw, τw. In ogni sezione il torcente si decompone in:
ωTTT T +=
La ripartizione del torcente tra TT e Tω è fortemente dipendente dalla geometria della sezione.
Nelle sezioni piene o a cassone Tω è sempre trascurabile rispetto rispetto a TT.Nelle sezioni aperte TT può essere trascurabile rispetto a Tω e quindi trascurare
l’ingobbamento impedito può portare a notevole sottostima della resistenza torsionale dei profili usuali.
Qui di fianco si nota il quadro riassuntivo completo delle tensioni da torsione mista.
Ripartizione tra TT e Tω:
Se il torcente unitario applicato vale:
|||
'
θ
θ
ωω
ω
⋅⋅−=
⋅⋅=+=
IET
IGTTTT
TT
T
( ) ( )
( )ztIGIE
ztdzdTdz
dzdTTztT
T =⋅⋅−⋅⋅⇒
=−⇒=+++−
"
0
||| θθω
( ) ( ) ( )zezqzt ⋅=
la condizione di equilibrio per l’elemento di lunghezza dz è:
(eq. differenziale 1° ordine)
L’integrale generale è del tipo:
Imposte le condizioni al contorno per ricavare C1, C2, C3 e C4, si ottiene:
'
"'
||| θθ
θθω
ω
ωω
⋅⋅+⋅⋅−=
⋅⋅−=⋅=
TIGIET
IEMw
Lo stato tensionale completo nel sistema di coordinate generalizzate vale:
ω
θθIEIG
LkconzLkchCz
LkshC
LzCC T
⋅⋅
=++++= 43210
k: lunghezza adimensionale caratteristica della trave
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )stxT
sSIT
sSIT
sSIT
sts
IM
xI
My
IM
T
TT
yy
yx
x
x
y
y
x
xz
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++=
++=
τ
τ
ωσ
ωω
ω
ω
ω
1
VERIFICHE DI STABILITAVERIFICHE DI STABILITA’’Elementi compressiElementi compressi
- Pilastri di strutture pendolari in cui le azioni orizzontali sono affidate ad elementi di controvento;
- Aste delle strutture reticolari.In relazione alla forma della sezione trasversale l’instabilità può manifestarsi con tre
diversi meccanismi:- Instabilità piana: inflessione guidata in un piano (sezioni a doppio asse di simmetria) coincidente con quello di massima snellezza;- Instabilità torsionale: interessa sezioni con rigidezza torsionale secondaria trascurabile (sezioni a croce);- Instabilità flesso-torsionale : combinazione delle precedenti.
Le imperfezioni di natura costruttiva devono comportare uno scostamento dalla configurazione rettilinea non superiore ad 1/1000 della lunghezza libera di inflessione (altrimenti elementi precompressi):
10001
00 ⋅≤ lV
La lunghezza libera di inflessione è funzione della lunghezza reale dell’asta e delle condizioni di vincolo:
ll ⋅= β0
- β = 1 se i vincoli sono assimilabili a cerniere;- β = 0,7 se i vincoli estremi sono assimilabili ad incastri;- β = 0,8 se un vincolo è assimilabile a cerniera e l’altro ad incastro;- β = 2 se ad un estremo è un incastro perfetto,e l’altro è libero.
Nelle diverse tipologie si adottano le seguenti indicazioni:
Aste di corrente di travi reticolari piane
β = 1 nel piano della travatura;β = 1 nel piano ortogonale alla travatura se esistono ritegni rigidi di estremo, in caso di ritegni elastici urgono verifiche più accurate;
β = d/l ≥ 0,8 dove d è l’interasse tra le giunzioni;
Aste di parete di travi reticolariβ ≥ 0,5 nel caso d’incrocio di aste tese e compresse con resistenza del nodo non minore di 1/5 dello sforzo di estremo dell’asta compressa;
valori di β.
nel piano di parete
fuori dal piano di parete
Colonne di edifici β = 1 in presenza di ritegni rigidi a livello dei piani.
In ogni caso deve risultare:
Ll0=λ
- ≤ 200 nelle membrature principali (azioni statiche);- ≤ 250 nelle membrature secondarie (azioni statiche);- ≤ 150 nelle membrature principali (azioni dinamiche);- ≤ 200 nelle membrature secondarie (azioni dinamiche).
La verifica di sicurezza comporta che risulti:
νσσ ≥c
- ν = 1,0 stati limite;- ν = 1,5 tensioni ammissibili condizione 1;- ν = 1,5/1,125 tensioni ammissibili condizione 2.
σσ N cc =
tensione corrispondente alla forza che comporta l’inflessione laterale nel piano considerato.
AN=σ tensione di compressione media corrispondente al carico N presente.
Come tecnica di verifica si utilizza il metodo che riduce la verifica di stabilità a quella statica corrispondente, ma con una azione maggiorata:
σω
admAN
=⋅
σσσω ν
c
y
c
admf
==con
Per sezioni doppiamente simmetriche o dotate di un unico asse di simmetria ortogonale (limitatamente ad un inflessione nella direzione di tale asse) i valori di
f y
cσω
=1
sono tabulati per quattro tipi di sezioni in funzioni del rapporto λ/λc, dove λc è la snellezza corrispondente al limite di validità del comportamento elastico della membratura.
f yc
Eπλ =da ⇒2
2
cy
Ef λπ
=
I valori diagrammati corrispondono a quei tabulati e per le 4 curve risulta(riportate in forma tabellare nel CNR 10011/88):- curva a: tubi (quadri, rettangolari e tondi);- curva b: sezioni a I laminate con h/b>1,2;
sezioni a I con ali rinforzate da piatti saldati;sezioni chiuse a cassone composte con saldatura;
- curva c: aste laminate diverse da b;sezioni aperte composte con saldatura;Aste composte da più profilati;
- curva d: aste semplici e composte con spessore t ≥ 40 mm.
I singoli elementi in acciaio possono essere composti dando luogo ad aste composte:- tralicciate (a);- calastrellate (b);- abbottonate (c).
Il comportamento delle aste composte dipende sia dalle prestazioni flessionali dell’asta semplice che da quello dei collegamenti che, deformandosi, esaltano le inflessioni e quindi gli effetti instabilizzanti.
La capacità portante dipende pertanto da i seguenti parametri:- Comportamento globale dell’asta;- Comportamento locale di ogni corrente;- Effetto delle azioni sui collegamenti.
Il comportamento globale dipende dalla deformabilità per flessione e per taglio che condizionano l’inflessione laterale dovuta alle imperfezioni iniziali. La deformabilità per flessione dipende dal momento di inerzia complessivo:
4222
11dAII ⋅⋅+⋅=
I1: momento inerzia singolo profilo;A1: area singolo profilo;d: distanza baricentri profili correnti
(2 correnti)
La deformabilità a taglio dipende da quella delle aste di collegamento e dei correnti, e precisamente:
Il comportamento di ogni corrente tra i collegamenti dipende dal tipo di collegamento, e precisamente:- Per aste tralicciate ogni corrente è un asta compressa con l0 pari all’interasse tra i collegamenti;- Per aste calastrellate ogni corrente è un asta pressoinflessa;- Per aste abbottonate ogni corrente è pressoinflesso.
- Nelle aste tralicciate dalla deformabilità assiale delle aste di parete;- Nelle aste calastrellate dalla deformabilità flessionale dei correnti e dei calastrelli;- Nelle aste abbottonate dalla deformabilità flessionale dei correnti e dall’eventuale scorrimento nella giunzione.
L’influenza del comportamento locale su quello globale è di facile valutazione. Viene quindi coperta da limitazioni dimensionali che ne riducono la portata a valori piùsignificativi.
La pratica progettuale porta ad una definizione di snellezza equivalente dell’asta composta, cioè:
- Nella direzione perpendicolare ad un asse principale d’inerzia (x-x) che taglia tutte le sezioni: snellezza valutata come per un’asta semplice;- Nella direzione perpendicolare ad un asse principale d’inerzia (y-y) che non taglia tutte le sezioni: λ dipende dal tipo di collegamento.
In presenza di calastrelli rigidi:
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
yYyeq i
li
l 0
min,1
11
21
2 ⋅==+=
βλλλλλ
50342
50;50342 ,1
1
,1
1 ≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≤>⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≤
C
x
yC
x
y NNse
il
oNN
il λλ
Deve in ogni caso risultare:
In presenza di traliccio (oltre alla verifica locale dei correnti):lt
At
l0
A/2ld
Ad
lt
At
l0
ld A/2
Ad
A B
( )AAl
Al
llA
t
t
d
d
tyeq ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅+=
33
20
2 10λλ
( )BAlllA
dt
dyeq ⋅⋅
⋅⋅+= 2
0
32 10
λλ
I collegamenti trasversali delle aste composte compresse e gli attacchi ai correnti si dimensionano per:
100NV ω
=N = forza assiale nell’asta;ω = relativo all’asta.
I calastrelli si calcolano ammettendo che il taglio si ripartisca in quote uguali tra i correnti: V/2
R
V/2
l0/2
l0/2
lt/2
t
t
llV
RlRlV 00
22
22⋅
=⇒⋅
=⋅⋅
Devono dividere l’asta almeno in 3 campi e presentare interasse costante.
Sezioni composte da aste ravvicinate calastrellate:Per distanze minori di 3 volte lo spessore ⇒ asta semplice purché i
calastrelli siano a passo minore di 50⋅imin (in figura calastelli a croce alternati).
Sezioni composte da elementi ravvicinati con imbottiture:La verifica si conduce per la singola asta composta con:
21
2 λλλ +=eqλ = snellezza effettiva;λ1 = snellezza locale tra le imbottiture del singolo profilo.
Aste compresse a sezioni aperte e chiuse con pareti di piccolo spessore:Per evitare che si manifesti un imbozzamento locale prima che l’elemento abbia
esaurito la sua resistenza di insieme occorre rispettare dei limiti dimensionali, quali riportati nella CNR 10011. Tali limiti dipendono dal materiale.
I limiti interessano i rapporti b/t. b1
t1
Travi inflesse a parete pienaTravi inflesse a parete pienaIntervento di sbandamento laterale e
torsione fino al collasso prima di esaurire tutte le risorse flessionali primarie.
Parametri influenti:- rigidezze flessionali;- rigidezza torsionale;- punto di applicazione del carico;- parametri di geometria e vincolo.
Il fenomeno è descritto dalle 2 variabili indipendenti µ e θ . Operando con le CNR 10011 deve risultare:
WM
eW
Mcon
x
DD
x
D
⋅=
⋅=≤
ψσ
ψσ
νσ
σ maxmaxmax
MD = momento max calcolato per il carico critico in campo elasto-plastico;W = modulo resistente relativo al lembo compresso.
h
b
t
Mm = momento medio nel campo di trave (L) considerato.
Travi laminate:
n = 1,5 per travi laminate;n = 1 per travi saldate.( )n
yxn
Dcr
DcryxD
ff
⋅+⋅⋅=
ψσ
σψσ
,
,
Tensione critica per instabilità flesso-torsionale in campo elasticoW
M crDcr =,σ
11 585,0 tb
LhE
f y
⋅⋅
⋅⋅
=ω≤⋅
⋅=
WM
x
eq
ψω
σ 1 fd (S.L.)σadm (T.A.)
ω1 = tabulato in funzione della geometria e tipo d’acciaio;t1 = spessore ali;l = distanza tra 2 ritegni torsionali successivi.
→=≤≤
→=≤≤
meqeq
meqeq
MMMMM
MMMMM
maxmax
maxmax
50,0
3,175,0 Travi appoggiate o continueTravi con sbalzi o mensole
Per travi a I approssimativamente si può controllare la stabilità nel piano trasversale supponendo l’ala compressa isolata dall’anima, per uno sforzo normale Neq:
≤⋅
=⇒==AN
MM
conSJ
MN eqeq
XX
eq
ωσηη
max1
max1
fd (S.L.)σadm (T.A.)
Elementi pressoElementi presso--inflessiinflessiF
l
2θ
θθ0
k
v Fmolla (b)Npl
Ncr
Nlim
(c)
(a)
θθ0 θlim
con θ0 = imperfezione iniziale.
Carico critico per modulo privo di imperfezioni
( )
NN
con
NN
NN
lkNper
lkN
kMlN
cr
cr
cr
cr
=−
=−
=⇒−
=⇒
=⇒=
−⋅=
−==⋅⋅
µθµ
µθθ
θθθ
θ
θθθ
θθθ
11
40
4
22
00
0
0
0
Alla plasticizzazione della molla:
lk
Ml
MN
kMlNMvN
pl
pl
plpl
⋅+⋅=
+=⇒⋅⋅==⋅
2
222
0
lim
0lim
θ
θθθ
Il comportamento dell’asta continua è descritto dalla curva (c), con una transazione più graduale dalla curva (a) alla curve (b), dovuta alla progressiva plasticizzazione della sezione critica.
La norma italiana adotta una formulazione che tiene conto della forma del diagramma di momento agente sull’asta. Deve risultare:
aeqbabaeq MMeMMconMMMM 4,04,06,0 >≥−==⋅β
≤
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⋅+
crNNW
MAN
νψ
βω1
fd (S.L.)σadm (T.A.) con σcr = tensione critica euleriana
β = 1 se M = costanteMa Mb
Nel caso di presso-flessione deviata:
≤
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⋅+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
⋅+
YcrYY
eqY
XcrXX
eqX
NNW
M
NNW
MAN
,
,
,
,
11 νψ
β
νψ
βω
fd (S.L.)σadm (T.A.)
Elementi inseriti in un complesso strutturaleElementi inseriti in un complesso strutturale- Condizioni di vincolo non perfette e spesso variabili in funzione del carico;- Necessità di valutare la rigidezza e resistenza dei vincoli e la conseguente reale
lunghezza libera di inflessione.P P P
l
l1
EA
l
k=EA/l1
v
In realtà l’intervento della plasticizzazione rende più complesso il problema.Le norme danno regole empiriche e forfettarie di riferimento che portano a
dimensionare i vincoli per forze comprese tra L’1% ed il 2% del carico agente sull’elemento da stabilizzare.
3
2
2
2
2l
IEkpermeccanismo
lkPlvkvPl
IEP
crcr
cr
⋅⋅<°
⋅=⇒⋅⋅=⋅
⋅⋅=
π
π
Aste vincolate agli estremi → l0 = βl
l β = 1 l β = 0,7 β = 2l
l β = 0,5 β = 2β = 1l l
P
l
a
k=a/l
k β0,0 1,000,2 1,240,4 1,560,6 1,930,8 2,311,0 2,70
l
P
a
k=a/l
k β0,0 2,000,2 2,130,4 2,270,6 2,410,8 2,551,0 2,70
Aste con vincoli intermedi
Aste con vincoli elasticiMolto spesso i vincoli delle aste non possono esser ritenuti rigidi, allora la loro
deformabilità abbassa la sicurezza nei confronti dei fenomeni d’instabilità.
l
P
oppure
l0=l l0>l
vincolo molto efficace
vincolo poco efficace
- La rigidezza minima efficace del vincolo elastico deve essere valutata tenendo conto delle imperfezioni iniziali;- Il vincolo deve essere verificato in termini di resistenza nei confronti delle reazioni vincolari che vi insorgono, legate alla sua rigidezza.
Il problema interessa essenzialmente i ponti a sezione aperta (a via inferiore) e le coperture industriali realizzate con capriate la cui briglia superiore è controventata da orditure secondarie opportunamente intervallate.
Il problema è stato inizialmente risolto da Engesser nell’ipotesi di corrente compresso rettilineo, a sezione costante, sollecitata da carico assiale costante, con estremitàincernierate e supporti elastici uniformemente distribuiti.
k = F/v v = spostamento vincolo;F = reazione vincolo.
Secondo Engesser l’asta raggiunge il carico critico in campo elastico se:
( )
( )( )2
22
min2
22
2
min
4
2,14
lPlP
kkrisultaredevelP
EIpoiché
pervalidaEI
lPkk
cr
crcr
cr
⋅⋅
⋅⋅=≥
⋅⋅=
≥⋅
=≥
βπ
πβ
β
La procedura è poi stata estesa al campo plastico e si applica come di seguito indicato.
PlC=βl
lC
k
l
l0
N ke
ki
ki
ki
kea) Sezione e N costanti, appoggi elastici intermedi equidistanti e di ugual rigidezza:Si determina la rigidezza k0 (n = numero di campi):
( )0
20
02
2
0 423212
422,12
lNkn
lNknn ⋅−=⇒≤≤=⋅=⇒≤≤> ββ
βπβ
ricavando λy in funzione di ω (da fd ⋅ A/N o σadm⋅ A/N).
y
y
il 0
λβ =
Deve risultare:( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) cedevoliestremivincoliATkkoLSkk
cedevoliestremivincoliATkkoLSkkrigidiestremivincoliATkkoLSkk
eiei
iiii
ii
⇐⋅⋅≥≥⇐⋅⋅≥≥
⇐≥≥
..5,1....5,1..
..5,1..
00
00
00
ηηηη
Verifica:
con ( )notoconi
ei ξξη
ηβξβξβξη =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅⋅+⋅⋅
−+⋅⋅+
= 26,0141,111
26,01
Progetto:
βηη
η1
36,0/6,0−
=i
ie ηi noto
In ogni caso ηi ≥ 1,1 e β ≥ 1,2.
b) Sezione variabile da campo a campo, N variabile, campi di lunghezza variabile e rigidezze dei vincoli intermedi variabili:Si usa la procedura precedente assumendo:- N = Nmax- l0 = l0,min- β = media aritmetica dei diversi valori di β- ξ = ki,min/ke
I vincoli elastici si dimensionano per:
estremiappoggiN
F
inermediappoggiN
F
e
i
100
100
max
max
=
=β
con Nmax = max forza nei campi adiacenti al vincolo.
β = 0,7 (1)
β = 0,5 (0,7)
β = 2 (>2)
β = 1 (2)
Aste appartenenti a telail0 = distanza tra i 2 punti consecutivi di flesso della deformata critica in campo elastico
di un ritto semplicemente compresso.
Verifica di stabilità globale:Si considera agente nella combinazione più gravosa dei carichi verticali un sistema di
forze orizzontali pari ad 1/80 dei carichi verticali.Gli spostamenti orizzontali conseguenti non devono superare 1/500 dell’altezza totale
del telaio.
Lastre piane irrigiditeLastre piane irrigiditeIl comportamento instabile è strettamente influenzato dal tipo di sollecitazione.
S’individuano 2 categorie di problemi:
Lastre compresse Lastre inflesse
Piattabande e impalcati Anime
Poche riserve in campo elastico Molte riserve in campo elasticoLASTRE COMPRESSE
σ1
σ2
τ
Sono soggette a:- Tensioni flessionali σ1 associate al
comportamento d’insieme di tutta la struttura;
- Tensioni tangenziali complanari τ dovute al comportamento globale a taglio e torsione (primari e secondaria);
- Tensioni normali trasversali dovute alla deformazione trasversale ed alla presenza d’irrigidimenti (σ2);
- Tensioni flessionali nello spessore dell’impalcato dovute agli effetti locali dei carichi.
Sono possibili 4 tipi d’instabilità:
Imbozzamento locale dei singoli pannelli tra le nervature
Instabilità locale della nervatura (aperta) o di una sua parte (chiusa)
Instabilità globale della lastra con inflessione longitudinale tra gli irrigidimenti trasversali
Instabilità globale della lastra con inflessione trasversale tra le travi di bordo
LASTRE INFLESSE
σ1
τ ψσ1
σ1
ψσ1
a
σ2
σ2I pannelli d’anima compresi tra le ali. Travi e
nervature verticali d’irrigidimento sono in genere soggetti a flessione composta e taglio.
Molte riserve in campo plastico per via della forma dei diagrammi tensionali.
Modalità di verifica:- calcolo del coefficiente d’imbozzamento
sulla base dello stato tensionale nel pannello (kσ);
- Calcolo tensione ideale d’imbozzamento:σr = kσ σcr,0 (quest’ultimo da tabella).
Deve risultare:
22
11
221
,221
,
43
41
3
3⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
−+⋅
+
+=⋅≥
+
crcrcr
idcridcr
ττ
σσψ
σσψ
τσσνβ
τσ
σ
03
0:
0
00
1,
,
1max,11
11
==
==
<=
>=
στσ
τσσ
τ
σσσ
σσ
se
sedove
animasolasuvalutata
camponelsecon
camponelsecon
cridcr
cridcr
MdaNda
per
per
m
n
mn
mn
σσσσ
αβ
ασσ
σσβ
==
>=
≤+
+=
5,11
5,180,0
2
,
2
,,
,
25
152520
8,0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=
≅>
idcr
y
idcr
y
didcr
idcrdycr
f
f
f
esostituiscsiaffrisultaSe
σ
σσ
σσ
ANALISI DI STRUTTURE IN ACCIAIOANALISI DI STRUTTURE IN ACCIAIOI procedimenti dell’analisi limite trovano alcuni limiti nei seguenti problemi:- Necessità di tenere in conto di un numero cospicuo di condizioni di carico;- Presenza di imperfezioni geometriche (aste non rettilinee), costruttive (verticalità
delle colonne) , Autotensioni.
Sono detti a nodi fissi quei telai che non hanno resistenza apprezzabile ad azioni orizzontali e richiedono dunque un contoventamento o un accoppiamento con strutture molto rigide che si caricano integralmente le azioni orizzontali.
La loro deformabilità ad azioni orizzontali comporta che i corrispondenti spostamentinon causino apprezzabili effetti sui regimi di sforzi.
Non si commettono errori importanti a considerare schematizzazioni semplici come le travi continue.
Telai a nodi fissiTelai a nodi fissi
TRAVI- Profilati di classe III e IV :
calcolo elastico lineare, il carico ultimo corrisponde al raggiungimento del momento ultimo nella prima sezione;
- Profilati classe I e II : E’possibile effettuare una analisi limite.
Bisognerà, inoltre, evitare instabilità flesso torsionali.
COLONNE- Caso A detto pendolo: si effettua la verifica di instabilità dell’asta reale al carico
di punta (instabilità euleriana);- Caso B: si effettua la verifica del carico di punta in presso flessione (Instabilità
Euleriana);I controventi saranno calcolati tenendo conto delle imperfezioni di verticalità, e degli
effetti del 2°ordine.
Telaio con nodi rigidi
Nodi flessibili o semi-rigidi
Nodi flessibili pendolari
A)B)
Telai a nodi rigidiTelai a nodi rigidiSono telai progettati per sopportare, integralmente o parzialmente, azioni orizzontali,
azioni orizzontali. Essi dunque prevedono collegamenti tra travi e colonne che possano trasmettere M, T e di solito usano unioni rigide (giunti saldati, bulloni ad attrito), e sono più onerosi.
I punti A,B e C rappresentano le successive cernierizzazioni, mentre da C in poi si hanno i seguenti fenomeni:
- Effetto P-δ;- Non linearità geometrica e
conseguente instabilità globale. Le difficoltà dell’analisi sono:- Non linearità geometrica;- Non linearità meccanica;- Influenza delle imperfezione;- Instabilità locale.La non linearità geometrica si risolve con il metodo della matrice geometrica o il
metodo P-δ.
La non linearità meccanica si affronta con i metodi basati sull’ipotesi della plasticitàaddensata , tuttavia è necessario verificare di volta le rotazioni delle cerniere. Nelcaso di profilati di classe III e IV le instabilità premature vanificano l’analisi limite, cosicché il collasso avviene alla formazione della prima cerniera, cioè il calcolo avviene in campo elastico.
Per quanto riguarda le imperfezioni, generalmente si tiene conto, in sede di analisi strutturale, dei soli difetti costruttivi. Delle imperfezioni nelle aste e delle autotensioni si tiene conto in sede di verifica locale.
DUTTILITADUTTILITA’’
Definiamo:- Me: momento elastico, per cui ε,
deformazione massima, raggiunge il limite elastico;
- Mu: momento ultimo, per cui ε = εu;- Mp: momento plastico, per cui ε = ∞;- µ0 = εu/εe :duttilità del materiale;- β = Mp/Mu: fattore di forma della
sezione.
Nello studio del comportamento elasto-plastico delle travi e strutture monodimensionali in acciaio solitamente si fanno le seguenti ipotesi:
- Ipotesi di Navier (cioè il mantenimento delle sezioni piane);- Piccoli spostamenti;- Materiale elastico-perfettamente plastico (diagramma di Prandtl);- Assenza di fenomeni di instabilità.
DuttilitDuttilitàà delle sezionidelle sezioniSezione rettangolare.Per l’ipotesi di Navier:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅−⋅
⋅⋅=
⋅⋅−
⋅⋅=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅=
ε
εσσσσσ 2
2222
311
434322
422 eoeooeeo
ohbYbhbYYbhhbM
Considerando che si ha , considerando che42hbo
pM⋅⋅
= σ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅−⋅Μ=Μ
u
eeu ε
ε 2
311
e
u
εε
µ =0
MM po
ohbhhb
e 32
6232
222
2=
⋅⋅=⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅= σσInoltre, poiché da cui:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅=
εε
εε
uee
ue MMM p
223
2311
2hY e
e εε =
εε e
eh
Y ⋅= 2
Eo
eσε =
da cui
dove
Dunque il fattore di forma per sezioni rettangolari risulta:
23
==MM
e
pβ
Se l’anima è molto sottile β ≅ 1 e:
In realtà vi sono altri fattori che condizionano i diagrammi momento curvatura e precisamente:
- Presenza di autotensioni parassite;- Ramo incrudente dell’acciaio
(solitamente trascurato per insorgenza di fenomeni d’instabilità).
0022 σσ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≅ hsbhsbM p A1
A2
A1
A2
-σ0
σ0 σ0
-σ0
-
+
-
+
221AAA ==
DuttilitDuttilitàà della strutturadella strutturaLa duttilità strutturale porta comunque diversi
vantaggi:1. Collasso duttile e non fragile;2. Attenuazione dei picchi di sollecitazione e
capacità di ridistribuzione nelle strutture iperstatiche;
3. Attenuazione delle sollecitazioni dovute ad azioni sismiche, dinamiche, impulsive.
Tuttavia, a una duttilità anche illimitata del materiale o della sezione corrisponde una limitata duttilità della struttura.
1
1
αδ
P
1
χ/χe
M/Me
l
l
M1(x)
χe
-
ESEMPIO: MENSOLA
Lunghezza tratto plasticizzato dipende dall’incrudimento del diagramma M-χ
( ) ( ) ( )
e
u
e
u
ll
e
dxxedxxxM
αα
µδδ
µ
χαχδ
αδ ==
=⋅= ∫∫00
1
La duttilità della struttura aumenta se si ha un apprezzabile incrudimento nel diagramma momento-curvatura, e in particolare aumenta con il beneficio plastico β, fattore di forma.
La duttilità è limitata dal fatto che la plasticizzazione si estende a tratti limitati. Ciò èdovuto alla variabilità del momento flettente, e cioè alla presenza del taglio.
INFLUENZA DEL TAGLIOIl taglio può avere un ruolo importante nella
plasticizzazione di sezioni a doppio T, al punto che a volte si considera l’anima già plasticizzata, assumendo che il collasso avvenga non appena sopraggiunge la plasticizzazione nelle ali.
La plasticizzazione prematura dell’anima rispetto alle ali, permette la progettazione di controventi duttili.
In particolare la struttura viene progettata in modo che la plasticizzazione a taglio avvenga prima dell’instabilizzazione dei controventi, che determinerebbe un collasso repentino e poco dissipativo.
irettngolarsezioniper79,169,11050 ÷=⇒÷= αµµ
INSTABILITAINSTABILITA’’ DELLE TRAVI IN REGIME DELLE TRAVI IN REGIME ELASTICOELASTICO
Ci riferiamo a travi di Eulero-Bernulli, limitatamente deformabili, cui sia applicabile la teoria linearizzata (cos ϕ = 1, sen ϕ =0).
Dunque:
⇒−= )(4
4
xpy
EJdxd
⇒=⋅=⋅⇒ dxy
PdyPdxxpdxd
2
2
)(
⇒=+⇒ 02
2
4
4
dxd
dxd y
Py
EJ
EJP
=α 2con
yy
dxd
dxd 02
22
4
4
=+⇒ α
CCCC xxsenxy 4321cos +++= ααSoluzione:
Proviamo a costruire la matrice di rigidezza della trave sulla base della teoria linearizzata , imponendo le seguenti condizioni al contorno:
0)0( =y
ϕ=)0('y
0)( =ly0)(' =ly
041 =+ CC ϕα =+ CC 32
0cos 4321 =+++ CCCC lsenλλ 0cos 321 =++− CCC sen λαλα
Dsen
Cλλλ
αϕ cos
1−
⋅= Dsen
Cλλλ
αϕ −−
⋅=cos1
2 DCλϕ cos1
3−
⋅= CC 14 −=
CCC xxseny 321 cos' ++−= ααααPoichési ha:
avendo posto α ⋅ l = λ.Risolvendo:
λλλ senD −−= cos22ove .
( ) ( )xsenCxCy αααα 22
12 cos'' −−=
( ) ( )xCxsenCy αααα cos''' 23
13 −=
I COLONNA:
( )xsenxEJEJy CCM αα αα 22
12 cos'' +=−=
ϕλφ
ϕλλλλλλλϕα
⋅⋅=
=⋅−
⋅⋅=−
⋅==
)(
coscos)0(
lEJ
Dsen
lEJ
DsenEJMM A
ϕλχϕλλλ
λλλλϕαλλλλϕα
⋅⋅=⋅−
⋅=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
−−⋅+⋅
−⋅−=−=
)()(
cos1coscos)(
lEJ
Dsen
lEJ
senD
senD
senEJlMM B
( ) ϕλωϕλ
ϕλχλφ λ ⋅⋅=⋅−
⋅⋅=⋅+
⋅=+
=−=ll
EJDll
EJll
EJl
MM BABA VV )()cos1(1)()(
2
II COLONNA:η=)0(y 0)0(' =y 0)( =ly 0)(' =ly
η=+ CC 41
032 =+ CCα
0cos 4321 =+++ CCCC lsenλλ
0cos 321 =++− CCC sen λαλα
ηλ⋅
−=
DC1cos
1 ηλ⋅
−=
Dsen
C2
ηλλ⋅⋅−=
Dsen
lC3ηλ
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=DCcos114
( )xsenxEJEJyx CCM αα αα 22
12 cos'')( +=−=
ηλωηληλ λα ⋅⋅−=⋅−
⋅=⋅−
⋅==ll
EJD
EJD
EJMlM A
)(1cos1cos)0( 2
22
ηλω⋅⋅−==−=
llEJlM MM AB
)()(
ηλωηηλω⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=⋅−⋅⋅=−=
EJP
lEJ
lP
lEJ
llVV BA 22
)(2)(2
Dunque nell’ipotesi che P non vari apprezzabilmente, il problema rimane lineare e la matrice di rigidezza [K] della trave assume la forma seguente:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−−
−
+−−−
−−
⋅=
EJP
lEJP
l
ll
EJP
lEJP
l
ll
lEJK
ll
ll
22
22
)(2)()(2)(
)()()()(
)(2)()(2)(
)()()()(
λωλωλωλω
λωλφλωλχ
λωλωλωλω
λωλχλωλφ
ANALISI STRUTTURALE DEL 2ANALISI STRUTTURALE DEL 2°° ORDINEORDINERiprendiamo la formulazione di rigidezza della trave derivante dalla teoria
linearizzata. La trave fa parte in genere di una travatura più complessa e lo sforzo normale non può, se non con approssimazione, essere considerato costante : Insorge dunque un problema di non-linearità detta geometrica. Ulteriori problemi computazionali in un eventuale calcolo iterativo derivano dalla presenza di termini non lineari nella stessa matrice locale.
E’ possibile attuare un procedimento semplificato basato sull’assunzione di una deformata con legge cubica. In altre parole, gli effetti del 2° ordine sui nodi vengono calcolati con riferimento agli spostamenti calcolati con la teoria del 1°ordine.
Nella costruzione della matrice di rigidezza, una volta imposto uno spostamento unitario su un movimento, oltre alle reazioni del 1° ordine, si calcolano le reazioni rispetto alle sollecitazioni del 2° ordine, che andranno in una matrice detta “Geometrica” [K]G.
[ ] [ ] η⋅+=− KKSS G0
Ai fini del calcolo di [K]G, la rotazione apparente dell’asta assume carattere dominante, per cui facendo riferimento al seguente schema:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
⋅−=
000000010010000000000000010010000000
lP
KGeffetto sway (deragliamento)
l1
≅δ
Metodo P Metodo P -- δδValuta approssimativamente gli effetti del 2° ordine utilizzando esclusivamente la
matrice di rigidezza elastica sulla base del cosiddetto effetto “Sway”.Facendo riferimento alla figura seguente si scrive l’equazione di equilibrio della
generica trave di un telaio:
∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆
+
++−p i
ii
i
iii h
Nh
NH
1
11δδ
( ) ψ⋅−=∆ +QQH iii 1
Il calcolo è iterativo e di volta in volta si considera l’aggravo di carichi orizzontali aggiuntivi ∆Hi, finché questi diventano sufficientemente piccoli.
Tale metodo permette anche la valutazione di carichi orizzontali aggiuntivi dovuti ad imperfezioni di verticalità ψ del telaio:
INFLUENZA DELLA DEFORMABILITAINFLUENZA DELLA DEFORMABILITA’’ A A TAGLIO SUL CARICO DI PUNTATAGLIO SUL CARICO DI PUNTA
Y
Pϕ
P(ϕ+dϕ)ϕ
Il taglio determina una rotazione aggiuntiva del concio che non genera flettenti e va detratto dall’eq. della linea elastica:
tagliodifattoreconAGyP
AGTyT =
⋅⋅
⋅=⋅
⋅= χχχ ''
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅
−=
=⋅⋅
+⇒=+−⋅
AGPJcon
yJE
PyPyyyJE IIIVIIIVT
IV
χ1*
0*
0
AGP
PP
AGP
PPcuidaE
Ecr
crEcr
⋅⋅+
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅
−=χ
χ
11
L0
T
T
msLt
α
γd
t
AECosLT
⋅⋅⋅
α2
d
t
AECosLT
⋅⋅⋅
α3
αT
T/Cos α
Nel caso di sezione piena in acciaio (l = altezza asta incernierata, b = base minore sez.) si trova:
( )
22
2
6,2
12
2,1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅
=⋅⋅
lb
AEl
JE
AGPE
ν
πχ
Valore generalmente trascurabile. Invece tale riduzione assume importanza nel caso di aste calastrellate e tralicciate.
ESEMPIO: TRALICCIO
003
003
0
cos'
cos
LAEL
LAEL
TAG
LAELT
LAELT
Ls
t
t
d
t
t
t
d
t
⋅⋅+
⋅⋅⋅==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅=⇒
⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
⋅==
αγχγ
αγ
tt AE
TLm⋅
=
ESEMPIO: TRALICCIO
In entrambi i casi il problema si può impostare nella forma seguente:
γ’, e dunque λ1, dipendono in generale da considerazioni teoriche corroborate e calibrate da prove sperimentali.
T/2T/2
T/2 T/2
L0
Lt s1 s2
correnteinMomentoJE
LTs
icalastrellinMomentoJELLT
st
t
:48
:24
0
30
2
20
1
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅
=
0
200
2412'
JEL
JELL
TAG t
t
⋅⋅+
⋅⋅⋅
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅=
γχγ
( )( )
Eeq
Eeq
Ecrit
Pe
P
PE
⋅⋅=+=
⋅+=
⋅+⋅
=
'
'1
'1
221
21
22
22
2
2
γλλλλλ
γλλ
γλπσ
INSTABILITAINSTABILITA’’ LATERALELATERALEL’instabilità laterale interessa tipicamente le travi inflesse con anima molto sottile. In
alcuni casi, un leggero sbandamento laterale o una torsione, possono portare alla instabilità.
Esaminiamo il caso di una trave rettangolare soggetta a momenti costanti applicati sulle estremità.
Si osserva che la configurazione variata determina dei momenti aggiuntivi che dovranno rispettare le seguenti relazioni:
ϕϕ xzyyy MME J ⋅−== 0' ϕϕ yzxt MG J ⋅= 0'
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅=⋅=
JEMMMGy
xzzyzxtJ
ϕϕϕ 000 '''
0''20 =⋅+ ϕϕ x
y
zxt JE
MG J
0'' 2 =⋅+ ϕϕ λ xx
( )( )JEJGM
yt
z2
2 0=λ
Derivando la seconda relazione e sostituendo si ottiene:
La soluzione è:xBsenxAx λλϕ += cos
Se imponiamo e (rotazioni impedite sugli appoggi), troviamo:
0)0( ==xxϕ 0)( == lxxϕ
( )( )( )
lJEJG
Myt
zo critico ⋅= π
( )( )( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅⋅⋅=
−
MJGP
lJEJG
Moz
tytzo critico 2
5,0
1π
0=⋅ xsenB λ0=A eOltre alla soluzione banale (B = 0) , si trova
πλ Kl = ( )( ) πKlJEJG
Myt
oz =⋅ossia
Il valore del carico critico è il più piccolo fra quelli associati ai diversi valori di K:
Nel caso in cui esista anche una forza assiale di compressione P, si dimostra che:
INSTABILITAINSTABILITA’’ E COLLASSO IN REGIME E COLLASSO IN REGIME ELASTOELASTO--PLASTICO DELLE TRAVIPLASTICO DELLE TRAVI
Imponendo le condizioni v(0) = 0 e v’(0) = 0 si trova: l
x
v P
ef
h
b
( )
( ) ( )JE
PovefexsenCxCv
vfePdx
vdJE
⋅=+++=
−+=⋅
ααα 21
2
2
cos
( ) ( )[ ]( )[ ]
( ) )cos
cos1cos1
acurval
lef
xefv
⋅⋅−
=
−+=
αα
α
La completa plasticizzazione di una sezione rettangolare si ha quando è soddisfatta la seguente equazione:
20
2
00 42
2''2
bMPbMMMyybMM
PPPP ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅−=⇒⋅⋅⋅⋅−=σ
σσ
20
20
1
4
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅=
⋅⋅=
PP
P
P
PP
MM
hbP
hbM
σ
σ
Poiché( )
2
6bh
efPAP +
+=σ
allora:
( ) )0142
bcurvah
efPP
P
=−+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
-
-σ0
σ0
-σ0
h
bσ0
-σ0
-
+
-
+
PM
MP
y'
1,5P/PP
0,82
A
BC
b)a)
c)
f/e
e/h=0,1La curva a) esprime la relazione tra il
carico P e lo spostamento in testa f.La curva b) esprime la condizione di
plasticizzazione completa nella sezione di base.
La curva c) esprime il collasso a carico di punta in regime elasto-plastico.
Corso diCorso diTECNICA DELLE COSTRUZIONITECNICA DELLE COSTRUZIONI
POLITECNICO DI TORINOII Facoltà d’Ingegneria
(Vercelli)
Docente:
Rosario Ceravolo
Dip. Ingegneria strutturale e geotecnica
PARTE 4:PARTE 4:
COSTRUZIONI IN CEMENTOCOSTRUZIONI IN CEMENTOARMATOARMATO
STATO LIMITE ULTIMO PER SFORZO STATO LIMITE ULTIMO PER SFORZO NORMALE E MOMENTO FLETTENTENORMALE E MOMENTO FLETTENTE
Idealizzazione del legame σ – ε per il conglomerato cementizio (D.M.’96).
Si osserva che, in presenza del solo sforzo normale, la deformazione non può superare il 2%o , in quanto, in base al diagramma reale non èpossibile una ulteriore traslazione del diagramma che porterebbe a instabilità (ad un aumento della deformazione media si avrebbe una diminuzione della risposta).
Diagramma parabola – rettangolo (D.M.’96).
( )Rf
CKCC
CK 83,085,085,0⋅=
γγ
per il D.M. è pari a 1,6
tiene conto della lunga permanenza del carico passaggio dalla
resistenza cubica a quella cilindrica
Il D.M. dà altresì la possibilità di considerare distribuzioni ulteriormente semplificate:
Idealizzazione del diagramma σ – ε per l’acciaio da C.A. (D.M.’96).
mmKNEs2/206tan ==α
γ s
yKyd
ff = con γs = 1,15 da D.M.
Ipotesi di base per lIpotesi di base per l’’analisi a rottura a momento analisi a rottura a momento e sforzo normalee sforzo normale
S’individuano 5 campi di possibile rottura (come da disegno qui di fianco):
Mantenimento delle sezioni piane;Le armature subiscono le stesse deformazioni del calcestruzzo adiacente;Il conglomerato reagisce soltanto a compressione;Le massime deformazioni del calcestruzzo si assumono pari al 3,5 a flessione e presso flessione, si assumono pari al 2 quando l’asse neutro tende all’infinito;La massima deformazione dell’acciaio si assume pari a 10 nel caso di acciaio ordinario, mentre nel caso di acciaio per calcestruzzo precompresso pari a εP50 + 0,010 essendo la deformazione impressa preventivamente.
Campo 1: trazione con debole eccentricità; è assente il contributo del calcestruzzo;Campo 2: pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell’acciaio;Campo 3: pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale di entrambi i materiali;Campo 4: pressoflessione con sfruttamento incompleto dell’acciaio;Campo 5: compressione con debole eccentricità.
Si osserva come il campo, e dunque la qualità del collasso, sia individuato univocamente dall’ordinata x che individua la posizione dell’asse neutro.
E’ possibile scrivendo le equazioni di equilibrio tipiche dei diversi campi, risalire alle superfici di interazione nello spazio (N, M) o (N, Mx , My) nel caso generale di flessione composta.
CAMPO 1
ove:
σ 221 AfAN ydRd +=
)'(221 ddAeNM RdRd −=⋅= σ
0222 >≤= σεσ conf ydsE
dd
XX
++
⋅= '010,02ε
CAMPI 2 - 3 - 4 - 4a
NRd
A1 σ1
A2 σ2
e1
A2
A1
d
d'
x
ε'2
σσ sdssdscdRd AAfN bx 12 '85,0 ++⋅⋅⋅=
)'(')( 285,0 ddAdbf sdscdRdRd XXeNM −⋅⋅+−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= σβα
εc = εc(x) ⇒ α, β tabellati in funzione di x/d = ξ.
Nei campi 3 – 4 – 4a εc = 3,5 ⇒ α, β cost.
α = 0,8095 e β = 0,4160
da eq. congruenza
CAMPO 5
σα sdsydscdRd AfAfhbN 12185,0 ++⋅⋅⋅⋅=
)'()( 21185,0 ddfAhdfhbeNM ydscdRdRd −+−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= βα
sssd
s
Exdx
εσ
ε
⋅=
=−
0035,0
α1 e β1 sono tabellati.
Diagrammi dDiagrammi d’’interazioneinterazioneLe relazioni possono essere scritte in forma adimensionale, ponendo:
dx
fdbfA
fdbfA
fdbN
fdbM
cd
yds
cd
yds
cdcd
=
⋅⋅
⋅=
⋅⋅
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
ξ
ωω
νµ
''
2: momento e sforzo normale ridotti
: rapporti meccanici d’armatura
: posizione relativa asse neutro
Si trovano così i diagrammi d’interazione:
Nel caso di flessione deviata (ν, µx, µy) spesso si usano speciali diagrammi a rosetta che informano per valori convenzionali prefissati di ν e che favoriscono l’interpolazione.
Molto comodo risulta anche il 2° metodo di Bresle (norme paesi dell’est):
M’yd e M’xd: valori sugli assi in corrispondenza di valori prefissati di νd.
µx
µy
µyµy
µy µx
µx
µx
ν=1 ν=0
νd
M'yd
Myd Mxd
M'xd
.cos2
1
21
t
tot
=
+=
ωω
ωωω
ove α proviene dalla sperimentazione.
1''
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ αα
xd
xd
yd
yd
MM
MM
Progetto: duttilitProgetto: duttilitàà e sfruttamento delle sfruttamento dell’’acciaioacciaioNel caso di una sezione con armatura doppia (ω, ω’) soggetta a µ e ν assegnati, le
incognite del problema restano ξ, ω e ω‘. Avendo due equazioni di equilibrio, potrei imporre ω/ω‘ e trovare ω e ω‘, oppure imporre ξ e trovare ω e ω‘.
Il dimensionamento, nella sua accezione classica, consisterebbe nell’aggiunta di una condizione di minimo di che permetterebbe di trovare ω, ω’, e ξ ottimi.
E’ tuttavia necessario fare alcune considerazioni sulla duttilità, con riferimento al comportamento di una trave in calcestruzzo armato sollecitata sino al collasso per flessione.
Curva A: Sezione non armata o armatura molto debole, il collasso è duttile ma repentino nel calcestruzzo dovuta ad una brusca diminuzione di ξ;Curva B: Si sfrutta la capacità plastica dell’acciaio, non quella del calcestruzzo;Curva C1: Si sfrutta sia l’acciaio che il calcestruzzo (campo 3) dove avviene il collasso;Curva C2: Sezione bilanciata (limite campo 3);Curva D-E: Armature forti. ξ elevato, quindi la duttilità diminuisce. L’abbassamento del baricentro delle compressioni diminuisce il braccio di leva e l’efficienza della armatura. La situazione è migliorabile con l’inserimento di armatura superiore ω’ che tende l’acciaio inferiore.
a) Duttilità della sezione;b) Sfruttamento completo della capacità resistente dell’armatura.
Il dimensionamento delle armature deve dunque garantire:
1) Capacità di ridistribuzione , ad esempio per i cedimenti;2) Collasso duttile;3) Buon comportamento rispetto ad urti e azioni impulsive;4) Buon comportamento sotto azioni sismiche.
La duttilità della sezione porta molteplici vantaggi:
Il progetto duttile si realizza collocando il collasso nei campi 2 o 3 (in modo che l’acciaio raggiunga lo snervamento), ossia si deve verificare che:
ysyss dxx
εξξ
ε +=<⇒⋅
+=<
0
0lim
0
0lim, %5,3
%5,3%5,3
%5,3
Inoltre si osserva che, all’aumentare di x, oltre all’aumento della risultante di compressione, si fa sentire anche la diminuzione del braccio de leva.
Si cerca xlim (con ω’ = 0) tale che:
hxxfxbdxd
dxdM H
cd ⋅=⇒=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅⋅⇒= 601,0085,00 lim2
βα
massimo del momento rispetto al baricentro costante nel campo 3
Si individua dunque:
PROGETTO A FLESSIONE SEMPLICE
( ) xxx csoptx limlimlim ;min ==
Operativamente:noti νd, µd, ω’=0
ξ < ξlim ⇒ progetto corretto
ξ = ξlim ⇒ si deve disporre ω’ ≠ 0
Equazioni nei campi 2 - 4 (per ora ω’ = 0):
⎩⎨⎧
=−=−
µβξαξωαξ
)(0
185,0
85,0
dove α e β sono funzioni note di ξ.Noto ξlim ⇒ µlim, ωlimIn sede di progetto:
µ ⇒ ξSe ξ ≤ ξlim ⇒ ω ovvero µ ≤ µlim ⇒ ω (da tabelle)
Se ξ > ξlim ⇒ è necessario servirsi di armatura superiore ω’ per mantenere ξ = ξlime riferendoci alle eq. in forma più generale con la ω’:
ove .
⎩⎨⎧
=−+−=+−
µδωβξαξωωαξ
)'1(')(0'
185,0
85,0
dd ''=δ
)'1(lim δωµµ −∆=−
)'1(lim
δµµ
ω−−
=∆
Ponendo ξ = ξlim, si osserva che imponendo armatura inferiore ωlim+∆ω e superiore ∆ω, ξ rimane invariato uguale a ξlim.
⎩⎨⎧
=−∆+−
=∆+∆−−
µδωβξαξωωωαξ
)'1()(85,0085,0
limlim
limlim
1da cui:
PROGETTO A PRESSOFLESSIONE - TENSOFLESSIONE
Se si aggiunge o si toglie un’armatura inferiore pari a per coprire lo sforzo normale, il procedimento rimane uguale a quello per la flessione semplice, a patto di considerare:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= − '
2d
hNMM ddsd
Nd
Md
MSd
Nd
Metodo n (tensioni ammissibili)Metodo n (tensioni ammissibili)E’ un metodo classico per il progetto e verifica a flessione e pressoflessione delle
travi in C.A.Il metodo ipotizza comportamento elastico lineare dei materiali e parzializzazione del
cls. E’ il metodo di solito più utilizzato per le verifiche alle tensioni ammissibili.
NAAxb
SSSSC =⋅−⋅+
⋅⋅σσ
σ''
2
( ) MddAxdxb
SSC =−⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⋅⋅'''
32σ
σ
C
SSS
C
EE
ndovexd
ndxn
x=
−=
−=
σσσ
'
'
Eq. equilibrio traslazione
Eq. equilibrio rotazione
Eq. Congruenza (ipotesi di Navier)
M
b
d
AS
N
A'S x
d'
σC
σ'S
σS
MSd
30
464
AS
ESEMPIO: PROGETTO A FLESSIONE
⇒ da tabella ω = 0,294 ⇒ ( )16781,13 φω =⋅⋅⋅=yd
cds f
fdbA
242,02 =⋅⋅
=cd
sd
fdbM
µ
Rck 250 ⇒
Feb44k ⇒
Msd = 2⋅105 N ⋅ m ⇒
21306,125083,0
cmKgffcd ≅
⋅=
2382615,1
4400cmKgff yd ≅=
Se Msd = 3⋅105 N ⋅ m: ⇒ ( ) 325,044363,0 lim2 =>=⋅⋅
= kFebfdb
M
cd
µµ
Cominciamo a dimensionare sulla base di µlim ⇒ ωlim = 0,4452
lim 86,20 cmff
dbAyd
cdottimale =⋅⋅⋅= ω
Per mantenere invariata la giacitura, ossia ξ = ξlim (valore ottimale) si aggiunge superiormente ed inferiormente ∆ω, ove:
⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=
−−
= 04160
4641
325036301
lim ,,,δ')(
µµ∆ω
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=∆=
=∆+=2
2lim
97,1''
83,22
cmAA
cmAA
ss
ss
ω
ωω
ESEMPIO: PROGETTO A PRESSOFLESSIONE
446
AS
30
25 Nd
Nd
MSd
301,02 =⋅⋅
=cd
sd
fdbM
µ
Rck 250 ⇒
Feb44k ⇒
Msd = Nd ⋅ (e+d) = 35000 ⋅ 0,72 = 2,485 ⋅ 105 N ⋅ m
21306,125083,0
cmKgffcd ≅
⋅=
2382615,1
4400cmKgff yd ≅=
⇒ ω ≅ 0,395 ⇒ ( )1675,18 φω =⋅⋅⋅=yd
cds f
fdbA
Acciaio per coprire lo sforzo normale (da aggiungere inferiormente):
235,9382635000 cm
fN
Ayd
ds ===∆
215,935,95,18 cmAfdb
fAA s
cd
ydss =−=∆−
⋅⋅
⋅=
ESEMPIO: PROGETTO A PRESSOFLESSIONE CON ARMATURA DOPPIA
46h/
2025
AS
30
Nd
A'S
Rck 250 ⇒
Feb44k ⇒
Msd = Nd ⋅ (h/2+e) = 50 ⋅ 0,50 = 25
21306,125083,0
cmKgffcd ≅
⋅=
2382615,1
4400cmKgff yd ≅=
425,0256,0
256,02
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
ων
µ
cd
d
cd
sd
fdbN
fdbM
66,21=⋅⋅⋅=yd
cdtot f
fdbA ω
( )18583,10 2infsup φcmAA ==
ESEMPIO: PROGETTO A FLESSIONE COMPOSTA
50
Ma
30
MbdbRck 250 ⇒
Feb44k ⇒
Nd = 400000 N Ac = 50 ⋅ 25 cm2
Mad = 2⋅ 105 N ⋅ m As,tot = 8 ⋅ AsMbd = 1⋅ 105 N ⋅ m da = 5 cm
db = 3 cm
21306,125083,0
cmKgffcd ≅
⋅=
2382615,1
4400cmKgff yd ≅=
7,0
201,0
171,0
205,0
2
2
=⇒⇒>⇒
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
=⋅⋅
=
ϖµµ
ν
µ
µ
rosettaadiagramma
fdbN
fdbM
fdbM
ba
cd
d
cd
sdb
cd
sda
268,35 cmff
dbAyd
cdtot =⋅⋅⋅= ω ( )2446,4
868,35 2 φcmA ==⇒
TABELLA RELATIVA AGLI ESEMPI SVOLTI
Per comodità si riportano i valori di µopt,s ed i corrispondenti ωopt,s per gli acciai italiani (fyk, fyd in Kgf/cm2):
Analogamente si mettono in evidenza i valori di µopt,s e ωopt,s per i valori di ξ = 0,955 e 0,90:
In definitiva in Italia si può assumere come valore limite µopt,c = µopt,s il valore 0,31 a cui corrisponde ω = 0,42 per qualunque acciaio con ξ = 0,95.
Sezioni a T sollecitate a flessione o Sezioni a T sollecitate a flessione o pressoflessione rettapressoflessione retta
Per il progetto di una sezione a T si possono usare le tabelle di seguito riportate, il metodo approssimato o quello generale. Si fa riferimento alla figura.
La lunghezza bef ammissibile nei calcoli vale:
METODO GENERALESi calcola il momento Msd rispetto alle armature tese:
bl
bb wef ≤+=50
dove l0 è la distanza fra i punti di momento nullo, e b è la larghezza reale.
sddsd yNMM ⋅−=cd
d
cd
sd
fdbN
fdbM
⋅⋅=
⋅⋅= νµ 2
Se non necessitano di armature compresse (µsd < µlim), la percentuale ω relativa all’armatura tesa si legge da tabelle in funzione di µsd (Nd negativo se di compressione):
yd
d
yd
cdsl
w
f
fN
ffdb
AVienebbe
dh
+⋅⋅⋅
=ω
.
Se necessitano di armature compresse (µsd > µlim), si calcola:
limµµµ −=∆ sd
yd
d
yd
cdsl f
Nff
db
dd
A +⋅⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−+=
2
limlim
1
µµω
L’armatura tesa necessaria risulta:
L’armatura compressa necessaria invece risulta:
yd
cdsl f
fdb
dd
A ⋅⋅⋅−
−=
2
lim
1
µµ
METODO APPROSSIMATOL’ipotesi di base è la trave snella, ossia:
S’ipotizza che la sola piattabanda sopporti tutto lo sforzo di compressione interno. Occorre peraltro adottare, se b è molto grande, il valore beff prima indicato.
Con le premesse fatte risulta As2 = 0.
Deve inoltre esse verificato che risulti:
ydf
sds f
Nh
d
MA 1
2
1 ⋅
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−
=
5≥wbb
cd
ff
sdcd f
hbh
d
M⋅≤
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= 85,0
2
σ
METODO TABULATO
STATO LIMITE ULTIMO PER TAGLIOSTATO LIMITE ULTIMO PER TAGLIOLo studio non può esser confinato in una sezione ma deve essere esteso ad un tratto di
trave; quindi lo studio è assai complesso.Parametri determinare il comportamento a taglio della trave:
- La disposizione delle armature longitudinali e trasversali;- L’aderenza acciaio-calcestruzzo;- Il tipo e la posizione dei carichi;- Il tipo di appoggi;- La forma della sezione.
Prima della fessurazione si fa un’analisi elastica lineare per determinare lo stato tensionale.
Dopo la fessurazione si ha un comportamento non lineare ed evolutivo fino alla rottura. (MANCA FIGURA DA SCANSIONARE)
La rottura a taglio è estremamente pericolosa perché ha spesso carattere di fragilità, con modestissime deformazioni e dunque senza segni premonitori.
Tipi di rottura nelle travi con armatura a taglio osservati sperimentalmente:- Rottura per flessione pura (1): duttile o fragile (travi molto resistenti a
taglio);- Rottura per taglio dovuta a fessura obliqua (2): in presenza di insufficiente
armatura d’anima; duttile o fragile se l’armatura a taglio è al di sotto delle percentuali minime;
- Rottura per taglio-flessione (3): la fessura di flessione è inclinata dall’effetto di taglio e penetra nella zona compressa riducendone l’efficacia;
- Rottura per compressione d’anima (4): per compressione obliqua nel caso di travi a T ad anima stretta; fragole;
- Rottura per scorrimento dell’armatura (5): scorrimento dell’ancoraggio delle armature tese in prossimità dell’appoggio; fragile.
Le sperimentazioni su questo tipo di trave hanno mostrato che esse forniscono una buona resistenza al taglio. Si è visto inoltre che, dopo la formazione delle fessure sub-verticali, il funzionamento della trave non segue lo schema arco-tirante, ma i regimi di sollecitazione della fase elastica vengono approssimativamente mantenuti grazie ad effetti supplementari (effetto ingranamento, effetto spinotto, ecc…).
ELEMENTI STRUTTURALI PRIVI DI ARMATURA TRASVERSALE A TAGLIO
La rottura avviene quando si innesca una fessura inclinata che s’insinua nella zona compressa, per cui gli effetti supplementari diminuiscono, lo sforzo nel tirante aumenta e si determina il collasso.
In presenza della fessura inclinata:
Gli esperimenti hanno mostrato che il valore di τu al quale s’innesca la fessura obliqua dipende:
- Dall’armatura longitudinale As1, specie se ben ancorata e di piccolo diametro;
- Dalle dimensioni dell’inerte (inerti di grossa dimensione migliorano l’ingranamento);
- Dall’altezza della trave, in quanto al crescere di ddiminuisce l’ingranamento (denti più flessibili);
( )daxM
N lS ⋅
+≅
9,0
( )etraslaziondellaregoladaSe l ⋅≅⇒°≅ 5,130θ
- Dal rapporto a/l (vicino gli appoggi si ha un effetto arco).
T
NS
al
x
dbVu
u ⋅⋅=
9,0τ
La verifica di sicurezza di travi senza armatura trasversale si traduce dunque in un a verifica a taglio sul conglomerato e in una verifica a flessione con la regola della traslazione del diagramma dei momenti.
- VERIFICA ARMATURA LONGITUDINALETale armatura dovrà essere preferibilmente continua su tutta la luce e dimensionata
con:( )
( )momentodiagrammaetraslaziondellaregoladVMVM ddd ⋅⋅+= 5,1
- VERIFICA DEL CONGLOMERATOIn base a considerazioni sperimentali si assume che la
fessura che porta al collasso si verifiche quando:
( )..9,025,0 00
rettsezdhconfhb
Tctd ⋅=⋅=
⋅=τ
( ) δρ ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=≤ dbrfVV wlctdRSd 50125,0
bw
h0d
Ove:d = altezza utile;bw = larghezza membratura resistente al taglio;fctd = resistenza di calcolo del calcestruzzo a trazione;
ASl = area armatura longitudinale di trazione ancorata al di là dell’intersezione con la fessura a 45°;
M0 = momento di decompressione riferito alla fibra estrema su cui agisce Msdu;MSd = momento agente massimo di calcolo nella regione ove si effettua la
verifica a taglio (MSd ≥ M0).
d ≤ 0,6 m (espressa in metri);( )dr −= 6,1
02,0≤⋅
=db
A
w
Sllρ
in presenza di sforzo normale di trazione;
in presenza di sforzo normale di compressione;
in assenza di sforzo normale;⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=
1
1
0
0
SdMM
δ
Teoria classica del traliccio di MTeoria classica del traliccio di MöörschrschE’ la teoria di riferimento per il progetto e verifica alle tensioni ammissibili.
Facendo gli equilibri:
)cot(cot βα ggszm +⋅=
ed il rapporto tra armatura ed unitàdi volume:
αρ
sensbA
w
Sww ⋅⋅
=
Si definisce molteplicità del traliccio:
( )( ) ββσ
ασsensbAconTsenAm
TsenAm
wCwCwMCw
SwMSw
⋅⋅==⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
,
,
ove:σSw,M = tensione nell’armatura trasversale;σCw,M = tensione nella biella di cls;ASw = area dell’armatura trasversale;ACw = area della biella di cls.
Da cui, sostituendo m e ACw:
( )
( ) ( ) ααβρτ
ααβαα
τ
ααβασ
2
,
cotcotcotcot
cotcot
senggsenggsensb
senA
senggAsz
TsenAm
T
w
w
Sw
SwSw
MSw
⋅+⋅=
⋅+⋅⋅⋅⋅
=⋅+⋅⋅
=⋅⋅
=
avendo definito l’indicatore di sollecitazione a tagliozb
T
w ⋅=τ
( )
( )
( ) ααβτ
βαββ
βαββσ
2
,
cotcot
cotcot
cotcot
sengg
senggsenzbzs
T
senggAsz
TsenAm
T
w
CwCw
MCw
⋅+=
=⋅+⋅⋅⋅⋅
=⋅+⋅⋅
=⋅⋅
=
Usualmente si può porre:z ≅ 0,9⋅d e β = 45°
Nel caso specifico delle staffe con α = 90°, dunque:
( )..9,0
ATverificadiformula
staffeareaA
staffebraccin
staffepassos
doveAnd
sT
st
stSw
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
⋅⋅⋅⋅
=σ
( )..
9,0
9,0
ATprogettodiformule
ndsTA
TAnd
s
Sst
Sst
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅=
σ
σ
L’attendibilità dello schema di Mörsch è stata studiata mediante una serie di campagne sperimentali condotte presso diverse università ed istituti di ricerca.
Esse hanno riguardato diverse problematiche:- Efficacia differenti armature d’anima:
- Barre rialzate (fenomeno negativo dello splitting; poco efficaci);- Staffe verticali chiuse (mediamente efficaci);- Staffe inclinate chiuse (molto efficaci);
- Influenza della larghezza d’anima (Vd = Vωs,M + ∆, con ∆ che decresce col rapporto b/bw);
- Inclinazione delle fessure d’anima (varia col rapporto b/bw);- Armatura necessaria per la resistenza a taglio;
Nel caso di travi con poca armatura trasversale si osserva una diminuzione di b (da 40° ÷ 45° ⇒ 30° ÷ 35°): si rileva dunque come la struttura poco armata riduce gli sforzi d’anima caricando ulteriormente le armature del corrente teso.
- Inclinazione del corrente compresso;Una quota di taglio viene trasferita sull’appoggio direttamente da tale effetto,
essendo sottratta allo schema di Mörsch. Ne consegue una diminuzione del braccio di leva ed un aumento dello sforzo nel corrente inferiore ⇒ regola della traslazione.
- Sforzi nelle bielle compresse;Esse risultano superiori a quelle previste dallo schema di Mörsch. Il traliccio
reale è iperstatico; le bielle compresse sono più rigide e si caricano di più; le bielle tese si scaricano, anche a causa degli effetti supplementari.
- I carichi prossimi agli appoggi si scaricano direttamente riducendo drasticamente gli sforzi sulle armature trasversali.
Dallo schema di Mörsch si trovano i seguenti tagli resistenti di calcolo:
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
°≅⋅+
°≅⋅+≅
taglioaarmatamoltotraveconVz
M
taglioaarmatapocotraveconVz
M
NS
S
S
309,0
455,0
β
β
( )
( ) compressebiellesenggfdbV
tesebiellesenggfds
AV
cdMdS
ydSw
MdS
ββα
αβα
ω
ω
2,2
,1
cotcot9,0
cotcot9,0
⋅+⋅⋅⋅⋅=
⋅+⋅⋅⋅⋅=
Influenza della larghezza d’anima:
Lo schema modificato deve tener conti dei risultati sperimentali, ed in particolare:- La sottostima degli sforzi nelle bielle compresse e la sovrastima in quelle tese;- Le resistenza al taglio supplementare offerta dall’inclinazione del corrente
compresso ed altri effetti;- L’aumento di sforzo nei correnti tesi (regola di traslazione dei diagrammi
momento);- Verifica del conglomerato (normativa Italiana):
( )( )splittingtimorepiagatiferriestaffefdbfV
inclinatestaffegbdfV
cdwcdd
wcdd
⋅⋅⋅⋅≤+⋅⋅⋅⋅≤
30,01cot30,0 α
Derivano direttamente da Vcωd2,M imponendo β = 45° e limitandosi ad una resistenza del cls a compressione pari a 2/3 fcd (tiene conto della sottostima operata dallo schema di Mörsch);
- Verifica armatura trasversale (normativa Italiana):
( )
δ
αα
⋅⋅⋅⋅=
+⋅⋅
⋅⋅=
+≤
dbfV
sens
dfAV
VVV
wCtdCd
ydSSd
CdSdd
60,0
cos90,0
- Almeno il 40% di VSd deve essere affidato alle staffe;- Verifica dell’armatura longitudinale:
- Traslazione del diagramma dei momenti flettenti nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento della quantità:
( ) dgda ⋅≥−⋅⋅= 2,0cot19,01 α
STRUTTURE DI FONDAZIONE IN C.A.STRUTTURE DI FONDAZIONE IN C.A.- Fondazioni isolate – plinti;- Travi o reticoli di fondazione;- Platee;- Pozzi di fondazione;- Fondazioni su pali.
PlintiPlintiDistribuzione delle tensioni:
In generale la situazione èintermedia e non facilmente prevedibile.
a) su sabbia
rifluimento plasticizzazione
b) su argilla
h
l
SNELLI l/h ≥ 2PLINTI MEDI O TOZZI 0,5 < l/h < 2
NON ARMATI l/h ≤ 0,5
Modelli di calcolo:PLINTO SNELLO
b
c
0,15 c
⇐ Modello a 4 mensole se c/b > 0,2
⇐ Modello a 2 mensole se c/b ≤ 0,2 (a favore di stabilità)
Andamento delle sollecitazioni flettenti:Il momento si concentra sulla linea del pilastro, dove sarà consigliabile un infittimento dell’armatura.
⇐ Punzonamento (verifica al taglio):Si suppone 45° anche se nella realtà ècirca 33°
perimetrowcondw
TC =≤
⋅= 0ττ
circa 45°
circa 70% ATot
h/2
N
Se la verifica precedente non è soddisfatta conviene aumentare l’altezza del plinto (piùeconomico). Solo in ultima istanza si prevedono ferri piegati: in tal caso il plinto sarà più deformabile e soggetto a fessurazioni.
ARMATURE
h30
cm
almeno 3 staffe
I10
cm
Cop
r.5
cm
todini φ12
Staffoni
Staffoni e ferri piegati
PLINTO MEDIO
b
b
N2
βN2
Il colletto va di circa 5 cm per poter casserare il pilastro.
Trazione: necessaria armatura.
Si calcola T, (tiro nell’armatura) da cui la verifica.
Sono automaticamente soddisfatte le verifiche a punzonamento o taglio.
N2
β
T
C
PLINTO NON ARMATONon è necessaria armatura specificatamente progettata per assorbire le sollecitazioni.
Tuttavia è necessario predisporre 30÷40 Kg d’armatura al m3 di cls, per assorbire fessurazioni dovute al ritiro.
bα 50°
N2
trazione nel cls
Reticoli di fondazione e travi rovesceReticoli di fondazione e travi rovesceTelai deformabili (esempio edifici tozzi)
Sforzi provenienti dal telaio
Modello di riferimento: trave su appoggio elastico
Telai rigidi (esempio zona sismica)
La fondazione si muove rigidamente
Nei casi intermedi: inviluppo delle sollecitazioni provenienti dai 2 modelli.