CEROS DE UNA FUNCIÓN

POLINOMIALDIVISIÓN SINTÉTICA

TEOREMA DEL RESIDUO

TEOREMA DEL FACTOR

OBJETIVOS•  Definir el teorema del residuo.

• Utilizar el  teorema del residuo para evaluar funciones polinomiales.

•  Definir el teorema del factor.

• Utilizar el teorema del factor para determinar si un binomio es factor de un polinomio. 

• Definir el Teorema fundamental del álgebra.

•  Establecer la relación entre el grado del polinomio y el número de raíces que éste tiene (teorema de los “n” ceros).

• Determinar los ceros racionales de un polinomio de grado menor o igual a 4 a partir del teorema de raíces racionales.

• Definir el teorema de los ceros complejos.

•   Determinar una función polinomial a partir de sus ceros.            

• Obtener los ceros de una función polinomial utilizando recursos tecnológicos.

CEROS DE UN FUNCIÓN POLINOMIAL• Los valores de la variable x para los cuales la función es igual a cero, a

los que se llaman raíces del polinomio y se representan de la forma

• Estos puntos tienen coordenadas para cada una delas raíces reales del polinomio. Y se les llama ceros de la función.

• La mayoría de las funciones polinómicas tiene n ceros reales.

• La mayoría de la funciones polinomicas tiene n-1 puntos de inflexión. (También llamada máximos relativos o mínimos relativos que son los puntos donde la gráfica pasa de creciente a decreciente o viceversa.)

• 1.- Factorización

Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:

Para encontrar los ceros resuelvo para x, (encuentro los valores de x cuando y es igual a cero).

Entonces los ceros reales son: x = 0, x = -1, x = 1

¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?

Recuerda: como es un polinomio de grado 4, puede tener a lo sumo 4-1 = 3 puntos de inflexión.

REPETICIÓN DE CEROS

• El factor indica una intersección del eje x,en x = a.

• Si k es impar: la grafica cruza el eje de las x en x = a

• Si k es par: la gráfica toca el eje x pero no lo atraviesa.

• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:

Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 4/3 (exponente impar)

• Encuentre los ceros reales (intersecciones con el eje x) de la función:

Entonces los ceros reales son: x = 0 (exponente impar), x = 3/2 (exponente par)

¿CÓMO OBTENGO LOS CEROS DE UNA FUNCIÓN?

• 2.- División sintética (Teorema del factor)

Suponga que tiene la gráfica de la función:

Un cero de la función ocurre en x = 2 para que sepa que (x-2) es un factor de f (x). Esto significa que existe un polinomio de segundo grado tal que:

f (x) = (x-2) q (x)

Para conocer q (x) podemos usar la división sintética.

ALGORÍTMO DE LA DIVISIÓN

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ENTRE POLINÓMIOS

DIVISIÓN SINTÉTICA

• De la división podemos concluir que:

Factorizando la ecuación cuadrática tenemos:

DIVISIÓN SINTÉTICA (ALGORITMO CORTO)

• Una forma sencilla de ver la división sintética es como sigue:

• Divide el polinomio , podemos usar el siguiente patrón:

Coeficientes de la función

residuo

Coeficientes de la función resultante

• EJEMPLO: Divide

Dividendo: Divisor: x+3

Residuo

Coeficientes del nuevo polinomio

Al final tenemos que:

EJERCICIOS

•  

TEOREMA DEL RESIDUO

EN PALABRAS SENCILLAS: si un polinomio se divide entre

el residuo “r” es igual a

• Determine el residuo de

Y demostrar que f(5) = residuo

• Ejercicios propuestos:

1) Determine el residuo de

Y demostrar que f(1)= residuo

2) Determine el residuo de

Y demostrar que f(1) = residuo

3) Determine el residuo de

Y demostrar que f(2) = residuo

TEOREMA DEL FACTOR

• El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor

si y solo si k es una raíz de , es decir

TEOREMA DEL FACTOR

• Demuestre que el binomio es un factor del polinomio:

• EJERCICIOS PROPUESTOS:

Demuestre por medio del teorema del factor que el binomio es un factor del polinomio.